Curso de An€lise de Fluxo de Caixa

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SUMÁRIO

1 PROGRESSÕES............................................................................................. 01 1.1 FÓRMULAS BÁSICAS.................................................................................. 01 1.1.1 Progressões aritméticas............................................................................. 01 1.1.2 Progressões geométricas........................................................................... 02 1.2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS.......................................................................... 02 2 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................... 03 2.1 CONCEITOS REFERENTES A JUROS........................................................ 03 2.2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS........................................................................... 06 3 O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA................................................................. 07 4 FLUXOS DE CAIXA......................................................................................... 08 5 CÁLCULO DE VALORES EQUIVALENTES................................................... 10 5.1 VALORES EQUIVALENTES A UM VALOR ÚNICO....................................... 10 5.2 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE DE VALORES.......................... 10 5.3 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE UNIFORME DE VALORES...... 10 5.4 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE GRADIENTE DE VALORES.... 11 5.5 EXERCÍCIOS SUGERIDOS.......................................................................... 13 6 FÓRMULAS, TABELAS E PLANILHAS.......................................................... 14 7 AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS................................................................ 15 7.1 O CONCEITO DE CUSTO DE OPORTUNIDADE......................................... 15 7.2 A RELAÇÃO BENEFÍCIO/CUSTO................................................................ 16 7.3 O VALOR ATUAL......................................................................................... 17 7.4 A TAXA INTERNA DE RETORNO................................................................ 18 7.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CRITÉRIOS DE RENTABILIDADE............ 18 7.6 COMPARAÇÕES ENTRE DUAS ALTERNATIVAS....................................... 20 7.7 ESCOLHAS DENTRE PACOTES DE ALTERNATIVAS................................ 21 8 FUNÇÕES DO EXCEL COMUMENTE EMPREGADAS EM MATEMÁTICA

FINANCEIRA................................................................................................... 24 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 27

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - FLUXO DE CAIXA DE RECEITAS E DISPÊNDIOS.......................... 08 TABELA 2 - FATORES E RESPECTIVAS FÓRMULAS....................................... 14 TABELA 3 - DADOS P/ ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS... 23 TABELA 4 - PACOTES DE ALTERNATIVAS ...................................................... 23

1

1 PROGRESSÕES

Em Matemática Financeira, trabalha-se usualmente com séries de valores.

Em diversos casos, essas séries de valores assumem configurações de séries regulares, com características de progressões aritméticas ou, mais comumente, de progressões geométricas.

Assim, para as determinações quantitativas freqüentemente necessárias a partir das séries de valores oriundas de estudos referentes à Matemática Financeira, é útil relembrar conceitos básicos das progressões mais comuns.

As progressões são séries de valores relacionados entre si, usualmente representadas na forma:

a1 : a2 : a3 : ...... : aN

onde:

an = termo de uma progressão, n ∈ {1, 2, ... N};

N = número de termos da progressão;

q = razão da progressão, que define a relação entre os termos.

Dependendo das relações entre os termos, pode-se definir as diferentes progressões:

- progressões aritméticas: q = an - an-1 ∀ 2 ≤ n ≤ N;

- progressões geométricas: q = an / an-1 ∀ 2 ≤ n ≤ N.

1.1 FÓRMULAS BÁSICAS

As operações mais elementares com séries de números em progressões aritméticas ou em progressões geométricas, nas quais são conhecidos o tipo de progressão, o valor do primeiro termo, o número de termos e a razão da progressão, envolvem a determinação do termo geral da série, do seu termo intermediário, e da soma dos termos.

1.1.1 Progressões aritméticas

Nas progressões aritméticas, podem ser definidas as seguintes relações fundamentais:

Termo geral:

a a n qn = + − ⋅1 1( ) [1]

Termo intermediário:

2

aa a

NN

+ =+

12

1

2 [2]

Soma dos termos:

Sa a

NNN=

+⋅1

2 [3]

1.1.2 Progressões geométricas

Nas progressões geométricas podem ser também definidas as mesmas relações fundamentais:

Termo geral:

a a qnn= ⋅ −

11 [4]

Termo intermediário:

a a aN N+ = ⋅12

1 [5]

Soma dos termos:

SN = a1 + a2 + ............. + aN

SN = a1 + a1.q + a1.q2 + ............. + a1.q

N-1

SN = a1 ( 1 + q + q2 + ............. + qN-1)

multiplicando essa expressão por q, resulta:

SN . q = a1 ( q + q2 + ............. + qN)

subtraindo dessa expressão a anterior, resulta:

SN (q-1) = a1 (qN - 1)

ou:

Sa q

qN

N

=⋅ −

−1 1

1

( ) [6]

1.2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS

a) O tráfego médio diário (TMD) duma rodovia, atualmente de 600 vpd (veículos por dia), cresce linearmente à taxa de 4% ao ano. Qual será o TMD estimado nessa rodovia para o ano 2007?

b) Se o TMD estimado para o ano 2007, no caso acima, fosse de 800 vpd, qual seria a taxa média anual de crescimento (linear) do tráfego?

c) Em ambos os casos, qual seria o número total estimado de veículos que passaria pela rodovia no período de 1998 a 2007 (inclusive)?

c) Responda às questões acima supondo agora que o crescimento do tráfego se dê não de forma linear, mas geométrica.

3

2 CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Em estudos referentes ao planejamento rodoviário, seja para fins de avaliações econômicas ou avaliações financeiras de empreendimentos, seja para a análise de resultados ou indicadores históricos de investimentos, é comum se lidar com valores financeiros relacionados a épocas ou períodos diferentes.

Para que esses valores, que ocorrem em tempos diferentes, possam ser corretamente operados e/ou comparados, é necessário aplicar adequadas técnicas de Matemática Financeira.

Para tanto, é útil uma rápida recapitulação dos conceitos básicos dessa disciplina.

2.1 CONCEITOS REFERENTES A JUROS

Embora bastante utilizado no dia-a-dia, nem sempre o conceito de Juro é corretamente considerado nas aplicações ou estudos. Há certas particularidades que devem ser conhecidas para que os princípios de Matemática Financeira possam ser adequadamente validados.

Os principais conceitos associados aos Juros são a seguir detalhados.

a) Definição:

"Juros são a remuneração do capital empregado em atividades produtivas".

A um capital (Principal) empregado durante um certo tempo (Período de Capitalização), é acrescido (Capitalizado) o valor correspondente aos Juros, formando o Montante.

Os Juros estão sempre associados a um período de referência: por exemplo, juros de 10 % ao ano (10 %a.a.), juros de 0,5 % ao mês (0,5 % a.m.), juros de 0,01 % ao dia (0,01 %a.d.).

b) Juros simples x juros compostos:

Dependendo dos valores sobre os quais incidem os juros, após um determinado tempo ou período de capitalização, têm-se conceitos diferentes de juros, que podem ser Juros Simples ou Juros Compostos.

Juros simples: quando somente o principal rende juros, após cada período de capitalização, ao longo da vida do investimento.

Juros compostos: quando, após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal, passando o montante a render juros.

No caso dos juros simples, tem-se o caso de uma progressão aritmética, e no caso dos juros compostos, trata-se do caso de uma progressão geométrica.

4

Representando por P o principal, por N o número de períodos de capitalização, por i os juros e por S o montante ao final do período de capitalização, tem-se:

No caso de juros simples: S = P (1+ n.i)

No caso de juros compostos: S = P (1 + i)n

Doravante, para fins de estudos, trataremos sempre de juros compostos, exceto quando expressamente indicado em contrário.

c) Taxa efetiva x taxa nominal:

Quando o período a que o juro está referido coincide com o período de capitalização, tem-se o caso de uma Taxa Efetiva de Juros.

Sendo, por exemplo, dados os seguintes parâmetros:

- valor do principal = $ 100,00 - taxa de juros = 12 % a.a. - período de capitalização = 1 ano.

Nesse caso, ao final do período de 1 ano, o valor do montante será dado por:

S = 100 (1 + 0,12)1 = 100 . 1,12 = $ 112,00

O valor dos juros nesse período é dado por:

J = 112,00 - 100,00 = $ 12,00. Observe-se que, ao longo de período, os juros realizados foram de $ 12,00 sobre os $ 100,00 aplicados, correspondendo a uma taxa efetiva de 12 % a.a..

Quando, no entanto, o período a que se refere o juro não coincide com o período de capitalização, tem-se o caso de uma Taxa Nominal de Juros.

Tomem-se agora, por exemplo, os seguintes dados:

- valor do principal = $ 100,00 - taxa de juros = 12 % a.a. - período de capitalização = 6 meses (período de capitalização semestral).

No presente caso, ao final do período de 1 ano, o valor do montante será diferente do anterior, e dado por:

J = 12 / 2 = 6 % a.s., capitalizados semestralmente;

portanto, ao final de 2 semestres,

S = 100 (1+ 0,06)2 = 100 . 1,1236 = $ 112,36

O valor dos juros nesse período foi de:

J = 112,36 - 100,00 = $ 12,36.

5

Observe-se que, neste último caso, uma taxa de juros nominal de 12,00 % a.a. foi equivalente a uma taxa efetiva de juros de 12,36 % a.a..

Chamando:

iN = taxa nominal de juros, referida ao período N; im = taxa de juros referida ao período m, sendo m = número de períodos de capitalização no tempo N ief = taxa efetiva de juros,

podemos escrever:

im = iN / m

e:

(1 + im)m = (1 + ief )

assim, a relação entre a taxa efetiva e a taxa nominal de juros pode ser expressa por:

( )1 1+ = +

iimefN

m

[7]

No exemplo anteriormente considerado, os cálculos pertinentes resultariam:

( )1 10 12

211236

2

+ = +

=ief

,,

logo,

ief = 0,1236 ≡ 12,36 % a.a.

d) Capitalização contínua:

Numa extensão do conceito de taxa efetiva de juros versus taxa nominal de juros, podemos introduzir o conceito de Capitalização Contínua, que ocorre quando os períodos de capitalização são muito pequenos.

Matematicamente, podemos representar essa situação a partir da equação [7], onde agora admitimos que o período N é muito grande em relação ao período de capitalização, resultando, portanto em valor de m muito grande (tendendo ao infinito).

A equação [7] pode ser transformada em:

( )1 11

+ = +

⋅

i con mi

i

N

miN N

chamando:

mi

kN

=

6

temos:

( )1 11

+ = +

⋅

ikcon

k iN

ou, explicitando:

ikcon

k iN

= +

−11

1

no caso de capitalização contínua, temos que tanto m quanto k são muito grandes, tendendo ao infinito, e portanto a equação acima resulta:

i Limkcon

k

k iN

= +

−→∞

11

1

como:

k

k

Limk

e→∞

+

=1

1

resulta:

i econiN= − 1 [8]

Por exemplo, a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal de 12 %a.a., capitalizados continuamente, seria de:

icon = e0,12 - 1

icon ≈ 12,75 % a.a. efetivos.

2.2 EXERCÍCIOS SUGERIDOS

a) A caderneta de poupança paga juros reais de 6 % a.a., e efetua mensalmente o depósito dos juros na conta. Desconsiderando a correção monetária, qual seria o valor do saldo em caderneta de um depósito de $ 100,00 após 1 ano? A taxa de 6 % a.a. anunciada é uma taxa efetiva ou nominal?

b) Se uma entidade financeira, objetivando atrair investidores, anunciar que remunerará investimentos pagando juros de 12 % a.a. sobre os valores investidos, com juros capitalizados diariamente, qual será o valor de um investimento de $ 100,00 ao cabo de 1 ano? E se a capitalização dos juros fosse feita a cada hora?

7

3 O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA

Dada a existência dos juros, não se pode comparar diretamente valores financeiros, quando estes não estão referidos à mesma época ou às mesmas datas de referência.

Uma questão clássica a esse respeito consiste em responder à pergunta:

- o que vale mais: R$ 1.000,00 hoje, ou R$ 1.080,00 daqui a 1 ano?

As respostas a essa questão são variadas, dependendo, inclusive, do regime inflacionário do ambiente em que se está situado.

Desconsiderando, por enquanto, a questão da inflação, que pode merecer, como se comentará mais adiante, adequado tratamento, pode-se refazer a pergunta, supondo agora uma moeda estável (ouro, ou dólar, por exemplo):

- o que vale mais: $ 1.000,00 hoje, ou $ 1.080,00 daqui a 1 ano?

Mesmo com moeda estável, não podemos comparar diretamente os valores, sem antes referí-los à mesma data.

A técnica adequada para a comparação entre valores que ocorrem em datas distintas, consiste em se estabelecer uma Data de Referência e em se determinar, para cada valor correspondente a determinada época, o seu Valor Equivalente na data de referência. E, para a determinação desse valor equivalente, é necessário considerar a remuneração do capital ao longo do tempo.

Ou seja, para comparação entre valores ocorrente em épocas distintas, tais valores devem ser referidos à mesma data de referência, considerando a adequada taxa de juros.

No caso da questão anteriormente colocada, poderemos comparar os valores se conhecermos a taxa de juros que remunera o capital, digamos, de 7,2 % a.a., capitalizados mensalmente.

Nessas condições, o juro efetivo a considerar será de:

ief = (1 + 0,072 / 12)12 - 1 = 0,07442 (ou 7,442 % a.a., efetivo)

O valor equivalente aos $ 1.000,00 de hoje, daqui a 1 ano, será:

1.000,00 (1+0,07442) = $ 1.074,42 (menor que $ 1.080,00 daqui a 1 ano).

Alternativamente, poder-se-ia calcular o valor atual (hoje) equivalente aos $ 1080,00 daqui a 1 ano:

1.080,00 / (1 + 0,07442) = $ 1.005,19 (maior que os atuais $ 1.000,00).

Financeiramente, nessas condições de juros, seria preferível contar com $ 1080,00 daqui a 1 ano.

Mas conceitualmente, o que interessa é entender que, para a taxa de juros considerada, o valor de $ 1.000,00 na data de hoje é equivalente ao valor de $ 1.074,42 daqui a 1 ano; da mesma forma, o valor de $ 1.080,00 daqui a 1 ano é equivalente a $ 1.005,19 na data de hoje.

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4 FLUXOS DE CAIXA

A consideração de valores ocorrentes em épocas diferentes e, portanto, a consideração de juros, de períodos e demais elementos que devem ser considerados nas comparações e/ou para os cálculos de valores equivalentes, fica facilitada se os representarmos em forma tabular ou em forma gráfica, constituindo os denominados Fluxos de Caixa.

Na representação dos fluxos de caixa em forma gráfica, são empregados diagramas, tais como o da figura abaixo, que consideram:

- em escala horizontal: os tempos, assinalando-se os períodos (inteiros) de capitalização;

-em escala vertical: os valores financeiros, simbolizados por setas, com a convenção:

. para cima (+) : entradas de dinheiro, ou recebimentos;

. para baixo (-) : saídas de dinheiro, ou pagamentos.

Representação gráfica de um Fluxo de Caixa

A representação de fluxos de caixa na forma tabular é tecnicamente equivalente, consistindo basicamente na apresentação (discriminada, se for o caso, segundo vários itens) dos valores financeiros, em correspondência com as respectivas datas de referência.

Por exemplo, na tabela 1 está apresentada parte de um fluxo de caixa, onde se discriminam valores anuais de receitas e de dispêndios pertinentes a um investimento.

TABELA 1 - FLUXO DE CAIXA DE RECEITAS E DISPÊNDIOS

Ano Receita Bruta (US$)

Custos Operacionais

(US$)

Tributos s/Receitas

(US$)

Aquisição de Direitos

(US$)

Contribuição Social (US$)

Imposto de Renda

(US$)

1 10.053.000,00 10.707.735,00 769.054,50 50.265,00 11.773,09 22.075,86 2 20.985.000,00 11.388.651,84 1.605.352,50 104.925,00 596.086,29 1.838.880,30 3 21.904.000,00 12.696.140,84 1.675.656,00 109.520,00 587.398,80 1.811.730,30 4 22.864.000,00 16.329.328,72 1.749.096,00 499.320,00 496.967,33 1.529.115,17 5 23.953.000,00 17.601.411,12 1.832.404,50 504.765,00 574.158,58 1.770.352,13 6 30.792.000,00 26.976.616,52 2.355.588,00 538.960,00 538.546,91 1.659.059,07 7 32.111.000,00 32.878.065,92 2.456.491,50 545.555,00 - - 8 33.426.000,00 31.513.474,34 2.557.089,00 552.130,00 - - 9 34.882.000,00 33.735.900,74 2.668.473,00 559.410,00 133.631,06 283.935,46 10 36.336.000,00 33.102.554,01 2.779.704,00 566.680,00 303.367,88 924.080,93 11 37.782.000,00 30.859.520,01 2.890.323,00 573.910,00 436.707,58 1.340.792,26 12 39.214.000,00 30.810.076,01 2.999.871,00 581.070,00 612.050,23 1.888.770,59

FONTE DOS DADOS BRUTOS: LEE, Shu Han (1996).

tempo 0 3 2 1 n

i = 6,00 % a.a.

100

100

10

10

15

9

Para o tratamento adequado dos fluxos de caixa, devem ser estabelecidos previamente as convenções e critérios a serem considerados quanto aos elementos que os constituem.

Assim, por exemplo, os valores que ocorrem dentro de um período de referência – por exemplo, no ano 9 do fluxo de caixa da tabela 1 – pode estar, em princípio, ocorrendo em qualquer dos dias do ano 9. Para validar os cálculos pertinentes ao fluxo de caixa, deve ser então estabelecida uma convenção adequada, considerando que todos os valores dentro de um período são considerados como ocorrentes no início do período (valores antecipados) ou no final do período (valores postecipados).

Da mesma forma, há que se estabelecer previamente os períodos de capitalização a serem considerados – se diários, mensais, anuais, ou outros períodos de interesse.

Nos casos em que é especificada uma taxa de juros, deve-se especificar a que tipo e condições de capitalização se refere a taxa de juros a considerar no fluxo de caixa.

Para maior facilidade e uniformidade de tratamento, será utilizada, doravante, a seguinte notação e convenções, exceto quando expressamente indicada em contrário:

i = taxa efetiva de juros; iN = taxa nominal de juros; m = período de capitalização dos juros; n = número de períodos de capitalização; P = principal ou valor atual do capital; S = montante ou valor do capital ao final de n períodos; R = série uniforme de pagamentos; G = série de pagamentos em Gradiente [G, 2G, 3G, ....(n-1)G].

Serão assumidos sempre juros compostos e efetivos, e a consideração de séries postecipadas, ou seja, com valores considerados como concentrados ao final de cada período de referência.

10

5 CÁLCULO DE VALORES EQUIVALENTES

Partindo do conceito de equivalência de valores e admitida a existência dos juros, pode-se desenvolver as expressões para cálculo dos valores equivalentes.

5.1 VALORES EQUIVALENTES A UM VALOR ÚNICO

Chamando o valor V0 , referido à data presente ou data zero, de Valor Presente ou Valor Atual, e denominando por Vn o valor referido ao final dos n períodos, pode-se determinar:

V PV

i)k

k0 1( )

(= =

+

V S V i)n kn k( ) (= = ⋅ + −1

5.2 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE DE VALORES

V PV

i

V

i

V

i

V

i

V

ik

kn

nn

n01 2

21

1( )(1 ) (1 )

.........(1 )

.........(1 ) (1 )

= =+

++

+ ++

+ ++

++

−−

V S V i V i V i V i Vnn n

kn k

n n( ) (1 ) (1 ) ....... (1 ) ....... (1 )= = ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + +− − −−1

12

21

5.3 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE UNIFORME DE VALORES

0 k 2 1 n-1

i % a.p.

R

n

R R R R

0 k 2 1 n-1

i % a.p.

Vk

n

0 k 2 1 n-1

i % a.p.

Vk

n

Vn Vn-1 V2 V1

11

Calculando primeiramente o Montante S:

V S R i R i R i R i Rnn n n k( ) (1 ) (1 ) ....... (1 ) ....... (1 )= = ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + +− − −1 2

[ ]V S R i i i inn n n k( ) (1 ) ) ....... (1 ) ....... (1 )= = ⋅ + + + + + + + + + +− − −1 21 1

e, aplicando a fórmula [6]:

S Ri)i

n

= ⋅+ −(1 1

O valor presente (valor atual) equivalente à série uniforme, na data zero, pode ser calculado simplesmente por:

PS

i)n=+(1

ou:

P Rii i

n

n= ⋅+ −

⋅+

(1 )

(1 )

1 1

5.4 VALORES EQUIVALENTES A UMA SÉRIE GRADIENTE DE VALORES

A série gradiente equivale à soma de (n-1) séries uniformes, com pagamentos de valor G, a primeira série começando no período 2, a segunda no período 3 e assim por diante.

Essas (n-1) séries e os respectivos montantes resultam:

1ª série: série uniforme de (n-1) pagamentos G

S Gi

i

n

1

1 1= ⋅

+ −−(1 )

0 3 2 1 n-1

i % a.p.

G

n

G G G

0 2 1 n-1

i % a.p.

n

(n-1)G

(n-2)G

2G

G

3

12

2ª série: série uniforme de (n-2) pagamentos G

S Gi

i

n

2

2 1= ⋅

+ −−(1 )

(n-1)ª série: série uniforme de 1 pagamento G

S Giin− = ⋅

+ −1

1 1(1 )

A soma dessas (n-1) séries será dada por:

S S kk

n

= ∑=

−

1

1

S Gi

ii

iii

n n

= ⋅+ −

++ −

+ ++ −

− −(1 ) (1 )......

(1 )1 2 11 1 1

[ ]SGi

i) i) i) nn n= ⋅ + + + + + + − −− −( ( . ......... ( ( )1 1 1 11 2

[ ]{ }SGi

i i nn n= ⋅ + + + + + −− −(1 ) (1 ) ..........1 2 1

observando que a expressão entre colchetes é dada por:

[ ](1 ) (1 ) ..........(1 )

+ + + + + =+ −− −i i

ii

n nn

1 2 11

resulta:

SGi

ii

nn

= ⋅+ −

−

(1 ) 1

ou:

S Gi

i

ni

n

= ⋅+ −

−

(1 ) 12

0 3 2 1 n-1

i % a.p.

G

n

G G

0 3 2 1 n-1

i % a.p.

n

G

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O valor presente ou valor atual da série gradiente, na data zero, será dado por:

PS

i)n=+(1

ou:

P Gi

i

ni i

n

n= ⋅+ −

−

⋅

+

(1 )

(1 )

1 12

5.5 EXERCÍCIOS SUGERIDOS

a) Qual o valor da série uniforme equivalente à série gradiente ? (sugestão: faça SU = SG).

b) Um equipamento pode ser adquirido à vista por $ 1.000.000,00 ou em 5 parcelas de $ 250.000,00 cada, sendo a primeira à vista e 4 parcelas mensais, totalizando $ 1.500.000,00. Considerando uma taxa de juros de 10% a.m. como representativa do valor do dinheiro no mercado, incluindo a inflação, qual seria a melhor opção de pagamento?

c) Uma entidade financeira empresta dinheiro nas seguintes condições de rosto:

- valor do empréstimo: $ 12 milhões;

- juros de 6 % sobre o valor do empréstimo, cobrados antecipadamente;

- pagamento do empréstimo em 6 parcelas semestrais, de $ 2 milhões cada, totalizando $ 12 milhões.

Quais os valores de juros semestrais e de juros mensais efetivos cobrados pelo empréstimo?

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6 FÓRMULAS, TABELAS E PLANILHAS

As fórmulas anteriormente vistas permitem que se proceda ao cálculo de quaisquer equivalências, permitindo, assim, transformar os mais diferentes fluxos de caixa em fluxos padronizados ou em fluxos mais simples, para fins de comparações ou avaliações.

Essas fórmulas podem, também ser empregadas para o cálculo de fatores multiplicadores, que podem ser tabelados, para fins de transformações e cálculos de equivalências em séries de valores com características regulares.

Atribuindo nomes apropriados para esses fatores1, pode-se resumí-los, juntamente com as devidas fórmulas, conforme exposto na tabela 2 adiante.

TABELA 2 – FATORES E RESPECTIVAS FÓRMULAS

PROBLEMA FÓRMULA FÓRMULA DE CÁLCULO DO FATOR

Dado P achar S S = P . FPS(i,n) ( )FPS i n i n( , ) = +1

Dado S achar P P = S . FSP(i,n) ( )

FSP i ni n( , ) =

+

1

1

Dado S achar R R = S . FSR(i,n) ( )

FSR ni

i n(i, ) =+ −1 1

Dado P achar R R = P . FPR(i,n) ( )( )

FPR ni i

i

n

n(i, ) =⋅ +

+ −

1

1 1

Dado R achar S S = R . FRS(i,n) ( )FRS n

ii

n

(i, ) =+ −1 1

Dado R achar P P = R . FRP(i,n) ( )( )

FRP ni

i i

n

n(i, ) =+ −

⋅ +

1 1

1

Dado G achar R R = G . FGR(i,n)

( )FGR i n

in

i n( , ) = −+ −

1

1 1

Dado G achar P P = G . FGP(i,n) FGP n

i

i

ni i

n

n(i, )(1 )

(1 )=

+ −−

⋅

+

1 12

1 Foi adotada, para fins de referência, a notação utilizada por PUCCINI (1973); essa notação não é padronizada, havendo outras, igualmente práticas, tais como a sugerida por FLEISHER (1973). Independentemente da notação, tais fatores são absolutamente equivalentes.

15

7 AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS

Em planejamento de rodovias, são freqüentes os casos em que há necessidade de se proceder à avaliação de diferentes alternativas de investimentos, seja para se proceder à escolha daquela ou daquelas julgadas mais interessantes, ou para se definir se é ou não justificável investir recursos financeiros na implementação de determinados projetos.

Também freqüentes, são os problemas associados com a análise de condições de financiamentos, ou de alternativas de financiamentos, para tomada de decisões quanto aos custos de aporte de recursos, ou quanto aos impactos sobre os custos de empreendimentos, sob diferentes hipóteses de financiamento.

São exemplos desses tipos de problemas as avaliações de viabilidade econômica comumente procedidas como exigências prévias das entidades de desenvolvimento para o financiamento de obras rodoviárias, e os estudos para fins de análise e/ou dimensionamento de processos de concessões de rodovias.

Em todos os casos, observadas as respectivas peculiaridades2, e considerados à parte os aspectos políticos e subjetivos, a avaliação de investimentos pode ser feita matematicamente, uma vez que sejam definidos ou conhecidos os fluxos de caixa dos valores resultantes desses investimentos.

Se nos fluxos de caixa estiverem definidos os custos (despesas ou saídas de recursos) e os recebimentos (receitas ou entradas de recursos), relacionados às respectivas épocas de ocorrência, é possível julgar se vale a pena efetuar os investimentos (ou, dependendo do caso, se vale a pena tomar os recursos) através de diferentes processos ou da obtenção de diferentes indicadores.

Os processos quantitativos, ou Critérios de Avaliação, e respectivos indicadores mais utilizados, são:

- a Relação Benefício/Custo (B/C); - o Valor Atual (VA); - a Taxa Interna de Retorno (TIR).

Embora absolutamente equivalentes e produzindo necessariamente os mesmos resultados, esses processos, chamados de Critérios de Rentabilidade, têm peculiaridades, vantagens e desvantagens inerentes a cada caso em particular.

7.1 O CONCEITO DE CUSTO DE OPORTUNIDADE

Em qualquer dos critérios de rentabilidade acima relacionados, a idéia básica é avaliar um investimento ou empreendimento através do seu fluxo de caixa, onde estejam discriminados os valores de ingressos e egressos, adequadamente relacionados às respectivas épocas de ocorrência.

2 São exemplos de cuidados peculiares à natureza de cada estudo, a consideração de preços e valores econômicos (excluídos os impostos) nos casos de avaliações econômicas de investimentos em obras rodoviárias a cargo do poder público, e a consideração de preços e valores financeiros (incluídos os impostos) nos casos de estudos de análise e dimensionamento de concessões de rodovias ou de empreendimentos executados pela iniciativa privada.

16

Mas, para que se possa trabalhar com os valores desse fluxo de caixa, calculando os valores equivalentes para fins de comparações, é necessário conhecer qual a taxa de juros a ser considerada nos cálculos.

Essa taxa de juros, quando se procede a avaliações por critérios de rentabilidade, é o que se denomina de Custo de Oportunidade do Capital (COC), e o entendimento do seu significado é fundamental para a compreensão da inteligência que existe por trás desses processos de avaliação, e que valida a aplicação dos respectivos indicadores resultantes.

Talvez a forma mais simples e abrangente de definir o custo de oportunidade do capital seja dizer que ele representa o rendimento que se obteria no melhor investimento alternativo.

Considerando o caso de se estar analisando o interesse em se investir num determinado empreendimento, o fluxo de caixa correspondente deverá considerar, como custo de oportunidade do capital, uma taxa de juros equivalente à do rendimento que esse capital teria se não fosse aplicado no empreendimento sob análise, caso em que deveria ser logicamente aplicado num investimento alternativo, onde propiciasse o melhor resultado financeiro.

Essa é a idéia sempre embutida nos processos de avaliação: um empreendimento ou investimento nunca é considerado de forma isolada, mas sempre de forma comparativa, seja com outros empreendimentos ou com investimentos hipotéticos representados pela consideração do custo de oportunidade do capital.

7.2 A RELAÇÃO BENEFÍCIO/CUSTO

Por definição, a Relação Benefício/Custo (ou relação B/C) consiste no quociente entre o valor dos benefícios resultantes de um empreendimento e o valor dos respectivos custos.

É um índice ou indicador adimensional, cujo valor é interpretado da seguinte forma:

• B/C < 1 : inviável (benefícios menores que os custos); • B/C = 1 : indiferente (benefícios iguais aos custos); • B/C > 1 : viável (benefícios maiores que os custos).

É claro que o valor dos benefícios (B) a ser considerado deve ser o valor equivalente de todos os benefícios que figuram no fluxo de caixa, referido a uma certa data (data ou período de referência), em geral a data 0 (zero), ao qual deve ser também referido o valor dos custos (C), que deve ser, por sua vez, equivalente às diversas parcelas de custos que figuram no fluxo de caixa.

17

≡≡

No fluxo de caixa representado na figura, se fixarmos a data zero como data de referência, os valores de bi e de ci são "trazidos" para a data de referência 0, isto é, calcula-se a soma dos valores atuais dos benefícios na data 0 (B0), e a soma dos valores atuais dos custos na data 0 (C0).

Com os valores de benefícios e de custos ( B0 e C0 ) referidos à mesma data, pode ser feita a comparação desejada, ou seja, pode-se calcular a relação B0/C0:

i = COC

C c ci)

ci)

ci)n n0 0 1 2 2

11

1

1

1

1= + ⋅

++ ⋅

++ + ⋅

+( (... .....

(

B b bi

bi

bin n0 0 1 2 2

1 1 1= + ⋅

++ ⋅

++ + ⋅

+(1 ) (1 )........

(1 )

Relação B/C = B0 / C0

7.3 O VALOR ATUAL

Outra forma de estudar a viabilidade (ou não) de um investimento ou empreendimento é, ao invés de analisar o quociente entre o benefício total referido a uma certa data e o custo total referido à mesma data, analisar simplesmente a diferença entre esses valores.

Comumente, se escolhe a data zero como data de referência, sendo os valores de benefícios totais e de custos totais referidos a essa data os respectivos valores atuais de benefícios e de custos, e a diferença entre esses valores denominada simplesmente de Valor Atual (VA).

No caso genérico representado na figura e equações do item 7.2 anterior, o Valor Atual seria dado por: VA = B0 - C0 , onde o custo de oportunidade do capital está considerado no cálculo dos valores atuais de benefícios (B0) e de custos (C0).

0 3 2 1 n

i = COC

b1

c2

b2

c3

b3 bn

cn

c1

0 1 n

B0

C0

i = COC

18

O Valor Atual, expresso em unidades monetárias, é interpretado da seguinte forma:

• VA < 0 : inviável (benefícios menores que os custos); • VA = 0 : indiferente (benefícios iguais aos custos); • VA > 0 : viável (benefícios maiores que os custos).

7.4 A TAXA INTERNA DE RETORNO

Uma terceira forma de avaliar a viabilidade (ou não) de um investimento ou empreendimento, através de seu fluxo de caixa, é calcular a taxa de juros para a qual os valores equivalentes de benefícios são iguais aos valores equivalentes dos custos, e que é denominada de Taxa Interna de Retorno (TIR).

Em termos mais simples, o processo consistiria em se determinar a taxa de juros para a qual o Valor Atual se anula ou para a qual a Relação B/C se torna unitária (B0 - C0 = 0 ou B0/C0 = 1).

Como o cálculo dos valores atuais de benefícios e de custos, em função da taxa de juros i, envolve polinômios em i de ordem n, há em tese n raízes3, ou seja, n valores de taxa de juros i que satisfazem a condição B0 - C0 = 0 ou B0/C0 = 1.

Na prática, toma-se a primeira raiz positiva, ou seja, a mais próxima de zero, como valor representativo da taxa interna de retorno, sendo o resultado interpretado comparativamente com o custo de oportunidade de capital da seguinte forma:

• TIR < COC : inviável (o investimento alternativo tem melhor rentabilidade); • TIR = COC : indiferente (o investimento alternativo tem a mesma rentabilidade); • TRI > COC : viável (o empreendimento tem rentabilidade superior à do melhor

investimento alternativo).

7.5 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CRITÉRIOS DE RENTABILIDADE

Os 3 métodos de avaliação por critério de rentabilidade vistos — a relação B/C, o VA e a TIR — são absolutamente equivalentes.

Caso um investimento resulte viável, inviável ou indiferente segundo um dos métodos, os demais métodos deverão indicar necessariamente a mesma condição.

Da mesma forma, se um conjunto (pacote) de alternativas de investimentos resultar o mais vantajoso segundo um dos métodos, os demais métodos deverão apontar idêntico resultado.

3 Esse é o motivo pelo qual, para o cálculo da TIR através de planilhas eletrônicas, os comandos demandam a indicação de um valor inicial ou "semente".

19

Para isso, no entanto, há cuidados especiais a serem observados para que os métodos não resultem em distorções que possam conduzir a interpretações errôneas dos resultados oferecidos.

Na análise de investimentos isolados, bastaria calcular um dos indicadores de rentabilidade (B/C, VA ou TIR) para inferências a respeito do empreendimento; na prática, pela facilidade de cálculo e pela maior riqueza de interpretação possibilitada, costuma-se calcular os 3 indicadores.

Para ilustrar o procedimento, considere-se o caso hipotético e simplificado de um investimento no melhoramento de uma estrada, com os seguintes dados e condições, conforme fluxo de caixa ilustrado na figura a seguir:

- custo dos investimentos no melhoramento igual a $ 300 na data 0; - benefícios líquidos anuais decorrentes dos investimentos iguais a $ 100; - custos anuais para manutenção do empreendimento iguais a $ 10; - vida útil dos melhoramentos de 5 anos; - custo de oportunidade do capital = 12 % a.a.

Os valores atuais de custos e de benefícios, referidos à data zero, serão:

B0 = $ 360,48 e C0 = $ 336,05 (verifique). E os indicadores de rentabilidade resultam:

B0/C0 = 360,48 / 336,05 = 1,07 B0 - C0 = 360,48 - 336,05 = $ 24,43 TIR = 15,24 % Observe-se que, como esperado, todos os indicadores apontaram para a

viabilidade do empreendimento.

É curioso, no entanto, observar que dependendo dos critérios que se utilizem para considerar o que seja benefício ou custo, podem resultar valores numericamente diferentes para a relação B/C.

Se, por exemplo, os custos de manutenção (de $ 10/ano) forem considerados não propriamente como custos, mas como "benefícios negativos", isto é, como parcelas que devem ser deduzidas dos benefícios anuais para que se possa obter os benefícios líquidos a cada ano, o fluxo de caixa anteriormente ilustrado passaria a ter a configuração mostrada na figura a seguir.

$ 300

$ 100 $ 100 $ 100 $ 100 $ 100

$ 10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10

0 1 5 4 3 2

COC = 12 % a.a.

20

Nesta configuração, os valores atuais de custos e de benefícios, referidos à data zero, serão agora:

B0 = $ 324,43 e C0 = $ 300,00 (verifique) B0/C0 = 1,08 B0 - C0 = $ 324,43 - $ 300,00 = $ 24,43 TIR = 15,24 %.

Observe-se que o VA e a TIR não foram alterados, apesar da mudança no valor da relação B/C; observe-se também que, apesar da mudança no valor da relação B/C, o indicador continuou a apontar a viabilidade do empreendimento.

Este é, a rigor, o "defeito" deste índice de rentabilidade, em que pese o fato de que não altera o julgamento quanto à viabilidade ou não do empreendimento.

Outros cuidados devem ser também observados quando da utilização desses índices, conforme se tratará adiante.

7.6 COMPARAÇÕES ENTRE DUAS ALTERNATIVAS

As comparações entre alternativas de investimentos devem ser feitas com certos cuidados, principalmente quando são utilizados, como elementos de decisão, os indicadores resultantes da relação Benefício/Custo, ou a Taxa Interna de Retorno, que é utilizada com muita freqüência, nos casos práticos.

Tomem-se, por exemplo, 2 investimentos hipotéticos, simplificados para fins ilustrativos, com valores de investimentos e de retornos indicados na figura abaixo, num ambiente em que o custo de oportunidade do capital seja de 6 % a.a..

$ 300

$ 90 $ 90 $ 90 $ 90 $ 90

0 1 5 4 3 2

COC = 12 % a.a.

0 1

$ 1.000

$ 1.120

COC = 6 %a.a.

Investimento A

0 1

$ 600

$ 690

COC = 6 %a.a.

Investimento B

21

O investimento A resultaria viável, com os seguintes indicadores (verifique):

- B0/C0 = 1,06; - TIR = 12,0 % a.a.

Da mesma forma, o investimento B resultaria viável, com os seguintes indicadores (verifique):

- B0/C0 = 1,08; - TIR = 15,0 % a.a.

Qual a melhor alternativa de investimento?

Tanto a relação B/C como a taxa interna de retorno correspondentes à alternativa B resultaram melhores do que os correspondentes à alternativa A, o que poderia induzir o analista a decidir-se por investir na alternativa B.

Há, no entanto, uma importante consideração a ser feita: caso se decida investir na alternativa B, aparentemente a melhor, o que se fará com o saldo remanescente, de recursos, que montam a $ 1.000 - $ 600 = $ 400 ?

Esse saldo, que não é investido nos empreendimentos em análise, deverá ser investido no melhor investimento alternativo, que rende o equivalente ao custo de oportunidade do capital, no caso, 6 % a.a..

Assim, investir na alternativa B equivale a 2 investimentos:

- de $ 600, com rendimento (TIR) de 15,0 % a.a., e - de $ 400, com rendimento (COC) de 6,0 % a.a..

Já o fluxo de caixa do investimento na alternativa A pode ser decomposto, considerando-se a diferença dos fluxos de caixa das alternativas A e B, em:

Fluxo A = Fluxo [ B ] + Fluxo [ A - B ]

Representando o fluxo de caixa correspondente à diferença [ A - B ]:

– =

O fluxo de caixa [ A - B ] é equivalente a um investimento de $ 400, com TIR de 7,5 % a.a. (verifique).

Assim, investir na alternativa A equivale a 2 investimentos:

- de $ 600, com rendimento de 15 % a.a. (igual ao investimento B), e - de $ 400, com rendimento de 7,5 % a.a. (igual ao fluxo A - B).

0 1

$ 1.000

$ 1.120

COC = 6 %a.a.

Investimento A

0 1

$ 600

$ 690

COC = 6 %a.a.

Investimento B

0 1

$ 400

$ 430

COC = 6 %a.a.

Investimento A - B

22

Percebe-se que a alternativa A é superior à alternativa B, devendo ser, portanto, a escolhida, embora os indicadores da alternativa B tenham resultado, isoladamente, melhores.

Chegar-se-ia à mesma conclusão caso o indicador de viabilidade escolhido fosse a relação Benefício/Custo ao invés da Taxa Interna de Retorno; o procedimento para se efetuar a comparação é praticamente o mesmo, deixando-se como exercício ao leitor a verificação quantitativa pertinente.

7.7 ESCOLHAS DENTRE PACOTES DE ALTERNATIVAS

Quando ao invés de apenas 2 alternativas mutuamente exclusivas estão envolvidas várias alternativas, que podem compor diferentes elencos de investimentos, com recursos limitados e não suficientes para atendimento a todas as alternativas simultaneamente, tem-se o clássico problema de definição do melhor pacote de investimentos a executar com os escassos recursos disponíveis.

O problema pode ser resolvido, com resultados absolutamente equivalentes, de formas diferentes, tais como:

I - estudando os diversos pacotes, ou combinações de alternativas, em ordem crescente de valor total de investimento, através do processo de comparação visto acima, e selecionando o mais vantajoso (o que é razoavelmente complicado); ou,

II - relacionando os diversos pacotes e calculando os respectivos Valores Atuais (VA), selecionando que corresponder ao maior Valor Atual.

Esta segunda forma é de aplicação bem mais simples, e resultará, como anteriormente afirmado, em conclusões matematicamente equivalentes. No caso do exemplo anteriormente visto, por exemplo, bastaria calcular e comparar os Valores Atuais dos respectivos fluxos de caixa A e B, que resultariam:

- VAA = B0 - C0 = $ 56,60; - VAB = B0 - C0 = $ 50,94;

Portanto, a alternativa de investimento A resultaria mais vantajosa do que a alternativa de investimento B, como anteriormente demonstrado.

Um exemplo que evidencia a praticidade da análise de pacotes de alternativas de investimento através da consideração do Valor Atual é o formulado por Fleischer (1973), que sugere as 3 alternativas resumidas na tabela 3 adiante.

23

TABELA 3 – DADOS PARA ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ALTERNATIVA INVESTIMENTO BENEFÍCIOS TIR VA0

(1) B/C(1) DE NO ANO 0 ANUAIS (10a)

INVESTIMENTO ($) (%) ($) ($)

A 10.000 1.628 10 1.982 1,20 B 20.000 3.116 9 2.934 1,15 C 50.000 7.450 8 4.832 1,10

(1) Considerou-se um Custo de Oportunidade do Capital de 6 % a.a.. FONTE: Fleischer, 1973, p. 66 - 69.

A partir desses dados, pode-se estudar qual seria o pacote de alternativas de investimento mais interessante, caso houvesse disponibilidade de recursos de $ 75.000 para investir, a um Custo de Oportunidade do Capital de 6 % a.a..

Relacionando diversos pacotes de alternativas de investimento que se poderiam montar combinando as alternativas dadas, com os respectivos Valores Atuais, chegar-se-ia aos valores da tabela 4 abaixo.

TABELA 4 – PACOTES DE ALTERNATIVAS

PACOTE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

VALOR INVESTIMENTO

VALOR ATUAL

OBSERVAÇÕES

I Não fazer nada $ 0 $ 0 II Somente investimento A $ 10.000 $ 1.982 III Somente investimento B $ 20.000 $ 2.934 IV Somente investimento C $ 50.000 $ 4.832 V Investimentos A + B $ 30.000 $ 4.916 VI Investimentos A + C $ 60.000 $ 6.814 VII Investimentos B + C $ 70.000 $ 7.776 VIII Investimentos A + B + C $ 80.000 $ 9.748 Inviável

A partir desses valores, pode-se facilmente estudar as alternativas mais vantajosas para diferentes considerações.

Assim, por exemplo, caso as alternativas fossem equivalentes e mutuamente exclusivas sob o ponto de vista técnico, seria mais interessante investir na alternativa C (pacote IV); caso as alternativas não fossem mutuamente exclusivas, o pacote mais interessante seria o VII, ao qual corresponderia o maior Valor Presente (o pacote VIII compreende investimentos que superam a capacidade de investir, limitada a $ 75.000).

Pode-se verificar que se chegaria a essas mesmas conclusões adotando-se o processo de comparar os pacotes através dos outros indicadores (TIR e/ou B/C), mas a extensão dos cálculos pertinentes torna desaconselhável seu uso.

24

8 FUNÇÕES DO EXCEL COMUMENTE EMPREGADAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA

VP ( taxa ; núm_períodos ; pag_uniforme ; Valor_Futuro ; Tipo ) = Valor Presente equivalente VF ( taxa ; núm_períodos ; pag_uniforme ; Valor_Presente ; Tipo ) = Valor Futuro equivalente VPL ( taxa ; valores_1 ; valores_2 ; .......) = Valor Presente Líquido de fluxos de valores TIR ( valores ; estimativa ) = Taxa Interna de Retorno MTIR ( valores ; taxa_segurança ; taxa_de_risco ) = Taxa Interna de Retorno Modificada. VP ( t ; n ; R ; F ; Tipo )

Valor Presente (data 0) equivalente a um fluxo uniforme de n pagamentos de valor R, considerando a taxa de desconto t;

Opcional: existência de um valor futuro F, na data n, equivalente a um pagamento ou a um saldo remanescente;

Opcional: consideração de Tipo = 0 (défault) para fluxos postecipados; e Tipo = 1 para fluxos antecipados.

VP ( 12% ; 5 ; - 60 ) = 216,29

VP ( 0,12 ; 5 ; - 60 ; 100 ) = 159,54

VF ( t ; n ; R ; P ; Tipo ) Valor Futuro (data n) equivalente a um fluxo uniforme de n pagamentos de valor R,

considerando a taxa de desconto t; Opcional: existência de um valor presente P, na data 0, equivalente a um valor ou saldo inicial ou

a um pagamento inicial; Opcional: consideração de Tipo = 0 (défault) para fluxos postecipados; e

Tipo = 1 para fluxos antecipados.

VF ( 0,12 ; 5 ; - 60 ) = 381,17

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

60

VP

VP

VF

t = 12 % a.p.

t = 12 % a.p.

t = 12 % a.p.

100

25

VF ( 12% ; 5 ; - 60 ; - 100 ) = 557,41

VPL ( t ; valores_1 ; valores_2 ; ....... ) Valor Presente Líquido (data 0) equivalente a séries ou fluxos de valores.

A B

2 - 60 3 - 70 4 - 80 5 - 90 6 - 100

TIR ( valores ; estimativa ) Taxa Interna de Retorno de um fluxo de valores;

valores: bloco com fluxo de valores a avaliar; estimativa: valor estimado para semente (proporção ou % ).

B C D

5 - 100 6 20 7 30 8 40 9 50

0 1 2 3 4 5

60 60 60 60 60

VF

t = 12 % a.p.

100

60 70

80 90

100 t = 12 % a.p.

0 1 2 3 4 5

100

20

30

40

50

t = 12 % a.p.

0 1 2 3 4

VPL(12%;A2:A6) = - 280,26 VPL(0,12;A2:A3;-80;A5:A6)= - 280,26

TIR ( C5:C9 ; 10% ) = 12,826% TIR ( C5:C9 ; 0,2 ) = 12,826%

26

MTIR ( valores ; taxa_segurança ; taxa_de_risco )

A B C D =(B + C)

11 0 - 100 0 - 100 12 1 - 100 0 - 100 13 2 80 80 14 3 80 80 15 4 80 80 16 5 80 80

FONTE: Casarotto Filho (1994) Taxa Interna de Retorno Modificada: equivale a considerar um fluxo em que os dispêndios são

atualizados ao Custo de Oportunidade do Capital (taxa de segurança, no caso = 10 % a.p.), ao passo que os recebimentos são aplicados a uma taxa de risco, por exemplo, de 12 % a.p..

Nesse caso, o fluxo de caixa da figura acima pode se representado pelos respectivos valores

equivalentes de dispêndios, atualizados para a data 0 mediante a aplicação da taxa de segurança, e de recebimentos, capitalizados para a data 5 mediante a aplicação da taxa de risco, resultando na configuração representada abaixo.

Este fluxo equivale a um investimento com taxa interna de retorno ( i ) que pode ser calculada por:

190,91 . (1 + i)5 = 382,35 ou:

i a p= − = ≡382 35190 91

1 0 1490 14 90%5,,

, , . .

O mesmo resultado pode ser obtido pela função MTIR:

MTIR(D11:D16;10%;12%) = 14,90 %.

100

80

80

80

80

C.O.C. = 10 % a.p.

0 1 2 3 4 5

100

VA

TIR (B11:C16 ; 10%) = 17,46 % (VA ) = - 100 + VPL(0,1;D12:D16) = 39,63

1 3 2 0 5 4

1,12^5*VPL(0,12;C12:C16) = 382,35

- 100 + VPL(0,1 ; B12) = - 190,91

27

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1 CASAROTTO FILHO, Nelson et KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos. São Paulo : Editora Atlas S/A, 1994. 448 p.

2 FLEISCHER, Gerald A. Teoria da aplicação do capital : um estudo das decisões de investimento. São Paulo : Ed. Edgar Blücher Ltda., 1973. Trad. por SANTORO, Miguel Cezar. 272 p.

3 PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira e análise de investimentos. Rio de Janeiro : Forum Editora Ltda., 1973. 203 p.

4 MISHAN, E.J. Análise de custos-benefícios : uma introdução informal. Rio de Janeiro : ZAHAR Editores, 1976. 488 p. Trad. por JUNGMANN, Ruy.

5 _____. Elementos de análise de custos-benefícios. Rio de Janeiro : ZAHAR Editores, 1975. 203 p. Trad. por GARSCHAGEN, Donaldson M.

6 De FARO, Clóvis J. Daudt. Matemática financeira. Rio de Janeiro : APEC Editôra [sic] S/A, 1970. 4. ed., 440 p.

7 LEE, Shu Han. Concessão de rodovias à iniciativa privada : critérios para limitação de tarifas em processos de licitação. Florianópolis, 1996. Dissertação (Mestrado em Infra-Estrutura e Gerência Viária) – Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Catarina. 196 p.

8 MELLO, José Carlos. Planejamento dos transportes. São Paulo : McGraw-Hill do Brasil, 1975. 192 p.

9 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – UFPR. Biblioteca Central. Normas para apresentação de trabalhos. 5. ed. Curitiba : Ed. da UFPR, 1995. 8v. : il.