curso de concreto armado

CURSO DE

CONCRETO ARMADO

Volume 3

JOSÉ MILTON DE ARAÚJO

Professor Titular – Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia

CURSO DE

CONCRETO ARMADO

Volume 3

Editora DUNAS

CURSO DE CONCRETO ARMADO © Copyright Editora DUNAS

A663c Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.3, 3.ed. Bibliografia 1. Concreto armado. I. Título

CDU 624.012.45 CDD 624.1834

ISBN do volume 3: 978-85-86717-11-6 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6 Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil www.editoradunas.com.br e-mail: [email protected] _____________________ 3a edição, Novembro/2010 _____________________

APRESENTAÇÃO Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de projeto.

Rio Grande, Setembro de 2010.

José Milton

PLANO DA OBRA Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun-damentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço cortante. Ancoragem e emendas das armaduras. Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Cálculo de vigas. Estados limites de utilização. Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento. Volume 4: Dimensionamento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situação de incêndio.

SUMÁRIO 1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES .............................................................................1 1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares .......................1 1.2 - Condições de contorno.............................................................5 1.3 - Solução da equação diferencial................................................6 1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado .........................10 1.5 - Hipóteses básicas do dimensionamento .................................12 2. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL ...................................................................................15 2.1 - Apresentação do problema.....................................................15 2.2 - Seção retangular com armadura distribuída ...........................18 2.3 - Cálculo das tensões nas armaduras ........................................21 2.4 - Cálculo da resultante de compressão no concreto..................26 2.5 - Equações de equilíbrio...........................................................27 2.6 - Cálculo da posição da linha neutra.........................................31 2.7 - Elaboração do programa computacional ................................33 2.8 - Tabelas para dimensionamento ..............................................35 2.9 - Exemplos de dimensionamento..............................................36 3. DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO- COMPRESSÃO NORMAL........................................................41 3.1 - O emprego de diagramas de interação ...................................41 3.2 - Obtenção dos diagramas de interação ....................................42 3.3 - Armadura teoricamente desnecessária ...................................44 3.4 - Fórmulas aproximadas de dimensionamento .........................45 3.5 - Escolha da disposição das barras ...........................................48 4. ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA.................51 4.1 - Apresentação do problema.....................................................51 4.2 - Equações de equilíbrio...........................................................52 4.3 - Rotação do sistema de eixos ..................................................55

4.4 - Cálculo das tensões nas barras da armadura ..........................58 4.5 - Determinação da parte da seção comprimida com o diagrama retangular...............................................................59 4.6 - Verificação da capacidade resistente .....................................62 5. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA...................................................................................69 5.1 - O problema do dimensionamento ..........................................69 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra ..........................71 5.3 - Cálculo da área de aço ...........................................................75 5.4 - Exemplos ilustrativos.............................................................76 5.5 - Tabelas para dimensionamento de seções retangulares..........79 5.6 - Processos simplificados de dimensionamento .......................81 6. CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO ......................................................83 6.1 - Introdução ..............................................................................83 6.2 - Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos................................85 6.3 - Determinação do índice de esbeltez.......................................95 6.4 - Classificação dos pilares quanto à esbeltez............................99 6.5 - Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda ordem ....................................................104 6.6 - Consideração da fluência do concreto..................................115 6.7 – Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ........................119 6.8 – Flambagem local das lâminas dos pilares-parede.................121 6.9 – Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local ..............................................................131 6.10 – Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede ...137 7. CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS ..............143 7.1 - Introdução ............................................................................143 7.2 - Situações de projeto dos pilares ...........................................143 7.3 - Situações de cálculo dos pilares...........................................148 7.4 - Exemplos de dimensionamento............................................159 7.5 - Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios .........................................................................178

8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ..........................................187 8.1 - Considerações gerais............................................................187 8.2 - Dimensões mínimas das seções dos pilares .........................187 8.3 - Armadura longitudinal .........................................................188 8.4 - Armadura transversal ...........................................................189 8.5 - Cobrimento da armadura......................................................194 8.6 - Proteção contra a flambagem das barras ..............................195 8.7 - Emendas das barras..............................................................197 8.8 - Desenho de armação dos pilares ..........................................202 9. PILARES ESBELTOS..............................................................205 9.1 - Introdução ............................................................................205 9.2 - Deslocamentos em barras esbeltas .......................................207 9.3 - Relação deformação-deslocamentos ....................................209 9.4 - O princípio dos trabalhos virtuais ........................................210 9.5 - O método dos elementos finitos...........................................212 9.6 - Implementação computacional do método dos elementos finitos .................................................................218 10. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO.....................................................223 10.1 – Introdução ..........................................................................223 10.2 – Processo simplificado para repartição das forças horizontais ...............................................................224 10.3 – Imperfeições geométricas globais dos edifícios .................234 10.4 – Análise de pórticos através do modelo contínuo ................237 10.5 – Interação entre painéis de contraventamento com comportamentos distintos...................................................242 10.6 – Processo rigoroso para repartição das forças horizontais ...248 10.7 – Análise de uma subestrutura de contraventamento.............258 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................267 APÊNDICE 1: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal .....................................271 APÊNDICE 2: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua ....................................305

Capítulo 1

CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES

1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares

Considere-se o pilar indicado na fig. 1.1.1, submetido a uma força normal P e a uma carga transversal . Por hipótese, a força de compressão é constante ao longo do eixo do pilar e a flexão ocorre no plano de simetria

qP

zx − .

zP

ql

W

x

P

Fig. 1.1.1 - Carregamento do pilar

Com a aplicação do carregamento, a barra se deforma de modo

que a flecha em uma seção transversal genérica é )(xWW = . Nessa seção atuam a força de compressão P , o momento fletor M e a

Considerações sobre a estabilidade dos pilares 11

relacionada com as características mecânicas dos materiais, é dado o nome de "não linearidade física".

No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a solução da equação diferencial consiste na determinação da rigidez à flexão das seções transversais do pilar. Isto ocorre porque a relação entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforço normal, é não linear e só pode ser obtida por pontos, através de um processo numérico.

Assim, rigorosamente falando, a análise de um pilar de concreto armado exige o emprego de técnicas numéricas apropriadas. Diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referência [3].

Entretanto, do ponto de vista prático, é possível introduzir algumas simplificações que permitam resolver o problema de maneira aproximada.

Dois tipos de processos simplificados podem ser empregados. Nos primeiros, resolve-se a equação diferencial de maneira exata, arbitrando-se um valor convencional para a rigidez à flexão do pilar. Com isso, obtém-se o momento fletor solicitante máximo, que é igual ao momento de primeira ordem multiplicado por um fator de amplificação, como na equação (1.3.4). Em geral, o fator de amplificação β pode ser aproximado por

ePP

−=

1

1β (1.4.1)

onde é a carga de flambagem do pilar, avaliada com uma rigidez aproximada

ePEI .

Com o momento máximo e com o esforço normal , dimensiona-se a seção transversal em flexo-compressão. Esse é o processo simplificado do ACI

maxM P

(4), também incluído na NBR-6118(5). Em uma segunda classe de processos simplificados, arbitra-se

uma função para a deformada do eixo do pilar, bem como a curvatura de ruína das seções de concreto armado. Com isso, é possível calcular o deslocamento máximo, , em função da curvatura de ruína. O momento de segunda ordem é dado por

)(xW

maxW

Curso de Concreto Armado 14

A tensão cdσ tem os seguintes valores:

cdcd f85,0=σ , quando a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida (caso de seções retangulares em flexão normal, por exemplo);

cdcd f80,0=σ , nos casos contrários (seções circulares em flexão normal, dentre outras). Para o aço, emprega-se o diagrama tensão-deformação de cálculo apresentado na seção 3.2 do Volume 1. O módulo de elasticidade do aço é considerado igual a 000.20=sE kN/cm2.

O estado limite último em flexo-compressão, correspondente à ruína de uma seção transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma deformação excessiva da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína, quando a distribuição das deformações ao longo da altura de uma seção transversal se enquadrar em um dos domínios da fig. 1.5.2. Nessa figura foi eliminado o domínio 1, por ser este um domínio exclusivo da flexo-tração.

2

34

4a

5

h

b

10o/oo εyd

2o/oo 3,5o/oo

3h/7

compressãotraçãoFig. 1.5.2 - Domínios de dimensionamento na flexo-compressão

Os quatro capítulos seguintes são dedicados ao

dimensionamento e à verificação de seções de concreto armado submetidas à flexo-compressão normal e oblíqua.

Capítulo 2

DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

2.1 - Apresentação do problema

Flexo-compressão é uma solicitação composta por um momento fletor e por um esforço normal de compressão. Quando a flexão se dá em um plano contendo os eixos de simetria das seções transversais do elemento estrutural, a solicitação é denominada flexo-compressão normal.

Na flexo-compressão normal, a profundidade da linha neutra, medida em relação a uma borda da seção transversal, é uma incógnita do problema. Entretanto, a orientação da linha neutra é conhecida, já que ela será sempre perpendicular ao plano de ação do momento fletor.

Esse tipo de solicitação é representado na fig. 2.1.1 para uma seção transversal retangular.

h/2

h/2

h

LN

xc

Nde

Md

cNd

Fig. 2.1.1 - Seção transversal sob flexo-compressão normal

Na fig. 2.1.1, é a altura da seção transversal e representa o centroide da seção de concreto. A força normal de compressão,

h c


dN , atua em um eixo de simetria da seção e está aplicada em um ponto situado a uma distância e do centroide.

A solicitação representada pela força e pela excentricidade pode ser substituída pelo par de esforços

, onde é o esforço normal de cálculo e

dNe

( )dd MN , dN eNM dd = é o momento fletor de cálculo.

Uma vez que a orientação da linha neutra é conhecida, resta determinar sua profundidade x , medida em relação à borda comprimida pela aplicação exclusiva do momento fletor, para sua completa caracterização. Por isso, x é uma das incógnitas que deverão ser encontradas na solução deste problema.

Na fig. 2.1.2, são indicados alguns tipos de seções retangulares de concreto armado, usualmente empregadas nos pilares dos edifícios.

b

h

Fig. 2.1.2 - Seções transversais típicas dos pilares dos edifícios

Todas as seções transversais indicadas na fig. 2.1.2 possuem a

mesma armadura total, com uma área de aço igual a . Entretanto, a disposição das barras difere de uma seção para outra. Por isto, a capacidade resistente de cada uma delas será diferente.

sA

O dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexo-compressão normal, consiste na resolução do seguinte problema:

- dados os esforços solicitantes de cálculo e ; dN dM- escolhida uma forma para a seção transversal de concreto e

uma determinada disposição das barras da armadura;

Dimensionamento à flexo-compressão normal 39

Solução: Como as dimensões da seção transversal são as mesmas do exemplo anterior, tem-se

60,0=ν ; 37,0=μ ; 10,0=δ Para esse tipo de seção (com quatro camadas de armadura) e para 10,0=δ , deve-se empregar a tabela A1.10.

Entrando na tabela e fazendo as interpolações, obtém-se 13,1=ω . A área de aço é dada por

48,432,1402013,1 xxx

fbhA

yd

cds ==

σω 95,24=⇒ sA cm2

Empregando a tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa área de aço é obtida adotando-se 4 barras de 20 mm em cada face lateral da seção, ficando-se com uma área total igual a 25,13 cm2. A solução é apresentada na fig. 2.9.4.

40

20cm

4φ20 4φ20

Fig. 2.9.4 - Solução possível - Exemplo 2

Exemplo 3: Resolver os exemplos anteriores para diversos valores de . ckf Os resultados são apresentados na tabela 2.9.1.


Tabela 2.9.1 – Área da armadura para diversos valores de ckfExemplo 1: Fig. 2.9.1

ckf (MPa) 20 25 30 40 50

sA (cm2) 15,70 12,41 10,63 9,00 8,03

Exemplo 2: Fig. 2.9.3 ckf (MPa) 20 25 30 40 50

sA (cm2) 24,95 21,31 18,53 13,86 10,93

Conforme se observa, consegue-se uma redução significativa no consumo de armadura com o aumento da resistência à compressão do concreto, ao contrário do que foi verificado em flexão simples (ver capítulo 3 do Volume 1). Pode-se concluir que é vantajoso empregar um concreto de maior resistência nos pilares. Esse valor mais elevado de permitirá reduzir o consumo de armadura e/ou reduzir as dimensões da seção transversal do pilar.

ckf

Capítulo 3

DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

3.1 - O emprego de diagramas de interação

No capítulo anterior, foi apresentada a formulação para o dimensionamento à flexo-compressão normal de seções retangulares com armadura distribuída simetricamente ao longo do seu contorno. Apesar de as equações terem sido particularizadas para as seções retangulares, sua generalização para outras formas de seções é um trabalho relativamente simples. Isto feito, pode-se facilmente ampliar o programa computacional.

Admitindo-se como sendo válidas as hipóteses introduzidas na formulação, o desenvolvimento apresentado é matematicamente correto e leva à solução exata do problema. Evidentemente, essa solução só pode ser obtida iterativamente e, para isto, necessita-se de um programa de computador.

A solução do problema também pode ser obtida quando se dispõe de tabelas para o dimensionamento imediato, como as tabelas apresentadas no Apêndice 1. Deve ser salientado que o único erro que, eventualmente, pode ser cometido ao se utilizar essas tabelas é o decorrente das interpolações que são feitas para o cálculo da armadura.

Alternativamente, o dimensionamento pode ser feito com o emprego de diagramas de interação. Neste caso, o único erro cometido é o decorrente da leitura efetuada no diagrama. A opção por uma tabela de dimensionamento ou por um diagrama de interação é simplesmente uma questão de preferência.

Um diagrama de interação é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos dos esforços reduzidos ( μν − ). Cada curva, correspondendo a uma dada taxa mecânica de armadura ω , representa o lugar geométrico dos pares de esforços ( )νμ, que levam a seção ao estado limite último.

Diagramas de interação na flexo-compressão normal 43

Para obter um novo par de esforços solicitantes que levam a seção ao estado limite último, varia-se o valor de ν , resolve-se o problema ( ) 0=ξf e calcula-se o valor de μ com o emprego da equação (3.2.2).

Procedendo desta forma, obtém-se uma infinidade de pares ( )νμ, que fazem com que a seção atinja o estado limite último. Plotando os pontos obtidos no sistema de eixos cartesianos μν − , obtém-se uma curva que representa o lugar geométrico dos pares de esforços solicitantes ( )νμ, que levam a seção à ruína. Variando a taxa de armadura, ω , pode-se gerar um conjunto de curvas de maneira análoga. Essas curvas dão origem aos denominados diagramas de interação na flexo-compressão normal.

Na fig. 3.2.1, representa-se o diagrama de interação obtido para uma seção retangular com duas camadas de armadura. Esse diagrama foi construído para o aço CA-50 ( 500=ykf MPa) e para

10,0=δ . Portanto, ele só é válido para uma seção transversal com essas características. Observa-se, ainda, que as curvas correspondem a diferentes taxas mecânicas de armadura, desde 0=ω até 1=ω .

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00esforço normal reduzido

0.00

0.20

0.40

0.60

mom

ento

flet

or re

duzi

do ω=1,0

ω=0,8

ω=0,6

ω=0,4

ω=0,2

ω=0

b

h d'/h=0,10

Aço CA-50AAço CA-50

Esforço normal reduzido ν

Mom

ento

flet

or re

duzi

do μ

Fig. 3.2.1 - Diagrama de interação

Capítulo 4

ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 4.1 - Apresentação do problema

A flexo-compressão oblíqua é a solicitação composta por um esforço normal de compressão agindo fora dos eixos de simetria da seção transversal. Quando o esforço normal atua em um eixo de simetria da seção de concreto, mas o arranjo das barras não é simétrico em relação a esse eixo, a flexão também é oblíqua. Por último, a flexão será sempre oblíqua quando a própria seção não possuir um eixo de simetria.

Nesses casos, ao contrário da flexo-compressão normal, tanto a profundidade da linha neutra, quanto a sua orientação, são desconhecidas. Em geral, a linha neutra não é perpendicular ao plano de ação do momento fletor. Assim, surge uma nova incógnita no problema, o que torna sua solução bastante complexa.

Na fig. 4.1.1, apresenta-se uma seção retangular de concreto armado submetida à flexo-compressão oblíqua.

LNx

xo

y

Nd

α

Fig. 4.1.1 - Seção transversal sob flexo-compressão oblíqua

Análise da flexo-compressão oblíqua 67

Na fig. 4.6.4, representa-se um diagrama de interação para a seção retangular. Apenas um quadrante do diagrama foi representado, pois, como a seção possui dois eixos de simetria, a solução será a mesma em qualquer quadrante. Esse diagrama é válido para 0,1=ν , 10,0=δ e para o aço CA-50.

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40momento fletor reduzido (mx)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

mom

ento

flet

or re

duzi

do (m

y)

ω=0,2

ω=0,4

ω=0,6

ω=0,8

ω=1,0ν=1,0

Aço CA-50A

δ=0,10

Aço CA-50

μx

μ y

Fig. 4.6.4 - Diagrama de interação na flexo-compressão oblíqua

(seção retangular)

Entrando no diagrama com os momentos fletores reduzidos de cálculo xμ e yμ , obtém-se a taxa mecânica de armadura ω e calcula-se a área total de aço com o emprego da equação (4.6.2).

Capítulo 5

DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA

5.1 - O problema do dimensionamento

Conforme foi salientado no capítulo 4, na flexo-compressão oblíqua não se conhece a priori a orientação da linha neutra. Somente em casos particulares, o ângulo α de inclinação da linha neutra é conhecido de imediato (casos de flexo-compressão normal). Dessa forma, para caracterizar a linha neutra é necessário conhecer sua profundidade e sua inclinação ox α em relação ao eixo x .

No dimensionamento da seção, são fornecidos os esforços solicitantes de cálculo , e e as incógnitas envolvidas

nas três equações de equilíbrio são , dN xdM ydM

ox α e . Este problema só pode ser resolvido por tentativas.

sA

De fato, o que se pode fazer é uma sequência de verificações com diversos valores da área de aço . Para cada valor de , determina-se o terno de esforços resistentes

sA sA( )ydrxdrd MMN ,, ,

conforme foi apresentado no capítulo anterior. A armadura procurada é aquela que atende as igualdades e xdxdr MM = ydydr MM = . Na verdade, o processo é repetido até que as diferenças entre os momentos fletores resistentes e os momentos de cálculo sejam menores do que uma tolerância preestabelecida.

A sistematização do dimensionamento pode ser feita da seguinte maneira: a) Escolhe-se um valor inicial para a área de aço . Com esse valor de , devem-se encontrar

sA

sA α e . ox

Dimensionamento à flexo-compressão oblíqua 71

x

yy

x

x

yy

x

Fig. 5.1.1 - Seções com dois eixos de simetria

Neste capítulo, será desenvolvido um algoritmo para o

dimensionamento à flexo-compressão oblíqua de seções com dois eixos de simetria, como as seções indicadas na fig. 5.1.1. Essas formas duplamente simétricas são encontradas com muita frequência em pilares de pontes e de edifícios de concreto armado. Assim, o algoritmo será capaz de resolver os principais problemas de interesse prático. De qualquer maneira, para outras formas de seção, pode-se fazer a verificação da capacidade resistente, conforme foi indicado no capítulo anterior. 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra

Considere-se uma seção transversal com dois eixos de simetria e com uma dada área de aço. Em virtude da dupla simetria, pode-se limitar a análise ao primeiro quadrante, de forma que os momentos solicitantes e serão sempre positivos. Na fig. 5.2.1, xdM ydM


Exemplo: Dimensionar a seção da fig. 5.4.1, submetida ao esforço normal de serviço 800=kN kN e aos momentos fletores de serviço

kNcm e 2000=xkM 4000=ykM kNcm. O concreto possui

MPa e o aço é o CA-50 ( kN/cm20=ckf 50=ykf 2). A solução "exata" para este problema, dada na tabela 5.4.1, é

cm48,20=sA 2. Para realizar o dimensionamento empregando-se as tabelas do Apêndice 2, são necessários os seguintes cálculos:

144,1≅= ck

cdff MPa; 2,1180,0 == cdcd fσ MPa;

Logo, 12,1=cdσ kN/cm2.

48,4315,1

== ykyd

ff kN/cm2; 20=xh cm; 40=yh cm;

8004020 =⇒== cyxc AxhhA cm2

11208004,14,1 =⇒== dkd NxNN kN

280020004,14,1 =⇒== xdxkxd MxMM kNcm

560040004,14,1 =⇒== ydykyd MxMM kNcm

25,112,1800

1120=⇒== ν

σν

xAN

cdc

d

01512,120800

2800≅⇒== x

cdxc

xdx xxhA

M μσ

μ

Capítulo 6

CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO

6.1 - Introdução

Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos.

Os pilares curtos são aqueles para os quais não há necessidade de se considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforços solicitantes obtidos na configuração deformada (teoria de segunda ordem) são aproximadamente iguais aos esforços calculados na configuração indeformada (teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados quando eles causam um acréscimo nos esforços solicitantes de no máximo 10%.

Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem são importantes e não podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser considerados através de processos simplificados. Em geral, nesses processos, arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e calcula-se o máximo momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento máximo e com o esforço normal, dimensiona-se a seção transversal do pilar em flexo-compressão.

Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que não se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares é exigida uma análise rigorosa, que leva em conta a não linearidade física decorrente do comportamento mecânico dos materiais, bem como a não linearidade geométrica.

De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifícios se enquadra nas categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos especiais é que eles devem ser tratados como pilares esbeltos.


��

elementorígido

(a) (b)

Fig. 6.2.1 - Efeito da deslocabilidade horizontal

De acordo com o CEB/78(6), podem ser consideradas indeslocáveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas:

nIE

Fh

ccs

Vtot 1,02,0 +≤=α , se 3≤n (6.2.1)

6,0≤=ccs

Vtot IE

Fhα , se 4≥n (6.2.2)

onde: α = parâmetro de instabilidade; n = número de andares;

toth = altura total da edificação, medida do topo da fundação ou de

um nível indeformável;

ccs IE = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos

elementos verticais na direção considerada;

VF = soma de todas as cargas verticais de serviço.

Segundo a NBR-6118(5), o limite 0,6 deve ser usado quando o contraventamento é formado pela associação de pórticos e pilares-parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituído exclusivamente por pilares-parede. Por outro lado,

Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 89

A) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes estruturais e/ou pilares-parede Se o contraventamento é constituído exclusivamente por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura é considerada indeslocável quando

limαα ≤=ccs

Vtot IE

Fh (6.2.6)

onde csE é o módulo secante do concreto, dado na equação (6.2.3),

cI é o momento de inércia da seção de concreto simples e limα é

função do número de andares n do edifício e do estado de fissuração do elemento de contraventamento. As expressões de limα são as seguintes, conforme o caso: • para elementos não fissurados:

n

60,0167,0lim −=α (6.2.7)

• para elementos fissurados:

n

60,0147,0lim −=α (6.2.8)

Observa-se que o valor de limα depende do estado de fissuração da parede ou do pilar-parede de contraventamento. As tensões de tração no concreto, para as cargas horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento estrutural, podem ser determinadas como para um material elástico linear submetido à flexo-compressão. Comparando a tensão de tração máxima em cada andar com a resistência à tração característica inferior do concreto,

inf,ctkf , determina-se o estado de fissuração do elemento estrutural.

A princípio, pode-se fazer uma interpolação linear entre os valores


22

2

el

uπχ = (6.5.4)

Dessa equação, pode-se obter a excentricidade de segunda

ordem, 2e , em função da curvatura última. Considerando 102 ≅π , chega-se a

ul

e χ10

2

2 = (6.5.5)

Assim, o momento fletor de segunda ordem, dM 2 , é dado por

22 eFM dd = (6.5.6)

e o momento total é ddd MMM 21 += .

Com o esforço normal dd FN = e com o momento fletor

dM , dimensiona-se a seção transversal em flexo-compressão.

A seguir, são apresentadas as expressões para a curvatura

última fornecidas pela NBR-6118 e pelo CEB. a) Expressão da NBR-6118

De acordo com a NBR-6118, a curvatura última é dada por

( )hou 5,0

005,0

+=

νχ (6.5.7)

onde

cdc

do fA

F=ν (6.5.8)

sendo cA a área da seção de concreto e h a sua altura na direção

considerada.


Entrando na tabela A1.2 do Apêndice 1, obtém-se a área total da armadura 75,24=sA cm2.

Ao ser desprezada a fluência (exemplo da seção 6.5), obteve-se uma área de aço igual a 19,21 cm2. Logo, a consideração da fluência causou um acréscimo de 29% na armadura, o que mostra a sua importância no dimensionamento. Observa-se que 9069 <=λ , o que demonstra que não se pode admitir um critério simplista de dispensa da consideração da fluência sempre que 90<λ . 6.7 – Efeito de segunda ordem nos pilares-parede Os pilares de seção transversal composta por retângulos de pequena espessura são, usualmente, denominados de pilares-parede. As faces laterais do pilar são constituídas por placas, dispostas na vertical. Trata-se, portanto, de um pilar com seção de parede fina, que pode ser aberta ou fechada, conforme indicado na fig. 6.7.1.

a) Seções abertas b) Seção fechada

b

t

Fig. 6.7.1 – Seções típicas dos pilares-parede

Normalmente, os pilares-parede são encontrados nas caixas das escadas e dos elevadores dos edifícios altos e possuem uma seção transversal aberta. Esses elementos, quando existentes, fazem parte da subestrutura de contraventamento do edifício.

Os pilares-parede de seção fechada, do tipo caixão, são encontrados nas pontes, podendo possuir uma ou mais células.

Em virtude da pequena espessura das paredes, em relação às dimensões totais da seção transversal, consegue-se obter um elemento estrutural de grande rigidez com um peso próprio pequeno, quando comparado com a solução em seção maciça. Essa redução no peso próprio, devido à redução no consumo de concreto, repercute também nas fundações, que ficam submetidas a uma carga vertical menor. Por outro lado, os pilares-parede exigem um maior consumo


6.8 – Flambagem local das lâminas dos pilares-parede O problema da flambagem local nos pilares com seção de parede fina tem sido bastante estudado para os pilares de aço. Entretanto, poucos estudos teóricos e experimentais têm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrência de flambagem local nos pilares de concreto armado. De fato, esse problema não deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de resistência relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistência do concreto, as paredes tinham uma espessura razoável, resultando um pequeno índice de esbeltez para as lâminas do pilar. A carga de flambagem de cada lâmina isoladamente era bem superior à carga máxima que nela atuava, não havendo possibilidade de flambagem local.

Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistência, tem sido possível projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A partir de então, a flambagem local se tornou crítica no projeto de diversos pilares de ponte de seção vazada.

No caso dos edifícios, o problema da flambagem local pode ser importante, principalmente para as lâminas que possuem um bordo livre, nos pilares-parede de seção aberta.

Para analisar a flambagem local em um pilar-parede, considera-se uma lâmina típica do pilar, como indicado na fig. 6.8.1.

A seção transversal da lâmina possui uma espessura t e tem n camadas de armadura, cada uma com uma área de aço siA . A

distância de uma camada genérica até o centro da lâmina é iZ . A

área total de aço na seção é ∑=

=n

isis AA

1

.

Na fig. 6.8.1, representa-se o caso usual com duas camadas de armadura.

A lâmina tem uma largura b e uma altura real l . Os lados 1-2 e 3-4, situados no topo e na base da lâmina, respectivamente, são considerados simplesmente apoiados. No caso dos edifícios, esses lados correspondem às lajes de piso, sendo l a distância de piso a piso.


l

Laje

Sem lintéis

lo

Com lintéis

Lintéis

t

Fig. 6.8.3 – Pilar-parede sem e com lintéis de fechamento

Para os diversos casos de condições de contorno, a carga crítica da lâmina, ,crP pode ser escrita na forma compacta

2

2

ecr

l

DP

π= (6.8.5)

onde el é o comprimento de flambagem, por analogia com a teoria

de flambagem dos pilares, e D é a rigidez à flexão da placa. Para o caso elástico linear, tem-se

( )2

3

112 ν−= tEb

D (6.8.6)

onde b é a largura e t é a espessura da lâmina, E é o módulo de elasticidade e ν é o coeficiente de Poisson do material. Para uma placa de concreto armado, devem-se considerar o módulo tangente do concreto ctE e o módulo de elasticidade do aço

sE . Esses módulos são obtidos a partir dos diagramas tensão-

deformação representados na fig. 6.8.4.


resultados são apresentados na fig. 6.8.7, onde foi considerado o índice de esbeltez crítico é 27=crλ .

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

Ocorreflambagem local

Sem flambagemlocal

b

l

tR

elaç

ão l/

t

Relação l/b

Esbeltez limite

Fig. 6.8.7 – Esbeltez máxima das lâminas com um bordo livre para

ser desconsiderada a flambagem local 6.9 – Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local Uma vez identificado o problema da flambagem local, quando

crλλ > para uma determinada lâmina do pilar-parede, é necessário

incluir esse efeito nos procedimentos de projeto. Há diversas maneiras de se considerar esse fenômeno, mas, em geral, desconsidera-se a interação entre as diversas lâminas do pilar. Desse modo, considera-se o menor valor da deformação crítica de flambagem local crε , obtido para todas as lâminas do pilar-parede.

Numa primeira opção de projeto, podem-se limitar as deformações na seção transversal do pilar, de modo que limεε ≤ em

todos os pontos da seção. A deformação limite limε é dada por


contraventados, através de uma excentricidade acidental, como é apresentado na seção 7.3 (capítulo 7). Nesses dois casos, a imperfeição geométrica se refere ao eixo do pilar. No caso dos pilares-parede, ainda pode ser necessário considerar as imperfeições geométricas localizadas em uma ou mais lâminas que o compõem. Neste caso, considera-se a imperfeição geométrica de uma lâmina entre dois pisos sucessivos. Essas três situações são representadas na fig. 6.10.1.

Imperfeição

global

Imperfeições

locais

Imperfeições

localizadas

l

l

Fig. 6.10.1 – Imperfeições geométricas dos pilares

O efeito das imperfeições localizadas pode ser analisado pela teoria de placas, conforme apresentado no capítulo 2 do Volume 2. Entretanto, como as lâminas do pilar-parede estão comprimidas, devem-se considerar os efeitos de segunda ordem. Na fig. 6.10.2, apresenta-se uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida a um esforço normal xN por unidade de

comprimento. Admite-se que a placa possui uma imperfeição inicial representada pelos deslocamentos transversais

b

y

a

xeWo

ππsensen1= (6.10.1)

onde 1e é o valor máximo da imperfeição, que ocorre no centro da placa.

Capítulo 7

CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS 7.1 - Introdução

Conforme foi salientado no capítulo anterior, em uma estrutura podem-se distinguir duas subestruturas que têm finalidades distintas. A primeira, denominada subestrutura de contraventamento, é aquela formada por elementos de maior rigidez, cuja função principal é resistir às ações horizontais. Evidentemente, a subestrutura de contraventamento também resiste a uma parcela do carregamento vertical.

A subestrutura de contraventamento, além de absorver as ações horizontais que atuam na estrutura, deve possuir uma rigidez suficiente para garantir a indeslocabilidade, conforme o critério apresentado no capítulo 6.

A outra subestrutura, denominada subestrutura contraventada, resiste apenas ao carregamento vertical. Os pilares dessa subestrutura, denominados de pilares contraventados, podem ser calculados como se eles fossem apoiados nos níveis das lajes. Assim, os efeitos de segunda ordem nesses pilares são localizados.

Neste capítulo, são apresentadas as situações de cálculo dos pilares contraventados submetidos às cargas verticais. Para cada categoria de pilar é feito um exemplo de dimensionamento. Os mesmos critérios de projeto podem ser empregados para o dimensionamento dos pilares de contraventamento. Entretanto, para os pilares de contraventamento, os momentos iniciais são determinados levando-se em conta as cargas verticais e a ação do vento, conforme é apresentado na referência [16]. 7.2 - Situações de projeto dos pilares

Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como pilares intermediários, pilares de


Evidentemente, o pilar deve possuir um índice de esbeltez máximo igual a 90, já que além deste limite o pilar é considerado esbelto. b) Pilares de extremidade

Para os pilares de extremidade, a situação de projeto é a indicada na fig. 7.3.2-a, onde se admite que a força normal de cálculo atue no eixo x com uma excentricidade inicial . Essa excentricidade é devida aos momentos fletores transmitidos pelas vigas, os quais podem ser calculados com o emprego das equações (7.2.1) e (7.2.2).

ixe

O diagrama de excentricidades iniciais na direção x é apresentado na fig. 7.3.3, em concordância com a distribuição triangular dos momentos fletores.

O pilar deve ser dimensionado para as duas situações de cálculo indicadas na fig. 7.3.2 (casos b e c).

hx

hy Fd

y

x

y

x

y

x

Fd

ex

Fd

ey

(a)

(b)(c)

eix

Fig. 7.3.2 - Situação de projeto e situações de cálculo dos pilares de extremidade

Cálculo dos pilares contraventados 155

⎩⎨⎧

+=≥

yy

ayy he

ee

03,05,1min,11 (7.3.14)

A excentricidade de fluência é calculada como para os

pilares intermediários, ou seja, considerando cye

ayy ee =1 . Observa-se que a seção do pilar é dimensionada à flexo-

compressão normal nas duas situações de cálculo. A eventual consideração de flexão oblíqua em uma segunda situação de cálculo é desnecessária, pois, em geral, o dimensionamento predominante corresponde à primeira situação de cálculo. c) Pilares de canto Nos pilares de canto, devem-se considerar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas que nele terminam, segundo as duas direções. Dividindo esses momentos pela força normal, obtêm-se os diagramas de excentricidades iniciais representados na fig. 7.3.4.

hx

hyx

y

+

-

+

-

eix,t eiy,t

eix,b eiy,b

x y

eix eiy

topo

base

Fig. 7.3.4 – Pilar de canto com excentricidades iniciais segundo as duas direções

Cálculo dos pilares contraventados 175

Tabela 7.4.1 – Excentricidades para o dimensionamento Excentricidades (cm) Excentricidades relativas Situação

de cálculo xe ye xx he yy he 1 3,33 4,66 0,1332 0,0932 2 2,33 5,66 0,0932 0,1132 3 2,75 2,33 0,1100 0,0466 4 1,75 3,33 0,070 0,0666 5 5,43 1,86 0,2172 0,0372 6 0,93 4,34 0,0372 0,0868

Na fig. 7.4.9, representam-se as relações adimensionais entre

yy he e xx he e as possíveis formas do diagrama de interação. Essas formas dependem da relação entre as dimensões da seção transversal e da disposição de barras de aço.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Relação ex/hx

Rel

ação

ey/h

y

Possíveis formas do diagrama de interação

5

a

b

c

1

2

34

6

Fig. 7.4.9 – Representação das situações de cálculo em um diagrama

de interação adimensional hipotético


pilares de canto. Como foi salientado, as simplificações sugeridas ficam a favor da segurança. Essas simplificações foram eliminadas nesta edição, passando-se a considerar as seis situações de cálculo para os pilares de canto. Com isso, consegue-se uma economia nas armaduras, como ocorreu nesse exemplo. 7.5 – Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios De um modo geral, o projeto dos pilares contraventados dos edifícios pode ser bastante simplificado, em virtude dos pequenos valores dos momentos iniciais. Além disso, quase sempre o índice de esbeltez λ é menor do que 50, podendo-se desprezar a consideração da fluência do concreto. Os momentos iniciais nos pilares, decorrentes do carregamento vertical atuante nas vigas, pode ser obtido através do modelo representado na fig. 7.2.2. Ao longo dos andares tipo, os pilares possuem alturas iguais lll == infsup . Admitindo que a seção transversal do pilar permaneça constante no trecho considerado, tem-se prrr == infsup . Consequentemente, os momentos transmitidos

ao pilar inferior, infM , e ao pilar superior, , são iguais. supM Na fig. 7.5.1 apresentam-se o modelo de cálculo e o diagrama de momentos fletores iniciais correspondente.

0,5l

0,5l lvig

MiMi

Mvig

pk

Fig. 7.5.1 – Modelo de cálculo e momentos iniciais nos pilares de extremidade

Capítulo 8

DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 8.1 - Considerações gerais

Neste capítulo são apresentadas as disposições construtivas da NBR-6118 relativas aos pilares de concreto armado. Essas disposições referem-se às dimensões externas da peça e às armaduras nela contidas.

De um modo geral, entende-se que um projeto consistente não se limita a um cálculo preciso das solicitações e das dimensões dos elementos estruturais. Além disso, devem ser tomadas algumas medidas que facilitem a execução, possibilitando uma maior uniformidade na concretagem da estrutura.

Nesse sentido, devem-se especificar dimensões mínimas para as seções transversais dos elementos estruturais, bem como limitar a taxa de armadura a um valor máximo compatível com a boa concretagem.

A seguir, apresentam-se as disposições construtivas da NBR-6118 para o detalhamento dos pilares de concreto armado. 8.2 - Dimensões mínimas das seções dos pilares

A seção transversal dos pilares deve possuir uma dimensão mínima igual a 19 cm.

Em casos especiais, permite-se adotar dimensões entre 19 cm e 12 cm. Nesses casos, os esforços solicitantes de cálculo devem ser majorados pelo coeficiente adicional nγ , dado por

105,095,1 ≥−= bnγ (8.2.1) onde é a menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetros.

b


O coeficiente nγ deve majorar os esforços solicitantes de cálculo finais dos pilares, quando do seu dimensionamento. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2. Quando a maior dimensão da seção transversal do pilar é superior a cinco vezes a menor dimensão, o elemento estrutural recebe a denominação de parede estrutural ou de pilar-parede. 8.3 - Armadura longitudinal

A taxa de armadura longitudinal cs AA=ρ deve ser maior

que a taxa mínima minρ , dada por

%40,015,0min ≥= oyd

cdff

νρ (8.3.1)

onde ( )cdcdo fAF=ν .

Essa taxa deve, também, ser inferior ao valor máximo de 8%, inclusive nos trechos de emenda por traspasse, como indicado na fig. 8.3.1.

ρ1>ρmin

ρ2>ρmin

ρ1+ρ2<8%

piso

piso

piso

As

Ac ρ=As/Ac

Fig. 8.3.1 - Limitações da taxa de armadura


metade da taxa seρ indicada na tabela. De todo modo, a taxa mínima por face deve respeitar o limite dado na equação (6.10.8) em função de . ckf Evidentemente, em paredes estruturais e pilares-parede submetidos a esforços cortantes significativos, a armadura horizontal também deve ser dimensionada ao esforço cortante. Se a parede não é muito alongada, a armadura horizontal pode ser constituída por estribos fechados. Em paredes muito extensas, a armadura horizontal é disposta como barras isoladas. Nestes casos, os bordos da parede devem ser protegidos por grampos em forma de U, como indicado na fig. 8.4.4. As barras terminadas em ganchos que atravessam a parede têm a função discutida na seção 8.6.

Estribos horizontais

Barras horizontais e grampos em U nos bordos

2b > lb

b

Fig. 8.4.4 – Armadura horizontal em paredes e pilares-parede

8.5 - Cobrimento da armadura

Os cobrimentos nominais exigidos pela NBR-6118 são dados em função da classe de agressividade ambiental (ver capítulo 1, Volume 1). No caso dos pilares, os cobrimentos nominais exigidos são indicados na tabela 8.5.1.

Disposições construtivas 201

Fig. 8.7.2 – Comprimento de emendas das armaduras dos pilares

Normalmente, as emendas das barras longitudinais dos pilares são feitas no nível dos pisos. Assim, concretado um piso, as barras do pilar inferior param a uma altura acima da viga, formando a espera das barras do pilar superior, como indicado na fig. 8.7.3-a. Para isto, é necessário encurvar as barras inferiores para que as barras superiores fiquem na posição prevista.

ol

Quando a seção do pilar sofre uma redução, como na fig. 8.7.3-b, tolera-se o encurvamento das barras até uma inclinação máxima dada por 1 na horizontal para 4 na vertical(9). Se a inclinação for maior, devem-se empregar chumbadores, como indicado na fig. 8.7.3-c. Devido à pressão de ponta, as barras que terminam devem ser cortadas a uma distância de 54 ≥φ cm abaixo da face superior da viga.

Capítulo 9

PILARES ESBELTOS 9.1 - Introdução Conforme foi visto nos capítulos anteriores, a segurança dos pilares esbeltos deve ser comprovada por meio de um processo rigoroso que leva em conta, de maneira "exata", as não linearidades física e geométrica. De acordo com o critério da NBR-6118, classificam-se como esbeltos os pilares com índice de esbeltez λ superior a 90. Diversos algoritmos podem ser empregados para a análise e o dimensionamento de pilares esbeltos, estando os principais descritos na referência [3]. Em um primeiro algoritmo, pode-se fazer uso da analogia de Mohr para o cálculo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar. Para isto, é necessário conhecer a curvatura do eixo da barra, associada a um esforço normal e a um momento fletor dados. Na determinação da curvatura, consideram-se diagramas tensão-deformação não lineares para o concreto e para o aço. Em virtude dessa não linearidade (denominada não linearidade física), torna-se necessário o emprego de um processo iterativo para o cálculo da curvatura.

Inicialmente, consideram-se várias seções transversais ao longo do eixo do pilar e determinam-se os esforços solicitantes nessas seções. Estes são os esforços solicitantes de primeira ordem, obtidos na configuração indeformada da barra. A partir dos esforços solicitantes, determinam-se as curvaturas nas diversas seções transversais. Em seguida, aplica-se ao pilar um carregamento transversal fictício igual à distribuição das curvaturas. Empregando a analogia de Mohr, obtêm-se os deslocamentos transversais do eixo.

Em virtude desses deslocamentos, ocorre um aumento dos momentos fletores na configuração deformada do pilar. Considera-se que o esforço normal permanece inalterado, com os seus valores de

Pilares esbeltos 213

l

U1U2

U3

U4

U5

U6

F1nF2n

F3nF4n

F5nF6n

x

z

deslocamentosnodais

ações nodais

Fig. 9.5.1 - Ações e deslocamentos nodais do elemento

Os deslocamentos e W do eixo do elemento são interpolados na forma

ou(3)

4411 UUuo φφ += (9.5.1)

66553322 UUUUW φφφφ +++= (9.5.2)

onde as funções de interpolação são dadas por

ξφ −=11 ; ; 132 232 +−= ξξφ ( )ξξξφ +−= 23

3 2l ;

ξφ =4 ; ; 235 32 ξξφ +−= ( )23

6 ξξφ −= l (9.5.3)

com lx=ξ . Considerando apenas as ações nodais (inF 6,...,1=i ) atuando no elemento, o trabalho virtual externo é dado por

∑=

=6

1iiinext UFW δδ (9.5.4)

e o princípio dos trabalhos virtuais é escrito na forma

Capítulo 10

ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

10.1 – Introdução

A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de contraventamento, para um carregamento dado, é feita empregando-se os métodos convencionais da análise estrutural. Deve ser lembrado que, mesmo nas estruturas consideradas indeslocáveis, os esforços de primeira ordem, decorrentes das ações horizontais, devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de contraventamento.

A grande dificuldade da análise estrutural frente às ações horizontais (ação do vento e de sismos) consiste na repartição das cargas para os elementos de contraventamento. Isto ocorre pela natureza tridimensional do problema.

De fato, em um procedimento rigoroso deve-se levar em conta a interação entre os diversos andares da estrutura, analisando-se o movimento relativo das várias lajes do edifício. Esse procedimento é necessário quando a subestrutura de contraventamento é formada pela associação de elementos de comportamentos distintos, como pórticos e paredes estruturais ou pilares-parede. Nestes casos, a resposta da estrutura é fortemente influenciada pelas forças de interação que surgem para compatibilizar os deslocamentos dos diversos elementos componentes.

Entretanto, quando o contraventamento é formado por elementos que se comportam de forma idêntica, pode-se empregar um processo simplificado. Isto ocorre quando o contraventamento é constituído exclusivamente por pórticos, ou exclusivamente por paredes estruturais.

No procedimento simplificado, despreza-se a interação entre os diversos níveis de lajes, adotando-se para os elementos de contraventamento uma rigidez equivalente determinada para um andar característico. Admite-se, ainda, que as lajes são extremamente


rígidas no seu próprio plano, de forma que nenhum movimento relativo ocorre neste plano. Além disso, considera-se que os painéis de contraventamento (formados apenas por pórticos ou apenas por paredes estruturais) só recebem cargas no seu plano vertical, apresentando rigidez nula na direção normal a este plano. A rigidez à torção também é desprezada.

Na seção seguinte, apresenta-se o processo simplificado, o qual é válido quando o contraventamento é constituído por elementos do mesmo tipo: só pórticos ou só paredes estruturais. 10.2 – Processo simplificado para repartição das forças horizontais Suponha uma subestrutura de contraventamento formada por

painéis dispostos em linha, como indicado na fig. 10.2.1. Os painéis são do mesmo tipo: ou todos são pórticos, ou todos são paredes estruturais.

n

1 j nq(z)

(Planta) x

y

Laje rígida noplano horizontal

q(z)1 j n

z

(Elevação)

Fig. 10.2.1 – Subestrutura de contraventamento

As lajes de piso são consideradas rígidas no plano horizontal. Isto é representado por meio das barras birrotuladas mostradas em elevação. Essas barras apenas indicam que os deslocamentos horizontais dos painéis, em um determinado piso, são iguais. Admitindo a formulação do meio contínuo, o equilíbrio de cada painel pode ser representado através de uma equação diferencial. Como todos os painéis são do mesmo tipo, a equação diferencial é a mesma para todos eles.

Análise das estruturas de contraventamento 229

laje, conforme é indicado na fig. 10.2.5. O ponto , onde se concentra a mola, corresponde ao centro do painel.

iP

y,v

x,u

yi

xi

Ki

Pi

α i

u'i

θ

o

Fig. 10.2.5 - Painel de contraventamento genérico

Se o movimento de corpo rígido da laje for representado pelos

deslocamentos e nas direções ou ov x e , respectivamente, e por uma rotação

yθ em torno da origem do sistema de eixos, os

deslocamentos do ponto serão dados por iP

θioi yuu −= (10.2.8)

θioi xvv += (10.2.9)

É interessante escrever as equações anteriores na forma matricial

oi UNu = (10.2.10) onde

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=θo

o

oi

i

i

ii v

u

xy

vu

UNu ;1001

; (10.2.11)


Antes de determinar a rigidez ao corte da viga equivalente, deve-se resolver o pórtico, submetido ao carregamento horizontal, para a obtenção dos deslocamentos horizontais dos diversos pavimentos. A rigidez ao corte é determinada com o auxílio da fig. 10.4.1.

Fn

Fn-1

Fi

Fi-1

F1

un

un-1

ui

ui-1

u1h1

hi-1

hi

hn-1

hn

ui-ui-1

γihiVi

Distorção médiado andar i

Fig. 10.4.1 – Carregamento e deslocamentos horizontais do pórtico

Na análise do pórtico, considera-se o carregamento constituído por uma força concentrada aplicada no nível de cada pavimento. Cada força é a resultante da carga distribuída na faixa de influência do pavimento. Resolvendo o pórtico para esse carregamento, obtêm-se os deslocamentos horizontais, como indicado na fig. 10.4.1. O esforço cortante em um andar genérico é dado por iV

∑=

=n

ijji FV (10.4.3)

onde é o número de andares. n A distorção média desse andar é dada por

i

iii h

uu 1−−=γ (10.4.4)


1 2q(z)

(Planta) x

y

Laje rígida noplano horizontal

q(z)1 2

z

(Elevação)

Parede Pórtico

Fig. 10.5.1 – Associação de pórtico com parede estrutural

A carga ( )zq é repartida para os dois painéis de contraventamento de forma que

( ) ( ) (zqzqzq 21 )+= (10.5.1) onde é a parcela da carga absorvida pela parede e ( )zq1 ( )zq2 é a parcela absorvida pelo pórtico. Em virtude da presença das lajes, esses dois painéis sofrem os mesmos deslocamentos segundo a direção )(zu x . Assim, as equações diferenciais para os dois painéis de contraventamento são dadas por

( )zqdz

udEI 14

4= (10.5.2)

( )zqdz

udKs 22

2=− (10.5.3)

onde EI é a rigidez à flexão da parede e é a rigidez ao corte do pórtico.

sK

Substituindo essas duas equações em (10.5.1), resulta a equação diferencial do sistema acoplado


-20 -10 0 10 20 300

10

20

30

40

50

60A

ltura

z (m

)

Carga (kN/m)

ParedePórtico

- +q1(z)

q2(z)

Fig. 10.5.2 – Forças nos painéis de contraventamento

Conforme se observa, os dois painéis ficam submetidos a um carregamento variável ao longo da altura, apesar de a carga externa aplicada ser uniforme. Isto mostra que o procedimento simplificado, apresentado na seção 10.2, é totalmente inadequado neste caso.

O comportamento do conjunto pode ser entendido analisando-se a fig. 10.4.3. O pórtico sozinho apresenta uma resposta similar àquela representada pela curva a. A resposta da parede sozinha é similar à curva b. As forças de interação fazem com que o conjunto apresente um comportamento intermediário.

Assim, tudo se passa como se o pórtico ficasse apoiado na parede. O pórtico fica tracionado em toda a sua metade inferior. Por outro lado, nessa região há um aumento das forças de compressão na parede.


deslocamentos dependem da ordenada , medida ao longo da altura do edifício.

z

Os deslocamentos e , nas direções iu iv x e , e a rotação y θ do painel são dados por

( ) ( )zz oi uNu = (10.6.1) onde

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

θi

i

i vu

zu ; ; (10.6.2) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1001001

i

ixy

N ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

o

o

o

o vu

zθ

u

Transformando os deslocamentos para o sistema de eixos locais rs − , resulta a relação

( ) ( )zz is uRu = (10.6.3) onde

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

θr

s

s uu

zu ; (10.6.4) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

ii

iiαααα

R

Substituindo (10.6.1) em (10.6.3), chega-se a

( ) zz os uNRu ( )= (10.6.5) que relaciona os deslocamentos no sistema local rs − com os deslocamentos da origem. De maneira análoga, podem-se transformar as cargas no painel por meio das relações

( ) ( )zz is qRq = (10.6.6) onde


análogo a um pilar engastado na base e livre no topo do edifício. A barra é dividida em uma série de elementos finitos, tomados ao longo da altura do edifício. O comprimento de cada elemento é igual à distância de piso a piso. Desse modo, os nós dos elementos finitos estarão situados nos níveis das lajes, como indicado na fig. 10.6.2.

l

u1 v1 θ1

u2 v2 θ2

1 1 1

2 2 2

u'1 v'1

u'2 v'2

θ'1

θ'2

uo(z) vo(z) θo(z)

z

l

Piso superior

Piso inferior

Fig. 10.6.2 – Elemento finito de barra com seis graus de liberdade por nó

Cada nó do elemento finito possui seis graus de liberdade: o deslocamento transversal na direção x e sua derivada ( )oo uu '; ; o deslocamento transversal na direção y e sua derivada

; a rotação em torno de e sua derivada ( oo vv '; ) z ( )oo '; θθ , conforme está indicado na fig. 10.6.2. Os deslocamentos ( )zuo , ( )zvo e ( )zoθ em uma posição entre duas lajes de piso são interpolados a partir dos valores nodais.

z

Observa-se que, em virtude da hipótese de comportamento rígido das lajes no plano horizontal, basta discretizar um pilar fictício


P1 P2 P3

P11

P10

P12

P7 P8

P4 P6

1,5 1,52,

01,

0

5,0 5,0

5,0

5,0

5,0

0,15

2,5

Fx

M

r0,

7

Unidade: m

c

1,32P5

2,5

1,5 1,5

P9 - 0,20x3,0

xy

Fig. 10.7.1 – Planta de formas da subestrutura de contraventamento

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APÊNDICE 1 Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal

(seções retangulares) As tabelas A1.1 a A1.32 destinam-se ao dimensionamento de seções retangulares sob flexo-compressão normal. Em cada tabela, encontra-se indicada a seção transversal com a correspondente disposição das barras da armadura. Para cada seção, são fornecidas as taxas mecânicas de armadura, ω , para quatro valores do parâmetro δ . As características geométricas de uma seção típica são apresentadas na fig. A1.1.

b

h

d'

d'

Nd

e

c

Fig. A1.1 - Seção retangular sob flexo-compressão normal

Para identificar a tabela a ser usada, deve-se calcular o parâmetro hd ′=δ e observar a disposição das barras indicada no topo da tabela. Os esforços solicitantes de cálculo são o esforço normal e o momento fletor dN eNM dd = , onde e é a excentricidade da força normal em relação ao centroide da seção de concreto.

Os parâmetros de entrada são os seguintes:

cd

dbh

Nσ

ν = ; cd

d

bhMσ

μ 2= , com cdcd f85,0=σ .

APÊNDICE 2 Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua

(seções retangulares) As tabelas A2.1 a A2.6 destinam-se ao dimensionamento de seções retangulares sob flexo-compressão oblíqua. Em cada tabela, encontra-se indicada a seção transversal com a disposição das barras da armadura. O número n de barras na seção também é indicado junto ao título da tabela. Uma seção típica é representada na fig. A2.1.

hy

d'y

hxd'x

ex

ey

Nd

y

x

Fig. A2.1 - Seção retangular sob flexo-compressão oblíqua

Os esforços solicitantes de cálculo são o esforço normal e os momentos fletores

dN

xdxd eNM = e ydyd eNM = , onde e

são as excentricidades da força normal em relação aos eixos de simetria da seção transversal.

xe

ye

Os parâmetros de entrada são os seguintes:

cdc

dA

Nσ

ν = ; cdxc

xdx hA

Mσ

μ = ; cdyc

ydy hA

Mσ

μ =

onde ; yxc hhA = cdcd f80,0=σ .

curso de concreto armado

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