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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

RODRIGO FERNANDES

CRITÉRIOS NORMATIVOS SOBRE A INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO Aw/Af E ESBELTEZ DE ALMA NO CÁLCULO DA

RESISTÊNCIA À FLEXÃO DE VIGAS ESBELTAS EM ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE AÇO.

Goiânia

2008

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

RODRIGO FERNANDES



Dissertação de mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás (UFG) para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Concentração: Estruturas Orientador: Prof. Dr. Orlando Ferreira Gomes, EEC/UFG. Co-orientador: Prof. Dr. Edgar Bacarji, EEC/UFG.

Goiânia

2008

RODRIGO FERNANDES



Dissertação defendida no Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás (UFG) para obtenção do grau de Mestre, aprovada em _____de______________de________, pela Banca Examinadora constituída pelos seguintes professores:

Prof. Dr. Orlando Ferreira Gomes, EEC/UFG. Orientador

Prof. Dr. Edgar Bacarji, EEC/UFG. Co-orientador

Prof. Dr. André B. Geyer, EEC/UFG. Examinador Interno

Prof. Dr. João Alberto Venegas Requena, FEC/UNICAMP. Examinador Externo

Dedico este trabalho a meu pai, de quem

segui o caminho na engenharia, Jaci Fernandes

Sobrinho, Engenheiro Eletricista, ex professor da

Escola de Engenharia Elétrica da UFG, e também ao

meu professor e orientador, Dr. Orlando Ferreira

Gomes.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por tudo. A meu pai, minha mãe, meus irmãos, meu sobrinho, aos

parentes e amigos, pelo incentivo. Aos professores Dr. Orlando Ferreira Gomes e Dr. Edgar

Bacarji, pela orientação. Agradeço também à Escola de Engenharia Civil da UFG e a todos os

meus professores do Curso de Mestrado, que contribuíram para a minha formação. Faço

também um agradecimento ao engenheiro civil Dr. Fausto Antônio Muñoz Muniz, que me

recebeu prontamente em seu escritório de projeto e cálculo estrutural de pontes em Belo

Horizonte, esclareceu minhas dúvidas e contribuiu para a realização desta dissertação.

RESUMO

Neste trabalho é feita uma análise teórica sobre o comportamento de vigas

esbeltas. Uma viga esbelta foi dimensionada com base nos critérios da norma americana

Manual of Steel Construction – Load and Resistance Factor Design (AISC, 1994), e depois

verificada pela norma brasileira NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço de

edifícios (método dos estados limites) (ABNT, 1986), pelo projeto de revisão da norma

brasileira Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço e de

estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), pelo projeto de revisão da norma

brasileira Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas

de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007) e pela norma européia Eurocode 3: Design of

steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings (CEN, 1992). PFEIL (1989)

dimensionou uma viga esbelta utilizando a norma brasileira NBR 8800/86. As dimensões

calculadas foram verificadas pelas normas citadas. NARAYANAN (1992 apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992) dimensionou uma viga esbelta utilizando a norma britânica

BS 5950: Structural use of steelwork in building. Part 1: Code of practice for design in simple

and continuous construction: hot rolled sections (BSI, 1990), a qual foi também verificada

pelas normas citadas. Também foram consideradas análises teóricas relativas ao cálculo de

vigas esbeltas apresentadas por diversos autores. O objetivo principal é avaliar os critérios

utilizados pelas normas para o cálculo de vigas esbeltas. A partir dos resultados obtidos, para

as vigas analisadas, pelas normas e pelas teorias existentes, foi feita uma análise comparativa

entre os critérios utilizados pelas normas. A conclusão a que se pôde chegar é que a norma

brasileira e seus projetos de revisão apresentam critérios idênticos aos da norma americana

para o cálculo de vigas esbeltas. A norma européia apresenta critérios um pouco diferenciados

dos critérios da norma americana, mas fornecem resultados aproximados entre si. As teorias

utilizadas também forneceram resultados aproximados dos resultados obtidos pelas normas.

Palavras-chave: vigas esbeltas; esbeltez de alma; parâmetros de esbeltez;

flambagem local.

ABSTRACT

This work contains a theoretical analysis of the behavior of plate girders. A plate

girder has been calculated based on the criteria of the American standard “Manual of Steel

Construction – Load and Resistance Factor Design” (AISC, 1994), and checked by the

Brazilian standard “NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método

dos estados limites)” (ABNT, 1986), the revision project of the Brazilian standard “Projeto de

Revisão da NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-

concreto de edifícios” (ABNT, 2003), the revision project of the Brazilian standard “Projeto

de Revisão da NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto

de edifícios” (ABNT, 2007) and the European standard “Eurocode 3: Design of steel

structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings” (CEN, 1992). PFEIL (1989) has

calculated a plate girder by using the Brazilian standard NBR 8800/86. The calculated

dimension have been checked by the mentioned standards. NARAYANAN (1992 apud

OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) has dimensioned a plate girder by using the

British standard “BS 5950: Structural use of steelwork in building. Part 1: Code of practice

for design in simple and continuous construction: hot rolled sections” (BSI, 1990), which has

also been checked by the mentioned standards. Furthermore, theoretical analyses related to

the calculus of plate girders presented by many authors have been considered. The main goal

is to assess the criteria utilized by the standards for the calculus of plate girders. From the

obtained results, for the checked girders, by the standards and related theories, a comparative

analysis among the utilized criteria by the standards has been made. The reached conclusion is

that the Brazilian standard and its revision projects has identical criteria compared to the

American standard for the calculus of plate girders. The European standard presents slightly

different criteria compared to the American standard; however, both provide close results one

compared to another. The theories utilized have also provided close results from those

obtained by the standards.

Keywords: plate girders; web slenderness; slenderness ratio; local buckling.

LISTA DE FIGURAS Figura 1.2.1 Perfis Soldados em alma cheia ............................................................ 39 Figura 1.2.2 Viga de Rolamento em Edifícios Industriais ....................................... 39 Figura 1.2.3 Carregamento móvel indica a necessidade de verificação de

flambagem da alma sob carga concentrada ......................................... 40 Figura 1.2.4 Esquema de Ponte Mista Rodoviária, segundo a AASHTO (1983) ... 40 Figura 1.2.5 Ponte com tabuleiro de aço – ortotrópico ............................................ 41 Figura 1.2.6 Esquema de ponte ferroviária .............................................................. 42 Figura 1.2.7 Esquema de ponte ferroviária/mista .................................................... 42 Figura 1.2.8 (RMG Engenharia, 2006) – Fotografias aéreas do viaduto de

Anápolis – Goiás, em fase de construção ............................................ 43 Figura 1.2.9 (RMG Engenharia, 2006) – Planta geral do anel externo do viaduto . 44 Figura 1.2.10 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de um dos vãos do viaduto .......... 45 Figura 1.2.11 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação do vão ..................................... 46 Figura 1.2.12 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no apoio .. 46 Figura 1.2.13 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da vista lateral e cortes da

unidade III da viga metálica esbelta .................................................... 47 Figura 1.2.14 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho com cotas das seções

transversais das vigas esbeltas metálicas ............................................ 48 Figura 1.2.15 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no meio

do vão e detalhamento das ligações da treliça nas vigas ..................... 48 Figura 1.2.16 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 1 .................. 49 Figura 1.2.17 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 2 .................. 50 Figura 1.2.18 (RMG Engenharia, 2006) – Projeto do contraventamento horizontal

no vão, elevação e cortes ..................................................................... 51 Figura 1.2.19 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação da viga referente à unidade II e

cortes longitudinais ............................................................................. 51 Figura 1.2.20 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de detalhamento do

contraventamento horizontal da unidade II no vão ............................. 52 Figura 1.2.21 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal das vigas

esbeltas do viaduto, cotada em milímetros .......................................... 52 Figura 1.2.22 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho das bases de neoprene ............. 53 Figura 3.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Gráfico da resistência nominal de

momento versus o parâmetro de esbeltez ............................................ 56 Figura 3.1.2 (DERANI, 2000) – Elementos para o cálculo do módulo plástico de

seções I ................................................................................................ 59 Figura 3.2.1 (Eurocode 3 – figura 5.6.1) – Geometria do campo de tração ............ 89 Figura 3.3.1.1 (JUHÁS, 2001) – Esquema e parâmetros da viga esbelta .................. 93 Figura 3.3.1.2 (JUHÁS, 2001) – Tensão normal de flexão e cisalhante assumidas

na seção transversal. ............................................................................ 95 Figura 3.3.1.3 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e

força cortante limites para seções transversais homogêneas dadas, ................................................................................... 1.05δ ,1m == 97

Figura 3.3.1.4 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seção transversal híbrida dada,

...................................................................................05.1=δ ,6.0=γ 98 Figura 3.3.1.5 (JUHÁS, 2001) – Relações de interação da capacidade de carga ao

momento-cortante para seções transversais homogêneas e híbridas ... 99

Figura 3.3.2.1 (YU, 1991) – Flambagem por cisalhamento de chapas infinitamente longas. (a) lados simplesmente apoiados. (b) lados fixos ................... 102

Figura 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão em uma alma muito delgada com lados transversalmente restringidos (campo de tração ideal) ...... 106

Figura 3.3.3.2 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão na alma de uma viga com enrijecedores transversais somente nos finais (campo de tensões principais) ............................................................................................ 106

Figura 3.3.3.3 (HÖGLUND, 1998) – Força cortante resistente de acordo com as teorias do campo de tração e testes ..................................................... 107

Figura 3.3.3.4 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por cisalhamento ........................................................................................

vρ108

Figura 3.3.3.5 (HÖGLUND, 1998) – Modelo de alma na extensão pós-flambagem. (a) Força cortante carregada pela alma pelo campo de tensões principais. (b) Força cortante carregada pela ação de treliça, desenvolvimento do qual é dependente da rigidez das mesas. (c) Notações para a seção transversal ....................................................... 110

Figura 3.3.3.6 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tensões principais (a) Contribuição da alma (b) Contribuição da mesa ..............................................................................................

wV

fV 113 Figura 3.3.3.7 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de

tração. Estágios de comportamento em uma chapa sob carga de cisalhamento ........................................................................................ 113

Figura 3.3.3.8 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tração. Análise plástica .......... 114

Figura 3.3.3.9 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tensões principais. Análise elástica ................................................................................................. 115

Figura 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Diagrama tensão-deformação para perfis simples ou compostos (aço com patamar de escoamento) ............................... 116

Figura 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Momento resistente plástico ( )pM de uma seção com eixo de simetria ........................................................................... 117

Figura 4.1 (DYM E SHAMES, 1973) – Porção de uma placa de espessura h ..... 130 Figura 4.2 (DYM E SHAMES, 1973) – Geometria deformada da placa ............. 131 Figura 4.3 (DYM E SHAMES, 1973) – Elemento de placa com tensões no

plano médio da placa ........................................................................... 133 Figura 4.4 (DYM E SHAMES, 1973) – Intensidades de força por comprimento

unitário ................................................................................................ 134 Figura 4.5 (DYM E SHAMES, 1973) – Plano inclinado arbitrariamente na

direção relativa às direções x, y ...................................................... ν̂ 135 Figura 4.6 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados

para a placa retangular ......................................................................... 141 Figura 4.7 (DYM E SHAMES, 1973) – Carregamento para uma placa de

formato geral ....................................................................................... 142 Figura 4.8 (DYM E SHAMES, 1973) – Placa retangular simplesmente apoiada

a×b×h em compressão uniaxial uniforme .......................................... 145 Figura 4.9 (DYM E SHAMES, 1973) – Coeficiente plotado versus a

proporção de aspecto a/b ..................................................................... crk

146 Figura 4.10 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados

para a placa retangular ......................................................................... 147

Figura 5.1 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular 148 Figura 5.2 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular

reforçada com enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais ............................................................................................... 148

Figura 5.3 (BLEICH, 1952) – Relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez l/r de uma coluna ideal de aço estrutural ..........................

cσ153

Figura 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões compressivas uniformes ..................................................

xyτσ 158

Figura 5.5 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção .... occ τ/τ o

cc σ/σ 159 Figura 5.6 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção .... o

cc τ/τ occ σ/σ 159

Figura 5.7 (BLEICH, 1952) - Relação entre as proporções ... ooc11ccc σ/σ e τ/τ 163

Figura 5.8 (BLEICH, 1952) – Chapas com um e dois enrijecedores ................... 168 Figura 5.9 (BLEICH, 1952) – Chapa infinitamente longa reforçada por

enrijecedores equidistantes .................................................................. 169 Figura 5.10 (BLEICH, 1952) – Diagramas para b/d = 1 e 2 .................................. 170 Figura 7.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Estados limites na flexão ............. 176 Figura 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tipos de flambagem que podem

ocorrer ................................................................................................. 177 Figura 7.2.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Flambagem vertical da mesa

comprimida .......................................................................................... 177 Figura 7.2.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças na mesa surgindo da

curvatura da viga ................................................................................. 178 Figura 7.2.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da força normal à chapa da

mesa ..................................................................................................... 179 Figura 7.2.5 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da tensão residual ............. 180 Figura 7.4.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Chapa da alma sob momento

puro ...................................................................................................... 185 Figura 7.5.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Teoria clássica do cisalhamento

aplicada a um painel de viga esbelta ................................................... 185 Figura 7.5.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Dois casos de espaçamento dos

enrijecedores transversais .................................................................... 187 Figura 7.6.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Ação do campo de tração ............ 190 Figura 7.6.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tensões de membrana na ação do

campo de tração ................................................................................... 192 Figura 7.6.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças surgidas do campo de

tração ................................................................................................... 193 Figura 7.6.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Força no enrijecedor resultante

da ação do campo de tração ................................................................. 194 Figura 7.7.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência ao cisalhamento e ao

momento sob flexão e cisalhamento combinados ............................... 198 Figura 7.9.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Desenvolvimento da fórmula de

área da mesa ........................................................................................ 205 Figura 8.1.1 Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento

indicado ............................................................................................... 208 Figura 8.1.2 Diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga para o

exemplo do projeto .............................................................................. 209 Figura 8.1.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Seção transversal das chapas de

enrijecedores intermediários ............................................................... 218

Figura 8.1.4 Detalhes finais da viga dimensionada (todas as medidas em mm) ..... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor

219 Figura 8.1.5

252 Figura 8.1.6

258 Figura 8.2.1

261 Figura 8.2.2

262 Figura 8.2.3

308 Figura 8.2.4

314 Figura 8.3.1

317 Figura 8.3.2

317 Figura 8.3.3

363 Figura 8.3.4

371 Figura 8.3.5

372 Figura A.1

seções “compactas” afetadas pela flambagem lateral com torção ...... 429

resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (PFEIL, 1989) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado ........................................................................ (PFEIL, 1989) – Dimensões da viga propostas para o problema de dimensionamento e verificação ........................................................... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado e diagramas (medidas em mm) ...................... (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Detalhamento final das dimensões calculadas (medidas em mm) ..................................................................................................... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência nominal nM de

LISTA DE TABELAS Tabela 3.2.1 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura

para elementos em compressão ........................................................ 83 Tabela 3.2.2 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura

para elementos em compressão ........................................................ 84 Tabela 3.2.3 (Eurocode 3 – tabela 5.3.2) – Elementos internos comprimidos ..... 85 Tabela 3.2.4 (Eurocode 3 – tabela 5.3.3) – Elementos externos comprimidos ..... 85 Tabela 3.3.2.1 (YU, 1991) – Tensões de cisalhamento admissíveis, MPa .............. 103 Tabela 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por

cisalhamento ..................................................................................... vρ

108 Tabela 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Propriedades mecânicas de aços (perfis

laminados ou soldados) .................................................................... 116 Tabela 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W)

de seções de vigas ............................................................................ 118 Tabela 3.4.3 (PFEIL, 1989) – Classificação das seções das vigas quanto ao

efeito de flambagem local ................................................................ 119 Tabela 3.4.4 (PFEIL, 1989) – Valores limites da relação largura/espessura de

seções I ou H, com um ou dois eixos de simetria, fletidos no plano da alma ............................................................................................. 120

Tabela 5.1 (BLEICH, 1952) – Proporção para aço estrutural .......... E/E=τ t 156 Tabela 5.2 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço,

MPa ( , cσ

MPa 5.172σ p = MPa 7.227σ y = ) ....................................... 157 Tabela 5.3 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço,

MPa ( , cσ

MPa 6.234σ p = MPa 5.310σ y = ) ....................................... 157 Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão

longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída .................. 166 Tabela 5.5 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido

para chapas em cisalhamento tendo um enrijecedor ........................ 0I

169 Tabela 5.6 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido 0

para chapas em cisalhamento tendo dois enrijecedores ................... I

169 Tabela 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limitações de máximo -

LRFD – apêndice G1 ........................................................................wth /

181 Tabela 8.1.1 Tabela utilizada para a escolha das dimensões da alma ................... 210 Tabela 8.2.1 Proporção para aço estrutural com ,

.................................................................................. E/E=τ t

MPaMPa 200σ p =

250σ y = 272 Tabela 8.2.2 Determinação da tensão crítica c para aço, MPa.

( , σ

MPa 200σ p = MPa 250σ y = ) ..................................................... 273 Tabela 9.1.1 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do

momento fletor resistente característico da viga dimensionada no exemplo 1 (momento fletor solicitante de cálculo

) ........................................................................... kNm 608.0=Msd 375

Tabela 9.1.2 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 2 (momento fletor solicitante de cálculo

) ......................................................................... kNm 0.8878=Msd 376 Tabela 9.1.3 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do

momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 3 (momento fletor solicitante de cálculo

) ....................................................................... kNm 0.17458=Msd 378 Tabela 9.2.1 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica

calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo ) ...kN 0.155=Vsd 379

Tabela 9.2.2 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 7.1792=Vsd 380

Tabela 9.2.3 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 2.2182=Vsd 380

Tabela 9.2.4 Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 7.1792=Vsd 381

Tabela 9.2.5 Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 2.2182=Vsd 382

Tabela 9.2.6 Força cortante resistente nominal incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo

) .Força cortante resistente característica incluindo a

kN 0.155=Vsd ............................................................................... 383 Tabela 9.2.7 ação do campo

384 Tabela 9.2.8 Força cortante re

385 Tabela 9.3.1.1 Resultados, obtid

386 Tabela 9.3.1.2

387 Tabela 9.3.2.1

388 Tabela 9.3.3.1

389 Tabela 9.3.4.1

de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (Força cortante solicitante de cálculo

kN 7.1792=Vsd ) ............................................................................. sistente característica incluindo a ação do campo

de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo

kN 2.2182=Vsd ) ............................................................................. os para os exemplos analisados, das fórmulas de

interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001) .................................................................................. Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001) ........................................Resultados obtidos para os exemplos analisados, dos parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952) ............................................................................................... Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de YU (1991) .............................................. Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998) ................................ 389

Tabela 10.2.1.1

397 Tabela 10.2.1.2

398 Tabela 10.2.1.3

399 Tabela 10.2.2.1

Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 1 ....................................................................... Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 2 ....................................................................... Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 3 ....................................................................... Cálculo da força cortante resistente nominal nV de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; MPa 435f y = ;

250t/h = ; 2mm2890A = ; kN 0.155Vw w sd = ............................ de acordo com as

400 Tabela 10.2.2.2 Cálculo da força cortante resistente nominal nV

normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; MPa 435f y = ;

250t/h = ; 2mm2890A = ; kN 0.155Vw w sd = ............................ de acordo com as

400 Tabela 10.2.2.3 Cálculo da força cortante resistente nominal nV

normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ;

4.160t/h = ; 2mm24940A = ; kN 0.1758Vw w sd = ..................... acordo com as

401 Tabela 10.2.2.4 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV

normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ;

4.160t/h = ; 2= ; kN 0.2140Vw w mm24940A sd = ..................... 402 Tabela 10.2.2.5 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV acordo com as

normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ;

4.160t/h = ; mm24940A =w2 Vsdw ; kN 0.2140= .....................

acordo com as 402

Tabela 10.2.2.6 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4;

MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ............................. 403

Tabela 10.2.2.7 Cálculo da força cortante resistente nominal nV de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0;

MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............................ 404 em crV de acordo Tabela 10.2.2.8 Cálculo da força cortante resistente de flambag

com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = ................................. 405 bagem crV de acordo Tabela 10.2.2.9 Cálculo da força cortante resistente de flam

com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = ................................. 405 nte da ação do campo Tabela 10.2.2.10 Cálculo da força cortante resistente provenie

de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pa is com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;

MPa 435f y = ; 250t/h w

iné

= ; kN 0.155Vsd = ................................. 406 mbagem crV , através Tabela 10.2.2.11 - Cálculo da força cortante resistente de fla

da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ;

4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...................................................... ente de flambagem crV , através da

407 Tabela 10.2.2.12 Cálculo da força cortante resist

tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 0.1758Vsd = ............................................................................... cortante resistente proveniente da ação do campo

407 Tabela 10.2.2.13 Cálculo da força

de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;

MPa 250f y = ; 4.160t/h w

néi

= ; kN 0.1758Vsd = ............................. 408 em crV , de acordo Tabela 10.2.2.14 Cálculo da força cortante resistente de flambag

com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis de espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............... 409

Tabela 10.2.2.15 álculo da força cortante resistente de flambagem de acordo C crV ,com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ;

4.160t/h w = ; kN 0.2140Vsd = ...................................................... nte de flambagem crV , através da

409 Tabela 10.2.2.16 Cálculo da força cortante resiste

tabela B.6, para flambagem elástica, para o painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α

s

= ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ... .... ... .

cortante resistente proveniente da ação do campo ............ ........... ....................... ...................... 410

Tabela 10.2.2.17 Cálculo da forçade tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9;

MPa250f y = ; 4.160t/h w

néi

= ; kN 0.2140Vsd = ........................... 410 te da ação do campo Tabela 10.2.2.18 Cálculo da força cortante resis nte proveniente

de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α

néi= ; 3.7k = ;

MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............. . iss do com a teoria de

............. 411 Tabela 10.3.3.1 Cálculo da força cortante adm ível de acor

3.1, para os painéis com aV

YU (1991), através da tabela C.espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd =

Cálculo da força cortante admissív e 416

Tabela 10.3.3.2 el de acordo com a teoria dYU (1991), através da tabela C 3.1, para os painéis com

aV.

espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.es

416 Tabela 10.3.3.3

3.1, para os painéis com paçamento a=800 mm entre en iga do exemplo 2, rijecedores da v

50com α=0.40; k=37.4; MPa 2f y = ; 4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...............................................................................

Cálculo da força cortante admissível de acordo co a teoria de ravés da tabela C.3.1, para os painéis com 1400 mm entre enrijecedores da viga do exemplo

417 Tabela 10.3.3.4

YU (1991), atespaçamento a=

aV

252, com α=0.70; k=14.9; MPa 0f y = ; 4.160t/h w = ; kN 0.1758Vsd = ...............................................................................

417

Tabela 10.3.3.5 álculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de U (1991), através da tabela C 3.1, para os painéis com

spaçamento a=925 mm entre en iga do exemplo 3,

C aV.

rijecedores da v250

Yecom α=0.46; k=29.0; MPa f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 2.2182Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissí e

avés da tabela C.3..1, para os painéis com 500 mm entre enrijecedores da viga do exemplo

418 Tabela 10.3.3.6 vel de acordo com a teoria d

YU (1991), atr

418 Tabela 10.3.3.7 vel de acordo com a teoria d

YU (1991), at

aV

25espaçamento a=23, com α=1.25; k=7.9; MPa0f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 0.2140Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissí e

ravés da tabela C.3.1, para os painéis com 825 mm entre enrijecedores da viga do exemplo

aV

espaçamento a=23, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa0f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 2.2182Vsd = ...............................................................................Cálculo da rt de acordo com a

UND (1998), através da tabela C.4.1, para os

25

418 Tabela 10.3.4.1 força co ante resistente nominal

teoria de HÖGLwV

M painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; Pa435f y = ; 250t/h w = ;

kN 0.155Vsd = ................................................................................. Cálculo da força cortante resistente no a a

LUND (1998), através da tabela C.4.1, para os

419 Tabela 10.3.4.2 minal de cordo com

teoria de HÖGwV

M painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; Pa435f y = ; 250t/h w = ;

kN 0.155Vsd = ................................................................................. Cálculo da força cortante resistente n a a

LUND (1998), através da tabela C.4.1, para os

419 Tabela 10.3.4.3 ominal de cordo com

teoria de HÖGwV

painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ;

4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...................................................... Cálculo da força cortante admissível aV de acordo c e

19 tabela C.4.1, para os painéis com

420 Tabela 10.3.4.4 om a teoria d

HÖGLUND ( 98), através daespaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 0.1758Vsd = ............................................................................... Cálculo da força cortante admissív e

98), através da tabela C.4.1, para os painéis com

420 Tabela 10.3.4.5 el de acordo com a teoria d

HÖGLUND (19 aV

espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 2.2182Vsd = ...............................................................................

421

Tabela 10.3.4.6 álculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de ÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com

421 Tabela 10.3.4.7

C aVHespaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 0.2140Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de

98), através da tabela C.4.1, para os painéis com HÖGLUND (19espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ;

kN 2.2182Vsd = ...............................................................................(SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de

a vigas de seção I “compactas” para atingir a

421 Tabela A.1

esbeltez par

430 Tabela A.2 z

432 Tabela A.3 o

433 Tabela A.4

434 Tabela A.5

436 Tabela A.6

437 Tabela A.7

439 Tabela A.8

441 Tabela A.9

443 Tabela A.10

p

resistência de momento plástico pM , de acordo com a LRFD-B5.1 .................................................................................................. Limites do parâmetro de esbelte pλ para vigas de seção I

λ

“compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a NBR 8800/86 ........................................................ Limites do parâmetro de esbeltez pλ para vigas de seçã I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a PNBR 8800/03 ...................................................... Limites do parâmetro de esbeltez pλ para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a PNBR 8800/07 ...................................................... Limites dos parâmetros de esbeltez pλ para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com o Eurocode 3 ............................................................ (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez λ para “seções não-compactas” de vigas de seção I para r

atingir yF na fibra extrema , de acordo com a LRFD – B5.1 .......... Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a NBR 8800/86 ......................................................................... Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”

yf

de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/03 .......................................................................Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”

yf

de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/07 .......................................................................Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”

yf

de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com o Eurocode 3 .............................................................................

yf444

Tabela B.1 450

Tabela B.2

Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal nV , para flambagem elástica ..............................................Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para

flambagem elástica, yw f4.615t/h ≥ . Critérios normativos fo

/k 451 Tabela B.3 para o cálculo da rça cortante resistente

457 Tabela B.4

458 Tabela B.5

nominal nV , para flambagem inelástica .......................................... Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal nV , para escoamento por cisalhamento ............................. Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para

flambagem inelástica, ywy < f/k688t/hf/k7.458 < .............. Critérios normativos pa sistente de

458 Tabela B.6 ra o cálculo da força cortante re

464 Tabela B.7

flambagem crV , para flambagem elástica ........................................ Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para

flambagem elástica, yw f4.615t/h ≥ .......................................Critérios normativos rça cortante resistente de

/k 464 Tabela B.8 para o cálculo da fo

465 Tabela B.9

flambagem crV , para flambagem inelástica ..................................... Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para

flambagem inelástica, ywy < f/k688t/hf/k7.458 < .............. Critérios normativos p resistente

465 Tabela B.10 ara o cálculo da força cortante

466 Tabela C.3.1 cá

477 Tabela C.4.1

480 Tabela C.4.2

proveniente da ação do campo de tração tfV ................................... Critérios utilizados por YU (1991) para o lculo da força cortante admissível aV de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas ....... Critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o cálculo da força cortante resistente nominal wV de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas .................................................................................... Valores do coeficiente de cortante vC utilizado por HÖGLUND

(1998), para flambagem elástica, ywt/ f/k2.611h ≥ ..................

Valores do coeficiente de cortante 481

Tabela C.4.3 utilizado por HÖGLUND vCmb(1998), para fla agem inelástica,

ywy f/k2.611t/hf/k8.469 <≤ ................................................ 481

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ASHTO merican tion Officials

P me.

A A Association of State Highway and TransportaABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas AISC American Institute of Steel Construction BSI

British Standards Institution

ndardization CEN European Committee for StaDIN Deutsches Institut für Normung

n ProgramESDE European Steel Design Educatio

LISTA DE SÍMBOLOS

inúsculas

dores transversais de painéis de chapas de alma.

b

M romanas

istância entre enrijecea - Dra - Proporção entre a área da alma pela área da mesa comprimida.

xνa - Cosseno diretor entre o eixo ν e o eixo x.

yνa Cosseno diretor entre o eixo e o eixo y. ν- Altura da chapa da alma.

b - Largura apropriada. =d para almas e c para mesas.

c

ento a cisalhamento. inal especificado.

g ém espessura de uma placa.

ção I soldada,

effb - Largura efetiva da mesa comprimida.

fb - Largura da chapa da mesa. - Largura efetiva da mesa.

d - Altura total da seção. . crf - Tensão de flambagem

rf - Tensão residual.

vf - Tensão de escoam

yf - Limite de escoamento do aço, valor nom

yff - Tensão de escoamento do material da mesa.

ywf - Tensão de escoamento do material da alma. - Largura do campo de tração.

h - Altura da chapa da alma; tamb0h - Altura da chapa da alma.

ck - Coeficiente em rλ para se wt/h/4 . fu o do momento fletor resistente

- lambagem correspondente à proporção de tensão

lma. Diatância entre pontos de

m - a viga, relação pela m a comprimida mais um terço

-

t

u rfície média da placa.

pgk - Coeficiente, em nção de ra , de reduçãnominal. Fator de fσk ψ .

τk Fator de flambagem para cisalhamento. vk - Coeficiente de flambagem da chapa da a

bl - Comprimento de flambagem lateral da viga. contenção lateral. Fator de hibridez d ywyf f/f .

Tr - Raio de giração da seção formada esda região comprimida da alma, calculado em relação ao eixo situado no plano médio da alma. Comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas tc s ,s em compressão e tração respectivamente. Espessura da chapa da alma. -

0t - Espessura da chapa da alma.

ft - Espessura da chapa da mesa.

wt - Espessura da chapa da alma. - Ação de alongamento da supe

1u - Deslocamento de um ponto da placa na direção x.

2u Deslocamento de um ponto da placa na direção y.

3u - Deslocamento de um ponto da placa na direção z. v .

da placa. placa.

aiúsculas romanas

rea da seção transversal da mesa.

rsal da alma. C

ão não-uniforme de momento fletor

- . D

idade; para o aço, tomado igual a 205000 MPa para

- F l de uma placa.

.

. ento do aço, valor nominal especificado.

I ntro de gravidade

- inércia requerido dos enrijecedores.

sar nálise pl

M

- nos finais do segmento sem

- soluto) nos pontos a ¼, ½ e ¾, respectivamente, do

- ransversal na simultânea plastificação

- flambagem de projeto de uma viga não restringida

- stente de projeto de uma seção transversal.

- Ação de alongamento da superfície média da placaw - Função de deslocamento vertical da superfície médiaw% - Quantidade em perturbação do deslocamento do plano médio da

M

f A - Á

stA - Área do enrijecedor.

wA - Área da seção transve- Constante de rigidez extensional.

bC - Fator de modificação para variaçpara o segmento da viga sem contenção lateral exceto nos finais do segmento, baseado nos valores absolutos dos momentos fletores. Coeficiente de redução do cortante, definido como a relação cr τ/τvC y

- Rigidez à flexão. E - Módulo de elastic

unidades do SI e igual a 29000 ksi para unidades do U.S. Módulo de elasticidade tangente. tE

- Funcional de energia potencial totaF% - Quantidade em perturbação do funcional de energia

crF - Tensão crítica.

rF - Tensão residual

yF - Tensão de escoam

yfF - Mínima tensão de escoamento especificada da mesa. - momento de inércia da seção bruta, referido ao ce

respectivo. Momento de0I

bL - Distância entre duas seções contidas lateralmente.

pL - Máximo comprimento sem contenção lateral para u pn M=M .

pdL - Máximo comprimento sem contenção lateral para usar a ástica. - Momento fletor agindo na seção transversal; também a distribuição de

momento fletor nos lados de uma placa. Menor momento 1M e maior momento 21 M ,M 2Mcontenção lateral. Momento (valor abCBA M ,M ,Msegmento sem contenção lateral. Momento fletor limite da seção tbM da alma e das mesas. Momento resistente à Rd,bM lateralmente. Momento resiRd,cM

dM - Momento fletor de cálculo.

Rd,fM - Momento plástico de projeto da seção transversal.

nM - Momento resistente nominal.

Rk,NfM - Resistência plástica de momento reduzida da mesa.

pM - Resistência de momento plástico.

plM - Resistência de momento plástico.

rM - Resistência de momento quando a fibra extrema atinge ( ). yF - rF

RkM - Momento fletor resistente característico.

sdM - Momento fletor solicitante de cálculo.

uM - Momento fletor de cálculo.

V,uM - Momento fletor último que depende força cortante V agindo na seção transversal.

xM - Distribuição de momento fletor em relação ao eixo y na seção que tem a normal na direção x, por unidade de comprimento na direção y.

xyM - Distribuição de momento torsor em relação ao eixo x na seção cuja normal é o eixo x, por unidade de comprimento na direção y.

yM - Distribuição de momento fletor em relação ao eixo x na seção que tem a normal na direção y, por unidade de comprimento na direção x.

yxM - Distribuição de momento torsor em relação ao eixo y na seção cuja normal é o eixo y, por unidade de comprimento na direção x.

Sd,fN - Força longitudinal na mesa.

xN - Carga constante na direção x aplicada na face da placa com normal na direção x.

yN - Carga constante na direção y aplicada na face da placa com normal na direção y.

xyN - Carga constante na direção y aplicada na face da placa com normal na direção x.

yxN - Carga constante na direção x aplicada na face da placa com normal na direção y.

Q - Fator de forma; também a distribuição de força cortante nos lados de uma placa.

xQ - Distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção x fornecida por unidade de comprimento na direção y.

yQ - Distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção y fornecida por unidade de comprimento na direção x.

S - Momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão.

xcS - Módulo de seção referente á mesa comprimida.

xt

U S Módulo de seção referente á mesa tracionada.

- Energia de deformação de uma placa. V - Força cortante agindo na seção transversal.

Rd,baV - Resistência de projeto à flambagem por cisalhamento.

Rd,bwV - Resistência à flambagem por cisalhamento somente da alma.

dV - Força cortante de cálculo. 'nV - Resistência nominal de cálculo à força cortante de almas, incluindo o

efeito do campo de tração.

plV - Força cisalhante totalmente plástica.

RkV - Força cortante resistente característica.

sV - Energia de flexão de cada enrijecedor.

sdV - Força cortante solicitante de cálculo.

uV - Força cortante de cálculo.

M,uV - Força cortante última que depende do momento fletor M agindo na seção transversal.

W - Módulo elástico de resistência da seção. f,plW - Módulo plástico da seção das mesas.

w,plW - Módulo plástico da seção da alma.

xcW , xtW - Módulos de resistência elásticos em relação ao eixo de flexão, para os lados comprimido e tracionado, respectivamente, da seção.

Z - Módulo plástico de resistência da seção. Minúsculas gregas α - Aspecto proporcional da chapa, relação a/b.

LTα - Fator de imperfeição para flambagem lateral com torção

wβ - Parâmetro w selecionado para projeto; também a relação entre o módulo elástico efetivo e o módulo plástico da seção.

t/h

ε - Coeficiente de resistência, yf/235 .

xxε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção x formando um segmento na direção x.

xyε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção y formando um segmento na direção x.

yyε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção y formando um segmento na direção y.

yxε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção x formando um segmento na direção y.

λ - Parâmetro de esbeltez para elementos de chapa. bλ - Parâmetro de esbeltez para elementos de chapa.

bpλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento compacto.

brλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento não-compacto.

pλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento compacto.

pλ - Parâmetro de esbeltez da chapa.

rλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento não-compacto.

w

λ - Esbeltez da alma. ν - Coeficiente de deformação transversal (Coeficiente de Poisson); para o

aço, no domínio elástico, admite-se . 3.0=νν̂ρ

- Direção do plano inclinado arbitrariamente relativo às direções x, y - Fator de redução da seção efetiva.

σ - Tensão compressiva uniforme. bbσ - Resistência do campo de tração.

cσ , c1σ - Tensão média última.

ocσ , oc1σ - Tensão crítica em compressão pura.

crσ Tensão de flambagem.

pσ - Limite proporcional do material.

yσ - Tensão de escoamento.

1

σ - Tensão compressiva atuante na chapa. τ - Proporção entre o módulo tangente e o módulo de elasticidade,

. E/E=τ t

baτ - Resistência ao cisalhamento simples pós-crítica.

cτ - Tensão crítica de cisalhamento. o

cτ - Tensão crítia em cisalhamento puro.

crτ - Tensão de flambagem em cisalhamento; 3/Fy .

flτ - Tensão crítica de flambagem elástica.

prτ - Limite proporcional em cisalhamento, = ( )3/F8.0=τ8.0 yy

xxτ - Tensão na direção x, na face com normal na direção x.

xyτ - Tensão de cisalhamento; tensão na direção y, na face com normal na direção x.

yyτ - Tensão na direção y, na face com normal na direção y.

yτ - Tensão de escoamento em cisalhamento. φ ou φ - Coeficiente de redução de resistência; também a inclinação do campo de

tração. bφ ou bφ - Coeficiente de resistência ao momento fletor.

v

φ ou vφ - Coeficiente de resistência à força cortante. ψ - Proporção entre tensões atuantes no elemento.

LTχ - Fator de redução para flambagem lateral com torção. Maiúsculas gregas Γ - Curva limitadora de uma placa. Θ - Inclinação do painel diagonal do campo de tração.

SUMÁRIO RESUMO ...................................................................................................... 6 ABSTRACT ................................................................................................. 7 LISTA DE FIGURAS .................................................................................. 8 LISTA DE TABELAS.................................................................................. 12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ................................................ 20 LISTA DE SÍMBOLOS .............................................................................. 21 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 36 1.1 ASPECTOS GERAIS .................................................................................... 36 1.2 ANÁLISE DE ALGUNS PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS .................. 38 1.2.1 Viaduto de Anápolis – Goiás ....................................................................... 43 1.2.2 Viaduto do contorno de Coronel Fabriciano – Belo Horizonte – Minas

Gerais ............................................................................................................ 49 2 OBJETIVOS ................................................................................................ 54 2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 54 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................... 55 3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................... 55 3.2 NORMAS UTILIZADAS ............................................................................. 59 3.2.1 Load and Resistance Factor Design (LRFD) (AISC, 1994) ……………. 59 3.2.1.1 Limitações – apêndice G1 ............................................................................. 60 3.2.1.2 Resistência de projeto à flexão – apêndice G2 .............................................. 60 3.2.1.3 Resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração –

apêndice G3 ................................................................................................... 62 3.2.1.4 Enrijecedores transversais – apêndice G4 .................................................... 63 3.2.1.5 Interação flexão-cisalhamento – apêndice G5 .............................................. 64 3.2.2 NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios

(método dos estados limites) (ABNT, 1986) ............................................... 64 3.2.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F .......................... 64 3.2.2.1.1 Generalidades – item F-1 ............................................................................... 64 3.2.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 65 3.2.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo

G .................................................................................................................... 67 3.2.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 67 3.2.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2 .... 69 3.2.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3 .......................... 70 3.2.3 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de

aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003) ........ 71 3.2.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F

(normativo) .................................................................................................... 71 3.2.3.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 71 3.2.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 72

3.2.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração - anexo G (normativo) ......................................................................... 73

3.2.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 73 3.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 76 3.2.4 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de

estruturas mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007) ............... 77 3.2.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H

(normativo) .................................................................................................... 78 3.2.4.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 78 3.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2 ...................................... 78 3.2.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 80 3.2.5 Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and

rules for buildings (CEN, 1992) ……......………………………………… 82 3.2.5.1 Classificação das seções transversais – item 5.3 ........................................... 82 3.2.5.1.1 Base – item 5.3.1 ........................................................................................... 82 3.2.5.1.2 Classificação – item 5.3.2 .............................................................................. 82 3.2.5.1.3 Propriedades da seção transversal efetiva Classe 4 – item 5.3.5 ................... 84 3.2.5.1.4 Momento fletor – item 5.4.5 .......................................................................... 86 3.2.5.2 Resistência à flambagem de membros – item 5.5 ......................................... 86 3.2.5.2.1 Flambagem lateral com torção de vigas – item 5.5.2 .................................... 86 3.2.5.3 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 87 3.2.5.3.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3 ....................................................... 87 3.2.5.3.2 Método do campo de tração – item 5.6.4 ...................................................... 88 3.2.5.3.3 Inclinação do campo de tração – item 5.6.4.2 ............................................... 90 3.2.5.4 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial – item 5.6.7 ..... 90 3.2.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2 .................................................... 90 3.2.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3 ................................................... 91 3.3 TEORIAS UTILIZADAS .............................................................................. 92 3.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 92 3.3.1.1 Capacidade de carga de vigas esbeltas sujeitas a flexão e cisalhamento ....... 92 3.3.2 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 100 3.3.2.1 Tensões de cisalhamento admissíveis e resistência de almas ........................ 100 3.3.3 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 104 3.3.3.1 Resistência à flambagem por cisalhamento de vigas esbeltas de aço e de

alumínio ......................................................................................................... 104 3.3.3.1.1 Alma com enrijecedores somente no suporte ................................................ 104 3.3.3.1.2 Alma enrijecida transversalmente ................................................................. 109 3.3.3.1.3 Influência de mesas rígidas ............................................................................ 109 3.3.3.2 Comportamento geral e efeito de pilar final rígido e não-rígido em vigas

esbeltas de aço inoxidável carregadas em cisalhamento. Propostas de projeto ............................................................................................................ 111

3.3.3.2.1 Introdução ...................................................................................................... 111 3.3.3.2.2 Discussão breve sobre os modelos teóricos para calcular a capacidade

última em vigas esbeltas de aço. Requerimentos para o pilar final ............... 112 3.4 MÉTODO DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ESBELTAS DE

ACORDO COM A NBR 8800/86 ................................................................. 115 3.4.1 Dimensionamento a flexão .......................................................................... 116 3.4.1.1 Momento resistente plástico ( )pM e momento de início plastificação ( )yM 117 3.4.1.2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral contínua ...................... 118 3.4.1.2.1 Momento resistente de cálculo de vigas I com alma esbelta ......................... 120

3.4.1.3 Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua. Flambagem lateral ............................................................................................................. 121

3.4.1.3.1 Cálculo simplificado da resistência à flexão de vigas I com um ou dois eixos de simetria, fletidas no plano da alma .................................................. 122

3.4.1.3.2 Momento crítico de vigas I com um ou dois eixos de simetria, carregadas no plano da alma ............................................................................................ 122

3.4.1.3.3 Momento crítico de vigas I ou H com um eixo de simetria, carregadas no plano da alma ................................................................................................. 123

3.4.2 Dimensionamento da alma das vigas ......................................................... 123 3.4.2.1 Tensões de cisalhamento provocadas por esforço cortante ........................... 124 3.4.2.2 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, sem enrijecedores transversais

intermediários, fletidas no plano da alma ...................................................... 124 3.4.2.2.1 Vigas I com valores moderados de .................................................... 00 t/h 125 3.4.2.2.2 Vigas I com valores elevados de ........................................................ 00 t/h 125 3.4.2.2.3 Limite superior da relação em vigas sem enrijecedores .................... 00 t/h 126 3.4.2.3 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, com enrijecedores transversais

intermediários, fletidas no plano da alma ...................................................... 126 3.4.2.3.1 Vigas I sem efeito de flambagem da alma ..................................................... 126 3.4.2.3.2 Vigas I com efeito de flambagem da alma .................................................... 127 3.4.2.3.3 Resistência pós-flambagem da alma. Campo de tração ................................ 127 3.4.2.3.4 Limite superior da relação em vigas com enrijecedores transversais 00 t/h 128 3.4.2.4 Interação entre esforço cortante e momento fletor ........................................ 128 4 TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS ........................................................... 129 4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 129 4.2 CINEMÁTICA DA DEFORMAÇÃO DE PLACAS .................................... 129 4.3 FUNÇÕES DE INTENSIDADE DE TENSÃO RESULTANTE E AS

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO .................................................................... 132 4.4 APROXIMAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL MÍNIMA .......... 138 4.5 ESTABILIDADE ELÁSTICA DE PLACAS. A EQUAÇÃO DE

FLAMBAGEM PARA PLACAS RETANGULARES ................................. 141 4.5.1 O método de equilíbrio – um exemplo ....................................................... 144 5 ESTABILIDADE DE CHAPAS DE ALMA DE VIGAS ......................... 148 5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 148 5.2 A COLUNA COMO PARTE DA ESTRUTURA. PRINCÍPIOS DO

PROJETO DE COLUNAS ............................................................................ 151 5.3 O FATOR DE SEGURANÇA ...................................................................... 155 5.4 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO CRÍTICA NA EXTENSÃO

INELÁSTICA DE FLAMBAGEM ............................................................... 156 5.5 CHAPAS SIMPLESMENTE APOIADAS SOB CISALHAMENTO E

TENSÕES LONGITUDINAIS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS COMBINADAS ............................................................................................ 158

5.6 CHAPAS SIMPLESMENTE APOIADAS SOB TENSÕES DE CISALHAMENTO E FLEXÃO PURA COMBINADAS ............................ 162

5.7 SUMÁRIO DAS FÓRMULAS DE PROJETO PARA CHAPAS DE ALMA DE VIGAS ESBELTAS ................................................................... 164

5.8 CHAPAS DE ALMA ENRIJECIDAS TRANSVERSALMENTE EM CISALHAMENTO ........................................................................................ 165

6 METODOLOGIA ........................................................................................ 172 6.1 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS

DA NORMA AMERICANA ........................................................................ 172 6.2 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS

DA NORMA BRASILEIRA ......................................................................... 173 6.3 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS

DOS PROJETOS DE REVISÃO DA NORMA BRASILEIRA ................... 174 6.4 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS

DA NORMA EUROPÉIA ............................................................................. 174 7 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS

ESBELTAS ................................................................................................... 175 7.1 DIFERENÇA ENTRE VIGAS E VIGAS ESBELTAS ................................ 175 7.2 ESTADO LIMITE DE FLAMBAGEM VERTICAL DA MESA ................ 176 7.2.1 Máximo de acordo com a LRFD (Load and Resistance Factor

Design ) ......................................................................................................... wt/h

180 7.3 RESISTÊNCIA NOMINAL DE MOMENTO – LRFD ................................ 181 7.4 REDUÇÃO NO MOMENTO RESISTENTE DEVIDO À FLAMBAGEM

POR FLEXÃO NO PLANO DA ALMA ...................................................... 183 7.5 RESISTÊNCIA NOMINAL AO CISALHAMENTO – FLAMBAGEM

ELÁSTICA E INELÁSTICA ........................................................................ 185 7.5.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 186 7.5.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 188 7.5.3 Resistência nominal ao cisalhamento ......................................................... 189 7.6 RESISTÊNCIA NOMINAL DE CISALHAMENTO – INCLUINDO A

AÇÃO DO CAMPO DE TRAÇÃO .............................................................. 190 7.6.1 Ação do campo de tração: ótima direção .................................................. 191 7.6.2 Cálculo da resistência ao cisalhamento através da ação do campo de

tração ............................................................................................................ 193 7.6.3 Condição de ruptura ................................................................................... 194 7.6.4 Força no enrijecedor ................................................................................... 195 7.6.5 Resistência nominal ao cisalhamento, incluindo tanto resistência de

flambagem como de pós-flambagem .......................................................... 196 7.6.6 Critérios utilizados pelo manual LRFD ..................................................... 196 7.7 RESISTÊNCIA EM FLEXÃO E CISALHAMENTO COMBINADOS ...... 197 7.7.1 Critérios utilizados pelo manual LRFD ..................................................... 199 7.8 ENRIJECEDORES TRANSVERSAIS INTERMEDIÁRIOS ...................... 201 7.8.1 Requerimentos para omitir enrijecedores transversais ........................... 201 7.8.2 Critério de posicionamento incluindo a ação do campo de tração –

manual LRFD .............................................................................................. 203 7.9 PROPORCIONANDO A SEÇÃO ................................................................ 203 7.9.1 Fórmula da área da mesa ............................................................................ 204 7.9.2 Altura ótima da viga .................................................................................... 206 8 PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS COM VERIFICAÇÕES

NORMATIVAS ........................................................................................... 208 8.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................. 208 8.1.1 Problema proposto ...................................................................................... 208 8.1.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria

de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 220

8.1.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH (1952) ............................................................................................................. 224

8.1.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de YU (1991) ...................................................................................................... 226

8.1.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 227

8.1.2 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 228 8.1.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F .......................... 229 8.1.2.1.1 Generalidades – item F-1 ............................................................................... 229 8.1.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 229 8.1.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo

G .................................................................................................................... 232 8.1.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 232 8.1.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 234 8.1.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3 ......................... 237 8.1.3 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 237 8.1.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F

(normativo) .................................................................................................... 238 8.1.3.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 238 8.1.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 238 8.1.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de

tração - anexo G (normativo) ......................................................................... 241 8.1.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 241 8.1.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 244 8.1.4 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 246 8.1.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H

(normativo) .................................................................................................... 246 8.1.4.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 246 8.1.4.1.2 Momento fletor resistente de cálculo – item H.2 ........................................... 247 8.1.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 249 8.1.5 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 251 8.1.5.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 252 8.1.5.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 254 8.1.5.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 254 8.1.5.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 256 8.1.5.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 256 8.1.5.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 257 8.1.5.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 259 8.1.5.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 259 8.1.5.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 260 8.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................. 261 8.2.1 Cálculos efetuados por PFEIL (1989) ........................................................ 261 8.2.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria

de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 266 8.2.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH

(1952) ............................................................................................................. 270 8.2.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria deYU

(1991) ............................................................................................................. 274 8.2.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método

do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 275

8.2.2 Verificação segundo a LRFD ...................................................................... 277 8.2.2.1 Limitações – item G1 .................................................................................... 277 8.2.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2 ...................................................... 278 8.2.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração –

item G3 .......................................................................................................... 281 8.2.2.4 Enrijecedores transversais – item G4 ............................................................ 282 8.2.2.5 Interação flexão-cisalhamento – item G5 ...................................................... 282 8.2.3 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 283 8.2.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F ......................... 283 8.2.3.1.1 Generalidades – item F-1 .............................................................................. 283 8.2.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 284 8.2.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo

G .................................................................................................................... 288 8.2.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 288 8.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 290 8.2.3.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3 ......................... 292 8.2.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 293 8.2.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F


tração - anexo G (normativo) ....................................................................... 296 8.2.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 296 8.2.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 299 8.2.5 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 301 8.2.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H

(normativo)..................................................................................................... 301 8.2.5.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 301 8.2.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 302 8.2.5.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 304 8.2.6 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 306 8.2.6.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 307 8.2.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 309 8.2.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 310 8.2.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 311 8.2.6.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 311 8.2.6.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 312 8.2.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 314 8.2.6.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 314 8.2.6.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 315 8.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................. 317 8.3.1 Dimensões propostas por NARAYANAN (1992, apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992) .............................................................. 317 8.3.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria

de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 318 8.3.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH

(1952) ............................................................................................................. 322 8.3.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de

YU (1991) ...................................................................................................... 326

8.3.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 327

8.3.2 Verificação segundo a LRFD ...................................................................... 330 8.3.2.1 Limitações – item G1 .................................................................................... 330 8.3.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2 ...................................................... 330 8.3.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração –

item G3 .......................................................................................................... 333 8.3.2.4 Enrijecedores transversais – item G4 ............................................................ 336 8.3.3 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 336 8.3.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F ......................... 336 8.3.3.1.1 Generalidades – item F-1 .............................................................................. 336 8.3.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 337 8.3.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo

G .................................................................................................................... 340 8.3.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 340 8.3.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 344 8.3.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 345 8.3.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F


tração - anexo G (normativo) ....................................................................... 348 8.3.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 348 8.3.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 353 8.3.6 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 355 8.3.6.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H

(normativo) .................................................................................................... 355 8.3.6.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 355 8.3.6.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2 ...................................... 356 8.3.6.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 358 8.3.6 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 361 8.3.6.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 362 8.3.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 364 8.3.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 365 8.3.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 367 8.3.6.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 367 8.3.6.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 369 8.3.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 372 8.3.6.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 372 8.3.6.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 373 9 RESULTADOS E QUADROS COMPARATIVOS ................................. 375 9.1 RESULTADOS OBTIDOS DO MOMENTO FLETOR RESISTENTE

CARACTERÍSTICO PELAS NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS............................................................................................... 375

9.1.1 Exemplo 1 ..................................................................................................... 375 9.1.2 Exemplo 2 ..................................................................................................... 376 9.1.3 Exemplo 3 ..................................................................................................... 377

9.2 RESULTADOS OBTIDOS DA FORÇA CORTANTE RESISTENTE CARACTERÍSTICA PELAS NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .............................................................................................. 378

9.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 378 9.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 379 9.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 379 9.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 380 9.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 381 9.2.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 381 9.2.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 381 9.2.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 382 9.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de

tração ............................................................................................................ 382 9.2.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 382 9.2.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 383 9.2.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 384 9.3 RESULTADOS OBTIDOS PELAS TEORIAS PARA OS EXEMPLOS

ANALISADOS .............................................................................................. 385 9.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 386 9.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ........................................................................... 388 9.3.3 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 388 9.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 389 10 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS ........................................................ 390 10.1 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 390 10.1.1 Sobre os exemplos analisados ..................................................................... 390 10.1.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 390 10.1.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 391 10.1.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 392 10.1.2 Sobre as normas utilizadas ......................................................................... 393 10.1.2.1 LRFD (AISC, 1994) ...................................................................................... 393 10.1.2.2 NBR 8800 (ABNT, 1986) ............................................................................. 393 10.1.2.3 PNBR 8800 (ABNT, 2003) ........................................................................... 393 10.1.2.4 PNBR 8800 (ABNT, 2007) ........................................................................... 393 10.1.2.5 Eurocode 3 (CEN, 1992) ............................................................................... 394 10.1.3 Sobre as teorias utilizadas ........................................................................... 395 10.1.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................... 395 10.1.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ............................................................................. 395 10.1.3.3 Teoria de YU (1991) ...................................................................................... 395 10.1.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ........................................................................ 395 10.2 CONCLUSÕES SOBRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELAS

NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .................................... 396 10.2.1 Momento fletor resistente característico ................................................... 396 10.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 396 10.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 397 10.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 398 10.2.2 Força cortante resistente característica ..................................................... 399 10.2.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro 399 10.2.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 400 10.2.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 401

10.2.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 402 10.2.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ............................................... 403 10.2.2.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 403 10.2.2.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 403 10.2.2.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 403 10.2.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração . 404 10.2.2.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 405 10.2.2.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 406 10.2.2.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 408 10.3 CONCLUSÕES SOBRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELAS

TEORIAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .................................... 411 10.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 412 10.3.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 412 10.3.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 412 10.3.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 412 10.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ........................................................................... 413 10.3.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 413 10.3.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 414 10.3.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 415 10.3.3 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 415 10.3.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 415 10.3.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 416 10.3.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 417 10.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 418 10.3.4.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 418 10.3.4.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 419 10.3.4.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 420 10.4 RECOMENDAÇÕES PARA FUTUROS TRABALHOS E PESQUISAS .. 421 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………….. 423 ANEXOS A CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO

FLETOR RESISTENTE CARACTERÍSTICO ....................................... 428 A.1 SEÇÕES COMPACTAS ............................................................................... 428 A.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 428 A.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 431 A.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 432 A.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 434 A.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 435 A.2 SEÇÕES NÃO-COMPACTAS ..................................................................... 436 A.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 436 A.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 438 A.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 440 A.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 441 A.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 443 A.3 SEÇÕES ESBELTAS .................................................................................... 444 A.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 444 A.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 446

A.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 447 A.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 448 A.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 448 B CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DA FORÇA

CORTANTE RESISTENTE CARACTERÍSTICA ................................. 450 B.1 FLAMBAGEM ELÁSTICA SOB CISALHAMENTO PURO .................... 450 B.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 451 B.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 452 B.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 453 B.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) 454 B.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 456 B.2 FLAMBAGEM INELÁSTICA SOB CISALHAMENTO PURO ................ 456 B.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 459 B.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 459 B.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 460 B.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 461 B.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 462 B.3 RESISTÊNCIA NOMINAL AO CISALHAMENTO INCLUINDO A

AÇÃO DO CAMPO DE TRAÇÃO .............................................................. 463 B.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 466 B.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 467 B.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 470 B.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 471 B.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 471 B.3.5.1 Análise da parcela da ação do campo de tração utilizada pelo

Eurocode 3 ..................................................................................................... tfV

473 C ANÁLISE DAS TEORIAS UTILIZADAS ................................................ 476 C.1 TEORIA DE JUHÁS (2001) ......................................................................... 476 C.2 TEORIA DE BLEICH (1952) ....................................................................... 476 C.3 TEORIA DE YU (1991) ................................................................................ 477 C.3.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 477 C.3.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 479 C.4 TEORIA DE HÖGLUND (1998) 480 C.4.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 481 C.4.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 482

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)

(GPT/BC/UFG)

Fernandes, Rodrigo. F363c Critérios normativos sobre influência da relação Aw /Af e esbeltez de alma no cálculo da resistência à flexão de vigas esbeltas em elementos de estruturas de aço [manuscrito] / Rodrigo Fernandes. – 2008. 483 f.: il., figs., tabs. Orientador: Prof.Dr. Orlando Ferreira Gomes; Co-orientador: Prof. Dr. Edgar Bacarji.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil, 2008. Bibliografia: f.423-427. Inclui listas de figuras, tabelas, abreviaturas e siglas e de símbo- los. 1. Aço – Estruturas 3. Engenharia de estruturas 4. Vigas esbeltas 5. Esbeltez (estruturas) - Parâmetros. 6. Flambagem (mecânica) I. Gomes, Orlando Ferreira. II. Bacarji, Edgar III. Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil IV. Título.

CDU: 624.014.2

36

1 INTRODUÇÃO

1.1 Aspectos gerais

As vigas esbeltas da atualidade serão o objeto de estudo deste trabalho, para se

mostrar os tipos utilizados nas estruturas de aço e as razões para suas proporções esbeltas

inerentes. Seu comportamento será descrito com particular ênfase nas diferentes formas de

flambagem que podem ocorrer. A base geral do projeto de uma viga esbelta será discutida de

um modo simplificado, como uma previsão para uma apresentação mais detalhada nos

capítulos 7 a 10. As ações de pós-flambagem e do campo de tração são introduzidas e os

papéis dos principais componentes de uma viga esbelta identificados.

Vigas esbeltas são normalmente fabricadas pela união, feita através de solda, de

duas chapas de mesa a uma chapa de alma. Tais vigas são capazes de suportar grandes cargas

vencendo vãos mais longos que geralmente é possível usando as típicas seções laminadas,

soldadas ou vigas mistas. Vigas esbeltas são tipicamente usadas como vigas de pavimentos de

grandes vãos em construções, como vigas de ponte, e como vigas de gruas em estruturas

industriais. As vigas esbeltas foram muito utilizadas em pontes de vias férreas durante o

período de 1870 a 1900, utilizando chapas rebitadas compostas de cantoneiras conectadas à

chapa da alma com ou sem chapas de cobertura das mesas, nos Estados Unidos, com vãos

entre 15 e 45 m.

No início dos anos de 1950, quando a solda se tornou amplamente usada (devido à

melhoria na qualidade da soldagem e economia na fabricação resultantes do incrementado uso

de equipamentos automáticos), vigas esbeltas soldadas compostas de três chapas

gradualmente tomaram lugar das vigas rebitadas. Durante este período, entretanto, parafusos

de alta resistência gradualmente deslocaram os rebites do campo da construção. Desde as

proximidades dos anos de 1960 as vigas esbeltas passaram a ser soldadas, usando duas chapas

de mesa e uma chapa de alma para constituir uma seção I.

Onde praticamente todas as vigas rebitadas eram compostas de chapas e

componentes em ângulo tendo a mesma resistência ao escoamento dos materiais, a tendência

agora com as vigas soldadas é combinar materiais de diferentes resistências. A mudança de

materiais em localizações variadas ao longo do vão de forma que materiais de mais alta

resistência estejam disponíveis em locais de máximo momento e/ou cisalhamento, ou o uso de

materiais de diferentes resistências para mesas e para almas (vigas híbridas), possibilita a

formação de vigas mais eficientes e econômicas.

37

Para melhor entendimento sobre o comportamento das vigas esbeltas, aços de alta

resistência e técnicas de soldagem melhoradas são combinadas para fazer vigas esbeltas

econômicas em muitas situações que antigamente se pensava serem ideais para treliças.

Geralmente, vãos simples de 20 a 50 m têm sido tradicionalmente o domínio das vigas

esbeltas. Para pontes, vãos contínuos freqüentemente usando variações nas alturas das seções

transversais, nas regiões dos apoios, são usados para vãos de 27 m ou mais. Existem várias

vigas esbeltas de três vãos contínuos nos Estados Unidos com os vãos centrais excedendo 120

m, e se deseja que vãos mais longos sejam possíveis no futuro. A viga esbelta mais longa do

mundo é a estrutura de três vãos contínuos sobre o Rio Save em Belgrado, Iugoslávia, com

vãos de 75-260-75 m. Esta é uma dupla viga caixão com sua seção transversal variando em

altura, de 4,5 m no meio dos vãos para 9,6 m nos apoios.

As duas aproximações propostas pelas normas para o cálculo da força cortante

resistente são o método simplificado pós-crítico, que é geralmente aplicável, e o método do

campo de tração que confere um significante acréscimo de resistência a cargas por levar em

conta a resistência pós-flambagem das vigas.

Esta parte da introdução tem o objetivo de completar a discussão do projeto de

uma viga esbelta considerando aspectos de um projeto detalhado. Por exemplo, o

desenvolvimento da ação pós-flambagem na chapa da alma, somente pode ocorrer quando os

elementos no contorno dessa chapa são aptos a fornecer uma adequada ancoragem para as

forças do campo de tração desenvolvidas no interior da chapa. Estes elementos podem estar

na forma de enrijecedores transversais intermediários ou colunas de extremidades.

Para alcançar um projeto efetivo, ou seja, uma viga esbelta de alta proporção

resistência/peso, é usualmente necessário prover enrijecedores transversais intermediários da

alma. Enrijecedores transversais desempenham um importante papel em permitir que a viga

esbelta alcance uma resistência última de carregamento total. Em primeiro lugar, eles

aumentam a resistência à flambagem da alma; em segundo lugar, eles devem continuar a

permanecer efetivos após a alma flambar, para prover ancoragem para o campo de tração;

finalmente, eles devem prevenir qualquer tendência das chapas das mesas se moverem uma

em relação à outra.

Chapas de alma esbeltas podem ser reforçadas com enrijecedores transversais,

bem como longitudinais, para aumentar a proporção resistência/peso das vigas esbeltas. A

principal função dos enrijecedores longitudinais é de aumentar a resistência à flambagem com

respeito tanto a cargas de cisalhamento como de flexão. Um enrijecedor efetivo irá

38

permanecer reto, com isso, sub-dividindo o painel da alma e limitando a flambagem a sub-

painéis menores. O acréscimo resultante na resistência última da viga pode ser significante.

Qualquer seção transversal de uma viga esbelta é normalmente sujeita à

combinação de força cortante e momento fletor. A função primária das chapas das mesas do

topo e do fundo da viga é de resistir às forças axiais compressiva e de tração que surgem do

momento fletor aplicado. A função básica da chapa da alma é resistir à força cortante

aplicada.

As vigas esbeltas são normalmente projetadas para suportar cargas pesadas sobre

vãos longos em situações onde é necessário produzir um eficiente projeto para fornecer às

vigas alta proporção de resistência por peso. A procura por um projeto eficiente produz

requerimentos conflitantes, particularmente no caso da chapa da alma. Para produzir mais

baixa força axial na mesa para um dado momento fletor, a altura da alma deve ser a maior

possível e para reduzir o peso próprio, a espessura da alma deve ser reduzida ao mínimo.

Como conseqüência, em muitas instâncias a chapa da alma é de proporções esbeltas e com

isso é inclinada a flambar com valores relativamente baixos do cortante aplicado. Um conflito

similar pode existir com as proporções das mesas. A área da mesa requerida é definida pela

força da mesa e a tensão de escoamento do material.

Elementos de chapas não entram em colapso quando flambam, eles podem possuir

uma substancial reserva de resistência pós-flambagem. Para um projeto eficiente, qualquer

cálculo relativo ao estado limite último deve levar a ação pós-flambagem em conta. Este é

particularmente o caso da chapa de alma em cisalhamento onde a resistência pós-flambagem

que surge da ação do campo de tração pode ser bem significante.

1.2 Análise de alguns projetos de vigas esbeltas

Dois projetos de vigas esbeltas serão apresentados a seguir. Estes foram fornecidos

pela empresa de cálculo estrutural e execução de estruturas de pontes, RMG Engenharia, sob

responsabilidade técnica do engenheiro civil Dr. Fausto Antônio Muñoz Muñiz, com sede em

Belo Horizonte – Minas Gerais, os quais foram desenvolvidos nesta empresa, a qual fez a

anotação de responsabilidade técnica do projeto estrutural e também de sua execução junto ao

CREA. Em visita à sede da empresa RMG Engenharia, o engenheiro citado me recebeu em seu

escritório, onde eu lhe comuniquei de que estava desenvolvendo uma dissertação de mestrado

sobre vigas esbeltas. Dr. Fausto fez desenhos como demonstração de alguns tipos de estruturas

39

cuja parte principal são vigas esbeltas. A seguir serão apresentados os desenhos citados. Na

figura 1.2.1 podemos observar alguns tipos de perfis estruturais soldados em alma cheia.

Mesa(a)

soldad h

wt

Alma

ft

(b) (c)

Açoespecial

lamela

(d) Figura 1.2.1 – Perfis Soldados em alma cheia.

viga de rolamento(esbelta)

ponte rolante (2000 kN; 5000 kN)

Figura 1.2.2 – Viga de Rolamento em Edifícios Industriais.

Dr. Fausto fez referência à norma alemã do instituto DEUTSCHES INSTITUT

FÜR NORMUNG (DIN) (1990), DIN 18800 Teil 3: Stahlbauten, Stabilitätsfälle,

Plattenbeulen, que, segundo ele, é bastante utilizada em seu escritório, no cálculo de vigas

esbeltas. A primeira estrutura apresentada foi uma viga de rolamento para edifícios industriais,

cujo esquema está representado na figura 1.2.2.

Este é um tipo de estrutura onde a viga principal, denominada de viga de

rolamento, está sujeita a carga concentrada móvel. Foi sugerida a norma americana

40

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC) (1994), manual Load and

Resistance Factor Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings para o cálculo

dessa estrutura. Este cálculo requer a verificação da flambagem local da alma sob carga

concentrada, que leva ao uso de enrijecedores longitudinais, como mostrado na figura 1.2.3.

painel parcial

Figura 1.2.3 – Carregamento móvel indica a necessidade de verificação de flambagem da alma sob carga concentrada.

Para a categoria de Ponte Mista Rodoviária, é mostrado um esquema de viga

esbelta/mista, que consta na figura 1.2.4, onde a ligação entre a viga metálica e a laje de

concreto armado é feita através de conectores de cisalhamento soldados ao flange e embebidos

viga esbelta/mista

laje Deformação

Gradiente detemperatura

lenta

Retração noconcreto

conectores decisalhamento

Figura 1.2.4 – Esquema de Ponte Mista Rodoviária, segundo a AASHTO (1983).

no concreto, onde se deve levar em conta o efeito de retração e também de deformação lenta

no concreto. Para este caso foi sugerida a norma da associação americana AMERICAN

ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFFICIALS

41

(AASHTO) (1983) - AASHTO Standard Specifications for Highway Bridges para o cálculo e

verificação dessa estrutura. A laje de concreto dá estabilidade ao conjunto estrutural, na

medida em que ela confere uma ação de grelha, distribuindo a carga para as vigas em conjunto,

reduzindo os efeitos das cargas concentradas, além de contribuírem na absorção da força

compressiva proveniente do momento fletor favorecendo uma redução na seção da mesa supe-

300 - 400 mm

x

y y

10000 mm

12.5 mm2000

viga esbelta

ortotrópico

x

tabuleiro de aço/

Figura 1.2.5 – Ponte com tabuleiro de aço – ortotrópico.

rior da viga esbelta.

Existe também a ponte com tabuleiro de aço/ortotrópico, cujo esquema consta na

figura 1.2.5, que consiste em um tabuleiro que tem a função de mesa superior de vigas I em

aço que são dispostas em duas direções e se apóiam nas vigas principais, cuja característica é

uma elevada proporção de esbeltez, direcionadas no eixo longitudinal da pista, que recebe as

cargas das vigas dispostas em grelha. O tabuleiro de aço trabalha como uma placa enrijecida

com enrijecedores em somente uma face, dispostos nas duas direções, sujeita a tensões

compressivas nos seus quatro lados, constituindo um modelo estrutural bastante resistente.

Para a categoria de Ponte Ferroviária um esquema consta na figura 1.2.6, que

ilustra os elementos principais de um projeto dessa estrutura. Os trilhos descarregam em vigas

na direção paralela ao eixo da ponte, estas descarregam em vigas transversais, que por sua vez,

descarregam em vigas esbeltas, que podem se estender por longos vãos.

Outro esquema de ponte ferroviária/mista, que pode ser vista na figura 1.2.7, onde

o concreto confere uma resistência adicional ao trabalho das mesas superiores, de forma que

42

tensões compressivas que seriam distribuídas nas mesas são transferidas à peça de concreto, e

este efeito deve ser levado em conta nos cálculos da estrutura. Este tipo de estrutura deve dis-

vigas esbeltas Figura 1.2.6 – Esquema de ponte ferroviária.

por de contenções laterais regularmente espaçadas para dar estabilidade lateral à estrutura, bem

como conferir uma ação de grelha na distribuição das cargas, além de dar estabilidade torsional

à estrutura como um todo.

1800 mm

Figura 1.2.7 – Esquema de ponte ferroviária/mista.

43

1.2.1 Viaduto de Anápolis – Goiás

Serão apresentados alguns elementos do projeto do viaduto construído e

recentemente inaugurado no município de Anápolis – Goiás. Este viaduto foi projetado com

aço de alta resistência, tipo USI-SAC 350, para as chapas da alma e das mesas. A estrutura

Figura 1.2.8 (RMG Engenharia, 2006) – Fotografias aéreas do viaduto de Anápolis –Goiás, em fase de construção.

44

completa é constituída de duas pistas, onde cada pista constitui uma estrutura independente da

outra, de acordo com a figura 1.2.8, que mostra fotografias aéreas do viaduto em construção.

Trata-se de um viaduto rodoviário em vigas de chapas metálicas, enrijecidas por enrijecedores

transversais, onde se tem um conjunto de seis vigas esbeltas que apóiam e são ligadas por uma

laje de concreto, o que o enquadra em uma categoria de ponte mista rodoviária. Serão

apresentados alguns dos elementos do projeto do anel externo do viaduto, através das figuras a

seguir. Esta estrutura é horizontalmente curvada, ou seja, apresenta um raio de curvatura de

200 metros em seu eixo longitudinal, e também apresenta uma diferença de altura nas cotas

das pistas, onde o valor máximo da diferença de nível varia em torno de 5m, levando em conta

o comprimento total do anel.

A AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND

TRANSPORTATION OFFICIALS (AASHTO) lançou recentemente, no ano de 2003, o guia

AASHTO Guide Specifications for Horizontally Curved Steel Girder Highway Bridges

with Design Examples for I-Girder and Box-Girder Bridges (AASHTO, 2003), que traz

considerações para o cálculo de estruturas como o viaduto de Anápolis, vigas tipo I

horizontalmente curvadas. O conjunto de apoio dessa estrutura metálica é constituído de sete

Figura 1.2.9 (RMG Engenharia, 2006) – Planta geral do anel externo do viaduto.

pórticos, onde cada pórtico é composto de dois pilares ligados em sua extremidade por uma

viga que apóia o conjunto de seis vigas metálicas. A fundação dos pilares é feita por blocos de

concreto armado sobre sete estacas, para cada pilar. Estes pórticos foram locados e construídos

45

obedecendo a curvatura do eixo, e cada vão entre os pilares é ligado por vigas que são

simplesmente apoiadas, sem ligação com as vigas dos vãos adjacentes, de forma que todas as

vigas, de um apoio a outro adjacente, são simplesmente apoiadas, não tendo qualquer ligação

com as vigas adjacentes. A figura 1.2.9 mostra a planta geral de locação dos pilares e a

numeração dos vãos e das vigas do anel externo do viaduto. Cada vão tem aproximadamente

30 metros de comprimento, sendo que somente os vãos 1 e 8 da figura 1.2.9 são retilíneos,

todos os outros vãos são horizontalmente curvados.

A figura 1.2.10 apresenta o projeto da planta do vão 3 mostrado na figura 1.2.9.

Cada vão é constituído por três unidades, as quais são fabricadas fora do local da obra e as

unidades são unidas por solda no local da obra, formando um vão.

Figura 1.2.10 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de um dos vãos do viaduto.

A figura 1.2.11 mostra a elevação ou vista lateral do vão 3 apresentado na figura

1.2.10. Observando o projeto de elevação da figura 1.2.11 pode-se notar a diferença de nível

entre os apoios, nesse caso os pórticos P20 e P30, cujo projeto de locação consta na figura

1.2.9, e também pode-se observar os enrijecedores transversais distribuídos ao longo do vão.

Estes enrijecedores estão na posição vertical, formando ângulos diferentes de ângulos retos

entre os enrijecedores transversais e as mesas.

A figura 1.2.12 mostra o desenho da seção transversal ao eixo do viaduto no

apoio. Pode-se observar nesta figura o conjunto de seis vigas metálicas apoiadas por uma viga

de concreto armado, inclinada. Nos pontos de apoio das vigas metálicas, é feita uma espécie de

cunha com o próprio concreto, para que as vigas metálicas fiquem apoiadas com o eixo da

46

seção da chapa da alma na vertical. Sobre esta cunha de concreto armado, se tem bases de

placas de neoprene, para apoiar as extremidades das vigas metálicas.

Figura 1.2.11 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação do vão.

As vigas são unidas lateralmente nos apoios e a cada terça parte dos vãos por um

sistema de treliças, que pode ser visto na figura 1.2.12, que tem a função principal de dar

estabilidade lateral, e também a função de distribuir as cargas aplicadas, desempenhando uma

Figura 1.2.12 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no apoio.

função de grelha. Além da contenção lateral com sistema de treliça metálica, outro elemento

que ajuda na estabilidade lateral e também desempenha o papel de grelha na distribuição dos

47

esforços é a laje de concreto armado, concretada sobre as mesas superiores das vigas metálicas

(ver seção transversal no apoio, figura 1.2.12). Esta laje de concreto armado tem uma

espessura de 20 cm, e é armada nas duas direções. A ligação entre a laje de concreto armado e

as mesas superiores das vigas é feita através de conectores de cisalhamento, em perfil U,

soldadas às mesas superiores, regularmente espaçados, conforme pode-se observar no desenho

da figura 1.2.13. Nesta figura está representada a vista lateral da unidade III descrita no projeto

7 11

9 09

1104

1111

9 16

7 18

Figura 1.2.13 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da vista lateral e cortes da unidade III da viga metálica esbelta.

da figura 1.2.9. Na vista lateral da unidade III, pode-se observar os enrijecedores transversais

ao longo do vão e também os enrijecedores transversais no apoio.

Os cortes C, D, F e G, representados na figura 1.2.13, estão desenhados na figura

1.2.14, que mostram as seções das vigas esbeltas e os enrijecedores transversais. A chapa da

alma tem espessura de 10 mm e altura 1456 mm, e as chapas das mesas são de 20 x 500 mm

para as mesas superiores e de 25 x 500 mm para as mesas inferiores.

A razão da diferença entre as chapas das mesas é a contribuição da laje de concreto

armado na resistência aos esforços de compressão nas mesas superiores, provocadas pelo

momento fletor, provocando a diminuição da seção da mesa inferior, por levar em conta as

propriedades de estrutura mista no cálculo estrutural. A figura 1.2.15 mostra o desenho da

seção transversal do viaduto mo meio do vão, onde se pode ver o sistema treliçado de

contenção lateral. Nos desenhos das seções transversais do viaduto, no apoio e no meio do vão,

48

figuras 1.2.12 e 1.2.15, não estão desenhadas as seções das lajes sobre as mesas superiores das

vigas metálicas. Estes projetos das lajes estão contidos em outras pranchas do projeto. Na

figura 1.2.15 estão desenhados os detalhes das ligações nos nós das treliças.

Figura 1.2.14 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho com cotas das seções transversais das vigas esbeltas metálicas.

Figura 1.2.15 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no meio do vão e detalhamento das ligações da treliça nas vigas.

49

1.2.2 Viaduto do contorno de Coronel Fabriciano – Belo Horizonte – Minas Gerais

Este é um viaduto também construído com vigas esbeltas, enquadrado na categoria

de ponte mista rodoviária. A figura 1.2.16 mostra o desenho da seção transversal do viaduto no

apoio. Pode-se observar nesta figura que a estrutura é constituída de três vigas esbeltas que

apóiam uma laje de concreto armado que forma a pista. Estas vigas estão apoiadas sobre vigas

de concreto armado. Sob as vigas nos apoios pode-se observar que existem placas de neoprene

que têm a função de servir como elemento de contato entre as vigas metálicas e a base de

concreto, contribuindo na absorção e distribuição das tensões na região de contato entre as

estruturas onde a base de placa de neoprene acompanha os deslocamentos verticais na região

de contato entre a base e a viga, através da compatibilização das deformações que o material

favorece, na região interna da placa de neoprene, cujo desenho se encontra na figura 1.2.22. A

contenção lateral das vigas nos apoios e no meio dos vãos é feita através de vigas menores que

ligam transversalmente as três vigas, que podem ser observadas na figura 1.2.16. As três vigas

esbeltas longitudinais são vigas biapoiadas que se estendem por um vão de 26 metros de um

apoio ao outro, conforme figura 1.2.18. A figura 1.2.17 mostra a seção transversal no apoio 2,

onde pode-se notar que é praticamente o mesmo sistema transversal e são contidas lateral-

Figura 1.2.16 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 1.

mente a cada terça parte do vão e nos apoios, de acordo com a figura 1.2.18. Na figura 1.2.18

pode-se observar também o contraventamento horizontal no vão, ligando as vigas de contenção

50

lateral. Nesta figura pode-se observar também a elevação ou vista lateral da viga onde pode-se

ver a disposição dos enrijecedores transversais e longitudinais, onde pode-se perceber que nos

painéis finais da chapa da alma adjacentes aos dois apoios têm três enrijecedores longitudinais

e nos painéis do meio do vão apresentam dois enrijecedores longitudinais, cuja localização é a

zona comprimida da chapa da alma. A figura 1.2.19 mostra a vista lateral da unidade II

representada na figura 1.2.18, mais detalhadamente, cotando os espaçamentos entre os

enrijecedores transversais e as alturas dos enrijecedores longitudinais. Também na figura

1.2.19 pode-se notar que os enrijecedores, tanto os transversais quanto os longitudinais são

colocados em apenas um lado da alma. Na figura 1.2.19 pode-se ver os painéis da chapa da

alma da viga. A chapa da alma tem uma altura livre, que é a distância entre as faces internas

das mesas, de 1956 mm e os enrijecedores transversais estão espaçados de 2887 mm. Os

enrijecedores longitudinais, observando a figura 1.2.19 foram soldados, nos painéis que

possuem dois enrijecedores longitudinais, o de baixo a uma altura de 1006 mm e o de cima a

uma altura de 500 mm acima do de baixo. Nos painéis finais, adjacentes aos apoios, foram

colocados três enrijecedores longitudinais, onde o terceiro foi colocado dividindo o painel de

1006 x 2887 mm em dois painéis de 506 x 2887 mm.

Figura 1.2.17 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 2.

Da figura 1.2.16, pode-se notar que o apoio da viga metálica do centro apresenta uma

elevação de 105 mm para se ter uma inclinação de 3 % para cada lado relativo ao eixo da pis-

51

Figura 1.2.18 (RMG Engenharia, 2006) – Projeto do contraventamento horizontal no vão, elevação e cortes.

Figura 1.2.19 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação da viga referente à unidade II e cortes longitudinais.

ta, que coincide com o eixo da chapa da alma da viga do centro. A laje de concreto armado

tem uma espessura de 25 cm e é armada nas duas direções, ligadas às vigas metálicas através

de conectores de cisalhamento, mostrados na figura 1.2.18. A laje desempenha funções

52

importantes na estrutura global, como a redistribuição dos esforços sobre o conjunto das três

vigas, através da ação de grelha e outra função desempenhada pela laje é a absorção de parte

Figura 1.2.20 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de detalhamento do contraventamento horizontal da unidade II no vão.

Figura 1.2.21 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal das vigas esbeltas do viaduto, cotada em milímetros.

53

das forças longitudinais de compressão atuantes nas mesas superiores resultantes do binário

resistente ao momento fletor aplicado. Por esta razão, pode-se observar na figura 1.2.21, que

representa as seções transversais das vigas metálicas, que a mesa superior tem uma seção bem

menor que a mesa inferior. A figura 1.2.21 mostra a seção transversal das vigas esbeltas,

lembrando que as três vigas esbeltas do viaduto têm seções transversais iguais. Nesta figura

pode-se observar a disposição dos enrijecedores longitudinais e transversais na seção

transversal. As vigas de contenção lateral, que podem ser vistas nas figuras 1.2.16, 1.2.17 e

1.2.18, têm suas extremidades soldadas a estes enrijecedores, sendo que a alma destas vigas

coincide com os enrijecedores transversais e as mesas coincidem com os enrijecedores

longitudinais das vigas esbeltas, isto pode ser observado na elevação da unidade II da viga na

figura 1.2.19. A figura 1.2.22 mostra o detalhamento do apoio das vigas esbeltas nas suas

extremidades, detalhando a base de neoprene que serve de ligação entre as vigas metálicas e a

base de concreto no apoio.

Figura 1.2.22 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho das bases de neoprene.

54

2 OBJETIVOS

Este trabalho de pesquisa tem por objetivo geral, realizar um estudo crítico das

metodologias de dimensionamento, atualmente utilizadas para o cálculo de vigas esbeltas.

2.1 Objetivos Específicos

• Comparar os resultados obtidos entre as normas americana, brasileira e

européia.

• Fazer um estudo comparativo entre as diversas metodologias de cálculo

apresentadas pelas normas citadas.

55

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste trabalho, é feita uma descrição geral a respeito do comportamento de vigas

esbeltas. Para isto foram pesquisadas algumas fontes bibliográficas que apresentam análises

teóricas referentes ao projeto de dimensionamento desse tipo de estrutura.

3.1 Considerações iniciais

SALMON E JOHNSON (1996), fazem uma ampla abordagem dos aspectos

relacionados à análise de vigas esbeltas, conforme o conteúdo do capítulo 7. Expondo os

cálculos com base na norma americana, a publicação da quarta edição de seu livro reflete as

contínuas mudanças que ocorrem nos requisitos de projeto para aço estrutural,

particularmente a primeira significante atualização feita pelo instituto American Institute of

Steel Construction (AISC) do manual Load and Resistance Factor Design (LRFD)

Specification for Structural Steel Buildings. A presente prática de projeto, proposta por

SALMON E JOHNSON (1996), utiliza o conhecimento de mecânica dos materiais, análise

estrutural, estabilidade estrutural, em combinação com as nacionalmente reconhecidas regras

de projeto para segurança. As regras de projeto mais amplamente usadas são aquelas da

American Institute of Steel Construction (AISC), fornecidas no manual Load and Resistance

Factor Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings.

SALMON E JOHNSON (1996) apresentam um detalhado roteiro de cálculo para

o projeto de vigas esbeltas metálicas, com base nos critérios adotados nos estados limites. Na

primeira etapa de seu trabalho, como se pode observar na figura 3.1.1, foi feita uma

apresentação gráfica da resistência nominal de momento versus a esbeltez, onde os valores

das esbeltezes para os estados limites de flexão, o de flambagem lateral com torção, o de

flambagem local da mesa e o de flambagem local da alma serão apresentados no capítulo 7

deste trabalho. Foi feita a observação de que a relação para a flambagem lateral com torção é

válida quando a seção é compacta, ou seja, quando esta é capaz de alcançar uma distribuição

de tensões totalmente plástica, levando em conta os estados limites de flambagem local da

alma e da mesa. Quando a seção é não-compacta, ou seja, quando os elementos comprimidos

atingem a resistência ao escoamento antes que a flambagem local ocorra, mas não resistem à

flambagem local inelástica na intensidade de tensão necessária para se alcançar uma

distribuição totalmente plástica de tensões, a resistência nominal de momento deve ser

56

determinada para os três estados limites, onde o menor desses valores é o que deve ser

considerado.

Não-compacta

M

Mr

p

p

Mn

Compacta

r

Esbelta

Figura 3.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Gráfico da resistência nominal de momento versus o parâmetro de esbeltez.

O instituto AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC)

(1994), que publicou a norma americana, através do manual Load and Resistance Factor

Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings, apresenta especificações para

projeto de diversos tipos de estruturas em aço, inclusive as estruturas que são o objeto de

estudo deste trabalho: as vigas metálicas de alma esbelta de seção transversal I. Vigas esbeltas

metálicas de alma única, híbridas e não-híbridas de um único eixo de simetria ou de duplo

eixo de simetria, carregadas no plano da alma podem ser proporcionadas de acordo com as

prescrições do apêndice G da LRFD.

Esta norma fixa exigências e limitações para o cálculo de vigas de alma esbelta.

Na parte específica do tratamento de vigas esbeltas, mais precisamente o apêndice G desta

norma, se inicia um roteiro para cálculo de vigas esbeltas, onde o primeiro passo é a limitação

da relação máxima, que depende da relação a/h, entre o espaçamento dos enrijecedores

e a altura da alma, e que é função também da tensão de escoamento do material.

wt/h

A ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) (1986),

lançou a NBR 8800/86 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos

estados limites), a qual, baseada no método dos estados limites, fixa as condições exigíveis a

que devem obedecer o projeto, na execução e na inspeção de estruturas de aço para edifícios,

57

executados com perfis laminados ou soldados não híbridos e com ligações feitas por parafusos

ou soldas.


através do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de

estruturas mistas aço-concreto de edifícios, que está em consulta pública, assim como a norma

americana, apresenta regras para projetos em estruturas de aço e também estruturas mistas

aço-concreto. Qualquer projeto, para ser executado em território nacional deve se adequar a

esta norma. Esta norma tem muitos aspectos semelhantes à norma americana, principalmente

na parte relativa a vigas esbeltas, onde foram reconhecidos diversos pontos em comum.

O anexo F da norma, que tem caráter normativo, intitulado “Momento fletor

resistente característico de vigas esbeltas”, faz considerações quanto à verificação do

parâmetro de esbeltez , fixando os valores máximo e mínimo para que uma viga se

enquadre na categoria de viga esbelta. A outra fase de verificação pela norma brasileira é

relacionada ao anexo G da norma, que tem o título “Força cortante resistente característica

incluindo o efeito do campo de tração”, onde é apresentado um roteiro de cálculo para se

obter a força cortante resistente característica de almas de seções I e H, prismáticas, fletidas

em relação ao eixo central de inércia perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do campo

de tração, onde são fornecidos os cálculos dos parâmetros de esbeltez . A força

cortante resistente característica é obtida com base nestes parâmetros, que dependem da

relação entre o espaçamento dos enrijecedores e a altura da alma, ou seja, a relação a/h.

wt/h=λ

rp λ e λ ,λ

RkV


lançou, em janeiro de 2007, o Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço

e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Esta norma inclui pilares mistos, lajes

mistas e ligações mistas de aço e concreto. Alguns itens que constavam da NBR 8800/86 não

estão incluídos nesta norma, como as prescrições relacionadas ao dimensionamento de olhais

e à consideração do efeito do campo de tração na determinação da força cortante resistente de

vigas esbeltas.

O comitê europeu EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION

(CEN) (1992) lançou o Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and

rules for buildings. Esta norma apresenta considerações para verificação de dimensões de

vigas esbeltas.

A comissão européia EUROPEAN STEEL DESIGN EDUCATION

PROGRAMME (ESDEP) (2002), também apresenta um roteiro de cálculo de vigas esbeltas,

58

desenvolvendo condições para o cálculo do momento fletor resistente e esforço cortante

resistente, incluindo a ação do campo de tração, de acordo com o Eurocode 3: Design of steel

structures.

NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), calculou

uma viga esbelta de acordo com as provisões contidas na BS 5950: Part 1 (BSI, 1990) e BS

5400: Part 3 (BSI, 1982). De acordo com NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES

E DOWLING, 1992), vigas esbeltas são empregadas para suportar cargas verticais pesadas

sobre longos vãos: o momento fletor resultante é maior que a capacidade ao momento de

seções laminadas disponíveis. Em sua forma mais simplificada a viga esbelta é construída

constituindo-se de duas chapas de mesa, soldadas por filetes à chapa de alma formando a

seção I. A função primária das chapas de mesa do topo e do fundo é resistir as forças axiais

compressiva e de tração causadas pelo momento fletor aplicado; a principal função da alma é

resistir o cisalhamento. Na verdade esta partição de ações estruturais é usada como base para

projeto em alguns códigos de prática. Para um dado momento fletor as áreas das mesas

requeridas podem ser reduzidas ao se aumentar a distância entre elas. Então para um projeto

econômico, é vantajoso aumentar a distância entre as mesas. Para levar o peso próprio da viga

ao mínimo a espessura da alma deve ser reduzida ao passo que a altura aumenta, mas isto leva

as considerações de flambagem a serem mais significantes em vigas esbeltas do que em vigas

laminadas.

PFEIL (1989), na 5ª edição de seu livro, efetuou o cálculo de uma viga esbelta

com base nos critérios de dimensionamento da norma brasileira NB 14/86 e as correções da

norma NB 14 efetuadas em 1988.

DERANI (2000) fez algumas considerações sobre o comportamento plástico de

estruturas de seção I fletidas em relação ao eixo de maior inércia. De acordo com DERANI

(2000), para esforços solicitantes determinados pela análise plástica, a estrutura deve ter

contenção lateral de forma a impedir o deslocamento lateral e a torção nos locais de formação

de rótula plástica. A resistência de cálculo ( )dM ao momento fletor para vigas com contenção

lateral e para vigas cujas seções não se aplica o estado limite de flambagem lateral com torção

é:

d bM Mn= φ

onde e b 0.9φ =

ypln Zf=M=M

59

Z = Módulo Resistente Plástico relativo ao eixo de flexão

Para perfis I com dois eixos de simetria:

( ) ( )2fwfff t2/dttdtbZ −+−=

t

d tw

f

eixo x

bf

Figura 3.1.2 (DERANI, 2000) – Elementos para o cálculo do módulo plástico de seções I.

DREHMER (2005), em sua dissertação de mestrado, propõe a otimização de

estruturas metálicas formadas por perfis “I” soldados. Segundo DREHMER (2005), o objetivo

em muitos problemas de dimensionamentos ótimos de estruturas, é minimizar os custos ao

mesmo tempo em que satisfaz aos critérios de normas e especificações. Como o custo das

estruturas metálicas está diretamente ligado ao peso, foram efetuados em seu trabalho o

desenvolvimento e a implementação de uma formulação para a otimização de estruturas

formadas por perfis “I” soldados, fazendo a verificação conforme a norma brasileira NBR

8800/86. Em relação à pratica de dimensionamento, DREHMER (2005) observa que “o

dimensionamento de estruturas metálicas é geralmente desenvolvido na base da tentativa e

erro, baseado em especificações de cálculo e guiado pela experiência do engenheiro,

procurando sempre o menor custo da estrutura.”

3.2 Normas utilizadas

Neste trabalho foram selecionadas três diferentes normas para favorecer as

condições de análise dos critérios normativos. Serão apresentados a seguir os trechos

utilizados das normas selecionadas para o desenvolvimento do mesmo.

3.2.1 Load and Resistance Factor Design (LRFD) (AISC, 1994)

Apêndice G - Este apêndice se aplica para vigas de seção I com almas esbeltas.

60

3.2.1.1 Limitações – apêndice G1

Vigas esbeltas híbridas e não-híbridas de simetria dupla ou única de alma única

carregadas no plano da alma devem ser proporcionadas de acordo com as provisões deste

apêndice ou seção F2 – LRFD, providenciado que os seguintes limites sejam satisfeitos:

(a) Para a 1.5h≤ :

w yf

h 2000t f

≤ (A-G1-1)

(b) Para 5.1>ha

:

( )5.16FF14000

th

yfyfw +≤ (A-G1-2)

onde

a = distância livre entre enrijecedores transversais, in.

h = distância livre entre mesas menos o filete ou raio de canto para seções

laminadas; e para seções montadas, a distância entre as linhas das ligações

ou a distância livre entre as mesas quando soldas são usadas, in.

wt = espessura da alma, in.

yfF = mínima tensão de escoamento especificada da mesa, ksi.

.2.1.2 Resistência de projeto à flexão – apêndice G2

A resistência à flexão para vigas esbeltas deve ser

3

b nMφ , onde e é

o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da m sa tracionada e

(A-G2-1)

(b) Para flambagem da mesa comprimida:

(A-G2-2)

b 0.90φ =

e

nM

flambagem da mesa comprimida. Para vigas com mesas desiguais, ver apêndice B5.1 para a

determinação de para o estado limite de flambagem local da alma.

(a) Para escoamento da mesa tracionada:

rλ

ytextn FRS=M

crePGxcn FRRS=M

61

onde

0.1F

970th

a3001200a

1Rcrw

c

r

rPG ≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−= (A-G2-3)

= fator de viga híbrida

eR

= ( )0.1

mm3a12 3r ≤

−+a212 r+

(para vigas não-híbridas, )

= proporção entre a área omprim

m o de escoamento da

= e mpressão da mesa, ksi

ksi

ica a ser usada é dependente dos parâmetros de esbeltez

e

ara

0.1=R e

ra da alma pela área da mesa c ida

= proporção entre a tensão de escoamento da alma pela tensã

mesa ou pelo crF

tensão crítica d cocrF

ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada,

xcS = módulo de seção referente à mesa comprimida, 3.in

xtS = módulo de seção referente à mesa tracionada, in 3.

ch = altura da alma

A tensão crít crF

: rp λ e λ ,λ PGC como se segue

P pλ ≤ λ :

yfcr F=F (A-G2-4)

Para p rλ < λ ≤ λ :

yfpr

pyfbcr F

211FCF ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ−λ

λ−λ−= (A-G2-5)

Para : rλ>λ

2PG

cr λC

=F (A-G2-6)

O parâmetro de esbeltez deve ser determinado para o estado limite de flambagem

lateral com

o l bagem lateral com torção:

torção e o estado limite de flambagem local da alma; o parâmetro de esbeltez que

resulta no menor valor de crF governa.

(a) Para o estad imite de flam

62

T

b

rL

=λ (A-G2-7)

yfp F

300=λ (A-G2-8)

yfr F

756=λ (A-G2-9)

bPG C286000=C (A-G2-10)

onde

bC = ver seção F1.2, equação F1-3 LRFD

Tr = raio de giração da mesa comprimida mais um terço da porção comprimida da alma,

in.

(b) Para o estado limite de flambagem local da mesa:

f

f

t2b

=λ (A-G2-11)

yf

p F65

=λ (A-G2-12)

cyf

r k/F230

=λ (A-G2-13)

cPG k26200=C (A-G2-14)

0.1=C b

onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .

O estado limite de flambagem local da alma à flexão não é aplicável.

3.2.1.3 Resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração –

apêndice G3

A resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração deve ser

, kips, onde e é determinado como se segue: v nVφ v 0.90φ = nV

(a) Para w v ywk / F : h / t 187≤

ywwn FA6.0=V (A-G3-1)

63

(b) Para ywvw F/k187>t/h :

( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜= +⎜ +⎝ ⎠

⎟⎟

)]

(A-G3-2)

onde

vC = Proporção da tensão crítica da alma, de acordo com a teoria de flambagem linear,

pela tensão de escoamento em cisalhamento do material da alma

Ver também apêndices G4 e G5.

Para painéis finais em vigas esbeltas não-híbridas, todos os painéis em vigas

esbeltas híbridas e com furos na alma, quando a/h excede 3.0 ou , ação do

campo de tração não é permitida e

([ 2wt/h/260

vywwn CFA6.0=V (A-G3-3)

O coeficiente de flambagem da chapa da alma é obtido como vk

( )2v h/a5

+5=k (A-G3-4)

exceto que deve ser pego como 5.0 se a/h excede 3.0 ou . vk ( )[ ]2wt/h/260

O coeficiente de cisalhamento é determinado como se segue: vC

(a) Para v v

yw w yw

k kh187 234F t F

≤ ≤ :

w

ywv

v t/h

F/k187=C (A-G3-5)

(b) Para yw

v

w Fk

234>th :

( ) yw2

w

vv Ft/h

k44000=C (A-G3-6)

3.2.1.4 Enrijecedores transversais – apêndice G4

Enrijecedores transversais não são requeridos em vigas esbeltas onde

wh / t 418 / F≤ yw , ou onde o cortante requerido , como determinado pela análise uV

64

estrutural para as cargas fatoradas, é menor ou igual a , onde é

determinado para . Enrijecedores podem ser requeridos em certas porções

da viga esbelta para desenvolver o cortante requerido ou para satisfazer as limitações

fornecidas no apêndice G1. Enrijecedores transversais devem satisfazer os requerimentos do

apêndice F2.3.

vywwv CFAφ6.0 vC

90.0=φ e 5=k vv

Ao projetar para a ação do campo de tração, a área do enrijecedor não deve

ser menor que

stA

( )yw 2ust w v w

yst v n

F VA 0.15Dht 1 C 18t 0F V

⎡ ⎤= − − ≥⎥⎢ φ⎣ ⎦

(A-G4-1)

onde

vstF = tensão de escoamento especificada do material do enrijecedor, ksi

D = 1 para enrijecedores em pares

= 1.8 para enirjecedores em ângulo único

= 2.4 para enrijecedores de chapa única

vC e são definidos no apêndice G3, e é o cisalhamento na locação do enrijecedor. nV uV

3.2.1.5 Interação flexão-cisalhamento – apêndice G5

Para ( )n u n0.6 V V V =0.90φ ≤ ≤ φ φ e , vigas

esbeltas com almas projetadas para a ação do campo de tração devem satisfazer o critério

adicional de interação flexão-cisalhamento:

(0.75M φ )n u nM M =0.90≤ ≤ φ

375.1V

V625.0

MM

n

u

n

u ≤φ

+φ

(A-G5-1)

onde é a resistência nominal à flexão de vigas esbeltas do apêndice G2 ou seção F1,

, e é a resistência nominal ao cortante do apêndice G3.

nM

0.90φ = nV

3.2.2 NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos

estados limites) (ABNT, 1986)

3.2.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F

3.2.2.1.1 Generalidades – item F-1

65

Este anexo é aplicável ao dimensionameto de vigas I esbeltas ( , para FLA –

ver o anexo D - NBR 8800/86), cuja seção transversal possui dois eixos de simetria ou um

eixo de simetria no plano médio da alma, carregadas neste plano e atendendo aos seguintes

requisitos:

rλ>λ

a) no caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao

momento fletor, deve ser de tração;

b) o índice de esbeltez não pode ultrapassar o valor wt/h=λ

( )max

y y

0.48E

f f 115λ =

+ (E e , em MPa) yf

a não ser que os espaçamentos entre os enrijecedores transversais, a, sejam tais que

, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1.5≤ maxλ yf/E7,11 , se este limite superar o

anterior .

h = distância entre as faces internas das mesas

wt = espessura da alma

O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma (FLA)

contido na tabela do anexo D - NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte fórmula:

rλ

yr f

E6.5=λ

3.2.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2

Item F-2.1 – NBR 8800/86 – A resistência de cálculo ao momento fletor é igual a b nMφ , onde

e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da

mesa tracionada e de flambagem:

b 0.90φ = nM

a) para o escoamento da mesa tracionada:

ypgxtn fkW=M

b) para flambagem:

crpgxcn fkW=M

onde:

66

wpg

f w y

A h Ek 1 0.0005 5.6 1A t f

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

wA = área da alma

fA = área da mesa comprimida

xcW , = módulos de resistência elásticos em relação ao eixo de flexão, para os

lados comprimido e tracionado, respectivamente, da seção

xtW

crf = tensão de flambagem conforme F-2.2 e F-2.3

Item F.2.2 – NBR 8800/86 – A tensão é calculada, como a seguir indicado, para cada

estado limite de flambagem:

crf

a) para 'pλ ≤ λ

ycr f=f

b) para ' 'p rλ < λ ≤ λ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ−λ

λ−λ−= '

p'r

'p

ycr 5,01ff

c) para ' rλ>λ

2pg

cr λC

=f

F.2.3 Os valores de , e o coeficiente são determinados para cada estado limite de

flambagem, como a seguir indicado. No dimensionamento deve ser usado o menor valor de

'r

'p λ ,λ ,λ pgC

crf .

a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT), ver limitação em 5.4.1.3.2

(NBR 8800/86)

T

b

rL

=λ

'p

y

E1,75f

λ =

' br

y

C E4,44f

λ =

ECπ=C b2

pg

67

bL = distância entre duas seções contidas lateralmente

b) estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)

Para definições de Tb r e C ver 5.4.5 - NBR 8800/86

f

f

t2b

=λ

y

'p f

E38,0=λ

y

'r f

E87,0=λ

ota: O estado limite de flambagem local da alma fica automaticamente verificado.

.2.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G

.2.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1

fletid po de tração,

ominal é determinada como a seguir:

a) para

E38,0=Cpg

ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.

N

3

3

A resistência de cálculo à força cortante de almas de perfis I e H, prismáticos,

os em relação ao eixo perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do cam'nV' ov nVφ , nde v 0.90φ = , e a resistência n

pλ ≤ λ

pl'n V=V

b) para p rλ < λ ≤ λ

p p'n pV 1

⎡λ λ ⎤⎛ ⎞= +η −⎢ ⎥⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎣ ⎦

lV

c) para rλ>λ

2 2p p'

n pV 1,28 1 1,28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

l

onde:

68

2

1

a1,15 1h

η =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Para o significado dos demais termos ver item 5.5.2 - NBR 8800/86.

Item 5.5.2 - NBR 8800/86 – Resistência de cálculo à força cortante de almas de perfis I,

H, U e perfis caixão

A resistência de cálculo de almas à força cortante, de perfis I, H, U e caixão,

fletidos em relação ao eixo perpendicular à alma, é , onde e a resistência

nominal é determinada como a seguir:

nv Vφ 90,0=φ v

nV

a) para pλ ≤ λ

pln V=V


plp

n Vλλ

=V

c) para rλ>λ

pl

2p

n V28,1V ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

λ=

onde:

wth

=λ

yp f

kE08,1=λ

yr f

kE40,1=λ

( )2h/a34,5

+4=k , para a/h<1

( )2h/a4

+34,5=k , para ( )a / h 1 k=5,34 para a/h>3≥

(para análise elástica) ywpl fA6,0=V

(para análise plástica) ywpl fA55,0=V

a = distância entre enrijecedores transversais

69

h = altura livre da alma entre mesas

= espessura da alma wt

Notas:

a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil,

podendo, entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância

entre os pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre

ww t6 e t4 .

b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não

podem ultrapassar os valores dados na tabela 1 - NBR 8800/86 para seções classe 3 sujeitas à

força normal. O valor dado na tabela 1 - NBR 8800/86 para seções classe 3 é:

yfE

55,0

c) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de

enrijecedores (um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não

pode ser inferior a ( )450/h .

d) Quando for igual ou superior a 260, a relação a/h não pode ultrapassar a

3 e nem a .

wt/h

[ ]2( )wt/h/260

e) Um método alternativo para a determinação da resistência de cálculo dada por

5.5.2 - NBR 8800/86, utilizando o conceito de campo de tração, é apresentado no Anexo G -

NBR 8800/86.

3.2.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2

Item G-2.1 (NBR 8800/86) - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a ,

independente da relação

( )[ ]2wt/h/260

wt/h .

Item G-2.2 - NBR 8800/86 - Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências

dadas nas notas a, b, c de 5.5.2 (NBR 8800/86), devem também ter área mínima da seção

transversal (num plano paralelo às mesas do perfil), dada por:

( ) wpln

st YDath/a15,112

V/V1A η−

−=

nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tração, conforme

5.5.2 - NBR 8800/86

70

Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma e do enrijecedor

D = 1,0, para enrijecedores colocados em pares

D = 1,8, para enrijecedores constituídos de uma cantoneira

D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chapa

Para os significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 - NBR 8800/86.

Item G-2.3 - As ligações dos enrijecedores transversais com a alma têm de ser capazes de

transmitir uma carga distribuída, na direção do comprimento do enrijecedor, cujo valor para

enrijecedor simples ou par de enrijecedores é dado por:

3ys fh0001,0=q

=qs carga distribuída, em N/mm

h = altura da alma, em mm (distância entre faces internas das mesas)

yf = limite de escoamento do aço da alma, em MPa

Item G-2.4 - O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis

com aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.

Item G-2.5 - O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão

normal simples, sendo que deve ser verificada a interação entre força cortante e o momento

fletor, conforme G-3.

Item G-2.6– O efeito do campo de tração também não se aplica a vigas com almas sujeitas a

cargas concentradas em seções sem enrijecedores, por exemplo, no caso de vigas sujeitas a

cargas móveis.

3.2.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3

Quando a resistência de cálculo à força cortante de uma barra fletida depender do

efeito do campo de tração, deve ser atendida a seguinte equação de interação:

d d'

b n v n

M V0,625 1,375M V

+ ≤φ φ

Adicionalmente devem também ser feitas as seguintes verificações isoladas:

d bM Mn≤ φ

'd vV V≤ φ n

dd V e M são o momento fletor e a força cortante de cálculo, respectivamente

71

b nMφ = resistência de cálculo ao momento fletor, conforme F-2 - Anexo F - NBR

8800/86.

= resistência de cálculo à força cortante conforme G-1 - Anexo G - NBR

8800/86.

'v nVφ

3.2.3 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de

estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003)

3.2.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F

(normativo)

3.2.3.1.1 Generalidades – item F.1

Item F.1.1 – PNBR 8800/03 - Este anexo aplica-se ao dimensionameto de vigas esbeltas,

definidas em F.1.2, com seção I ou H soldadas com dois eixos de simetria ou um eixo de

simetria no plano médio da alma, carregada neste plano e atendendo aos seguintes requisitos:

• No caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao


• O parâmetro de esbeltez wt/h=λ , onde h é a distância entre as faces internas das

mesas e wt é a espessura da alma, não pode ultrapassar 260 nem o valor:

( )máx

y y r

0, 48

f f fλ =

+ (E e em megapascal) yf


, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1,5≤ maxλ yf/E7,11 se este limite superar o

anterior, onde E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento do aço. yf

Nesta equação, E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento do aço, e é a

tensão residual, igual a 70 MPa nos perfis soldados fabricados por deposição de metal e solda

com chapas cortadas a maçarico e 115 MPa nos demais perfis soldados.

yf rf

Item F.1.2 - As vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma (

superior a

wt/h )

yf/E70,5 .

72

3.2.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2

Item F.2.1 - O momento fletor resistente característico, , é o menor valor obtido de

acordo com os estados limites de escoamento da mesa tracionada e de flambagem:

RkM


yxtRk fW=M

b) para flambagem:

crpgxcRk σkW=M

onde:

xcW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado comprimido da

seção transversal;

xtW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado tracionado da


crσ é a tensão de flambagem conforme F.2.2 – PNBR 8800/03;

w fpg

w f w cr

A / A h Ek 1 5,70 1,1200 300A / A t

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ σ⎝ ⎠

0

sendo a área da alma e é a área da mesa comprimida. wA fA

Item F.2.2– A tensão de flambagem é calculada como a seguir indicado, para cada estado

limite de flambagem:

crσ

a) para pλ ≤ λ

ycr f=σ


pcr y

r p

f 1 0,5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ

σ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

c) para rλ>λ

2pg

cr λC

=σ

Item F.2.3 – PNBR 8800/03 – Os valores de e o coeficiente são determinados

para cada estado limite de flambagem, como a seguir indicado (no dimensionamento deve ser

usado o menor valor de ):

rp λ e λ ,λ pgC

crσ

73

- estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):

T

b

rL

=λ

yp f

E76,1=λ

y

br f

EC44,4=λ

ECπ=C b2

pg

- estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)

f

f

t2b

=λ

yp f

E38,0=λ

yr f

E35.1=λ

cpg Ek88,0=C

onde:

wc t/h

4=k e c0,35 k 0,763≤ ≤


Item F.2.4 - O estado limite de flambagem local da alma não é aplicável.

3.2.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -

anexo G (normativo)

3.2.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1

Item G.1.1 - A força cortante resistente característica de almas de seções I e H, prismáticas,

fletidas em relação ao eixo central de inércia perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do

campo de tração, é determinada como a seguir (ver G.1.3 - PNBR 8800/03): RktV

a) para pλ ≤ λ

74

plRkt V=V

b) para pλ>λ

( )Rkt v v plV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦

onde:

plV é a força cortante correspondente à plastificação da alma por cisalhamento, definida no

item 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03;

vC é o coeficiente de força cortante, dado em G.1.2 – PNBR 8800/03;

2

1

a1,15 1h

η =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

- O item 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03 diz o seguinte:

A força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por cisalhamento é dada por:

ywpl fA60,0=V

Nesta equação, é a área efetiva de cisalhamento, que deve ser tomada igual a: wA

a) em almas de seções I, H e U: wt d ;

b) em almas simétricas de seções caixão e tubulares retangulares: wt h 2 .

onde d é a altura total da seção transversal.

Item G.1.2- O coeficiente de força cortante deve ser determinado como segue (ver G.1.3 –

PNBR 8800/03):

vC

a) para p w rh / tλ ≤ ≤ λ

w

yvv t/h

f/Ek10,1=C

b) para rw λ>t/h

( )v

v 2w y

1,51k ECh / t f

=

onde:

E é o módulo de elasticidade do aço;

yf é a resistência ao escoamento do aço;

vk é o coeficiente de flambagem da alma por força cortante, dado por:

75

( )2v h/a5

+5=k

devendo ser tomado igual a 5,0 se a/h exceder a 3,0 ou a . ( )[ ]2wt/h/260

Item G.1.3 - |Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos em 5.4.3.2.1 –

PNBR 8800/03.

rp λ e λ ,λ

Item 5.4.3.2.1 - Em seções I, H e U fletidas em torno do eixo central de inércia perpendicular

à alma e seções caixão e tubulares retangulares fletidas em torno de um eixo central de

inércia, a força cortante resistente característica, , é dada por: RkV

a) para pλ ≤ λ

plRk V=V

b) para rp λ<λ<λ

plp

Rk Vλλ

=V

c) para rλ>λ2

pRk plV 1,28 V

λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟λ⎝ ⎠

onde:

wth

=λ

y

vp f

Ek10,1=λ

y

vr f

Ek37,1=λ

( )

( )

v 2

2

vw

5 ak 5 , para 3ha / h

ou

a a 260k 5,00, para 3 ou h h h / t

= + ≤

⎡ ⎤= > > ⎢ ⎥

⎣ ⎦

é a força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por

cisalhamento, dada na seção 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03, já citada anteriormente;

plV

76

a é a distância entre as linhas de centro de dois enrijecedores transversais

adjacentes;

h é a altura livre da alma entre mesas;

3.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2

Item G.2.1 - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 e nem a ,

independentemente da relação

( )[ ]2wt/h/260

wt/h .

Item G.2.2 – Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências dadas em

5.4.3.2.3, alíneas a, b, c e e, devem também ter uma área mínima da seção tranversal (num

plano paralelo as mesas do perfil), dada por:

( ) 2Sdst r s w v w

Rd

VA 0,15D ht 1 C 18tV

⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

onde:

é a força cortante solicitante de cálculo na seção transversal da viga onde se situa

o enrijecedor;

SdV

é a força cortante resistente de cálculo, sem incluir o efeito do campo de tração,

conforme o item 5.4.3.1 da NBR 8800;

RdV

é a relação entre as resistências ao escoamento dos aços da alma e do enrijecedor; rα

sD é um coeficiente, igual a 1,0 para enrijecedores colocados em pares, a 1,8 para

enrijecedores constituídos de uma cantoneira e a 2,4 para enrijecedores constituídos de uma

chapa;

Para os significados dos demais termos ver 5.4.3.2.1 e G.1.

Item G.2.5 - O efeito do campo de tração também não se aplica a vigas com almas sujeitas a

forças concentradas em seções sem enrijecedores, por exemplo, no caso de vigas sujeitas a

forças móveis.

Para as seções I e H devem ser obedecidas as seguintes regras:

a) os enrijecedores transversais devem ser soldados à(s) alma(s) e às mesas do perfil,


entre os pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre

ww t6 e t4 ;

77

b) a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode

ultrapassar yf/E55,0 ;

c) o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores

(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a

, onde ; jat3w ( )2j 2,5 / a / h 2 0,⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 5≥

e) se os enrijecedores são ligados à alma por parafusos, o espaçamento máximo entre os

centros desses parafusos não pode ultrapassar 300 mm. Se são usados filetes de solda

intermitentes, a distância livre entre esses filetes não pode superar 16 vezes a espessura da

alma, nem 250 mm.

Item 5.4.3.2.4 – Um método alternativo para a determinação da força cortante resistente

característica, utilizando o conceito do campo de tração, é apresentado no anexo G da NBR

8800. Se a força cortante resistente for determinada por esse anexo, e se:

Rkt RktSd

V V0,60 V≤ ≤γ γ

Rk RkSd

M M0,75 M≤ ≤γ γ

deve ser verificada a interação entre momento fletor e força cortante por meio do atendimento

da seguinte expressão:

Sd Sd

Rk Rkt

M V0,625 1,375M / V /

+ ≤γ γ

Onde:

γ é o coeficiente de ponderação da resistência para flexão, igual a 1,10;

SdSd V e M são o momento fletor solicitante de cálculo e a força cortante solicitante de càlculo,

respectivamente;

RkM é o momento fletor resistente característico determinado conforme a subseção F.2 do

anexo F - PNBR 8800/03;

RktV é a força cortante resistente característica determinada conforme a subseção G.1 do

anexo G - PNBR 8800/03;

3.2.4 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas

mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007)

78

3.2.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)

3.2.4.1.1 Generalidades – item H.1

Item H.1.1 - As vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma (

superior a

wt/h )

yf/E70,5 , onde E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento

do aço.

yf

Item H.1.2 - Este anexo aplica-se ao dimensionameto de vigas esbeltas, definidas em H.1.1,

com seção I ou H soldadas com dois eixos de simetria ou um eixo de simetria no plano médio

da alma, carregada neste plano e atendendo aos seguintes requisitos:

a) No caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao


b) O parâmetro de esbeltez wt/h=λ , onde h é a distância entre as faces internas das

mesas e wt é a espessura da alma, não pode ultrapassar 260 nem o valor:

( )máx

y y r

0, 48

f f fλ =

+ (E e em megapascal) yf


, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1,5≤ maxλ yf/E7,11 se este limite superar o

anterior.

Nesta equação, é a tensão residual, igual a 70 MPa nos perfis soldados fabricados por

deposição de metal de solda com chapas cortadas a maçarico e igual a 115 MPa nos demais

perfis soldados.

rf

3.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2

Item H.2.1 - O momento fletor resistente característico, , é o menor valor obtido de

acordo com os estados limites de escoamento da mesa tracionada e de flambagem:

RdM

a) para o escoamento da mesa tracionada (EMT):

1a

yxtRd γ

fWM =

b) para flambagem:

79

1a

crpgRd γ

MkM =

onde:

xcW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado comprimido da


xtW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado tracionado da


crM é o momento fletor de flambagem elástica, conforme H.2.2;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

cr

xc

w

c

r

rpg M

EW70,5

th

a3001200a

1k

com

ra igual a relação entre a área da alma e da mesa comprimida, sendo que a seção não pode

apresentar esta relação superior a 10;

ch igual a duas vezes a distância do centro geométrico da seção transversal à face interna da

mesa comprimida.

Item H.2.2– O momento fletor de flambagem elástica, , é calculado como a seguir

indicado, para cada estado limite de flambagem:

crM

a) para pλ ≤ λ

yxccr fWM =


xcpr

pycr W

λλλλ

5,01fM⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−=

c) para rλ>λ

2xcpg

cr λWC

M =

Item H.2.3 – Os valores de e o coeficiente são determinados para cada estado

limite de flambagem, como a seguir indicado (no dimensionamento deve ser usado o menor

valor de :

rp λ e λ ,λ pgC

crM )

- estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):

80

T

b

rL

=λ

yp f

E76,1=λ

y

br f

EC44,4=λ

ECπ=C b2

pg

- estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)

f

f

t2b

=λ

yp f

E38,0=λ

yr f

E35.1=λ

cpg Ek88,0=C

onde:

wc t/h

4=k e c0,35 k 0,763≤ ≤


Item H.2.4 - O estado limite de flambagem local da alma não é aplicável.

3.2.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3

Item 5.4.3.1 – Seções I, H e U fletidas em relação ao eixo perpendicular à alma e seções

caixão e tubulares retangulares

Item 5.4.3.1.1 - Em seções I, H e U fletidas em relação ao eixo central de inércia

perpendicular à alma e seções caixão e tubulares retangulares fletidas em torno de um eixo

central de inércia, a força cortante resistente característica, , é dada por: RdV

a) para pλ ≤ λ

1a

plRd γ

VV =

81

b) para r p λ<λ<λ

1a

plpRd γ

Vλλ

V =

c) para rλ>λ

1a

pl2

pRd γ

Vλλ

24,1V ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

onde:

wth

=λ

y

vp f

Ek10,1=λ

y

vr f

Ek37,1=λ

( )

( )

v 2

2

vw

5 ak 5 , para 3ha / h

ou

a a 260k 5,00, para 3 ou h h h / t

= + ≤

⎡ ⎤= > > ⎢ ⎥

⎣ ⎦

é a força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por

cisalhamento, dada na seção 5.4.3.1.2 - PNBR 8800/07;

plV

a é a distância entre as linhas de centro de dois enrijecedores transversais

adjacentes;

h é a altura livre da alma entre mesas;

Item 5.4.3.1.2 - A força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por

cisalhamento é dada por:

ywpl fA60,0=V

Nesta equação, é a área efetiva de cisalhamento, que deve ser tomada igual a: wA

a) em almas de seções I, H e U: wt d ;

b) em almas simétricas de seções caixão e tubulares retangulares: wt h 2 .

onde d é a altura total da seção transversal.

82

3.2.5 Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and rules for

buildings (CEN, 1992)

3.2.5.1 Classificação das seções transversais – item 5.3

3.2.5.1.1 Base – item 5.3.1

(1) Quando análise plástica global é usada, os membros devem ser capazes de formar

rótulas plásticas com suficiente capacidade de rotação para capacitar a requerida

redistribuição de momentos fletores a se desenvolver.

(2) Quando análise elástica global é usada, qualquer classe de seção transversal pode ser

usada para os membros, providenciado para que o projeto dos membros levem em conta os

possíveis limites na resistência de seções transversais devido a flambagem local.

3.2.5.1.2 Classificação – item 5.3.2

(1) Quatro classes de seções transversais são definidas, como segue:

• Classe 1 de seções transversais é aquela na qual estas podem formar rótulas

com a capacidade de rotação requerida para análise plástica.

• Classe 2 de seções transversais é aquela na qual estas podem desenvolver seu

momento plástico, mas têm capacidade de rotação limitada.

• Classe 3 de seções transversais é aquela na qual a tensão calculada na fibra

extrema em compressão do membro de aço pode alcançar sua resistência de escoamento, mas

flambagem local é responsável a prevenir o desenvolvimento de resistência de momento

plástico.

• Classe 4 de seções transversais é aquela na qual é necessário fazer explícitas

permissões para os efeitos de flambagem local quando estiver determinando sua resistência de

momento ou resistência à compressão.

(2) Larguras efetivas podem ser usadas em seções transversais de Classe 4 para fazer as

necessárias permissões para reduções na resistência devido aos efeitos de flambagem local,

ver item 5.3.5 – Eurocode 3.

83

(3) A classificação de uma seção transversal depende das proporções de cada um de seus

elementos em compressão.

Tabela 3.2.1 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura para elementos em compressão. a) Almas (elementos internos perpendiculares ao eixo de flexão)

d

t t

d

w w

Classe Alma sujeita a flexão

Distribuição de tensão no elemento (compressão positiva)

-

hd

fy

fy+

1 wd / t 72≤ ε 2 wd / t 83≤ ε

Distribuição de tensões no elemento (compressão positiva) h

fy

fy d/2

d/2

-

+

3 wd / t 124≤ ε

yf/235=ε

(4) Elementos em compressão incluem todo elemento da seção transversal que está

totalmente ou parcialmente em compressão, devido a força axial ou momento fletor, sob a

combinação de carregamento considerada.

(5) Os elementos em compressão variados na seção transversal (tal como a alma ou a

mesa) podem, em geral, estar em diferentes classes.

...

(8) As proporções limites para elementos em compressão Classe 1, 2, e 3 devem ser

obtidas pela tabela 5.3.1 – Eurocode 3, representada na tabela 3.2.1. O elemento que falha em

satisfazer os limites para Classe 3 devem ser tomados como Classe 4.

84

Tabela 3.2.2 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima elementos em compressão.

b) meproporção largura/espessura para

sas que permanecem fora: c

tf ft

c

Classe Alma sujeita a flexão

Distribuição de tensão no elemento (compressão positiva) c

+

-

1 fc / t 9≤ ε 2 fc / t 10≤ ε

Distribuição de tensões no elemento (compressão positiva) c

+

-

3 fc / t 14≤ ε

yf/235=ε

3.2.5.1.3 Propriedades da seção transversal efetiva Classe 4 – item 5.3.5

al efetiva Classe 4 devem ser baseadas nas larguras

elementos internos e a tabela 5.3.3 – Eurocode 3 para

(3) Como aproximação, o fator de redução pode ser obtido como se segue:

• Quando

(1) As propriedades da seção transvers

efetivas dos elementos em compressão.

(2) As larguras efetivas de elementos planos em compressão devem ser obtidas usando a

tabela 5.3.2 – Eurocode 3 para

elementos que permanecem fora.

ρ

p 0,673λ ≤ :

• Quando

1=ρ

: ( ) 2p p0, 22 /ρ = λ − λ 673.0>λ p

pλonde é o parâmetro de esbeltez da chapa fornecido como:

( ) ( )0,5p y crf / b / t / 28, 4 kσ⎡ ⎤λ = σ = ε⎣ ⎦

85

(4) para determinar as larguras efetivas dos elementos de mesa, a proporção de tensão

usada na tabela 3.2.3 ou 3.2.4 (tabela 5.3.2 – Eurocode 3 ou tabela 5.3.3 – Eurocode 3) pode

ser baseada nas propriedades da seção transversal bruta.

ψ

Tabela 3.2.3 (Eurocode 3 – tabela 5.3.2) – Elementos internos comprimidos Distribuição de tensão (compressão positiva)

Largura efetiva effb

1

be1 be2

b

2

1=ψ : bρ=beff

eff1e b5.0=b

eff2e b5.0=b

1

2

bc tb

e1b e2b

b

0<ψ

( )eff 1cb b b /= ρ = ρ −Ψ

eff2e b6.0=b

eff1e b4.0=b

12 σ/σ=ψ 1 0>ψ>1 0 0 1> Ψ > − -1 1 2− > Ψ > − Fator de

flambagem σk

4.0 ψ+05.12.8

7.81 2

7,81 6,299,78

− Ψ

+ ψ23.9 ( )5,98 1−Ψ 2

Tabela 3.2.4 (Eurocode 3 – tabela 5.3.3) – Elementos externos comprimidos Distribuição de tensão (compressão positiva)

Largura efetiva effb

21

c

effb

1 0> Ψ ≥

cρ=beff

:

12 σ/σ=ψ 1 0>ψ>1 0 0 1> Ψ > − -1 Fator de

flambagem σk

0.43 34.0+ψ578.0

1.70 2

1,7 517,1− Ψ

+ ψ 23.8

86

onde

t é a espessura relevante crσ é a tensão crítica de flambagem da chapa

σk é o fator de flambagem correspondente à proporção de tensão da tabela 5.3.2 ou 5.3.3 – Eurocode 3 o que for apropriado

ψ

b é a largura apropriada (ver tabela 5.3.1 – Eurocode 3)

b = d para almas

b = c para mesas que permanecem fora

(5) para determinar a largura efetiva da alma, a proporção de tensão usada na tabela 3.2.3

(tabela 5.3.2 – Eurocode 3) pode ser obtida usando a área efetiva da mesa comprimida mais a

área bruta da alma.

ψ

(6) geralmente o eixo centroidal da seção transversal efetiva irá mudar de uma dimensão “e”

comparada ao eixo centroidal da seção transversal bruta. Isto deve ser levado em conta

quando for calcular as propriedades da seção transversal efetiva.

3.2.5.1.4 Momento fletor – item 5.4.5

(1) na ausência de força cortante, a resistência de projeto de uma seção transversal pode ser

determinada como se segue:

Seções tranversais Classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M

3.2.5.2 Resistência à flambagem de membros – item 5.5

3.2.5.2.1 Flambagem lateral com torção de vigas – item 5.5.2

(1) o momento resistente à flambagem de projeto de uma viga não restringida lateralmente

deve ser tomada como:

1Myy,plwLTRd,b γ/fWβχ=M

onde para seções transversais Classe 4 y,ply,effw W/W=β

e é o fator de redução para flambagem lateral com torção. LTχ

(2) o valor de χ ara a esbeltez não-dimensional apropriada LT p LTλ de ser determinado por: po

87

LT 0.522LTLT LT

1χ =

⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦

mas LT 1χ ≤

( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3) os valores do fator de imperfeição para flambagem lateral com torção deve ser

tomado como:

LTα

21.0=α LT para seções laminadas

49.0=α LT para seções soldadas

(5) o valor de LTλ pode ser deteminado por:

[ ][0.5 0.5LT w pl,y y cr LT 1 wW f / M /⎡ ⎤λ = β = λ λ β⎣ ⎦ ]

onde

[ ] ε9.93=f/Eπ=λ 5.0y1

[ ] ( )2y

5.0y N/mm em f f/235=ε

e é o momento crítico elástico para flambagem lateral com torção. crM

(6) informação para o cálculo de (ou para o cálculo direto de ) é fornecido no Anexo

E – Eurocode 3.

crM LTλ

(7) onde a esbeltez não-dimensional LT 0.4λ ≤ , nenhuma permissão para flambagem lateral

com torção é necessária.

(8) uma viga com restrição total não necessita ser checada para flambagem lateral com torção.

3.2.5.3 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6

3.2.5.3.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3

(1) no método simples pós-crítico, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento

deve ser obtida por: Rd,baV

ba,Rd w ba M1V dt /= τ γ

onde é a resistência simples pós-crítica ao cisalhamento. baτ

(2) a resistência ao cisalhamento simples pós-crítica deve ser determinada como se

segue:

baτ

88

a) quando w 0.8λ ≤ :

( )3/f=τ ywba

b) quando 2.1<λ<8.0 w :

( ) ( )wba yw1 0.625 0.8 / f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦

c) quando w 1.2λ ≥ :

[ ]( )3/fλ/9.0=τ ywwba

onde wλ é a esbeltez da alma obtida por:

( )[ ]τ

w5.0cryww

kε4.37t/d

=τ/3/f=λ

onde

crτ é a resistência elástica crítica de cisalhamento

τk é o fator de flambagem para cisalhamento.

(3) o fator de flambagem para cisalhamento é obtido pelo seguinte: τk

• Para almas com enrijecedores transversais no suporte mas sem enrijecedores

transversais intermediários:

34.5=k τ

• Para almas comenrijecedores transversais nos suportes e enrijecedores transversais

intermediários com a/d<1:

( )2τ d/a/34.5+4=k

• Para almas comenrijecedores transversais nos suportes e enrijecedores transversais

intermediários com a/d>1:

( )2τ d/a/4+34.5=k

3.2.5.3.2 Método do campo de tração – item 5.6.4

(1) no método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento

deve ser obtida por: Rd,bbV

( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V

onde é a resistência do campo de tração, obtida por: bbσ

89

0.52 2 2bb yw bbf 3⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦

onde é , ψ φ2sinτ5.1 bb

onde é a inclinação do campo de tração φ

g é a largura do campo de tração, ver figura 3.2.4.1

e é a resistência à flambagem por cisalhamento inicial. bbτ

(2) a resistência à flambagem por cisalhamento inicial deve ser determinada como se

segue:

bbτ


( )3/f=τ ywbb

b) quando 2.1<λ<8.0 w :

( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦


[ ]( )3/fλ/1τ yw2

wbb =

onde wλ é obtida pelo item 5.6.3 – Eurocode 3.

(3) a largura do campo de tração g é fornecida por:

( )c tg d cos - a-s s sin= φ − φ

onde são os comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas em

compressão e tração respectivamente, obtidas por:

tc s e s

O

O

g

ts

a

sc

b

t

t

td

Figura 3.2.1 (Eurocode 3 – figura 5.6.1) – Geometria do campo de tração.

90

0.5Nf ,Rk

w bb

M2s msin t

⎡ ⎤= ≤⎢ ⎥φ σ⎣ ⎦

as s a

onde é a resistência plástica de momento reduzida da mesa. Rk,NfM

(4) a resistência plástica de momento permitindo a força longitudinal na mesa

(devido ao momento e qualquer força axial no membro), é obtida por:

Rk,NfM Sd,fN

SdM SdN

( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

onde b e são a largura e a espessura da mesa relevante. ft

3.2.5.3.3 Inclinação do campo de tração – item 5.6.4.2

(1) a inclinação do campo de tração varia entre o mínimo de e o máximo onde

é a inclinação do painel diagonal obtido por:

φ 2/Θ Θ Θ

( )a/darctan=Θ

(2) o valor mínimo se aplica quando as mesas são totalmente utilizadas ao resistir o

momento fletor no membro. O valor máximo de Θ se aplica à condição de campo de tração

completo com s = a.

2/Θ

(4) qualquer outro valor de entre os limites é conservativo. Como aproximação

pode ser assumido.

φ Θ e 2/Θ

5.1/Θ=φ

3.2.5.4 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial – item 5.6.7

3.2.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2

(1) a seção transversal deve ser assumida satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante

na resistência de momento de projeto, se ambos os critérios são satisfeitos:

Sd f ,Rd Sd ba,RdM M e V V≤ ≤

onde é o momento plástico de projeto da seção transversal consistindo das mesas

somente, levando em conta a largura efetiva da mesa comprimida, de acordo com o item

5.3.5 – Eurocode 3.

Rd,fM

effb

Rd,baV é a resistência à flambagem por cisalhamento do item 5.6.3 – Eurocode 3.

91

(2) providenciado que não exceda 50% de a resistência de projeto da seção

transversal para momento fletor e força axial não necessita ser reduzido para permitir a força

cortante.

SdV Rd,baV

(3) quando excede 50% de o seguinte critério deve ser satisfeito: SdV Rd,baV

( ) ( )2

Sd f ,Rd pl.Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦

3.2.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3

(1) a seção transversal pode ser assumida satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante

na resistência de momento de projeto, se ambos os critérios são satisfeitos:

Sd f ,Rd Sd bw,RdM M e V V≤ ≤

onde são tomados cada um como o valor máximo respectivo no painel entre

enrijecedores transversais de alma adjacentes.

SdSd V e M

Rd,fM é obtido no item 5.6.7.2 – Eurocode 3

e é a resistência à flambagem por cisalhamento da “alma somente” Rd,bwV

(2) a resistência à flambagem por cisalhamento da “alma somente” é o valor específico

de do item 5.6.4 – Eurocode 3 para o caso onde as mesas estão resistindo o momento

igual a e conseqüentemente no item 5.6.4.1 – Eurocode 3 o momento plástico

resistente reduzido da mesa .

Rd,bwV

Rd,bbV

SdM Rd,fM

0=M Rk,Nf

(3) para a seção com mesas iguais e sem força axial, deve ser calculado assumindo: Rd,bwV

0=s=s tc e 2/Θ=φ

(4) providenciado para que não exceda 50% de a resistência de projeto da seção

transversal para momento fletor e força axial não necessita ser reduzida para permitir a força

cortante.

SdV Rd,bwV

(5) quando excede 50% de mas não excede o seguinte critério deve ser

satisfeito:

SdV Rd,bwV Rd,bwV

( ) ( )2

Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦

92

3.3 Teorias utilizadas

Algumas teorias relacionadas ao dimensionamento de vigas esbeltas foram

utilizadas neste trabalho. Serão apresentados a seguir os trechos utilizados destas teorias.

3.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)

3.3.1.1 Capacidade de carga de vigas esbeltas sujeitas a flexão e cisalhamento

JUHÁS (2001), em seu trabalho, desenvolveu uma análise teórica original da

capacidade de carga de momento-cortante de vigas esbeltas com típicas seções I compactas.

Estas são combinadas com diferentes aços onde as mesas são de aços de alta resistência e a

alma é de aço de média resistência. A seção transversal homogênea representa apenas o caso

limite para as seções transversais universais. O estágio plástico último é aqui considerado

como uma perfeita plastificação da alma na seção transversal decisiva. Os resultados das

análises teóricas são equações para o cálculo do carregamento cisalhante último, momento

fletor último e a capacidade de carga ao momento-cortante para diferentes seções transversais.

De acordo com resultados teóricos a fórmula de interação simples para seções transversais

homogêneas é apresentada. Esta fórmula que é aplicada na Slovak Technical Standard STN

73 1401:1998 é comparada com a fórmula adequada que resulta da European Prestandard

prEN 1993-1-1. Finalmente, a substituição da fórmula de interação para o projeto seguro de

seções transversais híbridas e vigas esbeltas é sugerida.

Segundo JUHÁS (2001), vigas esbeltas são normalmente sujeitas

simultaneamente à flexão e ao cortante. Nestes casos a capacidade de carga depende da

eficiência das cargas de flexão e cortante. Geralmente, o efeito do carregamento de flexão é o

principal fator decisivo. Para isto, a capacidade de carga ao momento-cortante deve ser

calculada e levada em consideração para um projeto de vigas esbeltas seguro e econômico.

A capacidade de carga ao momento-cortante de vigas esbeltas depende de vários

parâmetros. Além da carga e do esquema estático, as dimensões geométricas e as

propriedades dos materiais são muito importantes. Estes parâmetros influenciam o

comportamento e a ruína de vigas com valor significante. Além disso eles influenciam

também a determinação da capacidade de carga ao momento-cortante de diferentes vigas.

Em relação às dimensões geométricas as seções transversais de vigas podem ser

compactas ou esbeltas. No caso de vigas com seções transversais compactas pode ser utilizada

93

a capacidade de carga plástica ou elastoplástica. No caso de vigas de seções transversais

esbeltas a capacidade de carga pós-crítica elástica ou elastoplástica pode ser utilizada. É

vantajoso projetar as vigas com mesas comprimidas compactas e alma esbelta – delgada,

enrijecida em adequadas medidas por enrijecedores transversais ou transversais e

longitudinais.

Levando em consideração as propriedades dos materiais as seções transversais de

vigas podem ser homogêneas ou combinadas de diferentes aços. É uma vantagem econômica

projetar as vigas híbridas com mesas de aço de alta resistência e almas compactas ou delgadas

de aços de média resistência. No caso de vigas com seções híbridas compactas podem ser

utilizadas capacidades de carga plástica ou elastoplástica. No caso de vigas híbridas com

mesas comprimidas compactas e almas esbeltas enrijecidas a capacidade de carga

elastoplástica pós-critica pode ser utilizada.

M

2

f

V1

M1

l

V

a

fyw yf

cL

F F

b

Af

t f

2

Aw

Af

t

t

d

w

h

lf

( ) 2/δ+1=δ ,d/h=δ ,A/A=γ ,t/d=β ,d/a=α ,f/f=m 0wfwywyf Figura 3.3.1.1 (JUHÁS, 2001) – Esquema e parâmetros da viga esbelta.

Muitos trabalhos teóricos e experimentais têm sido feitos para a análise do atual

comportamento elastoplástico de vigas sujeitas simultaneamente ao momento e cortante e

também para a elaboração de métodos e procedimentos para o cálculo da capacidade de carga

(McGUIRE, 1968; GALAMBOS, 1998 apud JUHÁS, 2001). Previamente, o autor deste

trabalho também realizou um largo programa teórico e experimental orientado para a

investigação da capacidade de carga ao momento-cortante de vigas híbridas com almas

compactas e esbeltas (JUHÁS, 1975, 1987). De acordo com esta investigação as soluções

94

teóricas e práticas da determinação da capacidade de carga ao momento-cortante que são

válidas para vigas híbridas e homogêneas com seções compactas são apresentadas neste

trabalho.

A análise teórica assume vigas com as típicas seções I soldadas combinadas com

diferentes tipos de aço. Estas são suportadas adequadamente contra flambagem lateral com

torção e enrijecidas por enrijecedores transversais devido a aspectos de estabilidade local. O

esquema estático, as características materiais e geométricas e os parâmetros das vigas esbeltas

aparecem na figura 3.3.1.1.

Para a análise teórica é também assumido que:

a) Material elastoplástico ideal;

b) Teoria da energia de deformação com as condições de plasticidade

,f resp. ,f=τ3+σ ywy22 (3.3.1.1)

τ e σ são as tensões normal e cisalhante num ponto individual da seção transversal, é a

tensão de escoamento na tração e é a tensão de escoamento na tração do material da alma;

yf

ywf

c) tensões de cisalhamento reduzem apenas a capacidade de carga da alma, nas

mesas podem ser alcançadas tensões normais , onde é a tensão de escoamento do

material da mesa.

yff yff

No caso de seção transversal compacta, é assumido que a alma não flamba

durante todo o processo de carregamento. Para isto, a análise teórica pode ser baseada na

teoria da flexão linear. De acordo com esta teoria, no caso de carregamento de flexão simples,

as rótulas plásticas ideais com tensões normais constantes e momento fletor totalmente

plástico pode ser assumida em seções transversais críticas. O momento fletor totalmente

plástico de seções transversais I simétricas é

yf

plM

w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M (3.3.1.2)

w,plf,pl W e W

plM

são os módulos plásticos de seção das mesas e da alma. A força cisalhante

influencia a plastificação da seção transversal decisiva e reduz o seu momento fletor plástico

. Então o problema é como assumir a distribuição plástica de tensões na seção transversal

e como calcular este reduzido momento fletor e a capacidade de carga plástica de

momento-cortante de vigas.

V,uM

95

Mais soluções teóricas da capacidade de carga plástica de momento-cortante

existem até o presente momento (NEAL, 1956; MRÁZIK, SKALOUD e TOCHÁCEK, 1986

apud JUHÁS, 2001), mas elas são válidas somente para seções transversais homogêneas. A

solução teórica original para seções transversais híbridas e homogêneas foi desenvolvida

previamente (JUHÁS, 1975, 1987). A distribuição de tensões normais e cisalhantes devido à

flexão através da seção transversal na extensão elástica e plástica dessa solução é apresentada

na figura 3.3.1.2.

tw

b td

fh

fyf

t f 1 1 1

0 z

fsw

z

f fsw

21 1

0

1 2

ba

Figura 3.3.1.2 (JUHÁS, 2001) – Tensão normal de flexão e cisalhante assumidas na seção transversal.

A distribuição de tensão assumida na seção transversal é diferente comparada

àquelas de outros autores particularmente no estágio plástico. O estágio plástico último é aqui

considerado como a perfeita plastificação da alma na seção transversal decisiva. De acordo

com essa suposição dois casos de estágio limite podem ocorrer na seção transversal assumida:

1. A seção transversal inteira é plastificada, ver figura 3.3.1.2a. Então o momento

fletor último é: V,uM

u,V bM M≥ (3.3.1.3)

2. Somente a alma da seção transversal é plastificada, ver figura 3.3.1.2b. Então o

momento fletor último : V,uM é

bV,u M<M (3.3.1.4)

bM significa o momento fletor limite da seção transversal na simultânea plastificação da alma

e das mesas,

96

( )( )32200w,plb ξm3/δξ/1γδm4MM −+= (3.3.1.5)

( )6γδ61d

MVξ ,ξ31ξ

20

020

+=+= (3.3.1.6)

As equações seguintes foram derivadas para o cálculo da força cortante última M,uV :

a) A seção transversal inteira é plastificada

( )

( )0

ξξ3ξmξγδ925.2

3ξξξ6ξγδ95.1

VV

VV

20

210

0

20

21

20

pl

M,u

2

pl

M,u

=−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(3.3.1.7)

b) Somente a alma da seção transversal é plastificada

( )

( )

( )0

ξξ3ξξγδ5.4ξ25.2

ξξ9ξγδ975.3

VV

3ξξξ9ξγδ95.1

VV

VV

3

30

211

200

20

21

20

pl

M,u

0

20

21

20

2

pl

M,u

3

pl

M,u

=−−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(3.3.1.8)

0

2

1 ξξ1arcsin

3ξξ −= (3.3.1.9)

.3/AfAfV wywww,spl == (3.3.1.10)

plV é a força cisalhante totalmente plástica, é a tensão de escoamento no cisalhamento do

material da alma.

w,sf

Geralmente não é sabido qual caso limite é correto. Para isto é necessário usar as

equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para o cálculo da carga cisalhante última . Então, o menor

valor é válido. é a força cortante última que depende do momento fletor M agindo na

seção transversal. O momento fletor último depende da força cortante V agindo na

seção transversal. O momento fletor último pode ser calculado pela equação, segundo

JUHÁS (2001)

M,uV

M,uV

V,uM

V,uM

0

20

0pl

M,u

pl

V,u

γδm41γδ61

ξ332

VV

MM

++

= (3.3.1.11)

As equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e 3.3.1.11 são válidas para seções transversais I

híbridas e homogêneas. Se a proporção do material 1=m então estas equações são válidas

97

somente para seções transversais I homogêneas. Se também a proporção de forma então

estas equações são válidas para seções transversais retangulares homogêneas.

0=γ

As relações plV,uplM,u M/MV/V − resultantes das equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e

3.3.1.11 para seções transversais homogêneas com proporções de forma

são marcadas na figura 3.3.1.3. A curva com é valida para seção transversal retangular.

6.1 e ;0=γ 6.0 ;2.0

0=γ

Figura 3.3.1.3 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seções transversais homogêneas dadas, 1.05δ ,1m == .

As relações plV,uplM,u M/MV/V − resultantes das equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e

3.3.1.11 para seções transversais híbridas com proporções de material ão

marcadas na figura 3.3.1.4. A curva com

3 ;5.1 ;1=m s e 2.5 2;

1m = é válida para seções transversais homogêneas.

As soluções completas e correspondentes relações consistem de duas partes com as

proporções limites ( )limplM,u V/V . A primeira parte responde ao caso quando a total

plastificação da seção transversal surge, então ( )limplM,upl V/V<V/V . A segunda parte

responde ao caso em que somente a plastificação da alma surge, então ( )limplpl >V M,u V/V/V .

Na base do estudo paramétrico as seguintes equações foram derivadas para as proporções

limites ( )limplM,u V/V :

( ) ( ) 26.1m48.0m25.0V/V 2limplM,u +−= (3.3.1.12)

É evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força cortante , então a força

cortante influencia o momento fletor último desprezivelmente, mas se a força cortante

lim,M,uV<V

V,uM

98

lim,M,uV>V , então a força cortante influencia o momento fletor último

significantemente. Com o aumento da força cortante V o momento fletor último

decresce rapidamente. Para isto, a relação deveria ser menor que a relação limite

V,uM

V,uM

plV/V

( )limplM,u V/V . Este fato é muito importante, especialmente para o projeto econômico de

seções transversais híbridas e vigas esbeltas.

Figura 3.3.1.4 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seção transversal híbrida dada, .05.1=δ ,6.0=γ

Aplicação prática. Procedimentos práticos de projeto e normas contêm somente

fórmulas de interação simples para o cálculo da capacidade de carga ao momento-cortante de

seções transversais de vigas esbeltas. De acordo com isto as relações teóricas

no caso de seções transversais homogêneas são substituídas na

fórmula de interação

plV,u M/plM,u V/V − M

1VV

MM

MM

2

pl

2

pl

2

pl

≤⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

VV

pl

2

⎜⎜⎝

⎛+ (3.3.1.13)

M e V são momento fletor e força cortante agindo na seção transversal. No caso limite último

M,uV=M .V,u e M= V

O efeito da força cortante é muito pequeno, se a proporção . Para

isto, de acordo com resultados experimentais a fórmula de interação 3.3.1.13 foi adaptada

para as formas 3.3.1.14 e 3.3.1.15:

5.0<V/V pl

99

1.1VV1.1

VV

MM

MM

2

pl

2

pl

2

pl

2

pl

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (3.3.1.14)

( )( ) 1 ,

V/V1

V/V11.1 ,MM v2

pl

2pl

vplv ≤φγ−

−=φφ= (3.3.1.15)

A fórmula de interação 3.3.1.15 tem sido aplicada na Slovak Technical Standard

STN 73 1401:1998 Design of Steel Structures. As relações que

correspondem às fórmulas de interação 3.3.1.14 e 3.3.1.15 para (seção transversal I) e

plV,uplM,u M/MV/V −

7.0=γ

Figura 3.3.1.5 (JUHÁS, 2001) – Relações de interação da capacidade de carga ao momento-cortante para seções transversais homogêneas e híbridas.

0=γ (seção transversal retangular) são mostradas na figura 3.3.1.5a.

A fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-1

(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules tem a forma:

11V

V2M

MMM

2

plpl

w,pl

pl

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ (3.3.1.16)

A curva adequada para seção transversal I, se a proporção está

também na figura 3.3.1.5a. Podem ser observadas as diferenças entre JUHÁS (2001) e as

fórmulas de interação européias. Elas estão principalmente na área de alta força cortante.

Estas diferenças resultam principalmente das suposições do autor de que a ruptura surge se a

alma de seção transversal I é totalmente plastificada.

25.0=M/M plw,pl

A suposição do autor sobre mecanismo de ruptura parece adequada e é muito

importante, especialmente, para seções transversais híbridas. É claro da figura 3.3.1.4 que as

100

fórmulas de interação 3.3.1.15 e 3.3.1.16 não podem ser válidas para seções transversais

híbridas em áreas com alta força cortante onde o momento fletor último dependente da

força cortante decresce rapidamente. Para isto, a validade das fórmulas de interação 3.3.1.15 e

também a 3.3.1.16 deveriam ser limitadas à proporção

V,uM

( )limplM,u V/V , calculada com a equação

3.3.1.12. Para as seções transversais híbridas com força cortante V podem ser

recomendadas relações lineares devido à figura 3.3.1.5b. Então, a fórmula de interação

substituída tem a forma:

lim,M,uV>

lim,M,upl

pl

lim,V,u VVVV

MM

−

−≤ (3.3.1.17)

lim,V,ulim,M,u M e V são a força cortante e o momento fletor limites seguindo das equações

3.3.1.12 e 3.3.1.14 ou 3.3.1.15.

Segundo JUHÁS (2001), a presente análise teórica e os resultados permitem

determinar a capacidade de carga para flexão e cortante para vigas híbridas ou homogêneas de

seções I. As soluções teóricas completas consistem em duas partes com os valores limites

( )limplM,u V/V . A força cortante influencia o momento fletor último

desprezivelmente. A força cortante influencia o momento fletor último

significativamente. Para isto, a relação deveria ser menor que a proporção limite

lim,M,uV<V

,M,uV>V

V/V

V,uM

V,uM lim

pl

( )limplM,u V/V . Este fato é muito importante, especialmente, para o projeto econômico de

seções transversais híbridas e vigas esbeltas.

As fórmulas de interação sugeridas podem ser também usadas para projetos

práticos de vigas esbeltas. O efeito da força cortante com a proporção pode ser

desprezado.

5.0<V/V pl

O mecanismo de ruptura de uma viga esbelta com alto efeito da força cortante

parece ainda problemático, mas deste ponto de vista o mecanismo que é aplicado na presente

análise teórica e nos procedimentos de cálculo é seguro.

3.3.2 Teoria de YU (1991)

3.3.2.1 Tensões de cisalhamento admissíveis e resistência de almas

101

De acordo com YU (1991), quando a alma com proporção h/t relativamente

pequena é sujeita a tensão de cisalhamento, a capacidade ao cisalhamento da viga é

provavelmente governada pelo escoamento ao cisalhamento com a tensão máxima de 3/Fy

na linha neutra. Por esta razão, a tensão de cisalhamento para tal alma com pequena proporção

h/t deveria ser baseada no escoamento ao cisalhamento com o devido fator de segurança de

1.44, isto é,

yy

v F40.0=44.11

3

F=F (3.3.2.1)

O uso de um menor fator de segurança de 1.44 para escoamento em cisalhamento

é justificado, para uso permanente, pelas conseqüências menores do escoamento incipiente em

cisalhamento comparadas com aquelas associadas com escoamento em tração e compressão.

Para isto, a força cortante para escoamento é determinada pela tensão de

cisalhamento admissível fornecida na equação 3.3.2.1 e a área da alma, ht, como se segue:

( )( )htF40.0=V ya (3.3.2.2)

Para almas com grandes proporções h/t, a capacidade ao cortante da alma é

governada pela flambagem ao cisalhamento. A figura 3.3.2.1 mostra um típico padrão de

ruptura por cisalhamento, uma série de ondas inclinadas desenvolvidas em uma chapa

infinitamente longa devido à flambagem ao cisalhamento. A tensão crítica de flambagem

elástica é dada pela equação 3.3.2.3.

( )( )

2v

cr 22

k E12 1 h / t

πτ =

−ν (3.3.2.3)

Substituindo na equação 3.3.2.3, 3.0=ν

( )MPa ,

t/hEk904.0

τ 2v

cr = (3.3.2.4)

De acordo com YU (1991), se o valor teórico computado de é menor que o

limite proporcional em cisalhamento

crτ

( )yτ8.0 , a tensão admissível para flambagem elástica

pode ser obtida pela equação 3.3.2.4 aplicando o fator de segurança:

( )MPa ,

t/hEk53.0

F 2v

v = (3.3.2.5)

A equação 3.3.2.5 fornece o fator de segurança de 1.71. Conseqüentemente, a

resistência ao cortante admissível para flambagem elástica pode ser determinada pela equação

3.3.2.6:

102

( )( )

hEtk53.0

=htt/h

Ek53.0=V

3v

2v

a (3.3.2.6)

Para almas tendo proporções moderadas de h/t, o valor teórico computado de

pode exceder o limite proporcional em cisalhamento. O valor teórico da tensão crítica de

flambagem ao cisalhamento deveria ser reduzida de acordo com a mudança no módulo de

elasticidade. Considerando a influência do endurecimento pela deformação, a fórmula de

redução pode ser usada:

crτ

criprcr ττ=τ (3.3.2.7)

onde

prτ = limite proporcional em cisalhamento, = ( )3/F8.0=τ8.0 yy

criτ = tensão crítica de flambagem ao cisalhamento inicial, equação 3.3.2.3

Figura 3.3.2.1 (YU, 1991) – Flambagem por cisalhamento de chapas infinitamente longas. (a) lados simplesmente apoiados. (b) lados fixos.

Substituindo os valores de e na equação 3.3.2.7, pode-se obter a equação

3.3.2.8 para a tensão de flambagem ao cisalhamento na extensão inelástica, isto é,

prτ criτ

103

t/h

EFk64.0=τ

yv

cr (3.3.2.8)

Consequentemente a tensão admissível de flambagem ao cisalhamento na

extensão inelástica pode ser obtida por pela equação 3.3.2.8 e o fator de segurança de 1.67

como mostrado pela equação 3.3.2.9,

t/h

EFk38.0=F

yv

v (3.3.2.9)

A resistência admissível ao cisalhamento para flambagem inelástica é

( ) EFkt38.0=htt/h

EFk38.0=V yv

2yv

a (3.3.2.10)

Tabela 3.3.2.1 (YU, 1991) – Tensões de cisalhamento admissíveis, MPa. MPa228Fy = MPa345Fy =

a/h a/h h/t 0.5 1.0 2.0 3.0 >3 0.5 1.0 2.0 3.0 >3

50 91.2 91.2 91.2 91.2 91.2 138.0 138.0 138.0 138.0 138.060 91.2 91.2 91.2 91.2 91.2 138.0 138.0 134.6 128.3 123.570 91.2 91.2 91.2 89.7 85.6 138.0 138.0 115.2 110.4 105.680 91.2 91.2 82.1 78.0 75.2 138.0 122.1 100.7 96.6 89.7 90 91.2 88.2 73.1 69.7 66.9 138.0 109.0 84.2 76.6 71.1 100 91.2 79.4 65.6 62.1 57.3 138.0 98.0 68.3 62.1 57.3 110 91.2 72.5 56.6 51.1 47.6 138.0 82.8 56.6 51.1 47.6 120 91.2 66.2 47.6 43.5 40.0 134.6 69.7 47.6 43.5 40.0 130 91.2 60.4 40.0 36.6 33.8 124.2 54.3 40.0 36.6 33.8 140 91.2 51.1 34.5 31.7 29.0 115.2 51.1 34.5 31.7 29.0 150 87.6 44.9 30.4 27.6 25.5 107.6 44.9 30.4 27.6 25.5 160 82.1 39.3 26.9 24.2 22.1 100.7 39.3 26.9 24.2 22.1 170 77.3 34.5 23.5 21.4 20.0 94.5 34.5 23.5 21.4 20.0 180 73.1 31.1 20.7 19.3 17.9 84.2 31.1 20.7 19.3 17.9 190 69.0 27.6 18.6 17.3 15.9 75.2 27.6 18.6 17.3 15.9 200 65.5 24.8 17.3 15.9 14.5 68.3 24.8 17.3 15.9 14.5 220 56.6 20.7 13.8 13.1 11.7 56.6 20.7 13.8 13.1 11.7 240 47.6 17.3 11.7 11.0 9.7 47.6 17.3 11.7 11.0 9.7 260 40.2 15.2 10.4 9.0 8.3 40.0 15.2 10.4 9.0 8.3 280 34.5 13.1 9.0 8.3 7.6 34.5 13.1 9.0 8.3 7.6 300 30.4 11.0 7.6 6.9 6.2 30.4 11.0 7.6 6.9 6.2

No projeto de vigas, a força cisalhante em qualquer seção não deve exceder o

seguinte valor admissível:

Para v yh / t 1.38 k E / F≤ ,

104

2a v yV 0.38t k F E 0.4F ht= ≤ y (3.3.2.11)

Para yv F/Ek38.1>t/h ,

hEtk53.0

=V3

va (3.3.2.12)

A tabela 3.3.2.1 fornece as tensões admissíveis para =228 e 345 MPa. yF

Na tabela 3.3.2.1, os valores acima das linhas sólidas horizontais são baseados na

equação 3.3.2.1; valores entre as linhas sólidas e as pontilhadas horizontais são baseadas na

equação 3.3.2.9; e os valores abaixo das linhas pontilhadas horizontais são baseados na

equação 3.3.2.5.

3.3.3 Teoria de HÖGLUND (1998)

3.3.3.1 Resistência à flambagem por cisalhamento de vigas esbeltas de aço e de

alumínio

O método do campo de tensões principais proposto por HÖGLUND (1998) foi

originalmente desenvolvido para vigas com enrijecedores de alma somente nos suportes, uma

estrutura para a qual outros métodos do campo de tração são conservativos.

Nesta proposta de projeto a força cortante admissível foi reduzida para altas

proporções de esbeltez por causa do número limitado de testes, até o presente momento

somente duas para para vigas sem enrijecedores intermediários. Desde então um

número de testes foi feito, mostrando que esta redução não é necessária.

wt/h

210>t w/h

3.3.3.1.1 Alma com enrijecedores somente no suporte

Para almas em cisalhamento existe uma substancial resistência pós-flambagem se

provideciado que, após a flambagem, tensões de membrana de tração, ancoradas em mesas e

enrijecedores transversais nos arredores, possa se desenvolver. Em estado puro de

cisalhamento o valor absoluto das tensões principais de membrana e são os mesmos

até que a flambagem não ocorra

1σ 2σ

( )crτ<τ . Após atingir a carga de flambagem ( )wcrcr htτ=V a

chapa da alma irá flambar e a redistribuição de tensões começa. Carga aumentada resulta em

tensão de tração aumentada, mas tensão de compressão aumentada desprezivelmente. 1σ 2σ

105

Para uma alma muito delgada, após a flambagem, é muito menor que e

pode ser desprezada. Se as mesas são prevenidas de se aproximarem umas das outras, como

na figura 3.3.3.1, então

2σ 1σ

φ2sinσ5.0=φcosφsinσ=τ 11 (3.3.3.1)

A direção da tensão de tração é escolhida para obter . Colocando

igual à resistência ao escoamento da alma, , então o resultado é

máximo=τ 1σ

ywf

o45=φ para 23

=ff5.0

=fτ

v

yw

v

u (3.3.3.2)

onde

3

f=f yw

v (3.3.3.3)

Esta teoria, freqüentemente chamada de teoria do campo de tração ideal, é válida

somente se as mesas são prevenidas de se moverem uma em relação à outra por uma estrutura

externa, um painel interno à chapa com vigas transversais rígidas e traves. Em uma viga

longa, com enrijecedores transversais somente no finais, nada além da alma previne as mesa

de se moverem uma em relação à outra, esta é a causa das tensões de membrana na direção

transversal serem zero. O equilíbrio para o triângulo de acordo com a figura 3.3.3.2 fornece

φtanτ

=σ1 (3.3.3.4)

2 tanσ = −τ φ (3.3.3.5)

onde constitui a direção das tensões principais. φ

Este estado de tensão, segundo HÖGLUND (1998), tem a componente de tensão

na direção longitudinal hσ

h 11 tan

tan⎛ ⎞

σ = τ − φ = σ +σ⎜ ⎟φ⎝ ⎠2 (3.3.3.6)

A força longitudinal total na alma é menor que

whh htσ=N (3.3.3.7)

porque perto da mesas existe mais ou menos o estado de tensão de cisalhamento puro.

Esta força deve ser ancorada nos finais da viga por uma pequena viga transversal

chamada pilar final rígido, usada para desenvolver o campo de tensões principais, de acordo

com a figura 3.3.3.2a. Este pilar final é apoiado pelas mesas, que resulta em forças

compressivas nas mesas nos finais da viga.

106

Figura 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão em uma alma muito delgada com lados transversalmente restringidos (campo de tração ideal).

Figura 3.3.3.2 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão na alma de uma viga com enrijecedores transversais somente nos finais (campo de tensões principais).

A resistência última ao cisalhamento pode ser derivada usando o critério de

escoamento de Von Mises

2 21 1 2 2 yfσ −σ σ +σ = 2

w

r

(3.3.3.8)

e assumindo que a tensão compressiva permanece igual à tensão cisalhante de flambagem

após a flambagem, mas agindo em um ângulo menor que o45

2 cσ = −τ (3.3.3.9)

Além disso, o parâmetro de esbeltez é introduzido wλ

cr

vw τ

f=λ onde

( )22

wcr 2

tEkh12 1τ

π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (3.3.3.10)

Das equações 3.3.3.3 e 3.3.3.5, 3.3.3.8 e 3.3.3.10 a resistência última pode

ser derivada como função de λ

τ=τ u

w

107

4u

w4 2v w w w

3 1 11 para 1.0f 4 2 3τ

= − − λ ≥λ λ λ

(3.3.3.11)

A grande raiz quadrada na equação 3.3.3.11 se aproxima de 1.0 se . Então 5.2λw ≥

uw

v w

1.32 para 2.5fτ

≈ λλ

>

é

(3.3.3.12)

A inclinação da tensão de tração σ definida pelo ângulo φ é decrescida quando a

proporção uτ incrementada.

1

crτ/

No diagrama na figura 3.3.3.3, é obtida como função do parâmetro de

esbeltez . A tensão de cisalhamento correspondente à carga de flambagem, 1 , é

também fornecida no diagrama, bem como a linha correspondente ao campo de tração ideal e

alguns resultados de testes em vigas esbeltas com enrijecedores somente nos suportes.

vu f/τ

wλ2wλ/

Os círculos sólidos são testes em vigas com pilares finais rígidos. Estes testes

concordam muito bem com a curva para a teoria do campo de tensões principais.

Figura 3.3.3.3 (HÖGLUND, 1998) – Força cortante resistente de acordo com as teorias do campo de tração e testes.

Os círculos vazios correspondem a vigas com somente um enrijecedor no final da

viga, pilar final não-rígido. Tais pilares finais têm uma habilidade limitada para servir como

ancoragem para a tensão de membrana longitudinal, e daí a carga última é menor que para

vigas com pilares finais rígidos. Mas há ainda uma substancial resistência pós flambagem.

Segundo HÖGLUND (1998), nos critérios do Eurocode 3, Part 1.5 (estruturas de

chapa) e Eurocode 9 (estruturas de alumínio), as fórmulas de projeto para o fator de redução

108

yw

uv f

τ=ρ (3.3.3.13)

são fornecidas. O valor de (denotado por no Eurocode 3, Part 1.5) é um tanto reduzida

comparada à teoria do campo de tensões rotacionado para permitir a dispersão nos resultados

de teste como resultado de imperfeições iniciais e flambagem plástica.

vρ vχ

Tabela 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por cisalhamento.

vρ

Pilar final rígido wλ

Aço Alumínio Pilar final não-rígido

η/48.0<λw η η η

w0.48 / 0.95η ≤ λ < wλ/48.0 wλ/48.0 wλ/48.0

w0.95 1.08≤ λ < wλ/48.0 ( )wλ+66.1/32.1 wλ/48.0

w 1.08λ ≥ ( )wλ+7.0/79.0 ( )wλ+66.1/32.1 wλ/48.0

Figura 3.3.3.4 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução ρ para flambagem por cisalhamento.

v

A capacidade à força cortante é

wwywvw thfρ=V (3.3.3.14)

O fator de redução de flambagem por cisalhamento ρ é fornecido na tabela

3.3.3.1 e no diagrama na figura 3.3.3.4.

v

109

Para parâmetros de esbeltez menores, , o endurecimento pela

deformação em cisalhamento toma lugar, obtendo-se maior resistência que a correspondente

ao escoamento inicial,

η/48.0<λw

1/ 3 0.58η = ≈ . Então

η = 0.70 para S235, S275 e S355 η = 0.60 para S420 e S460 η = ( ) ( )ywuw f/f2.0+4.0 para alumínio onde é a resistência última do material

da alma.

uwf

3.3.3.1.2 Alma enrijecida transversalmente

De acordo com HÖGLUND (1998), enrijecedores transversais soldados à alma

têm dois efeitos principais no comportamento e resistência da viga em cisalhamento:

primeiro, eles previnem a alma de deflexões fora do plano, então aumentando a resistência de

flambagem elástica, e segundo, eles previnem as mesas de se aproximarem uma da outra.

Se a rigidez à flexão das mesas em relação ao eixo no centro da mesa é alta, então

a prevenção das mesas em se moverem uma em relação à outra pode ser alta.

O coeficiente de flambagem ao cisalhamento é, se apoios simples são assumidos

ao redor de todo o painel da alma de comprimento a e largura h,

( )2τ a/h4+34.5=k quando (a) a / h 1.0≥

( )2τ a/h34.5+4=k quando (b) 0.1<h/a

(3.3.3.15)

3.3.3.1.3 Influência de mesas rígidas

Como mencionado, enrijecedores transversais previnem a alma de se defletirem e

previne as mesas de se aproximarem uma da outra nos enrijecedores. No estágio de ruptura,

quatro rótulas, denotadas por E, H, G e K, se formam nas mesas de topo e de fundo, de acordo

com a figura 3.3.3.5b. O campo de tensões de tração, EHGK, se desenvolve na alma. Este

campo de tensão de tração se difere do descrito, nesta instância, por Rockey e Skaloud (1969

apud HÖGLUND, 1998), em que é assumido que este se desenvolve entre as mesas somente.

As outras partes do campo de tração idealizado por Rockey e Skaloud pode ser imaginada

como abrangendo o modelo de tensão rotacionada mostrado na figura 3.3.3.5a. A força

110

cortante, , que é transmitida pelo campo de tensão de tração é obtida pela equação de

equilíbrio da porção c da mesa. Esta equação fornece

fV

cfZ4

=V yfff (3.3.3.16)

as tensões de tração no campo de tensão de tração produz o efeito de enrijecimento na alma

(este efeito é favorável à capacidade de carga) ao mesmo tempo que a tensão efetiva aumenta

na alma (este efeito é mais desfavorável).

Contudo, é assumido que a resistência ao cisalhamento da alma, , não é

mudada pela formação do campo de tração entre as mesas. Então a resistência ao

cisalhamento da viga, , é a soma da resistência ao cisalhamento da alma, , e a

resistência ao cisalhamento contribuída pelas mesas, ,

wV

uV wV

fV

fwu V+V=V (3.3.3.17)

Como foi mostrado pela série de testes realizados por Rockey e Skaloud (1968 apud

HÖGLUND, 1998) e por Skaloud (1971 apud HÖGLUND, 1998) a distância c entre as

rótulas plásticas nas mesas variam de 0.16 a 0.55 vezes o espaçamento a dos enrijecedores,

dependendo da rigidez das mesas. A distância c é estimada pela equação 3.3.3.18 para vigas

esbeltas de aço.

Figura 3.3.3.5 (HÖGLUND, 1998) – Modelo de alma na extensão pós-flambagem. (a) Força cortante carregada pela alma pelo campo de tensões principais. (b) Força cortante carregada pela ação de treliça, desenvolvimento do qual é dependente da rigidez das mesas. (c) Notações para a seção transversal.

2

f f yf2

w w yw

1.6b t fc 0.25

t h f⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a (3.3.3.18)

Para vigas esbeltas de alumínio os coeficientes 0.25 e 1.6 na equação 3.3.3.18 são

substituídos por 0.08 e 4.4 para alumínio.

111

3.3.3.2 Comportamento geral e efeito de pilar final rígido e não-rígido em vigas

esbeltas de aço inoxidável carregadas em cisalhamento. Propostas de projeto

3.3.3.2.1 Introdução

ESTRADA, REAL E MIRAMBELL (2006) estudaram o efeito dos pilares finais

rigidos e não-rígidos na resistência ao cortante dos painéis finais de vigas esbeltas.

Durante a extensão pós-crítica, desde que tensões compressivas diretas não

possam se desenvolver mais, a carga adicional é resistida por um aumento das tensões de

tração com a formação de um campo de tração diagonal que pode ser esquematicamente

assumido como treliça pratt, onde as cordas e o pilares são providenciados pelas mesas e os

enrijecedores transversais. Uma resistência pós-flambagem significante pode ser mobilizada

por causa desta ação de tração diagonal. No caso de aço inoxidável, atenção especial pode ser

dada ao efeito de que a não-linearidade do material e o endurecimento pela deformação têm

em todo este mecanismo resistente. Além disso, o efeito da condição rígida e não-rígida do

pilar final foi avaliado desde que este é um dos parâmetros que claramente influenciam no

projeto último de vigas esbeltas.

O fenômeno físico desenvolvido em vigas esbeltas de aço inoxidável carregadas

em cisalhamento foi demonstrado para ser qualitativamente o mesmo que o desenvolvido em

vigas esbeltas de aço carbono mas claramente influenciado pela não-linearidade do material.

O principal efeito do comportamento não-linear do material é a redução da capacidade

resistente do elemento estrutural, também demonstrado e avaliado na determinação da

resistência à flambagem por cisalhamento.

De acordo com ESTRADA, REAL E MIRAMBELL (2006), as expressões de

projeto corrente incluídas no Eurocode 3, Part 1-4 para prever a capacidade última de vigas

esbeltas de aço inoxidável são claramente conservativas. Então, expressões analíticas

específicas devem ser desenvolvidas para uma predicção mais precisa da capacidade última

de vigas esbeltas de aço inoxidável.

Para alcançar este objetivo, a investigação analítica e numérica previamente

iniciada foi expendida para melhorar a compreensão fundamental do mecanismo resistente

desenvolvido durante a extensão pós-flambagem em conjunção com o efeito da esbeltez do

painel da alma e a proporção de aspecto na resistência ao cisalhamento última de vigas

esbeltas de aço inoxidável.

112

3.3.3.2.2 Discussão breve sobre os modelos teóricos para calcular a capacidade última em

vigas esbeltas de aço. Requerimentos para o pilar final

A resistência ao cisalhamento é correntemente baseada em modelos de projeto

pós-crítico. Algumas teorias diferentes foram desenvolvidas durante o último século para

ilustrar e modelar o comportamento pós-flambagem em vigas esbeltas de aço para finalmente

prever a capacidade última desses elementos estruturais carregados em cisalhamento. De fato

houve uma constante controvérsia entre pesquisadores tentando adequadamente explicar o

comportamento físico pós-flambagem dos painéis da alma. A tensão de cisalhamento não-

linear e a interação com a tensão normal toma lugar no começo da flambagem elástica por

cisalhamento acima do estado de resistência última e é tão complexo que qualquer atenção em

endereçar este fenômeno para formas fechadas de soluções clássicas parece ser quase um

exercício fútil. Nos dias atuais, há dois modelos nos quais a formulação é incluída em mais

códigos correntes: o modelo de Campo de Tração desenvolvido por Rockey et al. (1975 apud

ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) e o modelo de Campo de Tensões Principais

desenvolvido por Höglund (1998 apud ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006).

A formulação do modelo de Campo de Tensões Principais afirma que a resistência

ao cisalhamento da viga, , é a soma da resistência ao cisalhamento fornecido pela alma,

, e a resistência ao cisalhameto contribuída pelas mesas, , como é expresso na seguinte

equação 3.3.3.19 e figura 3.3.3.6.

uV

wV fV

( )3

fdtχ+χ=V+V=V y

wfwfwu (3.3.3.19)

Então, este campo de tração difere do campo de tração no qual é assumido a se

desenvolver entre as mesas somente. As outras partes do campo de tração idealizado por

Rockey e Skaloud podem ser imaginadas estando incluídas no modelo de tensão principal

mostrado na figura 3.3.3.6a. Esta situação faz as expressões analíticas fornecidas pelo modelo

de Campo de Tração (equação 3.3.3.20) mais fácil de ser entendida desde que cada um dos

componentes incluídos na formulação de corresponda a um dos estágios definidos durante

o processo de carregamento de cisalhamento (figura 3.3.3.7)

uV

( ) ( )[ ]φsinσgt9.0+τdt=V bbwbbwRd,bb (3.3.3.20)

Tendo alcançado este ponto da discussão, atenção especial é dada às condições de

rigidez requeridas aos enrijecedores transversais do pilar final na formulação dos modelos

apresentados. Nos dois modelos um pilar final satisfatório deve ser capaz de providenciar

113

adequada ancoragem para a componente longitudinal das tensões de tração desenvolvidas na

alma durante a extensão pós-flambagem. De qualquer forma, as condições requeridas pelos

enrijecedores em cada modelo são diferentemente formuladas.

No método do campo de tração, se for definida a componente horizontal da banda

de tração como , a rigidez do pilar final deve cumprir com o requerimento fornecido pela

equação 3.3.3.21 em ordem de totalmente desenvolver a ação do campo de tração:

σH

pl,C pl,H sM M 0.5H cσ+ ≥ (3.3.3.21)

Figura 3.3.3.6 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tensões principais (a) Contribuição da alma (b) Contribuição da mesa . wV fV

O mecanismo de colapso é fornecido pela formação de rótulas plásticas no topo

do pilar final (ponto C) e no ponto intermediário (H), como ilustrado na figura 3.3.3.8. O

comprimento , que é a distância entre ambas as rótulas plásticas, é a profundidade de

ancoragem da banda de tração diagonal no pilar final. Então, análise plástica é considerada

para determinar os requerimentos dos enrijecedores transversais projetados como pilares

finais.

sc

Figura 3.3.3.7 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tração. Estágios de comportamento em uma chapa sob carga de cisalhamento.

114

Por outro lado, o método do campo de tensões rotacionado distingue pilar final

rígido e não-rígido. O pilar final rígido inclui a viga I formada no final da viga esbelta

providenciando dois enrijecedores nos dois lados ou inserindo uma seção laminada a quente.

Esta pequena viga resultante (ver figura 3.3.3.9) resiste às tensões de membrana horizontais

desenvolvidas no painel da alma pela sua resistência à flexão. Então, a seção transversal

requerida de uma mesa da viga pequena é determinada pela demanda de momento fletor. eA

Figura 3.3.3.8 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tração. Análise plástica.

A componente horizontal da tensão de membrana desenvolvida na alma

durante o processo de resposta ao cisalhamento foi demonstrada por Höglund (1998 apud

ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) para ser capaz de ser aproximado, para altos

valores de esbeltez, como mostra a equação 3.3.3.22:

hσ

τ

ww

wy

h

kε4.37t/d

=λ onde λ43.0

=fσ

(3.3.3.22)

Definindo como a força horizontal agindo na pequena viga e introduzindo a

expressão de , o momento fletor máximo pode ser calculado. Desde que na realidade

varia ao longo da altura (ver figura 3.3.3.9), uma carga uniformemente distribuída equivalente

foi considerada, . Por outro lado, sendo o módulo da seção , a máxima tensão é

calculada como:

whh tσ=q

wλ

eq,hq

hq

eA=W e

edAdft4

=W

M=σ

e

2y

2wmax

max (3.3.3.23)

Finalmente impondo o critério de Von Mises desprezando a presença de tensões

de cisalhamento na viga curta, o requerimento para obtido é apresentado na seguinte

equação:

eA

115

2w

e4dtA

e≥ (3.3.3.24)

Para o caso geral, quando o pilar final não é feito de enrijecedores planos, a

condição requerida passa a ser: 2wmin dt4=W (3.3.3.25)

Figura 3.3.3.9 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tensões principais. Análise elástica.

Todos os pilares finais que não satisfazem este critério de projeto são

considerados como não-rígidos. Além do mais, painéis finais projetados com um único

enrijecedor são tidos como não-rígidos no método do campo de tensões principais. Como

observado pelo desenvolvimento matemático apresentado acima, no caso do método do

campo de tensões rotacionado, análise elástica é considerada para atingir o critério de projeto

para a condição de rígido em pilar final.

Isto é então importante para esboçar o fato da análise plástica ou elástica aplicada

levar a condições diferentes requeridas para os pilares finais. Como esperado, geometrias que

satisfazem a condição fornecida para o desenvolvimento de análise plástica irá atingir um

favorecido desenvolvimento das tensões do campo de tração e conseqüentemente, maior

resistência pós-flambagem.

3.4 Método de dimensionamento de vigas esbeltas de acordo com a NBR 8800/86

Para efeito de projeto, PFEIL (1989) afirma que os aços podem ser designados por

números que exprimem os respectivos limites de escoamento em MPa, precedidos das letras

116

MR (média resistência) ou AR (alta resistência):

)(comercial comum Aço 240 MR MPa 240=f y MPa 370=f u

A36 ASTM Aço 250 MR MPa 250=f y MPa 400=f u

aresistênci alta de Aço 345 AR MPa 345=f y MPa 450=f u

f y

elf

Figura 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Diagrama tensão-deformação para perfis simples ou compostos (aço com patamar de escoamento).

=f y limite de escoamento real =f el limite de proporcionalidade ou de elasticidade

De acordo com PFEIL (1989), denomina-se limite de proporcionalidade do aço

em perfis, a tensão acima da qual o diagrama deixa de ser linear. ε-σ

Tabela 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Propriedades mecânicas de aços (perfis laminados ou soldados)

Tipo de aço ( )MPafel ( )MPaf y

MR 240 190 240 MR 250 200 250 AR 345 280 345

Os aços MR 240 e AR 345, em perfis simples ou compostos, apresentam valores

do limite de proporcionalidade da ordem de 80% dos respectivos limites de escoamento

em barras, de acordo com a tabela 3.4.1.

elf

3.4.1 Dimensionamento a flexão

117

3.4.1.1 Momento resistente plástico ( )pM e momento de início de plastificação ( )yM

Na figura 3.4.2 está representada uma seção com um eixo de simetria, sujeita a

flexão simples. O momento resistente plástico corresponde ao diagrama simplificado,

formado por dois retângulos com ordenada . Aplicando-se as equações de equilíbrio da

estática plana, obtém-se:

pM

yf

y

fy

fy

G'Mp

Figura 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Momento resistente plástico ( )pM de uma seção com eixo de simetria

a. V 0=∑

0=0 (3.4.1)

b. N 0=∑

tycy Af=Af (3.4.2)

c. M 0=∑

p y yAM f y dA=f= ∫ Z (3.4.3)

onde Z é o módulo plástico da seção, referido ao eixo horizontal passando em G’.

O ponto G’, de transição do diagrama de tensões normais, divide a seção em duas

partes de igual área.

O momento que provoca o início da plastificação da seção, é dado pela

fórmula elástica

yM

118

Wf=M yy (3.4.4)

onde W é o módulo elástico de resistência da seção, referido ao eixo horizontal passando no

centro de gravidade.

A relação entre os momentos de plastificação total e incipiente denomina-se

coeficiente de forma da seção:

WZ

=MM

=forma de .coefy

p (3.4.5)

Para seções I, são apresentados valores do módulo plástico e do coeficiente de

forma na tabela 3.4.2.

Tabela 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W) de seções de vigas.

Seção Módulo plástico Z Z/W

ft

x ht0

y

b

(x-x) ( ) ( )20f f f

tbt h t h 2t4

− + − 1.12 (aprox.)

3.4.1.2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral contínua

PFEIL (1989) afirma que as vigas com contenção lateral contínua não estão

sujeitas ao fenômeno de flambagem lateral.

A resistência das vigas à flexão pode ser reduzida por efeito de flambagem local

das chapas que constituem o perfil.

O momento resistente de projeto ( )res dM é dado por

90.0=φ com ,Mφ=M bnbres d (3.4.6)

nM = momento resistente nominal, obtido por análise, sendo o valor determinado pelo limite

de escoamento do aço, ou por flambagem.

De acordo com PFEIL (1989), as seções das vigas podem ser divididas em quatro

classes, com as propriedades descritas na tabela 3.4.3, e os respectivos momentos nominais

. nM

119

As categorias da tabela 3.4.3 são definidas por valores limites das relações

largura/espessura das chapas componentes do perfil. Para perfis I fletidos no plano da alma

(figura 3.4.2), verificam-se os limites da tabela 3.4.4.

Tabela 3.4.3 (PFEIL, 1989) – Classificação das seções das vigas quanto ao efeito de flambagem local. Classe Características Momento nominal ( )nM

1

Seções super-compactas (utilizadas no método plástico): são as que permitem que seja atingido o momento de plastificação ( )pM e a subsequente redistribuição de momentos fletores.

yp Zf=M

2

Seções compactas: são as que permitem que seja atingido o momento de plastificação ( )pM , mas não necessariamente subseqüente redistribuição de momentos fletores.

yp Zf=M

3

Seções semi-compactas: são as que permitem que seja atingido o momento correspondente ao início do escoamento ( )yM , incluindo ou não tensões residuais.

Interpolação linear entre (fórmula 3.4.8) rp M e M

4 Seções esbeltas: são as que estão sujeitas a flambagem local de um de seus elementos comprimidos.

crcr Wf=M

crf = tensão resistente à flexão determinada pela flambagem local da mesa ou da alma do perfil (tensão crítica de flambagem).

rM

b =λ= momento resistente nominal para a situação limite entre as classes 3 e 4, isto é,

(tabela 3.4.4). brλ

Segundo PFEIL (1989), a relação f

f

tb

21

em vigas de classe 2 é inferior à relação

correspondente em colunas, porque nas vigas a plastificação geral exige rotação adicional da

seção, enquanto nas colunas o início da plastificação coincide com a plastificação total.

As considerações de seções super-compactas (classe 1) só tem interesse quando se

deseja analisar estruturas hiperestáticas em regime inelástico, levando-se em conta a

redistribuição dos momentos provocada pelas rótulas plásticas.

Na situação limite entre seções semi-compactas (classe 3) e seções esbeltas (classe

4), isto é, para , o momento resistente nominal denomina-se é dado pelas

expressões:

brb λ=λ rM

- flambagem local da mesa

120

( )r c y r tM W f f W f= − ≤ y (3.4.7a)

rf = tensão residual em perfis laminados ou soldados, considerada igual a 115 MPa.

Tabela 3.4.4 (PFEIL, 1989) – Valores limites da relação largura/espessura de seções I ou H, com um ou dois eixos de simetria, fletidos no plano da alma.

Flambagem local da mesa

f

fb t

b21

=λ

Flambagem local da alma

0

0b t

h=λ

tipo de seção C

lass

e

geral

MR

-250

AR

-350

geral

MR

-250

AR

-350

Super-compacta 1

yfE

30.0 8.5 7 yf

E35.2 67 57

Compacta 2 y

bp fE

38.0=λ 11 9 y

bp fE

5.3=λ 100 85

Semi-compacta 3 br

y r

E0.82f f

λ =−

28 22 y

br fE

6.5=λ 160 136

- flambagem local da alma

ycr fW=M (3.4.7b)

Nas seções semi-compactas (classe 3), os momentos nominais podem ser

interpolados linearmente entre os valores das classes 2 e 3:

( )b bpn p p

br bp

M M M Mr

λ −λ= − −

λ −λ (3.4.8)

3.4.1.2.1 Momento resistente de cálculo de vigas I com alma esbelta

De acordo com PFEIL (1989), nas vigas I com alma esbelta, onde

0 0

0 y 0 máx

h hE5,6 , t f t

⎛ ⎞> ≤ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

121

com 0

0 máx

ht

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dado pelas fórmulas 3.4.25 e 3.4.30, porém cujos flanges (mesas) atendam os

limites da tabela 3.4.4 para classe 3, o momento resistente de cálculo pode ser calculado com

a expressão:

kfW=M yxres d (3.4.9)

k= coeficiente de redução decorrente de flambagem da alma sob tensões normais de flexão

0 0 0

f f 0 y

h t h Ek 1 0.0005 5,6b t t f

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.4.10)

3.4.1.3 Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua. Flambagem

lateral

A mesa comprimida de uma viga funciona como uma coluna entre pontos de

apoio laterais, podendo flambar no seu próprio plano. As tensões resistentes de compressão

dependem da esbeltez da mesa comprimida no seu próprio plano (a flambagem da mesa no

plano da alma é impedida por esta). Segundo PFEIL (1989), são de grande importância as

disposições construtivas de contenção lateral, onde existem dois tipos bem definidos:

a) embebimento da mesa comprimida em laje de concreto. Neste caso, tem-se

contenção lateral contínua;

b) apoios laterais formados por quadros transversais, treliças de contraventamento

e outros, com rigidez suficiente. Neste caso, a contenção lateral atua nos pontos de contato do

flange comprimido com os quadros transversais. A distância entre esses pontos de contato

constitui o comprimento de flambagem lateral da viga. bl

Nos pontos de apoio vertical das vigas, admite-se sempre existência de contenção

lateral, que impede o tombamento do perfil.

As vigas sem contenção lateral contínua podem ser divididas em três categorias,

dependendo da distância entre os pontos de apoio lateral.

Nas vigas curtas, o efeito de flambagem lateral pode ser desprezado. A viga atinge

o momento definido por escoamento ou flambagem local.

As vigas longas rompem por flambagem lateral em regime elástico, atingindo o

momento crM .

As vigas intermediárias apresentam ruptura por flambagem lateral inelástica.

122

3.4.1.3.1 Cálculo simplificado da resistência à flexão de vigas I com um ou dois eixos

de simetria, fletidas no plano da alma

PFEIL (1989) apresentou uma formulação simplificada de cálculo para

flambagem lateral, baseada na norma americana AASHTO.

a) vigas curtas

Nas vigas curtas, o momento resistente é igual ao de vigas com contenção lateral

contínua. A condição para se ter viga curta é:

yfc

b

fE

6.5<bl

(3.4.11)

b) vigas longas

O momento fletor resistente nominal ( )nM pode ser obtido com uma fórmula

empírica parabólica: 2

y bn cr y 2

fc

3f 2lM M Wf 14 E 0.9b

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = − ⎜ ⎟π⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.4.12)

A fórmula acima admite o caso mais desfavorável de momento solicitante

uniforme no segmento bl .

Condição para se ter viga longa:

b

fc fc y

l h E0,68b t f

≥ (3.4.13)

c) vigas de comprimento intermediário

Para comprimento situado entre os limites 3.4.11 e 3.4.13, o momento

resistente nominal é obtido por interpolação linear.

bl

3.4.1.3.2 Momento crítico de vigas I com um ou dois eixos de simetria, carregadas no

plano da alma

De acordo com PFEIL (1989), para vigas I ou H com dois eixos de simetria, pode-

se obter um valor mais exato do momento crítico de flambagem lateral com a expressão:

123

( )

22

cr b x 2b f f b T

0,69E 9,70EM C Wl h / b t l / i

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.4.14)

bC = coeficiente que leva em conta o efeito favorável de o momento não ser uniforme no

segmento . Em qualquer caso, PFEIL (1989) observa que pode-se tomar , que estará

correto ou a favor da segurança.

bl 1=Cb

Ti = raio de giração da seção formada pela mesa comprimida mais 1/3 da região comprimida

da alma, (aproximadamente igual a 1/6 da área total da alma), calculado em relação ao eixo

situado no plano médio da alma.

6/th+bt12/bt

=i00ff

3ff

T (3.4.15)

3.4.1.3.3 Momento crítico de vigas I ou H com um eixo de simetria, carregadas no

plano da alma

Obtém-se um valor aproximado de com o maior dos dois termos da fórmula

3.4.14, a saber:

crM

- primeiro termo, representando a resistência do perfil à torção pura, e a flexão em

torno do eixo da alma, substituindo-se por para se obter melhor precisão nos

resultados:

fb fb9.0

( )xc y r

bn cr x

b f fxt y

W f f0,69ECM M Wl h / b t

W f

−

= = ≤ (3.4.16)

- segundo termo, representando a resistência do flange como coluna:

( )2Tb

xbcrn i/lE70.9

WC=M=M (3.4.17)

3.4.2 Dimensionamento da alma das vigas

De acordo com PFEIL (1989), as almas das vigas metálicas servem

principalmente para ligar os flanges e absorver os esforços cortantes. Por razões econômicas,

procura-se concentrar massas nos flanges, para obter maior inércia, reduzindo-se a espessura

da alma.

124

A alma das vigas é dimensionada, basicamente, para duas condições:

a) flambagem sob ação de tensões cisalhantes

b) flambagem sob ação de tensões normais e de cisalhamento.

Nos perfis laminados, as almas são pouco esbeltas ( moderado), tendo

geralmente resistência à flambagem suficiente para atender aos esforços solicitantes, de modo

que a resistência é determinada pelo escoamento do material.

00 t/h

Nos perfis fabricados, as almas são geralmente mais esbeltas ( elevado), de

modo que a resistência da viga fica limitada pela flambagem da alma. Nestes casos, para

aumentar a resistência à flambagem, utilizam-se enrijecedores transversais, que dividem a

alma em painéis retangulares.

00 t/h

3.4.2.1 Tensões de cisalhamento provocadas por esforço cortante

As tensões de cisalhamento , em peças de altura constante solicitadas por

esforço cortante V, são dados pela fórmula:

τ

tIVS

=τ (3.4.18)

t = espessura da chapa no ponto onde se mede a tensão;

S = momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da

seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão;

I = momento de inércia da seção bruta, referido ao centro de gravidade respectivo.

No caso particular de perfil I, simples ou composto, a aplicação da fórmula 3.4.18

mostra que quase a totalidade do esforço cortante é absorvido pela alma com tensões variando

pouco ao longo da alma.

Para o cálculo das tensões solicitantes de cisalhamento no estado limite de projeto,

utiliza-se a relação

w

dd A

V=τ (3.4.19)

dV = esforço de cisalhamento solicitante de cálculo;

wA = área efetiva de cisalhamento, dada por em perfis soldados. 00 th

3.4.2.2 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, sem enrijecedores transversais

intermediários, fletidas no plano da alma

125

3.4.2.2.1 Vigas I com valores moderados de 00 t/h

Para vigas I com alma pouco esbelta (valores baixos de ), a flambagem da

alma por cisalhamento não é determinante (o material entra em escoamento para cargas

inferiores à carga crítica de flambagem). Os valores limites de mencionados acima são

dados pela expressão:

00 t/h

00 t/h

0

0 y

h E2,46t f

≤w

(3.4.20)

O esforço cortante resistente de projeto para vigas atendendo a condição 3.4.20 é

dado por

( ) 9.0=φ com ,f6.0Aφ=3

fAφ=V vywv

ywvres d (3.4.21)

Os perfis laminados em geral, e os perfis soldados de pequena altura têm relações

atendendo a condição 3.4.20, de modo que a flambagem da alma por cisalhamento não

é determinante no dimensionamento desses perfis, nos quais podem ser dispensados

enrijecedores transversais intermediários.

00 t/h

3.4.2.2.2 Vigas I com valores elevados de 00 t/h

Em vigas com valores superiores ao limite 3.4.20, a resistência ao

cisalhamento é reduzida por efeito de flambagem da alma. Este fato é levado em conta

multiplicando-se a expressão 3.4.21 por um coeficiente de redução

00 t/h

vC .

Em vigas I com valores superiores ao limite 3.4.20, pode-se ainda

dispensar os enrijecedores transversais intermediários nos trechos onde o esforço solicitante

for inferior ao esforço resistente de cálculo, dado pela expressão:

00 t/h

dV

( ) 90.0=φ com ,Cf6.0Aφ=V vvywvres d (3.4.22)

O coeficiente é a razão entre a tensão crítica de flambagem elástica vC ( )flτ e a

tensão de escoamento a cisalhamento ( )vf :

fl flv

v y

C 0,6f fτ τ

= ≈ (3.4.23)

126

Nas vigas I sem enrijecedores intermediários, o coeficiente pode ser obtido

com as seguintes expressões:

vC

- para flambagem elástica:

( ) ( )8.0<C t/hfE61.7

=C v200y

v (3.4.24a)

- para flambagem inelástica:

( )8.0>C fE

t/h46.2

=C vy00

v (3.4.24b)

Para , a fórmula 3.4.24b transforma-se na fórmula 3.4.20; a fórmula 3.4.22

transforma-se na 3.4.21.

1=Cv

As fórmulas 3.4.24 podem ser obtidas das fórmulas 3.4.28, fazendo-se ∞=a ,

onde a é a distância entre enrijecedores intermediários.

3.4.2.2.3 Limite superior da relação em vigas sem enrijecedores 00 t/h

Segundo PFEIL (1989), em vigas com alma extremamente esbelta, a alma não

tem rigidez para suportar a pressão transversal do flange, decorrente da curvatura provocada

por flexão da viga. O limite superior de , correspondente a essa condição, é dado pela

fórmula:

00 t/h

( )0

0 máx yw yw r

h 0, 48Et f f 1,64f

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ + (3.4.25)

rf = tensão residual no perfil, tomada igual a 115 MPa.

Praticamente, as relações de vigas sem enrijecedores transversais

intermediários são limitadas aos seguintes valores, de acordo com PFEIL (1989):

00 t/h

- edifícios (AISC) - 0 0h / t 260≤

- pontes (AASHTO) - 0 0h / t 150≤

3.4.2.3 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, com enrijecedores transversais

intermediários, fletidas no plano da alma

3.4.2.3.1 Vigas I sem efeito de flambagem da alma

127

Nas vigas I sem efeito de flambagem da alma ( ), o esforço cortante

resistente de cálculo é dado pela fórmula 3.4.21:

1>Cv

( ) ( ) 90.0=φ com ,f6.0Aφ=V 1>C vywvres dv (3.4.26)

3.4.2.3.2 Vigas I com efeito de flambagem da alma

Nas vigas I com efeito de flambagem da alma ( ), o esforço cortante

resistente de cálculo é reduzido pela flambagem, obtendo-se a expressão 3.4.22:

1<Cv

( ) ( ) 90.0=φ com ,Cf6.0Aφ=V 1<C vvywvres dv (3.4.27)

Nas vigas I com enrijecedores transversais intermediários, o coeficiente pode

ser obtido com as seguintes expressões:

vC

( ) ( )( )v v2 2

y 0 0 0

7,61E 1 1C 1 C 0,8f h / t a / h

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦< (3.4.28a)

( ) ( )8.0>C h/a1

+1fE

t/h46.2

=C v20y00

v (3.4.28b)

0h = altura livre da alma da viga;

a= distância entre enrijecedores intermediários.

Segundo PFEIL (1989), as expressões 3.4.28 podem ser substituídas pela

formulação empírica:

( )v 2y 0 0 0

E 1 1C 3,34 1 0,f h / t a / h

= + 3− (3.4.28c)

3.4.2.3.3 Resistência pós-flambagem da alma. Campo de tração

Nas vigas com enrijecedores intermediários, após a flambagem da alma, a viga

transforma-se em um sistema treliçado, com diagonais tracionadas constituídas pelas almas

flambadas. Este sistema treliçado, denominado campo de tração produz um acréscimo no

esforço cortante resistente, obtendo-se a expressão:

128

( )( )

vd res v w y v 2

0

1 CV A 0,6f C1,15 1 a / h

⎡ ⎤−⎢ ⎥= φ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(3.4.29)

O campo de tração, segundo PFEIL (1989), não é utilizado nas vigas com altura

variável e nos painéis de extremidade das vigas de altura constante. Essas restrições estão

a al

aplicado na parte superior do enrijecedor de apoio.

3.4.2.3.4 ção em vigas com enrijecedores transversais

Nas vigas com enrijecedores transversais intermediários, os valores máximos de

adotados nos projetos são:

- edifícios (AISC):

relacionad s com a inclinação das diagonais tracionadas, e com o esforço horizontal unilater

Limite superior da rela 00 t/h

00 t/h

0 0h / t 11,7≤ 0y

E para a/h 1,5f

≤ (3.4.30)

( )max0000 t/ht/h < da fórmula 3.4.25 para

- pontes (AASHTO):

5.1h/a 0 >

y00

E76.6<t/h

f (3.4.31)

De acordo com PFEIL (1989), nas vigas I com enrijecedores transversais, cuja

resistência dependa do campo de tração e que não atendem a condição 3.4.20, é necessário

ar a interação de momentos fletores com esforços cortantes, com a seguinte relação:

3.4.2.4 Interação entre esforço cortante e momento fletor

verific

375.1<Vφ

V625.0+

MφM

nv

d

nb

d (3.4.32)

onde:

nvdnbdvb Vφ<V ,Mφ<M ,9.0=φ=φ

129

4 TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS

4.1 Introdução

De acordo com DYM E SHAMES (1973), Vigas, Pórticos e Anéis são estruturas

que têm um aspecto distintivo onde uma das dimensões geométricas domina a configuração.

Este aspecto nos permite fazer vastas simplificações onde se pode substituir o corpo

tridimensional por uma curva e desta forma reduzir o número de variáveis do problema.

Podemos agora considerar certos corpos onde mais de uma dimensão geométrica

dominam a configuração. Especificamente estamos interessados em corpos limitados por

superfícies cujas dimensões laterais são largas comparadas à separação entre estas. Quando as

superfícies limitadoras são planas o corpo é chamado de placa; quando as superfícies são

curvas o corpo é chamado de casca. Como exemplo de tais corpos temos:

a) o casco de um navio

b) a cobertura da asa de um avião

c) um muro de contenção de encostas

É claro através desta lista que o objeto deste item tem considerável significância

para a tecnologia estrutural. DYM E SHAMES (1973) desenvolveram uma teoria de placas e

consideraram sua validade.

4.2 Cinemática da deformação de placas

DYM E SHAMES (1973) propõem um modo simples de deformação para a placa

de acordo com o desenvolvido para a deformação de vigas e como resultado destas

simplificações será necessário somente considerar a deformação do plano médio da placa de

forma a nos permitir encontrar certas informações significantes para a estrutura como um

todo. Tais simplificações levam à inclusão de restrições ocultas no corpo, e as equações de

equilíbrio resultantes do processo variacional aplicado à energia potencial total estão de

acordo com um sistema mais enrijecido que no caso verdadeiro.

Seja uma porção de uma placa de espessura h na figura 4.1 onde o plano de

coordenadas xy corresponde ao plano médio ou superfície média na geometria indeformada.

Na face de topo da placa é indicada a distribuição de carga normal q(x,y) enquanto nos lados

130

é indicada a distribuição de força cisalhante Q e a distribuição de momento fletor M. Estas

quantidades serão discutidas na próxima seção. Note que a curva que limita a placa vista na

direção z é denotada por enquanto que a região interior é denotada por R. Γ

Como um primeiro passo nós assumimos que, em vista da pequena espessura da

placa, o movimento vertical de qualquer ponto da placa é idêntico àquele do ponto (acima ou

abaixo) na superfície média. Então

)y,x(w=)x,x,x(u 3213 (4.1)

onde w é a função de deslocamento vertical da superfície média.

Para movimentos paralelos à superfície média consideram-se duas contribuições.

As primeiras são as ações de alongamento devido a cargas nos lados da placa, as cargas sendo

x

y

z

q(x,y)Região R

curvalimitadora

z

yh

médiasuperfície

MQ

q(x,y)

h

Figura 4.1 (DYM E SHAMES, 1973) – Porção de uma placa de espessura h.

paralelas à superfície média da placa. Para estas componentes de deslocamentos, denotadas

por ( )s1u e ( )

s2u , é assumido que um ponto na posição ( )321 x,x,x tem as mesmas

componentes de deslocamento que os correspondentes pontos (acima ou abaixo) na superfície

média da placa. Então pode-se dizer

( ) ( )1 1 2 3 s su x , x , x u x, y (a)=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2 1 2 3 s su x , x , x v x, y (b)=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.2)

onde e ( ) se referem á ação de alongamento da superfície média. Desta forma, linhas

que conectam as superfícies da placa e normais ao plano xy na geometria indeformada

transladam horizontalmente como resultado da ação de alongamento. A segunda contribuição

é atribuída à flexão. Para esta ação, linhas normais à superfície média na geometria

( )su sv

131

indeformada permanecem normais a esta superfície na geometria deformada. Mais

especificamente, linhas, como a linha ab na figura 4.2 que conecta as superfícies da placa e é

normal ao plano xy na geometria indeformada, translada verticalmente e adicionalmente gira

z

b'

a'

x

xw

z

a'

vista ao longoda direção y

w

(a)

a

bwx

wb

aw

vista ao longo

a'

z

w

a'

b'

z

da direção x

y

yy

(b)

b'B1(u )

(u )B

b'2

Figura 4.2 (DYM E SHAMES, 1973) – Geometria deformada da placa.

como elemento rígido como resultado da flexão (ver a b′ ′ na figura 4.2). O deslocamento nas

direções x e y como resultado da ação de flexão denota-se respectivamente por ( ) ( )B2B1 u e u .

Estas quantidades foram mostradas inscritas no alargamento da figura 4.2. Deve ser claro que:

( ) ( )1 1 2 3 B

w x, yu x , x , x z (a)

x∂

= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂

( ) ( )2 1 2 3 B

w x, yu x , x , x z (b)

y∂

= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂

(4.3)

Note que de acordo com a hipótese inicial (direcionando-se à equação 4.1),

podemos tomar z como a coordenada do ponto na geometria indeformada a despeito do fato

de que é usado na geometria deformada para identificar o mesmo ponto.

Pode-se agora fornecer o campo de deslocamento como segue combinando ações

de alongamento e flexão

132

( ) ( )1 s

w x, yu u x, y z (a)

x∂

= −∂

( ) ( )2 s

w x, yu v x, y z (b)

y∂

= −∂

( )3u w x, y (c= )

(4.4)

Observe que o campo de deslocamento ( )321 u,u,u é agora totalmente descrito em

termos da deformação da superfície média ( )w e ,v,u ss .

Usando o campo de deslocamento acima é importante computar o campo de

deformações. Obtém-se: 2

sxx 2

u wzx x

∂ ∂ε = −

∂ ∂

2

2s

yy ywz

yv

∂∂

−∂∂

=ε

2s s

xyu v1 wz

2 y x x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂

ε = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(4.5)

Todas as outras deformações são zero. Nota-se imediatamente uma óbvia

dificuldade em que as tensões transversais de cisalhamento ( )yzxz τ,τ serão zero para o campo

de deslocamento proposto. Que estas quantidades não podem sempre ser é claro pelas

considerações de equilíbrio simples. DYM E SHAMES (1973) observaram que tiveram a

mesma dificuldade na teoria técnica de vigas. Segundo DYM E SHAMES (1973), deve-se

aceitar esta discrepância para agora, mas foi dada a devida atenção quando os autores

discutiram as “teorias melhoradas” de placas.

4.3 Funções de intensidade de tensão resultante e as equações de equilíbrio

No estudo de vigas, DYM E SHAMES (1973) empregaram forças resultantes na

seção como a força cisalhante V, o momento fletor M, e a força axial N. Para o estudo de

placas é útil introduzir distribuições por unidade de comprimento destas e de outras

quantidades.

Para este propósito é mostrado na figura 4.3 um elemento de placa com tensões no

plano médio da placa (estas tensões variam na direção z sobre a espessura h da placa).

Definem-se agora intensidades de força cisalhante, , como se segue: yx Q e Q

133

( )h / 2

x xzh / 2Q dz

−= τ∫ a

b

( )h / 2

y yzh / 2Q dz

−= τ∫

(4.6)

É claro ao considerar a figura 4.3 que é a distribuição de força cisalhante na

face com a normal na direção x fornecida por unidade de comprimento na direção y, enquanto

xQ

xx

x

z

y

h

xy

xz

yy yz

yx

dxdy

Figura 4.3 (DYM E SHAMES, 1973) – Elemento de placa com tensões no plano médio da placa.

yQ é a distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção y fornecida por

unidade de comprimento na direção x. Estas intensidades de força por unidade de

comprimento são mostradas na figura 4.4. Pode-se a seguir, introduzir intensidades de

momento fletor por unidade de comprimento como se segue:

( )h / 2

x xxh / 2M z dz a

−= τ∫

( )h / 2

y yyh / 2M z dz b

−= τ∫

(4.7)

Estas quantidades são mostradas na figura 4.4. É claro ao considerar a definição

em conjunção com a figura 4.3 que é a distribuição de momento fletor em relação ao eixo

y na seção que tem a normal na direção x por unidade de comprimento na direção y, etc.

Finalmente introduzem-se duas intensidades de momento torsor por unidade de comprimento

como se segue:

xM

( )h / 2

xy xyh / 2M z dz a

−= τ∫

( )h / 2

yx yxh / 2M z dz b

−= τ∫

(4.8)

Novamente considerando a definição de vê-se que este representa a

distribuição de momento torsor em relação ao eixo x na seção cuja normal é o eixo x, por

xyM

134

unidade de comprimento na direção y, etc. É imediatamente aparente da propriedade

complementar da tensão de cisalhamento que:

yxxy M=M (4.9)

x

z

y

h xyM

xQ

xM

Myx

yM

yQ

Figura 4.4 (DYM E SHAMES, 1973) – Intensidades de força por comprimento unitário.

Pode-se prontamente avaliar as diversas funções de intensidade de momento em

termos de w para o caso especial de comportamento elástico linear usando a lei de Hooke para

tensões planas para substituir tensões nas equações de definição. Então tem-se, da lei de

Hooke

( ) ( )xx xx yy2

E a1

τ = ε + νε− ν

( ) ( )yy yy xx2

E b1

τ = ε + νε−ν

( )xy xy2G cτ = ε

(4.10)

Tem-se então:

( ) ( )h / 2

x xx yy2h / 2

EM z dz a1−

= ε + νε−ν∫

( ) ( )h / 2

y yy xx2h / 2

EM z dz b1−

= ε + νε−ν∫

( )h / 2

xy xyh / 2M 2G z dz c

−= ε∫

(4.11)

135

y

z

xt

yy

^

zs

zyxy

xy

xzxx

Figura 4.5 (DYM E SHAMES, 1973) – Plano inclinado arbitrariamente na direção

relativa às direções x, y. ν̂

Substituindo para as deformações através das equações 4.5 obtém-se o seguinte

resultado em extrair a integração

( )2 2

x 2 2

w wM D ax y

⎛ ⎞∂ ∂= − + ν⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )2 2

y 2 2

w wM D y x

⎛ ⎞∂ ∂= − + ν⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

b

( ) ( )2

xywM 1 D

x y∂

= − −ν∂ ∂

c

(4.12)

onde D, chamado de rigidez à flexão, é a constante obtida por:

( )2

3

ν112EhD−

= (4.13)

Como um próximo passo serão formuladas as funções de intensidade de tensão

resultante ao longo da seção do plano inclinado arbitrariamente na direção ν relativa às

direções x, y. Deve-se concluir isto através das equações de transformação de tensões para as

tensões ilustradas na figura 4.5. Da disposição bidimensional das equações de transformação

de tensão pode ser visto que

ˆ

yy2

yνxyyνxνxx2

xννν τa+τaa2+τa=τ

( ) ( ) xy2

yν2

xνxxyyyνxνsν τaaττaaτ −+−= (4.14)

Se as resultantes de momento são definidas de maneira análoga às equações 4.7 e

4.8, as equações 4.14 podem ser multiplicadas por z e integradas sobre a espessura fornecer as

seguintes equações de transformação de momento:

sνν M e M

136

y2

yνxyyνxνx2

xνν Ma+Maa2+Ma=M

( ) ( ) xy2

yν2

xνxyyνxνsν MaaMMaaM −+−= (4.15)

Das considerações de equilíbrio simples na direção vertical para o elemento na figura 4.5

dyτ+dxτ=dsτ xzyzzν

Pode-se notar que

dsdx

=a ,dsdy

=a yνxν

Portanto:

xzxνyzyνzν τa+τa=τ

Após definir a resultante de cisalhamento como nas equações 4.6 e integrando sobre a

espessura da placa encontra-se

νQ

xxνyyνν Qa+Qa=Q . (4.16)

As quantidades podem ser relatadas ao considerar o

equilíbrio do elemento de placa, ou integrando as equações de elasticidade de equilíbrio

tridimensional, como foi feito para vigas. Então para o equilíbrio na direção x, na ausência de

forças de corpo,

xyyxyx M e M ,M ,Q ,Q

xyxx xz 0x y z

∂τ∂τ ∂τ+ + =

∂ ∂ ∂

Se esta equação for multiplicada por z e integrada sobre a espessura da placa, notando que as

operações podem ser intercambiadas com a integração z, encontra-se / x e / y∂ ∂ ∂ ∂

h / 2xyx xh / 2

MM z dz=x y z−

∂∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂∫ z 0τ

Se a integral de espessura remanescente é integrada por partes,

[ ]h / 2 h / 2h / 2xz

xz xz xh / 2h / 2 h / 2z dz z dz Q

z −− −

∂τ= τ − τ = −

∂∫ ∫

Nota-se aqui a definição 4.6a, e que nenhuma tensão cisalhante é aplicada nas superfícies da

placa . Então encontra-se 2/h±=z

xyxx

MMQx y

∂∂= +

∂ ∂ (4.17)

Exatamente do mesmo jeito pode-se integrar a equação de equilíbrio na direção y para obter

137

xy yy

M MQ

x y∂ ∂

= +∂ ∂

(4.18)

Finalmente considera-se a integração sobre a espessura da última equação de equilíbrio,

h / 2 yzxz zzh / 2

dz 0x y z−

∂τ⎡ ⎤∂τ ∂τ+ + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

∫

Em vista da definição de resultantes de cisalhamento, encontrou-se da equação acima que

( ) ( ) 2/hzzz2/hzzzyx zτzτ

yQ

xQ

=−= −=∂

∂+

∂∂

Notando que e que ( ) 0=zτ 2/h=zzz ( ) ( )zz z h / 2z q

=−τ = − x, y , obtém-se finalmente

( )yxQQ q x, y 0

x y∂∂

+ + =∂ ∂

(4.19)

Pode-se notar que as operações carregadas para obter as equações 4.17 – 4.19

correspondem em tomar momentos em relação aos eixos x e y, e considerando o equilíbrio de

forças na direção z.

Pode-se agora reduzir as três equações de equilíbrio (equações 4.17 – 4.19) a uma

equação única eliminando da equação para formar a seguinte equação yx Q e Q

0qyM

yxM

2xM

2y

2xy

2

2x

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ (4.20)

onde usou-se o fato de que . Finalmente usando as equações 4.12 pode-se

introduzir a função w na formulação acima como uma variável dependente. Obtém-se então a

seguinte equação:

yxxy M=M

4 qwD

∇ = (4.21)

Esta é uma equação não-homogênea biharmônica primeiramente obtida para

teoria de placa por Sophie-Germain em 1815.

O operador biharmônico 4∇ é o mesmo que dois operadores harmônicos

sucessivos e para coordenadas retangulares é (2 2∇ ∇ )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

4

4

2

2

2

2

4

4

yyx2

x

Deve ser aparente disto acima que estes resultados envolvendo a função de

intensidade de tensão somente (equações 4.15 a 4.20) são válidas para todos os materiais.

Aqueles resultados envolvendo w são válidos somente para materiais elásticos lineares.

138

A equação 4.21 irá formar uma das equações governantes da teoria clássica de

placas. Em adição são necessárias especificações das condições de contorno apropriadas

(condições de bordo) para teoria clássica de placas. Na próxima seção, usando a aproximação

variacional deve-se chegar a estas condições de contorno de uma maneira direta. E a equação

de Sophie-Germain será também derivada simultaneamente.

4.4 Aproximação da energia potencial total mínima

A energia de deformação U da placa para comportamento elástico linear é

encontrada ao se avaliar a seguinte integral: h / 2

ij ijR h / 2

1U dz dx dy2 −

= τ ε∫ ∫ ∫ (4.22)

Em referência aos comentários anteriores concernindo as deformações

transversais, nós devemos empregar o estado de tensões planas ao avaliar a expressão acima.

Então substituindo em termos de deformações (ver equação 4.10) obtém-se: ijτ

( ) ( ){ }h / 2 2 2 2xx xx yy yy xy2 R h / 2

EU 2 2 1 dz dx dy2 1 −

= ε + νε ε + ε + −ν ε−ν ∫ ∫ ∫ (4.23)

A energia potencial para as cargas externas mencionadas por enquanto é obtida

como se segue

( ) ( )R

V q x, y w x, y dx dy= −∫ ∫ (4.24)

onde as cargas q são assumidas a agir na superfície do plano médio da placa. Considerando as

equações 4.23 e 4.24 e expressando as deformações em termos do campo de deslocamento da

superfície média (equações 4.5) obtém-se a seguinte expressão para a energia potencial total:

( )

( )

( ) ( )

2 22 2s s

2 2

2 2h / 2 s s2 22 R h / 2

22s s

R

u vw wz zx x y y

u vE w w2 z z dz dx dyx x y y2 1

u v1 w2 1 z2 y x x y

q x, y w x, y dx dy

−

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪π = + ν − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂−ν ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ −ν + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(4.25)

Extraindo a operação quadrática e integrando sobre a espessura enquanto se nota que

139

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∫− 12h,0,hdz z,z,1

32/h

2/h2 (4.26)

pode-se obter a energia potencial total na forma

( )

22s s s s

2Rs s

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2R 2

R

u v u v2x y x yC dx dy

2 u v12 y x

w w w w2x y x yD dx dy

2 w2 1x y

qw dx dy

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + ν⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠π = ⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂−ν⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + ν⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ ⎢ ⎥⎛ ⎞∂⎢ ⎥+ − ν ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(4.27)

Onde C é a nova constante chamada de rigidez extensional e é obtida por:

2ν1EhC−

= (4.28)

A energia potencial total tem três variáveis dependentes – as componentes de alongamento

e o deslocamento vertical variável w. Então nós temos para as equações de Euler-

Lagrange para :

ss ve u

ss ve u

( ) ( )s s s

F F F 0u x u / x y u / y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )s s s

F F F 0v x v / x y v / y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Substituindo para F dos integrandos da equação 4.27 nós temos:

( )2 2 2

s s s2 2

u u v1 1 0 ax 2 y 2 x y

∂ ∂ ∂− ν + ν+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

( )2 2 2

s s s2 2

v v u1 1 0 by 2 x 2 x y

∂ ∂ ∂− ν + ν+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

(4.29)

Nota-se que as equações para são desacopladas da equação para w. De acordo com

DYM E SHAMES (1973), este é exatamente como foi o caso para flexão em vigas. Deve-se

estar concernindo aqui com as tensões e momentos nas placas como resultado das cargas

transversais. Desde que as deformações devidas a esta ação irão primariamente surgir dos

efeitos de flexão no lugar dos efeitos de alongamento deve-se considerar somente o primeiro.

ss ve u

140

De acordo retorna-se agora ao funcional de energia potencial total e deletando as variáveis

nós reescrevemos a expressão na seguinte forma: ss ve u

( ) ( )22 2 222

2 2R

R

D w ww 2 1 dx dy2 x y x

qw dx dy

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪wy

∇ + −ν −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫

∫ ∫

π =

−

( )

(4.30)

Ao extremizar o funcional de energia potencial total obtém-se

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

2 22 21

R

2 2 2 2

2 2 2 2

R

w w2 w

x y

D w ww w0 dx dy2 22 x y x y y x y x1

w w w w2 2x y y x

q w dx dy

⎧ ⎫⎡ ⎤∂ δ ∂ δ∇ +⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦

⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ∂ δ ∂ δ ⎪∂ ∂δ π = = +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥+ − ν⎪ ⎪⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ δ ∂ ∂ δ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

− δ

∫ ∫

∫ ∫

)

(4.31)

A expressão foi dividida em ( 222 w / x y∂ ∂ ∂

2 22 2w wx y y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ao extrair a formulação acima. Pode-se empregar o teorema de Green sucessivamente. Pode-

se desejar tomar o tempo para justificar que o seguinte resultado é alcançado:

( )

( )

( )

( )

( ) 0dywδyx

wν1D

dxwδyx

wν1Ddywδyx

wνxwD

dxwδyx

wνywDdx

xwδ

yxwν1D

dyywδ

yxwν1Ddx

ywδ

xwν

yw

D

dyxwδ

ywν

xwDdydxwδqwD

Γ 2

3

Γ 2

3

Γ 2

3

3

3

Γ 2

3

3

3

Γ

2

ΓΓ

2

2

2

2

2

Γ 2

2

2

2

R

4

=∂∂

∂−−

∂∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂∂∂

−−

∂∂

∂∂∂

−+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+−∇

∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

∫∫∫

(4.32)

141

4.5 Estabilidade elástica de placas. A equação de flambagem para placas retangulares

Nesta seção será apresentada a equação linearizada que leva ao problema de

autovalor para o estudo de flambagem de placas. Especificamente serão apresentados meios

de determinar valores críticos de cargas constantes aplicadas nos lados yxxyyx N e ,N ,N ,N

para a placa retangular (figura 4.6). É assumido que yxxy N=N . Ao se fazer isto deve-se

y

xa

b xN

Nxy

Nyx

Ny

yN

Nx

Nxy

yxN

Figura 4.6 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados para a placa retangular.

seguir o procedimento análogo ao feito para colunas onde primeiramente foi encontrada a

equação de equilíbrio de uma coluna extremizando a energia potencial total. Deve-se então

linearizar a equação enquanto se nota quais restrições são atualmente desenvolvidas neste

processo. As equações de placa de von Kármán são escritas em termos das componentes

retangulares: 2 2 2 2 2 2

42 2 2 2

22 2 24

2 2

F w F w F wD w 2 (ay x x y x y x y

w w wF Eh (b)x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

)

(4.33)

onde 2

x2

2

y2

2

xy

F NyF N

xF N

x y

∂=

∂

∂=

∂∂

− =∂ ∂

(4.34)

142

Na análise de colunas, a equação de equilíbrio foi linearizada N P= − . Isto quer dizer que

pode-se desprezar extensões ao longo da linha neutra da coluna. Pode-se colocar os termos

análogos a N, nomeadamente ( )2 2xN F / y= ∂ ∂ , ( )x xyN2 2

yN F /= ∂ ∂ e iguais

às cargas correspondentes nos lados mais uma pequena quantidade em perturbação. Isto é,

( )2F / x= −∂ ∂ ∂y

2 2

x2 2

2 2

y2 2

2 2

xy

F FNy yF FN

x xF FN

x y x y

∂ ∂= − +

∂ ∂

∂ ∂= − +

∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂

%

%

%

(4.35)

onde a notação ~ indica a quantidade em perturbação. Deve-se concordar em tomar somente

termos lineares nas quantidades em perturbação e em e suas derivadas. Isto é, deve-se

desprezar todos os produtos e quadrados destas quantidades. De acordo quando se substitui as

equações 4.35 nas equações 4.33 obtém-se após tal processo de linearização:

w%

2 2 24

x xy y2 2

4

w w wD w N 2N N (a)x x y y

F 0 (b)

∂ ∂ ∂∇ = − − −

∂ ∂ ∂ ∂

∇ =

% % %%

%

(4.36)

Nota-se que as equações acima são agora desacopladas e deve-se considerar o primeiro do

par. Para se ganhar discernimento no que se refere a que simplificações foram efetivamente

sN

N

Figura 4.7 (DYM E SHAMES, 1973) – Carregamento para uma placa de formato geral.

incorporadas no estudo pelos passos formais matemáticos prévios, torna-se às considerações

da energia potencial total. Em particular considera-se o potencial do carregamento para uma

placa de formato geral como mostrado na figura 4.7. pode-se dizer usando cargas negativas

nos lados como positivas:

143

( )( ) ( )( )[ ]∫ ∫ −+−−=Γ Γ ssννv dsuNdsuNV (4.37)

No caso de placa retangular (ver figura 4.6) a equação acima se torna:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a by yx x xyy x x y0 0y 0 x a

0 0y yx x yxy x x ya by b x 0

V N u N u dx N u N u dy

N u N u dx N u N u dy

= =

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡− − + − − − + −⎣ ⎦ ⎣

∫ ∫

∫ ∫ ⎤⎦

Coletando os termos tem-se:

. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a by xy y x xx a x 0y b y 00 0

a byx xyx x y yy b y 0 x a x 00 0

V N u u dx N u u d

N u u dx N u u dy

= == =

= = = =

⎡ ⎤ y⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

Agora tais expressões como ( ) ( )y yy b y 0u u

=⎡ −⎣ =

⎤⎦

podem ser dadas como , etc.,

e de acordo notando que

( )b

y0u / y dy∂ ∂∫

xy yxN N= , a equação acima pode ser dada como se segue:

a b y yx x

y xy x0 0

u uu uV N N N dxdyy y x x

⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ (4.38)

Como próximo passo toma-se a equação da teoria de placa de von Kármán fornecendo

deformações em termos de deslocamentos. Nota-se desta listagem que no plano médio da

placa 2

xxx

2y

yy

y xxy

u 1 wx 2 x

u 1 wy 2 y

u u1 1 w2 x y 2 x y

∂ ∂⎛ ⎞ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞∂ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ w∂ ∂⎛ ⎞ε = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Se forem colocadas as deformações igual a zero no plano médio da placa para a seguinte

análise então pode-se dizer disto acima 2

x

2y

y x

u 1 wx 2 x

u 1 wy 2 yu u wx y x y

∂ ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂ ⎛ ⎞∂ w∂ ∂⎛ ⎞+ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(4.39)

Substituindo estes resultados na equação 4.38 tem-se para V:

144

22a b

x xy y0 0

1 w w w wV N 2N N2 x x y y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ dxdy

0

Pode-se agora fornecer o funcional de energia potencial total usando o resultado acima para

cargas externas e usando a equação 4.27 com s su v q= = = para a energia de deformação de

flexão. Tem-se então:

( ) ( )22 2 2a b 22

2 20 0

22a b

x xy y0 0

D ww 2 1 dxd2 x y x

1 w w w wN 2N N dxdy2 x x y y

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪π = ∇ + −ν −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

w w yy ⎦ (4.40)

A extremização do funcional acima fornece as equações de Euler-Lagrange, equação 4.36a,

equação alcançada pelo processo de linearização.

Pode-se agora determinar as condições de contorno para a equação linearizada de

flambagem pela extremização do funcional (4.40). estas podem ser deduzidas da teoria de

placa de von Kármán substituindo Nν e sNν respectivamente pelas cargas aplicadas Nν− e

sNν− . Então tem-se:

Ou M 0ν = ou w∂∂ν

é especificado (a)

Ou ss

M w wQ N Ns sν

ν νν

∂ ∂ ∂ 0+ − −∂ ∂ν ∂

= ou w é especificado (b)

E nas descontinuidades do contorno:

[ ]sM w 0ν δ = (c) (4.41)

Tem-se então formulada a equação linearizada de flambagem para placas retangulares.

Pode-se perguntar quais cargas xN , yN e xyN ou combinações destas cargas

permite soluções não-triviais w 0≠ da equação de flambagem. De acordo com DYM E

SHAMES (1973), este é o método de equilíbrio.

4.5.1 O método de equilíbrio – um exemplo

Considera-se agora o caso de uma placa retangular simplesmente apoiada a×b×h em

compressão uniaxial uniforme (ver figura 4.7). Isto quer dizer que 0=N=N yxy e a equação

governante é fornecida como:

145

24

x 2

wD w N 0x

∂∇ + =

∂ (4.42)

As condições de contorno para este problema são

Em x=0,a; 2

2

ww 0x

∂= =∂

Em y=0,b; 2

2

ww 0y

∂= =∂

(4.43)

y

xa

b NxNx

Figura 4.8 (DYM E SHAMES, 1973) – Placa retangular simplesmente apoiada a b h em compressão uniaxial uniforme. × ×

Foi proposta a seguinte expressão como solução para a equação 4.42:

mnm x n yw A sin sin

a bπ π

= (4.45)

Para satisfazer as condições de contorno 4.43, m e n devem ser inteiros. Para evitar a solução

trivial foram tomados m e n não-nulos. Substituindo na equação 4.42 tem-se: 22 2 2

x mnm n m m x n yD N A sin sa b a a b

⎧ ⎫⎡ ⎤π π π π π⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ in 0+ − =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Para se ter a solução não-trivial para a equação de equilíbrio é claro da equação acima que

cargas críticas xN existem e podem ser fornecidas como se segue.

( )22 2

xcr

a m nN Dm a b

2⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.46)

Pode-se introduzir a tensão crítica crτ dividindo por h a equação acima. Substituindo D por

sua definição básica (ver equação 4.13) tem-se então:

( )2 22

2 4cr 2

E h mb a2n nb a mb12 1

2⎡ ⎤π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.47)

146

Tem-se uma dupla infinidade de valores discretos de ( )xcr

N ou crτ . É claro ao considerar a

equação 4.47 que crτ aumenta com n para qualquer valor de a/b, o qual será chamado de

proporção de aspecto. Isto não vale para m. De acordo, como um primeiro passo no esforço

de encontrar a mínima tensão de flambagem coloca-se n igual ao seu menor valor (ou seja, a

unidade). Pode-se fornecer a equação 4.47 na seguinte forma

( )22

crcr 2

Ek hb12 1

π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (4.48)

onde , chamado de coeficiente de flambagem, tem a forma: crk

2

crb 1 ak ma m b

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.49)

Foi mostrado plotado versus a proporção de aspecto a/b para diferentes valores de m na crk

Figura 4.9 (DYM E SHAMES, 1973) – Coeficiente plotado versus a proporção de aspecto a/b.

crk

figura 4.9. É claro ao considerar o diagrama que o valor de m fornecendo o menor valor do

coeficiente de flambagem depende da proporção de aspecto. Então para a/b=1 vê-se que m=1,

mas, para a/b=2, m deve ser 2. Assim que a/b aumenta, nota-se que o coeficiente crítico de

flambagem se aproxima do valor 4. Estabelecendo m e n para as menores cargas críticas para

uma dada proporção a/b então se estabelece o modo de flambagem para a placa. Por enquanto

com a/b=2 e m=2 deve haver uma linha nodal em x=a/2 (ver figura 4.10) e diz-se que a placa

sofre duas flambagens. As linhas curvas no diagrama representam a forma flambada, as linhas

contínuas indicam a deflexão para cima e as linhas pontilhadas indicam a deflexão para baixo.

147

a

b ab =2

2 Flambagens

Linha nodal w=0

Figura 4.10 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados para a placa retangular.

Para m=3 devem haver três flambagens, etc. Finalmente, nota-se da figura 4.9 que quando a/b

é inteiro, então m=a/b para atingir o mínimo valor de . Então para tais casos o

comprimento da placa (direção x) é dividido em m flambagens, ou seja, m meias ondas de

comprimento b.

crk

148

5 ESTABILIDADE DE CHAPAS DE ALMA DE VIGAS

5.1 Introdução

Devido ao fato de que uma das principais tensões em chapas de alma de vigas em

flexão é a tensão compressiva, a possibilidade de ocorrência de um estado de equilíbrio

instável em chapas de alma deve ser considerada. Para isto, o projeto convencional de almas

b

a

xyt

O

txy

x

y

txyt

txy

t

Figura 5.1 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular.

xyt

txyt t

a

b

Figura 5.2 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular reforçada com enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais.

considerando as tensões cisalhantes admissíveis deve ser suplementado por uma investigação

da estabilidade das almas.

O problema básico pode ser ilustrado pela figura 5.1. Uma chapa retangular de

comprimento a, largura b, e espessura t, apoiada nos quatro lados, está sujeita a forças

149

cisalhantes uniformemente distribuídas ao longo de todos os lados e em adição é

carregada nos lados x=0 e x=a por forças longitudinais , linearmente distribuídas ao longo

destes lados. A distribuição de tensões mostrada na figura 5.1 representa o caso mais geral

que pode ocorrer em um painel de alma de uma viga entre dois enrijecedores rígidos quando

uma força axial age em conjunto com o momento fletor, como no caso de chapas de alma de

arcos. Uma condição de carregamento similar ocorre quando a alma é reforçada por um

enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais, como mostrado na figura 5.2,

e a estabilidade da chapa da alma entre a corda superior e os enrijecedores longitudinais deve

ser investigada.

tτ xy

tσ x

De acordo com BLEICH (1952), as condições de carregamento descritas acima

representam, é claro, um caso idealizado, desde que as tensões de cisalhamento são realmente

distribuídas parabolicamente ao longo dos lados x = 0 e x = a e variam também ao longo dos

lados y = 0 e y = b. A suposição de que as tensões são constantes entre x = 0 e x = a é uma

facilitada simplificação, desde que estas tensões variam ao longo da viga com o momento

fletor. Todavia, para permitir a solução do problema de flambagem sem a excessiva

complicação da análise, a simplificação da condição de carregamento é o primeiro passo

necessário na conduta com a estabilidade de chapas de alma em vigas. O erro em basear a

investigação em uma simplificada condição de carregamento será menor se valores médios de

e são usados.

xσ

xσ xyτ

As chapas de alma de vigas com grande altura são em geral muito delgadas para

desenvolver uma resistência à flambagem suficientemente alta para um projeto econômico da

alma sem recorrer a enrijecedores. Para isto, enrijecedores longitudinais ou transversais ou a

combinação de ambos desenvolve um papel importante no projeto de chapas de alma. A

necessidade de usar chapas enrijecidas é responsável por envolver teoria e trabalhos

experimentais no problema de chapas enrijecidas sob tensões de cisalhamento e flexão

combinados.

O primeiro grupo de problemas de estabilidade a ser discutido no capítulo 5 diz

respeito à determinação da tensão crítica de chapas de alma não enrijecidas sob várias

condições de carregamento e várias condições de suporte nos lados. Outra parte deste capítulo

deve dizer respeito ao efeito de enrijecedores transversais na resistência à flambagem de

chapas sob tensões de cisalhamento e flexão.

Pioneiros no campo de chapas de alma não enrijecidas foram Boobnoff (1914

apud BLEICH, 1952) e Timoshenko (1921 apud BLEICH, 1952). Boobnoff (1914 apud

150

BLEICH, 1952) investigou a chapa retangular simplesmente apoiada sob tensões de flexão e

compressivas agindo no plano da chapa em dois lados opostos. Timoshenko (1921 apud

BLEICH, 1952) foi o primeiro a apresentar uma solução prática do problema de estabilidade

de chapas retangulares em cisalhamento pela aplicação do método de energia, que se mostrou

uma excelente ferramenta para resolver um problema que não poderia ser resolvido

diretamente como um problema de valor característico. Ele aplicou o método de energia

também para a determinação da tensão crítica de chapas retangulares simplesmente apoiadas

sob tensões de flexão e compressivas e estendeu a investigação ao caso de tensões de

cisalhamento e flexão pura combinadas.

Uma explicação será dada primeiramente ao desenvolvimento simplificado da

teoria de chapas em cisalhamento. Uma solução exata para chapas infinitamente longas

acionadas em seus lados mais compridos por tensões de cisalhamento foi apresentada por

Southwell e Skan (1924 apud BLEICH, 1952), que trataram das chapas simplesmente

apoiadas e chapas engastadas. Uma investigação completa concernindo a precisão dos

resultados de Timoshenko para chapas simplesmente apoiadas foi feita por Bergmann e

Reissner (1932 apud BLEICH, 1952) e por Seydel (1933 apud BLEICH, 1952), que forneceu

valores melhorados do fator de chapa k. Stein e Neff (1947 apud BLEICH, 1952)

determinaram as tensões críticas de cisalhamento mais precisamente que os prévios autores

por considerar as configurações de flambagem simétrica e antisimétrica. Tensões de

flambagem de chapas retangulares engastadas em cisalhamento foram obtidas por Moheit

(1939 apud BLEICH, 1952) e por Budiansky e Connor (1948 apud BLEICH, 1952). Os

últimos dois autores obtiveram antes valores precisos da tensão crítica. O caso de chapas

engastadas infinitamente longas divididas em painéis quadrados por suportes rígidos

intermediários foi investigado por Budiansky, Connor e Stein (1948 apud BLEICH, 1952).

Stowell (1948 apud BLEICH, 1952) examinou chapas infinitamente longas em cisalhamento

tendo restrições elásticas contra rotação ao longo dos lados paralelos.

Flambagem sob tensões compressivas distribuídas não-uniformemente agindo nos

dois lados opostos da chapa foi considerada por Nölke (1937 apud BLEICH, 1952) que tratou

de chapas engastadas.

Chapas sob tensões de flexão e cisalhamento combinados foram estudadas por

Stein (1934 apud BLEICH, 1952), que forneceu tabelas mostrando a interação entre as

tensões críticas longitudinais e as tensões críticas de cisalhamento . O trabalho de Stein

foi publicado aproximadamente ao mesmo tempo que o trabalho de Timoshenko sobre o

cσ cτ

151

mesmo assunto. Os trabalhos de Batdorf e Stein (1947 apud BLEICH, 1952) e de Stowell e

Schwartz (1947 apud BLEICH, 1952) são dedicados ao problema de chapas sob cisalhamento

e tensão longitudinal uniforme combinadas.

O problema de chapas de alma enrijecidas foi estudado por Timoshenko (1921

apud BLEICH, 1952) em seus trabalhos de 1915 e 1921. Vários problemas relativos à

performance de chapas de alma com enrijecedores foram estudados por Schmieden (1930

apud BLEICH, 1952), Seydel (1931 apud BLEICH, 1952), Chwalla (1936 apud BLEICH,

1952) e Denke (1950 apud BLEICH, 1952). Soluções exatas para chapas infinitamente

longas, simplesmente apoiadas, com enrijecedores transversais foram apresentadas por Stein e

Fralich (1949 apud BLEICH, 1952).

Em adição a estas investigações teóricas relativas à estabilidade de chapas de alma

de vigas que têm sido carregadas por mais de duas décadas, trabalhos experimentais têm sido

feito nos anos recentes. As investigações de laboratório foram feitas para verificar os

resultados teóricos e para observar o comportamento real de chapas de alma em estruturas

reais nas quais as condições de carregamento e as condições de suporte ao longo dos lados

podem se desviar substancialmente das condições idealizadas sobre as quais a análise

matemática é baseada. Alguns destes testes foram feitos com a proposta especial de descobrir

a performance de chapas após flambar e determinar a resistência última de chapas de alma sob

condições que prevalecem nas estruturas atuais.

O comportamento de chapas de almas de vigas sujeitas a momentos fletores foi

investigada experimentalmente por Gabor (1944 apud BLEICH, 1952) e por Bergman e

Wästlund (1947 apud BLEICH, 1952). Chapas sob a ação de forças cisalhantes e sob flexão e

forças cortantes combinados foram estudados experimentalmente por Moheit (1939 apud

BLEICH, 1952), Godfrey e Lyse (1935 apud BLEICH, 1952), Moore (1947 apud BLEICH,

1952), e Bergman e Wästlund.

Todos os trabalhos teóricos citados consideram estabilidade na extensão elástica

somente. Para aplicações práticas, particularmente no projeto de aço estrutural e de navios, a

extensão da teoria à flambagem inelástica é essencial. BLEICH (1952) se atentou em

apresentar os resultados de todas estas teorias para flambagem elástica de tal maneira que elas

são aplicáveis para flambagem inelástica também.

5.2 A coluna como parte da estrutura. Princípios do projeto de colunas

152

Colunas usadas em estruturas de metal podem diferir largamente das colunas

idealizadas. Há uma multiplicidade de fatores que afetam a resistência última de colunas que

são partes integrantes de estruturas de engenharia:

• Efeito da ação das condições de continuidade nas colunas de estruturas em

pórtico.

• Efeito da excentricidade da carga axial.

• Efeito dos momentos fletores transmitidos aos finais das colunas dos membros

estruturais adjacentes, devido à ação de pórtico rígido da estrutura.

É assumido que na seguinte discussão estas imperfeições acidentais, tais como a

não-homogeneidade do material, desvio da forma geométrica assumida (curvatura inicial),

excentricidades não intencionais do carregamento axial devido à inevitável imperfeição do

trabalho de montagem, são levados em conta por uma escolha adequada do fator de

segurança.

Cada um desses fatores acima enumerados varia sobre uma larga extensão e se

combinam uns com os outros em cada caso individual de uma maneira particular. A

determinação da capacidade de carga de um membro em compressão como parte da estrutura

requer em cada caso: (1) estabelecimento do comprimento efetivo da coluna, permitindo as

condições de continuidade nas extremidades que dependem da rigidez dos membros

adjacentes e as cargas que eles carregam; (2) a avaliação do efeito de qualquer excentricidade

potencial devido aos momentos fletores vindos da ação de pórtico ou devido à transferência

excêntrica da carga compressiva através dos membros adjacentes da estrutura.

Felizmente, em muitos casos práticos é possível julgar o efeito sobre a ação de

coluna dos fatores mencionados acima por métodos racionais e condensar os resultados da

análise a regras simples de projeto, fórmulas, ou tabelas numéricas para uso em práticas de

projeto. Esta teoria pode servir como ponto de partida através do qual métodos simplificados

de projeto podem ser derivados.

Foi considerado acima que cada membro em compressão em uma estrutura de

metal representa um caso individual que deve ser projetado de acordo com sua condição

particular de carregamento e de apoio, o projeto sendo baseado sobre a racionalmente

derivada, curva de coluna ideal. Em tal conceito de projeto de colunas a curva de coluna ideal

representa a expressão gráfica (ou tabulada) do efeito das propriedades elastoplásticas do

material na resistência da coluna e nada mais. Não há razão lógica para incorporar na fórmula

de coluna qualquer um dos fatores acidentais que afetam a resistência à flambagem tais como

excentricidades acidentais ou curvaturas iniciais. Estas incertezas são melhor levadas em

153

conta pelo fator de segurança. Isto pode conduzir à mente que o problema de coluna devido,

como discutido antes, representa apenas uma pequena porção do grupo inteiro de problemas

de flambagem no projeto estrutural. Não é apenas lógico, mas também uma questão de

conveniência, basear o projeto em todos os casos de instabilidade sobre uma e a mesma curva

de coluna. Desta maneira, esta característica fundamental que controla o comportamento de

qualquer elemento estrutural sob compressão não deveria ser obscurecida por qualquer fator

particular que pode ter importância para um tipo de membro estrutural, mas de nenhuma

significância para um outro.

Inspecionando a relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez

de uma coluna ideal de aço estrutural, ilustrada pela curva na figura 5.3, é prontamente visto

que o formato da curva é controlado essencialmente por três parâmetros: o módulo de

elasticidade E, que define a hipérbole de Euler, o limite proporcional e o ponto de

escoamento , determinando os pontos A e B da curva para a extensão inelástica. A curva

cσ r/l

pσ

yσ

Figura 5.3 (BLEICH, 1952) – Relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez l/r de uma coluna ideal de aço estrutural.

cσ

AB derivada do conceito de módulo-tangente pode convenientemente ser substituída para uso

prático em projeto de coluna pela parábola quadrática

( )

2y p

c y 2lrl / r

σ −σ ⎛ ⎞σ = σ − ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠ (5.1)

154

O coeficiente do segundo termo é definido por duas características do material,

e , e pelo parâmetro de esbeltez l /pσ yσ r′ que corresponde à tensão crítica . pc σ=σ

Este parâmetro de esbeltez l / r′ é 2 2

p

l Er′ π⎛ ⎞ =⎜ ⎟ σ⎝ ⎠

A introdução deste valor na equação 5.1 leva à fórmula

( ) 2

2pyfp

yc rl

Eπσσσ

σσ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−= (5.2)

Então para qualquer material fornecido com uma zona de escoamento

distintamente marcada a fórmula básica de coluna pode ser facilmente estabelecida quando as

três características do material, E, , e , são conhecidas. Para uso em projeto prático os

valores da tensão média última σ , fornecida pela fórmula de coluna 5.2, pode ser dividida

pelo fator de segurança n. Então os valores de podem ser considerados como tensões

em serviço seguras da coluna ideal e podem ser aplicados ao projeto de colunas baseado sobre

a carga em serviço atual.

pσ

c

yσ

n/σ c

Como será visto nos itens subseqüentes, a proporção desempenha um

importante papel na análise de vários problemas de flambagem, e é conveniente ter disponível

uma expressão analítica simples para que se ajusta à fórmula de coluna analítica sugerida

acima. Tal expressão é prontamente derivada.

E/E=τ t

τ

Pode-se escrever a equação 5.1 na forma condensada 2

cla br

⎛ ⎞σ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

onde a e b são constantes dependentes das características e . Por outro lado pode

também ser expresso por:

pσ yσ cσ

( )2

2

c r/lτEπ

=σ

Eliminando ( destas duas equações é alcançada uma expressão para : )2r/l τ

( )Ebπσaστ 2

cc −=

Mostrando esta como função da tensão crítica média . Substituindo a por e

por

A/P=σ cc yσ

Ebπ 2 ( )p y pσ σ −σ finalmente é atingida a fórmula

155

( )( )

y c

y p

c

p

σ −σ στ =

σ −σ σ (5.3)

Para rotinas de cálculo é conveniente providenciar uma tabela de valores de

calculados pela equação 5.3. Uma amostra de tal tabela é fornecida como a tabela 5.1,

calculada para aço estrutural com o limite proporcional assumido e

resistência ao escoamento .

τ

MPa 5.172σ p =

MPa 7.227σ y =

Baseando o projeto de colunas sobre estas fórmulas racionais de colunas, atenção

deve ser direcionada ao fato de que as características do material fornecidas sob as

especificações usuais podem variar dentro de uma certa extensão. Conseqüentemente,

possíveis valores mínimos de e podem ser introduzidos na fórmula de coluna, levando

em conta a freqüência de sua ocorrência; a seleção de valores mínimos das características das

propriedades do material deve ser baseada sobre considerações de probabilidade, assumindo

que desvios extraordinários dos valores oficiais que ocorrem comparativamente raramente são

cobertos por uma margem especial no fator de segurança.

yσ pσ

5.3 O fator de segurança

Os princípios sobre os quais a escolha do fator de segurança no projeto de

membros em compressão é baseada são essencialmente os mesmos que no caso de membros

em tração. O propósito do fator de segurança é prover uma margem razoável para todos os

fatores indetermináveis, incluindo uma certa permissão para a imperfeição dos métodos

analíticos aplicados na determinação das tensões. Sempre que um fator de segurança é

empregado, deve ser claro a qual condição ele se refere; quanto mais distante tensões de

tração são concernidas, o fator de segurança nas práticas atuais irão indicar segurança contra o

ponto de escoamento, em casos onde tensões alternativas ocorrem contra a resistência à fadiga

do material. Para membros estruturais sob compressão o fator de segurança naturalmente

deveria se referir à resistência à flambagem dos membros. Todavia, ao julgar a segurança de

membros comprimidos um ponto de vista mais cauteloso deve ser adotado, desde que a

ocorrência de instabilidade no membro pode levar à ruptura da estrutura inteira, enquanto o

escoamento de um membro tracionado não necessariamente põe em perigo a vida da

estrutura, mas somente produz deflexões excessivas. Também deve ser considerado que ao

estabelecer o fator de segurança para membros comprimidos, uma permissão favorecida deve

ser feita para cobrir efeitos especiais (excentricidade) que desempenham um menor papel em

156

membros tracionados mas pode afetar a resistência de flambagem de colunas

consideravelmente.

Tabela 5.1 (BLEICH, 1952) – Proporção para aço estrutural.

E/E=τ t

cσ τ cσ τ cσ τ cσ τ

172.5 1.000 186.3 0.810 200.1 0.580 213.9 0.310 173.9 0.983 187.7 0.789 201.5 0.555 215.2 0.281 175.3 0.965 189.1 0.767 202.9 0.529 216.7 0.251 176.6 0.947 190.4 0.745 204.2 0.503 218.4 0.221 178.2 0.929 191.8 0.723 205.6 0.477 219.4 0.1908

179.4 0.910 193.2 0.700 207.0 0.450 220.8 0.1600 180.8 0.891 194.6 0.677 208.4 0.423 222.2 0.1288 182.2 0.871 196.0 0.652 209.8 0.395 223.6 0.0972 183.5 0.851 197.3 0.629 211.1 0.367 224.9 0.0652 184.9 0.831 198.7 0.605 212.5 0.339 226.3 0.0328

227.7 0

A questão também surge em qual dos dois é verdadeiro, o fator de segurança

deveria ser assumido constante em toda a extensão de proporção de esbeltez ou deveria variar

para coluna curtas ou esbeltas.

5.4 Determinação da tensão crítica na extensão inelástica de flambagem

BLEICH (1952) demonstrou que a tensão crítica de chapas longas

retangulares, carregadas longitudinalmente por forças compressivas no plano das chapas,

pode ser computada pela fórmula

cσ

( )22

c 2

E t kb12 1

π τ ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠

onde k é independente de . Na extensão elástica de flambagem, quando , a tensão

crítica pode ser diretamente computada por esta equação. Contudo, na extensão inelástica

, que depende de , é uma quantidade desconhecida fora de computação, e um método de

tentativa e erro deveria ser necessário para determinar . Isto pode ser evitado escrevendo a

equação acima na forma

τ 1=τ

cσ

τ cσ

cσ

157

Tabela 5.2 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço, MPa ( ,

cσMPa 5.172σ p = MPa 7.227σ y = ).

τ/σ c cσ τ/σ c cσ τ/σ c cσ

172.5 172.5 241.5 195.7 829.9 224.6 175.8 174.1 248.5 197.3 956.4 225.3 179.3 175.7 255.2 198.7 1074.4 225.8 182.8 177.2 262.0 200.0 1219.3 226.3 186.2 178.6 269.0 201.2 1380.0 226.6

189.8 180.1 275.9 202.4 1687.3 226.9 193.2 181.4 310.3 207.2 2116.5 227.2 196.7 182.7 344.6 210.8 2801.1 227.4 200.1 183.9 379.2 213.6 3962.5 227.6 203.5 185.1 413.6 215.7

207.0 186.3 481.9 218.7 213.8 188.4 552.0 220.8 220.6 190.4 619.1 222.2 227.4 192.3 688.4 223.2 234.5 194.1

Tabela 5.3 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço, MPa ( ,

cσMPa 6.234σ p = MPa 5.310σ y = ).


234.6 234.6 317.4 263.9 690.5 299.3 238.0 236.3 324.2 265.5 758.8 301.2 241.4 237.8 331.0 267.1 824.0 302.6 244.9 239.4 337.9 268.6 894.3 303.7 248.4 240.9 344.9 270.1 961.7 304.6 251.7 242.4

358.7 272.8 1032.0 305.4 255.2 243.8 372.4 275.2 1374.8 307.6 258.6 245.2 386.6 277.4 1656.9 308.5 262.2 246.6 400.3 279.5 2049.3 309.2 265.6 247.9 413.7 281.2 269.1 249.2 2695.6 309.7 272.6 250.5 448.5 285.2 3380.7 310.0

482.3 288.4 4000.9 310.2 275.9 251.6 518.0 291.2 282.9 254.0 554.9 293.5 289.8 256.2 587.2 295.3 296.7 258.3 620.4 296.7 303.5 260.2 655.6 298.1 310.4 262.1

158

( )22

c2

E t kb12 1

σ π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ντ ⎝ ⎠ (5.4)

Determinando τ/σ c por esta equação o valor correspondente de pode ser

encontrado pela tabela pré-calculada de valores como função de

cσ

cσ τ/σ c . Tal tabela pode

ser computada pelos valores- para o material sob consideração. As tabelas 5.2 e 5.3 são

exemplos de tais tabelas. Os valores sobre os quais estas tabelas são baseados foram

computados pela equação 5.3. A tabela 5.2 se aplica ao aço tendo o limite proporcional

e o ponto de escoamento σ

τ

τ

MPa 5.172σ p = MPa 7.y 227= , enquanto a tabela 5.3 se aplica

para , . MPa 6.234σ p = MPa 5σ y = .310

5.5 Chapas simplesmente apoiadas sob cisalhamento e tensões longitudinais

uniformemente distribuídas combinadas

As tensões nas chapas de alma de vigas são uma combinação de tensões de

cisalhamento e tensões longitudinais . É importante considerar o efeito de tal

combinação de tensões na estabilidade da alma. Soluções aproximadas do problema são

conhecidas para dois casos limites: (1) As tensões longitudinais σ são uniformemente

distribuídas sobre a seção transversal da alma, caso em que será considerado neste item; (2) as

tensões σ são tensões de flexão pura, caso em que será considerado no próximo item.

xyτ σ

b

O

txy xyt

txy

xytay

x

tt

Figura 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões compressivas uniformes σ .

xyτ

159

É considerada a chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões

compressivas uniformes σ como ilustrado na figura 5.4.

xyτ

É óbvio que a tensão de flambagem em que a chapa de aspecto proporcional

fornecido α pode carregar irá depender da magnitude da tensão de cisalhamento presente

na chapa e irá aumentar quando decresce. Focalizando a atenção na tensão crítica de

cisalhamento seu valor crítico irá ser maior quando a tensão compressiva decresce.

cσ

xyτ

xyτ

cτ σ

Figura 5.5 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção σ . occ τ/τ o

cc σ/

Usando o determinante de décima ordem Batdorf e Stein (1947 apud BLEICH,

1952) obtiveram a combinação de tensão crítica para o caso de cisalhamento e simultânea

tensão compressiva longitudinal ou transversal. Eles desenvolveram curvas de interação nas

Figura 5.6 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção σ . occ τ/τ o

cc σ/

160

quais o valor crítico de uma tensão pode ser obtido quando um valor fornecido de outra tensão

é presente. A interação entre pode ser expressa convenientemente ao introduzir as

proporções , onde é a tensão crítica em cisalhamento puro e é a

tensão crítica em compressão pura. Ao plotar a proporção occ τ/τ a proporção o

cc σ/σ ,

ostrado na figura 5.5, uma curva de interação é obtida. Batdorf e Stein (1947 apud

BLEICH, 1952) acharam que para proporções 1

cc τ e σ

cτoo

cccc τ/τ e σ/σ o ocσ

versus

como m

α ≥ rva entre /σ c e ser

aproximada pela parábola

a cu 1 e 0=σ co pod

2

c c

c c

1⎛ ⎞τ σ

+ =⎜ ⎟τ σ⎝ ⎠o o

(5.5)

Para valores de as curvas de interação computadas por Batdorf e Stein são

mostradas na figura 5.6. Estas curvas, exceto aquela para , desviam substancialmente

da parábola para . A curva para a chapa infinitamente longa em compressão

transversal foi determinada por Stowell e Schwartz (1947 apud BLEICH, 1952).

1<α

2/1=α

1=α 0=α

Fórmulas de projeto para chapas longas, . A relação simples 5.5 sugere o

desenvolvimento da fórmula de projeto para a resistência à flambagem de uma chapa em

cisalhamento e compressão uniforme combinados para 1

1α ≥

α ≥ . Procede-se da seguinte

man se xyτ e σ são tensões fornecidas no painel de chapa sob consideração e se seira: ua

proporção é

c

c

xyτ τσ

=σ

=β (5.6)

obtém-se da equação 5.5 substituindo cc βτ=σ

2

c c c 1⎛ ⎞τ τ τ

+c c c

β =⎜ ⎟o

o o o (5.7)

Resolvendo para esta equação fornece duas raízes, a menor sendo

τ τ σ⎝ ⎠

cτ

2c c 2 2

41 12

⎛ ⎞βτ = σ κ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟β κ⎝ ⎠

o (5.8)

onde . Os valores de e são oocc σ/τ=κ o

cσo

cτ

( )22

c 2

4 E tb12 1

π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠o

161

( )22

c 22

E t 45.34b12 1

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o

conseqüentemente

2

2

α1

+34

=4

α/4+34.5=κ (5.9)

A proporção κ depende somente do aspecto proporcional . Substituindo o valor

de na equação 5.8 obtém-se

1>b/a=αo

cσ

( )22

2c 2 22

E t 42 1 1b12 1

⎛ ⎞π ⎛ ⎞τ = βκ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟β κ− ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (a)

cc βτ=σ (b)

(5.10)

Estas equações são válidas na extensão elástica de flambagem somente.

Tensões críticas, e na extensão inelástica. No caso de cisalhamento e

tensão longitudinal combinados o fator de plasticidade

cτ cσ

τ=η é assumido a depender da

intensidade de tensão

2c

2ci τ3+σ=σ

Introduzindo o valor da proporção de tensão , as seguintes relações são

obtidas:

cc τ/σ=β

β3

+1σ=σ e 3+βτ=σ 2ci2

ci (5.11)

Em ordem de estender a equação 5.10a para a região plástica, substitui-se E por

τE , e expressando por obtém-se cτ iσ

( )22

2 2i2 22

E t 42 3 1 1b12 1

⎛ ⎞σ π ⎛ ⎞= κ β β + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+β κ−ντ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.12)

onde κ é fornecido pela equação 5.9. Após computar o valor de τ/σ i o valor de pode

ser obtido pelas tabelas 5.2 e 5.3, e as tensões críticas são

iσ

3+β

βσ=σ e

3+β

σ=τ

2

ic2

ic (5.13)

162

As equações 5.12 e 5.13 se aplicam na extensão elástica e inelástica. Quando

i /σ τ ≤ σp (limite proporcional), 1=τ , e estas equações estão de acordo com as equações

5.10.

Fórmulas de projeto para chapas curtas, . Assumindo que a

equação 5.5 pode ser considerada uma favorável aproximação da curva de interação para

chapas com o aspecto proporcional entre ½ e 1, a equação 5.8 permanece válida. Para chapas

extensas, , tem-se

1<α<2/1

1<α

( )2 22

c 2

E t 1b12 1

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o

( )22

c 22

E t 5.344b12 1

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o

Para isto,

( )22

2

c

c

1+α34.5+α4

=στ

=κ o

o

(5.14)

Expressando na equação 5.8 pela expressão acima tem-se ocσ

( )2 22

2c 2 22

E t 1 41 1b 212 1

⎛ ⎞π β⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = α + κ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α β κ−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.15)

cc βτ=σ

Estas equações são válidas na extensão elástica de flambagem somente.

Tensões críticas na extensão inelástica. Pela mesma razão que leva à equação

5.12 obtém-se agora

( )2 22

2 2i2 22

E t 1 43 1 1b 212 1

⎛ ⎞σ π β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= α + κ β + − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟⎟α β κ−ντ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.16)

onde κ é definido pela equação 5.14. Após determinar as tensões críticas são iσ

3+β

βσ=σ e

3+β

σ=τ

2

ic2

ic (5.17)

As equações 5.16 e 5.17 são válidas na extensão elástica e inelástica de flambagem.

5.6 Chapas simplesmente apoiadas sob tensões de cisalhamento e flexão pura

combinadas

163

A relação entre as proporções é indicada na figura 5.7 por duas

curvas de interação para que foi derivada da solução de Timoshenko (1935

apud BLEICH, 1952) deste problema. Estas curvas são aproximadas e podem ser substituídas

sem erro substancial pela curva pontilhada na figura 5.7, que é parte do círculo representado

pela equação

ooc11ccc σ/σ e τ/τ

1=α e 2/1=α

2 2

1c c

1c c

1⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ τ

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o o

(5.18)

Esta relação simples pode ser usada para desenvolver a fórmula de projeto em

uma maneira similar àquela aplicada no item anterior.

Figura 5.7 (BLEICH, 1952) - Relação entre as proporções . ooc11ccc σ/σ e τ/τ

Introduzindo a proporção , a equação 5.18 assume a forma cc1xy1 τ/σ=τ/σ=β

2 22c c

c 1c

1 1⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ τ⎢ ⎥+β − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ σ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

o

o o0

Com esta equação fornece a raiz positiva ooc1c σ/τ=κ

22c1c κβ+11

κσ=τ o (5.19)

O menor valor de k para flexão pura, 1 2σ = −σ , é

pod

23.9, e é assumido que oc1σ para

todas as proporções 1α ≥ e ser expressa com suficiente precisão por / 2

( )22

1c 2

24 E tb12 1

π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠o (5.20)

Além disso tem-se

164

Para : 1α ≤( )

22

c 22

E t 5.344b12 1

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o

Para : 1α ≥( )

22

c 22

E t 45.34b12 1

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o

(5.21)

das quais os seguintes valores de κ são derivados:

Para 1 12< α ≤ : 2

2

α92

+61

=24

α/34.5+4=κ

Para : 1α ≥ 2

2

α61

+92

=24

α/4+34.5=κ

(5.22)

Substituindo o valor de da equação 5.20 na equação 5.19 finalmente obtém-

se

oc1σ

( )22

c 2 22

E t 124b 112 1

π ⎛ ⎞τ = κ⎜ ⎟ +β κ−ν ⎝ ⎠

cc βτ=σ

(5.23)

Tensão crítica na extensão inelástica. Argumentando da mesma maneira que

nos casos discutidos previamente chega-se à seguinte equação para a tensão : iσ

( )22

2i2 22

E t 124 3b 112 1

σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠ (5.24)

Tendo determinado , as tensões críticas são iσ c1c σ e τ

3β

βσσe

3β

στ

2

ic12

ic

+=

+= (5.25)

5.7 Sumário das fórmulas de projeto para chapas de alma de vigas esbeltas

Os resultados obtidos nos itens 5.5 e 5.6 são sumarizados na tabela 5.4 em uma

maneira conveniente para rotinas de projeto. Por razões de simplicidade foi assumido que os

painéis da alma são simplesmente apoiados pelas cordas e enrijecedores, desprezando a

influência favorável do efeito de restrição destes membros.

Esta tabela contém fórmulas para a computação da tensão crítica . A

aplicação destas fórmulas ao projeto requer a seleção de um apropriado fator de segurança.

cc1 τ e σ

Quando se aplicar a tabela 5.4 determina-se o fator de chapa k da tabela e

computa-se

165

( )22

i2

E t kb12 1

σ π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ντ ⎝ ⎠ (5.26)

Para o aço esta equação pode ser escrita

(MPa) kbt185281

τσ 2

i ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.27)

Se o valor τ/σ i está abaixo do limite proporcional, tem-se e 1=τ τ/σ=σ ic , mas se

este valor está acima deste limite, a intensidade de tensão pode ser obtida para aço das

tabelas 5.2 e 5.3, que fornecem as tensões σ como função de

iσ

τ/σ . A intensidade de tensão

sendo encontrada, a última coluna da tabela 5.4 indica fórmulas simples para os valores

das tensões críticas e .

iσ

c1σ cτ

Para obter as tensões críticas para distribuições de tensões longitudinais tendo

proporções não mostradas na tabela, o fator de chapa k pode ser computado por

interpolação linear.

21 σ/σ

5.8 Chapas de alma enrijecidas transversalmente em cisalhamento

A tensão crítica de uma chapa em cisalhamento depende da proporção b/t, a

proporção da menor dimensão da chapa pela sua espessura t. Subdividindo uma chapa

simplesmente apoiada de comprimento a por suficientemente rígidos, enrijecedores

transversais de espaçamento d como indicado na figura 5.8, painéis menores são formados os

quais podem ser considerados aproximadamente como simplesmente apoiados. Então, a

proporção decisiva da largura pela espessura, d/t, pode ser consideravelmente reduzida , e a

tensão crítica, sendo inversamente proporcional ao quadrado dessa proporção,

substancialmente aumentada.

Uma análise aproximada para chapas enrijecidas em cisalhamento na extensão

elástica foi desenvolvida primeiro por Timoshenko. Esta revela características similares

àquelas que caracterizam a teoria de chapas com enrijecedores longitudinais em compressão

discutido por BLEICH (1952). Novamente, existe um valor limite do momento de inércia

dos enrijecedores que assegura linhas nodais retas nestes enrijecedores. Se I é menor que

os enrijecedores flambam e defletem junto com a chapa. Com rigidez à flexão aumentada a

resistência à flambagem da chapa enrijecida aumenta até que um limite superior é alcançado

0I

0I ,

166

Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída.

condição de carregamento fator de chapa k nas equações 5.26 e 5.27

tensões

críticas

cc τ e σ

compressão uniforme 1=σ/σ 12

b

11

2 2a

b/a=α

2

1: k=4

11: k= +

α ≥

⎛ ⎞α ≤ α⎜ ⎟α⎝ ⎠ic1 σ=σ

compressão longitudinal 0=σ/σ 12

b

11

2 2=0 =0a b/a=α

( )2

1: k=7.7

1: k=7.7+33 1

α ≥

α ≤ −α ic1 σ=σ

compressão longitudinal 2 1/ 1σ σ = −

b

a

11

2 2 b/a=α

( )2

2 / 3 : k=24

< 2/3: k=24+73 2/3

α ≥

α −α ic1 σ=σ

cisalhamento puro xy

xy b

a b/a=α

2

25.341: k= 3 4

⎜ ⎟41: k= 3 5.34⎛ ⎞α ≥ +α⎝ ⎠

⎛ ⎞α ≤ +⎜ ⎟α⎝ ⎠

3σ

=τ ic

167

Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída (continuação).

condição de carregamento fator de chapa k nas equações 5.26 e 5.27

tensões

críticas

cc τ e σ

cisalhamento e compressão longitudinal

2 1/ 1σ σ =

b

a

xy 1

2

1

2

xy

1 xya / b, = /α = β σ τ

( )

2 22 2

2

22 2

2 2

2

41: k=2 3 1 1

4 1onde =3

1 1 41/ 2 1: k= 3 1 12

4 5.34onde =

⎡ ⎤α ≥ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦

κ +α

22 1

⎡ ⎤⎛ ⎞≤ α ≤ κ α + β β + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟α β κ⎝ ⎠ ⎣ ⎦α +

κα +

iσ

c 2

i1c 2

3

3

τ =β +

βσσ =

β +


2 1/ 0σ σ =

b

a

xy

xy

1

2

1

2

1 xya / b, = /α = β σ τ

( )

2 22 2

2

2 22 2

2

41: k=3.85 3 1 1

5.34 4 /onde 7.7

41/ 2 1: k=3.85 3 1 1

4+5.34/

⎡ ⎤α ≥ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦

+ ακ =

3onde =7.7 33 1

⎡ ⎤≤ α ≤ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦

ακ

+ −α

iσ

c 2

i1c 2

3

3

τ =β +

βσσ =

β +


2 1/ 1σ σ = −

b

a

xy

xy

1

2

1

2

1 xya / b, = /α = β σ τ

22 2

2

22 2

11: k=24 31

2 1onde =9 6

11/ 2 1: k=24 31

α ≥ κ β ++β κ

κ +α

≤ α ≤ κ β +

21 2onde =6 9

+β κ

κ +α

iσ

c 2

i1c 2

3

3

τ =β +

βσσ =

+

β

quando . Um facilitado incremento do momento de inércia I não adiciona a resistência à

flambagem da chapa enrijecida. Quando reforçada por enrijecedores tendo o momento de

inércia , cada painel de chapa pode ser considerado como chapa simplesmente apoiada em

cisalhamento, e a tensão crítica atinge o valor máximo possível. Introduzindo a proporção

b/d o valor desta tensão na extensão elástica pode ser encontrado para cisalhamento puro pela

0I=I

0I

cτ

tabela 5.4 para : d / b 1α = ≤

168

( )22

c 2

E t kb12 1

π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (5.28)

onde

( )2b/d34.5

+4=k se d 1b

⎛ ⎞≤⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.29)

Chapas tendo um ou dois enrijecedores. Timoshenko (1915 apud BLEICH, 1952) resolveu

o problema de chapas transversalmente enrijecidas em cisalhamento aproximadamente pelo

método de energia para chapas com um ou dois enrijecedores, de acordo com a figura 5.8.

Sob a suposição de que os enrijecedores não têm rigidez torsional, a expressão para a energia

potencial do sistema de enrijecedor de chapa agora inclui um termo adicional para a energia

de flexão de cada enrijecedor, nomeadamente, sV

22b

s 20

EI d wV d2 dy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ y (5.30)

A tensão crítica de cisalhamento pode ser determinada pelo teorema da energia

potencial estacionária.

cτ

xy xy

xyb

enrijecedor

d d d d d

bxy

a a

enrijecedor

Figura 5.8 (BLEICH, 1952) – Chapas com um e dois enrijecedores.

Usando o parâmetro não-dimensional

( )2

3

12 1 IEIDd t d

−νγ = = (5.31)

Timoshenko determinou os valores do parâmetro 0γ γ que são requeridos para

assegurar as tensões críticas de cisalhamento obtidas pela equação 5.28. Determinantes de cτ

169

quarta ordem foram usados para os cálculos, os resultados destes são mostrados nas tabelas

5.5 e 5.6. Wang (1947 apud BLEICH, 1952) estendeu a teoria de Timoshenko para chapas

reforçadas por qualquer número de enrijecedores transversais e forneceu diagramas para

chapas com três e quatro enrijecedores e para chapas infinitamente longas.

Tabela 5.5 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido para chapas em cisalhamento tendo um enrijecedor.

0I

d/b 0.5 0.625 0.75 1.00

Dd/EI=γ 00 30.0 12.6 5.8 1.66

Tabela 5.6 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido para chapas em cisalhamento tendo dois enrijecedores.

0I

d/b 0.4 0.5 0.667 0.833 1.00

Dd/EI=γ 00 67.8 32.1 10.6 4.11 1.92

Chapas infinitamente longas reforçadas por enrijecedores equidistantes. Uma

solução mais exata para chapas infinitamente longas, simplesmente apoiadas, reforçadas por

d d

enrijecedor enrijecedor

b

xy

Figura 5.9 (BLEICH, 1952) – Chapa infinitamente longa reforçada por enrijecedores equidistantes.

enrijecedores transversais igualmente espaçados, foi publicada por Stein e Fralich (1949 apud

BLEICH, 1952). A solução foi obtida pelo método multiplicador Lagrangeano, e os resultados

numéricos foram fornecidos para três espaçamentos de enrijecedores b/d = 1, 2, e 5 (figura

5.9).

170

A figura 5.10 mostra diagramas para b/d = 1 e 2, em que o fator de chapa k na

equação 5.28 é plotada versus a proporção γ definida na equação 5.31. As curvas começam

em com o valor de 5.34 para chapa infinitamente longa não enrijecida, tem pontos de

descontinuidade A devido a mudanças no modo de flambagem, e se aproxima

assintoticamente valores máximos de k para .

0=γ

γ = ∞

Teoricamente, não há valores limites associados aos valores de como na teoria

previamente discutida. Todavia, para propostas práticas os pontos A indicam tais valores

limites para I, desde que um acréscimo de I acima destes valores tem um efeito desprezível na

tensão crítica . As curvas de k no lado direito dos pontos A são próximas de linhas

horizontais.

0γ 0I

cτ

A figura 5.10 indica nas linhas pontilhadas os valores de k obtidos por Wang (1947 apud

BLEICH, 1952) usando a análise aproximada de Timoshenko. Acima de um certo valor de γ

o fator de chapa k é constante, como indicado pelas linhas horizontais à direita dos pontos B.

Para valores altos de a teoria mais exata fornece valores mais altos de k, o que não é muito

importante, mas na vizinhança dos pontos B a discrepância entre as duas curvas é

considerável. De acordo com Wang (1947 apud BLEICH, 1952) o valor é requerido

para a proporção b/d=1 para assegurar que a chapa flambe como chapa simplesmente apoiada,

enquanto a teoria mais exata requer um valor muito mais alto γ (ver ponto C na figura

5.10). A teoria exata requer enrijecedores muito mais pesados. Condições similares existem

γ

2=γ 0

6=0

Figura 5.10 (BLEICH, 1952) – Diagramas para b/d = 1 e 2

para a proporção b/d=2 (figura 5.10). Enquanto resultados mais precisos para chapas com dois

ou três enrijecedores não estão disponíveis, deve ser esperado que discrepâncias similares

devem ser encontradas, e acredita-se que os valores nas tabelas 5.5 e 5.6 não são confiáveis e

seu uso poderia levar a projetos inseguros.

171

A solução do problema de estabilidade para chapa enrijecida infinitamente longa

discutida é aplicável ao projeto da porção final de uma alma de viga onde as tensões

longitudinais são menores e podem ser desprezadas. As três curvas obtidas por Stein e Fralich

(1949 apud BLEICH, 1952) tornam possível interpolar uma equação aproximada para o fator

de placa k, mostrando este como uma função da proporção de rigidez e do aspecto de

proporção do painel, . Esta fórmula aproximada é

γ

d/b=β

( ) ( )2

3 2k 5.34 5.5 0.6

4 7 5γ

= + β −β −

(5.32)

válida para . ( )21 5 e 0 / 7 5≤ β ≤ ≤ γ β − ≤ 4

A equação 5.32 não é aplicável quando ( )24 7 5γ > β − . Neste caso o fator de

chapa é praticamente independente de γ e pode ser computado por 2β5.5+74.4=k (5.33)

Esta equação o fator de chapa maior, e para isto maior tensão de cisalhamento,

que pode ser obtido para a proporção . Para obter estes valores de k a proporção d/b=β γ

deve ser maior que a proporção limitante

( )20 4 7 5γ = β − (5.34)

a equação 5.32 fornece o valor k quando o momento de inércia I do enrijecedor é fornecido e

a resistência à flambagem da chapa é procurada. Quando o momento de inércia I do

enrijecedor é para ser determinado, de modo que a resistência à flambagem desejada é

obtida, a equação 5.32 pode ser resolvida para o valor

cτ

cτ

γ :

( ) ( )( )

23

32

4 7 5k 5.34

5.5 0.6

β −γ = −

β − (5.35)

onde k deve ser computado para dado em termos da equação 5.28. A fórmula 5.35 se

aplica para k > 5.34; se k < 5.34, enrijecedor não é necessário. Por outro lado, quando

cτ

γ

computado pela equação 5.35 se torna maior que o valor limite de acordo com a equação

5.34, o espaçamento d dos enrijecedores deve ser reduzido.

0γ

172

6 METODOLOGIA

Há um crescente número de projetos de vigas esbeltas também no Brasil,

principalmente na construção de pontes e viadutos, devido a diversas vantagens que este tipo

de construção pode oferecer, como menor peso próprio, menor volume de aço, maior

facilidade de execução, maior estabilidade e resistência ao suportar grandes cargas e vencer

grandes vãos. A aprovação deste tipo de projeto para construção em território brasileiro

requer adequação à norma brasileira, mais especificamente para este caso, à norma vigente

que trata de vigas esbeltas, a NBR 8800/86, que estabelece os princípios gerais que devem ser

obedecidos no projeto à temperatura ambiente e na execução, incluindo a inspeção, de

estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto onde o dimensionamento de uma

estrutura feito de acordo com esta Norma deve seguir coerentemente todos os seus critérios.

Tendo isto em vista, esta dissertação tem por objetivo fazer um estudo comparativo entre a

metodologia americana, a brasileira e a européia, para análise de vigas metálicas esbeltas

compostas de chapas de aço, onde será feito o dimensionamento de uma viga esbelta com

base nos critérios de cálculo adotados pela norma americana, e uma posterior verificação das

dimensões encontradas, pelas normas brasileira e européia. Como uma complementação aos

objetivos desta dissertação, será feito um estudo comparativo entre a normas. A

transformação de unidades é constantemente utilizada ao longo do trabalho. Isto se deve aos

diversos sistemas de unidades adotados pelas diferentes normas.

Para maior clareza sobre a metodologia deste trabalho, serão mais detalhadamente

descritas as etapas deste processo metodológico de verificação, nos subitens a seguir.

6.1 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma americana

Como uma primeira etapa deste trabalho, será feito um estudo a respeito do

projeto de uma viga esbelta, onde serão abordados vários aspectos relativos ao

comportamento de uma viga esbelta. A resistência à flexão e ao cisalhamento de uma viga

esbelta são largamente relacionadas à alma. Uma alma “esbelta” pode causar diversos

problemas, como flambagem devida à flexão no plano da alma, que vai reduzir a eficiência da

alma em carregar sua parte elástica do momento fletor, a flambagem da mesa comprimida na

direção vertical devida ao inadequado enrijecimento da alma para prevenir tal flambagem e a

flambagem devida ao cortante. Nesta parte será abordado o tratamento destes problemas com

base na norma americana, e posteriormente será feito o projeto estrutural de uma viga esbelta.

173

SALMON E JOHNSON (1996) desenvolveram um tratamento detalhado da teoria

das vigas esbeltas, na publicação da quarta edição de seu livro, entitulado Steel Structures –

Design and Behavior, que reflete as contínuas mudanças que ocorrem nos requisitos de

projeto para aço estrutural, particularmente a primeira atualização significante feita pela

American Institute of Steel Construction (AISC) do manual Load and Resistance Factor

Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings, que é a norma americana. Este

estudo feito por SALMON E JOHNSON (1996) será aproveitado nesta parte do trabalho, o

qual servirá de base para o projeto da viga, que será efetuado no exemplo 1. Com relação ao

projeto, foi escolhida uma configuração para que se pudesse obter uma viga de dimensões não

muito pequenas, de forma que não se pudesse caracterizá-la como viga esbelta, mas ao

mesmo tempo não muito grandes, de forma que se pudesse facilmente fazer a verificação das

dimensões obtidas sem fugir do objetivo do trabalho que é de verificar por diversas normas

tais dimensões. Mais duas vigas esbeltas calculadas por dois autores diferentes foram

selecionadas neste trabalho para ser feita a verificação normativa através da norma americana.

PFEIL (1989) dimensionou uma viga esbelta com base na NB 14/86 e NARAYANAN (1992

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) dimensionou uma viga esbelta com base na

norma britânica BS 5950/90. Estas duas vigas serão submetidas à verificação pela LRFD, nos

exemplos 2 e 3 do capítulo 8, respectivamente.

6.2 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma brasileira

Pretende-se nesta parte utilizar os critérios de verificação da NBR 8800/86, para a

análise das dimensões obtidas no cálculo da viga esbelta feito de acordo com a LRFD no

exemplo 1, e também das vigas dimensionadas por PFEIL (1989) e por NARAYANAN (1992

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), visando a adequação à norma brasileira

citada. Esta verificação será feita com base nas prescrições contidas nos anexos F e G da NBR

8800/86. O anexo F - Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor, trata da verificação do

momento fletor resistente característico de uma seção onde são conhecidas suas dimensões. O

anexo G – resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, normatiza o

cálculo da força cortante resistente característica de uma determinada peça de viga esbelta,

fixando condições para que seja permitido o cálculo utilizando o efeito do campo de tração.

174

6.3 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios dos projetos de revisão da

norma brasileira

Nesta etapa, se pretende fazer uma verificação das dimensões obtidas na análise

estrutural baseada na LRFD no exemplo 1, e das dimensões das vigas propostas por PFEIL

(1989) e por NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), com

base nas prescrições dos projetos de revisão da norma brasileira. Esta verificação será baseada

no conteúdo dos Anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800/03 - Projeto e execução

de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios, que tratam do assunto de

vigas de alma esbelta e fixam exigências e limitações no seu cálculo, e também do anexo H e

item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800/07 – Projeto de estruturas de aço e de

estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Algumas considerações foram feitas dentro

da PNBR 8800/03, de modo que, a esta norma cabe definir os critérios gerais que regem o

projeto à temperatura ambiente e a execução das estruturas de aço e das estruturas mistas aço-

concreto de edifícios, devendo esta ser complementada por outras normas que fixem critérios

para estruturas específicas. Esta norma, baseada no método dos estados limites, estabelece os

princípios gerais que devem ser obedecidos no projeto à temperatura ambiente e na execução,

incluindo a inspeção, de estruturas de aço, nas quais são fixadas algumas exigências:

- os perfis de aço sejam laminados ou soldados;

- os elementos componentes dos perfis de aço, as chapas e as barras tenham

espessura igual ou superior a 3 mm;

- as ligações sejam parafusadas ou soldadas.

As prescrições desta norma se aplicam exclusivamente aos perfis de aço não-

híbridos. Caso sejam usados perfis híbridos, devem ser feitas adaptações necessárias. Os

perfis, laminados ou soldados devem ser fabricados obedecendo-se às normas brasileiras

aplicáveis.

6.4 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma européia

Será utilizada nesta etapa, a norma européia, o Eurocode 3: Design of steel

structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings (CEN, 1992), para a verificação de

dimensionamento da viga dimensionada no exemplo 1, e também das vigas dimensionadas

por PFEIL (1989) (exemplo 2) e por NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) (exemplo 3).

175

7 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ESBELTAS

7.1 Diferença entre vigas e vigas esbeltas

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas são realmente

vigas com grande altura. A figura 7.1.1, em referência à LRFD (Load and Resistance Factor

Design), mostra a resistência nominal de momento, Mn, versus o índice de esbeltez λ para os

estados limites à flexão básicos, flambagem lateral com torção, flambagem local da mesa e

flambagem local da alma. A relação para a flambagem lateral com torção na figura 7.1.1a é

válida quando a seção é “compacta” (λ ≤ λp na LRFD-B5) levando em consideração os

estados limites de flambagem local da alma e da mesa. Quando a seção é “não-compacta” (λp

< λ ≤ λr na LRFD-B5), a resistência nominal Mn precisa ser determinada para os três estados

limites; o valor mais baixo controla.

Se a mesa é “esbelta” (λ > λr) para a flambagem local da mesa, a eficiência é

favorecida pela redução e o fator de forma Q < 1 deve ser usado de acordo com a LRFD.

Quando a alma é “esbelta” (λ > λr), o membro sujeito à flexão deve ser tratado de

acordo com as provisões de vigas esbeltas na LRFD – apêndice G. Quando λ não excede λr, a

tensão no elemento pode atingir a tensão de escoamento Fy sem ocorrer a flambagem elástica.

Estes conceitos são aplicáveis quando a LRFD é usada. As resistências de flexão e

de cisalhamento de uma viga esbelta são largamente associadas à alma. A alma “esbelta” pode

causar vários problemas:

1. Flambagem devida à curvatura no plano da alma vai reduzir a eficiência da

alma em carregar sua parte elástica do momento fletor.

2. Flambagem da mesa em compressão na direção vertical devido ao inadequado

enrijecimento da alma para prevenir tal flambagem.

3. Flambagem devida ao cisalhamento.

O aspecto mais distintivo de uma viga esbelta é o uso de enrijecedores

transversais regularmente espaçados. Os enrijecedores aumentam a resistência da alma em

carregar o cisalhamento. A resistência à flambagem elástica ou inelástica da alma de uma viga

esbelta não representa a resistência máxima no cisalhamento. Haverá uma significante

resistência pós-flambagem após a flambagem (desprezada a deformação fora-do-plano) tenha

176

ocorrido quando enrijecedores transversais devidamente projetados são usados. A viga vai se

comportar como uma treliça com sua alma carregando diagonalmente as forças de tração e os

C =1b

yf

300F

=pL

yr = rr

M

M

p

n

Mr

=yrbL

(a) Estado limite de flambagem lateral

com torção

compacta

yf

65F

=p162

yfr = (F -16.5)/k

Mp

Mr

=f2t

fb

c

esbelta

não-compacta

LRFD-Ap. B5.3

(b) Estado limite de flambagem local

da mesa

= th

w

yf

640F

=p r =

Mp

Mr

970yfF

esbeltanão-compacta

compacta

viga de placa

(c) Estado limite de flambagem local

da alma

Figura 7.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Estados limites na flexão.

enrijecedores carregando as forças de compressão. Este comportamento de treliça é referido

como ação do campo de tração.

7.2 Estado limite de flambagem vertical da mesa

O limite máximo da esbeltez da alma é baseado na rigidez necessária no

plano da alma para prevenir a mesa comprimida de flambar verticalmente (figura 7.2.1c).

wth /

Note que h é a altura da chapa da alma em uma seção I soldada. Além disso,

alguma rigidez à flexão é necessária para a alma ao longo da conexão mesa-alma para impedir

a flambagem torsional da mesa (figura 7.2.1b).Para a proposta desse desenvolvimento, pode-

se imaginar que a mesa é um membro em compressão independente do resto da viga (vide

177

figura 7.2.2). Quando a viga é fletida, como aparece exagerado na figura 7.2.3, a curvatura

chega até

(b)

(c)

(a)

(a) flambagem lateral(b) flambagem torsional(c) flambagem vertical

Figura 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tipos de flambagem que podem ocorrer.

Mesa age independentemente

Resistência da alma requerida parasustentação é pequena

quando h/t é altow

w30 t

wt

h

Figura 7.2.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Flambagem vertical da mesa comprimida.

as componentes de força da mesa que causam compressão nos lados da alma adjacentes às

mesas. Quando a alma permanece estável quando sujeita a essas componentes de força

compressiva das mesas, a mesa não pode flambar verticalmente. Na seguinte derivação a

própria mesa é assumida como tendo rigidez zero para resistir a flambagem vertical, que é um

procedimento conservativo.

Referindo-se à figura 7.2.3, a deformação εf dx acumulada sobre a distância dx é

2h

θd=dxε f (7.2.1)

178

dxhε2

=θd f (7.2.2)

fAf

d00

fA f

fA f fA f

h/2

h/20d

Figura 7.2.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças na mesa surgindo da curvatura da viga.

Como mostrado na figura 7.2.4, a componente vertical que causa compressão é

. Após dividir pela área para obter a tensão compressiva como mostrado na

figura 7.2.4b, pode-se substituir a equação 7.2.2 para ,

θdAσ ff dxt w cf

θd

htεAσ2

=dxtθdAσ

=fw

fff

w

ffc (7.2.3)

Referindo-se à equação abaixo, fornecida por SALMON E JOHNSON (1996), a

tensão elástica de flambagem para uma chapa é:

( )( )

2

cr 22

EF k12 1 b / t

π=

−μ

onde b=h, , e k=1 para o caso da placa de Euler assumida livre ao longo dos lados

paralelos ao carregamento e com o topo e o fundo travados. Então

wt=t

( )( )

2

cr 22w

EF12 1 h / t

π=

−μ (7.2.4)

substituindo a tensão aplicada, equação 7.2.3 na tensão crítica, equação 7.2.4, obtém-se

( )( )

2f f f

22w w

2 A Et h 12 1 h / tσ ε π

=−μ

(7.2.5)

179

onde, fazendo , obtém-se ww A=ht

( )2

w2

w f

Ah Et A24 1

⎛ ⎞⎛π= ⎜ ⎟⎜

f f

1 ⎞⎟σ ε−μ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.2.6)

Conservativamente assume-se que deve alcançar a tensão de escoamento da

mesa para alcançar a resistência da mesa. Além disso, se a tensão residual existe na

mesa distribuída como como mostra a figura 7.2.5, então a deformação total da mesa será

aquela devida à soma da tensão residual com a tensão de escoamento; para tal

fσ

yfF rF

( )/EF+F=ε yfrf (7.2.7)

A substituição de na equação 7.2.6

e fazendo e considerando que é um valor realístico, obtém-se

3.0=μ e ,ksi 29000=E,7.2.7.eq=ε,F=σ fyff

ksi 5.16=Fr5.0=A/A fw

( )5.16+FF13800

=th

yfyfw (7.2.8)

para unidades do U.S. (United States System), com em ksi yfF

fA f

A ff

d0

d0

h

fA f d0

dxdx

tw=espessura da alma

=cf0

t dxAf f d

w

Figura 7.2.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da força normal à chapa da mesa.

Para unidades do SI, com em MPa, a substituição de

na equação 7.2.6 e fazendo e

considerando que , obtém-se

yfF

3.0=μ e ,GPa200=E,7.2.7.eq=ε,F=σ fyff

MPa7.113=Fr

5.0=A/A fw

( )114+FF96500

=th

yfyfw

180

A equação 7.2.8 foi desenvolvida sem levar em conta o posicionamento dos

enrijecedores. O efeito dos enrijecedores certamente será para incrementar a resistência acima

da resistência à flambagem baseada no da equação 7.2.4. crF

F

largura da mesa

yfFr Fr

Fyf

FrFr

(a) tensão (b) tensão média (c)

compressãotração

residual sobreposta

Figura 7.2.5 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da tensão residual.

7.2.1 Máximo de acordo com a LRFD (Load and Resistance Factor Design) wh/t

Vigas esbeltas de alma única de simetria dupla ou única, carregadas no plano da

alma deverão ser proporcionadas de acordo com as provisões da LRFD – apêndice G1,

fornecida para que os seguintes limites sejam satisfeitos:

(a) Para a 1.5h≤ :

w yf

h 2000t F

≤ (7.2.9)

(b) Para :5.1>ha

( )w yf yf

h 14000t F F 16.5

≤+

(7.2.10)

onde

a = distância livre entre enrijecedores transversais, in.

h = distância livre entre mesas quando soldas são usadas, in.

wt = espessura da alma, in.

yfF = mínima tensão de escoamento especificada da mesa, ksi.

181

Em vigas esbeltas não enrijecidas não deverá exceder 260. wth /

Valores para as equações 7.2.10 e 7.2.9 são obtidos na tabela 7.2.1.

Tabela 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limitações de máximo - LRFD – apêndice G1. wth /

yF

(ksi)

wth / (equação 7.2.10)

p/ a/h>1.5

wth / (equação 7.2.9)

p/ a/h<1.5

yF

(MPa) 36 322 333 248 42 282 309 290 45 266 298 310 50 243 283 345 55 223 270 379 60 207 258 414 65 192 248 448 100 130 200 689

7.3 Resistência nominal de momento – LRFD

Desde que vigas esbeltas irão usualmente ter almas “esbeltas”, isto é, λ irá

exceder para flambagem local da alma, a resistência não pode exceder aquela baseada em

atingir a tensão de escoamento na fibra extrema. Nenhum comportamento inelástico é

considerado possível para as propostas do projeto.

rλ

yF

A resistência nominal de momento de vigas esbeltas é controlada pelo estado

limite de escoamento da mesa tracionada ou pelo estado limite de flambagem da mesa

comprimida, como segue, de acordo com a LRFD – apêndice G2:

nM

A resistência à flexão de projeto para vigas esbeltas deverá ser , onde

e e o valor mais baixo obtido de acordo com os estados limites de escoamento

da mesa tracionada e flambagem da mesa comprimida.

nbMφ

900=φb . nM


PGytxtn RFS=M (7.3.1)


n xt cr PM S F R G= (7.3.2)

onde

182

crPG

r w cr

ha 970R 11200 300a t F

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

1 (7.3.3)

ra = proporção entre a área da alma pela área da mesa em compressão ( )10≤

crF = tensão crítica de compressão da mesa, ksi

ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada, ksi

xcS = módulo da seção referente à mesa em compressão, , cx yI / 3.in

xtS = módulo da seção referente à mesa tracionada, , tx yI / 3.in

xI = momento de inércia relativo ao eixo x, 4.in

cy = distância do CG da seção à fibra extrema em compressão, in.

ty = distância do CG da seção à fibra extrema em tração, in.

ch = h, altura da chapa da alma para vigas esbeltas de seção I simétrica, in.

A tensão crítica a ser usada é dependente dos parâmetros de esbeltez

e como segue:

crF rp λλλ ,,

PGC

Para pλ ≤ λ ,

cr yfF F= (7.3.4)

Para p rλ ≤ λ ≤ λ ,

pcr b yf yf

r p

1F C F 1 F2

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.3.5)

Para , rλ > λ

PGcr 2

CF =λ

(7.3.6)

Antecipadamente, o parâmetro de esbeltez deverá ser determinado para o estado

limite de flambagem lateral com torção e o estado limite de flambagem local da mesa; o

parâmetro de esbeltez que resulta no valor mais baixo de governa. crF

(a) Para o estado limite de flambagem lateral com torção:

b

T

Lr

λ = (7.3.7)

183

pyf

300F

λ = (7.3.8)

ryf

756F

λ = (7.3.9)

PG bC 286000C= (7.3.10)

onde

01=Cb .

=rT raio de giração da mesa em compressão mais um terço da porção da alma em

compressão, mm.

(b) Para o estado limite de flambagem local da mesa:

f

f

b2t

λ = (7.3.11)

pyf

65F

λ = (7.3.12)

ryf c

230F / k

λ = (7.3.13)

PG cC 26200k= (7.3.14)

onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ e 01=Cb .

O estado limite de flambagem local da alma na flexão não é aplicável.

7.4 Redução no momento resistente devido à flambagem por flexão no plano da alma

Desde que a alma de uma viga esbelta tem uma alta proporção , flambagem

pode ocorrer como o resultado da flexão no plano da alma (vide figura 7.4.1). O parâmetro de

esbeltez acima do qual tal flambagem pode ocorrer é desenvolvido a seguir. Além disso,

após essa flambagem elástica ocorrer existe uma resistência pós-flambagem. Quando a viga

esbelta é proporcionada para mais eficientemente suportar uma carga, a alma irá flambar antes

da resistência nominal de momento da viga ser alcançada.

wth /

rλ

Em qualquer situação típica de estabilidade de chapa, a tensão elástica de

flambagem é representada pela equação fornecida por SALMON E JOHNSON (1996),

184

( )( )

2

cr 22

k EF12 1 b / t

π=

−μ

onde para este caso b=h.

O desenvolvimento teórico dos valores de k para flexão no plano da chapa é

fornecido por Timoshenko e Woinowski-Krieger (1959 apud SALMON E JOHNSON, 1996).

Para qualquer valor de carga, k varia com o aspecto proporcional a/h, e com as condições de

suporte ao longo dos lados. Se a chapa pode ser considerada como tendo uma completa

fixação (completa resistência contra rotação dos lados) ao longo dos lados paralelos à direção

do carregamento (lados unidos às mesas), o valor mínimo de k é 39.6 para qualquer proporção

a/h. Se as mesas são assumidas a não oferecer resistência à rotação dos lados, o valor mínimo

de k é 23.9.

Então a tensão crítica (usando E=29000 ksi e μ =0.3) pode ser obtida entre

( ) ksi t/h

627000=F 2cr para k=23.9

(apoio simples nas mesas)

e

( ) ksi t/h

1038000=F 2cr para k=39.6

(apoio completamente fixo nas mesas)

Enquanto cada viga esbelta particular irá ter um diferente grau de restrição das

mesas, a conexão entre as mesas e a alma com solda completa irá se aproximar do caso de

fixação completa. Será razoável então selecionar arbitrariamente um valor de k perto de 39.6,

algo em torno de 80% de diferença aproximando do valor máximo. Pode-se dizer que

( ) ksi t/h

950000=F 2cr (7.4.1)

é representativo da tensão quando a flambagem elástica é iminente devido à flexão no plano

da alma. Tal “flambagem por flexão” não pode ocorrer se

crcrw F970

=ksi ,F

950000=

th

(7.4.2)

Considerando que a alma carrega apenas uma pequena parte do momento fletor

total para o qual a viga está sujeita, a negligência da zona de transição que se inicia a partir da

flambagem inelástica não será significante.

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), flambagem da alma não termina

com a utilidade da viga.

185

h

a

Figura 7.4.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Chapa da alma sob momento puro.

7.5 Resistência nominal ao cisalhamento – flambagem elástica e inelástica

Em seções I típicas, a alma carrega a maior parte do cisalhamento. Desde que a

viga esbelta tem inerentemente uma alma delgada ( yw F970>th // ), a estabilidade é de

interesse primário.

Considere um painel de chapa de alma de comprimento a entre enrijecedores

transversais e tendo uma altura livre h entre chapas de suporte longitudinal (entre as mesas,

cisalhamento puro(a) elemento em

no painel em(c) tensões principais

cisalhamento puro

(b) tensões principais

cisalhamento purono elemento em

h

a

Figura 7.5.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Teoria clássica do cisalhamento aplicada a um painel de viga esbelta.

mesa e enrijecedor longitudinal, ou entre enrijecedores longitudinais), como mostrado na

figura 7.5.1. Em regiões de alto cisalhamento e baixo momento fletor, a resistência à

flambagem do painel pode ser investigada assumindo que está sendo solicitada por somente

cisalhamento (cisalhamento puro), como na figura 7.5.1.

186

7.5.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

A tensão de flambagem elástica para qualquer chapa é obtida pela equação

seguinte:

( )( )

2

cr 22

k EF12 1 b / t

π=

−μ

onde para o caso e cisalhamento puro (vide figura 7.5.1), a equação para flambagem elástica

pode ser escrita (usando em lugar de F para tensão de cisalhamento e para k) τ vk

( )

2v

cr 22

k Emenor dimensão12 1

t

πτ =

⎛ ⎞−μ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.5.1)

onde para o caso de lados simplesmente apoiados (deslocamento prevenido mas rotação em

torno dos lados sem restrição) 2

vmenor dimensãok 5.34 4.0maior dimensão

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.5.2)

o desenvolvimento desta foi obtido por Timoshenko e Woinowski-Krieger (1959 apud

SALMON E JOHNSON, 1996).

Para o objetivo do projeto pode ser desejável colocar as equações. 7.5.1 e 7.5.2 em

termos de h, a altura da alma sem suporte, e a, o espaçamento dos enrijecedores. Quando isto

é feito, dois casos devem ser considerados.

1. Se a / h 1≤ (vide figura 7.5.2a), a equação 7.5.1 se torna

( )( )( )

( )( )

22 2

cr 2 22

E 5.34 4.0 a / h h / a12 1 a / t h / a

⎡ ⎤π +⎣ ⎦τ =−μ

(7.5.3)

2. Se a / h 1≥ (vide figura 7.5.2b), a equação 7.5.1 se torna

( )( )( )

22

cr 22

E 5.34 4.0 h / a

12 1 h / t

⎡ ⎤π +⎣ ⎦τ =−μ

(7.5.4)

É aparente das equações 7.5.3 e 7.5.4 que se for desejável usar h/t como um

parâmetro de estabilidade no denominador, então duas expressões para são necessárias.

Para todas as listas de a/h, equações 7.5.3 e 7.5.4 podem ser escritas

vk

( )( )

2v

cr 22

Ek12 1 h / t

πτ =

−μ (7.5.5)

187

onde

( )2vk 4.0 5.34 / a / h= + para a / h 1≤ (7.5.6)

( )2vk 4.0 / a / h 5.3= + 4 para a / h 1≥ (7.5.7)

Na LRFD – apêndice G3, as equações 7.5.6 e 7.5.7 são substituídas por

( )v 25k 5

a / h= + (7.5.8)

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a equação 7.5.8 é uma única

equação aceitável para substituir as equações 7.5.6 e 7.5.7.

Para o uso em equações de projeto, a equação 7.5.5 foi colocada em forma não

dimensional, definindo como a proporção entre a tensão de cisalhamento na

flambagem e a tensão de escoamento de cisalhamento ,

vC crτ

yτ

( )( )( )

2cr v

v 22y y

EkC12 1 h / t

τ π= =τ τ −μ

(7.5.9)

na qual é para análise da estabilidade elástica. A substituição de E=29000 ksi,

, , e usando o subscrito w para a tensão de escoamento e para a espes-

vC

y =τ30=μ . ywF60. ywF

h

aa

h enrijecedores enrijecedores

(a) a/h<1 (b) a/h>1

Figura 7.5.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Dois casos de espaçamento dos enrijecedores transversais.

sura da chapa para identificar este comportamento como ocorrendo na alma, obtém-se wt

188

( )( )( )( )

2v

v 2yw w

29000 kC

0.6F 12 1 0.09 h / tπ

=−

de onde se obtém como fornece a LRFD – apêndice G3, válido para abaixo do limite

proporcional que corresponde a ,

vC crτ

8.0=Cv

( )v

v 2yw w

44000kCF h / t

= (7.5.10)

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a ASD-F4 usa o coeficiente 45000 em vez de

44000. Este valor um pouco maior é obtido quando é obtido como yτ 3/Fy .

Para unidades do SI, a substituição de E=200Gpa, , , fornece 30=μ . ywy F60=τ .

( )( )( )

2cr v

v 2y yw w

200000kC0.6F 12 1 0.09 h / t

τ π= =τ −

( )v

v 2w yw

303000kCh / t F

=

com em MPa. ywF

7.5.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro

Como em toda situação de estabilidade, tensões residuais e imperfeições causam

flambagem inelástica quando as tensões críticas se aproximam das tensões de escoamento. A

curva de transição para flambagem inelástica foi fornecida por Basler (1961 apud SALMON

E JOHNSON, 1996) baseada na curva se aproximando e usando resultados de testes de Lyse e

Godfrey (1935 apud SALMON E JOHNSON, 1996). Na zona de transição entre a flambagem

elástica e o escoamento,

cr lim. cr(idealproporc. elástico)

τ = τ τ (7.5.11)

O limite proporcional é tido como , mais alto que para compressão nas

mesas porque o efeito das tensões residuais é menor. Dividindo a equação 7.5.11 por para

obter e usando a equação 7.5.10 tem-se:

yτ80.

yτ

vC

( )( )

( ) yw2

w

v

y

yvy

y

crv Ft/h

k440008.0

τ

τCτ8.0

ττ

C ===

189

yw

v

wv F

kt/h

187C = (7.5.12)

o qual é fornecido pela LRFD – apêndice G3.

Para unidades do SI, tem-se:

( ) ( ) yw

v

wyw2

w

v

y

crv F

kh/t491

=Ft/hk303000

8.0=ττ

=C

com em MPa. ywF

7.5.3 Resistência nominal ao cisalhamento

A resistência nominal ao cisalhamento de uma viga baseada na flambagem

elástica ou inelástica da alma pode ser expressa como

nV

n crV Aw= τ (7.5.13)

ou usando y

crv τ

τ=C ,

n v yV C Aw= τ (7.5.14)

Aproximando como obtém-se yτ ywF60.

( )n v ywV C 0.6F A= w

8

(7.5.15)

que é a fórmula que consta na LRFD – formula (A-G3-3). Na equação 7.5.15, é a equação

7.5.10 para flambagem elástica quando

vC

vC 0.≤ e é a equação 7.5.12 quando para

flambagem inelástica.

8.0>Cv

A equação 7.5.15 será aplicada também para vigas de seção laminada,

considerando que raramente enrijecedores transversais devem ser usados. Se for desejável

obter uma expressão explícita para correspondente a (a alma escoa em

cisalhamento e não ocorre flambagem), a equação 7.5.12 pode ser resolvida para

quando ,

wt/h 1=Cv

wt/h

1=Cv

yw

v

w Fk

187=th

(7.5.16)

Quando não excede o valor da equação 7.5.16, a resistência nominal ao

cisalhamento é

wt/h

190

wywn AF6.0=V (7.5.17)

a qual é fornecida pela LRFD – formula (A-G3-1) bem como pela LRFD – formula (F2-1)

para vigas.

A relação que divide flambagem elástica e inelástica pode ser obtida

colocando igual a 0.8 na equação 7.5.10, obtendo

wt/h

vC

yw

v

w Fk

234=th

(7.5.18)

7.6 Resistência nominal de cisalhamento – incluindo a ação do campo de tração

Segundo SALMON E JOHNSON (1996), uma chapa enrijecida por mesas e

enrijecedores transversais tem uma considerável resistência pós-flambagem.

De acordo com Basler (1961 apud SALMON E JOHNSON, 1996), a habilidade

de uma viga esbelta em comportar-se de uma maneira similar a uma treliça foi reconhecida

antes de 1898. Como mostrado na figura 7.6.1, as forças de tração são carregadas pela ação de

membrana da alma enquanto as forças de compressão são carregadas pelos enrijecedores

transversais. O trabalho de Basler (1961 apud SALMON E JOHNSON, 1996) leva à teoria

que está de acordo com testes e fornece critérios que asseguram que a ação de treliça pode se

desenvolver. A inclusão da ação de treliça aumenta a resistência ao cisalhamento em relação a

que é baseada na flambagem para aproximar da condição correspondente ao escoamento por

cisalhamento na teoria clássica de vigas.

compressão

enrijecedores

tração

Figura 7.6.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Ação do campo de tração.

191

A resistência nominal de cisalhamento pode ser expressa como a soma da

resistência de flambagem e a resistência pós-flambada da ação do campo de tração,

nV

crV tfV

n crV V Vtf= + (7.6.1)

A resistência nominal de flambagem é obtida pela equação 7.5.14 com crn V=V ,

wyvcr AτCV = (7.6.2)

onde e é obtida pelas equações 7.5.10 e 7.5.12 para flambagem elástica e

inelástica, respectivamente.

ycrv ττ=C /

A resistência ao cisalhamento que surge da ação do campo de tração na alma

desenvolve uma banda de forças de tração que ocorrem após a alma ter flambado sob

compressão diagonal (tensões principais na teoria ordinária de vigas). O equilíbrio é mantido

pela transferência da força para os enrijecedores verticais. Quando a carga da viga aumenta, o

ângulo do campo de tração se modifica para acomodar maior capacidade de carga.

tfV

7.6.1 Ação do campo de tração: ótima direção

Considere a membrana de tração que se desenvolve na alma com um ângulo

, como mostrado na figura 7.6.2. Se tais tensões de tração podem se desenvolver ao longo

da altura total da alma, então a força de tração diagonal total T pode ser

tσ

γ

t wT t h cos= σ γ (7.6.3)

a componente vertical a qual é a força cisalhante V, obtida por

t wV Tsin t h cos sin= γ = σ γ γ

γ

(7.6.4)

Se tais tensões diagonais de tração pudessem se desenvolver ao longo das mesas,

uma rigidez vertical das mesas deveria ser requerida. Tendo-se que as mesas têm pequena

rigidez vertical e estão agindo com sua capacidade em resistir a flexão na viga, o campo de

tração efetivamente pode se desenvolver somente dentro da largura da banda tal que a

componente vertical possa ser transferida aos enrijecedores verticais. Os enrijecedores podem

ser projetados para carregar a força compressiva necessária. Será assumido que o campo de

tração pode se desenvolver dentro da largura de banda s, mostrada na figura 7.6.3a.

A membrana de força de tração que será repartida com um enrijecedor é , e

a força cortante parcial desenvolvida pela compressão no enrijecedor é

wtstσ

tfVΔ

tf t wV st sinΔ = σ (7.6.5)

192

e o ângulo é o ângulo que proporciona a componente máxima do campo de tração parcial. γ

th cos

VT

h

Figura 7.6.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tensões de membrana na ação do campo de tração.

Pela geometria,

s h cos a sin= γ − γ (7.6.6)

onde a = espaçamento dos enrijecedores. A substituição da equação 7.6.6 na equação 7.6.5

fornece

( )tf t w

2t w

V t h cos a sin sin

ht sin 2 a sin2

Δ = σ γ − γ

⎛ ⎞= σ γ − γ⎜ ⎟⎝ ⎠

γ (7.6.7)

Para máximo, requer-se que tfVΔ ( ) 0=γdVΔd tf / . Então

( ) ( )tft w

d V ht 2 cos 2 2a sin cosd 2

h cos 2 a sin 2 0

Δ ⎛ ⎞= σ γ − γ γ =⎜γ ⎝γ − γ =

0⎟⎠ (7.6.8)

ou

h/a=

a=γ2tan

1h

2

1+(a/h)1

2

a/h

(7.6.9)

Pela trigonometria da equação 7.6.9,

( )2

1sin 21 a / h

γ =+

(7.6.10)

além disso

193

( )2

2

1 cos 2 1 a / hsin 12 2 1 a / h

⎡ ⎤− γ ⎢ ⎥γ = = −⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.6.11)

A máxima contribuição da ação campo de tração é então obtida pela

substituição das equações 7.6.10 e 7.6.11 na equação 7.6.7 obtendo-se

tfVΔ

( )2wtf t

htV 1 a / h2

a / h⎡ ⎤Δ = σ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.6.12)

Não é prático usar a equação 7.6.12 diretamente, desde que a contribuição do

cisalhamento de parte da seção (como o corte MM da figura 7.6.3) que é cortada através dos

triângulos fora da banda s deve ser adicionada. O estado de tensão nesses triângulos é

desconhecido, requerendo uma aproximação alternativa para encontrar o cisalhamento total

quando o ângulo ótimo é alcançado. tfV

M

Ma/h=aspecto proporcional

= ângulo do campo de tração

da banda s

(a)

a

h largura

(b)

sa sen

90a

h

V

h cos

Figura 7.6.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças surgidas do campo de tração.

Um meio alternativo, como usado por Basler (1961 apud SALMON E

JOHNSON, 1996), é cortar o corpo livre como na figura 7.6.4. A seção é tomada

verticalmente na metade entre dois enrijecedores adjacentes e horizontalmente à meia altura.

O corte à meia altura provê o acesso ao campo de tração onde o estado de tensão é conhecido,

e o cisalhamento resultante em cada face vertical é igual a pela simetria. 2Vtf /

7.6.2 Cálculo da resistência ao cisalhamento através da ação do campo de tração

Usando o corpo livre da figura 7.6.4, o equilíbrio das forças horizontais requer

194

( ) wf t w t

t aF t a sin cos sin 22

Δ = σ γ γ = σ γ (7.6.13)

s

O

f fF+FF

w2

Vtf

aP

f

a sent

tfV2

FFw

h2

h V V

Figura 7.6.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Força no enrijecedor resultante da ação do campo de tração.

A força incremental na alma não é usada porque a alma contribui pouco para

a resistência à flexão da viga. O equilíbrio rotacional tomado em relação ao ponto O, requer

que

wFΔ

tff

V ahF 02 2

Δ − = (7.6.14)

Resolvendo a equação 7.6.14 para e substituindo na equação 7.6.13 obtém-se fFΔ

tf wt

V a t a sin 2h 2

= σ γ (7.6.15)

Resolvendo para e usando a equação 7.6.10 para obtém-se tfV γsin2

( )w

tf t 2

ht 1V2 1 a / h

⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.6.16)

7.6.3 Condição de ruptura

O atual estado de tensão na alma envolve tanto tensão de cisalhamento quanto

tensão normal ; então a ruptura no elemento sujeito ao cisalhamento em combinação com

uma tração inclinada deve ser considerada. Duas suposições básicas são envolvidas: primeiro,

τ

tσ

195

crτ permanece com valor constante da carga de flambagem para a carga última e para tal a

tensão do campo de tração age em adição à tensão principal ; segundo, o ângulo tσ crτ γ que

será conservativamente tido como , contudo este será sempre menor que este valor. °45

2 21 2σ −

A relação geralmente aceita para a ruptura no estado plano de tensões é a teoria da

“energia de distorção” que pode ser escrita 2y1 2 Fσ + σ σ = (7.6.17)

onde são tensões principais. De acordo com a teoria da energia de distorção, 21 σ e σ

( )1 y +σ

1 =σ

2F 3 1σ = −

cr

(7.6.18)

e para a condição de tensão de que e tcr σ+τ 2σ = −τ , a equação 7.6.18 se torna

t c

yF /σ τ

s t wP t

rv1 1 C

3= − = −

yF (7.6.19)

7.6.4 Força no enrijecedor

Usando a figura 7.6.5, o equilíbrio das forças verticais requer que a força no

enrijecedor seja

sP

( )a sin sin= σ γ γ (7.6.20)

Então, substituindo a identidade trigonométrica,

2 1 cos 2sin2

− γ γ =

obtém-se

( )w

s t 2

at a / h2 1 a / h

P 1⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎢ ⎥−= σ ⎜ ⎟ ⎢ (7.6.21) ⎥+⎝ ⎠

⎣ ⎦

Substituindo a equação 7.6.19 (usando para ) na equação 7.6.21 obtém-se ywF yF

( )( )

yw v wats 2

C a / hP 12 1 a / h

F 1 ⎡ ⎤− ⎢ ⎥= − (7.6.22) ⎢ ⎥+⎣ ⎦

o qual é a força no enrijecedor quando a resistência nominal é alcançada, incluindo a ação

do campo de tração.

nV

Trabalhos mais recentes têm mostrado que a equação 7.6.22 pode ser simplificada

usando de a/h = 1; que neste caso,

196

( )s yw v w1P 0.5F 1 C at 12

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.6.23)

( )s yw vP 0.15F 1 C at= − w (7.6.24)

7.6.5 Resistência nominal ao cisalhamento, incluindo tanto resistência de flambagem

como de pós-flambagem

Enquanto almas delgadas de vigas esbeltas exibem alguma resistência ao

cisalhamento antes da flambagem diagonal ocorrer ( do item 7.5) e resistência adicional na

etapa pós-flambagem ( da equação 7.6.16), sua atual resistência é a soma de ambos os

componentes. Substituindo a equação 7.6.2 e 7.6.16 na equação 7.6.1 obtém-se

nV

tfV

( )t

n w y v 2V ht C

2 1 a / h

⎡ ⎤σ⎢ ⎥= τ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.6.25)

Substituindo a equação 7.6.19 para e usando tσ 3/F=τ yy obtém-se

( )v v

n yw w 2

C 1 CV F ht3 2 1 a / h

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(7.6.26)

7.6.6 Critérios utilizados pelo manual LRFD

Quando a ação do campo de tração é desenvolvida usando-se enrijecedores

transversais apropriadamente espaçados e dimensionados, a resistência nominal no

cisalhamento pode ser expressa pela equação 7.6.26. Fatorando 3 do denominador, e então

aproximando 3Fy / por , obtém-se yF60.

( )v

n yw w v 2

1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜= +⎜ +⎝ ⎠

⎟⎟

(7.6.27)

que consta na LRFD – formula (A-G3-2) do apêndice G3.

A força nos enrijecedores intermediários quando a ação do campo de tração é

utilizada é obtida pela equação 7.6.24. A área do enrijecedor requerida é

sP

stA

197

( )yw v wsst requerida

yst yst

0.15F 1 C atPAF F

−= = (7.6.28)

Quando o painel tem mais resistência que é necessária para carregar o

cisalhamento fatorado , a área do enrijecedor pode ser reduzida multiplicando por

nVφ

stAuV

( )nu VφV / . Além disso, com a derivação assumida, o enrijecedor estava alinhado com o

centro da viga; quando os enrijecedores são usados somente de um lado ou se enrijecedores

em ângulo são usados há um efeito excêntrico e a área do enrijecedor deve ser incrementada.

Em adição, a área ( )wt18 w ×t da alma tributária com o enrijecedor pode ser subtraída da

requerida . Então, a LRFD – apêndice G4 fornece o requerimento como stA

( )yw 2ust requerida w v w

yst n

F VA 0.15ht 1 C 18tF V

⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠

− (7.6.29)

onde = tensão de escoamento especificada para o material do enrijecedor ystF

Note que a equação 7.6.29 usa h em vez de a, uma aproximação razoável e uma

simplificação que faz a área do enrijecedor requerida proporcional à área da alma stA wA .

7.7 Resistência em flexão e cisalhamento combinados

Na vasta maioria dos casos a resistência nominal na flexão não é influenciada

pelo cisalhamento, nem a resistência nominal de cisalhamento é influenciada pelo

momento. Particularmente, em almas muito esbeltas onde “flexo-flambagem” pode ocorrer, a

tensão de flexão é redistribuída, onde as mesas carregam uma parte incremental. A resistência

ao cisalhamento da alma, entretanto, não é reduzida como resultado da “flexo-flambagem”

porque maior parte da resistência ao cisalhamento vem da ação do campo de tração com

apenas uma pequena contribuição da porção da alma adjacente à mesa. Em almas com haste,

“flexo-flambagem” não pode ocorrer, mas um alto cisalhamento na alma em combinação com

flexão pode causar escoamento da alma adjacente à mesa; novamente resultando na

transferência de parte do compartilhamento da alma do momento fletor para a mesa.

nM

nV

Desde que instabilidade é evitada, uma análise plástica deve ser usada. Quando

sujeita a alto momento fletor, a alma escoa adjacente à mesa e é, portanto, incapaz de carregar

o cisalhamento. Na região de meia profundidade da alma o cisalhamento causa escoamento;

então esta parte da alma não é habilitada a carregar momento fletor.

198

Referindo-se à figura 7.7.1, a resistência nominal ao cisalhamento na presença

de momento fletor pode ser expressa como

'nV

'n y 0V y t= τ w

h

(7.7.1)

Quando momento fletor não está presente, isto é, , a resistência nominal

deve ser

h=y0

nV

n y wV t= τ (7.7.2)

y0

yFy

yF

yF

h

y<

tensões normais tensões cisalhantes tensões normais tensões cisalhantesa) procedimento simples b) procedimento mais preciso

yF

Figura 7.7.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência ao cisalhamento e ao momento sob flexão e cisalhamento combinados.

Eliminando das equações 7.7.1 e 7.7.2 obtém-se yτ

'n

0n

Vy hV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.7.3)

a resistência nominal na presença de cisalhamento na figura 7.7.1a é 'nM

' 0 0n f y y w y w

y yh hM A F h F t F t2 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.7.4)

que após substituição da equação 7.7.3 na equação 7.7.4 e fazendo obtém-se ww ht=A

2'' w nn y f

f n

A V1M F hA 1 14 A V

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(7.7.5)

A resistência nominal se iguala a quando a fibra extrema alcança a

tensão de escoamento , e com a alma participando inteiramente, é,

nM yM

yF

199

wn y y f

f

A1M M F hA 16 A

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.7.6)

como a porcentagem da resistência ao cisalhamento que é utilizada aumenta, a resistência

nominal de momento diminui. Na ausência de instabilidade, mas na presença de um alto

valor de cisalhamento, a resistência nominal de momento fletor pode ser expressa como

nV'nM

( ) ( )( )

2'r n n

'n n

r

1 1/ 4 a 1 V / VM M

1 1/ 6 a

⎡ ⎤⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎢ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ (7.7.7)

onde . fwr AA=a /

Quando , , ou aproximadamente 0.6. Quando mais de

60% da máxima resistência ao cisalhamento é usada, a resistência nominal disponível

se torna menor que . Esta relação pode ser expressa como:

nn M=M '

nM

0.577=VV nn /'

nV 'nM

Para , 'n nV / V 0.60≤

'n nM M= (7.7.8)

Para , 'n nM / M 0.75≤

'n nV V= (7.7.9)

Quando as equações 7.7.8 ou 7.7.9 não são aplicáveis, a relação de interação deve

ser usada. Se for usado um valor conservativo de , a equação de redução

se torna

02=AA=a fwr ./

' 'n n

n n

M V51 0.6M 8 V

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠1.0 (7.7.10)

ou

( )' 'n n

n n

M V5 51.0 0.6 1.375M 8 V 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.7.11)

onde = resistência nominal de flexão na presença de cisalhamento 'nM

= resistência nominal de cisalhamento na presença de flexão 'nV

= resistência nominal de flexão máxima nM

= resistência nominal de cisalhamento máxima nV

7.7.1 Critérios utilizados pelo manual LRFD

200

De acordo com as provisões da LRFD - apêndice G5, quando a resistência de

cisalhamento de uma viga esbelta depende da inclusão da ação do campo de tração a alma

deve satisfazer o critério de interação, obtido pelas equações 7.7.8, 7.7.9 e 7.7.11, para

cisalhamento combinado com tração da flexão.

nV

Reconhecendo que no projeto de uma viga e são as resistências

requeridas em combinação, estes primeiros termos podem ser substituídos nas equações 7.7.8,

7.7.9 e 7.7.11 por e , respectivamente. O fator de resistência φ para esta

relação tração-cisalhamento é 0.90, o valor usado para flexão.

'nV '

nM

φVu / φM u /

Então, a relação de interação para a LRFD é:

1. Para , os requerimentos básicos de não-interação se aplicam, u nV / V 0.60φ ≤

u nM M≤ φ (7.7.12)

2. Para , os requerimentos básicos de não-interação se aplicam, u nM / M 0.75φ ≤

u nV V≤ φ (7.7.13)

3. Quando as equações 7.7.12 e 7.7.13 não são aplicáveis, isto é, ou o

cisalhamento fatorado uV excede nVφ60. ou o momento fatorado uM excede nMφ75 ,

então a equação 7.7.11 se aplica. Substituindo os primeiros termos na equação 7.7.11 com

φV e obtém-se

0.

φM uu //

u u

n n

M V0.625 1.375M V

⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟φ φ⎝ ⎠

(7.7.14)

que consta na LRFD - formula (A-G5-1). O fator de resistência . 900=φ .

As condições 1 e 2 podem ser combinadas dentro de um critério para determinar

se a equação 7.7.14 precisa ser investigada. Assumindo as desigualdades relativas a e

para as equações 7.7.12 e 7.7.13 não são satisfeitas tem-se um par de equações

abaixo, cada uma associada ao requerimento básico que deve sempre ser satisfeito,

nVφ60.

nMφ750.

u nV 0.6V> φ (7.7.15a)

u nM M< φ (7.7.15b)

u nM 0.75M> φ (7.7.16a)

u nV V< φ (7.7.16b)

Dividindo o primeiro termo pelo segundo para cada um dos pares das equações

7.7.15 e 7.7.16 obtém-se

201

u n

u n

V 0.6VM M

≥ (7.7.17)

u n

u n

M 0.75MV V

≥ (7.7.18)

Invertendo a equação 7.7.18, e colocando com a equação 7.7.17, obtém-se

un n

n u

V0.6V VM M 0.75M

≤ ≤n

(7.7.19)

que é equivalente às limitações na LRFD – apêndice G5.

Quando a proporção está dentro da escala da equação 7.7.19, a equação

7.7.14 deve ser satisfeita.

uu MV /

7.8 Enrijecedores transversais intermediários

Vigas esbeltas irão usualmente ser projetadas para ter enrijecedores

intermediários. Os dois parâmetros de estabilidade para a alma são e a/h como discutido

nas seções 7.5 e 7.6. Flambagem resultante do cisalhamento pode ser evitada quando estes

parâmetros de estabilidade são pegos suficientemente baixos; alternativamente, a tensão

cisalhante pode ser pega abaixo da tensão crítica de flambagem . Desde que vigas de

seções laminadas têm baixa proporção , flambagem resultante de cisalhamento não irá

ocorrer. Quando o espaçamento a dos enrijecedores fizer baixo suficiente, e seu

tamanho é adequado para permiti-los a agir como verticais de compressão na treliça como

discutido na seção 7.6, a resistência pós-flambagem (ação do campo de tração) é disponível e

pode ser utilizada no projeto.

wth /

crτ

w

wth /

ta /

7.8.1 Requerimentos para omitir enrijecedores transversais

Enrijecedores não precisam ser usados quando a resistência à flexão da seção

pode ser atingida sem flambagem diagonal resultante do cisalhamento. Enrijecedores

costumam não ser requeridos, de acordo com a LRFD – apêndice G3, quando

v

w y

kh 187t F

≤w

(7.8.1)

202

Quando enrijecedores não são usados, o coeficiente de flambagem , obtido pela

equação 7.5.8, é deve ser tomado como 5. Este valor deve ser aproximado quando a/h se torna

grande. Quando , a equação 7.8.1 se torna

vk

5=k v

w yw

h 418t F

≤ (7.8.2)

que é o limite obtido pela LRFD – apêndice G4. Quando o limite da equação 7.8.2 não é

excedido, a máxima resistência nominal de cisalhamento é alcançável, nV

n ywV 0.6F Aw= (7.8.3)

que consta na LRFD formula (A-G3-1).

Quando um valor menor que a resistência máxima de cisalhamento é requerido,

enrijecedores intermediários não são requeridos quando

( )n v ywV C 0.6F A≤ w (equação

7.5.15)

a menos que exceda 260. Enrijecedores intermediários são requeridos quando

excede 260.

wh/t wh/t

As expressões para a serem usadas para vigas não enrijecidas são as equações

7.5.12 para flambagem inelástica e 7.5.10 para flambagem elástica com , como segue:

vC

5=k v

1. Quando wyw yw

418 h 523tF F

≤ ≤ (flambagem inelástica)

v

yww

418C h Ft

= (7.8.4)

2. Quando elástica) (flambagem F

523>

th

yww

( )v 2w yw

220000Ch / t F

= (7.8.5)

Sumariamente, enrijecedores intermediários não são requeridos quando um dos seguintes

requerimentos são satisfeitos:

1. w

h 260t

≤ (7.8.6)

2. ( )n v ywV C 0.6F A≤ w (7.8.7)

203

onde é obtido pelas equações 7.8.4 e 7.8.5. A equação 7.8.6 é um limite prático. vC

7.8.2 Critério de posicionamento incluindo a ação do campo de tração – manual

LRFD

Quando o cisalhamento fatorado excede , com obtido pela

equação 7.8.7 com , enrijecedores são requeridos. Quando excede 260,

enrijecedores são sempre requeridos. O uso de enrijecedores intermediários reduz a proporção

a/h e aumenta . A equação 7.8.7 logicamente se aplica em situações com ou sem

enrijecedores intermediários quando o objetivo é prevenir flambagem resultante de

cisalhamento.

uV nVφ nV e 0.90=φ

wh/t5=k v

nV

Na LRFD – apêndice G3 tanto a resistência à flambagem e a resistência pós-

flambagem são reconhecidas. O comportamento pós-flambagem, conhecido como ação do

campo de tração, é similar à ação de treliça como mostrado na figura 7.6.1. a resistência total

nominal é obtida pela equação 7.6.27, nV

( )v

n yw w v 2

1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

que consta na LRFD – formula (A-G3-2). Desde que é uma função de é função

de , fazendo a avaliação difícil sem um projeto auxiliar.

vC nw V th ,/

a/h e th w/

Enquanto teoricamente os únicos limites superiores de são aqueles da LRFD

– apêndice G1 para prevenir flambagem vertical da mesa, considerações práticas relativas a

manuseio , fabricação e ereção levam em consideração a restrição tradicional,

wh/t

2

w

a 260 3.0h h / t

⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.8.8)

a LRFD – apêndice G3 não permite o uso do campo de tração quando a equação 7.8.8 é

excedida.

7.9 Proporcionando a seção

204

A seção transversal de uma viga deve ser selecionada tal que ela adequadamente

cumpra suas funções e requeira um mínimo custo. Os requerimentos de sua função podem ser

sumarizados como:

1. Resistência para carregar momento fletor (adequado módulo de seção xS ).

2. Rigidez vertical para satisfazer qualquer limitação nas deflexões (adequado

momento de inércia xI ).

3. Rigidez lateral para prevenir flambagem lateral com torção da mesa

comprimida (adequado suporte lateral ou baixo Tb rL / ).

4. Resistência para carregar o cisalhamento (área da alma adequada).

5. Rigidez para melhorar a resistência à flambagem ou pós-flambagem da alma

(relativo às proporções h/t e a/h).

Para satisfazer estes requerimentos de função com um mínimo custo, vai ser

assumido no que se segue que um mínimo custo é equivalente a um mínimo peso.

7.9.1 Fórmula da área da mesa

Para simplicidade no projeto é conveniente substituir o sistema real da figura

7.9.1a por um sistema substituto, figura 7.9.1b, que permite que o momento seja substituído

por um conjugado com as forças do conjugado agindo nos centróides das mesas. As forças

podem então ser tratadas como situações de carga axial. Se a distância entre as forças das

mesas é aproximadamente (h+d)/2, as forças do conjugado são

( )MC T

h d / 2= =

+ (7.9.1)

A área efetiva na qual estas forças agem é igual à área da chapa da mesa mais uma área

adicional para representar a efetividade da alma em resistir o momento.

fA 'fA

A tensão média na área total efetiva é

( )avg 'f f

M 1fh d / 2 A A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(7.9.2)

A área deve ser tomada tal que o momento fletor carregado pela alma seja o

mesmo tanto para o sistema real quanto para o substituto:

fA

2

sistema real maxh thM fd 6

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.9.3)

205

'sistema substituto max f

h d h dM f A2d 2+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7.9.4)

b) sistema de área da mesa

A'f Af

T = C

h t d =

fmax

braço= h+d2

A'f

( )h+d /2

(

=

favg= maxf

C

)h+d2d

M

a) sistema real

Figura 7.9.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Desenvolvimento da fórmula de área da mesa.

Equacionando as equações 7.9.3 e 7.9.4 obtém-se 22

'f

h th 2d 2 th 2hAd 6 h d h d 6 h d⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(7.9.5)

onde se , e o termo quadrático é negligenciado, se torna th=A w

' wf

AA6

= (7.9.6)

A seguir, resolvendo a equação 7.9.2 para tem-se fA

( )'

f favg

MA Ah d / 2 f

= −+⎡ ⎤⎣ ⎦

(7.9.7)

na qual, usando a equação 7.9.5 e , obtém-se ( ) d2/d+hf=f maxavg

2w

fmax

AM d 2hAf h h 6 h d⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.9.8)

Deixando o termo quadrático igual à unidade superestimando indiferentemente o

valor de , enquanto deixando d/h=1 estima por baixo o valor. Para uma proposta de

projeto preliminar estas simplificações são justificadas para obter uma simples expressão para

a área requerida de uma placa de mesa,

fA

wf

AMAfh 6

= − (7.9.9)

206

No uso da equação 7.9.9, se f é tido como a tensão média na mesa, o termo d/h estará próximo

se levado em conta. Quando checar a seção, é claro, o momento de inércia correto deve ser

obtido e a máxima resistência computada.

7.9.2 Altura ótima da viga

A variação na área na seção transversal da viga é para ser examinada como função

da profundidade da alma para determinar a profundidade que irá fornecer mínima área.

A área bruta média da viga para o vão inteiro pode ser expressa como gA

g 1 f 2A 2C A C h= + t (7.9.10)

onde

1C = fator para levar em conta a redução no tamanho da mesa nas regiões de

momento mais baixo que o máximo

= fator para levar em conta a redução na espessura da alma nas regiões de

cisalhamento reduzido

2C

Substituindo a equação 7.9.9 na equação 7.9.10 obtém-se

g 1 2M htA 2C C hfh 6

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

t (7.9.11)

Para encontrar a área bruta média mínima,

gA0

h∂

=∂

(7.9.12)

Se não houver restrição na profundidade; alto h/t desejável. Assumindo

. A equação 7.9.11 torna-se ww β/h=t ;t/h=tetancons=β

2 2

g 1 2w w

M h hA 2C Cfh 6

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟β β⎝ ⎠

(7.9.13)

g 1 12 2

w w

A 2C Mf 4C h 2C h0h f h 6

∂ −= = − +

∂ β2

β (7.9.14)

3 31 w 1 20 6C M 2C h f 6C h f= − β − + (7.9.15)

onde se tem

( )1 w

3

2 1

3MChf 3C C

β=

− (7.9.16)

207

e se for negligenciada a redução na seção em regiões de baixa tensão, , a equação

7.9.16 se torna

1=C=C 21

w33Mh

2fβ

= (7.9.17)

onde = momento fatorado em carga de serviço dividido por . φ/M=M u 90.0=φ

f = tensão média na mesa usando como valor na fibra extrema quando a

resistência nominal de momento é atingida de acordo com a LRFD – apêndice G2.

crF

Usando a equação 7.9.13 com e substituindo por M/f da equação

7.9.17 obtém-se

1=C=C 21

2 2 2

gw w w

4h h h 2hA3 3

= − + =β β β β

2

w

(7.9.18)

da qual o peso da viga por pé pode ser estimado usando o fato de o peso do aço ser 3.4 lb/sq

in./linear ft (0.00784 kg/ 2mm /metro linear). 2 2

3g 2w w

6,8h Mlb / ft 3.4A 8.9f

= = =β β

(7.9.19)

usando unidades de polegada para as variáveis.

208

8 PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS COM VERIFICAÇÕES NORMATIVAS

8.1 Exemplo 1

Foi escolhido um sistema estrutural em viga simplesmente apoiada, solicitada

pelo carregamento indicado na figura 8.1.1. Os critérios para o dimensionamento desta viga

foram os utilizados por SALMON E JOHNSON (1996), onde em sua publicação eles

mostraram os requisitos para o projeto de vigas esbeltas analisando os requisitos de

segurança, com base nas regras utilizadas pelo Manual de Construção do Aço – Load and

Resistance Factor Design - LRFD.

8.1.1 Problema proposto

Considerar o projeto parcial de uma viga esbelta soldada, biapoiada, com um vão

de 26.24 ft ( = 8 m) para suportar uma carga uniformemente distribuída w = 0.07 kips/ft ( =

104.17 kg/m = 1 kN/m) mais uma carga concentrada no meio do vão de 66.14 kips ( = 30 tf =

300 kN), como mostrado na figura 8.1.1.

w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/m

13.12 ft = 4m

26.24 ft = 8m

13.12 ft = 4m

P = 66.14 kips = 30 tf=300 kN

Figura 8.1.1 – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado.

Adotar contenção lateral nos apoios e no meio do vão. A viga deve ter altura

constante da chapa da alma para todo o vão. Usar aço de 435 MPa ( = 63.13 ksi). Adotar E =

. Usar a LRFD – Load and Resistance Factor

Design.

GPa 199.95 = N/mm 199947.89 = ksi 29000 2

a) Cargas

Carga uniformemente distribuída w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/m.

209

Carga concentrada no meio do vão P = 66.14 kips = 30 tf = 300 kN.

b) Análise estrutural

Qualquer método de análise estrutural estaticamente indeterminada pode ser usado

para obter o momento elástico e o cortante devido às cargas. Os resultados estão apresentados

na figura 8.1.2.

c) Estimativa do peso

Desde que não haverá limitação, a altura baseada no máximo pode ser

desejada. Na LRFD – apêndice G1 os limites são obtidos, referindo-se à tabela 7.2.1,

wth /

Max p/ 82251=th w ./ ( )1.5>a/h se 74197= . MPa 435=Fy

13.12 ft = 4m 13.12 ft = 4m

439.89 ft-kips=596.38 kNm

Diagrama de momento fletor (ft-kips)

Diagrama de esforço cortante (kips)

33.07 kips=147.1 kN =15 t

33.07 kips=147.1 kN =15 t

33.99 kips=151.19 kN=15.42 t

33.99 kips=151.19 kN=15.42 t

w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/mP = 66.14 kips = 30 tf = 300 kN

Figura 8.1.2 - Diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga para o exemplo do projeto.

Haverá redução na resistência para o estado limite de flambagem por flexão

quando exceder wth / crF970 / de acordo com a LRFD – apêndice G2 . Para este projeto

estes limites são, adotando-se a conversão 435 MPa = 63.13 ksi:

ycrw F=F quando ksi p/63.13 07122>th ./

Para uma estimativa de peso, tentar e usar a equação 7.9.19, 250=th=β ww /

kips-ft 09.482=90.0/87.433=φ/M=M=M burequerido n , e PG crf R F 59.62 ksi= ≈ (algo

pouco abaixo de ): yF

( )( )

( )[ ]( ) lb/ft 8329=

25062591209482

98=βFR

M98=ftWt 3

2

2

3

w2

crPG

2requerido n .

..

../

210

Assumindo o peso da viga de 70 lb/ft obtém-se o máximo momento positivo

fatorado . Usaremos w=70 lb/ft como o peso

estimado da viga. Os diagramas de momento fletor e esforço cortante são obtidos na figura

8.1.1.

kips-ft 8439=M u . m/kN 1=kg/m 17.104=

d) Determinando as dimensões da chapa da alma

Para com aço 63.13 ksi (435 MPa), assumindo

e usando a equação 7.9.17. Especificar o valor ótimo para h usando vários valores para ,

por exemplo, usando obtém-se

kips-ft 8439=M u .

250=th w/

1=C=C 21

wth /

( ) ( )( )( ) in 2833=

625922501290084393

=FR2

βM3=h 33

crPG

wrequerido n ..

./.

Baseado no requerimento de momento positivo, a altura mais econômica parece

ser primeiramente 33.28 in. pela fórmula. Entretanto, se um peso mais leve da

viga é desejado, a área da alma deve ser usada eficientemente. Uma vez que a espessura da

alma de 0.133 in. é obtida da altura de 33.28 in., a máxima altura para a espessura

de 0.133 in. deveria ser determinada, a qual fornece h = 26 a 33.25 in. , o que se aproxima do

valor da fórmula. Além disso, há uma considerável reserva de resistência ao cisalhamento;

será tipicamente satisfatório entre 12 a 16 ksi (82.74 a 110.32 MPa) de acordo com a

LRFD TABLE 10-50. Com a tensão de cisalhamento de projeto somente entre 4 a 6 ksi

(27.56 a 41.37 MPa) com a espessura da alma de 0.168 in. é provável que uma viga mais leve

irá resultar no uso de uma alma mais delgada (de 0.133 in.). A alma de 0.133 in. (3.4 mm) de

espessura indica uma altura de 33.465 in. ( ) .

( mm 3.845

)

)

( mm 4.3

wu AV /

mm 850

Tabela 8.1.1 – Tabela utilizada para a escolha das dimensões da alma. wt/h

h

(in.) wt

(in.) wA

(sq in.) wu A/V

(ksi) wt/h atual

250 33.28 0.133 4.43 7.46 250.22

197.7 33.28 0.168 5.59 5.91 198.09 Máx p/ 0.133 in. 33.25 usando 250=t/h w

33.465 0.133 4.45 7.43 251.61 Máx p/ 0.133 in. 33.25 usando 198=t/h w

26 0.133 3.46 9.56 195.48 Máx p/ 0.168 in. 42 usando 250=t/h w

42 0.168 7.06 4.68 250 Máx p/ 0.168 in. 33.26 usando 198=t/h w

33.465 0.168 5.62 5.88 199

211

A altura escolhida foi de 33.465 in. A fórmula indica algo bem próximo desse

valor. O baixo valor do cisalhamento indica que a alma pode ser mais esbelta. Desde que

enrijecedores intermediários devam ser usados, pode-se notar que quando a proporção é

alta o espaçamento requerido na extensão da viga vai ser controlado pela equação 7.8.8 e não

será dependente da magnitude da força de cisalhamento. Então quanto mais alta for a viga,

mais longas devem ser as chapas dos enrijecedores, com uma pequena vantagem de livrar o

peso extra.

wth /

A resistência de momento e cisalhamento combinados (LRFD – apêndice G5)

deve ser considerada em regiões onde alto cisalhamento e alto momento ocorrem

simultaneamente. Neste projeto, tal localidade é adjacente ao meio do vão.

Permitindo alguma flexibilidade no projeto, usar h=33.465 in. que quer dizer que

a esbeltez da alma está perto mas não é superior ao limite. Tentar wth /

0.133 x 33.465 in. (3.4 x 850 mm) ( ) p/ 61251=th w ./ uM , ksi 1363=Fy .

e) Selecionar as chapas das mesas

kips-ft 8439=M u .

wth /

th /

, chapa de alma = 0.133 x 33.465 in. ( ). A

alta proporção de para a alma irá reduzir a resistência de momento. Para se obter uma

redução estimada para o estado limite de flexo-flambagem, usa-se a equação 7.3.3 (LRFD –

apêndice G2) com estimado e

in. sq 454=A w .

61251=w . r w fa A / A 1.5= ≈ ,

rPG

r w cr

a h 970R 1 1.1200 300a t F

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

0

( )PG1.5 970R 1 251.61 0.89 1.0

1200 300 1.5 59⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

o que torna PG crR F 54 ksi≈ .

Usando a fórmula de área da mesa, equação 7.9.9, obtém-se o requerimento para

uma mesa como

( )( )

u b wf

PG cr

M / AAR F h 6

439.8 12 / 0.90 4.45 2.5 sq in.54 33.465 6

φ= −

= − =

Agumas possíveis escolhas considerando 54 ksi como sendo um baixo valor

estimado:

0.315 x 7.94 in., , in. sq 52=Af . 612=t2b ff ./

212

0.248 x 10.08 in., , in. sq 52=Af . 320=t2b ff ./

Nesta seleção, a proporção deve ser tomada perto de (8.18 para

).

ff t2b=λ / pλ

ksi 1363=Fy .

Checando para o estado limite de flambagem lateral com torção (LTB), LRFD

– apêndice G2, equações 7.3.7 a 7.3.10:

crF

( ) ( )in. 01.2=

6/45.4+5.2

315.094.7121

=r

3

T

7537=F

300=λ

yfp .

15.95=F

756=λ

yfr

( )75.37=λ>32.78=

01.22/1224.26

=rL

=λ pT

bLTB

Para a LRFD – apêndice G2 fornece rLTBp λ<λ<λ crF :

pcr b yf yf

r p

1F C F 1 F2

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Substituindo os valores da fórmula acima:

cr1 78.32 37.75F 63.13 1 40.82 ksi2 95.15 37.75

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

Computando para o estado limite de flambagem local da mesa (FLB) (LRFD –

apêndice G2) quando λ

crF

FLB > pλ :

( ) 6.12=315.0294.7

=t2

b=λ

f

f

18.8=13.63

65=

F65

=λyf

p

12.17=35.0/13.63

230=

k/F230

=λcyf

r

No próximo passo, vamos encontrar o valor da redução de resistência para o

estado limite de flexo-flambagem quando crw F970>th // , usando as equações 7.3.11 a

7.3.14,

213

781=52

454=

AA

=af

wr .

..

rPG

r w cr

a h 970R 1 1.1200 300a t F

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

0

( )PG1.78 970R 1 250 0.90 1.0

1200 300 1.78 40.82⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

O momento de inércia da seção tem de ser obtido,

( )( )( )( )

4

3

2

in.731841=I 37415=12465330.133 : 33.465 x 0.133

361426=2783322.5 947x3150

.

./.

./.:..

( ) in. 1108=3150+7316

731841=

t+2hI

=Sf

x ...

./

Então, usando a equação 7.3.2, a resistência nominal pode ser obtida. nM

( )( ) kips-ft 91.319=12/87.01.10882.40=RSF=M PGxcrn

( ) kips-ft 8.439=M<kips-ft 92.287=91.31990.0=Mφ un

Esta baixa resistência não é aceitável. Aumentar as chapas das mesas para

0.394x12.59 in., com O

valor de excede ; então, deve-se verificar os valores dos

parâmetros de esbeltez para os estados limites de flambagem lateral com torção e flambagem

local da mesa:

3xT

4xf in. 29.190=S in., 39.3=r ,in. 52.3258=I in., sq 96.4=A .

98 18.8=λ p.15=t2/b ff

- para o estado limite de flambagem lateral com torção:

( )44.46=

39.32/1224.26

=rL

=λT

b

76.37=13.63

300=

F300

=λyf

p

14.95=13.63

756=

F756

=λyf

r

- para flambagem local da mesa:

( ) 98.15=394.0259.12

=t2

b=λ

f

f

214

18.8=13.63

65=

F65

=λyf

p

12.17=35.0/13.63

230=

k/F230

=λcyf

r

- Cálculo de de acordo com a LRFD – formula (A-G2-5): crF

- para o estado limite de flambagem lateral com torção:

pcr b yf yf

r p

1F C F 1 F2

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

cr1 46.44 37.76F 63.13 1 58.36 ksi2 95.14 37.76

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- para flambagem local da mesa:

cr1 15.98 8.18F 63.13 1 35.59 ksi2 17.12 8.18

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

Para esta seção,

9.0=96.445.4

=AA

=af

wr

( )PG0.9 970R 1 250 0.95 1.0

1200 300 0.9 35.59⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

A resistência nominal é nM

( ) kips-ft 15.536=12/95.029.19059.35=RSF=M PGxcrn

( ) kips-ft 8.439=M>kips-ft 54.482=15.53690.0=Mφ un

Aceitar chapas das mesas de 0.394x12.59 in.

f) Espaçamento dos Enrijecedores intermediários – posicionamento entre o apoio

e 1/3 do vão.

Chapa da alma = 0.133 x 33.465 in., , . in. sq 454=A w . ksi 1363=Fy .

Nos apoios, (figura 8.1.2). Em painéis finais resistência pós-

flambagem (ação do campo de tração) não é permitida de ser usada. A equação 7.8.7

representa a resistência nominal ao cisalhamento no painel final,

kips 9833=Vu .

nV

( ) wywvn AF60C=V .

( ) 2240=454136360

9009833=

AF60φV

=Cwyw

vurequerido v .

..../.

./

215

O coeficiente é obtido pela equação 7.5.10 para , vC 80<Cv .

( ) ( ) 6789k

=1363250

k44000=

Fthk44000

=C v2

v

yw2

w

vv ../

( ) 0820=67892240=k requerido v ...

( )2v ha5

+5=0820=k/

.

( ) mm 493=in. 41.19=465.3358.0=a Max

58.0=ha

Max

g) Espaçamento dos Enrijecedores intermediários – posicionamento entre 1/3 do

vão até ½ do vão, simetricamente (posição da carga concentrada).

Chapa da alma = 0.133 x 33.465 in., , . in. sq 454=A w . ksi 1363=Fy .

No meio do vão:

kips 0733=Vu .

Usando as equações 7.6.27 e 7.8.8 (LRFD – apêndice G3) para este painel:

250=th

ksi, 437=4540733

=AV

=A

Vφ requerido

ww

u

w

nv ...

Usando a LRFD “NUMERICAL VALUES” TABLE 10-50, novamente encontra-

se que o máximo a/h é controlado pelo limite arbitrário. 2 2

w

a 260 260Max 1.08h h / t 250

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Este painel adjacente ao meio do vão tem um alto cortante e momento fletor no

mesmo local. Então, LRFD – apêndice G5 é provável para controlar o espaçamento dos

enrijecedores. Então, a equação 7.7.14 deve ser investigada. A resistência de projeto

foi computada na parte (e) para ser na posição de máximo momento; então a

resistência de momento é inteiramente utilizada.

nbMφ

kips-ft 8439.

Desde que mais do que 75% da resistência de momento é usada, a resistência de

cisalhamento total não pode ser usada. Para as propostas práticas na LRFD, a resistência de

momento integral é usada na fórmula de interação, equação 7.7.14.

A limitação na interação da resistência flexão-cisalhamento pode ser satisfeita ou

por um incremento na resistência de momento ou por um incremento na resistência ao

cisalhamento. O procedimento prático neste estágio do projeto é posicionar os enrijecedores

216

intermediários a intervalos suficientemente fechados para fazer com que a utilização da

resistência ao cisalhamento seja baixa o suficiente para satisfazer a equação de interação.

Resolvendo a equação 7.7.14 para o requerido obtém-se nvu VφV /

u u

n n

M V0.625 1.375M V

⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟φ φ⎝ ⎠

requerido ( )u

u b n

v n

M1.375V M 2.2 1.6 1.0 0.6V 0.625

−φ

= = −φ

=

a resistência de projeto que precisa ser providenciada neste painel é nvVφ

Requerido kips 1255=600733=60V=Vφ unv ../../

Usando a LRFD “NUMERICAL VALUES” TABLE 10-50 com =250 e wth /

Requerido ksi 3812=4541255=AVφ wnv .././

Encontra-se máximo a/h>1.2

O apêndice G3 – LRFD determina que quando a/h excede 3.0 ou , a

ação do campo de tração não é permitida. Calculando o limite citado temos:

( )[ ]2wt/h/260

( )[ ] ( ) 082.1=250/260=t/h/260 22w

Este é o valor da máxima relação a/h permitida para o uso do campo de tração.

Os cálculos são os seguintes,

( ) 27.9=082.15

+5=h/a

5+5=k 22v

Assumindo e usando a equação 7.8.10 para 80<Cv . vC ,

( )( )

( ) 103.0=13.63250

27.944000=

Ft/hk44000

=C 2yw

2w

vv

( )v

n yw w v 2

1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )

6.106082.1115.1

103.01103.045.413.636.0V2n =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−+= kips

( ) kips 12.55=Vφ Requerido>kips 93.95=6.10690.0=Vφ nvnv OK

Então, a máxima distância para o primeiro enrijecedor intermediário na região do

meio do vão é

Max a = 1.082(33.465) = 36.21 in.=920 mm

217

h) Dimensionamento dos enrijecedores intermediários entre os apoios e 1/3 do

vão.

Freqüentemente, enrijecedores em aço A36 são convenientes, com alta tensão de

escoamento do material oferecendo pequena se não nenhuma economia. Tentar aço de 435

MPa, ou seja, 63.13 ksi para todos os enrijecedores.

O cálculo de é obtido da equação 7.6.29, stA

Requerida ( )yw 2ust w v w

yst n


⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠

−

Deve-se calcular o valor de que é feito de acordo com a LRFD formula A-G3-

6, sendo necessário obter o valor de

vC

vk ,

( ) ( ) 8619=465334119

5+5=

ha5

+5=k 22v .././

( )( )

( ) ( ) 2190=1363133046533

861944000=

Fthk44000

=C 2yw

2w

vv .

../..

/

Finalmente, com estes valores pode-se calcular o valor de stA :

( )( )( ) ( )2stA 0.15 33.465 0.133 1 0.219 18 0.133 0.20 sq in.= − − =

Esta área requerida assume que os enrijecedores devem ser usados em pares.

Além disso, flambagem local deste elemento não enrijecido deve ser impedida; ou seja,

, de acordo com a LRFD-B5. A altura b e a espessura t, como mostrado na figura

8.1.3, deve satisfazer

rλ ≤ λ

ryst

b 95 95 11.95t F 63.13

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ≤ λ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O requerimento para rigidez fornece 3

st wI jat≥

Onde

( ) ( )2 2

2.5 2.5j 2 2a / h 19.41/ 33.465

= − = − = 5.43

( )( )3 4stI 5.43 19.41 0.133 0.25 in.≥ =

Para encontrar a mínima altura aceitável para o enrijecedor (figura 8.1.3),

218

Requerido 2

st

st2 in. 251=200250

=AI

=r ...

Provido 12W

=tW12

tW=r

232

Requerido ( ) in. 873=25112=W ..

W

b

alma

enrijecedoras

da mesalargura

t

chapas

Figura 8.1.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Seção transversal das chapas de enrijecedores intermediários.

Isto pode indicar 1.94 in. de extensão das chapas, e para satisfazer 95.11t/b ≤ a

espessura deve ser 0.162 in. Estas podem ser medidas imoderadamente largas e chega ao

valor de 0.63 sq in. Tentar chapas de 0.12 x 1.43, obtendo b/t=11.91 que é menor que .

stA

rλ

Checando o momento de inércia stI ,

( ) 433

st in. 2670=12

992120=

12tW

=I ...

Então, provido excede o requerido . stI 4in. 250.

Usar 2 chapas de 0.12 x 1.43 in. para os enrijecedores intermediários

simetricamente entre os apoios e 1/3 do vão de cada lado.

i) Dimensionamento dos enrijecedores intermediários entre 1/3 do vão e ½ do vão.

Tentar aço de 435 MPa, ou seja, 63.13 ksi para todos os enrijecedores.

O cálculo de é obtido da equação 7.6.29, stA

Requerida ( )yw 2ust w v w

yst n


⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠

−

Deve-se calcular o valor de que é feito de acordo com a LRFD – formula A-

G3-6, sendo necessário obter o valor de

vC

vk ,

219

( ) ( ) 27.9=465.33/21.36

5+5=

h/a5

+5=k 22v

( )( )

( ) ( ) 103.0=13.63133.0/465.33

27.944000=

Ft/hk44000

=C 2yw

2w

vv

Finalmente, com estes valores pode-se calcular o valor de stA :

( )( )( ) ( )2st

33.07A 0.15 33.465 0.133 1 0.103 18 0.13395.98

0.28 sq in.

= − −

=

4000

1085

0

30493493 493

10

920681

A

920

p/ enrijecedores

contenção lateral requer enrijecedor no meio do vão

p/ enrijecedores

p/ enrijecedores

Ade apoio 2 chapas de 3 x 36.3 mm 2 chapas de 4.6 x 36.3 mm

2 chapas de 10 x 150 mm

a) vista lateral da viga

20 mm mais curtas

chapa da alma de 3.4 x 850 mm

cortar as chapas dos enrijecedores

chapas das mesas de 10 x 320 mm

b) corte AA Figura 8.1.4 – Detalhes finais da viga dimensionada (todas as medidas em mm).

220

Esta área requerida assume que os enrijecedores devem ser usados em pares.

Além disso, flambagem local deste elemento não enrijecido deve ser impedida; ou seja,

, de acordo com a LRFD – B5. A altura b e a espessura t, serão estimados em 0.18 x

1.43 in.

rλλ ≤

ryst

b 95 95 11.95t F 63.13

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ≤ λ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 433

st in. 400=12

992180=

12tW

=I ...

Para encontrar a mínima altura aceitável para o enrijecedor (figura 8.1.3),

Requerido 2

st

st2 in. 371=290400

=AI

=r ...

Provido 12W

=tW12

tW=r

232

Requerido ( ) in. 054=37112=W ..

Isto pode indicar 2.02 in. de extensão das chapas, e para satisfazer b / t 11.95≤ a

espessura deve ser 0.169 in. Estas podem ser medidas imoderadamente largas e chega ao

valor de 0.63 sq in. Tentar chapas de 0.18 x 1.43, obtendo b/t=7.94 que é menor que .

stA

rλ

Usar 2 chapas (uma de cada lado da alma) de 0.18 x 1.43 in. para os enrijecedores

intermediários simetricamente entre 1/3 do vão e ½ do vão de cada lado.

8.1.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria de

JUHÁS (2001)

De acordo com a figura 3.3.1.1, podem ser calculados os parâmetros, observando o

detalhamento da figura 8.1.4:

1=f/f=m ywyf

para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=493 mm e a=920 mm,

respectivamente entre o apoio e 1/3 do vão e entre 1/3 e ½ do vão.

d/a=α

082.1=/850209=a/d=α mm, 209=a para58.0=493/850=a/d=α mm, 493=a para

- cálculo de β :

250=4.3/850=t/d=β w

221

- cálculo de : γ

wf A/A=γ

( ) 2f mm 3200=32010=A

( ) 2w mm 2890=4.3850=A

11.1=2890/3200=A/A=γ wf

- cálculo de δ :

02.1=850/870=d/h=δ

- cálculo de : 0δ

( ) ( ) 01.1=2/02.1+1=2/δ+1=δ0

- cálculo do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a fórmula

3.3.1.2:

w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M

cálculo de (módulo plástico das mesas): f,plW

( ) ( )( ) 3ffff,pl mm 27520001087010320tdtbW =−=−=

cálculo de (módulo plástico da alma): w,plW

( ) ( ) 322fww,pl mm 61412510-870/23.4t-d/2tW ===

o momento fletor totalmente plástico da seção transversal é:

( )( )kNm 1464.3M

mm 6141252752000MPa 435WfWfM

pl

3wpl,ywfpl,yfpl

=

+=+=

Pode-se, em seguida, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de bM :

- cálculo de : 0ξ

( )( )( ) 28.06

01.111.161850kNmm 608166.5

kN 155ξ2

0 =+

=

( ) 11.128.031ξ 2 =+=

( ) ( ) ( )( )( )kNm 82.1356M

11.13/01.111.1/101.111.14614125435M

b

2b

=−+=

- cálculo da força cortante última Mu,V :

da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:

( ) kN 82.7253/4.38504353/AfV wywpl ===

222

- cálculo de (equação 3.3.1.9): 1ξ

518.028.011.11arcsin

311.1ξ

2

1 =−=

- cálculo de primeiramente através da equação 3.3.1.7: Mu,V

( )( ) (( )

)

( ) ( )( ) ( ) 011.1

28.03518.011.101.111.1925.2

311.128.028.06518.001.111.195.1

8.725V

8.725V

2

2

222M,u

2M,u

=−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pode-se encontrar : Mu,V

kN 6.303V M,u =

- cálculo de através da equação 3.3.1.8: Mu,V

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 011.1

28.03518.0518.001.111.15.428.025.2

11.128.09518.001.111.1975.3

8.725V

311.128.028.09518.001.111.195.1

8.725V

8.725V

3

322

222M,u

2222M,u

3M,u

=−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

resolvendo esta equação encontra-se:

kN 8.477V M,u =

De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8

para calcular a força cortante última . O menor valor é válido. é a força cortante

última que depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor

último depende da força cortante V agindo na seção transversal. O momento fletor

último pode ser calculado pela equação 3.3.1.11:

Mu,V Mu,V

Vu,M

Vu,M

( )( )( ) 01.111.141

01.111.16128.033

28.7256.303

3.1464M 2

V,u

++

=

kNm 5.1196M V,u =

223

- cálculo da relação ( )limplMu, V/V através da equação 3.3.1.12:

( ) ( ) 26.148.025.0V/V 2limplM,u +−=

( ) 84.0=V/VlimplMu,

onde pode-se calcular o valor de limM,u,V :

( ) kN 7.6098.72584.0V lim,M,u ==

JUHÁS(1975) observa que é evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força

cortante , então a força cortante influencia o momento fletor último

desprezivelmente, mas se a força cortante , então a força cortante influencia o

momento fletor último significantemente. Com o incremento da força cortante V o

momento fletor último decresce rapidamente. Para isto, a proporção deveria ser

menor que a proporção limite

limM,u,V<V Vu,M

limM,u,V>V

Vu,M

Vu,M plV/V

( )limplMu, V/V .

De acordo com esta observação, podemos calcular a proporção plV/V :

21.08.725/155V/V pl ==

onde se pode observar que o valor calculado de é menor que o limite 21.0=V/V pl

( ) 84.0=V/VlimplMu, , o que satisfaz os critérios de dimensionamento segundo JUHÁS (2001).

Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de

interação, as quais serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de

seções transversais homogêneas:

1209.08.7250.155

8.7250.155

3.14642.60811.1

3.14642.608 2222

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

onde se verifica que o valor obtido ficou abaixo de 1. Em seguida, utilizaremos as equações

3.3.1.14 e 3.3.1.15, as quais foram adaptadas da fórmula anterior:

( )( )

05.18.725/15511.11

8.725/15511.1φ 2

2

v =−−

=

será considerado o valor de . Em seguida, será utilizada a fórmula 3.3.1.14: v 1φ =

1.19995.08.7250.1551.1

8.7250.15511.11

22

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

que indica que a fórmula foi satisfeita.

224

Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-

1(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:

- cálculo do momento plástico da alma : w,plM

( ) kNm 1.267614125435M w,pl ==

substituindo na equação 3.1.16:

( ) 1475.018.725

15523.14641.267

3.14642.608 2

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

que indica que a viga dimensionada no exemplo 1 satisfaz a teoria de JUHÁS (2001).

8.1.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH

(1952)

Tensão de cisalhamento e compressiva crítica atuante na seção:

( )( ) MPa 60.538504.3/155000A/Vτ wsdxy ===

0σ1 =

SALMON E JOHNSON (1996) observam que em painéis finais não se deve usar

a ação do campo de tração. BLEICH (1952) propôs o cálculo da tensão crítica de flambagem

ao cisalhamento de chapas na extensão elástica e inelástica. A ação do campo de tração não

foi considerada em sua teoria. A ação do campo de tração consiste num acréscimo da

resistência à força cortante numa extensão pós-flambagem da chapa, que representa um

estágio que sucede a extensão elástica ou inelástica.

- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores

a=493 mm:

58.0=850493

=ba

=α

0τσ

βxy

1 ==

( )( )( )

22

1c 2

22

2

24 E tb12 1

24 210000 MPa 3.4 72.88 MPa85012 1 0.3

π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠

π ⎛ ⎞= =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

o

225

( )( )

( )

22

c 22

22

22

E t 5.344b12 1

210000 MPa 3.4 5.344850 0.5812 1 0.3

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π ⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝

o

⎞⎟⎠

MPa 35.60=τco

828.0=α92

+61

=24

α/34.5+4=κ 2

2

( )( )( ) ( )

11828.024

8504.3

3.0112210000π

κβ11κ24

bt

ν112Eπτ

2

2

2

22

2

2

2

c

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 35.60τ c = 0σ c =

Este valor encontrado para a tensão crítica de cisalhamento, MPa 35.60τ c = , ultrapassa o

valor da tensão cisalhante atuante na seção, MPa 60.53τ xy = , o que indica que o espaçamento

a=493 mm para os painéis finais pode ser considerado.

Para os painéis de chapas com espaçamento a=920 mm, na região central do vão:

082.1=850920

=ba

=α

0τσ

βxy

1 ==

( )( )( )

22

1c 2

22

2

24 E tb12 1

24 210000 MPa 3.4 72.88 MPa85012 1 0.3

π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠

π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

o

=

( )( )

( )

22

c 22

22

22

E t 45.34b12 1

210000 MPa 3.4 45.34850 1.08212 1 0.3

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π ⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝

o

⎞⎟⎠

MPa 59.26=τ co

226

O valor acima, representa a tensão crítica de cisalhamento para

esta chapa em cisalhamento puro, considerando suas dimensões e espaçamento entre

enrijecedores, na iminência de flambagem elástica.

MPa 59.26=τ co

( ) 36.008.161

92

2408.1/434.5κ 2

2

=+=+

=

( )( )( ) ( )

11364.024

8504.3

3.0112210000π

κβ11κ24

bt

ν112Eπτ

2

2

2

22

2

2

2

c

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 53.26τ c =

0σ c =

Este valor, , representa a tensão crítica de cisalhamento, na

iminência de flambagem elástica, desconsiderando a ação das tensões normais de compressão

longitudinal resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.

MPa 53.26τ c =

8.1.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de YU

(1991)

Para a viga dimensionada no exemplo 1, pode-se utilizar a teoria de YU (1991)

para verificar a força cortante admissível:

Para os painéis com espaçamento a=493 mm entre os enrijecedores:

( ) ( ) 87.19=850/49334.5

+4=h/a34.5

+4=k 22v

para yv F/Ek38.1>t/h ,

v

3

a kht

E904.0=V

( ) 16.135435/21000087.1938.1 =

como h/t=250>135.16,

( ) N87.17442287.19850

4.3210000904.0V3

a ==

kN 42.174Va =

227

O valor obtido acima representa a força cortante resistente do painel para

flambagem elástica, sem a ação do campo de tração. Como kN 42.174Va = ultrapassa a força

cortante solicitante, , o espaçamento a=493 mm deve ser considerado, pois

painéis extremos não podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.

kN 0.155Vsd =

Para os painéis com espaçamento a=920 mm:

( ) ( ) 75.8=850/920

4+34.5=

h/a4

+34.5=k 22v


v

3

a kht

E904.0=V

( ) 69.89435/21000075.838.1 =

como h/t=250>89.69,

( ) N 7680975.8850

4.3210000904.0V3

a ==

kN 81.76Va =

O valor acima representa a força cortante resistente permitida para os painéis, para

flambagem elástica. Este valor, kN 81.76Va = é menor que a força cortante solicitante de

cálculo, . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para

o cálculo da força cortante resistente para estes painéis.

kN 0.155Vsd =

8.1.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do

campo de tensões principais de HÖGLUND (1998)

A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.1.1.2,

para painéis com espaçamento a=493 mm.

MPa 15.251=3

435=

3

f=f MPa; 35.60=τ yw

vcr

cr

vw τ

f=λ

04.2=35.6015.251

=λw

228

( ) ( )

4u

4 2v w w w

4

4 2

3 1 11f 4 2 3

3 1 11 02.04 4 2.04 2 3 2.04

τ= − −λ λ λ

= − − = .62

O valor de 62.0=fτ

v

u pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor

de . 04.2=λw

( ) ( ) 29.0=04.2+7.0/79.=λ+7.0/79.0=ρ wv

o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-

se o valor de λ .

29.0=ρ v

04.2=w

( ) ( ) kN 364.57N 5.3645734.385043529.0thfρV wwywvw ====

- para espaçamento de 920 mm:

cr

vw τ

f=λ



MPa 15.251=3

435=

3

f=f MPa; 59.26=τ yw

vcr

07.3=59.2615.251

=λw

De acordo com a equação 3.3.3.12, para ,5.2>λwv

u

fτ

é calculado pela seguinte equação:

43.0=07.3/32.1=fτ

v

u

O valor acima pode ser verificado utilizando-se a figura 3.3.3.3, para . 07.3=λw

( ) ( ) 21.0=07.3+7.0/79.=λ+7.0/79.0=ρ wv

( ) ( ) kN00.2644.385043521.0thfρV wwywvw ===

8.1.2 Verificação segundo a NBR 8800/86

229

Será feita, neste item, a verificação das dimensões projetadas de acordo com a

LRFD, segundo os critérios da norma brasileira vigente, a NBR 8800/86. As dimensões que

serão verificadas são aquelas obtidas no exemplo 1, do capítulo 8, e que constam na figura

8.1.4, que apresenta o detalhamento de uma viga esbelta calculada com base nos critérios de

dimensionamento da LRFD. Primeiramente, será utilizado o anexo F da NBR 8800/86. Após

a verificação do momento fletor resistente característico, será utilizado o anexo G da NBR

8800/86. A seguir, serão utilizados os anexos F e G da NBR 8800/86.

8.1.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F


- De acordo com o contido no item F-1 – NBR 8800/86, analisando a viga dimensionada no

item 8.1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,082, que é menor que 1,5 fixado

na norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta

equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf

( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax

onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ

250=4,3/850=t/h=λ w

portanto, observa-se que o parâmetro de esbeltez λ da viga dimensionada não ultrapassa o

limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.

Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o

Anexo D desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma

(FLA) contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte

fórmula:

rλ

rλ

04.123=435

2100006.5=

fE

6.5=λy

r

onde pode-se observar que , o que satisfaz a condição e enquadra a peça na condição de

vigas esbeltas.

rλ>λ


230

- cálculo de conM nsiderando as dimensões das mesas de 10x320 mm:

- cálculo de xtW :

f

xxt t+2/h

I=W

( ) ( )( ) ( )

4mm 1357415417 =

233

x 430103202+1210320

2+128504.3

=I

então pode-se calcular o valor de xtW :

3

f

xxt mm 2.3120495=

4351357415417

=t+2/h

I=W

la ):

- C

ia, da seção formada pela mesa

comprimida mais um terço da região comprimida da alma

- cálculo de 'r

'p λ e λ ,λ :

a) estado limite de f mbagem lateral com torção (FLT

alculando o valor de Tr para a viga em questão, tem-se:

Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inérc

A=rT

pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa

comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou

seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do m

Iy

omento de inércia da porção citada da seção transversal

da viga em relação ao eixo y, tem-se:

( ) ( ) 433

y mm 7.27307130=12

4.367.141+

1232010

=I

( ) ( 67.1414.3+32010=A ) 2mm 7.3681=

portanto, o raio de giração a calcular será:

mm 12.86=

7.36817.27307130

=rT , 1=Cb

44.46=12.86

4000=

rL

=λT

b

45.38=435

21000075.1=

fE

75,1=λy

p

231

55.97=435

21000044.4=

fEC

44,4=λy

br

9.2072616=210000π=ECπ=C 2b

2pg

b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)

( ) 16=102

320=

t2b

=λf

f

34.8=435

21000038.0=

fE

38,0=λy

'p

11.19=435

21000087.0=

fE

87,0=λy

'r

( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg


- cálculo de crf :

- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)

para 'r

'p λ <λ<λ

'p

cr y ' 'r p

cr

cr

f f 1 0.5

46.44 38.45f 435 1 0.597.55 38.45

f 405.6 MPa

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=

⎤

- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)

para 'r

'p λ <λ<λ

'p

cr y ' 'r p

cr

cr

f f 1 0.5

16 8.34f 435 1 0.519.11 8.34

f 280.3 MPa

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=

⎤

- cálculo de : pgk

- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar

crf

MPa. 3.280=fcr

232

wpg

f w cr

A h Ek 1 0.0005 5.6 1A t f

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )pg

3.4 850 210000k 1 0.0005 250 5.6 0.96320 10 280.3

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

cálculo de : nM

a) para escoamento da mesa tracionada

( )( )kg.mm 6.130311879=

kg/mm 5.4396.0mm 2.3120495=

fkW=M23

ypgxtn

b) para flambagem

( )( )kg.mm 24.83968781=

kg/mm 03.8296.0mm 2.3120495=

fkW=M23

crpgxcn

- A norma diz que a resistência de cálculo ao momento fletor é igual a , onde

, e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da

mesa tracionada e de flambagem. Como estamos interessados em calcular a resistência efetiva

da peça, não levaremos em conta os fatores de segurança, dessa forma, consideraremos o

valor de sem considerar :

nbMφ

90,0=φ b

M

nM

n bφ

kg.mm 60820000=M>kg.mm 24.83968781=M sdn

Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm.

8.1.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G

8.1.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1

- iniciaremos procedendo os cálculos de , de acordo com o ítem 5.5.2 - NBR

8800/86:

rp λ e λ ,λ

- para a região da viga entre o apoio e 1/3 do vão com espaçamento a=493 mm:

( ) 87.19=850/49334.5

+4=k 2

250=4.3

850=

th

=λw

233

( )77.105=

43521000087.19

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )12.137=

43521000087.19

40.1=fkE

40,1=λy

r

de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2

pn pl

105.77V 1.28 V 1.28 75429 17281.97 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) kgf 75429=kg/mm 5.43mm 850mm 4.36.0=fA6,0=V 2ywpl

- de acordo com SALMON E JOHNSON (1996), para painéis extremos não é permitido o

cálculo da resistência ao cortante através do uso do campo de tração. O item G-1 do Anexo G

da NBR 8800/86, que calcula a resistência de cálculo à força cortante, incluindo o efeito do

campo de tração não deve ser aplicado para este caso. A resistência nominal de cálculo à força

cortante, obtida de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, que calcula a resistência nominal

em regime elástico, sem incluir o efeito do campo de tração,

, indica que o espaçamento de 493 mm entre os

enrijecedores nos painéis extremos é satisfatório.

kgf 15500=V>kgf 97.17281=V sdn

- para a região da viga entre 1/3 do vão e ½ do vão:

a=920 mm

( ) 77.8=850/920

4+34.5=k 2

250=4.3

850=

th

=λw

( )27.70=

43521000077.8

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )09.91=

43521000077.8

40.1=fkE

40,1=λy

r

de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, para , rλ>λ

2 2

pn pl

70.27V 1.28 V 1.28 75429 7627.95 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠


234

- para a região com espaçamento a=920 mm, a resistência de cálculo à força cortante,

calculada de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, ,

sem incluir o efeito do campo de tração não ultrapassa o esforço cortante solicitante de

cálculo. Neste caso, pode-se considerar o efeito do campo de tração, que incrementa

significativamente a resistência de cálculo à força cortante.

kg 15500=V<kgf 95.7627=V sdn

- de acordo com o item G-1 - NBR 8800/86, a resistência de cálculo à força cortante,

incluindo o efeito do campo de tração, é:

para r λ>λ

2 2p p'

n pl V 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

2 2'n

70.27 70.27V 1.28 0.59 1 1.28 75429250 250

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

kgf 6.47630=V'n

Onde:

2 2

1 1 0.59a 9201.15 1 1.15 1h 850

η = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- como podemos considerar o espaçamento a=918 mm para a

região central do vão da viga.

kgf 15500>kgf 6.47630=V'n

8.1.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2

Item G-2-1 - NBR 8800/86 - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a ,

independente da relação

( )[ ]2wt/h/260

wt/h .

- De acordo com este item, pode-se verificar que que é o

espaçamento atual da região do centro do vão, portanto, deveremos modificar este

espaçamento. Utilizaremos a proporção limite a/h=1.08 para encontrar o espaçamento a:

( )[ ] 25.1<082.1=250/260 2

( )a / h 1.082 850 919.7= =

Item G-2-2 - NBR 8800/86 - Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências

dadas nas notas a, b, c do item 5.5.2 - NBR 8800/86, devem também ter área mínima da seção


235

( )n plst w

1 V / VA 1 1.15 a / h YDat

2−

= − η

nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tração, conforme

5.5.2 - NBR 8800/86

Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma e do enrijecedor



D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chapa

Para os significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 (NBR 8800/86).

Notas:

a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil, podendo,

entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância entre os

pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre ww t6 e t4 .

b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não podem

ultrapassar os valores dados na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 sujeitas à força

normal. O valor dado na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 é:

yfE

55,0

d) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores


( )450/h .

- com as considerações do item , pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga,

a região entre o apoio e 1/3 do vão, com espaçamento a entre os enrijecedores de 493 mm e a

região entre 1/3 e ½ do vão, com espaçamento a=918 mm:

- para a região com a=493 mm:

- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode

ultrapassar:

08.12=435

21000055.0=

fE

55,0y

- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores


( )450/h .

236

4 44h 850 83521 mm

50 50⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:

( )( ) ( )

st

2

1 17281.97 / 75429A2

1 1.15 0.75 493/ 850 493 3.4 322.87 mm

−=

− =

- se a relação largura/espessura =12.08 e a área=322.87, tem-se

h / b 12.08 h 12.08barea bh 322.87 b12.08b 322.87b 5.17 mm; h=62.45 mm

= ⇒ == = ⇒ =

=

- momento de inércia (deve ser maior que 4 4

4h 850 83521 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

):

( ) 433

mm 7.104931=12

45.6217.5=

12bh

- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 5.17 x 31.22 mm para a região

com espaçamento a=493 mm.

- para a região com a=920 mm:


ultrapassar:

08.12=435

21000055.0=

fE

55,0y



( )450/h .4 4

4h 850 83521 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )( ) ( )

st

2

1 7627.95 / 75429A2

1 1.15 0.59 920 / 850 920 3.4 373.42 mm

−=

− =

- se a relação largura/espessura =12.08 e a área=373.42, tem-se

237

h / b 12.08 h 12.08barea bh 373.42 b12.08b 373.42b 5.56 mm; h=67.16 mm

= ⇒ == = ⇒ =

=


4h 850 83521 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

):

( ) 433

mm 26.140354=12

16.6756.5=

12bh

- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 5.56 x 33.58 mm para a região


8.1.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3

d d'

b n v n

M V0.625 1.375M V

+ ≤φ φ

( ) ( )60800000 155000.625 1.031 1.375

0.9 83968781.24 0.9 47630.6+ = ≤

8.1.3 Verificação segundo a PNBR 8800/03

Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga que foi calculada no

exemplo 1, de acordo com a LRFD, seguindo os critérios de cálculo da norma brasileira. Na

verificação serão utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e

execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003),

que tratam do estudo de vigas esbeltas. Para maior clareza das etapas a serem executadas

neste capítulo será feita uma breve descrição das mesmas. O primeiro passo nesta verificação

será considerar as dimensões obtidas através do cálculo feito utilizando as considerações da

norma americana, conforme o desenho da figura 8.1.4, que contém o detalhamento de uma

viga esbelta que foi projetada de acordo com a especificações da LRFD. Conhecidas as

dimensões da peça, o passo seguinte será a utilização do anexo F da NBR 8800/2003, que

trata da verificação do momento fletor resistente característico de vigas esbeltas, onde serão

utilizadas as considerações contidas nesse anexo para verificar, pela norma brasileira, as

dimensões obtidas pela norma americana, obtendo o momento fletor resistente característico

da peça, e no caso de verificação de que este valor não ultrapassa o valor do momento fletor

solicitante de cálculo, serão feitas modificações nas dimensões de alguns componentes da

238

peça para a mesma se adeque às especificações da PNBR 8800/03. Após a verificação quanto

ao momento fletor, será utilizado o anexo G da PNBR 8800/03, onde serão feitas as

verificações quanto ao esforço cortante resistente característico, onde serão também feitas

modificações nas dimensões da peça no caso de verificação de que o valor do esforço cortante

resistente característico não ultrapassa o esforço cortante solicitante de cálculo.

8.1.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F (normativo)


- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga dimensionada no exemplo

1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,08, que é menor que 1,5 fixado na

norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta


( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax


250=4,3/850=t/h=λ w

portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o


Tendo a relação altura/espessura da viga dimensionada o valor de 250, basta utilizar-se a

fórmula acima para verificar se este valor é ultrapassado pelo valor da fórmula, para

confirmação de que se trata de viga esbelta, objeto de estudo dos Anexos F e G da NBR 8800.

Substituindo os valores de E e na fórmula anterior pode-se obter: yf

wh / t 5.70 210000 / 435 125.24λ = ≤ =

onde se pode certificar de se tratar de viga esbelta.


- Para o cálculo de é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação

ao eixo de flexão, , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa

tracionada. O módulo de resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:

RkM

xtW

xtW

239

f

xxt t+2/h

I=W

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre

as faces externas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado

a seguir:

xI

( ) ( )( ) ( ) 42

33

x mm 1357415417 =430103202+1210320

2+128504.3

=I


3

f

xxt mm 2.3120495=

4351357415417

=t+2/h

I=W

- cálculo de : rp λ e λ ,λ

a) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT):

- Calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr

Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa


AI

=r yT



seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal


( ) ( ) 433

y mm 7.27307130=12

4.367.141+

1232010

=I

( ) ( ) 2mm 7.3681=67.1414.3+32010=A


mm 12.86=7.3681

7.27307130=rT

1=Cb

44.46=12.86

4000=

rL

=λT

b

240

45.38=435

21000076.1=

fE

76,1=λy

p

55.97=435

21000044.4=

fEC

44,4=λy

br

9.2072616=210000π=ECπ=C 2b

2pg


( ) 16=102

320=

t2b

=λf

f

34.8=435

21000038.0=

fE

38,0=λy

p

11.19=435

21000087.0=

fE

87,0=λy

r

( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg


- cálculo de : crσ


rp λ <λ<λ

cr46.44 38.45435 1 0.5 405.6 MPa97.55 38.45

⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦


rp λ <λ<λ

cr16 8.34435 1 0.5 280.3 MPa

19.11 8.34⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- cálculo de : pgk


crσ

3. MPa.280=σ cr

( ) ( )( )( ) ( )( )pg

3.4 850 / 10 320 210000k 1 250 5.7 0.94280.31200 300 3.4 850 / 10 320

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

- cálculo do momento fletor resistente característico : RkM


241

( )3 2Rk xt yM W f 3120495.2 mm 43.5 kg/mm

135741541.2 kgmm

= =

=

= 1357.4 kNm

b) para flambagem

( )( )n xc pg cr

3 2

M W k

3120495.2 mm 0.94 28.03 kg/mm

82219431.63 kgmm

= σ

=

=

= 822.2 kNm

- A norma diz que a resistência de cálculo ao momento fletor é igual a , onde

, e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da

mesa tracionada e de flambagem. Como estamos interessados em calcular a resistência efetiva

da peça, não levaremos em conta os fatores de segurança, dessa forma, consideraremos o

valor de sem considerar :

nbMφ

90,0=φ b

M

nM

n bφ

kNm2.608=M>kNm 2.822=M sdn

Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm.

8.1.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração-

anexo G (normativo)


- Com base nas considerações do item 5.4.3.2.2 da PNBR 8800/03, será calculado o valor de

, para a viga em questão: plV

Primeiramente, deve ser calculado o valor de wA :

( ) 2ww mm 2890=4,3850=dt=A

Então, o valor de pode ser calculado: plV

( ) kgf 75429=kgf/mm 5.43mm 28906.0=fA6.0=V 22ywpl = 754.29 kN

- como se pode observar na viga que foi dimensionada com base nas normas da LRFD, no

exemplo 1, existem dois espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Na região entre o apoio

e 1/3 do vão, os espaçamentos, a, entre os enrijecedores têm valor igual a 493 mm, e na região

entre 1/3 e ½ do vão, o espaçamento a entre os enrijecedores tem o valor de 920 mm. A partir

242

de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes espaçamentos, que estão situados

nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se

verificar a força cortante resistente característica nestes dois painéis. O valor de será

calculado para cada configuração da viga:

η

- para a região entre o apoio e 1/3 do vão (espaçamento a=493 mm):

2

1 0.754931.15 1850

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

- para a região entre 1/3 e ½ do vão (espaçamento a=920 mm):

2

1 0.599201.15 1850

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos no item 5.4.3.2.1 da NBR 8800. rp λ e λ ,λ

- Utilizando as equações do item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, será necessária a obtenção dos

parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :

- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas regiões

distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força cortante

resistente característica nestas duas configurações:

vk

para a=493 mm (região entre os apoios e 1/3 do vão):

a/h=493/850=0.58

( ) 86.19=58.05

+5=h/a

5+5=k 22v

para a=920 mm (região entre 1/3 e ½ do vão):

a/h=920/850=1.082

( ) 27.9=082.15

+5=k 2v

Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para

cada configuração:

vk rp λ e λ ,λ

Na região entre os apoios e 1/3 do vão:

250=th

=λw

243

( )7.107=

43521000086.19

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )1.134=

43521000086.19

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr

com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da

força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03, ,

usa-se a seguinte equação:

rλ>λ

RkV

2 2p

Rk pl107.7V 1.28 V 1.28 75429 17918.4 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 179.18 kN

Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis extremos, sem a utilização

da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante solicitante,

= 155 kN, quer dizer que o espaçamento a=493 mm para os painéis extremos

pode ser considerado.

kgf 15500=Vsd

Na região entre 1/3 e ½ do vão:

250=th

=λw

( )59.73=

43521000027.9

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )65.91=

43521000027.9

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr

como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte

equação:

rλ>λ

2 2p

Rk pl73.59V 1.28 V 1.28 75429 8365.77 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 83.66 kN

Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis com espaçamento a=920

mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é menor que o cortante

solicitante e indica que deve ser usado o efeito do campo de tração para estes painéis.

- como rw

λ>th

=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte,

observando-se que este valor será calculado para as duas configurações da viga:

vC

244

( ) y2

w

vv ft/h

Ek51,1=C

- para a região próxima aos apoios:

Painéis extremos não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.

- para a região do meio do vão:

( )( ) 108.0=

43525021000027.951,1

=C 2v

- com os valores de calculados, podem ser obtidos os valores da força cortante

resistente característica para cada uma das configurações da viga que formam o sistema de

resistência ao cortante, que é dependente do espaçamento dos enrijecedores:

plv V e η ,C

- para as regiões próximas aos apoios:


- para a região do meio do vão : pλ>λ

( )Rkt v v plV C 1 C= +η − V⎡ ⎤⎣ ⎦

( )RktV 0.108 0.59 1 0.108 75429 47843.1 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦ = 478.4 kN

Este valor obtido representa a resistência nominal da viga para a região com

espaçamento a=920 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração. Este

valor ultrapassa a força cortante solicitante de cálculo, = 155 kN, o que

indica que o dimensionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante

solicitante.

kgf 15500=Vsd


- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PNBR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a

relação largura/espessura, sendo necessária também a obtenção de

08.12=435/21000055,0=f/E55,0 y . Para os dois painéis distintos, o da região próxima

aos apoios e o da região do meio do vão, será a seguir calculada a relação largura/espessura:

- com base nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aquelas calculadas

pela LRFD, ou seja,

para a região próxima aos apoios:

enrijecedores: 2 chapas de 3 x 36.3 mm

245

a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será

, ou seja, este valor ultrapassa o valor fixado pela norma, o

que pode indicar um remanejamento nas dimensões dos enrijecedores. Tentando

primeiramente fazer o cálculo de

( )( ) 08.12>33.25=3/4.3+23.36

stA :

( ) 2Sdst r s w v w

Rd

VA 0.15D ht 1 C 18tV

⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

fazendo o levantamento dos valores contidos na fórmula, tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( )2st

2

15500A 0.15 850 3.4 1 0.23 18 3.418255.7 /1.10

103.67 mm

= − −

=

c) o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores


, onde ; jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ≥

4

>

- para este item serão feitos os cálculos para os dois painéis:

- para a região próxima aos apoios:

( )3 3st wI jat 5.43 493 3.4 105216.4 mm≥ = =

( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 2.5 / 493/ 850 2 5.43 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )33

st

3.0 WtWI 105216.4 W 74.94 mm12 12

= = = ⇒ =

este valor de W encontrado pode ser comparado ao que foi obtido pela LRFD, e pode-se

chegar à conclusão de que este valor é quase o mesmo que não satisfez a exigência de que a

relação largura/espessura não deveria ultrapassar o valor de 12.08, pois neste caso esta relação

terá o valor de 74.94/3=24.98 que ultrapassa o fixado. Então deve-se agora modificar a

espessura do enrijecedor. Tentando aumentar a espessura do enrijecedor de 3 mm para 5.2

mm e substituindo na fórmula do momento de inércia do enrijecedor escrita acima, tem-se:

( )33

st

5.2 WtWI 105216.4 W 62.38 mm12 12

= = = ⇒ =

o valor acima pode ser considerado para a seção transversal do enrijecedor, pois a relação

largura/espessura neste caso será 62.38/5.2=11.99<12.08, que é um valor menor que o fixado

na norma, o que indica que satisfaz as exigências da norma. Deve-se agora calcular a área da

seção transversal dos enrijecedores:

246

( )( ) 22st mm 67.103>mm 48.324=2.54.3+5.292=A

Usar enrijecedores transversais em pares com dimensões de 29.5 x 5.2 mm cada.

- O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis com

aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.

- O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal simples,

sendo que deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme

5.4.3.2.4.

Interação entre força cortante e momento fletor – item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03

- será feito aqui, com base no item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03, a verificação da interação entre

força cortante e momento fletor:

Sd Sd

Rk Rkt

M V0.625 1.375M / V /

+ ≤γ γ

60800 155000.625 1.036 1.37582219 /1.10 47843/1.10

+ = ≤ , OK


Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga que foi calculada no

exemplo 1, de acordo com a LRFD, seguindo os critérios de cálculo da norma brasileira. Na

verificação serão utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800 –

Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT,

2007), que tratam do estudo de vigas esbeltas.

8.1.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)


- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga dimensionada no exemplo

1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,08, que é menor que 1,5 fixado na



( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax

247


250=4,3/850=t/h=λ w



Tendo a relação altura/espessura da viga dimensionada o valor de 250, basta utilizar-se a

fórmula acima para verificar se este valor é ultrapassado pelo valor da fórmula, para

confirmação de que se trata de viga esbelta. Substituindo os valores de E e na fórmula

anterior pode-se obter:

yf

wh / t 5.70 210000 / 435 125.24λ = ≤ =

onde se pode certificar de se tratar de viga esbelta.

8.1.4.1.2 Momento fletor resistente de cálculo – item H.2

- Para o cálculo de é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação

ao eixo de flexão, , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa

tracionada. O módulo de resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:

RkM

xtW

xtW

f

xxt t+2/h

I=W

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre


a seguir:

xI

( ) ( )( ) ( ) 42

33

x mm 1357415417 =430103202+1210320

2+128504.3

=I


3

f

xxt mm 2.3120495=

4351357415417

=t+2/h

I=W


a) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT):




248

AI

=r yT





( ) ( ) 433

y mm 7.27307130=12

4.367.141+

1232010

=I

( ) ( ) 2mm 7.3681=67.1414.3+32010=A


mm 12.86=7.3681

7.27307130=rT

1=Cb

44.46=12.86

4000=

rL

=λT

b

45.38=435

21000076.1=

fE

76,1=λy

p

55.97=435

21000044.4=

fEC

44,4=λy

br

9.2072616=210000π=ECπ=C 2b

2pg


( ) 16=102

320=

t2b

=λf

f

34.8=435

21000038.0=

fE

38,0=λy

p

11.19=435

21000087.0=

fE

87,0=λy

r

( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg


- cálculo de crM :


249

rp λ <λ<λ

kgmm 3.1265672852.312049545.3855.9745.3844.465.015.43M cr =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=


rp λ <λ<λ

kgmm 5.874674802.312049534.811.19

34.8165.015.43M cr =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=

- cálculo de pgk :


.

crM

87467480 kgmm 5.M cr =

( ) ( )( )( ) ( )( )pg

3.4 850 / 10 320 210000k 1 250 5.7 0.94280.31200 300 3.4 850 / 10 320

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

- cálculo do momento fletor resistente característico : RkM

c) para escoamento da mesa tracionada

( )3 2Rk xt yM W f 3120495.2 mm 43.5 kg/mm

135741541.2 kgmm

= =

== 1357.4 kNm

d) para flambagem

( ) kgmm 63.822194315.8746748094.0MkM crpgRd ===

kNm 2.608MkNm 2.822M sdRd =>=

Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm, de acordo com o anexo H – PNBR 8800/07.





( ) 2ww mm 2890=4,3850=dt=A


( ) kgf 75429=kgf/mm 5.43mm 28906.0=fA6.0=V 22ywpl = 754.29 kN

250

- como se pode observar na viga que foi dimensionada com base nas normas da LRFD, no

exemplo 1, existem dois espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Na região entre o apoio

e 1/3 do vão, os espaçamentos, a, entre os enrijecedores têm valor igual a 493 mm, e na região

entre 1/3 e ½ do vão, o espaçamento a entre os enrijecedores tem o valor de 920 mm. A partir

de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes espaçamentos, que estão situados

nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se

verificar a força cortante resistente característica nestes dois painéis.


parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :

- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas regiões

distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força cortante


vk

para a=493 mm (região entre os apoios e 1/3 do vão):

a/h=493/850=0.58

( ) 86.19=58.05

+5=h/a

5+5=k 22v

para a=920 mm (região entre 1/3 e ½ do vão):

a/h=920/850=1.082

( ) 27.9=082.15

+5=k 2v

Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para


vk rp λ e λ ,λ

Na região entre os apoios e 1/3 do vão:

250=th

=λw

( )7.107=

43521000086.19

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )1.134=

43521000086.19

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr




rλ>λ

RkV

251

2 2p

Rk pl107.7V 1.28 V 1.28 75429 17918.4 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 179.18 kN

Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis extremos, sem a utilização

da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante solicitante,

= 155 kN, quer dizer que o espaçamento a=493 mm para os painéis extremos


kgf 15500=Vsd

Na região entre 1/3 e ½ do vão:

250=th

=λw

( )59.73=

43521000027.9

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )65.91=

43521000027.9

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr


equação:

rλ>λ

2 2p

Rk pl73.59V 1.28 V 1.28 75429 8365.77 kgf250

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 83.66 kN

Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis com espaçamento a=920

mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é menor que o cortante

solicitante e indica que, de acordo com a PNBR 8800/07, este espaçamento não deve ser

considerado.

Aceitar chapa da alma de 3.4x850 mm. Considerar o espaçamento entre enrijecedores a=493

mm, para toda a extensão da viga, de acordo com a PNBR 8800/07.

8.1.5 Verificação segundo o Eurocode 3

Nesta parte será feita a verificação pela norma européia, o Eurocode 3: Design of

steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings. O procedimento é similar às

outras etapas de verificação, utilizando as dimensões obtidas com o cálculo realizado no

exemplo 1, com base na norma americana, para se fazer a verificação quanto às considerações

da norma européia.

252

8.1.5.1 Momento fletor - item 5.4.5

74.0=435/235=f/235=ε y

- para as mesas:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 16.1=43.074.04.28/10/160=kε4.28/t/b=λ σp

( ) ( )2 2p p0.22 / 1.16 0.22 /1.16 0.70ρ = λ − λ = − =

de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução ρ é menor que 1 para

673.0>λ p e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para p 0.673λ ≤ .

Tabela 5.3.3 - Eurocode 3: 1=ψ

( ) mm 112=16070.0=cρ=beff

- para a alma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 43.2=9.2374.04.28/4.3/850=kε4.28/t/b=λ σp

( ) ( )2 2p p0.22 / 2.43 0.22 / 2.43 0.37ρ = λ − λ = − =

tabela 5.3.2 (Eurocode 3): 1Ψ = −

( )

mm 4.94=b6.0=bmm 9.62=b4.0=b

mm 25.157=2/85037.0=bρ=b

effe2

eff1e

ceff

- A seção efetiva e suas medidas estão representados na figura 8.1.5, com as reduções

calculadas acima de acordo com o Eurocode 3:

1062.9

267.7

94.4

425

10 10

850

10

3.4

224

320

320

eixo centroidal

eixo centroidalda seção efetiva

zona não-efetiva

83.6

Figura 8.1.5 – Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).

253

- cálculo do centro de gravidade da seção efetiva:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )ef

ef

224 10 865 62.9 3.4 860 62.9 / 2

425 94.4 3.4 425 94.4 / 2 10

320 10 5y

2240 3.4 425 94.4 62.9 3200y 349 mm

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦=

+ + + +

=

xcxt W e W são obtidos pelas seguintes fórmulas:

c

xxc

t

xxt y

I=W ;

yI

=W

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e são as

distâncias entre as faces externas das mesas tracionada e comprimida ao centro de gravidade

da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 83.6 mm abaixo da metade da

altura da alma.

xI ct y e y

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

32

x

32

32

32

32

224 10I 224 10 430 83.6

123.4 62.9

3.4 62.9 62.9 / 2 267.7 94.4 83.612

3.4 94.4 83.63.4 94.4 83.6 94.4 83.6 / 2

123.4 425 83.6

3.4 425 83.6 425 83.6 / 212

320 10320 10 430 83.6

12

= + +

+ + + + +

++ + + +

−+ + − −

+ + −

4x mm 1075150363=I


3

t

xxt mm7.3059619

6.834351075150363

yI

W =−

==

- cálculo de xcW :

3

c

xxc mm 5.2073178=

6.83+4351075150363

=yI

=W

- cálculo do momento fletor resistente de projeto:

- item 5.4.5.2 - Eurocode 3 – flexão em torno de um eixo:

254

Seções transversais classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M

o com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre

xtxc W e W , observando que

- de acord

o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a

resistência efetiva da peça:

1Mγ

3eff mm 5.2073178=W

( )3 22073178.5 mm 43.5 kg/mm 90183264.14 kgmmc,RdM∴ = =

.1.5.2 Cisalhamento - item 5.4.6

- item 5.4.6(1) – a resistência plástica de cisalhamento de projeto é fornecida por:

8

( ) 0MyvRd,pl γ/3/fA=V

onde vA é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é

subitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com ralela à alma: .

obtida como se segue:

( )wdt∑ carga pa

( ) 2v mm 2890=4.3850=A

( ) ( ) kg 6.72581=3/5.432890=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl

item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão

omentos

resistentes fornecidos no item 5.4.5.2 - Eurocode 3.

.1.5.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2

- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3:

-

(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante SdV não exceda 50% da resistência

plástica ao cisalhamento de projeto Rd,plV nenhuma redução precisa ser feita nos m

kg 15500=V>kg 6.72581=V SdRd,pl

8

crM

0.522w tz

cr 2M 2z z

I L GIEIL I EI

⎡ ⎤π+= ⎢ ⎥π⎣ ⎦

- cálculo da constante de torsão tI :

255

( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w

3ft mm 47.224469=4.3850+103202

31

=ht+bt231

=I

- cálculo da constante torsional wI :

( )( ) 62323

fw mm0009864533333=

2485032010

=24

hbt=I

- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo : zI

( ) ( ) 4333

w3

fz mm36.54616117=

124.3850

+1232010

2=12ht

+12bt

2=I

- cálculo do momento elástico crítico para flambagem lateral com torção da viga , de

acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – anexo F – Eurocode 3:

crM

( )

( )( )

0.522w tz

cr 2 2z z

2

2

0.5

2

2

I L GIEIML I EI

205000 54616117.364000

2050004000 224469.472 1 0.39864533333000

54616117.36 205000 54616117.36

⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦

π=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Nmm 2955912586=M cr

- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral com torção: 0.52

LT pl,y crEW / M⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦

[ ][ ]0.5LT LT 1 w/λ = λ λ β

( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦

LT 0.522LTLT LT

1χ =

⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦

b,Rd LT w pl,y y M1M W f= χ β γ/

5458.0=λ LT

- momento resistente de cálculo para flambagem lateral com torção:

b,RdM 736779236.4 Nmm=

256


8.1.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3

(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por: Rd,baV

1MbawRd,ba γ/τdt=V

(2) A resistência ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se

segue:

baτ

- para espaçamento a=493 mm:

τ

ww

kε4.37t/d

=λ

74.0=435/235=f/235=ε y

( ) ( ) 87.19=850/493/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ

( ) 03.2=87.1974.04.37

4.3/850=

kε4.37t/d

=λτ

ww

- quando w 1.2λ ≥ :

[ ]( ) [ ]( ) MPa 35.111=3/43503.2/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba

- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com

o subitem (1):

( ) kg 6.32194=14.114.3850=γ/τdt=V 1MbawRd,ba


τ

ww

kε4.37t/d

=λ

74.0=435/235=f/235=ε y

( ) ( ) 75.8=850/920/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ

( ) 05.3=75.874.04.37

4.3/850=

kε4.37t/d

=λτ

ww


[ ]( ) [ ]( ) MPa 11.74=3/43505.3/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba

257


o subitem (1):


8.1.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.4

(1) No método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento



- cálculo de conforme 5.6.4.1(2): bbτ

- para os painéis com espaçamento a=493 mm:

painéis finais não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração, será calculado

para este painel somente a resistência de flambagem de acordo com o item 5.6.4 – Eurocode

3.

( ) 03.2=87.1974.04.37

4.3/850=

kε4.37t/d

=λτ

ww

[ ]( ) [ ]( ) MPa 94.603/43503.2/13/fλ/1τ 2yw

2wbb ===

( ) kN 1.17694.604.3850τdtV bbwRd,bb ===


( ) 05.3=75.874.04.37

4.3/850=

kε4.37t/d

=λτ

ww

[ ]( ) [ ]( ) MPa 27=3/43505.3/1=3/fλ/1=τ 2yw

2wbb

- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2:

( ) ( ) o43=rad 75.0=920/850arctan=a/darctan=Θ o.6582=rad 5.0=5.1/75.0=5.1/Θ=φ

- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Sd,fN

kg 7.70697=860

60800000=

t+dM

=Nf

sdSd,f

- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Nf ,RkM

258


( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 320 10 43.5 1 70697.7 / 320 10 43.5

258234.1 kgmm

⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=

- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) (Eurocode 3): bbσ

( ) ( )( ) MPa 08.34=rad 5.02sin275.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb

( )

0.52 2 2bb yw bb

0.522 2

bb

f 3

435 3 27 34.08 34.08

399.74 MPa

⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =

- cálculo dos comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas

comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3):

( ) ( )

0.52 258234.1s 181.84 mm

sin 0.5 3.4 39.97⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:

( )( ) ( ) ( )

c tg d cos a s s sin

850cos 0.5 920 181.84 181.84 sin 0.5g 479.23 mm

= φ− − − φ

= − − −

=

- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bbV

181.84920

181.84

479.23

28.65

28.65

850

Figura 8.1.6 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).

259

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

kN04.359V5.0sin7.3994.32.4799.0274.3850

φsinσgt9.0τdtV

Rd,bb

bbwbbwRd,bb

=

+=

+=

8.1.5.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7


- cálculode , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3): Rd,fM

yfxRd,f FZ=M

- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das mesas: xZ

( ) ( ) 3x mm 2752000=243032010=Z

( ) kg.mm 119712000=5.432752000=M Rd,f

- de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3), a seção transversal pode ser assumida

satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante na resistência de projeto ao momento, se

ambos os seguintes critérios são satisfeitos:


- para o caso em análise, kg 6.20345=V Rd,ba

- de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte

critério deve ser satisfeito:

SdV Rd,baV

( ) ( )2

Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦

- cálculo de : Rd,plM

kgmm 5.146426437=M Rd,pl

( )

( )( )Sd

2

Sd

M 119712000 146426437.5 119712000

1 2 15500 / 20345.6 1

M 139100503.1 kgmm

≤ + −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

≤

Como é menor que o valor acima, o critério de interação entre força

cortante, momento fletor e força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.

kgmm 60820000=Msd

260

.1.5.5.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3

o campo de tração, assumindo , conforme

5.6.4.1(3) – Eurocode 3:

- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por:

8

- cálculo da largura g d 2/Θ=φ e 0=s=s c

( )( ) ( ) ( )


850cos 0.375 920 sin 0.375

= φ− − − φ

= − g 453.96 mm=

Rd,bwV

( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]

kgf 56.28139=V375.0sin97.394.396.4539.0+7.24.3850=

γ/φsinσgt9.0+τdt=V

Rd,bw

1MbbwbbwRd,bw

( ) ( )( )

( )( )

2

Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,Rd

Sd

2

Sd

M M M M 1 2V / V 1

M 119712000 146426437.5 119712000

1 2 15500 / 28139.56 1

M 146150394.3 kgmm

⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦

≤ + −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

≤

cortante e momento fletor adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram

tisfeitos.

Como kgmm 60820000=Msd é menor que o valor acima, os requerimentos de interação

entre força

sa

261

8.2 Exemplo 2

Neste exemplo será feita a verificação normativa da peça dimensionada por

PFEIL (1989), que propôs as dimensões de uma viga de placa e efetuou as verificações com

base na NB 14/86. Em algumas etapas de sua análise, PFEIL (1989) fez algumas

considerações de cálculo de acordo com a norma AASHTO. As dimensões propostas e os

cálculos efetuados por PFEIL (1989) serão apresentados no subitem seguinte. Nos subitens

posteriores, serão utilizadas teorias consideradas e as normas americana, brasileira e européia

para a verificação normativa das dimensões propostas por PFEIL (1989).

8.2.1 Cálculos efetuados por PFEIL (1989)

PFEIL (1989), na 5ª edição de seu livro, propôs o seguinte problema de

dimensionamento:

Uma viga I soldada, em aço MR250 ( )MPa 250=f y , representada nas figuras

8.2.1 e 8.2.2, tem as seguintes condicionantes: vão 20 m; altura da alma 2 m; largura dos

flanges 0.60 m; contenção lateral dos flanges nos apoios e no meio do vão; carga distribuída

de ação variável 120 kN/m, mais o peso próprio da viga. PFEIL (1989) propõe:

- Verificar se o dimensionamento é satisfatório.

- Pesquisar a influência da eliminação da contenção lateral no meio do vão.

L = 20 m

w

Figura 8.2.1 (PFEIL, 1989) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado.

Ação Permanente ( ) kN/m 6=Próprio Pesow g

Ação Variável kN/m 120=w q

a) Características geométricas da seção.

262

2 2g g 0 g

c t

y 11.133 cm I I Ay -Ay 5505363 cm

y 93.3 cm y 114.3 cm h=207.6 cm

= = + =

= =

4∑

3

t

gt

3

c

gc cm 48166=

yI

= W cm 59007=yI

=W

1989)) (PFEIL, 3 (classe 160<5.157=27.1

200=

th

0

0

( ) 1989)) (PFEIL, 2 (classe 11<76.6=44.42

60=

2tb

fc

fc

De acordo com PFEIL (1989), o módulo plástico da seção (Z) é a soma dos

1400

12x1400

800 800 1400

20000 mm

1000

yy

gG10

00

CH 600x44.45 mm12

t =1

52.4

0

b'

b

0t

CH 2000x12.7 mm

CH 600x31.75 mm

CH 200x25.4 mm

Figura 8.2.2 (PFEIL, 1989) – Dimensões da viga propostas para o problema de dimensionamento e verificação.

momentos estáticos das áreas das chapas, em relação ao eixo passando no ponto G’ que divide

a área da seção em duas partes iguais. Chamando “a” a distância da face inferior do flange

comprimido ao ponto G’, tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) 3

60 4.44 1.27 a A / 2 710.6 / 2 a 70 cm

Z=60 4.44 72.22 1.27 70 35 1.27 130 65

60 3.17 131.58 58108.9 cm

+ = = ∴ =

+ +

+ =

tc W19.1=W96.0=Z

263

b) Esforço solicitante de cálculo.

Peso próprio da viga

( )( )2g 710.6 0.785 kgf/ cm , m 557.8 kgf/m 6 kN/m= = ≈

Carregamento de cálculo

( ) ( ) kN/m 8.175=1204.1+63.1=q4.1+g3.1

Esforços solicitantes máximos de cálculo

( )( ) kN 1758=2/208.175=V

kNm 8790=8/208.175=M

máx d

2máx d

c) Momento resistente de projeto, com contenção lateral, considerando efeito de

flambagem local da alma.

( )( ) kNm 12042=kNcm 1204200=2548168=fW=M

kNm 14527=kNcm 1452733=259.58108=Zf=M

ytr

yp

( )n157.5 100M 14257 14257 12042 12146 kNm160 100

−= − − =

−

nM é aproximadamente igual a , uma vez que rM 0 0h / t rλ = ≈ λ .

( ) kNm 10931=121469.0=M9.0=M nres d

d) Momento resistente de projeto, com flambagem lateral, havendo contenção

lateral nos apoios e no meio do vão.

( )( ) 560>779=

44.4606.2071000

=tbhl

fcfc

b

( ) ( )( )

( )

2

d res 2

3 250 2000M 0.9 59007 25 14 20500 0.9 60

1327500 1 0.13 1154925 kNcm=11549 kNm

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= − =

e) Comparação entre o momento resistente e o momento solicitante.

O momento resistente de projeto é o menor dos dois valores calculados nas alíneas

c e d; ele é determinado pela flambagem local da alma

( ).iosatisfatór kN.m 8790=M>kN.m 10391=M dres d

f) Efeito da eliminação da contenção lateral no meio do vão sobre o momento

resistente com flambagem lateral.

( )( ) 1558=

44.4606.2072000

=tbhl

fcfc

b

264

1(1327500=M dres - kNm 6505=kNcm 650475=)51.0

Segundo PFEIL (1989), o momento resistente de cálculo é reduzido para 6505

kN.m quando se elimina a contenção lateral no meio do vão. Nesse caso, ter-se-ia

(deficiente). dres d M<M

g) Esforço cortante resistente de cálculo.

O esforço cortante resistente de cálculo será verificado para duas situações:

- espaçamento de enrijecedores intermediários a=80 cm junto ao apoio;

- espaçamento a=140 cm a 160 cm do apoio.

Será utilizada a fórmula 3.3.22, que determina o esforço cortante resistente,

considerando flambagem da alma, porém sem levar em conta a resistência post-flambagem.

Para espaçamento a=80 cm junto ao apoio, tem-se:

2

v205000 1.27 200C 3.34 1 0.3 1.335 1

250 200 80⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= > (fórmula

3.3.28c)

De acordo com PFEIL (1989), como , não há redução de resistência por

flambagem da alma. Aplica-se a fórmula 3.3.21:

1>Cv

( ) ( ) ( )

res dd

ywvres d

V<kN 1758=V

kN 3430=256.027.12009.0=f6.0Aφ=V

Para espaçamento a=140 cm a 160 cm do apoio, tem-se:

2

v205000 1.27 200C 3.34 1 0.3 0.76

250 200 140⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Com o espaçamento a=140 cm existe redução do esforço cortante resistente por

efeito de flambagem da alma. Obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) kN 2600=76.0256.027.120090.0=Cf6.0Aφ=V vywvres d

PFEIL (1989) observa que a resistência ao esforço cortante da viga está folgada.

h) Condição de dispensa de enrijecedores intermediários.

160<

70>5.157=

27.1200

=th

0

0

Com essas características geométricas, os enrijecedores intermediários poderão

ser dispensados se o esforço cortante solicitante for menor que o resistente dado pela fórmula

3.3.22.

265

( ) 8.0<252.0=27.1/200250

1560000=C 2v

(fórmula

3.4.24a)

v205000 1.27C 3.34 0.3 0.31

250 200≈ − =

(fórmula

3.4.28c)

( ) ( ) ( )( ) res dd

res d

V>kN 1301=10/4.71758=V kN 864=252.0256.027.12009.0=V

(fórmula

3.4.22)

Verifica-se que os enrijecedores transversais intermediários não podem ser

dispensados.

i) Dimensionamento dos enrijecedores transversais intermediários.

Neste exemplo, os enrijecedores intermediários são colocados apenas em um lado

da alma. Segundo PFEIL (1989), para escolha da largura b’ da chapa do enrijecedor, podem

ser utilizadas duas regras práticas da norma AASHTO:

cm15=60/4=b/4>b'cm 12=30/200+08.5=30/h+"2>'b 0

Adotamos ( )b 15 cm, t=3/8 b /16′ ′′= ≈ ′ e verificamos a condição de rigidez das

normas AISC e NB 14:

( ) ( )

430

3 4

htb3 50

0.95 15 2001069 256 satisfaz3 50

′ ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= > =⎜ ⎟⎝ ⎠

A condição de rigidez da norma AASHTO é dada pela fórmula

( )( )

( )

3

r 3 30 0

2 20

rcr

0.95 15 / 3Ik 28.40.092h t 0.092 200 1.27

h 200k 5 20 5 20 31a 140

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5= − = − = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Verifica-se que a condição de rigidez da norma AASHTO não é satisfeita. Assim,

para a viga ser usada em uma ponte rodoviária, será necessário aumentar a rigidez do

enrijecedor intermediário. Adotando-se , obtém-se: 1/2"= tcm, 20='b

31>90=kcm 3387=I

r

4

j) Espaçamento dos enrijecedores intermediários.

O espaçamento máximo entre enrijecedores intermediários deve obedecer a

relação:

266

2

0 0 0

2

0

a 260 3h h t

a 260 2.72h 200 /1.27

⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Foi adotado no projeto 70.0=200140

=ha

0.

k) Dimensionamento do enrijecedor de apoio.

O enrijecedor de apoio é constituído por uma chapa de cada lado da alma.

Admitindo-se uma largura de cada chapa b’=20 cm, a espessura da mesma deverá ser:

cm 1.67=/12b'> tAASHTOcm 1.27=/16b'> tAISC

Neste exemplo adotaremos duas placas com largura b’=20 cm, espessura t=1”.

Nos enrijecedores de extremidade, considera-se uma largura de alma igual a

como parte do enrijecedor. ( ) cm 25.15=27.112=t12 0

( ) ( ) 433

cm 13549=12

27.124.15+

124054.2

=I

( ) ( ) 2cm 0.121=27.124.15+54.240=A

cm 6.10=0.121

13549=

AI

=i

( ) 15.14=6.10/20075.0=i/l

16.0=205000

250π15.14

=λ

( ) MPa 250=2500.1=fcr

( ) kN 1758=V > kN 2939=256.13090.0=N máx dres d

De acordo com PFEIL (1989), vê-se que o enrijecedor de apoio atende com folga.


JUHÁS (2001)

Neste item, as dimensões propostas por PFEIL (1989), serão utilizadas para a

verificação de sua capacidade de carga ao momento-cortante, conforme a teoria proposta por

JUHÁS (2001). Uma redução na espessura da alma, de 12.7 mm para 12.47 mm será

considerada, para se fazer a verificação em conformidade com as normas. De acordo com a

267

figura 3.3.1.1, podem ser calculados os parâmetros, observando o detalhamento da figura

8.2.2:

1=f/f=m ywyf

para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=800 mm e a=1400 mm,

respectivamente entre o apoio e 1/3 do vão e entre 1/3 e ½ do vão.

d/a=α

7.0=/20001400=a/d=α mm, 1400=a para4.0=/2000008=a/d=α mm, 008=a para

- cálculo de β :

38.16047.12/2000t/dβ w ===

- cálculo de : γ

wf A/A=γ

( ) 2f mm 26670=60045.44=A

( ) 2494047.122000A w == 2mm

07.124940/26670A/Aγ wf ===

- cálculo de δ :

( ) 04.1=2000/75.31+45.44+2000=d/h=δ

- cálculo de : 0δ

( ) ( ) 02.1=2/04.1+1=2/δ+1=δ0

- cálculo do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a equação

3.3.1.2:

w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M

cálculo de (módulo plástico das mesas): f,plW

( ) ( ) 3f,pl mm 4.44327597=1315.831.75600+722.245.44600=W

cálculo de (módulo plástico da alma): w,plW

( ) ( ) 0.13592300650130047.1235070047.12W w,pl =+= 3mm


( )( 0.135923004.44327597250WfWfM w,plywf,plyfpl

+= )+=

kNm0.14480M pl =

Pode-se, em seguida, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de bM :

268

- cálculo de : 0ξ

( )( )( ) 512.06

02.107.16120008963163

6.1792ξ2

0 =+

=

( ) 34.1512.031ξ 2 =+=

( ) ( ) ( )( )( )kNm 7.16880M

34.13/02.134.1/102.107.1413592300250M

b

32b

=−+=

- cálculo da força cortante última : Mu,V

Da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:

( ) kN78.35993/47.1220002503/AfV wywpl ===


361.0512.034.11arcsin

334.1ξ

2

1 =−=


( )( ) (( )

)

( ) ( )( ) ( ) 034.1

512.03361.034.102.107.1925.2

334.1512.0512.06361.002.107.195.1

78.3599V

78.3599V

2

2

222M,u

2M,u

=−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pode-se encontrar Mu,V :

kN46.1958V M,u =


( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 034.1

512.03361.0361.002.107.15.4512.025.234.1

512.09361.002.107.1975.378.3599

V334.1512.0

512.09361.002.107.195.178.3599

V

78.3599V

3

322

222M,u

2222M,u

3M,u

=−−

+

−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


269

kN 9.2124V M,u =

De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para calcular a

força cortante última . O menor valor é válido. é a força cortante última que

depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor último

depende da força cortante V agindo na seção transversal. O momento fletor último pode

ser calculado pela equação 3.3.1.11:

Mu,V Mu,V

Vu,M

Vu,M

( )( )( ) 02.107.141

02.107.161512.033

278.359946.1958

14480M 2

V,u

++

=

kNm 8476M V,u =


( ) ( )2u,M pl lim

V / V 0.25 0.48 1.26= − +



( ) kN 82.302378.359984.0V M,u ==

JUHÁS(2001) observa que é evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força cortante

, então a força cortante influencia o momento fletor último

desprezivelmente, mas se a força cortante , então a força cortante influencia o

momento fletor último significantemente. Com o incremento da força cortante V o

momento fletor último decresce rapidamente. Para isto, a proporção deveria ser

menor que a proporção limite

limM,u,V<V Vu,M

limM,u,V>V

Vu,M

Vu,M plV/V

( )limplMu, V/V .

De acordo com esta observação, podemos calcular a proporção : plV/V

498.078.3599/66.1792V/V pl ==

onde se pode observar que o valor calculado de 498.0V/V pl = é menor que o limite


Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de interação, as quais

serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de seções transversais

homogêneas:

270

151.078.3599

175878.3599

175814480879007.1

144808790 2222

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

onde se verifica que o valor obtido é menor que 1. Em seguida, utilizaremos as equações


( )( )

06.178.3599/175807.11

78.3599/175811.1φ 2

2

v =−−

=


1.101.178.3599

17581.178.3599

175807.1122

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−


Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-

1(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:

- cálculo do momento plástico da alma w,plM :

( )( ) kNm 08.339813592300250M w,pl ==

substituindo na equação 3.3.1.16:

( ) 161.0178.3599

1758214480

08.3398144808790 2

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Portanto, a viga dimensionada por PFEIL (1989) atende às condições da teoria de

capacidade de carga ao momento-cortante proposta por JUHÁS (2001).

8.2.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH

(1952)

Tensão de cisalhamento crítica atuante na seção:

( )( ) MPa 49.70200047.12/1758000A/Vτ wsdxy ===

MPa 29.42σ1 =

- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores a=800

mm:

40.0=2000800

=ba

=α

60.049.7029.42

τσ

βxy

1 ===

271

( )( )

( ) MPa 87.1722000

47.123.0112

205000π24

bt

ν112Eπ24σ

2

2

2

2

2

2

c1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=o

( )( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

c

40.034.54

200047.12

3.0112205000π

α34.54

bt

ν112Eπτ o

MPa 20.269τ c =o

Este valor encontrado, , ultrapassa o valor do limite proporcional, que para

o valor da tensão de escoamento é

MPa 20.269τ c =o

( ) MPa 200=2508.0=σ p

deve-se então utilizar a fórmula da tensão crítica na extensão inelástica fornecida por

BLEICH (1952), que neste caso é a equação 5.24:

( )22

2i2 22

E t 124 3b 112 1

σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠

( ) 556.1=40.092

+61

=α92

+61

=24

α/34.5+4=κ 22

2

( )( ) ( )

( )222

2

2

2i

556.16.01136.0

556.1242000

47.123.0112

205000πτσ

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 40.360τσ i =

para a determinação de , deve-se antes utilizar a equação 5.3 para a determinação do valor

de

iσ

τ

( )( )

y c

y p

c

p

σ −σ στ =

σ −σ σ

Considerando o valor de como tensão de escoamento utilizado no

dimensionamento de PFEIL (1989) e adotando os valores de

MPa250=f y

MPa 200σ p = e

na equação acima, pode-se montar a tabela 8.2.1 para os valores de .

MPa 250σ y =

cσ

272

Tabela 8.2.1 – Proporção para aço estrutural com , .

E/E=τ t

MPa 200σ p = MPa 250σ y =

cσ τ cσ τ cσ τ cσ τ 200.00 1.000 212.50 0.797 225.00 0.563 237.50 0.297 201.25 0.981 213.75 0.775 226.25 0.537 238.75 0.269 202.50 0.962 215.00 0.753 227.50 0.512 240.00 0.240 203.75 0.942 216.25 0.730 228.75 0.486 241.25 0.211 205.00 0.923 217.50 0.707 230.00 0.460 242.50 0.182

206.25 0.902 218.75 0.684 231.25 0.434 243.75 0.152 207.50 0.882 220.00 0.660 232.50 0.407 245.00 0.123 208.75 0.861 221.25 0.636 233.75 0.380 246.25 0.092 210.00 0.840 222.50 0.612 235.00 0.352 247.50 0.062 211.25 0.819 223.75 0.587 236.25 0.325 248.75 0.031

250.00 0

Utilizando os valores de calculados na tabela 8.2.1, pode-se obter a tabela 8.2.2. τ

Fazendo , a tabela 8.2.2 fornece os valores de em função de ic σ=σ iσ τ/σ i . Para

os painéis finais com espaçamento a=800 mm, foi encontrado o valor de τ/σ i :

MPa 40.360τσ i =

Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de : iσ

MPa 00.232σ i =

e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de : c1c σ e τ

MPa 57.12636.0

00.232

3β

στ

22

ic =

+=

+=

( ) MPa 94.7557.1266.0βτσ cc1 ===

Se for considerado o valor de , tem-se: 0=τ/σ=β xy1

( )( ) ( ) MPa 89.4653556.124

200047.12

3.0112205000π

τσ 2

2

2i =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de : iσ

MPa 00.239σ i =

e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de : c1c σ e τ

MPa 99.137300.239

3β

στ

2

ic ==

+=

273

0βτσ cc1 ==

Tabela 8.2.2 – Determinação da tensão crítica para aço, MPa. ( ,

cσMPa 200σ p = MPa 250σ y = ).


200.00 200.00 264.58 218.75 435.89 237.50 203.18 201.25 270.80 220.00 460.68 238.75 206.47 202.50 277.41 221.25 489.90 240.00 209.89 203.75 284.44 222.50 525.09 241.25 213.44 205.00 291.96 223.75 568.62 242.50

217.12 206.25 300.00 225.00 624.50 243.75 220.96 207.50 308.65 226.25 700.00 245.00 224.96 208.75 317.98 227.50 810.35 246.25 229.13 210.00 328.10 228.75 994.99 247.50 233.47 211.25 339.12 230.00 1410.67 248.75

238.05 212.50 351.19 231.25 242.83 213.75 364.50 232.50 247.85 215.00 379.27 233.75 253.13 216.25 395.81 235.00 258.69 217.50 414.51 236.25


( )( ) MPa 49.70200047.12/1758000A/Vτ wsdxy ===

MPa 49.70σ1 =

1=τσ

=βxy

1

7.0=20001400

=ba

=α

( )( )

( ) MPa 87.1722000

47.123.0112

205000π24

bt

ν112Eπ24σ

2

2

2

2

2

2

c1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=o

( )( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

c

70.034.54

200047.12

3.0112205000π

α34.54

bt

ν112Eπτ o

274

MPa 31.107τ c =o

O valor acima, representa a tensão crítica de cisalhamento para



MPa 31.107τ c =o

62.0=)7.0(9

2+

61

=24

7.0/34.5+4=κ 2

2

( )( )( ) ( ) 2

2

2

2

22

2

2

2

c

62.01162.024

200047.12

3.0112205000π

κβ11κ24

bt

ν112Eπτ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 09.91τ c =

MPa 09.91βτσ cc ==


iminência de flambagem elástica, considerando a ação das tensões normais de compressão

resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.

MPa 09.91τ c =


8.2.1.3 Verificação da tensão admissível de cisalhamento utilizando a teoria de YU

(1991)

Para a viga dimensionada por PFEIL (1989), pode-se utilizar a teoria proposta por

YU (1991) para verificar a força cortante admissível:


( ) ( ) 38.37=2000/80034.5

+4=h/a34.5

+4=k 22v

para v yh / t 1.38 k E / F≤ ,

EFkt64.0=V yv2

a

( ) 6.241250/20500038.3738.1 =

como h/t=160.4<241.6,

( ) ( ) kN92.435520500025038.3747.1264.0V 2a ==

De acordo com YU (1991), . Tem-se então: htF6.0V ya ≤

275

( ) ( ) kN 374147.1220002506.0htF6.0V ya ===

O valor obtido acima representa a força cortante resistente admissível do painel para

flambagem inelástica, sem a ação do campo de tração. Como kN 3741Va = ultrapassa a força

cortante solicitante, , o espaçamento a=800 mm deve ser considerado, porque

painéis extremos não podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.

kN 1758Vsd =


( ) ( ) 89.14=2000/140034.5

+4=h/a34.5

+4=k 22v


v

3

a kht

E904.0=V

( ) 5.152250/20500089.1438.1 =

como h/t=160.4>152.5,

( ) kN41.267589.142000

47.12205000904.0V3

a ==

O valor acima representa a força cortante resistente admissível para os painéis, para

flambagem elástica. Este valor, é maior que a força cortante solicitante de

cálculo, . Isto indica que os painéis com a=1400 mm podem ser

considerados para flambagem elástica.

kN41.2675Va =

kN66.1792Vsd =

8.2.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do

campo de tensões principais de HÖGLUND (1998)



MPa 57.126τ cr =

MPa 33.1443

2503

ff yw

v ===

cr

vw τ

f=λ

276

07.157.12633.144λw ==

( ) ( ) 99.007.132

107.1411

07.13

λ321

λ411

λ3

fτ

24

4

2w

4ww

4

v

u

=−−=

−−=

O valor de 0.1=fτ

v

u pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de 07.1λw = .

45.007.1/48.0λ/48.0ρ wv ===


se o valor de λ .

45.0ρ v =

07.1w =

( ) ( ) kN 8.280547.12200025045.0thfρV wwywvw ===

- para espaçamento de 1400 mm:

cr

vw τ

f=λ

A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.2.1.2, para

painéis com espaçamento a=1400 mm.

MPa 31.107τ cr =

MPa 33.1443

2503

ff yw

v ===

cr

vw τ

f=λ

16.131.10733.144λw ==

Para , 0.1λw ≥v

u

fτ

é calculado pela seguinte equação:

( ) ( ) 96.016.132

116.1411

16.13

λ321

λ411

λ3

fτ

24

4

2w

4ww

4

v

u

=−−=

−−=

277

O valor de 96.0fτ

v

u = pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de

. 16.1λw =

( ) ( ) 42.016.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=

O valor acima, 42.0ρ v = , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-

se o valor de λ . 16.1w =

( ) ( ) kN 7.261847.12200025042.0thfρV wwywvw ===

Este é o valor do cortante nominal dos painéis com espaçamento de 1400 mm, calculado pelo

método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998).

8.2.2 Verificação segundo a LRFD

8.2.2.1 Limitações – item G1

(a) para a 1.5h≤ :

w yf

h 2000t f

≤

- adotando a conversão , teremos: ksi 23.36=MPa 250=Fyf

w yf

h 2000 2000 335.38t F 36.23

≤ = =

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas devem ter o parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma:

yfr

w F970

=λ>th

=λ

Para este caso,

15.161=23.36

970=

F970

=λ>th

=λyf

rw

A viga calculada por PFEIL (1989) apresenta a espessura da alma de ½ in. (meia

polegada), ou seja, 12.7 mm. A partir desse instante, iremos considerar uma redução na

espessura da alma:

278

ww

h 2000161.15 335.38 t 12.41 mmt 161.15

= < ⇒ = =

A redução da espessura da alma de 12.70 mm para 12.41 mm pode ser considerada. Pode-se

observar que a viga dimensionada por PFEIL (1989), após esta pequena modificação

(redução) na espessura da alma, atende às especificações da LRFD referentes a vigas esbeltas.

8.2.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2

- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico

obtido pela seguinte fórmula:

xtS xtS é

t

xxt y

I=S

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância

entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade. O centro de gravidade da

seção está a 111.95 mm acima da distância entre a face superior da mesa inferior e a metade

da altura da alma.

xI ty

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )2

3

23

23

23

x

2/75.31+95.111175.31600+12

75.31600+

2/95.111195.111141.12+12

95.111141.12+

2/05.88805.88841.12+12

05.88841.12+

2/45.44+05.88845.44600+12

45.44600=I

44x in. 9.132046=mm 05496206514=I

então pode-se calcular o valor de xtS :

33

t

xxt in. 58.2932=mm 43.48056365=

75.31+95.111105496206514

=yI

=S

- cálculo de xcS :

33

c

xxc in. 77.3596=mm 43.58940552=

45.44+05.88805496206514

=yI

=S



279



AI

=r yT





( ) ( )( )3 3

y

4 4

44.45 600 888.05 / 3 12.47I

12 12800147833.7 mm 1922.36 in.

= +

= =

a área da seção considerada será:

( ) ( ) 22 in. 06.47=mm 33.30361=3/05.88847.12+60045.44=A


in. 39.6=06.4736.1922

=rT

1=Cb .

a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):

61.61=39.6

7.393=

rL

=λT

b

31.50=ksi 56.35

300=

F300

=λyf

p

78.126=ksi 56.35

756=

F756

=λyf

r

286000=Cpg


( ) 75.6=75.1262.23

=t2

b=λ

f

f

9.10=56.35

65=

F65

=λyf

p

82.22=35.0/56.35

230=

k/F230

=λcyf

r

280

( ) 91700=35.026200=Cpg

316.0=38.160/4=t/h/4=k wc


- cálculo de crF :


para p rλ < λ ≤ λ

pcr yf

r p

1F F 12

1 61.61 50.3135.56 1 32.93 ksi2 126.78 50.31

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦


para pλ ≤ λ

ksi 35.56=F=F yfcr

- cálculo de PGR :


crF

ksi 32.93=Fcr

( )PG0.94 970R 1 160.38 1.00

1200 300 0.94 32.93⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

( )( ) 94.0=

45.4460047.122000

=a r

- cálculo de : nM


( ) ft-kip 1.8695=12/ksi 35.58in. 58.2932=FS=M 3ytxtn

b) para flambagem

( ) ft-kip 1.9870=12/ksi 32.93in. 77.3596=FRS=M 3crPGxcn

O valor encontrado para o momento fletor resistente característico ultrapassa o momento

fletor solicitante de cálculo, pois o valor acima pode ser convertido 8695.1 kip-ft = 1202.13

tm = 12020 kNm e de acordo com a viga calculada por PFEIL (1989), o valor do momento

fletor solicitante de cálculo tem o valor de 8790 kNm que convertido tem o valor de 887.8 tm

= 6421.5 kip-ft.

281

Aceitar as chapas das mesas de dimensões 600x44.45 mm p/ mesa superior e

600x31.75 mm p/ mesa inferior, de acordo com a LRFD.

8.2.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração – item

G3

- para a região com espaçamento a=800 mm entre os enrijecedores:

- cálculo de vC :

( ) ( ) 25.36=2000/8005

+5=h/a

5+5=k 22v

05.187=23.3625.36

187=Fk

187<16.161=th

yw

v

w

Para w vh / t 187 k / F≤ yw

( ) ( ) kgf 1.381206=kips 42.840=23.3674.78491.06.0=FA6.0=V ywwn

= 3812 kN

Este valor encontrado, representa a força cortante resistente

nominal para os painéis finais de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm. Como este

valor ultrapassa o cortante solicitante, que é

kgf 1.381206=kips 42.840=Vn

21.395=Vu kips

- para os painéis de espaçamento a=1400 mm:

- cálculo de vC :

( ) ( ) 2.15=2000/1400

5+5=

h/a5

+5=k 22v

56.151=23.362.15

234=Fk

234>16.161=th

yw

v

w

( )( )

( ) 71.0=23.3616.161

2.1544000=

Ft/hk44000

=C 2yw

2w

vv

Resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração de acordo com o apêndice G3

– formula (A-G3-3) – LRFD:

( )( ) ( )kgf15.270657=kips70.596=V

71.023.36491.074.786.0=

CFA6.0=V

n

vywwn

= 2706.6 kN

282

Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração:

Para :F/k187>t/h ywvw

( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )( )

n 2

1 0.71V 0.6 78.74 0.491 36.23 0.711.15 1 55.12 / 78.74

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

kgf 349408.44=kips 32.770=Vn = 3494 kN

8.2.2.4 Enrijecedores transversais – item G4

Área do enrijecedor não deve ser menor que:

( )yw 2ust w v w

yst v n


⎡ ⎤= − −⎢ ⎥φ⎣ ⎦

≥

( ) ( )( ) ( ) ( )2st

2

180A 0.15 2.4 78.74 0.491 1 0.234 18 0.4910.9 349.4

1.76 in.

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

=

os enrijecedores calculados por PFEIL (1989) têm a seguinte dimensão:

b=150 mm=5.9 in.; t=9.5 mm=0.374 in.; Item F2.3 – apêndice F – LRFD: 2st in. 21.2=A

( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 0.5 2.5 / 55.12 / 78.74 2 3.1= − ≥ = − =

( ) 24.20=1.3491.012.55=jat 33w

momento de inércia dos enrijecedores:

( ) ( )( ) 423st in. 6.25=2/9.59.5374.0+12/9.5374.0=I

Os enrijecedores dimensionados por PFEIL (1989) atendem às exigências da LRFD.

8.2.2.5 Interação flexão-cisalhamento – item G5

375.1V

V625.0

MM

n

u

n

u ≤φ

+φ

( ) ( )6421.5 395.210.625 1.177 1.375

0.9 8695.1 0.9 770.32+ = ≤

283




- De acordo com o contido no item 3.2.2.1.1, analisando a viga dimensionada por PFEIL

(1989), a maior relação a/h, é 1400/2000 que dá um valor de 0.7, que é menor que 1,5 fixado

na norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta


( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax


5.157=7.12/2000=t/h=λ w



Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o Anexo D

desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma (FLA)

contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte fórmula:

rλ

rλ

36.160=250

2050006.5=

fE

6.5=λy

r

onde pode-se observar que , o que não satisfaz a condição e não enquadra a peça na

condição de vigas esbeltas. A viga dimensionada por PFEIL (1989) é não-compacta para o

parâmetro de esbeltez de flambagem local da alma. Para que possamos prosseguir com a

verificação considerando a viga como viga esbelta, tentaremos modificar as dimensões da

alma para que se tenha o valor , onde conservaremos a altura da alma:

rλ<λ

=λ 36.160

ww

h 2000160.36 t 12.47 mmt 160.36

λ = = ⇒ = =

284

portanto, para que possamos enquadrar a viga na categoria de vigas esbeltas, dimimuiremos a

a verificação de acordo

om os anexos F e G da NBR 8800/86, que tratam de vigas esbeltas.

- cálculo de


espessura da alma de 12.7 mm para 12.47 mm, e prosseguiremos com

c


xtW :

xtW xtW

é obtido pela seguinte fórmula:

t

xxt y

I=W



seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma.

xI ty

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

3

531600+75.31600

+ ( )2

23

23

23

x

2/75.31+95.11117.12

2/95.111195.111147.12+12

95.111147.12+

2/05.88805.88847.12+12

05.88847.12+

2/45.44+05.88845.44600+12

45.44600=I

e ca lar o valor de

4x mm 05496206514=I

xtW :então pode-s lcu

3

t

xxt mm 43.48056365=

75.31+95.111105496206514

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

c

- Cálculo de 'r

'p λ e λ ,λ :

xxc m 43.58940552=

05496206514I=W m

45.44+05.888=

y

- calculando o valor de para a viga em questão, tem-se:

= raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa


Tr

Tr

285

AI

=r yT





( ) ( )( ) 43

y mm 7.800147833=12

47.123/5+

12=I


3 0.88860045.44


( ) ( ) 2mm 33.30361=3/05.88847.12+60045.44=A

mm 34.162=33.30361

780014783=rT


.3

1=Cb

6.61=34.162

10000=

rL

=λT

b

11.50=250

20500075.1=

fE

75,1=λy

p

14.127=250

20500044.4=

fEC

44,4=λy

br


MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg

( ) 75.6=45.442

600=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

91.24=250f y

20500087.0=

E87,0=λ'

r

esa comprimida.

( ) MPa 77900=20500038.0=E38,0=Cpg

ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da m

286

- cálculo :


para

de crf

' 'p rλ < λ ≤ λ

cr61.6 50.11⎡ − ⎤⎛ ⎞f 250 1 0.5 231.4 MPa

127.14 50.11= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM) sa

para 'pλ ≤ λ

MPa 250=f=f ycr

- cálculo de


pgk :

crf

MPa. 4.231=fcr

( )( )pg

12.47 2000 205000k 1 0.0005 160.38 5.6 1.00600 44.45 ⎜

⎝ 231.4⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎟⎠

- cálculo de :


b) para flambagem

e acordo com a viga calculada por PFEIL (1989), o

ceitar as chapas das mesas de dimensões 600x44.45 mm p/ mesa superior e 600x31.75 mm

= −

nM

( )n xt pg y

3 2

M W k f

365.43 mm 25.0 kg/mm

1201409136 kgmm

=

=

48056=

( )3 258940552.43 mm 23.14 kg/mm=

O momento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,

tm1201.41=kg.mm 1201409136=M n .D

n xc pg crM W k f

1363884383 kgmm

=

=

valor do momento fletor solicitante de cálculo tem o valor de 8790 kNm que convertido para

toneladas metro tem o valor de 887.8 tm.

A

p/ mesa inferior propostas por PFEIL (1989), de acordo com a NBR 8800/86.

PFEIL (1989) propôs a verificação da influência da eliminação da contenção lateral no meio

do vão. A eliminação da contenção lateral no meio do vão irá modificar suas propriedades no

287

estado limite de flambagem lateral com torção, pois o comprimento bL entre duas seções

contidas lateralmente irá duplicar. A seguir, será calculado o momento o momento fletor

teral no meio do vão:


resistente de cálculo considerando a eliminação da contenção la

2.123=34.162

20000=

rL

=λT

b

11.50=250

20500075.1=

fE

75,1=λy

p

14.127=250

20500044.4=

fEC

44,4=λy

br

MPa 9.2023268=205000π=ECπ= 2b

2pg C

- cálcul

b) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)

para

o de crf :

' 'p rλ < λ ≤ λ

cr123.2 50.11f 250 1 0.5 131.4 MPa127.14 50.11

⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- cálculo de : pgk

MPa. 4.131=fcr

( )( )pgk 0.0005= −

12.47 2000 2050001 160.36 5.6 1.00600 44.45 131.4

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠


b) para flambagem

- cálculo de nM :

( )n xt pg y

3 2

M W k f

48056365.43 mm 25.0 kg/mm

09136 kgmm

=

=

12014=

( )n xt pg y

3 2

M W k f

58940552.43 mm 13.14 kg/mm

774478858.9 kgmm

=

=

=

288

O valor de tm774.48=kgmm 9.774478858=M n obtido com a eliminação da contenção

lateral ficou abaixo do valor do momento fletor solicitante de cálculo que é

87=Msd tm887.8=kNm . 90

A elim ação da contenção lateral no meio do vão não satisfaz o requerimento de momento in

fletor solicitante de cálculo da NBR 8800/86, conforme havia sido concluído por PFEIL

(1989).

.2.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G

verificação da resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, da

viga calculada por PFEIL (1989), iniciaremos procedendo os cálculos de

e solicitante de projeto tem o seguinte

valor:

(PFEIL (1989)).

- para a região da viga com espaçamento a=800 mm:

8


- Para a

p λ e λ ,λ r , de acordo

com o ítem 5.5.2 da NBR 8800/86. A força cortant

kgf 11.179266=kN 1758=V maxd

( ) 38.37=2000/80034.5

+4=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

( )08.189=

25008.1=

f08,1=λ

yp

20500038.37kE

( )11.245=

25020500038.37

40.1=fkE

40,1=λy

r

a) de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para pλ ≤ λ ,

pln V=V

( ) ( kg/m 0.25mm 2000mm 47.126.0=fA6,0=V ) kgf 374100=m2ywpl

- O item G-1 - Anexo G - NBR 8800/86 - Resistência de cálculo à força cortante, incluindo o

efeito do campo de tração, não deve ser usado para painéis extremos.

- para a região da viga com espaçamentos a=1400 mm:

289

( ) 90.14=2000/140034.5

+4=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

( )3.

2502050009.14

08.1=fkE

08,1=λ p 7119=y

( )75.154=

2502050009.14

40.1=fkE

40,1=λy

r

de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , r

λ>λ2 2

pn pl

119.37V 1.28 V 1.28 3160.38

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠74100 265269.7 kgf=

⎝ ⎠

- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à força

cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:

para


rλ>λ

2 2p p'

n pV 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

l

2 2'n

'n

119.37 119.37V 1.28 0.71 1 1.28 374100160.38 160.38

V 342539.21 kgf

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

=

onde:

2

1 0.7114001.15

η =

12000

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

A força cortante resistente característica ultrapassa a força cortante

é satisfatório.

kgf 21.342539=V 'n

solicitante de cálculo, kgf 11.179266=kN 1758=V maxd , o que indica que o dimensionamento

Aceitar chapa da alma com altura h=2000 mm e espessura mm 47.12=t w , e espaçamento

entre enrijecedores a=800 mm nos painéis finais e a=1400 mm nos painéis do centro, de

acordo com a NBR 8800/86.

290

8.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - ite

m G-2

om este item, pode-se verificar que

dendo este espaçamento ser

ém de atenderem às exigências

dadas nas notas a, b, c de 5.5.2 (NBR 8800/86), devem também ter área mínima da seção


( )[ ]2wt/h/260 , Item G-2-1 (NBR 8800/86) - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a

independente da relação wt/h .

- De acordo c ( )[ ] ( ) 7.0=2000/1400>63.2=38.160/260 2

que é o espaçamento da região que tem o maior espaçamento, po

considerado.

- O item G-2-2 da NBR 8800/86 faz as seguintes considerações:

Item G-2-2 (NBR 8800/86) - Os enrijecedores transversais, al

( )n plst

1 V / V−= − η wA 1 1.15 a / h YDat

2

ação, conforme

e do enrijecedor

a

significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 (NBR 8800/86).


pon

ores

não podem ultrapassar os valores dados na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3

sujeitas à força normal. O valor dado na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 é:

nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tr

5.5.2 (NBR 8800/86)

Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma



D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chap

Para os

- as notas a, b e c do item 5.5.2 (NBR 8800/86) são:

Notas:

a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil,

entre os tos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre

ww t6 e t4 .

b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijeced

yfE

55,0

291

c) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de

enrijecedores (um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não

pode ser inferior a

egião com espaçamento de 1400 mm entre os

ão com a=800 mm (observar que os enrijecedores calculados por PFEIL (1989)

o colocados em apenas um lado da alma):


ultrapassar:

( )450/h .

- com estas considerações, pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga, a

região com espaçamento de 800 mm e a r

enrijecedores:

- para a regi

sã

75.15=250

205000E55.0

por PFEIL (1989) têm a seguinte dimensão:

ém foram sugeridas as dimensões:

150/9.5=15.79 ou 200/12.7=15.74



=f

55,0y

os enrijecedores dimensionados

b=150 mm; t=9.5 mm. Tamb

b=200 mm; t=12.7 mm.

A relação largura/espessura é:

( )450/h . 4 4

4h 2000 2560000 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )( )( ) ( )

st1 374100 / 374100A

21 1.15 0.81 800 / 2000 2.4 800 12.47 0

−=

− =

2

1

800η =

⎛ ⎞

0.81=

a=1400 mm (observar que os enrijecedores calculados por PFEIL (1989)

são colocados em apenas um lado da alma):

1.15 12000

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

- para a região com

292


ultrapassar:

75.15=250

20500055.0=

fE

55,0y


alma não pode ser inferior a

(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da

( )450/h .4 4

4h 2000 2560000 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )( )( ) ( 21 1.15 0.71 1400 / 2000 2.4 1400 1− )

st1 265269 / 374100A

22.47 2611.2 mm

−=

=

2

1 0.7114001.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, tem-se

- a largura do enrijecedor foi obtida acima, tentar h=202.73 mm:

- se a relação largura/espessura =15.75 e a área 2st mm 2611.2 =A

h / b 15.75 h 15.75b5.75b 2611.2

b 12.87 mm; h=202.73 mm

= ⇒ ==

= area bh 2611.2 b1= = ⇒

h / b 15.75 202.73 /12.87 15.75< ⇒ =


4h 2000 2560000 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

):

( )( )( )22 39144108=2/47.12+2/73.20273.20287.12+

12=)d 4

33

mm 76.73.20287.12

Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 1 chapa somente de um lado da alma de

(bh+12bh

-

12.87 x 202.73 mm para as regiões com espaçamento a=800 mm e a=1400 mm.

8.2.3.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3

d d'

b n v n

M V0.625 1.375M V

+ ≤φ φ

293

( ) ( )887800 1792660.625+ 1.185 1.375

0.9 1201410 0.9 342539= ≤

a viga esbelta dimensionada

por PFEIL (1989, p. 164), seguindo os critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma

800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de

A estudo de vigas esbeltas.

.1

- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por PFEIL (1989), a maior

relação a/h, é 1400/2000 que dá um valor de 0.70, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste


Nesta parte, será feita a verificação das dimensões d

Brasileira. Na verificação serão utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR

8

edifícios ( BNT, 2003), que tratam do


8.2.4.1 Generalidades – item F.1

caso, maxλ pode ser tomado igual a yf/E7,11 . Faze utilização desta equação,ndo a

substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf

( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax

onde pode-se observar que é um valor maior que a relação wt/h=λ da viga calculada qu

λ

e é:



48.157=7.12/2000=t/h= w

- com base no item F.1.2 – Anexo F - PNBR 8800/03, viga esbelta deve ter a relação wt/h

superior a yf/E70,5

wh / t 5.7 205000 / 250 163.22λ = ≥ =

para a viga dimensionada por PFEIL (1989) se enquadra na categoria de vigas não-compactas.

ara esta se enquadrar na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a

a

P

redução n espessura da alma:

294

w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =

Considerar a redução na espessura da alma, de 12.7 mm para 12.25 mm.


- Para o cálculo de é necessário o cálcu do módulo de resistência elástico em relação RkM lo

ao eixo de flexão, xtW , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa

tracionada. O módulo de resistência elástico xtW é obtido pela seguinte fórmula:

fxt t+2/h

=W

onde xI é o momento de inércia

xI

da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre


a seguir:

- cálculo de xtW para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico xtW


t

xIxt y

=W



seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma

xI ty

.

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )2

3

23

23

23

x

2/75.31+95.111175.31600+12

75.31600+

2/95.111195.11125.

2/05.88805.88825.12+12

05.88825.12+

2/45.44+05.88845.44600+12

45.44600=I

então pode-se calcular o valor de

112+12

95.111125.12+

4x mm 05480988405=I

xtW :

3

t

xxt mm 11.47923305=

75.31+95.111105480988405

=yI

=W

- cálculo de xcW :

295

3

c

xxc mm 55.58777355=

45.44+05.88805480988405

=yI

=W

- cálculo de rp λ e λ ,λ :

( ) ( )( ) 433

y 12+

12=I mm 9.800145343=

25.123/05.88860045.44


portanto, o raio de giração a calcular será

( ) ( ) 2mm2.30296=3/05.88825.12+60045.44=A

:

mm 34.162=2.30296

9.800145343=rT

.


1=Cb

6.61=34.162

10000=

rL

=λT

b

40.50=250

20500076.1=

fE

76,1=λy

p

14.127=205000

44.4=EC

44,4=λ b 250f y

r

b) estado limite de flambagem local da me a comprimida (FLM)

MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg

s

( ) 75.6=45.442

600=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

87.22=35.0/250

20500035.1=

k/fE

35.1=λcy

'r

c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =

5

são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.

- cálculo de :

Considerar k 0c .3=

( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg

f t e b f

crσ

296



cr61.6 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞f 025 1 0.5 231.76 MPa

127.14 50.40= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM) sa

para pλ ≤ λ

MPa 250=f=f ycr

- cálculo de :


pgk

crf

MPa. 76.231=σ cr

( ) ( )( )))((( )pg

12.25 2000 / 44.45 600 205000k 1 163.22 5.7 1.00231.761200 300 12.25 2000 / 44.45 600+

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

- cálculo de :


b) para flambagem

.2.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -

.2 da PNBR 8800/03, será calculado o valor de

para a viga em questão:

Primei :

nM

( )n xt pg y

3 2

M W k f

305.11 mm 25.0 kg/mm

1198082628 kgmm

=

=

47923=

( )n xc pg cr

3 2

M W k f

58777355.55 mm 23.14 kg/mm

=

=

1360108007 kgmm=

8

anexo G (normativo)


- Com base nas considerações do item 5.4.3.2

plV ,

ramente, deve ser calculado o valor de wA

297

( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A

Então, o valor de plV pode ser calculado:

( ) kgf 367500=kgf/mm 5.02mm 245006.0=fA6.0=V 22ywpl

- como se pode observar na viga que foi dimensionada por PFEIL (1989), existem dois

espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais,

têm os espaçamentos, a = 800 mm, entre os enrijecedores, e na região central do vão, o

espaçamento a = 1400 mm. A partir de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes

espaçamentos, que estão situados nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a

sistente característica nestes dois

painéis. O valor de será calculado para cada configuração da viga:

- para os painéis finais (espaçamento a = 800 mm):

parte central do vão, para se verificar a força cortante re

η

2

1 0.73η = = 8001.15 12000

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

- para os painéis centrais do vão (espaçamento a = 1400 mm):

20.71= =

1

1400η

⎛ ⎞

os m 4.3.2.1 da NBR 8800.

s espaçamentos situados nas duas regiões

tral do vão, para se verificar a força cortante


para a = 800 mm (painéis finais):

1.15 12000

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Os parâmetr λ , e as dimensões a e h são definidos no ite 5. rp e λ ,λ


parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente calcular o valor de vk :

- será efetuado o cálculo de k para cada um dov

distintas, a das extremidades da viga e a parte cen

a/h=800/2000=0.40

( ) 25.36=40.05

+5=h/a

5+5=k 2v 2

para a=1400 mm (painéis do centro do vão):

a/h=1400/2000=0.70

( ) 2.15=70.05

+5=k 2v

298

Com os valores de vk calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para


Painéis finais:

rp λ e λ ,λ

26.163=25.12

2000=

th

=λw

( )65.189=

25020500025.36

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )2.236=37.1=37.1=λ

, portanto, para o cálculo da


uação:

al ao cortante dos p

ação do

ampo e traç passa o cortante solicitante, , quer

dizer que o espaçamento a = 800 mm para os painéis extremos pode ser considerado.

Para os painéis centrais

25020500025.36

fEk

y

vr

com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que pλ<λ

RkV

usa-se a seguinte eq

kgf 367500=V=V plRk

Este valor obtido, kgf 367500=VRk , representa a resistência nomin ainéis

extremos, de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm, sem a utilização da

c d ão. Como este valor ultra kgf 11.179266=Vsd

: 26.163=th

=λw

( )8.122=

2502050002.15

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )95.152=

25037.1=

f37.1=λ

yr


equação:

2050002.15Ek v

rλ>λ

2

RkV 1.28 367500 266136.51 kgf163.26

⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Este valor, kgf 51.266136=VRk ,

122.8⎛

representa a resistência nominal ao cortante dos painéis

licitante de cálculo.

com espaçamento a = 1400 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é

maior que o so

299

- Cálculo da força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para

- como

estes painéis:

rw

λ>th

=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte, vC


( ) y2

wv ft/h

vEk51,1=C

os:



- para a região próxima aos apoi

( )( ) 706.0=

25026.1632050002.15

- com os valores de plv V e η ,C calculados, podem ser obtidos os valores d

51,1=C 2v

a força cortante

sisten nfigurações da viga que formam o sistema de


- para a região do meio do vão

re te característica para cada uma das co

resistência ao cortante, que é dependente do espaçamento dos enrijecedores:

- para as regiões próximas aos apoios:

pλ>λ :

( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦ v pl

( )RktV 0.706 0.71 1 0.706 367500 336166.95 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

este valor obtido, kgf 95.336166=VRkt representa a resistên para a região

com espaçamento a = 1400 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração

cia nominal da viga

.

pa te de cálculo, , o que indica

e nte.

- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PN

e

Este valor ultra ssa a força cortante solicitan kgf 11.179266=Vsd

que o dim nsionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicita


BR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a

relação largura/espessura, sendo necessária também a obtenção d

75.15=250/20500055,0=f/E55,0 y . Para os dois painéis distintos, o da região próxima

aos apoios e o da região do meio do vão, será a seguir calculada a relação largura/espessura:

300

- ase nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aqcom b uelas calculadas

para a região próxima ao

ou , ou seja, este valor não ultrap

ode ser considerado. Tentando primeirame

pela LRFD, ou seja,

s apoios e do meio do vão:

enrijecedores: 1 placa de 12.7 x 200 mm ou 1 placa de 9.5 x 150 mm.

a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será ( ) 75.15>79.15=5.9/150

assa o valor fixado pela norma,

nte fazer o cálculo de stA

( ) 75.15<748.15=7.12/200

o que pode indicar que p

de acordo com o item G.2.2 – Anexo G – PNBR 8800/03 tem-se:

( ) 2Sdst r s w v w

Rd

VA 0.15D ht 1 C 18tV

⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥

⎣ ⎦


( )( ) ( ) ( ) ( )2180st

2

A 0.15 2.4 2000 12.47 1 0.706 18 12.47266.1/1.10

1013.4 mm

= − −

= −

este valor negativo pode indicar que enrijecedores não são requeridos.

o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores (um

de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a

, onde ≥ ;

4

>

jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦

( )3 3st wI jat 3.10 1400 12.47 8415677.6 mm≥ = =

( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 2.5 / 1400 / 2000 2 3.10 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )( )2

23

st

2/47.12+2/73.20273.20287.12+12

)d(bh+bh

=I

nicas com dimensões de 12.87 x 202.73

373.20287.12=

12

4mm 76.39144108=

Usar enrijecedores transversais, em chapas ú

mm cada.



simples, - O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal

sendo que deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme

5.4.3.2.4.

301

Interação entre força cortante e momento fletor - item 5.4.3.2.4 - PNBR 8800/03

- será feito aqui, com base no item 5.4.3.2.4 - PNBR 8800/03, a verificação da interação entre


Sd Sd

Rk Rkt

M V0.625 1.375M / V /

+ ≤γ γ

887800000 179266.110.625 1.278 1.3751198082628 /1.10 266136 /1.10

+ = ≤

visão da Norma

Brasileira de janeiro de 2007. Na verificação serão utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do

o e

oncreto de edifícios (ABNT, 2007), que tratam do estudo de vigas esbeltas.

.2.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)

9), a maior

relação a/h, é 1400/2000 que tem o valor de 0.70, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste

caso, pode ser tomado igual a


Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga esbelta dimensionada

por PFEIL (1989, p. 164), seguindo os critérios de cálculo do Projeto de Re

Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aç

c

8


- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por PFEIL (198

maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação,

nto da vi

substituindo os valores de E e f usados no dimensioname ga, obtém-se: y

( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax

onde pode-se observar que é um valor maior que a relação wt/h=λ da viga calculada que é

:

bserva-se q e este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o


- com base no item H.1.1 – anexo H - PNBR 8800/07, viga esbelta deve ter a relação

superior a

48.157=7.12/2000=t/h=λ w

portanto, o u

wt/h

yf/E70,5

302

wh / t 5.7 205000 / 250 163.22λ = ≥ =

a viga dimensionada por PFEIL (1989) se enquadra na categoria de vigas não-compactas.

Para esta se enquadrar na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a

redução na espessura da alma:

pessura da alma, de 12.7 mm para 12.25 mm, de acordo com o

w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =

Considerar a redução na es

anexo H – PNBR 8800/07.

.2.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2

to da mesa

tracionada. O m resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:

8

- Para o cálculo de M é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação

ao eixo de flexão, xtW , o qual será feito primeiramente para o escoamen

Rk

ódulo de xtW

f

xxt t+2/h

=W

onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre

as faces e

I

xternas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado

esa tracionada. O módulo de resistência elástico


a seguir:

- cálculo de xtW para o escoamento da m xtW

t

xxt y

=W

onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e ty é a distância

entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade

I

. O centro de gravidade da

seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma.

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )2

3

23

23

23

x

2/75.31+95.111175.31600+12

75.31600+

2/95.111195.111125.12+12

95.111125.12+

2/05.88805.88825.12+12

05.88825.12+

2/45.44+05.88845.44600+12

45.44600=I

303

4mm 0098 405x 548 8=I


3

t

xxt mm 11.47923305=

75.31+95.111105480988405

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

cyx

xc mm 55.58777355=45.44+05.88805480988405

=I

=W


( ) ( )( ) 433

y +12

=I mm 9.800145343=12

25.123/05.88860045.44



( ) ( 0.88825.12+60045.44=A ) 2mm2.30296=3/5

mm 34.162=2.30296

9.800145343=rT

a) estado limite: flambagem latera m torção (FLT):

1=Cb

l co

6.61=34.162

10000=

rL

=λT

b

40.50=250

20500076.1=

fE

76,1=λy

p

14.127=250

20500044.4=

fEC

44,4=λy

br

MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg


( ) 75.6=45.442

600=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

87.22=35.0/250

20500035.1=

k/fE

35.1=λcy

'r

304

c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =

Considerar 5

o a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.

- para o e limite de f bagem lateral com torção (FLT)

para

ck 0.3=

( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0= cg Cp

ff t e b sã

- cálculo de crM :

stado lam

p rλ < λ ≤ λ

crf 250 1 0.5 231.76 MPa127.14 50.40

= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ 61.6 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞


para pλ ≤ λ

MPa 250=f=f ycr

:


- cálculo de pgk

crf

MPa. 76.231=σ cr

( ) ( )( )( ) ( )( )pgk 1

0= −

+

12.25 2000 / 44.45 600 205000163.22 5.7 1.00231.76120 300 12.25 2000 / 44.45 600

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

- cálculo de


b) para flambagem

Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3

nM :

( )n xt pg y

3 2

M W k f

47923305.11 mm 25.0 kg/mm

gmm

=

=

1198082628 k=

( )n xc pg cr

3 2

M W k f

58777355.55 mm 23.14 kg/mm

1360108007 kgmm

=

=

=

8.2.5.2

305

Com base nas considerações do item 5.4.3.1.2 da PNBR 8800/07, será calculado o valor de

, para a viga em questão:

Primei :

ntos, que estão situados nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a

s espaçamentos situados nas duas regiões

istinta arte central do vão, para se verificar a força cortante

configurações:


a/h=800/2000=0.40

plV

ramente, deve ser calculado o valor de wA

( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A



- como se pode observar na viga que foi dimensionada por PFEIL (1989), existem dois

espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais,

têm os espaçamentos, a = 800 mm, entre os enrijecedores, e na região central do vão, o

espaçamento a = 1400 mm. A partir de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes

espaçame

parte central do vão, para se verificar a força cortante resistente característica nestes dois

painéis.


parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente calcular o valor de vk :

- será efetuado o cálculo de vk para cada um do

d s, a das extremidades da viga e a p

resistente característica nestas duas

( ) 25.36=40.055

+5= 2


a/h=1400/2000=0.70

h/a+5=k 2v

( ) 2.15=70.05

+5=k 2v

ode-se obter os valores dos parâmetros , para


Painéis finais:

Com os valores de vk calculados, p rp λ e λ ,λ

26.163=25.12

2000=

th

=λw

306

( )65.189=

25020500025.36

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )2.236=37.1=37.1=λ



uação:

al ao cortante dos p

ação do

ampo e traç assa o cortante solicitante, , quer

dizer que o espaçamento a = 800 mm para os painéis extremos pode ser considerado.

Para os painéis centrais:

25020500025.36

fEk

y

vr


RkV


kgf 367500=V=V plRk

Este valor obtido, kgf 367500=VRk , representa a resistência nomin ainéis

extremos, de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm, sem a utilização da

c d ão. Como este valor ultrap kgf 11.179266=Vsd

26.163=th

=λw

( )8.122=

2502050002.15

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )95.152=

25037.1=

f37.1=λ

yr


equação:

2050002.15Ek v

rλ>λ

2

RkV 1.28 367500 266136.51 kgf163.26

⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Este valor, kgf 51.266136=VRk , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis

com espaçamento a = 1

122.8⎛

400 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é

aior que o solicitante de cálculo, o que indica que o mesmo pode ser considerado, de acordo

8.2.6 Ver

m

com a PNBR 8800/07.

ificação segundo o Eurocode 3

307


s and rules for buildings. O procedimento é similar às

utras etapas de verificação, utilizando as dimensões calculadas por PFEIL (1989), para se

fazer a verificação quanto às considerações da norma européia.


steel structures – Part 1.1: General rule

o

97.0=250/235=f/235=ε y

- para as mesas:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 374.0=43.097.04.28/45.44/300=kε4.28/t/b =λ σp

de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução é menor que 1 para

1=ρ

ρ

673.0>λ p e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para p 0.673λ ≤ .

Tabela 5.3.3 - Eurocode 3:

1=ψ

( ) mm 300=3001=cρ=beff

- para a alma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 06.1=27.3097.04.28/47.12/2000=kε4.28/t/b=λ σp

( ) ( )2 2p p0.22 / 1.06 0.22 /1.06 0.75ρ = λ − λ = − =

tabela 5.3.2 (Eurocode 3): 1.25Ψ = −

( ) ( )( )22k 5.98 1 5.98 1 1.25 30.27σ = −Ψ = − − =

( )

mm 62.399=b6.0=bmm 42.266=b4.0=b

mm 04.666=05.88875.0=bρ=b

effe2

eff1e

ceff

308

44.45266.42

eixo centroidal

zona não-efetiva222.01

399.62

1111.95

31.75 31.75

2000

44.45

12.47

20.81


600

600 Figura 8.2.3 – Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).

- A seção efetiva e suas medidas estão representados na figura 8.2.3, com as reduções


- cálculo d o centro de gravidade da seção efetiva:

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )ef

399.62 12.47 1111.95 31.75 399.62 / 2

600 31.75 31.75 / 2y

600 44.45

+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦=

⎡ ⎤

600 44.45 2054

266.42 12.47 2031.75 266.42 / 2

1111.95 12.47 31.75 1111.95 / 2

12.47 266.42 399.62 1111.95

600 31.75

⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥

+ +

⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

são obtidos pelas seguintes fórmulas:

mm 89.1122=yef

xcxt W e W

c

xxc

t

xxt y

I=W ;

yI

=W

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e ão as


da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 91.14 mm acima da metade da

altura da alma.

xI ct y e y s

309

( ) ( )( )

( ) ( )(

( )( ))

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

32

32

3

2

32

600 44.45I 600 44.45 44.45 / 2 908.86

12.47 266.4212.47 266.42 908.86 266.42 2

1212.47 399.62 20.81

1212.47 399.62 20.81 399.62 20.81 / 2

12.47 1091.141.14 / 2

1091.

= + +

+ + −

+

+ + +

+ + ( )214 31.75 /+

então pode

x 12

/

+

12.47 1091.14 10912

+ +

3600 31.75600 31.75

122

4x mm 05419941252=I

-se calcular o valor de xtW :

( )3

t

x 5419941252=

I=Wxt mm 5.48267784=

1122.890

y

- cálculo de xcW :

3

c

xxc mm 14.56853922=

31.95305419941252

=yI

=

ento fletor resistente de projeto:

Seções transversais classe 4:

- de acordo com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre

W

- cálculo do mom


1MyeffRd,c γ/fW=M

xtxc observando que o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a


W e W , 1Mγ

3eff mm 5.48267784=W

( )3 2c,RdM 48267784.5 mm 25.0 kg/mm 1206694612 kgmm∴ = =

de ci

8.2.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6

- item 5.4.6(1) – a resistência plástica salhamento de projeto é fornecida por:


310

onde é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é

btida como se segue:

ela à alma: .

vA

o

( )∑ wdtsubitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com carga paral

( ) 2v mm 24940=47.122000=A

( ) ( ) kg 9.359977=3/0.2524940=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl

- item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão

(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante não exceda 50% da resistência

plástica ao cisalhamento de projeto nenhuma redução precisa ser feita nos momentos


- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3:

SdV

Rd,plV

kg 179266=V>kg.7 Sd 935997=V Rd,pl

kg 179266=V>179988.94=kg/2 9.359977=2/V SdRd,pl

8.2.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2

M cr

0.5

w tzcr 2 2

I L GIEIML I EI

22

z z

⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦

- cálculo da constante de torsão

tI :

( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w

3ft mm 2.23415267=47.122000+1.386002

31

=ht+bt231

=I

- cálculo da constante torsiona l wI :

( )( ) ( ) 6112323

fw mm1013716=

2420006001.38

=24

hbt=I

- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo zI :

( ) ( ) 4333

w3

fz mm1371923183=

1247.122000

+126001.38

2=12ht

+12bt

2=I

ítico pa l da viga de

acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – Anexo F – Eurocode 3:

- cálculo do momento elástico cr ra flambagem lateral-torsiona crM ,

311

( )

( ) ( )( )

0.522w tz

cr 2 2z z

2

2

0.5

211

2

I L GIEIML I EI

205000 137192318310000

20500010000 23415267.213716 10 2 1 0.31371923183 205000 1371923183

⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦

π=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kgmm .452845810729=Nmm 02790786979=M cr

- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral-torsional:

( ) 0.52

0.52LT pl,y crEW / M

205000 59060966 / 27907869790

65.44

⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦

⎡ ⎤= π⎣ ⎦=

[ ][ ]( )( ) [ 0.50.565.44 / 93.9 235 / 250 48267784.5 / 59060⎡ ⎤=

⎣ ⎦ ]

LT LT 1 w/

966

0.65

λ = λ λ β

=

0.5

( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦

LT 0.522LTLT LT

1χ =

⎡ ⎤φ −λφ + ⎢ ⎥⎦

⎣

b,Rd LT w pl,y y M1M W f= χ β γ /

Nmm 9146745163=M Rd,b


8.2.6.4.1 Método simples pós-crítico - item 5.6.3

(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por:

cia ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se

segue:

Rd,baV


(2) A resistên baτ

312


τ

ww

kε4.37t/d

=λ

97.0=250/235=f/235=ε y

( ) ( ) 38.37=2000/800/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ

( ) 72.0=38.3797.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww

- quando w 0.8λ ≤ :

( ) ( ) MPa 34.144=3/250=3/f=τ ywba


o ele ultrapassa o cortante solicitante, que é

ento de 800 mm para os painéis finais pode ser considerado.

para espaçamento a=1400 mm dos painéis centrais:

o subitem (1):


Este valor, kg 2.359884=V Rd,ba é o valor do cortante resistente para os painéis extremos sem

a ação do campo de tração. Com

kg , o espaçam179266=VSd

-

τ

wt/dw

kε4.37=λ

97.0=250/235=f/235=ε y

( ) 90.142000/1400/34.54k 2τ =+=

( )14.1

9.1497.04.37kε4.37λ w

w ==47.12/2000t/d

τ

=

- quando w 1.2λ ≤ :

[ ]( ) [ ]( ) MPa 9.1133/25014.1/9.03/fλ/9.0τ ywwba ===


o subitem (1):

( ) kg 6.28406639.1147.122000γ/τdtV 1MbawRd,ba ===

8.2.6.4.2 Método do campo de tração - item 5.6.4

313



( ) ( )[ ] 1MbbwbbRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V w

- cálculo de conforme 5.6.4.1(2):


bbτ

ser calculados

utilizando a ação do campo de tração. Este painel foi verificado no item anterior pelo método

simples pós-crítico do Eurocode 3, onde foi obtida uma resistência nominal ao cisalhamento

g o que indica que sua resistência é satisfatória e o

s pain


Os painéis com espaçamento a=800 mm entre os enrijecedores não devem

de kg 2.359884=V Rd,ba > k 179266=VSd

espaçamento a=800 mm para o éis extremos pode ser considerado.

( ) 2.1=5.134.37

=kε4.37

=λτ

w 97.047.12/2000t/d w

quando 25.1<λ<8.0 w :

( ) ( )( ) ( )

wbb yw1 0.8 0.8 f / 3

1 0.8 1.2 0.8 250 / 3 98.15 MPa

⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦

= − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) – Eurocode 3:

- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2 – Eurocode 3:

( ) ( ) o55=rad 96.0=1400/2000arctan=a/darctan=Θ o67.36=rad 64.0=5.1/96.0=5.1/Θ=φ

Sd,fN

kg 06.439787=1.38+2000t+d f

Sd,f

- cálculo do momento plástico reduzido Nf ,RkM da mesa, conforme 5

896330000=

M=N sd

.6.4.1(4) – Eurocode 3:


2

kgmm

( )( ) ( )( )Nf ,Rk 0.25 600 31.75 25.0 1 439787.06 / 600 31.75 25.02

M

556690.1

⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ =

- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) – Eurocode 3: bbσ

( ) ( ) MPa 0.141rad 64.sin15.985.1φ2sinτ5.1Ψ bb ===

314

[ ]( )[ ]MPa 25.90σ

0.1410.14115.983250

ΨΨτ3fσ

bb

5.0222

5.022bb

2ywbb

=−+−=

−+−=


comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:

( ) ( ) mm4.23503.947.121.556690

64.0sin2s

8.0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=


( )( ) ( ) (mm

φsinssaφcosdg tc −−−=)

3.1049g64.0sin4.2354.235140064.0cos2000

=

−−−=

1400

20001049.3

36.67

36.67

235.4

235.4 Figura 8.2.4 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).

or cisalhamento deve ser obtida por:

- a resistência de projeto à flambagem p Rd,bbV

( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )

kN 6.3082V64.0sin25.9047.123.10499.015.9847.122000

γ/φsinσgt9.0τdtV

Rd,bb

1MbbwbbwRd,bb

=+=

+=

( )

nto fletor e força axial – item 5.6.7


8.2.6.5 Interação entre força cortante, mome

315

- cálculode Rd,fM , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3):

yfxRd,f FZ=M

- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das m sas:

- módulo plástico somente das mesas:




de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte

io deve ser satisfeito:

exZ

( ) ( ) 3f,pl mm 4.44327597=1315.831.75600+722.245.44600=W

( ) kg.mm 1108189935=0.254.44327597=M Rd,f

SdM ≤ f ,Rd Sd ba,RdM e V V≤

- para o caso em análise, kg 270100=V Rd,ba

SdV Rd,baV-

critér

( ) ( )2


- cálculo de Rd,plM :

kgmm1454264935=M Rd,pl

( )SdM 1108189935 1454264935 110818≤ + −

( )( )2

Sd

9935

1 2 179266 / 270100 1

M 1415125195 kgmm

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

≤

como , o critério de interação entre força cortante, momento fletor e

po de tração – item 5.6.7.3

kgmm 887800000=Msd

força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.

8.2.6.5.2 Método do cam


( )( ) ( ) ( )


2000cos 0.48 1400 sin 0.48g 1127.5 mm

= φ− − − φ

= −

=

316

- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento Rd,bwV deve ser obtida por:

( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]

kgf 5.382388=V48.0sin57.2347.125.11279.0+81.947.122000=


Rd,bw

1MbbwbbwRd,bw

o item 5.6.7.3 (4) diz que se for provido que SdV não exceda 50% de Rd,bwV a resistência de

projeto da seção transversal para o momento fletor e força axial não precisa ser reduzido para

permitir a força cortante.

Como kg179266=VSd , os requerimentos de interação entre força cortante e momento fletor

adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram satisfeitos para a viga dimensionada por

PFEIL (1989).

317

8.3 Exemplo 3

8.3.1 Dimensões propostas por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992)

NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) propôs o

seguinte problema de dimensionamento:

2140 1280520

5201280 2140

15989 1598917458

Força cortante kN

Momento fletor kNm

300009350 11300 9350

760 kN 760 kN92 kN/m

Figura 8.3.1 (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado e diagramas (medidas em mm).

1850 18502500 2500 2500 2500 2500 25002825 2825 2825 2825

30000

2 x 240 x 222 x 240 x 22

todos os enrijecedores intermediários2 x 80 x 13

700

50

50

2100

14

Figura 8.3.2 (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Detalhamento final das dimensões calculadas (medidas em mm).

318

A viga mostrada na figura 8.3.1 é totalmente restringida através do seu

comprimento. Para o carregamento mostrado projetar uma viga esbelta enrijecida em aço

Grade 43 ( )MPa 400=f MPa; 255=f uy . A altura da viga é irrestrita.

Neste exemplo é feita a verificação de uma viga esbelta proposta por

NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), onde ele deixa clara

a aplicação específica de vigas esbeltas em edifícios e com certa freqüência em pequenas

pontes de vãos médios. Na verificação dos cálculos executados, o autor utiliza os

procedimentos das normas BS 5950 Parte 1 e BS 5400 Parte 3. Estas dimensões serão

verificadas nos itens seguintes, através das normas utilizadas neste trabalho e também pelas

teorias propostas pelos diversos autores considerados.


JUHÁS (2001)

Neste item, as dimensões propostas por NARAYANAN (1992 apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992), alterando-se apenas a espessura da alma, reduzindo-a de

14 mm para 12.47 mm, serão utilizadas para a verificação de sua capacidade de carga ao

momento-cortante, conforme a teoria proposta por JUHÁS (2001). De acordo com a figura

3.3.1.3, podem ser calculados os parâmetros, observando o detalhamento da figura 8.3.2:

1=f/f=m ywyf

para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=1850 mm, a=2500 mm, e

a=2825 mm.

d/a=α

para a=925 mm, 463.02000/925d/aα ===

para a=2500 mm, 250.12000/2500d/aα ===

para a=2825 mm, 410.12000/2825d/aα ===

- cálculo de β :

4.16047.12/2000t/dβ w ===

- cálculo de : γ

wf A/A=γ

( ) 2f mm 35000=70050=A

( ) 2w mm2494047.122000A ==

319

40.124940/35000A/Aγ wf ===

- cálculo de :

- cálculo de :

do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a fórmula

3.3.1.2:

cálculo de (módulo plástico das mesas):

cálculo de (módulo plástico da alma):


)

δ

( ) 05.1=2000/100+2000=d/h=δ

0δ

( ) ( ) 025.1=2/05.1+1=2/δ+1=δ0

- cálculo

w,plywf Wf+,plyfw,plf,plpl Wf=M+M=M

f,plW

( ) ( )f,pl 71=1025507002=W 3mm 750000

w,plW

( ) ( ) 3w,pl mm 12470000500100047.122W ==

( )( 1247000071750000250WfWfM w,plywf,plyfpl

+=

+=

kNm0.21055M pl =

se da, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de

- cálculo de :

Pode-se, em gui bM :

0ξ

( )( ) 40.06

025.140.161200017458000

2140ξ2

0 =+

=

( ) 22.140.031ξ 2 =+=

( )( ) ( ) ( )( )( )32b 22.13/025.122.1/1025.140.1412470000250M −+=

kNm5.19848 M b =

Da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:

- cálculo da força cortante última Mu,V :

( ) kN78.35993/47.1220002503/AfV wyw ==pl =


426.040.022.1

arcsin3

ξ1 =−= 122.1 2

320


( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) 022.1

40.03426.022.1025.140.1925.2

322.140.040.06426.0025.140.195.1

78.3599V

78.3599V

2

2

222M,u

2M,u

=−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pode-se encontrar Mu,V :

kN 1946V M,u =


( )( ) (( )

)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 022.1

025.140.15.440.025.2+

40.03426.0426.022.1

40.09426.0025.140.1975.378.3599

V322.140.0

40.09426.0025.140.195.178.3599

V

78.3599V

3

322

222M,u

2222M,u

3M,u

=−−

−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


kN 8.2787V M,u =

De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para calcular a

força cortante última Mu,V . O menor valor é válido. Mu,V é a força cortante última

depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor últ Vu,M

depende da força cortante V agindo n

que

imo

a seção transversal. O momento fletor último

ser calculado pela equação 3.3.1.11:

pode Vu,M

( )( )( ) 025.140.41

025.140.16140.033

278.3599

194621055M 2

V,u

++

= 1

kNm 9.15965= M V,u


( ) ( )2u,M pl lim

V / V 0.25 0.48 1.26= − +

321



( ) 96.339481=19.40414584.0=V kg=3394.8 kN

JUHÁS(2001) observa que é evidente das f 1.5 e 3.3.1.6 que se a força cortante

limM,u,V<V , então a força cortante influencia o momento fletor último Vu,M

desprezivelmente, mas se a força cortante limM,u,V>V , então a força cor influencia o

momento fletor último Vu,M significan me

M.limu,

iguras 3.3.

tante

te ento da força cortan

propo ão

nor que a proporção lim

nte. Com o increm te V o

deveria ser momento fletor último Vu,M decresce rapidamente. Para isto, a rç plV/V

me ite ( )limplMu, V/V .

porção De acordo com esta observação, podemos calcular a pro pl :

59.078.3599/2140V/V pl

V/V

==

onde se pode observar que o valor calculado de 59.0V/V pl = é menor que o limite


Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de interação, as quais

serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de seções transversais

homogêneas:

170.021402140174584.117458 2222

=⎟⎞

⎜⎛+⎟

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛−⎟

⎞⎜⎛

78.359978.35992105521055≤

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

onde se verifica que o valor obtido ficou abaixo de 1. Em eguida, utilizaremos as equações


s

( )( )

18.178.3599/214040.11

78.3599/214011.1φ 2

2

v =−−

=


1.189.078.3599

21401.178.3599

214040.11 ≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-1(2001) Design

of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:

lma

2


- cálculo do momento plástico da a w,plM :

322

( ) kNm 5.311712470000250M w,pl ==

substituindo na equação 3.3.1.16:

( ) 183.0178.3599

2140221055

5.31172105517458 2

≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Portanto, a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

OWLING, 1992) atende às condições da teoria de capacidade de carga ao momento-cortante

.3.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH

Tensão de cisalhamento crítica atuan na seção:

D

proposta por JUHÁS (2001).

8

(1952)

te

( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===

MPa 29.42σ1 =

- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores a=925

mm:

46.02000925

baα ===

49.080.8529.42

τσ

βxy

1 ===

( )( )

( ) MPa 87.1722000

47.123.0112

205000π24

bt

ν112Eπ24σ

2

2

2

2

2

2

c1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=o

( )( )( ) ⎟

⎠⎝⎠ 246.01

τ c =o

⎞⎜⎛ +⎟

⎞⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2

2

2

2

2

2

2

c

34.542000

47.123.012

205000π

α34.54

bt

ν112Eπτ o

Este valor encontrado, , ultrapassa o valor do limite proporcional, que para

MPa 58.210

MPa 58.210τ c =o

o valor da tensão de escoamento é

( ) MPa 200=2508.0=σ p

323

deve-se então utilizar a fórmula da tensão crítica na extensão inelástica fornecida por

BLEICH (1952), que neste caso é a equação 5.24:

( )22

2i2 22

E t 124 3b 112 1

σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠

( )22.1

46.09

261

α9

261

24α/34.54

κ22

2

=+=+=+

=

( )( ) ( )

( )222

2

2

2i

22.149.011349.0

22.1242000

47.123.0112

205000πτ

σ

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 84.325σ i = τ

para a determinação de , deve-se antes utilizar a equação 5.3 para a determinação do valor

de

iσ

τ

( )( )

y c c

y p p

σ −σ στ =

σ −σ σ

como tensão de escoamento e adotando os valores de

.1 para os

la 8.2.

Fazendo , a tabela 8.2.2 fornece os valores de em função de

Considerando o valor de MPa250=f y

MPa 200σ p = e MPa 250σ y = na equação acima, pode-se utilizar a tabela 8.2

valores de cσ .

Utilizando os valores de τ calculados na tabela 8.2.1, pode-se obter a tabe 2.

ic σ=σ iσ τ/σ i . Para

os painéis finais com espaçamento a=925 mm, foi encontrado o valor de τ/σ i :

MPa 84.325τ

σ i =

e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de :

Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de iσ :

MPa 50.228σ i =

c1c σ e τ

MPa 94.126349.0

50.228

3β 2 +

στ

2

ic =

+==

( ) MPa 20.6294.12649.0βτσ cc1 ===

324

Se for considerado o valor de , tem-se: 0=τ/σ=β xy1

( )( ) ( ) MPa2.47.12205000πσ 22

i ⎞⎛

Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de :

e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de :

9365322.12420003.0112τ 2 =⎟

⎠⎜⎝−

=

iσ

MPa 60.232σ i =

c1c σ e τ

MPa 29.134360.232

3β

στ

2

ic ==

+=

0βτσ cc1 ==


( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===

MPa 29.42σ1 =

25.120002500

baα ===

49.080.8529.42

τσ

βxy

1 ===

( )( )

( ) MPa 87.1722000

47.123.0112

205000π24

bt

ν112Eπ24σ

2

2

2

2

2

2

c1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=o

( )( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

c

25.1434.5

200047.12

3.0112205000π

α434.5

bt

ν112Eπτ o

M 90.56τ c =o Pa

O valor acima, MPa 90.56τ c =o , representa a tensão crítica de cisalhamento para

esta chapa em cisalhamento puro, considerando

suas dimensões e espaçamento entre


( ) 33.025.161

92

α61

92

24α/434.5κ 22

2

=+=+=+

=

325

( )( )( ) ( ) ( )22

2

2

2

22

2

2

2

c

33.049.01133.024

200047.12

3.0112205000π

κβ11κ24

bt

ν112Eπτ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 31.56τ c =

( ) MPa 60.2731.5649.0βτσ cc ===




MPa 31.56τ c =



( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===

MPa 29.42σ1 =

41.120002825

baα ===

49.080.8529.42

τσ

βxy

1 ===

( )( )

( ) MPa 87.1722000

47.123.0112

205000π24

bt

ν112Eπ24σ

2

2

2

2

2

2

c1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=o

( )( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

2

2

2

2

2

2

2

2

c

41.1434.5

200047.12

3.0112205000π

α434.5

bt

ν112Eπτ o

MPa 96.52τ c =o

O valor acima, , representa a tensão crítica de cisalhamento para



MPa 96.52τ c =o

( ) 31.041.161

92

α61

92

24α/434.5κ 22

2

=+=+=+

=

326

( )( )( ) ( ) ( )22

2

2

2

22

2

2

2

c

31.049.01131.024

200047.12

3.0112205000π

κβ11κ24

bt

ν112Eπτ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

MPa 98.52τ c =

( ) MPa 96.2598.5249.0βτσ cc ===




MPa 98.52τ c =


8.3.1.3 Verificação da tensão admissível de cisalhamento utilizando a teoria de YU

(1991)

Para a viga dimensionada no exemplo 3, pode-se utilizar a teoria proposta por YU

(1991) para verificar a força cortante admissível:


( ) ( )96.28

2000/92534.54

h/a34.54k 22v =+=+=

para yv F/Ek38.1t/h ≤ ,

htF6.0EFkt64.0V yyv2

a ≤=

( ) 7.212250/20500096.2838.1 =

como h/t=2000/12.47=160.4<212.7,

( ) ( ) kN 1.383420500025096.2847.1264.0V 2a ==

O valor de deve se menor que kN 1.3834Va = ( ) ( ) kN 374147.1220002506.0htF6.0V ya ==≤

portanto, tem-se que

kN 3741Va =

O valor obtido acima representa a força cortante resistente do painel para flambagem elástica,

sem a ação do campo de tração. Como kN 3741Va = ultrapassa a força cortante solicitante,

, o espaçamento a=925 mm deve ser considerado, porque painéis extremos não

podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.

kN 2140Vsd =

327


( ) ( )9.7

2000/2500434.5

h/a434.5k 22v =+=+=


v

3

a kht

E904.0=V

( ) 1.111250/2050009.738.1 =

como h/t=160.4>111.1,

( ) kN 4.14199.72000

205000904.0Va ==


flambage te valor, kN 4.1419Va

47.12 3

m elástica. Es = é menor que a força cortante solicitante de

cálculo, kN 2140Vsd = . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para

o cálculo


da força cortante resistente para estes painéis.

( ) ( )3.7

2000/2825434.5

h/a434.5k 22v =+=+=


v

3

a kht

E904.0=V

( ) 8.106250/2050003.738.1 =

como h/t=160.4>106.8,

( ) kN 6.13113.72000

205000904.0Va ==


flambage te valor, kN 6.1311Va

47.12 3

m elástica. Es = é menor que a força cortante solicitante de

cálculo, kN 2140Vsd = . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para

o cálculo da força cortante resistente para estes painéis.

8.3.1.4 tica utilizando o método do

mpo de tensões principais de HÖGLUND (1998)

Verificação da força cortante resistente caracterís

ca

328

cr

vw τ

f=λ

A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.3.1.2, para painéis


MPa3.134τ cr =

MPa3.1443

2503

ff yw

v ===

04.13.1343.144λw ==

( ) ( ) 00.104.132

104.1411

04.13

λ321

λ411

λ3

fτ

24

4

2w

4ww

4

v

u

=−−=

−−=

O valor de 00.1fτ

v


. 04.1λw =

46.004.1/48.0λ/48.0ρ wv ===


se o valor de λ .

46.0ρ v =

04.1w =

( ) ( ) kN1.286847.12200025046.0thfρV wwywvw ===

Para painéis com espaçamento a=2500 mm:



MPa9.56τ cr =

MPa3.1443

2503

ff yw

v ===

59.19.563.144λw ==

329

( ) ( ) 77.059.132

159.1411

59.13

λ321

λ411

λ3

fτ

24

4

2w

4ww

4

v

u

=−−=

−−=

O valor de 77.0fτ

v


. 59.1λw =

( ) ( ) 34.059.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=


se o valor de λ .

34.0ρ v =

59.1w =

( ) ( ) kN0.212047.12200025034.0thfρV wwywvw ===

Para painéis com espaçamento a=2825 mm:



MPa0.53τ cr =

MPa3.1443

2503

ff yw

v ===

65.10.533.144λw ==

( ) ( ) 75.065.132

165.1411

65.13

λ321

λ411

λ3

fτ

24

4

2w

4ww

4

v

u

=−−=

−−=

O valor de 75.0fτ

v


. 65.1λw =

( ) ( ) 34.065.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=


se o valor deλ .

34.0ρ v =

65.1w =

( ) ( ) kN0.212047.12200025034.0thfρV wwywvw ===

330

8.3.2 Verificação segundo a LRFD

8.3.2.1 Limitações – item G1

(a) para a 1.5h≤ :

w yf

h 2000t f

≤

- adotando a conversão , teremos: ksi 23.36=MPa 250=Fyf

w

h 2000 335.38t 36.23

≤ =

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas devem ter o parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma:

yfr

w F970

=λ>th

=λ

Para este caso,

15.161=23.36

970=

F970

=λ>th

=λyf

rw

A viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,

1992) apresenta a espessura da alma de 14 mm. A partir desse instante, iremos considerar uma

redução na espessura da alma:

ww

h 2000161.15 335.36 t 12.41 mmt 161.15

= < ⇒ = =

A redução da espessura da alma de 14 mm para 12.41 mm pode ser considerada. Pode-se

observar que a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992), após esta pequena modificação (redução) na espessura da alma, atende às

especificações da LRFD referentes a vigas esbeltas.

8.3.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2


obtido pela seguinte fórmula:

xtS xtS é

331

t

xxt y

I=S



seção está a meia da altura da alma.

xI ty

( )( ) ( )( )

( )12200041.12

+1025507002+12

250700=I

32

3

x

44x in. 4.196601=mm 08183166666=I

então pode-se calcular o valor de xtS :

33

t

xxt in. 9.4871=mm 4.79835772=

102508183166666

=yI

=S

- cálculo de xcS :

33

c

xxc in. 9.4871=mm 4.79835772=

102508183166666

=yI

=S





AI

=r yT





( ) ( )( ) 4433

y in. 71.3433=mm 1429219757=12

41.123/1000+

1270050

=I


( ) ( ) 22 in. 66.60=mm 7.39136=3/100041.12+70050=A


in. 52.7=66.60

71.3433=rT

332

1=Cb .


16.59=52.7

88.444=

rL

=λT

b

31.50=ksi 56.35

300=

F300

=λyf

p

78.126=ksi 56.35

756=

F756

=λyf

r

286000=Cpg

b) estado limite de flambagem local da me primida (FLM) sa com

( ) 99.6=969.1255.27

=t2

b=λ

f

f

9.10=56.35

65=

F65

=λyf

p

82.22=35.0/56.35

230=

k/F230

=λcyf

r

( ) 91700=35.026200=Cpg

316.0=38.160/4=t/h/4=k wc

la ura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.

- para o e limite de f bagem lateral com torção (FLT)

para

ff t e b são a rg

- cálculo de crF :

stado lam

p rλ < λ ≤ λ

crF 35.56 1 33.50 ksi2 126.78 50.31

= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 59.16 50.31⎡ − ⎤⎛ ⎞


para pλ ≤ λ

ksi 35.56=F=F yfcr

e


- cálculo d PGR :

crF

ksi 33.50=Fcr

333

( )PG0.71 970R 1 161.15 1.00

1200 300 0.71 33.50⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

( )( ) 71.0=50700

41.122000=a r

- cálculo de : nM


( ) ft-kip 18.14445=12/ksi 35.58in. 9.4871=FS=M 3ytxtn

b) para flambagem

( ) ft-kip 72.13600=12/ksi 33.50in. 9.4871=FRS=M 3crPGxcn

O valor encontrado para o momento fletor resistente característico ultrapassa o momento

fletor solicitante de cálculo, pois o valor acima obtido pode ser convertido

e de acordo com a viga calculada

por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do

momento fletor solicitante de cálculo tem o valor de

.

kNm 18803.6=kgmm 1880357098=ft-kip 72.13600=M n

ft-kip 12643.91= tm8.1745=kNm 17458=Msd

Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ as mesas, de acordo com a LRFD.

8.3.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração – item

G3

- para a região dos painéis extremos, com espaçamento a=1850 mm entre os enrijecedores:

Como para painéis finais não se pode usar o efeito do campo de tração, utilizar a

LRFD – Formula (A-G3-1)

( ) ( ) 84.10=2000/1850

5+5=

h/a5

+5=k 22v

29.102=23.3684.10

187=Fk

187>16.161=th

yw

v

w

portanto, o valor de da viga ultrapassa o valor limite, e considerando o fato de que a

alma da viga proposta por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,

1992) sofreu uma redução na sua espessura, de 14 mm para 12.41 mm, houve uma redução

em sua resistência nominal ao cortante, e tem também o fato de que para painéis extremos não

wt/h

334

deve ser considerada a ação do campo de tração, tentaremos diminuir o espaçamento a entre

os enrijecedores dos painéis finais.

Tentar diminuir o espaçamento a = 1850 mm para a = 925 mm e fazer a verificação.

Considerando a=925 mm,

( ) ( ) 37.28=2000/9255

+5=h/a

5+5=k 22v

47.165=23.3637.28

187=Fk

187<16.161=th

yw

v

w

De acordo com a LRFD – Apêndice G3,

para w vh / t 187 k / F≤ yw

ywwn FA6.0=V

( ) ( ) kgf 66.378874=kips 28.835=ksi 23.36.in 74.78in. 488.06.0=Vn =3788.7 kN

o valor obtido para a resistência de projeto ao cortante,

=3788.7 kN, representa a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração, o

que está de acordo com a LRFD - Apêndice G3 que diz que em painéis finais, a ação do

campo de tração não é permitida. A resistência de projeto ao cortante obtida acima ultrapassa

o valor da força cortante solicitante de cálculo fornecida por NARAYANAN (1992, apud

OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) em seu projeto, que é

.

kgf 66.378874=kips 28.835=Vn

kips 09.481=kgf 27.218219=kN 2140=Vsd

Considerar o espaçamento a=925 mm para os painéis finais.


( ) ( ) 2.8=2000/2500

5+5=

h/a5

+5=k 22v

32.111=23.362.8

234=Fk

234>16.161=th

yw

v

w

( )( )

( ) 38.0=23.3616.161

2.844000=

Ft/hk44000

=C 2yw

2w

vv

E a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração, de acordo com a LRFD é: ( )( ) ( ) kgf143974=kips41.317=38.023.36488.074.786.0=CFA6.0=V vywwn

Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração – LRFD – Apêndice G3:


335

( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )( )

n 2

1 0.38V 0.6 78.74 0.488 36.23 0.381.15 1 98.42 / 78.74

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

kgf 271579.75=kips 73.598=Vn =2715.8 kN

Este é o valor da força cortante resistente de projeto, calculado de acordo com a LRFD -

Apêndice G, =2715.8 kN. O valor da força cortante

solicitante de projeto máxima para estes painéis tem o valor

kgf 271579.75=kips 73.598=Vn

kgf 200884.09=kips 87.442=kN 1970=Vsd

Considerar os painéis intermediários com espaçamento a=2500 mm na posição entre os

painéis finais e a carga concentrada, de cada lado.


- cálculo de vC :

( ) ( ) 5.7=2000/2825

5+5=

h/a5

+5=k 22v

47.106=23.365.7

234=Fk

234>16.161=th

yw

v

w

( )( )

( ) 35.0=23.3616.161

5.744000=

Ft/hk44000

=C 2yw

2w

vv

Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração – LRFD – apêndice G3:


( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )( )

n 2

1 0.35V 0.6 78.74 0.488 36.23 0.351.15 1 111.22 / 78.74

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

kgf 256346.39=kips 15.565=Vn =2563.5 kN

Este é o valor da força cortante resistente de projeto, calculado de acordo com a LRFD -

Apêndice G, =2563.5 kN. O valor da força cortante kgf 256346.39=kips 15.565=Vn

336

solicitante de projeto máxima para estes painéis tem o valor

kgf 24.30255=kips 9.116=kN 520=Vsd

Considerar os painéis intermediários com espaçamento a=2825 mm na posição entre as cargas

concentradas.

8.3.2.4 Enrijecedores transversais – item G4

Área do enrijecedor não deve ser menor que:

( )yw 2ust w v w

yst v n


⎡ ⎤= − −⎢ ⎥φ⎣ ⎦

≥

( )( )( ) ( ) ( )2 2st

443A 0.15 78.74 0.491 1 0.38 18 0.491 1.76 in.0.9 598

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

=

os enrijecedores calculados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) têm a seguinte dimensão:

b=172 mm=6.77 in.; t=13 mm=0.512 in.; 2st in. 47.3=A

Item F2.3 – Apêndice F – LRFD:

( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 0.5 2.5 / 72.83/ 78.74 2 0.92= − ≥ ⇒ − =

( ) 93.7=92.0491.083.72=jat 33w

momento de inércia dos enrijecedores:

( ) 43st in. 24.13=12/77.6512.=I

Os enrijecedores dimensionados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) atendem às exigências da LRFD.




- De acordo com o contido no item F-1 do Anexo F – NBR 8800/86, analisando a viga

dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a

maior relação a/h, é 2825/2000 que dá um valor de 1.413, que é menor que 1,5 fixado na

337



( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax


86.142=14/2000=t/h=λ w



Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o

Anexo D desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma

(FLA) contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte

fórmula:

rλ

rλ

36.160=250

2050006.5=

fE

6.5=λy

r

onde pode-se observar que , o que não satisfaz a condição e não enquadra a peça na

condição de vigas esbeltas. A viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992) é não-compacta para o parâmetro de esbeltez de flambagem

local da alma. Para que possamos prosseguir com a verificação considerando a viga como

viga esbelta, tentaremos modificar as dimensões da alma para que se tenha o valor

, onde conservaremos a altura da alma:

rλ<λ

36.160=λ

ww

h 2000160.36 t 12.47 mmt 160.36

λ = = ⇒ = =

portanto, para que possamos enquadrar a viga na categoria de vigas esbeltas, dimimuiremos a

espessura da alma da viga proposta por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992), de 14 mm para 12.47 mm, e prosseguiremos com a verificação de acordo

com os anexos F e G da NBR 8800/86, que tratam de vigas esbeltas.




xtW xtW

338

t

xxt y

I=W


entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade.

xI ty

( )( ) ( )( )

( )12200047.12

+1025507002+12

507002=I

32

3

x

4x mm 08187166666=I


3

t

xxt mm 87.77973015=

105008187166666

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

c

xxc mm 87.77973015=

105008187166666

=yI

=W

- Cálculo de : 'r

'p λ e λ ,λ

- calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr



AI

=r yT





( ) ( )( ) 433

y mm 1429220531=12

47.123/1000+

1270050

=I


( ) ( ) 2mm 67.39156=3/100047.12+70050=A


mm 05.191=67.39156

1429220531=rT

339

1=Cb


14.59=05.191

11300=

rL

=λT

b

11.50=250

20500075.1=

fE

75,1=λy

p

14.127=250

20500044.4=

fEC

44,4=λy

br

MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg


( ) 00.7=502

700=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

91.24=250

20500087.0=

fE

87,0=λy

'r

( ) MPa 77900=20500038.0=E38,0=Cpg


- cálculo de crf :


para 'r

'p λ <λ<λ

'p

cr y ' 'r p

cr

cr

f f 1 0.5

59.14 50.11f 250 1 0.5127.14 50.11

f 235.34 MPa

⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=

⎤


para 'pλ ≤ λ

MPa 250=f=f ycr

- cálculo de pgk :

340


crf

MPa. 34.235=fcr

( )( )pg

12.47 2000 205000k 1 0.0005 160.38 5.6 1.00700 50 235.34

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

- cálculo de : nM


( ) kg.mm 1949325397=kg/mm 0.25mm 87.77973015=fkW=M 23ypgxtn

b) para flambagem

( ) kg.mm 1834705063=kg/mm 3.532mm 87.77973015=fkW=M 23crpgxcn


.De acordo com a viga calculada por NARAYANAN

(1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor

solicitante de cálculo tem o valor de 17458 kNm que convertido para toneladas metro tem o

valor de 1780.22 tm.

tm.711834=kg.mm 1834705063=M n

Aceitar chapas das mesas de dimensões 700x50 mm, de acordo com a NBR 8800/86.

8.3.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G


- Para a verificação da resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, da

viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992),

iniciaremos procedendo os cálculos de , de acordo com o ítem 5.5.2 da NBR

8800/86. A força cortante solicitante de projeto tem o seguinte valor:

rp λ e λ ,λ

tf22.218=kN 2140=V maxd (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992).

- para a região da viga com espaçamento a=1850 mm:

( ) 24.10=2000/185034.5

+4=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

341

( )96.98=

25020500024.10

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )29.128=

25020500024.10

40.1=fkE

40,1=λy

r

de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2

pn pl

98.96V 1.28 V 1.28 374100 182312.58 kgf160.38

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠


O valor obtido acima, , representa o valor da força cortante

resistente nominal de cálculo, sem a ação do campo de tração. Este valor não ultrapassa o

cortante solicitante de cálculo, . Como para painéis finais não se deve usar a

ação do campo de tração, tentaremos reduzir o espaçamento entre os enrijecedores dos painéis

finais, de 1850 mm para 925 mm e novamente utilizar o item 5.5.2 da NBR 8800/86, que

calcula a força cortante resistente sem a ação do campo de tração:

tf182.31=kgf 58.182312=Vn

tf22.218=Vsd

- Considerando espaçamento a=925 mm para os painéis finais:

( ) 96.28=2000/92534.5

+4=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

( )42.166=

25020500096.28

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )74.215=

25020500096.28

40.1=fkE

40,1=λy

r

de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , pλ<λ

kgf 374100=V=V pln


O valor obtido acima, > t , indica que o cortante resistente

sem a ação do campo de tração ultrapassa o cortante solicitante, então,

kgf 374100=Vn f22.218=Vsd

Considerar o espaçamento a=925 mm para os painéis finais.

- O item G-1 - Anexo G - NBR 8800/86 - Resistência de cálculo à força cortante, incluindo o

efeito do campo de tração, não deve ser usado para painéis extremos.

342


( ) 90.7=2000/2500

4+34.5=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

( )92.86=

25020500090.7

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )68.112=

25020500090.7

40.1=fkE

40,1=λy

r


pn pl

86.92V 1.28 V 1.28 374100 140649.02 kgf160.38

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠


- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à

força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:

para r λ>λ

2 2p p'

n pl V 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

2'n

' n

86.92 86.92V 1.28 0.543 1 1.28 374100160.38 160.38

V 267412.9 kgf

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

=

2

Onde:

2

1 0.54325001.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

A força cortante resistente característica ultrapassa a força

cortante solicitante de cálculo, , o que indica que o

dimensionamento do espaçamento a=2500 mm na região entre os painéis finais e a carga

concentrada, simetricamente, é satisfatório.

kgf 9.267412=V 'n

tf88.200=kN 1970=V maxd


343

( ) 34.7=2000/2825

4+34.5=k 2

38.160=47.12

2000=

th

=λw

( )78.83=

25020500034.7

08.1=fkE

08,1=λy

p

( )61.108=

25020500034.7

40.1=fkE

40,1=λy

r


pn pl

83.78V 1.28 V 1.28 374100 130670.62 kgf160.38

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠


- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à

força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:

para r λ>λ

2 2'n

' n

83.78 83.78V 1.28 0.502 1 1.28 374100160.38 160.38

V 252872.17 kgf

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

=

onde:

2

1 0.50228251.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

A força cortante resistente característica ultrapassa a força cortante

solicitante de cálculo, , o que indica que o dimensionamento do

espaçamento a=2825 mm na região entre os painéis finais e a carga concentrada,

simetricamente, é satisfatório.

kgf 17.252872=V 'n

tf03.53=kN 520=V maxd

Aceitar chapa da alma com altura h=2000 mm e espessura mm 47.12=t w , e espaçamento

entre enrijecedores a=925 mm nos painéis finais, a=2500 mm nos painéis situados entre os

painéis finais e as cargas concentadas e espaçamento a=2825 para os painéis situados entre as

cargas concentradas.

344

8.3.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2

- com estas considerações, pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga, a

região com espaçamento de 1850 mm e a região com espaçamento de 2500 mm entre os

enrijecedores:

- para a região com a=1850


ultrapassar:

75.15=250

20500055.0=

fE

55,0y

os enrijecedores dimensionados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) têm a seguinte dimensão:

b=172 mm; t=13 mm.

A relação largura/espessura é:

172/13=13.23



( )450/h .4 4

4h 2000 2560000 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( )( ) ( )

st

2

1 140649 / 374100A2

1 1.15 0.54 2500 / 2000 2500 12.47 2176.44 mm

−=

− =

2

1 0.5425001.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

- se a requerida área=2176.44, pode-se calcular a área do enrijecedor:

área = 13(172)=2236


4h 2000 2560000 mm50 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

):

( ) 4

33

mm 3.5512485=1217213

=12bh

345

portanto, o requerimento de momento de inércia foi satisfeito.

- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 13 x 80 mm..



por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), seguindo os

critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma Brasileira. Na verificação serão

utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de

estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), que tratam

do estudo de vigas esbeltas.



- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por NARAYANAN (1992,

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a maior relação a/h, é 2825/2000 que dá

um valor de 1.41, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste caso, pode ser tomado

igual a

maxλ

yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação, substituindo os valores de E e

usados no dimensionamento da viga, obtém-se:

yf

( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax


86.142=14/2000=t/h=λ w



- com base no item F.1.2 – Anexo F - PNBR 8800/03, viga esbelta deve ter a relação

superior a

wt/h

yf/E70,5

wh / t 5.7 205000 / 250 163.22≥ =

para a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) se enquadra na categoria de vigas não-compactas. Para esta se enquadrar

346

na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a redução na espessura da

alma:

w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =

Considerar a redução na espessura da alma, de 14 mm para 12.25 mm.




xtW xtW

t

xxt y

I=W



xI ty

( )( ) ( )( )

( )12200047.12

+1025507002+12

507002=I

32

3

x

4x mm 08187166666=I


3

t

xxt mm 87.77973015=

105008187166666

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

c

xxc mm 87.77973015=

105008187166666

=yI

=W


( ) ( )( ) 433

y mm 1429217730=12

25.123/2000+

1270050

=I


( ) ( ) 2mm33.39083=3/100025.12+70050=A


mm 23.191=33.39083

1429217730=rT

1=Cb .


347

09.59=23.191

11300=

rL

=λT

b

40.50=250

20500076.1=

fE

76,1=λy

p

14.127=250

20500044.4=

fEC

44,4=λy

br

MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg


( ) 0.7=502

700=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

87.22=35.0/250

20500035.1=

k/fE

35.1=λcy

'r

c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =

Considerar ck 0.3= 5

( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg


- cálculo de : crσ



cr59.09 50.40250 1 0.5 235.84 MPa

127.14 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦


para pλ ≤ λ

MPa 250=f=σ ycr

- cálculo de : pgk


crσ

MPa. 84.235=σ cr

348

( ) ( )( )( ) ( )( )pg

12.25 2000 / 50 700 205000k 1 163.22 5.7235.841200 300 12.25 2000 / 50 700

1.00

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

=

- cálculo de : nM


( )n xt pg y

3 2

M W k f

77973015.87 mm 25.0 kg/mm

1949325397 kgmm

=

=

=

b) para flambagem

( )n xc pg cr

3 2

M W k

77973015.87 mm 23.53 kg/mm

1834705063 kgmm

= σ

=

=



(1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor

solicitante de cálculo tem o valor de 17458 kNm que convertido para toneladas metro tem o

valor de 1780.22 tm.

tm.711834=kg.mm 1834705063=M n

Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ mesas, de acordo com a

PNBR 8800/03.

8.3.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -

anexo G (normativo)





( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A


349


- como se pode observar na viga que foi dimensionada por NARAYANAN (1992,

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) existem três espaçamentos diferentes ao

longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais, têm os espaçamentos, a =

1850 mm, entre os enrijecedores, e na região entre os painéis finais e a posição das cargas

concentradas, de cada lado, com espaçamento a=2500 mm, e a região central do vão, o

espaçamento a = 2825 mm. O valor de será calculado para cada configuração da viga: η


2

1 0.63818501.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠


2

1 0.54325001.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠


2

1 0.50228251.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos no item 5.4.3.2.1 da NBR 8800. rp λ e λ ,λ

- Utilizando as equações do item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, será necessária a

obtenção dos parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :

- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas

regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força

cortante resistente característica nestas duas configurações:

vk


a/h=1850/2000=0.925

( ) 84.10=925..05

+5=h/a

5+5=k 22v

para a=2500 mm (painéis centrais):

a/h=2500/2000=1.25

350

( ) 2.8=25.15

+5=k 2v


a/h=2825/2000=1.413

( ) 5.7=413.15

+5=k 2v

Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros ,

para cada configuração:

vk rp λ e λ ,λ

Painéis finais:

26.163=25.12

2000=

th

=λw

( )71.103=

25020500084.10

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )16.129=

25020500084.10

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr




rλ>λ

RkV

2

Rk103.71V 1.28 367500 189823.07 kgf163.26⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Este valor obtido, , representa a resistência nominal ao cortante dos

painéis extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor não

ultrapassa o cortante solicitante, , indica que o espaçamento a = 1850 mm

para os painéis extremos não pode ser considerado. Tentar diminuir o espaçamento para

a=925 mm e novamente utilizar o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03:

kgf 189823.07=VRk

=Vsd tf22.218


2

1 0.799251.15 12000

η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠


a/h=925/2000=0.463

351

( ) 32.28=463.05

+5=h/a

5+5=k 22v

para os painéis finais:

26.163=25.12

2000=

th

=λw

( )63.167=

25020500032.28

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )77.208=

25020500032.28

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr




pλ<λ

RkV

kgf 367500=V=V plRk

Este valor obtido, , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis

extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante

solicitante, , indica que o espaçamento a = 925 mm para os painéis extremos


kgf 367500=VRk

tf22.218=Vsd

Para os painéis centrais de espaçamento a=2500 mm:

26.163=th

=λw

( )2.90=

2502050002.8

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )34.112=

2502050002.8

37.1=f

Ek37.1=λ

y

vr


equação:

rλ>λ

2

Rk90.2V 1.28 367500 143588.89 kgf

163.26⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Este valor, , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis


kgf 89.143588=VRk

352

menor que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-se proceder o cálculo da força cortante

- como

resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para estes painéis:

rw

λ>th

=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte, vC


( ) y2

w

vv ft/h

Ek5,1=C

1


( )( ) 381.0=

25026.63 2

12050002.851,1

=Cv

com lados, dem ser obtidos os valores da força cortante

resistente para os painéis de espaçamento a=2500 mm:


- os valores de plv V e η ,C calcu po

pλ>λ :

( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦ v pl

( )RktV 0.381 0.543 1 0.381 367500 263540.50 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

este valor obtido, kgf 5.263540=VRkt representa a resistênci para a região

com espaçamento a = 2500 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração

a nominal da viga

.

álculo, , o que indica

que o dimensionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicitante.


Este valor ultrapassa a força cortante solicitante de c kgf 218220=Vsd

26.163=th

=λw

( )26.86=

2502050005.7

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )43.107=

2050005.737.1=

Ek37.1=λ v

250f yr


equação:

rλ>λ

2

Rk 367500 131318.72 kgf163.26

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

86.26V 1.28⎛= =

353



resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para estes painéis:

- como

menor que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-se proceder o cálculo da força cortante

rw

λ>th

=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte,


vC

( ) y2

w

vv ft/h

Ek5,1 1=C


( )( ) 348.0=

25026.1632050005.7

2v

51,1=C

com lados, dem ser obtidos os valores da força cortante

resistente para os painéis de espaçamento a=2825 mm:


- os valores de plv V e η ,C calcu po

pλ>λ :

( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ v pl⎦

( )RktV 0.348 0.502 1 0.348 367500 248174.22 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

este valor obtido, kgf 22.248174=VRkt representa a resistência nomi região

com espaçamento a = 2825 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração.

Este valor u

nal da viga para a

te solicitante de cálculo, , o que indica

namento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicitante.

.3.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2

relação largura/espessura, sendo

ltrapassa a força cortan kgf 218220=Vsd

que o dimensio

8

- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PNBR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a

necessária também a obtenção de

75.15=250/20500055,0=f/E55,0 y . Para os três painéis distintos, o da região próxima

aos apoios e o da região do meio do vão com espaçamentoa a de 2500 e 2825 mm, será a

uladas

WLES E DOWLING, 1992), ou seja,

seguir calculada a relação largura/espessura:

- com base nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aquelas calc

por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNO

354

enrijecedores: 2 chapas de 13 x 80 mm

a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será 75.15<23.13=13/172 , ou

seja, este valor satisfaz este requerimento inicial. Tentando prim

eiramente fazer o cálculo de

stA :

( ) 2Sdst r s w v w

RdV⎣ ⎦

VA 0.15D ht 1 C 18t⎡ ⎤

= α − −⎢ ⎥


( ) ( ) ( ) ( )2st

21072.2 mm=

218219A 0.15 2000 12.47 1 0.381 18 12.47143588 /1.10

= − −

de c da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a

, onde ≥ ;

>

o momento de inércia dos enrijecedores é:

a área dos enrijecedores é ( ) 2st mm 2236=17213=A .

o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores (um

ada lado

jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦

( ) (j 2.5 / a / h 2 2.5 / 1850= − =⎣ ⎦ ⎣ )2 2/ 2000 2 5.43 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − =⎦

( ) 43

mm 3.5512485=12

=I 17213

Usar enrijecedores transversais em pares com dimensões de 13 x 80 mm cada.


deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme

5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03, a verificação da interação entre



- O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal simples,

sendo que

5.4.3.2.4.

item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03 – interação entre força cortante e momento fletor

- será feito aqui, com base no item

Sd Sd

Rk Rkt

M V0.625 1.375M / V /

+ ≤γ γ

1598900000 2198000.625 1.311 1.3751834710000 / 263540 /

+ =γ γ

≤

355


istas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007), que

atam do estudo de vigas esbeltas.

.3.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)

.3.5.1.1 Generalidades – item H.1

, é


por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), seguindo os

critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma Brasileira. Na verificação serão

utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de

estruturas de aço e de estruturas m

tr

8

8

- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por NARAYANAN (1992,

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a maior relação a/h 2825/2000 que dá

um valor de 1.41, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste caso, maxλ pode ser tomado

igual a yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação, substitu e E e

usados no dimensionamento da viga, obtém-se:

indo os valores d yf

( ) 04.335

onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é:

o

o.

no item H.1.1 – Anexo H - PNBR 8800/07, viga esbelta deve ter a relação

superior a

=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax

wt/h=λ

86.142=14/2000=t/h=λ w

portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa

limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerad

- com base wt/h

yf/E70,5

wh / t 5.7 205000 / 250 163.22≥ =

para a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) se enquadra na categoria de vigas não-compactas. Para esta se enquadrar

na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a redução na espessura da

alma:

w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =

356

Considerar a redução na espessura da alma, de 14 mm para 12.25 mm.

.3.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2

esa tracionada. O módulo de resistência elástico


8

- cálculo de xtW para o escoamento da m xtW

txt y

onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo

xI=W

de flexão e é a distância


ty

( )( ) ( )( )

( )12200047.12

+1025507002+12

507002=I

32

3

x

4mm 0716 666x 818 6=I


3

t

xxt mm 87.77973015=

105008187166666

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

cyx

xc mm 87.77973015=1050

08187166666=

I=W


( ) ( )( ) 433

y +12

=I mm 1429217730=12

25.123/200070050



( ) ( /100025.12+70050=A ) 2mm33.39083=3

mm 23.191=33.39083

1429217730=rT


1=Cb

09.59=23.191

11300=

rL

=λT

b

357

40.50=250

20500076.1=

fE

76,1=λy

p

14.127=250f y

r

20500044.4=

EC44,4=λ b


MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b

2pg

( ) 0.7=502

700=

t2b

=λf

f

88.10=250

20500038.0=

fE

38,0=λy

'p

87.22=35.0/250

20500035.1=

k/fE

35.1=λcy

'r

c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =

Considerar

esa comprimida.

- cálculo :


para

ck = 0.35

( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg

ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da m

de M cr

p rλ < λ ≤ λ

cr59.09 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞250 1 0.5 235.84 MPa

127.14 50.40= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM)

σ

sa

para pλ ≤ λ

MPa 250=f=σ ycr

- cálculo de :


pgk

crσ

MPa. 84.235=σ cr

358

( ) ( )( )( ) ( )( )pg

12.25 2000 / 50 700 205000k 1 163.22 5.7235.841200 300 12.25 2000 / 50 700

1.00

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

=

- cálculo de nM :


b) para flambagem

O mo


992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor

te tido para toneladas metro tem o

alor de 1780.22 tm.

( )n xt pg y

3 2

M W k f

77973015.87 mm 25.0 kg/mm

=

=

1949325397 kgmm=

( )n xc pg cr

3 2

M W k

77973015.87 mm 23.53 kg/mm

1834705063 kgm

= σ

=

=

m

mento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,

183470506=M n tm.711834=kg.mm 3

(1

solicitan de cálculo tem o valor de 17458 kNm que conver

v

Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ mesas, de acordo com a

PNBR 8800/07.


2 da PNBR 8800/07, será calculado o valor de

para a viga em questão:

imei

e foi di

WLING, 1992) existem três espaçamentos diferentes ao

longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais, têm os espaçamentos, a =

1850 mm, entre os enrijecedores, e na região entre os painéis finais e a posição das cargas

- Com base nas considerações do item 5.4.3.1.

plV ,

Pr ramente, deve ser calculado o valor de wA :

( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A



- como se pode observar na viga qu mensionada por NARAYANAN (1992,

apud OWENS, KNOWLES E DO

359

concentradas, de cada lado, com espaçamento a=2500 mm, e a região central do vão, o

espaçamento a = 2825 mm. Os parâmetros rp λ e λ ,λ , e as dimensões a e h são ef d inidos no

em 5.

calcular o valor de

ara cada um dos espaçamentos situados nas duas

a e a parte central do vão, para se verificar a força

cortante resistente característica nestas duas configurações:


it 4.3.1.1 da PNBR 8800/07.

- Utilizando as equações do item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, será necessária a

obtenção dos parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente vk :

- será efetuado o cálculo de vk p

regiões distintas, a das extremidades da vig

a/h=1850/2000=0.925

( ) 84.10=925..05

+5=h/a

5+5=k 22v


a/h=2500/2000=1.25

( ) 2.8=25.15

+5=k 2v


a/h=2825/2000=1.413

( ) 5.7=413.15

+5=k 2v

Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros

para cada configuração:

Painéis finais:

vk rp λ e λ ,λ ,

26.163=25.12

2000=

th

=λw

( )71.103=

250f yp

20500084.1010,1=

Ek10,1=λ v

( )16.129=

20500084.1037.1=

fEk

37.1=λy

vr

250




rλ>λ

RkV

360

2

Rk 163.26⎜ ⎟⎝ ⎠

Este valor obtido, 189823.0=VRk enta a resistência nominal ao cortante dos

painéis extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor não

ultrapassa o cortante solicitante, tf22.218=Vsd , indica que o

103.71V 1.28 367500 189823.07 kgf⎛ ⎞= =

repres

espaçamento a = 1850 mm

considerado. Tentar diminuir o espaçamento para

m 5.4.3 – PNBR 8800/07:


a/h=925/2000=0.463

kgf 7 ,

para os painéis extremos não pode ser

a=925 mm e novamente utilizar o ite

( ) 32.28=463.05

+5=h/a

5+5=k 22v

para os painéis finais:

26.163=25.12

2000=

th

=λw

( )63.167=

25020500032.28

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )77.r


força cortante resistente característica, de acordo com 5.4.3 – PNBR 8800/07, ,

uação:

btido,

campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante

licita 5 mm para os painéis extremos



208=25020500032.28

37.1=f

Ek37.1=λ

y

v


o item RkV


kgf 367500=V=V plRk

Este valor o kgf 7500 , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis

extremos, sem a utiliza

36=VRk

ção da ação do

so nte, tf22.218=Vsd , indica que o espaçamento a = 92

26.163=th

=λw

( )2.90=

2502050002.8

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

361

( )34.112=

25037.1=

f37.1=λ

yr


equação:

2050002.8Ek v

rλ>λ

2

RkV 1.28 367500 143588.89 kgf163.26

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


com espaçamento a = 2500 mm, sem a utilização da açã

90.2⎛= =

o do campo de tração. Este valor é

enor e proceder a diminuição do espaçamento

. Tentar a=1400 mm.


a/h=1400/2000=0.70

m que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-s

entre os enrijecedores destes painéis

( ) 2.15=70.05

+5=k 2v

Para os painéis centrais:

26.163=th

=λw

( )8.122=

2502050002.15

10,1=f

Ek10,1=λ

y

vp

( )95.152=

25037.1=

f37.1=λ

yr


equação:

2050002.15Ek v

rλ>λ

2

Rk 163.26⎜ ⎟⎝ ⎠

Tem-se que kgf 51.266136=VRk > tf22.218=Vsd , represent

122.8V 1.28 367500 266136.51 kgf⎛ ⎞= =

a a resistência nominal ao

ortante dos painéis com espaçamento a = 1400 mm, Este espaçamento para os painéis

i a PNBR 8800/07.

8.3.6 Ver

c

centra s pode ser considerado, de acordo com

ificação segundo o Eurocode 3

362


steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings. O procedimento é similar às

outras etapas de verificação, utilizando as dimensões da viga analisada no exemplo 3,

o 92, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992),

ara se fazer a verificação quanto às considerações da norma européia.

dimensi nada por NARAYANAN (19

p


97.0=250/235=f/235=ε y

- para as mesas:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 39.0=43.097.04.28/50/350=kε4.28/t/b=λ σ

de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução é menor que 1 para

p

ρ

673.0>λ 673.0≤λ pp e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para .

Tabela 5.3.3 - Eurocode 3:

- para a alma:

1=ψ

( ) mm 350=3501=cρ=beff

( ) ( ) ( ) ( )( )kε4.28/t/b=λ p 19.1=9.2397.04.28/47.12/2000=σ

( ) ( )2 2p p0.22 / 1.19 0.22 /1.19 0.685ρ = λ − λ = − =

tabela 5.3.2 (Eurocode 3):

- A seção efetiva e suas medidas estão representados no desenho abaixo, com as reduções


1=ψ

( )mm 274=b4.0=b

mm 685=2/2000685.0=bρ=b

eff1e

ceff

mm 411=b6.0=b effe2

363

50274

315

411

1000

50 50

2000

50

12.47

700

24.54

700

eixo centroidal


zona não-efetiva

Figura 8.3.3– Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).

- cálculo do centro de gravidade da seção efetiva:

( )( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

ef

700 50 2075

274 12.47 2050 274 / 2

411 12.47 1050 411/ 2

1000 12.47 550

700 50 25y 1025.46 mm

2 700 50

12.47 1411 274

⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦= =

⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

xcxt W e W são obtidos pelas seguintes fórmulas:

c

xxc

t

xxt y

I=W ;

yI

=W

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e são as


da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 83.6 mm abaixo da metade da

altura da alma.

xI ct y e y

364

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )(

( ))

( )(

( ))

( )( )

32

x

32

32

32

32

700 50I 700 50 1024.54 25

1212.47 274

12.47 274 1024.54 274 / 212

12.47 435.5412.47 435.54 435.54 / 2

1212.47 975.46

12.47 975.46 975.46 / 212

700 50700 50 975.46 25

12

= + +

+ + −

+ +

+ +

+ + +

4x mm 08051487939=I


3

t

xxt mm 46.78515865=

50+975.4608051487939

=yI

=W

- cálculo de xcW :

3

c

xxc mm 13.74929625=

50+54.102408051487939

=yI

=W

- cálculo do momento fletor resistente de projeto:


Seções transversais classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M

- de acordo com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre

, observando que o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a


xtxc W e W 1Mγ

3eff mm 13.74929625=W

( )3 2c,RdM 74929625.13 mm 25.0 kg/mm 1873240628 kgmm∴ = =

8.3.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6

- item 5.4.6(1) – a resistência plástica de cisalhamento de projeto é fornecida por:


onde é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é

obtida como se segue:

vA

365

subitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com carga paralela à alma: ( )wdt∑ .

( ) 2v mm 24940=47.122000=A

( ) ( ) kg 9.359977=3/0.2524940=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl

- item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão

(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante não exceda 50% da resistência

plástica ao cisalhamento de projeto nenhuma redução precisa ser feita nos momentos


SdV

Rd,plV

kg 67.130523=V>kg 9.359977=V SdRd,pl

8.3.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2

- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3: crM

0.522w tz

cr 2 2z z

I L GIEIML I EI

⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦

- cálculo da constante de torsão : tI

( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w

3ft mm 13.59626064=47.122000+507002

31

=ht+bt231

=I

- cálculo da constante torsional wI :

( )( ) 62323

fw mm0000002858333333=

24200070050

=24

hbt=I

- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo : zI

( ) ( ) 4333

w3

fz mm 2858656516=

1247.122000

+1270050

2=12ht

+12bt

2=I

- cálculo do momento elástico crítico para flambagem lateral com torção da viga , de

acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – Anexo F – Eurocode 3:

crM

366

( )

( ) ( )( )

0.522w tz

cr 2 2z z

2

2

0.5

26

2

I L GIEIML I EI

205000 285865651611300

20500011300 59626064.132858333333 10 2 1 0.3

2858656516 205000 2858656516

⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦

π=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Nmm 04758606523=M cr

- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral com torção:

( )

0.52LT pl,y cr

0.52

EW / M

205000 85750000 / 47586065230 60.38

⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦

⎡ ⎤= π =⎣ ⎦

[ ][ ]( )( ) [ ]

0.5LT LT 1 w

0.50.5

/

60.38 / 93.9 235 / 250 74929625.13/ 85750000

0.62

λ = λ λ β

⎡ ⎤=⎣ ⎦

=

( )( )

2LT LTLT LT

2

0.5 1 0.2

0.5 1 0.49 0.62 0.2 0.62 0.937

⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

LT 0.522LTLT LT

0.52 2

1

1 0.6090.937 0.937 0.616

χ =⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦

= =⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

( ) (

kgmm 1150413425=Nmm 01150413425=M

25085750000874.0609.0=γ/fWβχ=M

Rd,b

1Myy,plwLTRd,b )

O valor do momento para flambagem lateral com torção ficou abaixo do momento fletor

solicitante de cálculo, devido ao fato de que foi considerado o comprimento de 11300 mm

sem contenção lateral. A viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992) foi calculada com restrição total em seu comprimento, por

isso não houve restrição quanto à flambagem lateral com torção. Para se incrementar o

momento se for considerar algum comprimento sem contenção lateral, deve-se reduzir o valor

de 11300 mm com o qual foram feitos os cálculos acima.

367


8.3.6.4.1 Método simples pós-crítico - item 5.6.3

(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por: Rd,baV


(2) A resistência ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se

segue:

baτ


τ

ww

kε4.37t/d

=λ

97.0=250/235=f/235=ε y

( ) ( ) 24.10=2000/1850/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ

( ) 38.1=24.1097.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww


[ ]( ) [ ]( ) MPa 13.94=3/25038.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba


o subitem (1):


o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o

espaçamento dos painéis finais a=1850 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor

ultrapassa o cortante solicitante que é , onde, de acordo com o Eurocode 3,

este espaçamento pode ser adotado.

kg 4.234685=V Rd,ba

=VSd kg 218220

- para redução no espaçamento a=925 mm:

( ) ( ) 96.282000/925/34.54d/a/34.54k 22τ =+=+=

( )82.0

96.2897.04.3747.12/2000λw ==

b) quando 2.1<λ<8.0 w :

(( ) )wba yw1 0.625 0.8 / f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦

368

( )[ ]( ) MPa 5.1423/2508.082.0625.1τ ba =−−=


o subitem (1):

( ) kg35539525.1447.122000τdtV bawRd,ba ===

o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o espaçamento dos painéis

finais a=925 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor ultrapassa o cortante solicitante

que é , onde, de acordo com o Eurocode 3, este espaçamento pode ser

adotado.

kg 218220=VSd


τ

ww

kε4.37t/d

=λ

97.0=250/235=f/235=ε y

( ) ( ) 9.7=2000/2500/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ

( ) 57.1=9.797.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww


[ ]( ) [ ]( ) MPa 74.82=3/25057.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba


o subitem (1):



espaçamento dos painéis finais a=2500 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor não


este espaçamento não pode ser adotado para o método simples pós-crítico, onde, de acordo

com o Eurocode 3, deve-se, para estes painéis, fazer o cálculo pelo método do campo de

tração.

kg 8.206253=V Rd,ba

=VSd kg 218220


τ

ww

kε4.37t/d

=λ

97.0=250/235=f/235=ε y

369

( ) ( ) 34.7=2000/2825/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ

( ) 63.1=34.797.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww


[ ]( ) [ ]( ) MPa 70.79=3/25063.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba


o subitem (1):



espaçamento dos painéis finais a=2825 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor não


este espaçamento não pode ser adotado para o método simples pós-crítico, onde, de acordo

com o Eurocode 3, deve-se, para estes painéis, fazer o cálculo pelo método do campo de

tração.

kg 8.198771=V Rd,ba

=VSd kg 218220

8.3.6.4.2 Método do campo de tração - item 5.6.4




- cálculo de conforme 5.6.4.1(2): bbτ


Os painéis com espaçamento a=1850 mm entre os enrijecedores não devem ser calculados

utilizando a ação do campo de tração. Este painel foi verificado no item anterior pelo método

simples pós-crítico do Eurocode 3, onde foi obtida uma resistência nominal ao cisalhamento

de , o que indica que sua resistência é satisfatória e o

espaçamento a=1850 mm para os painéis extremos pode ser considerado.

kg 218220=V>kg 4.234685=V sdRd,ba


( ) 57.1=9.797.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww

370

[ ]( ) [ ]( ) MPa 56.58=3/25057.1/1=3/fλ/1=τ 2yw

2wbb


( ) ( ) o39.38=rad 67.0=2500/2000arctan=a/darctan=Θ o.7852=rad 45.0=5.1/67.0=5.1/Θ=φ


kg 78.795328=2050

1630424000=

t+dM

=Nf

sdSd,f

- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Nf ,RkM


( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 700 50 25.0 1 795328.78 / 700 50 25.0

1901101.88 kgmm

⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=


( ) ( )( ) MPa 81.68=rad 45.02sin56.585.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb

( )

0.52 2 2bb yw bb

0.522 2

bb

f 3

250 3 58.56 68.81 68.81

169.82 MPa

⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =



( ) ( )

0.52 1901101.88s 435.69 mm

sin 0.45 12.47 16.98⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( ) ( ) ( )


2000cos 0.45 2500 435.69 435.69 sin 0.45g 1092.5 mm

= φ− − − φ

= − − −

=


( ) ( )[ ]( )( ) ( ) (( )[ ]

kgf 59.236705=V45.0sin98.1647.125.10929.0+86.547.122000=


Rd,bb

1MbbwbbwRd,bb

)

371

25.78

435.692500

2000

435.6925.78

1092.5



( ) 63.1=34.797.04.37

47.12/2000=

kε4.37t/d

=λτ

ww

[ ]( ) [ ]( ) MPa 32.54=3/25063.1/1=3/fλ/1=τ 2yw

2wbb


( ) ( ) o52.35=rad 62.0=2825/2000arctan=a/darctan=Θ o.532=rad 41.0=5.1/62.0=5.1/Θ=φ


kg 868400=2050

1780220000=

t+dM

=Nf

sdSd,f

- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Rd,NfM


( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 700 50 25.0 1 868400 / 700 50 25.0

164377.7 kgmm

⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=


( ) ( )( ) MPa 57.59=rad 41.02sin32.545.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb

372

( )

0.52 2 2bb yw bb

0.522 2

bb

f 3

250 3 54.32 59.57 59.57

179.6 MPa

⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =



( ) ( )

0.52 164377.7s 135.9 mm

sin 0.41 12.47 17.96⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦


( )( ) ( ) (


2000cos 0.41 2825 135.9 135.9 sin 0.41g 816.51 mm

= φ− − − φ

= − − −

=)


( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]

kgf 5.201026=V41.0sin96.1747.125.8169.0+43.547.122000=


Rd,bb

1MbbwbbwRd,bb

2000

2825135.9

135.923.5

23.5

816.5


8.3.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7


373

- cálculode , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3): Rd,fM

yfxRd,f FZ=M

- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das mesas: xZ

( ) ( ) 3x mm 71750000=2102570050=Z

( ) kg.mm 1793750000=0.2571750000=M Rd,f





- para o caso em análise, kg 206254=V Rd,ba

- de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte

critério deve ser satisfeito:

SdV Rd,baV

( ) ( )2


- cálculo de : Rd,plM

kgmm2143750000=M Rd,pl

( )( )

Sd

2

Sd

M 1793750000 2143750000 1793750000

1 218219 / 206254 1

M 2142572154 kgmm

≤ + −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦≤

como , o critério de interação entre força cortante, momento fletor e

força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.

kgmm 1745800000=Msd

8.3.6.5.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3


( )( ) ( ) (


2000cos 0.34 2500 sin 0.34g 1051.8 mm

= φ− − − φ

= −

=)

- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bwV

374

( ) ( )[ ]( )( ) ( ) (( )[ ]

kgf 03.238934=V34.0sin98.1647.128.10519.0+86.547.122000=


Rd,bw

1MbbwbbwRd,bw

)

( ) ( )( )

( )( )

2

Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,Rd

2

M M M M 1 2V / V 1

1793750000 2143750000 1793750000

1 2 218219 / 238934 1

1904603556 kgmm

⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦

= + −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=

Como é menor que o valor acima, os requerimentos de interação

entre força cortante e momento fletor adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram

satisfeitos.

kgmm 1745800000=Msd

375

9 RESULTADOS E QUADROS COMPARATIVOS

Neste capítulo serão apresentados, através de tabelas, os resultados obtidos no

capítulo 8, pelas normas e teorias utilizadas, para as vigas analisadas.

9.1 Resultados obtidos do momento fletor resistente característico pelas normas para

os exemplos analisados

Os itens a seguir trazem as tabelas com os resultados do momento fletor resistente

de cálculo, obtidos pelas normas utilizadas.

9.1.1 Exemplo 1

A tabela 9.1.1 traz os valores dos parâmetros de esbeltez para cada estado limite

de flambagem e momento fletor resistente característico, para a viga analisada no exemplo 1,

Tabela 9.1.1 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga dimensionada no exemplo 1 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 608.0=Msd

normas

parâmetros de esbeltez e momento fletor resistente

característico LRFD

ap

êndi

ce G

2

NB

R 8

800/

86

anex

o F

PNB

R 8

800/

03

anex

o F

PNB

R 8

800/

07

anex

o H

Euro

code

3

itens

5.4

.5 e

5.5

.2

f

f

t2b

=λ

flambagem local da mesa

16

16

16

16

16

wth

=λ

flambagem local da alma

250

250

250

250

250

T

b

rL

=λ

flambagem lateral com torção

46.4

46.4

46.4

46.4

-

nM (kNm) momento resistente característico 74

1.3

839.

7

822.

2

822.

2

736.

8

376

calculados através dos critérios de cada norma utilizada. Pode-se observar que os resultados

obtidos pelas normas para o momento fletor resistente característico são aproximados.

9.1.2 Exemplo 2

A tabela 9.1.2 se refere à viga analisada no exemplo 2, onde são apresentados os

valores dos momentos fletores resistentes da viga obtidos pelas normas, onde se deve fazer a

observação de que para a verificação quanto viga esbelta, a alma dimensionada por PFEIL

(1989) sofreu uma pequena redução em sua espessura. Esta redução de espessura efetuada nas

etapas de verificação não diminuiu significativamente a resistência ao cortante da alma, de

forma que os espaçamentos entre os enrijecedores dos painéis caculados por PFEIL (1989)

não foram alterados. O valor do momento fletor resistente obtido pelas normas é muito

aproximado do momento fletor resistente calculado por PFEIL (1989), que calculou o valor

Tabela 9.1.2 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 2 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 0.8878=Msd

normas



ap

êndi

ce G

2

NB

R 8

800/

86

anex

o F

PNB

R 8

800/

03

anex

o F

PNB

R 8

800/

07

anex

o H

Euro

code

3

itens

5.4

.5 e

5.5

.2

f

f

t2b

=λ


6.8

6.8

6.8

6.8

6.8

wth

=λ

flambagem local da alma 161.

2

160.

4

163.

2

163.

2

163.

2

T

b

rL

=λ


61.6

61.6

61.6

61.6

-

nM (kNm) momento resistente característico 12

021.

3

1201

4.1

1198

0.8

1198

0.8

9146

.7

377

de verificando a resistência da viga pela NB 14/86 e considerando a

seção classe 3 para flambagem local da alma e classe 2 para flambagem local da mesa. A

proximidade dos valores do momento fletor resistente calculado por PFEIL (1989) como

seção classe 3 e do obtido pelas normas considerando seção classe 4 (esbelta), é explicada

pelo fato de que as dimensões da chapa da alma propostas por PFEIL (1989) levaram a um

parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma muito próximo (um pouco abaixo) do limite

que separa seções esbeltas de não-compactas, onde o momento resistente foi calculado

utilizando a interpolação linear entre , e pelos critérios das normas foi efetuada a

redução na espessura da alma, o que resultou num parâmetro de esbeltez à flambagem local

da alma um pouco acima (muito próximo) do limite que separa seções esbeltas de não-

compactas, onde o cálculo do momento fletor resistente foi feito através do valor da tensão

crítica para os parâmetros de esbeltez, onde acarreta a diminuição da resistência à

flexão.

kNm 5.12385M n =

crf

rp M e M

crf

9.1.3 Exemplo 3

A tabela 9.1.3 relaciona os valores dos momentos fletores resistentes

característicos da viga analisada no exemplo 3, obtidos através da utilização das normas já

citadas no processo de verificação. Para que esta viga pudesse ser verificada na categoria de

viga esbelta, foi necessário fazer uma redução na espessura da alma proposta por

NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), que tem o valor de

14 mm, e após a redução, passou a ter o valor de 12.47 mm, a qual foi utilizada na verificação

pelas normas. Esta redução foi calculada de acordo com o limite inferior do parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma. NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E

DOWLING, 1992) obteve o momento resistente característico da viga considerando

contenção lateral total ao longo de seu comprimento. Nas verificações pelas normas, foi

adotado um comprimento sem contenção lateral de 11300 mm no meio do vão. Pelas normas

LRFD, NBR 8800/86, PNBR 8800/03 e PNBR 8800/07, este comprimento sem restrição

lateral foi aceito e os momentos fletores resistentes da tabela 9.1.3 foram calculados levando

este comprimento sem contenção lateral em conta. O Eurocode 3 apresentou, de acordo com o

item 5.5.2 – Eurocode 3, um valor reduzido do momento fletor para flambagem lateral com

torção que ficou abaixo do momento fletor solicitante de cálculo e o valor do momento fletor

378

resistente obtido pelo Eurocode 3, que consta na tabela 9.1.3 foi obtido pelo item 5.4.5 –

Eurocode 3.

Tabela 9.1.3 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 3 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 0.17458=Msd

normas



ap

êndi

ce G

2

NB

R 8

800/

86

anex

o F

PNB

R 8

800/

03

anex

o F

PNB

R 8

800/

07

anex

o H

Euro

code

3

itens

5.4

.5 e

5.5

.2

f

f

t2b

=λ


7.0

7.0

7.0

7.0

7.0

wth

=λ

flambagem local da alma 161.

2

160.

4

163.

2

163.

2

163.

2

T

b

rL

=λ


59.2

59.1

59.1

59.1

- nM (kNm)

momento resistente característico 1880

3.6

1834

7.1

1834

7.1

1834

7.1

1873

2.4

9.2 Resultados obtidos da força cortante resistente característica pelas normas para

os exemplos analisados

Os itens a seguir apresentam as tabelas comparativas para as três vigas analisadas

neste trabalho para o cálculo da força cortante resistente de cálculo fornecidas pelas normas

utilizadas.

9.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

A seguir serão apresentadas as tabelas que fornecem os valores da força cortante

nominal sem a ação do campo de tração para os painéis que apresentaram flambagem elástica

ao cisalhamento, onde painéis finais de vigas devem apresentar uma força cortante nominal

379

sem a ação do campo de tração superior à força cortante solicitante pois a ação do campo de

tração não pode ser considerada para painéis extremos.

9.2.1.1 Exemplo 1

A tabela 9.2.1 apresenta os valores da força cortante resistente nominal de cada

painel da viga dimensionada no exemplo 1, obtidos pelas normas utilizadas. Esta viga

apresenta uma alma muito esbelta, por isso ela sofre flambagem elástica em todos os seus

painéis. O Eurocode 3 forneceu valores mais altos para a força cortante resistente nominal

que as outras normas, que apresentam resultados muito aproximados entre si. Os painéis

finais desta viga, com espaçamento a = 493 mm apresentaram uma força cortante resistente

maior que a solicitante, e para os painéis com espaçamento a = 920 mm a força cortante

resistente é menor que a solicitante, onde se pode recorrer ao acréscimo de resistência

proveniente de ação do campo de tração.

Tabela 9.2.1– Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1, para flambagem elástica (força cortante solicitante de cálculo

). kN 0.155=Vsd

normas

força cortante resistente

característica nV

espaçamento “a” entre

enrijecedores dos painéis LR

FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

item

5.5

.2

PNB

R 8

800/

03

item

5.4

.3.2

.1

PNB

R 8

800/

07

item

5.4

.3

Euro

code

3

item

5.6

.3

a = 493 mm

171.

3

172.

8

179.

2

179.

2

321.

9

flambagem (kN)

crV

a = 920 mm 78.8

76.3

83.7

83.7

214.

2

9.2.1.2 Exemplo 2

A tabela 9.2.2 apresenta os valores da força cortante resistente característica dos

painéis da viga analisada no exemplo 2, que apresentam flambagem elástica, calculados por

380

cada norma utilizada. Para estes painéis, o Eurocode 3 apresentou resultados um pouco mais

altos que as outras normas, que apresentam resultados aproximados. Para esta viga, somente

os painéis que têm espaçamento entre enrijecedores a = 1400 mm sofrem flambagem elástica.

Tabela 9.2.2 – Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

item

5.5

.2

PNB

R 8

800/

03

item

5.4

.3.2

.1

PNB

R 8

800/

07

item

5.4

.3

Euro

code

3

item

5.6

.3

flambagem (kN)

crV a = 1400 mm

2706

.6

2652

.7

2661

.4

2661

.4

2840

.7

9.2.1.3 Exemplo 3

A tabela 9.2.3 apresenta os valores da força cortante resistente nominal obtida

Tabela 9.2.3 – Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

item

5.5

.2

PNB

R 8

800/

03

item

5.4

.3.2

.1

PNB

R 8

800/

07

item

5.4

.3

Euro

code

3

item

5.6

.3

a = 2500 mm

1439

.7

1406

.5

1435

.9

1435

.9

2062

.5

flambagem (kN)

crV

a = 2825 mm

1326

.1

1306

.7

1313

.2

1313

.2

1987

.7

381

para os painéis da viga analisada no exemplo 3, que apresentam flambagem elástica, pelas

normas utilizadas. Os resultados obtidos pelo Eurocode 3 são mais altos que os das outras

normas.

9.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro


nominal sem a ação do campo de tração. Serão apresentados neste item os valores da

resistência nominal ao cortante de todos os painéis que apresentaram flambagem inelástica ao

cisalhamento, lembrando que os painéis finais das vigas devem apresentar uma força cortante

nominal sem a ação do campo de tração superior à força cortante solicitante, pois a ação do

campo de tração não pode ser considerada para painéis extremos.

9.2.2.1 Exemplo 1

A viga do exemplo 1 não apresenta painéis que flambam na extensão inelástica.

Todos os painéis desta viga apresentam flambagem elástica, os quais foram apresentados no

item 9.2.1.1.

9.2.2.2 Exemplo 2

A tabela 9.2.4 apresenta os valores da força cortante resistente característica dos painéis da

Tabela 9.2.4 – Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

item

5.5

.2

PNB

R 8

800/

03

item

5.4

.3.2

.1

PNB

R 8

800/

07

item

5.4

.3

Euro

code

3

item

5.6

.3

flambagem (kN)

crV a = 800 mm

3812

.1

3741

.0

3675

.0

3675

.0

3598

.8

382

viga do exemplo 2, que apresentam flambagem inelástica, calculados por cada norma

utilizada. Como esta viga apresenta uma alma pouco esbelta, os valores obtidos pela LRFD e

pelo Eurocode 3 para o cortante resistente são mais aproximados que no caso da viga

calculada exemplo 1, onde os valores do cortante resistente apresentado pela LRFD se

diferencia muito do apresentado pelo Eurocode 3, porque esta apresenta uma alma muito

esbelta. Pode-se utilizar a tabela B.1 do Anexo B para verificar a proximidade dos valores

apresentados pela LRFD e pelo Eurocode 3 através da tabela 9.2.2.

9.2.2.3 Exemplo 3

A tabela 9.2.5 apresenta os valores da força cortante resistente nominal obtida

para todos os painéis da viga analisada no exemplo 3 pelas normas utilizadas.

Tabela 9.2.5 – Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

item

5.5

.2

PNB

R 8

800/

03

item

5.4

.3.2

.1

PNB

R 8

800/

07

item

5.4

.3

Euro

code

3

item

5.6

.3

flambagem (kN)

crV a = 925 mm

3788

.7

3741

.0

3675

.0

3675

.0

3553

.9

9.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração


nominal incluindo a ação do campo de tração, dos exemplos analisados, dos painéis

intermediários das vigas, excluídos os painéis finais, pois a ação do campo de tração não pode

ser considerada para estes.

9.2.3.1 Exemplo 1

383

A tabela 9.2.6 apresenta os valores da força cortante resistente de cálculo incluindo a ação do

campo de tração obtidos pelas normas utilizadas. Os valores apresentados foram divididos em

força cortante nominal do painel sem a ação do campo de tração, ou seja, o cortante nominal

Tabela 9.2.6 – Força cortante resistente nominal incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga dimensionada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 0.155=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

anex

o G

PNB

R 8

800/

03

anex

o G

PNB

R 8

800/

07

-

Euro

code

3

item

5.6

.4

a = 493 mm

171.

3

172.

8

179.

2

179.

2

176.

1

flambagem (kN)

crV

a = 920 mm 78.8

76.3

81.5

83.7

78.0

campo de tração (kN) tfV a = 920 mm

404.

8

400.

0

397.

0

-

281.

0

nominal kN) tfcr V+V ( a = 920 mm

483.

5

476.

3

478.

5

83.7

359.

0

na iminência de flambagem e a força cortante resistente incluindo a ação do campo e tração,

que representa a ação pós-flambagem, onde este valor não foi calculado para painéis finais. O

item 5.6.4 – Eurocode 3 fornece a resistência de flambagem, considerando esta separadamente

da ação do campo de tração, mais aproximada das outras normas, onde os valores de

calculados pelo Eurocode 3 se aproximam das demais normas, diferentemente do método

simples pós-crítico do Eurocode 3, onde os valores de são mais altos que os das outras

normas. Os valores de calculados pelas normas são aproximados, exceto os calculados

pelo Eurocode 3, que forneceu valores mais baixos.

crV

crV

tfV

9.2.3.2 Exemplo 2

384

A tabela 9.2.7 fornece os valores, obtidos pelas normas utilizadas, da força

cortante resistente de cálculo para os painéis da viga analisada no exemplo 2, dimensionada

por PFEIL (1989), em duas partes, a primeira não inclui a ação do campo de tração e a

segunda a leva em consideração.

Tabela 9.2.7 – Força cortante resistente característica incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (Força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

anex

o G

PNB

R 8

800/

03

anex

o G

PNB

R 8

800/

07

-

Euro

code

3

item

5.6

.4

a = 800 mm

3812

.1

3741

.0

3675

.0

3675

.0

3598

.8

flambagem crV (kN)

a = 1400 mm

2706

.6

2652

.7

2661

.4

2661

.4

2446

.6

campo de tração (kN) tfV a = 1400 mm

787.

5

772.

7

767.

1

-

634.

7 nominal

kN) tfcr V+V ( a = 1400 mm

3494

.1

3425

.4

3428

.5

2661

.4

3082

.6

9.2.3.3 Exemplo 3

A tabela 9.2.8 apresenta os valores obtidos pelas normas utilizadas para a força

cortante resistente nominal para os painéis da viga analisada no exemplo 3, dimensionada por

NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992). Os valores

apresentados foram divididos em duas partes, a força cortante nominal do painel sem a ação

do campo de tração, ou seja, o cortante nominal na iminência de flambagem e a força cortante

resistente incluindo a ação do campo e tração, onde este valor não foi calculado para painéis

finais. Os valores apresentados na tabela 9.2.8 são obtidos pelas normas utilizadas

considerando algumas modificações nas dimensões originalmente propostas por

NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), como a redução na

385

espessura da alma de 14 mm para 12.47 mm, e a redução do espaçamento entre os

enrijecedores dos painéis finais. Pode-se observar que os valores de obtidos através do

Eurocode 3 são menores que os obtidos através das outras normas.

tfV

Tabela 9.2.8 – Força cortante resistente característica incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd

normas


característica nV



FD

apên

dice

G3

NB

R 8

800/

86

anex

o G

PNB

R 8

800/

03

anex

o G

PNB

R 8

800/

07

-

Euro

code

3

item

5.6

.4

a = 925 mm

3788

.7

3741

.0

3675

.0

3675

.0

3554

.0

a = 2500 mm

1439

.7

1406

.5

1400

.1

1400

.1

1461

.5

flambagem crV (kN)

a = 2825 mm

1326

.1

1306

.7

1278

.9

1278

.9

1354

.2

a = 2500 mm

1276

.1

1267

.6

1235

.2

-

905.

6 campo de tração

(kN) tfVa = 2825 mm

1237

.4

1222

.0

1202

.8

-

656.

0

a = 2500 mm

2715

.8

2674

.1

2635

.3

1400

.1

2367

.1

nominal kN) tfcr V+V (

a = 2825 mm

2563

.5

2528

.7

2481

.7

1278

.9

2010

.3

9.3 Resultados obtidos pelas teorias para os exemplos analisados

Neste item serão apresentados os resultados obtidos pelas teorias utilizadas para

os exemplos analisados, calculados no capítulo 8.

386


A tabela 9.3.1.1 apresenta os resultados, obtidos para os exemplos analisados, das

fórmulas de interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001).

Pode-se observar nesta tabela que todas as vigas analisadas neste trabalho se adequaram às

fórmulas de interação entre momento e cortante propostas por JUHÁS (2001), assim como os

exemplos analisados também se adequaram a todas as fórmulas de interação entre momento e

cortante propostas pelas normas utilizadas.

Tabela 9.3.1.1 – Resultados, obtidos para os exemplos analisados, das fórmulas de interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001).

exemplos analisados fórmulas de interação

1 2 3

1VV

VV

MM

MM

2222

≤⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛γ−⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

plplplpl ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

(equação 3.3.1.13)

0.21 0.51 0.70

1.1VV1.1

VV

MM

MM

2222

≤⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛γ−⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

plplplpl ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

(equação 3.3.1.14)

1.00 1.01 0.89

11V

V2M

MMM

2

w,pl ≤⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+plplpl ⎠⎝

(equação 3.3.1.16)

0.48 0.61 0.83

A tabela 9.3.1.2 apresenta os parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos

analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001). Nesta tabela estão incluídos alguns

parâmetros calculados por esta teoria, como a proporção de aspecto α, a proporção de material

m, a proporção de forma γ , o parâmetro de esbeltez da alma β . As propriedades da seção e

os esforços atuantes também estão incluídos nesta tabela.

387

Tabela 9.3.1.2 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001).

exemplos analisados 1 2 3 parâmetro α dos painéis parâmetros e propriedades

0.58

1.08

0.40

0.70

0.46

1.

25

1.41

m 1.00 1.00 1.00

β 250 160.4 160.4 γ 1.11 1.07 1.40

δ 1.02 1.04 1.05

0δ 1.01 1.02 1.03

ξ 1.11 1.34 1.22

0ξ 0.28 0.51 0.40

1ξ 0.52 0.36 0.43

plM/M 0.42 0.61 0.83

plV,u M/M 0.82 0.59 0.76

plV/V 0.21 0.49 0.59

plM,u V/V 0.42 0.54 0.54

parâ

met

ros

( )limplM,u V/V 0.84 0.84 0.84

wt (mm) 3.4 12.47 12.47

d (mm) 850 2000 2000

h (mm) 870 2076.2 2100

fb (mm) 320 600 700

ft (mm) 10 44.45 50

wA ( )2mm 2890 24940 24940

fA ( )2mm 3200 26670 35000

M (kNm) 608.2 8790.0 17458.0

plM (kNm) 1464.3 14480.0 21055.0

V,uM (kNm) 1196.5 8476.0 15965.9

V (kN) 154.2 1758.0 2140.0

plV (kN) 725.8 3599.8 3599.8

prop

rieda

des

M,uV (kN) 303.6 1958.5 1946.0

388

9.3.2 Teoria de BLEICH (1952)

A tabela 9.3.2.1 apresenta os resultados obtidos para os exemplos analisados, dos

parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952).

Tabela 9.3.2.1 – Resultados obtidos para os exemplos analisados, dos parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952).

exemplos analisados parâmetros e tensões críticas 1 2 3

α 0.58 1.08 0.40 0.70 0.46 1.25 1.41

β 0.00 0.00 0.60 1.00 0.49 0.49 0.49

parâ

met

ros

κ 0.83 0.36 1.56 0.62 1.22 0.33 0.31

yσ 435.0 435.0 250.0 250.0 250.0 250.0 250.0

pσ 348.0 348.0 200.0 200.0 200.0 200.0 200.0

1σ 0.0 0.0 42.3 70.5 42.3 42.3 42.3

xyτ 53.6 53.6 70.5 70.5 85.8 85.8 85.8

o

c1σ 72.9 72.9 172.9 172.9 172.9 172.9 172.9

o

cτ 60.4 26.6 269.2* 107.3 210.6* 56.9 53.0

c1σ 0.0 0.0 75.9 91.1 62.2 27.6 26.0

tens

ões c

rític

as (M

Pa)

cτ 60.4 26.6 126.6 91.1 126.9 56.3 53.0

* valores de > indicam que a flambagem ocorre na extensão inelástica. o

cτ pσ

9.3.3 Teoria de YU (1991)


analisados, de acordo com a teoria de YU (1991).

389

Tabela 9.3.3.1 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de YU (1991).

exemplos analisados 1 2 3

parâmetros e propriedade

α=0.

58

α=1.

08

α=0.

40

α=0.

70

α=0.

46

α=1.

25

α=1.

41

vk 19.9 8.8 37.4 14.9 29.0 7.9 7.3

λ=h/t 250.0 250.0 160.4 160.4 160.4 160.4 160.4

parâ

met

ros

yvr F/Ek38.1λ = 135.2 89.7 241.6 152.5 212.7 111.1 106.8

prop

rieda

de

aV (kN) 174.4 76.8 3741.0 2675.4 3741.0 1419.4 1311.6



analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998).

Tabela 9.3.4.1 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998).

exemplos analisados 1 2 3

parâmetros e propriedades

α=0.

58

α=1.

08

α=0.

40

α=0.

70

α=0.

46

α=1.

25

α=1.

41

wλ 2.04 3.07 1.07 1.16 1.04 1.59 1.65

vu f/τ 0.62 0.43 0.99 0.96 1.00 0.77 0.75

parâ

met

ros

vρ 0.29 0.21 0.45 0.42 0.46 0.34 0.34

crτ (MPa) 60.4 26.6 126.6 107.3 134.3 56.9 53.0

vf (MPa) 251.2 251.2 144.3 144.3 144.3 144.3 144.3

uτ (MPa) 155.7 108.0 142.9 138.5 144.3 111.1 108.2

prop

rieda

des

wV (kN) 364.6 264.0 2805.8 2618.7 2868.1 2120.0 2120.0

390

10 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS

10.1 Conclusões gerais

Neste trabalho, três vigas de diferentes dimensões e condições de carregamento,

que têm a mesma característica de serem vigas de alma esbelta foram verificadas quanto à sua

resistência, através das normas LRFD – Manual of Steel Construction (AISC, 1994), NBR

8800/86 - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos estados limites)

(ABNT, 1986), Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e

de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), Projeto de Revisão da NBR

8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios

(ABNT, 2007) e Eurocode 3: Design of steel structures (CEN, 1992). Teorias relacionadas ao

dimensionamento de vigas esbeltas também foram utilizadas para a verificação das vigas.

JUHÁS (2001) desenvolveu uma teoria para o cálculo da interação entre momento fletor e

força cortante em vigas compactas e vigas esbeltas, híbridas e homogêneas. BLEICH (1952)

apresentou uma teoria para o cálculo da tensão crítica de cisalhamento de chapas de alma de

vigas carregadas por cisalhamento e tensões de flexão e compressivas combinadas. YU (1991)

apresentou uma teoria que calcula a tensão admissível de painéis de chapas de alma de vigas

esbeltas. HÖGLUND (1998) propôs o cálculo da força cortante nominal de painéis de vigas

esbeltas utilizando o método do campo de tensões principais.

10.1.1 Sobre os exemplos analisados

Todas as vigas verificadas neste trabalho são adequadas às normas e às teorias

utilizadas.

10.1.1.1 Exemplo 1

A viga calculada no exemplo 1 tem a resistência ao escoamento do aço = 435

MPa, e o parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma . Este parâmetro de

esbeltez tem um valor muito próximo de seu limite máximo para esta tensão de escoamento

do aço. Os valores limites dos parâmetros de esbeltez à flambagem local da alma para

diversos valores da resistência ao escoamento do aço foram fornecidos por SALMON E

yf

250=h/t=λ w

391

JOHNSON (1996), e constam na tabela 7.2.1. Pode-se notar que esta é uma viga calculada

com aço de alta resistência, com um parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma

próximo de seu limite máximo, onde se pode dizer que esta viga apresenta uma alma muito

esbelta.

Para o cálculo do momento fletor, para vigas que apresentam parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma de categoria esbelta, pode-se ter a ocorrência de que os

outros dois parâmetros de esbeltez, que são o de flambagem local da mesa e o de flambagem

lateral com torção, se enquadrem na categoria de compacta ou não-compacta. Para o

parâmetro de esbeltez de flambagem local da mesa, uma relação de mais baixa

diminui o valor do parâmetro de esbeltez de flambagem local da mesa, que pode estar abaixo

do referido parâmetro limite para seções não-compactas ou compactas. Para o parâmetro de

esbeltez de flambagem lateral com torção, o aumento do raio de giração de um terço da altura

da alma comprimida mais a mesa comprimida, ou a diminuição do comprimento

diminuem o valor do parâmetro de esbeltez de flambagem lateral com torção, o qual pode se

situar abaixo do limite para seções não-compactas ou compactas. Foi o que aconteceu no

cálculo das dimensões das mesas da viga dimensionada no exemplo 1 do capítulo 8. A

fórmula da área da mesa utilizada para o cálculo da área requerida da mesa indicou um valor

de , um valor que foi considerado baixo, após a escolha das dimensões

que atingiam esta área e posterior verificação dos seus parâmetros de esbeltez que se

enquadravam na categoria de não-compactas. Foi necessário aumentar a área da seção para

e posterior verificação dos dois parâmetros de esbeltez citados, onde estes

se enquadraram na categoria de não-compactas, mas com uma área maior da seção das mesas,

o que incrementa as propriedades da seção, se obtendo uma reserva de resistência favorável

quando se for fazer as necessárias reduções nas tensões críticas.

ff t2/b

bL ,

2.in5.2

2.in96 =

2cm 13.16=

2cm 32.4

Para o cálculo da força cortante resistente, esta viga apresentou uma alma muito

esbelta, o que acarretou a flambagem elástica de todos os seus painéis, onde os painéis finais

suportaram a força cortante solicitante e os painéis centrais tiveram que recorrer ao acréscimo

de resistência proveniente da ação do campo de tração, pois sua resistência nominal de

flambagem ficou abaixo do cortante solicitante.

10.1.1.2 Exemplo 2

392

PFEIL (1989) calculou uma viga (exemplo 2) que apresentou um parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma com valor . O valor de 48.157=h/t=λ w λ limite que

separa seções não-compactas de esbeltas para este valor da tensão de escoamento do aço é

. PFEIL (1989) verificou o seu momento fletor resistente de cálculo pela

NB 14/86 considerando sua seção como não-compacta (classe 3). Ao fazer a verificação pelas

normas, foi necessário modificar a seção da chapa da alma, através da redução de sua

espessura, de 12.7 mm para 12.47 mm, para que esta viga se enquadrasse na categoria de viga

esbelta, para se ter condições de verificação pelas normas. Pode-se notar da viga analisada no

exemplo 2, dimensionada por PFEIL (1989), considerando a pequena redução na espessura da

alma, que esta apresenta um aço de média resistência, = 250 MPa e um parâmetro de

esbeltez à flambagem local da alma próximo de seu limite mínimo, onde se pode dizer que

esta viga apresenta uma alma pouco esbelta. A força cortante resistente calculada para os

painéis, pelas normas e pelas teorias utilizadas apresentou valores bem acima da força

cortante solicitante.

36.160=h/t=λ w

yf

10.1.1.3 Exemplo 3

A viga do exemplo 3, dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,

KNOWLES E DOWLING, 1992) foi verificada com aço = 250 MPa (média resistência), e

apresentou um parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma com valor de 160.36, valor

que é próximo de seu limite mínimo, de acordo com a equação 7.4.2. NARAYANAN (1992,

apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) propôs a espessura da alma de 14 mm,

fornecendo , que a enquadra na categoria de não-compacta. Foi necessário

também efetuar uma redução na espessura da chapa da alma, de 14 mm para 12.47 mm, onde

yf

86.142=h/t=λ w

λ aumentou para 160.4, para que esta se enquadrasse na categoria de viga esbelta com alma

pouco esbelta. A resistência ao cortante dos painéis desta viga é menor que no caso do

exemplo 2, pois as duas almas têm a mesma seção transversal, e os painés intermediários da

viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,

1992) apresentam um maior espaçamento entre enrijecedores, por isso a resistência nominal

incluindo a ação do campo de tração diminui, porque ocorre uma diminuição na resistência de

flambagem, e um pequeno aumento na resistência da ação do campo de tração.

393

10.1.2 Sobre as normas utilizadas

A norma brasileira e seus projetos de revisão apresentam critérios idênticos aos da

norma americana para o cálculo de vigas esbeltas. A norma européia apresenta critérios um

pouco diferenciados dos critérios da norma americana, mas estas apresentam resultados

aproximados entre si. Os anexos A e B deste trabalho trazem análises comparativas entre os

critérios utilizados pelas normas.

10.1.2.1 LRFD (AISC, 1994)

Todos os critérios utilizados pela norma LRFD (AISC, 1994), apêndice G, foram

demonstrados por SALMON E JOHNSON (1996), com base em teorias de resistência dos

materiais e estabilidade estrutural, de acordo com o conteúdo do capítulo 7. Através do

apêndice G1, esta norma fixa as limitações de máximo e mínimo para a categoria de

vigas esbeltas. O apêndice G2 calcula a resistência de projeto à flexão de vigas esbeltas, onde

o momento fletor resistente depende da tensão crítica que é calculada para três estados limites

de flambagem. O apêndice G3 calcula a resistência de projeto ao cisalhamento, incluindo a

ação do campo de tração, para flambagem elástica e inelástica. O apêndice G4 se refere ao

dimensionamento dos enrijecedores transversais e o apêndice G5 calcula a interação flexão-

cisalhamento.

wt/h

10.1.2.2 NBR 8800 (ABNT, 1986)

A norma NBR 8800 (ABNT, 1986) apresenta critérios idênticos aos critérios da

norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho.

10.1.2.3 PNBR 8800 (ABNT, 2003)

A norma PNBR 8800 (ABNT, 2003) apresenta critérios idênticos aos critérios da

norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho.

10.1.2.4 PNBR 8800 (ABNT, 2007)

394

A norma PNBR 8800 (ABNT, 2007) apresenta critérios idênticos aos critérios da

norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho. Este projeto de revisão não

considera a ação do campo de tração no cálculo da força cortante resistente característica de

vigas esbeltas, o que o difere das demais normas utilizadas.

10.1.2.5 Eurocode 3 (CEN, 1992)

A norma européia Eurocode 3 (CEN, 1992) apresenta critérios diferenciados dos

critérios utilizados pela norma americana, tanto no cálculo do momento fletor resistente

característico, como no cálculo da força cortante resistente característica, e também no

dimensionamento dos enrijecedores e na verificação da interação entre momento fletor e força

cortante. Para o cálculo do momento fletor resistente característico, a norma européia utiliza

reduções na seção transversal causadas por efeitos de flambagem local, de acordo com as

tabelas 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4. Estas reduções na seção efetiva causam uma redução no

módulo elástico efetivo da seção, o qual é multiplicado pela tensão de escoamento do material

para a obtenção do momento fletor resistente, e as outras normas utilizam o módulo elástico

da seção bruta, sem sofrer redução, o qual é multiplicado pela tensão crítica, a qual é reduzida

de acordo com os estados limites de flambagem. Esta é a principal diferença entre as normas

européia e americana. Para o estado limite de flambagem lateral com torção, o Eurocode 3

calcula as propriedades para cada seção individual, e a norma americana utiliza o parâmetro

de esbeltez de flambagem lateral com torção.

Para o cálculo da força cortante resistente, o cálculo pelo método simples pós-

crítico do Eurocode 3 corresponde ao cálculo da resistência de flambagem da norma

americana, os quais se diferenciam, principalmente, nos valores do coeficiente de redução do

cortante, que podem ser observados nas tabelas B.2 e B.5. No método do campo de tração, o

Eurocode 3, assim como a norma americana, utiliza duas parcelas de resistência, a resistência

de flambagem e a resistência proveniente da ação do campo de tração. A parcela de

resistência de flambagem utilizada pelo Eurocode 3, neste caso, se aproxima da parcela

correspondente utilizada pela norma americana, devido à proximidade dos valores do

coeficiente de redução do cortante, de acordo com as tabelas B.7 e B.9. A parcela referente à

ação do campo de tração calculada pelo Eurocode 3 se diferencia da utilizada pela norma

americana, de acordo com a tabela B.10.

395

10.1.3 Sobre as teorias utilizadas

As teorias utilizadas apresentaram resultados satisfatórios para os exemplos

analisados, se comparados aos resultados obtidos pelas normas utilizadas.

10.1.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)

A teoria de JUHÁS (2001), baseada no Eurocode 3, apresenta fórmulas de

interação entre momento fletor e força cortante, para vigas híbridas e homogêneas, compactas

e esbeltas. Os resultados obtidos por esta teoria indicam que os exemplos analisados se

adequaram às fórmulas de interação fornecidas, assim como ocorreu com as fórmulas de

interação fornecidas pelas normas utilizadas.

10.1.3.2 Teoria de BLEICH (1952)

A teoria proposta por BLEICH (1952) calcula as tensões críticas compressivas e

cisalhantes combinadas de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas. Os resultados obtidos

por esta teoria para os exemplos analisados são aproximados dos resultados obtidos pelas

normas, para o cálculo da força cortante resistente de flambagem, com exceção do Eurocode

3, que no método simples pós-crítico, fornece valores diferentes para a força cortante

resistente de flambagem.

10.1.3.3 Teoria de YU (1991)

A teoria de YU (1991) calcula a força cortante resistente de flambagem de painéis

de chapas de alma de vigas esbeltas. Os resultados obtidos por esta teoria para os exemplos

analisados são aproximados dos resultados obtidos pelas normas americana e brasileira, para o

cálculo da força cortante resistente de flambagem.

10.1.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998)

A teoria de HÖGLUND (1998) calcula a força cortante resistente de flambagem

de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas, utilizando o campo de tensões principais. Os

resultados obtidos por esta teoria são aproximados dos resultados obtidos pelo método

396

simples pós-crítico do item 5.6.3 – Eurocode 3, para o cálculo da força cortante resistente de

flambagem, onde nas tabelas B.2 e C.4.2 podem ser comparados os valores do coeficiente de

cortante utilizado respectivamente pelo Eurocode 3 e por HÖGLUND (1998).

10.2 Conclusões sobre os resultados obtidos pelas normas para os exemplos analisados

As conclusões sobre os resultados obtidos pelas normas para os exemplos

analisados serão apresentadas com base no capítulo 9 e nos anexos A e B. O capítulo 9

apresenta os resultados obtidos pelas normas através do capítulo 8, para os exemplos

analisados. Os anexos A e B apresentam análises comparativas entre os critérios utilizados

pelas normas para o cálculo do momento fletor e força cortante resistentes característicos de

vigas esbeltas. No presente item, serão calculados o momento fletor resistente e a força

cortante resistente incluindo a ação do campo de tração, através dos anexos A e B. Os

resultados obtidos pelos anexos A e B devem ser iguais aos resultados apresentados no

capítulo 9, pois não foi efetuada nenhuma mudança na estrutura das normas nestes anexos,

apenas foi modificada a forma com que estas se apresentam.

10.2.1 Momento fletor resistente característico

As tabelas 10.2.1.1, 10.2.1.2 e 10.2.1.3 apresentam os parâmetros de esbeltez

limites de acordo com as normas, obtidos através do anexo A, e também os calculados para as

vigas analisadas, apresentados no capítulo 9, para os estados limites de flambagem local da

mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT), flambagem local da alma (FLA) e as

categorias da seção transversal das vigas analisadas para cada estado limite.

10.2.1.1 Exemplo 1

A do exemplo 1 apresenta uma seção esbelta para o estado limite de flambagem

local da mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem

local da alma, de acordo com os critérios das normas utilizadas, onde seções não-compactas e

seções esbeltas, para os estados limites de flambagem, sofrem uma redução na tensão crítica

de flambagem, o que causa uma redução no momento fletor resistente característico. Pode-se

observar que o estado limite que determinou a resistência à flexão da viga pelas normas

americana e brasileira é o estado limite de flambagem local da mesa, pois a tensão crítica

397

calculada para este estado limite foi mais reduzida que para o estado limite de flambagem

lateral com torção e de acordo com o Eurocode 3, o estado limite que determinou sua

resistência à flexão é o de flambagem lateral com torção.

Tabela 10.2.1.1 - Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 1.

parâmetros de esbeltez normas

estados limites de

flambagem λ pλ (item A.1)

rλ (item A.2)

categoria da seção

FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta LRFD

apêndice G2 FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta NBR 8800/86

anexo F FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta PNBR 8800/03

anexo F FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta PNBR 8800/07

anexo H FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 7.4 10.36 esbelta FLT - - - - Eurocode 3

itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 250 61.0 91.1 esbelta

10.2.1.2 Exemplo 2

A viga do exemplo 2 apresenta uma seção compacta para flambagem local da

mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem local da

alma, de acordo com as normas. Esta viga possui mesas de espessuras diferentes, onde a mesa

superior tem uma espessura maior que a mesa inferior. Isto faz com que o módulo elástico

para o lado comprimido seja maior que para o lado tracionado. Apesar de esta viga ser não-

compacta para o estado limite de flambagem lateral com torção, o estado limite que

determinou sua resistência à flexão é o estado limite de escoamento da mesa tracionada. Já

pelo Eurocode 3, o estado limite que determinou a resistência à flexão para esta viga foi o

estado limite de flambagem lateral com torção, pois o momento fletor resistente calculado

398

para os outros dois estados limites é maior que o calculado para flambagem lateral com torção

neste caso.



estados limites de


rλ (item A.2)


FLM 6.8 10.8 21.8 compacta FLT 61.6 49.8 127.1 não-compacta LRFD

apêndice G2 FLA 160.4 106.3 161.1 esbelta FLM 6.8 10.9 24.9 compacta FLT 61.6 50.1 127.1 não-compacta NBR 8800/86

anexo F FLA 160.4 106.3 160.3 esbelta FLM 6.8 10.9 22.9 compacta FLT 61.6 50.4 127.1 não-compacta PNBR 8800/03


anexo H FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 6.8 9.7 13.5 compacta FLT - - - - Eurocode 3

itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 160.4 80.5 120.2 esbelta

10.2.1.3 Exemplo 3

A viga do exemplo 3 apresenta uma seção compacta para flambagem local da

mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem local da

alma, de acordo com as normas. Pode-se observar que o estado limite que determinou sua

resistência à flexão é o estado limite de flambagem lateral com torção de acordo com as

normas americana e brasileira. O Eurocode 3 forneceu uma resistência à flexão para o estado

limite de flambagem lateral com torção abaixo do momento fletor solicitante, isto porque foi

considerado em todas as normas um comprimento sem contenção lateral de 11300 mm no

meio do vão. Já a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES

E DOWLING, 1992) foi considerada tendo restrição lateral completa para todo o vão, por isso

as normas apresentaram uma redução na resistência à flexão devido à flambagem lateral com

399

torção. Devido ao fato desta viga ter contenção lateral completa, não é necessária a

verificação do estado limite de flambagem lateral com torção.



estados limites de


rλ (item A.2)


FLM 7.0 10.8 21.8 compacta FLT 59.1 49.8 127.1 não-compacta LRFD

apêndice G2 FLA 160.4 106.3 161.1 esbelta FLM 7.0 10.9 24.9 compacta FLT 59.1 50.1 127.1 não-compacta NBR 8800/86



anexo H FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 7.0 9.7 13.5 compacta FLT - - - - Eurocode 3

itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 160.4 80.5 120.2 esbelta

10.2.2 Força cortante resistente característica

As tabelas contidas neste item apresentam os valores da força cortante resistente

nominal , de acordo com as normas, calculadas de acordo com o anexo B, para os painéis

das vigas analisadas.

nV

10.2.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

As tabelas a seguir trazem os valores da força cortante resistente nominal ,

calculados de acordo com as normas, através do anexo B, para os painéis que apresentam

flambagem elástica

nV

400

10.2.2.1.1 Exemplo 1

Tabela 10.2.2.1 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;

nV

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; ; .

2w mm2890A =

kN 0.155Vsd =

normas parâmetro de

esbeltez wt/hλ =

coeficiente de cortante

vC

força cortante resistente nominal

nV (kN) LRFD

apêndice G3 0.220 165.9

NBR 8800/86 item 5.5.2 0.220 165.9

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.230 173.5

PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.230 169.8

Eurocode 3 item 5.6.3

yf/k8.1168

0.440 331.9

Tabela 10.2.2.2 - Cálculo da força cortante resistente nominal n de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;

V

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; ; .

2w mm2890A =

kN 0.155Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN) LRFD

apêndice G3 0.098 73.9

NBR 8800/86 item 5.5.2 0.099 74.7

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.103 77.7

PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.100 75.4


yf/k7.1757

0.293 221.0

401

Na tabela 10.2.2.1, para os painéis com a=493 mm o coeficiente obtido pelas

normas americana e brasileira com seus projetos de revisão é de aproximadamente 22%

enquanto que pelo Eurocode 3 é de 44%. Para os painéis com a=920 mm, na tabela 10.2.2.2, o

coeficiente reduz o cortante para 9.9% pelas normas americana e brasileira com seus

projetos de revisão, enquanto pelo Eurocode 3 esta redução é para 29.3%. O Eurocode 3

forneceu valores mais altos da força cortante resistente para estes painéis pelo método simples

pós-crítico.

vC

vC

10.2.2.1.2 Exemplo 2

De acordo com a tabela 10.2.2.3, para os painéis com a=1400 mm, os valores do

coeficiente são mais aproximados, esta maior aproximação pode ser observada na tabela

B.2, onde à medida que diminui, os valores de vão se tornando mais próximos para

todas as normas. Pode-se notar que o parâmetro deste painel está próximo do valor

mínimo para flambagem elástica, onde somente pelo Eurocode 3, o parâmetro e

encontra na tabela B.3 para flambagem inelástica.

vC

wt/h vC

wt/h

wt/h s

Tabela 10.2.2.3 - Cálculo da força cortante resistente nominal n de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;

V

MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; ; .

2w mm24940A =

kN 0.1758Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN) LRFD

apêndice G3 0.702 2626.2

NBR 8800/86 item 5.5.2 0.709 2652.4

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.736 2753.4

PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.713 2667.3


yf/k0.657

0.784 (tabela B.3)

2932.9 (tabela B.3)

402

10.2.2.1.3 Exemplo 3

Tabela 10.2.2.4 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ;

nV

MPa250f y = 4.160t/h w = ; ; .

2w mm24940A =

kN 0.2140Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN) LRFD

apêndice G3 0.372 1391.7

NBR 8800/86 item 5.5.2 0.375 1406.6

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.390 1459.0

PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.378 1414.1


yf/k3.902

0.572 2139.9

Tabela 10.2.2.5 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com ; ; ;

nV

41.1α = 3.7k = MPa250f y = 4.160t/h w = ; ; .

2w mm24940A =

kN 0.2140Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN) LRFD

apêndice G3 0.346 1294.4

NBR 8800/86 item 5.5.2 0.350 1309.4

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.363 1358.0

PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.351 1313.1


yf/k5.935

0.552 2065.0

403

Nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5, os painéis com a=2500 mm e a=2825 mm sofrem

flambagem elástica onde os valores de são 37% e 35%, pelas normas americana e

brasileira com seus projetos de revisão, e 57% e 55% aproximadamente pela norma européia,

de acordo com a tabela B.2.

vC

10.2.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro

As tabelas a seguir trazem os valores da força cortante resistente nominal ,

calculados de acordo com as normas, através do anexo B, para os painéis que apresentam

flambagem inelástica ou escoamento por cisalhamento.

nV

10.2.2.2.1 Exemplo 1

Todos os painéis desta viga apresentam flambagem elástica.

10.2.2.2.2 Exemplo 2

Tabela 10.2.2.6 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4;

nV

MPa 250f y = ; ; .

4.160w =t/hkN 7.1792Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN)

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 item 5.5.2

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3


yf/k7.414 - 3741.0

404

Para os painéis com a=800 mm, o valor de se enquadra no intervalo da

tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, de acordo com as normas.

wt/h

10.2.2.2.3 Exemplo 3

Na tabela 10.2.2.7 o valor de se situa no intervalo da tabela B.4. Somente

de acordo com o Eurocode 3 este valor de está situado na tabela B.3 para flambagem

inelástica, onde o coeficiente tem valor de 98.7%.

wt/h

t/h w

vC

Tabela 10.2.2.7 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0;

nV

MPa 250f y = ; ; .

4.160w =t/hkN 2.2182Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


nV (kN) LRFD

apêndice G3 NBR 8800/86

item 5.5.2 PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3

- 3741.0


yf/k0.471

0.987 (tabela B.3)

3692.4 (tabela B.3)

10.2.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração

As tabelas 10.2.2.8, 10.2.2.9, 10.2.2.11, 10.2.2.12, 10.2.2.14, 10.2.2.15 e

10.2.2.16 apresentam a parcela da força cortante resistente de flambagem , de acordo com

as tabelas B.6 ou B.8, de acordo com a categoria de flambagem ocorrida. As tabelas

10.2.2.10, 10.2.2.13, 10.2.2.17 e 10.2.2.18 apresentam a parcela da força cortante resistente

proveniente da ação do campo de tração , de acordo com a tabela B.10. Os valores de

apresentados nestas tabelas, calculados pelo Eurocode 3 são um pouco menores que os

crV

tfV tfV

405

apresentados nas respectivas tabelas do capítulo 9 porque nestas foram considerados os

comprimentos de ancoragem do campo de tração nas mesas, e a tabela B.10 não considera

estes comprimentos de ancoragem.

10.2.2.3.1 Exemplo 1

Tabela 10.2.2.8 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;

crV

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; . kN 0.155Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC

força cortante resistente de flambagem

crV (kN) LRFD


anexo G PNBR 8800/03


item 5.4.3

tabela 10.2.2.1


yf/k8.1168

0.241 181.8

Tabela 10.2.2.9 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;

crV

MPa 435f y = ; 250t/h w = ; . kN 0.155Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


crV (kN) LRFD




item 5.4.3

tabela 10.2.2.2


yf/k7.1757

0.106 80.0

406

As tabelas 10.2.2.8 e 10.2.2.9 apresentam a parcela calculada pelas normas,

onde o Eurocode 3 apresenta valores mais aproximados para esta parcela no método do

campo de tração. A tabela 10.2.2.10 mostra a parcela da força cortante resistente proveniente

da ação do campo de tração para os painéis com a=920 mm. O Eurocode 3 apresentou um

valor mais baixo desta parcela, em comparação com as outras normas.

crV

tfV

Tabela 10.2.2.10 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; ; ;

tfV

f y = MPa 435 250t/h w = kN 0.155Vsd = .

normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração (kN)tfV

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G

PNBR 8800/03 anexo G

kN3.384Vtf = onde

ywt F9.0σ = onde

099.0Cv = (tabela 10.2.2.9)

PNBR 8800/07 - -


kN0.207Vtf = onde

ywbb f93.0σ = onde

106.0Cv = (tabela 10.2.2.9)

10.2.2.3.2 Exemplo 2

As tabelas 10.2.2.11 e 10.2.2.12 mostram a parcela da força cortante resistente de

flambagem para os painéis finais e os intermediários, respectivamente. Os painéis finais

apresentam escoamento por cisalhamento e os painéis com a=1400 mm apresentam

flambagem elástica onde o coeficiente =71%, e de acordo com o Eurocode 3 estes

apresentam flambagem inelástica onde o coeficiente =72.3%.

crV

vC

vC

407

Tabela 10.2.2.11 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem crV , através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250y = ; f 4.160t/h w = ; Vsd kN 7.1792= .

normas pa e râmetro d

esbeltez wt/hλ =

co e c flam

kN)

eficiente dortan

vC te

força cortante resistente de

bagemcrV (

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


PNBR 8800/07 item 5.4.3


tabela 10.2.2.6

mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;

Tabela 10.2.2.12 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem crV , através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400

MPa 250y = ; f 4.160t/h w = ; Vsd kN 0.1758= .

normas pa e râmetro d

esbeltez wt/hλ =

co e c flam

kN)

eficiente dortan

vC te

força cortante resistente de

bagemcrV (

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


PNBR 8800/07

tabela 10.2.2.3

item 5.4.3


yf/k0.657

0.723 (tabela B.8) (tabela B.8)

2704.7

408

A tabela 10.2.2.13 mostra a parcela da força cortante resistente proveniente da

ação do campo de tração para os painéis com a=1400 mm, onde o valor obtido pelas

normas americana e brasileira com seu projeto de revisão é maior que o obtido pelo Eurocode

3. O valor obtido pelo Eurocode 3 nesta tabela é um pouco menor que o seu valor

correspondente que consta na tabela 9.2.7, porque o comprimento de ancoragem do campo de

tração nas mesas não foi considerado na tabela B.10.

tfV

Tabela 10.2.2.13 - Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; ; ;

tfV

f y MPa 250= 4.160t/h w = kN 0.1758Vsd = .


LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


kN2.743Vtf = onde

ywt F291.0σ = onde

709.0Cv = (tabela 10.2.2.12)

PNBR 8800/07 - -


kN7.507Vtf = onde

ywbb f348.0σ = onde

723.0Cv = (tabela 10.2.2.12)

10.2.2.3.3 Exemplo 3

As tabelas 10.2.2.14, 10.2.2.15 e 10.2.2.16 apresentam o cálculo da força cortante

resistente nominal de acordo com as normas, através do item B.3 do anexo B. Na tabela

10.2.2.14 pode-se observar que o painel sofre escoamento por cisalhamento conforme as

normas, exceto pelo Eurocode 3 onde esta sofre flambagem inelástica com um coeficiente de

cortante de 98.7%. Nas tabelas 10.2.2.15 e 10.2.2.16, os painéis com a=2500 mm e a=2825

mm sofrem flambagem elástica onde os valores de são 37% e 35%, para as normas

nV

vC

409

americana e brasileira com seus projetos de revisão, e 57% e 55% aproximadamente para a

norma européia, de acordo com a tabela B.6.

Tabela 10.2.2.14 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem , de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis de espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; ;

; .

crV

MPa 250f y =

4.160t/h w = kN 2.2182Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


crV (kN) LRFD




item 5.4.3

- 3741.0


yf/k0.471

0.987 (tabela B.8)

3692.4 (tabela B.8)

Tabela 10.2.2.15 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem , de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ; ;

.

crV

160=MPa250f y = 4.t/h w

kN 0.2140Vsd =


esbeltez wt/hλ =


vC


crV (kN) LRFD




item 5.4.3

tabela 10.2.2.4


yf/k3.902

0.404 1511.3

410

Tabela 10.2.2.16 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com ;

; ;

crV ,

41.1α =3.7k = MPa250f y = 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .


esbeltez wt/hλ =


vC


crV (kN)

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


PNBR 8800/07 item 5.4.3

tabela 10.2.2.5


yf/k5.935

0.376 1406.6

Tabela 10.2.2.17 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ; ;

tfV

f y = MPa250 4.160t/h w = kN 0.2140Vsd = .


LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


kN2.1217Vtf = onde

ywt F625.0σ = onde

375.0Cv = (tabela 10.2.2.15)

PNBR 8800/07 - -


kN6.710Vtf = onde


404.0Cv = (tabela 10.2.2.15)

411

Tabela 10.2.2.18 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com

; ; ;

tfV

41 k.1α = 3.7= MPa250f y = 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .


LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


kN3.1172Vtf = onde

ywt F650.0σ = onde

350.0Cv = (tabela 10.2.2.16)

PNBR 8800/07 - -


kN9.676Vtf = onde


376.0Cv = (tabela 10.2.2.16)

As tabelas 10.2.2.17 e 10.2.2.18 mostram a força cortante resistente proveniente

da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10. As normas

americana e brasileira com seu projeto de revisão de 2003 apresentam valores mais altos

dessa parcela em comparação com o Eurocode 3.

tfV

10.3 Conclusões sobre os resultados obtidos pelas teorias para os exemplos analisados

As conclusões sobre os resultados obtidos pelas teorias para os exemplos

analisados serão apresentadas com base no capítulo 9 e no anexo C. O capítulo 9 apresenta os

resultados obtidos pelas teorias, calculados no capítulo 8, para os exemplos analisados. O

anexo C apresenta análises interpretativas dos critérios utilizados pelos autores para a

verificação da resistência de vigas esbeltas. Neste item, serão obtidos os resultados de cada

teoria através do anexo C. Estes resultados devem ser iguais aos apresentados pelo capítulo 9,

pois não foi efetuada nenhuma mudança na estrutura das teorias no desenvolvimento deste

anexo, apenas foi realizada uma análise interpretativa destas teorias.

412


Os exemplos analisados são adequados à teoria de JUHÁS (2001).

10.3.1.1 Exemplo 1

De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 1 apresenta uma proporção

< e uma proporção < o que indica que o momento fletor

M está abaixo do limite máximo do momento fletor na presença de cortante e a força

cortante V está abaixo do limite máximo da força cortante na presença de momento fletor

. Todas as fórmulas de interação propostas por JUHÁS (2001) foram satisfeitas pelas

dimensões da viga do exemplo 1, de acordo com a tabela 9.3.1.1, o que indica que o exemplo

1 é adequado a esta teoria.

plM/M

M,uV

plV,u M/M plV/V plM,u V/V

V,uM

10.3.1.2 Exemplo 2

De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 2 possui uma proporção

um pouco maior que , mas a proporção é menor que

( )lim. De acordo com o item C.1 do anexo C, para proporções

plM/M

M,u V/V

plV,u M/M plV/V

Vupl 8.0V/ plM, < , a

proporção alcança valores acima de 0.9. Os valores encontrados pela teoria de

JUHÁS (2001) para e foram calculados utilizando M e V máximos. O que ocorre

efetivamente no caso da viga do exemplo 2 é que em qualquer seção tomada ao longo da

extensão da viga, onde se tem M máximo, V não atua com seu valor máximo e onde se tem V

máximo, M não atua com seu valor máximo. Como M tem quase o mesmo valor de , e

considerando que onde se tem M máximo, o valor do cortante V é pequeno, o qual, se for

utilizado para o cálculo de , certamente este excederá o valor de M. Como todas as

fórmulas de interação da teoria de JUHÁS (2001) foram satisfeitas de acordo com a tabela

9.3.1.1, pode-se considerar que a viga do exemplo 2 é adequada a esta teoria.

plV,u M/M

M V,u M,uV

V,uM

V,uM

10.3.1.3 Exemplo 3

413

De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 3 possui as proporções

> e > , mas a proporção <( )lim. De acordo

com o item C.1 do anexo C, para proporções

plM/M plV,u M/M plV/V plM,u V/V plV/V

8

plM,u V/V

.0V/V plM,u < , a proporção alcança

valores acima de 0.9. Os valores encontrados pela teoria de JUHÁS (2001) para

foram calculados utilizando M e V máximos. O que ocorre efetivamente no caso da viga do

exemplo 3, assim como ocorreu com a viga do exemplo 2, é que em qualquer seção tomada ao

longo da extensão da viga, onde se tem M máximo, V não atua com seu valor máximo e onde

se tem V máximo, M não atua com seu valor máximo. Como tem quase o mesmo valor

de M, e também se aproxima de V, se forem utilizados os valores reais dos esforços

atuantes M e V em cada seção, calculados serão maiores que M e V. Como

todas as fórmulas de interação da teoria de JUHÁS (2001) foram satisfeitas de acordo com a

tabela 9.3.1.1, pode-se considerar que a viga do exemplo 3 é adequada a esta teoria.

plM/

V,uM e

V,uM

M,uV

V,uM

M,uV

V,uM e M,uV

10.3.2 Teoria de BLEICH (1952)

Os exemplos analisados são adequados à teoria de BLEICH (1952).

10.3.2.1 Exemplo 1

No exemplo 1, o parâmetro considerado 0β = para os painéis com 58.0α = e

indica que não há tensões compressivas resultantes do momento fletor agindo em

dois lados opostos da chapa, somente tensões cisalhantes , isto quer dizer que por ser uma

chapa de alma muito esbelta, não foi levado em conta a resistência de momento fletor desta

chapa. O painel

08.1α = 1σ

xyτ

58.0α = apresenta um parâmetro 83.0κ = e o painel tem o

parâmetro . O parâmetro indica a relação entre a tensão crítica de

cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima. Painéis com

espaçamento menor entre enrijecedores apresentam o parâmetro

08.1α =

36.0κ = oo

c1c σ/τκ =

κ maior que de painéis que

apresentam espaçamento maior entre enrijecedores, se mantida a seção da chapa. O painel

possui uma tensão crítica de cisalhamento 58.0α = MPa40 .60τ c = , onde é a tensão

crítica de cisalhamento combinada com a tensão crítica compressiva . Como a tensão

atuante =0, tem-se que a tensão crítica =0 e a tensão crítica de cisalhamento ,

cτ

c1σ

1σ c1σo

cc ττ =

414

portanto, a tensão crítica de cisalhamento se iguala à máxima tensão crítica de

cisalhamento em cisalhamento puro . O painel

cτ

o

cτ 08.1α = possui um espaçamento maior

entre enrijecedores, então este apresenta uma tensão crítica de cisalhamento ,

menor que a metade da tensão crítica de cisalhamento do painel . A tensão

compressiva atuante =0 faz com que a tensão crítica de cisalhamento alcance o seu valor

máximo . Portanto, a tensão cisalhante atuante na chapa tem seu

valor ultrapassado no painel e é menor que a metade de no painel , onde

foi necessário recorrer ao acréscimo de resistência deste painel através da ação do campo de

tração.

MPa 60.26τ c =

58.0=

MPa60

08.1α =

α

.53

1σo

cc ττ = τ xy =

xy58.0α = τ

10.3.2.2 Exemplo 2

No exemplo 2 o parâmetro 6.0β = foi considerado para o painel 40.0α = e

para o painel . Isto indica que a tensão compressiva é maior nos painéis

intermediários que nos painéis finais, onde o valor do momento fletor atuante é maior no meio

do vão. A consideração dos valores de para os painéis desta viga indica que estes painéis

poderão resistir tensões de cisalhamento e compressivas de flexão combinadas. O parâmetro

para o painel e

0.1β =

56.1κ =

.0=

α =

70

40.0 κ

α 1σ

β

.0 para o painel 62 70.0α= = indica a relação entre a

tensão crítica de cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima.

Pode-se observar que os valores de κ destes painéis são maiores que os valores calculados

para a viga do exemplo 1, porque os painéis da viga do exemplo 2 têm uma alma menos

esbelta que a alma da viga do exemplo 1, podendo, portanto, resistir às tensões combinadas

em maior intensidade. O painel 40.0α = resiste a uma tensão crítica de cisalhamento

e a uma tensão crítica compressiva de flexão σ atuando

combinadas. Este painel flamba na extensão inelástica, pois a tensão > . O painel

resiste a uma tensão crítica de cisalhamento

MPa 9.

o

c pσ

75=

τ

c1

MPa

MPa 6.126τ c =

70.0α = 1.91τ c = e a uma tensão crítica

compressiva de flexão atuando combinadas. Para os dois painéis, tem-se

e também , o que indica que a tensão crítica dos painéis ultrapassa a tensão

atuante.

σ c1

1σxyc ττ >

MPa 1.91=

c1σ >

415

10.3.2.3 Exemplo 3

No exemplo 3 o parâmetro 49.0β = foi considerado para os três painéis. A

consideração dos valores de β para os painéis desta viga indica que estes painéis poderão

resistir tensões de cisalhamento e compressivas de flexão combinadas. O parâmetro 22.1κ =

para o painel e para os painéis 46.0α = 0.31 e κ = 33.0 1.41 e 25.1α = indica a relação entre a

tensão crítica de cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima. O

painel resiste a uma tensão crítica de cisalhamento 46.0α = MPa 9.126τ c = e a uma tensão

crítica compressiva de flexão MPa 2.62σ c1 = atuando combinadas. Este painel flamba na

extensão inelástica, pois a tensão > . Os painéis o

cτ pσ 1.41 e 25.1α = resistem a uma tensão

crítica de cisalhamento e a uma tensão crítica compressiva de flexão

atuando combinadas. Para o painel

MPa 53.0 e 3.τ c = 56

MPa 26.0 e 27.6σ c1 = 46.0α = , tem-se τ e

também , o que indica que a tensão crítica dos painéis ultrapassa a tensão atuante. Os

painéis apresenta a tensão crítica de cisalhamento abaixo da tensão atuante

e a tensão crítica compressiva de flexão abaixo da tensão atuante , onde foi

necessário recorrer ao acréscimo de resistência destes painéis através da ação do campo de

tração.

xyc τ>

1σ>

1.41 e 25.

c1σ

1α =

xyc ττ < 1c σ<1σ

10.3.3 Teoria de YU (1991)

As tabelas 10.3.3.1 a 10.3.3.7 apresentam o cálculo da força cortante admissível

de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.1. Estes resultados se

aproximam dos resultados obtidos pelas normas, que constam nas tabelas 10.2.2.1 a 10.2.2.7,

com exceção do Eurocode 3, que apresenta resultados diferentes dos demais.

aV

10.3.3.1 Exemplo 1

As tabelas 10.3.3.1 e 10.3.3.2 trazem os valores calculados da força cortante

admissível de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.58 e α=1.08 da viga

do exemplo 1. Pode-se observar que estes painéis sofrem flambagem elástica e os valores de

são aproximados dos valores da força cortante resistente característica calculados pelas

aV

aV

416

normas, exceto o Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.1 e 10.2.2.2 e a extensão na qual

os painéis flambam também coincide com os indicados pelas normas.

Tabela 10.3.3.1 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; ;

aV

MPa 435f y = 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .

flambagem parâmetro h/t força cortante resistente

admissível V (kN) a

elástica (item C.3.1) yf/k8.1168 170.5

Tabela 10.3.3.2 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; ;

aV

MPa 435f y = 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .


admissível V (kN) a


10.3.3.2 Exemplo 2


admissível de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.40 e α=0.70 da viga

do exemplo 2. A tabela 10.3.3.3 indica que o painel α=0.40 sofre flambagem inelástica com

se aproximando dos valores calculados pelas normas, exceto o Eurocode 3, que constam

na tabela 10.2.2.6. A tabela 10.3.3.4 indica que o painel α=0.70 flamba na extensão elástica,

com o valor de próximo dos valores calculados pelas normas, exceto o Eurocode 3, que

constam na tabela 10.2.2.3.

aV

aV

aV

417

Tabela 10.3.3.3 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da plo viga do exem 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN Vsd 7.1792= .

flambagem parâmetro h/t fo

admissível aV (kN) rça cortante sistente re

inelástica (item C.3.2) yf/k7.414 3741.0

Tabela 10.3.3.4 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=1 e pl400 mm entr enrijecedores da viga do exem o 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN Vsd 0.1758= .

flambagem parâmetro h/t fo

admissível aV (kN) rça cortante sistente re


10.3.3.3 Exemplo 3

s

calculados las normas, exceto o Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5.

As tabelas 10.3.3.5, 10.3.3.6 e 10.3.3.7 trazem os valores calculados da força

cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.46, α=1.25

e α=1.41 da viga do exemplo 3. A tabela 10.3.3.5 indica que os painéis α=0.46 flambam na

extensão inelástica com o valor de aV próximo dos calculados pelas normas, exceto o

Eurocode 3, que constam na tabela 10.2.2.7. As tabelas 10.3.3.6 e 10.3.3.7 indicam que os

painéis α=1.25 e α=1.41 flambam na extensão elástica, com os valores de aV próximos do

pe

418

Tabela 10.3.3.5 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU C. in(1991), através da tabela 3.1, pa pa éis com espaçam a α=0.46; k=29.0;

ra osento a=925 mm entre enrijecedores d viga do exemplo 3, com

MPa ; t/h w250f y = 4.160= ; kNVsd 2.2182= .

parâmetro h/t força cortante resistente

admis (kN) flambagem sível aV

inelástica yf/k0.471 3741.0 (item C.3.2)

Tabela 10.3.3.6 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU vé (1991), atra s da espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da α=1.25; k=7.9;

tabela C.3..1, para os painéis com viga do exemplo 3, com

MPa ; t/h w250f y = 4.160= ; kNVsd 0.2140= .

parâmetro h/t força cortante resistente

admis (kN) flambagem sível aV

elástica yf/k3.902 1419.4 (item C.3.1)

Tabela 10.3.3.7 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com de YU ( d .1 éis coa teoria 1991), através a tabela C.3 , pa pain m

espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da ra os

viga do exemplo 3, com41.1 ; 7k =α = 3. ; MPa0 ; t/h w25f y = 4.160= ; kN 2.2182Vsd = .

fl parâmetro h/t força cortante resistente

admis (kN) ambagem sível aV

elástica yf/k5.935 1311.6 (item C.3.1)


am dos resultados obtidos pelo Eurocode 3, que

nas tabelas 10.2.2.1 a 10.2.2.7, com exceção das demais normas, que apresentam

orma européia.

10.3.4.1 Exemplo


Os resultados obtidos de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998) que constam

nas tabelas 10.3.4.1 a 10.3.4.7 se aproxim

constam

resultados diferentes da n

1

admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis α=0.58 e aV

419

α=1.08 da viga do exemplo 1. Pode-se observar que estes painéis sofrem flambagem elástica e

os valores de wV são aproximados dos valores da força cortante resistente característica

calculados pelo Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.1 e 10.2.2.2 e a extensão na qual

s painéis flambam também coincide com o indicado pelos critérios do Eurocode 3.

n 493 m entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;

o

Tabela 10.3.4.1 – Cálculo da força cortante resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espaçame mto a=

435= M f y Pa ; 250t/h w = ; Vsd kN 0.155= . eficien e d

flambageparâm co e

cortan resistent nal kN)

m etro de esbeltez

wt/hλ =

tte

vC

força cortante e nomi

wV (

elástica yf/k8.1168

0.477 onde

w

359.8 (item C.4.1) 07.2λ =

ento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;

Tabela 10.3.4.2 – Cálculo da força cortante resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espaçam

435 MP f = a ; 250t/h w = ; Vsdy kN 0.155= . eficien e d

flambageparâm co e

cortan resistent nal kN)

m etro de esbeltez

wt/hλ =

tte

vC

força cortante e nomi

wV (

elástica yf/k7.1757

0.347 onde

w

261.7 (item C.4.1) 10.3λ =

10.3.4.2 Exe 2

A

A

mplo


resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis α=0.40

e α=0.70 da viga do exemplo 2. tabela 10.3.4.3 indica que o painel α=0.40 sofre

escoamento por cisalhamento com wV se aproximando do valor calculado pelo Eurocode 3,

que consta na tabela 10.2.2.6. tabela 10.3.4.4 indica que o painel α=0.70 flamba na

420

extensão elástica, com o valor de próximo do valor calculado pelo Eurocode 3, que consta

na

0.3.4.3 – Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com a teoria de HÖGL p o es =80 ores da viga do exem

wV

UND (1998), através da

; 416

tabela 10.2.2.3.

Tabela 1 wVara plo

tabela C.4.1, s painéis com 2, com α=0.40; paçamento a 0 mm entre enrijeced

k=37.4; MPa 250f y = .t/h w 0= ; kN 7.1792Vsd = .

flambagem parâm coeficiente de

cortante força cortante

resistente nominal

eλ = tro de esbeltez

wt/hvC w (kN)V

escoamento por cisalhamento yf7.414 1.00 3741.0 /k(item C.4.2)

Tabela 10.3.4.4 – te admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 0 m eced plo 2, c 0; k=14

.

fl parâm coeficiente de

c força cortante

resistente nominal

Cálculo da força cortan aVçamento a=140

.9; MPa 250f y = ; m entre enrij ores da viga do exem om α=0.74.160t/h w = ; kN 0.1758Vsd =

ambagemetro de esbeltez

wt/hλ = ortantevC w (kN)V

elástica yf/k0.657

0.710 onde

w

2656.1 (item C.4.1) 16.1λ =

10.3.4.3 E

im

os painéis α=1.25 e

=1.41 flambam na extensão elástica com os valores de próximos do calculado através

dos

xemplo 3

As tabelas 10.3.4.5, 10.3.4.6 e 10.3.4.7 trazem os valores calculados da força

cortante admissível wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis

α=0.46, α=1.25 e α=1.41 da viga do exemplo 3. A tabela 10.3.4.5 indica que os painéis

α=0.46 sofrem escoamento por cisalhamento com wV próx o do calculado pelo Eurocode 3,

que consta na tabela 10.2.2.7. As tabelas 10.3.4.6 e 10.3.4.7 indicam que

wVα

critérios do Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5.

421

Tabela 10.3.4.5 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com esp 5 m eced plo 3, c 6; k=29

.

parâm coeficiente de cortan

força cortante resisten inal

aVaçamento a=92

.0; MPa 250f y = ; m entre enrij ores da viga d exemo om α=0.44.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd =

flambagem etro de esbeltez

wt/hλ = te vC

te nomw (kN)V

escoamento por cisalhamento (item C.4.2)

yf/k0.471 1.00 3741.0

Tabela 10.3.4.6 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 0 m ece plo 3, c 5; k=7.

.

fl parâm coe de

c força cortante

resisten inal

aVçamento a=250

9; MPa250f y = ; m entre enrij dores da viga do exem om α=1.24.160t/h w = ; kN 0.2140Vsd =


wt/hλ =

ficienteortante

vC te nom

w (kN)V

elástica (item C.4.1) y

59.1λw

f/k3.902 0.576

onde =

2154.8

Tabela 10.3.4.7 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 5 m eced lo 3, com

aVçamento a=282

m entre enrij ores da viga do xemp e 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .

fl parâm coe de

c força cortante

resisten inal


wt/hλ =

ficienteortante

vC te nom (kN)wV


6.1λw

f/k5.935 0.562

onde 2102.4 5=

10.4 Recomendações para futuros trabalhos e pesquisas

422

mo:

ntais da capacidade de carga ao momento e ao cortante de vigas esbeltas.

daí, obter o estado de deformações correspondente que, associado às

relações constitutivas do material, permitem definir o estado de tensões em todo o elemento.

Este estado de tensões é transformado em esforços internos que têm de estar em equilíbrio

com as ações externas.

Este trabalho apresenta diversos critérios de dimensionamento e verificação de

vigas esbeltas, os quais podem servir de base para o desenvolvimento de futuros trabalhos e

pesquisas tratando de aspectos relacionados aos desenvolvidos nesta dissertação, co

a) Realização de um programa experimental, onde se pode utilizar um dos

exemplos calculados nesta dissertação, como o exemplo 1, para obtenção, através de ensaios

experime

b) Desenvolvimento e elaboração de programas computacionais para o cálculo e

verificação de dimensões de vigas esbeltas, utilizando linguagens de programação como C ou

Fortran.

c) Realização de uma modelagem numérica, através do método dos elementos

finitos, das vigas esbeltas apresentadas nos exemplos, para análises linear e não-linear,

utilizado programas computacionais comerciais de uso corrente. O método dos elementos

finitos consiste não apenas em transformar o sólido contínuo em uma associação de elementos

discretos e escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio entre eles, mas admitir

funções contínuas que representam, por exemplo, o campo de deslocamentos no domínio de

um elemento e, a partir

423

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFFICIALS (AASHTO). AASHTO Standard Specifications for Highway Bridges: Washington, 1983. AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFFICIALS (AASHTO). AASHTO Guide Specifications for Horizontally Curved Steel Girder Highway Bridges with Design Examples for I-Girder and Box-Girder Bridges: Washington, 2003. AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC). Manual of Steel Construction – Load and Resistance Factor Design: Chicago, 1994. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos estados limites): Rio de Janeiro, 1986. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios: Rio de Janeiro, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios: Rio de Janeiro, 2007. BASLER, Konrad. Strength of Plate Girders in Shear. Journal of the Structural Division, ASCE, 1961. BATDORF, S. B.; STEIN, M. Critical Combinations of Shear and Direct Stress for Simply Supported Rectangular Flat Plates. NACA Tech. Nota 1223, 1947. BERGMANN, S.; REISSNER H. Über die Knickung von rechteckigen Platten bei Schubbeanspruchung. Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 1932. BLEICH, Friedrich. Buckling Strength of Metal Structures. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1952. BOOBNOFF, J. Theory of Structure of Ships. St. Petersburg, 1914. BRITISH STANDARDS INSTITUTION (BSI). BS 5950: Structural use of steelwork in building. Part 1: Code of practice for design in simple and continuous construction: hot rolled sections: London, 1990. BRITISH STANDARDS INSTITUTION (BSI). BS 5400: Steel, concrete and composite bridges. Part 3: Code of practice for the design of steel bridges: London, 1982. BUDIANSKY, B.; CONNOR, R. W. Buckling Stresses of Clamped Rectangular Flat Plates in Shear. NACA Tech. Nota 1559, 1948.

424

BUDIANSKY, B.; CONNOR, R. W.; STEIN, M. Buckling in Shear of Continuous Flat Plates. NACA Tech. Nota 1565, 1948. CHWALLA, E. Beitrag zur Stabilitätstheorie des Stegbleches vollwandiger Träger. Der Stahlbau, Vol. 9, 1936. DENKE, P. H. Analysis and Design of Stiffened Shear Webs. Jour. Aeronaut. Sci. Vol. 17, 1950. DERANI, Eliane. Estruturas de aço. In: CURSO VIRTUAL DE ESTRUTURAS (CVE) – UFRJ. Rio de Janeiro, 2000. Disponível em: <http://cve.dme.ee.ufrj.br/eliane/Flexao.htm>. Acesso em: 15 dez. 2006. DEUTSCHES INSTITUT FÜR NORMUNG (DIN). DIN 18800 Teil 3: Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Plattenbeulen: Berlin, 1990. DREHMER, Gilnei Artur. Otimização de Estruturas Metálicas formadas por Perfis “I” Soldados. 2005. 85 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia e Arquitetura, Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2005. DYM, Clive L.; SHAMES, Irving H. Solid Mechanics: A Variational Approach. New York: McGraw-Hill, Inc., 1973. ESTRADA, I.; REAL, E.; MIRAMBELL, E. General Behaviour and Effect of Rigid and Non-rigid End Post in Stainless Steel Plate Girders Loaded in Shear. Part II: Extended Numerical Study and Design Proposal. Great Britain: Journal of Constructional Steel Research. Elsevier Science Ltd., 2006. ESTRADA, I.; REAL, E.; MIRAMBELL, E. Experimental and Numerical Investigation on Shear Response. Spain: Universitat Politécnica de Catalunya, 2003. EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION (CEN). Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings: Bruxelas, 1992. EUROPEAN STEEL DESIGN EDUCATION PROGRAMME (ESDEP). Plate Girder behavior and design. Leuven, 2002. Disponível em: <http://www.kuleuven.be/bwk/materials/Teaching/master/wg08/l0410.htm>. Acesso em: 5 ago. 2006. GABOR, E. Beulversuche an Modellträgern aus Stahl. Die Bautechnik, Vol. 22, 1944. GALAMBOS, T. V. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. New York and Toronto: John Wiley & sons, Inc., 1998. HÖGLUND, Torsten. Shear Buckling Resistance of Steel and Aluminium Plate Girders. Great Britain: Journal of Constructional Steel Research. Elsevier Science Ltd., 1998. JUHÁS, Pavol. Load-Carrying Capacity of Plate Girders Subjected to Bending and Shear. Slovakia: VEDA Building Research Journal, 2001.

425

JUHÁS, Pavol. Plastic Load Carrying-Capacity of Steel Girders Subjected to Bending and Shear. Slovakia: VEDA Building Research Journal, 1975. JUHÁS, Pavol. Thin-Walled Combined Plate Girders. Slovakia: VEDA Building Research Journal, 1987. LYSE, I.; GODFREY, H. J. Investigation of Web Buckling in Steel Beams. Transactions, ASCE, 100, 1935. McGUIRE, V. Steel Structures. New Jersey: Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1968. MOHEIT, W. Schubbeulung rechteckiger Platten mit eingespannten Rändern. Leipzig: Thesis, Technische Hochschule Darmstadt, 1939. MOORE, R. L. Observations on the Behavior of Aluminium Alloy Test Girders. Trans. ASCE, Vol. 112, 1947. MRÁZIK, A.; SKALOUD, M. E TOCHÁCEK, M. Plastic Design of Steel Structures. Chichester: Elis Horwood, 1986. NARAYANAN, Rangachari. Plate Girders. In: OWENS, Graham W.; KNOWLES, Peter R.; DOWLING, Patrick J. Steel Designers’ Manual. 5. ed. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1993. p.444-490. NEAL, B. G. The Plastic Methods of Structural Analysis. London: Chapman and Hall Ltd, 1956. NÖLKE, K. Biegungsbeulung der Rechteckplatte mit eingespannten Längsrändern. Der Bauingenieur, Vol. 17, 1936, e Ingenieur-Archiv, Vol. 8, 1937. PFEIL, Walter. Estruturas de Aço: Dimensionamento Prático. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1989. 300 p. PORTER, D. M.; ROCKEY, K. C.; EVANS, H. R. The Collapse Behaviour of Plate Girders Loaded in Shear. The Structural Engineer, 1975. RMG Engenharia. Viadutos em Anápolis – GO: Projeto em Estrutura Metálica. Belo Horizonte, 2006. RMG Engenharia. Variante do Contorno de Cel. Fabriciano e Timóteo – Ligação Cel. Fabriciano - Timóteo: Projeto Estrutural – Viaduto sobre o Contorno de Coronel Fabriciano. Belo Horizonte, 2006. ROCKEY, K.; SKALOUD, M. Influence of the Flexural Rigidity of Flanges upon the Load-carrying Capacity and Failure Mechanism in Shear. Acta Technica CSAV, 1969. ROCKEY, K.; SKALOUD, M. Influence of Flange Stiffeners upon the Load-carrying Capacity of Webs in Shear. New York: IABSE Final Report, Eighth Congress, 1968.

426

SALMON, C. G.; JOHNSON, J. E. Steel Structures: Design and Behavior. 4th ed. New York: Harper Collins College Publishers, 1996. SCHMIEDEN, C. Das Ausknicken versteifter Bleche unter Schubbeanspruchung. Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, Vol. 21, 1930. SEYDEL, E. Über das Ausbeulen von rechteckigen isotropen oder orthogonal-anisotropen Platten bei Schubbeanspruchung. Ingenieur-Archiv, 1933. SEYDEL, E. Beitrag zur Frage des Ausbeulens versteifter Platten unter Schubbeanspruchung. Jahrbuch Deutscher Verein für Luftfahrt-Forschung, 1931. SKALOUD, M. Ultimate Load and Failure Mechanism of Webs in Shear. London: IABSE Colloquium, Vol. 11, 1971. SKAN, S. W.; SOUTHWELL , R. V. On the Stability under Shearing Forces of a Flat Elastic Strip. London: Proc. Roy. Soc., Series A, 1924. STEIN, M.; FRALICH, R.W. Critical Shear Stresses of Infinitely Long, Simply Supported Plate with Transverse Stiffeners. NACA Tech. Note 1851, 1949. STEIN, M.; NEFF, J. Buckling Stress of Simply Supported Rectangular Flat Plates in Shear. NACA Tech. Nota 1222, 1947. STEIN, O. Die Stabilität der Blechträgerstehbleche im zweiachsigen Spannungszustand. Der Stahlbau, Vol. 7, 1934. STOWELL, E. Z. Critical Shear Stresses for an Infinitely Long Plate with Equal Elastic Restraints against Rotation along the Parallel Edges. NACA Wartime Rept., 1948. STOWELL, E. Z.; SCHWARTZ, E. B. Critical Stresses for an Infinitely Long Plate with Elastically Restrained Edges under Combined Shear and Direct Stress. NACA Wartime Rept., 1947. TIMOSHENKO, Stepan Prokofyevich. Theory of Elastic Stability. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1936. TIMOSHENKO, S. P. Stability of Rectangular Plates with Stiffeners. Mem. Inst. Engs. Ways of Commun., 1915. TIMOSHENKO, S. P. Stability of the Webs of Plate Girders. Engineering, 1935. TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of Plates and Shells. 2. ed. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1959. WANG, T. K. Buckling of Transverse Stiffened Plates under Shear. Jour. Applied Mechanics, Vol. 14, 1947. WÄSTLUND, G.; BERGMAN, S. G. A. Buckling of Webs in Deep Steel I-Girders. Pubs. Intern. Assoc. Bridge and Structural Eng., Vol. 8, 1947.

427

YU, Wei-Wen. Cold-Formed Steel Design. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1991.

428

ANEXOS

A CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR

RESISTENTE CARACTERÍSTICO

A.1 Seções compactas

A.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)

Caso 1: Momento plástico é atingido ( )pn M=M com grande capacidade de

rotação plástica

SALMON E JOHNSON (1996) afirmaram que a seção deve ser “compacta” para

prevenir flambagem local; isto é, λ para a mesa ( )ff t2/b e para a alma ( )wh/t não deve

exceder e contenção lateral deve ser providenciada de forma que o comprimento sem

contenção lateral não exceda , onde

pλ

bL pdL

yy

p1pd r

ksi ,FM/M2200+3600

=L (A.1)

A LRFD-F1.2d usa no lugar de ; mas será sempre no Caso 1.

Nesta categoria, uma análise plástica envolvendo redistribuição de momentos é uma opção.

2M pM 2M pM

Caso 2: Momento plástico é alcançado ( )pn M=M mas com relativamente

pequena capacidade de rotação

SALMON E JOHNSON (1996) forneceram a tabela A.1, que apresenta os limites

de esbeltez fornecidos para vários valores da tensão de escoamento para seções compactas.

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a seção deve ser compacta para prevenir

flambagem local, isto é, λ para a mesa ( )ff t2/b e para a alma ( )wh/t não devem exceder

e uma contenção lateral deve ser providenciada de tal forma que

pλ

( )yb r/

0.

L λ

1=Cb

não exceda .

Este último limite diz que não pode exceder quando .

pλ

pλ bL pL

yyf

p rksi ,F

300=L (A.2)

A LRFD utiliza o valor do módulo de elasticidade E=29000 ksi. Para unidades do SI, pode-se

obter , com o módulo de elasticidade E=200000 MPa: pL

429

yyf

yyf

p r29000

200000F

300rEE

F300L ==

yyf

p rMPa ,F84.787L = (A.3)

Para o estado limite de flambagem local da mesa, o valor de λ , para unidades do SI, pode ser

obtido

29000200000

F65

EE

F65

t2b

λyfyff

fp ===

yff

fp F

70.170t2

bλ == (A.4)

Para o estado limite de flambagem local da alma, o valor de λ , para unidades do SI, pode ser

obtido

29000200000

F640

EE

F640

thλ

yfyfwp ===

yfwp F

72.1680thλ == (A.5)

Caso 1, M = M

Res

istê

ncia

nom

inal

de

mom

ento

Mn M p

M r

n panálise plástica permitida

1

2

0 L L Lppd r

Comprimento sem contenção lateral L

LRFD Formula (F1 - 13)Caso 3 ou 4

comportamentoinelástico

comportamentoelástico

Caso 5

b

análise plástica não usadaCaso 2, M = M masn p

LRFD Formula (F1 - 17), eq. A.1


LRFD Formula (F1 - 6)


eq. A.9

eq. A.33

Figura A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência nominal de seções “compactas” afetadas pela flambagem lateral com torção.

nM

Para os casos em que λ não ultrapassa , a resistência nominal à flexão pode atingir a

resistência plástica de momento, , como indicado abaixo:

pλ nM

pM

430

pn M=M (A.6)

onde , onde é o módulo plástico da seção. xyp ZF=M xZ

Tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico , de acordo com a LRFD-B5.1.

pλ

pM

tensão de escoamento

yfF (MPa)

flambagem local

da mesa

yff

f

F70.170

t2b

=

(equação A.4)

flambagem local

da alma

yfw F72.1680

th=

(equação A.5)

flambagem lateral

com torção

yfy

b

F84.787

rL

=

(equação A.3) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2

Caso 3: Flambagem lateral com torção de seções “compactas” pode ocorrer

na extensão inelástica ( )rnp MMM ≥>

Esta resistência de momento é aproximada pela relação linear entre os pontos

1

nM

( )pp L em M e 2 ( )rr L em M na figura A.1. Flambagem local deve ser impedida. Desde que

quase todas as seções laminadas são “compactas”, isto é, elas têm pλ ≤ λ , a resistência

nominal é uma função linear da resistência à flambagem lateral com torção. Então, nM

( ) b pn b p p r

r p

L LM C M M M M

L L

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − − ≤⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

p⎥ (A.7)

onde é a resistência de momento disponível para cargas em serviço quando a fibra

extrema alcança a tensão de escoamento (incluindo a tensão residual), e pode ser expressa

por

rM

yfF

( )r yf rM F F S= − x (A.8)

onde

yfF = tensão de escoamento mínima especificada para o aço da mesa

431

rF = tensão residual compressiva na mesa

= 10 ksi para seções laminadas; 16.5 ksi para seções soldadas

xS = módulo elástico da seção ( )2/d/I= x

xI = momento de inércia em relação ao eixo x

d = altura total da seção

O comprimento é, como fornecido na LRFD – F1.2a, rL

( ) ( )2y 1r 2

yf r

r XL 1 1 X F

F F= + +

− yf rF− (A.9)

onde

2EGJA

Sπ

=Xx

1 (A.10)

e 2

w x2

y

C SX 4I GJ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(A.11)

A.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)

O item F-2.3 - anexo F - NBR 8800/86 utiliza, para o estado limite de flambagem

local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções compactas: pλ

yp F

E38.0=λ (A.12)

O item F-2.3 - anexo F - NBR 8800/86, para o estado limite de flambagem lateral

com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ

yp F

E75.1=λ (A.13)

A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser transformada de acordo

com os critérios utilizados pela NBR 8800/86, fornecendo os valores dos parâmetros . Para

o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo o valor do módulo de elasticidade

E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez se torna:

pλ

pλ

432

yyyp F

1.172=

F205000

38.0=FE

38.0=λ (A.14)

Para o estado limite de flambagem lateral com torção, substituindo o valor de

E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez fornecido pela NBR 8800/86 tem-se: pλ

Tabela A.2 – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico

, de acordo com a NBR 8800/86.

pλ

pM


yf (MPa)

flambagem local

da mesa

yf

f

f172

t2b

=

(equação A.14)

flambagem local

da alma

yw f1681

th=

(equação A.5)

flambagem lateral

com torção

yy

b

f3.792

rL

=

(equação A.15) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2

yyyp F

34.792=

F205000

75.1=FE

75.1=λ (A.15)

A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996), que apresenta valores limites do

parâmetro de esbeltez para seções compactas pode ser substituída pela tabela A.2, a qual

apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções compactas fornecidos

pela NBR 8800/86.

pλ

pλ

A.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)

O item F-2.3 - anexo F - PNBR 8800/03 utiliza, para o estado limite de

flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções

compactas:

pλ

yp F

E38.0=λ (A.16)

433

O item F-2.3 - anexo F - PNBR 8800/03, para o estado limite de flambagem

lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ

yp F

E76.1=λ (A.17)

A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada aos critérios

utilizados pela PNBR 8800/03. Para o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo

o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez da equação

A.16 se torna:

pλ

yyyp F

1.172=

F205000

38.0=FE

38.0=λ (A.18)


E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez da equação A.17 fornecido pela PNBR 8800/03

tem-se:

pλ

yyyp F

9.796=

F205000

76.1=FE

76.1=λ (A.19)

A tabela A.3 apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções

compactas fornecidos pela PNBR 8800/03.

pλ


, de acordo com a PNBR 8800/03.

pλ

pM


yF (MPa)

flambagem local

da mesa

yf

f

F172

=t2

b

(equação A.18)

flambagem local

da alma

yw F1681

=th

(equação A.5)

flambagem lateral com

torção

yy

b

F9.796

=rL

(equação A.19) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2

434


O item H-2.3 - anexo H - PNBR 8800/07 utiliza, para o estado limite de


compactas:

pλ

yp F

E38.0=λ (A.20)

O item H-2.3 - anexo H - PNBR 8800/07, para o estado limite de flambagem

lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ

yp F

E76.1=λ (A.21)

A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada aos critérios

utilizados pela PNBR 8800/07. Para o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo

o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez da equação

A.20 se torna:

pλ

yyyp F

1.172=

F205000

38.0=FE

38.0=λ (A.22)


, de acordo com a PNBR 8800/07.

pλ

pM


yF (MPa)

flambagem local

da mesa

yf

f

F172

=t2

b

(equação A.22)

flambagem local

da alma

yw F1681

=th

(equação A.5)


torção

yy

b

F9.796

=rL

(equação A.23) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2

435


E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez da equação A.21 fornecido pela PNBR 8800/07

tem-se:

pλ

yyyp F

9.796=

F205000

76.1=FE

76.1=λ (A.23)



pλ

A.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)

A tabela 5.3.1 - Eurocode 3 fornece os valores máximos da relação

largura/espessura das mesas. De acordo com a tabela 5.3.1 – Eurocode 3, para Classe 1

(seções super-compactas),

fc / t 9≤ ε (A.24)

para seções soldadas. Observando que e que 2/b=c f yf/235=ε , a equação A.25 se torna

MPa em f ,f97.137

=f/2359=t2/b=t/c yy

yfff (A.25)

Para seções Classe 2 (seções compactas), o Eurocode 3 utiliza o valor limite:

fc / t 10≤ ε (A.26)

para seções soldadas.

MPa em f ,f30.153

=f/23510=t2/b=t/c yy

yfff (A.27)

A tabela 5.3.1 – Eurocode 3 apresenta os valores máximos de para as

classificações das seções. Para seções Classe 1, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:

wt/h

wh / t 72≤ ε (A.28)

w yy

1103.74h / t 72 235 / ff

≤ = (A.29)

Para seções Classe 2, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:

wh / t 83≤ ε (A.30)

w yy

1272.37h / t 83 235 / ff

≤ = para em MPa. yf (A.31)

436


compactas fornecidos pelo Eurocode 3.

pλ

Tabela A.5 – Limites dos parâmetros de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico

, de acordo com o Eurocode 3.

pλ

pM


yf (MPa)

flambagem local

da mesa

yf

f

f30.153

=t2

b

(equação A.27)

flambagem local

da alma

yw f37.1272

th=

(equação A.31)

flambagem lateral

com torção

248 9.7 80.8 valores 290 9.0 74.7 devem ser 310 8.7 72.2 calculados 345 8.3 68.5 para cada caso, 379 7.9 65.3 de acordo com 414 7.5 62.5 o item 5.5.2 – 448 7.2 60.1 Eurocode 3

A.2 Seções não-compactas


Caso 4: Estado limite geral onde a resistência nominal de momento Mn

ocorre na extensão inelástica ( )rnp MMM ≥>

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), esta condição é relativamente

incomum para seções laminadas. Quando para flambagem lateral com torção,

ou

rbp L<L<L

( ) rffp λ<t2/b=λ<λ para flambagem local da mesa, ou ( ) rwp λ<t/h=λ<λ para

flambagem local da alma, a resistência estará nesta categoria. Estes limites de esbeltez são

fornecidos para vários valores da tensão de escoamento na tabela A.6 fornecida por

SALMON E JOHNSON (1996). A LRFD usa o símbolo λ para representar a estabilidade

geral do parâmetro de esbeltez.

Quando λ está entre para qualquer um ou mais de um dos estados limites

de flambagem local da mesa, flambagem local da alma, ou flambagem lateral com torção, a

relação para a resistência de momento é linear. Para os estados limites de flambagem local da

mesa ou da alma, a LRFD – apêndice F1 prescreve

rp λ e λ

437

( ) pn p p r

r p

M M M M⎛ ⎞λ −λ

= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎝ ⎠ (A.32)

Para o estado limite de flambagem lateral com torção, a relação linear da equação

A.32 é usada; entretanto, o resultado é aumentado pela multiplicação por quando existe bC

Tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema , de acordo com a LRFD – B5.1.

rλ

yF


yfFck

(MPa)


seções I soldadas

( ) cyff

f

k/85.113F71.430

t2b

−=

(equação A.36)


yfw F34.2547

th=

(equação A.38)

flambagem lateral

com torção

A.9 .eqrL

y

b =

(LRFD–F1.2a) 248 0.35 21.7 161.7 valores 290 0.35 19.0 149.7 devem 310 0.35 18.0 144.6 ser 345 0.35 16.6 137.2 determinados 379 0.35 15.4 130.8 para cada 414 0.36 14.7 125.2 forma W 448 0.36 14.0 120.3 para dada 621 0.40 11.9 102.2 tensão de 690 0.41 11.3 97.0 escoamento

um gradiente de momento. É claro que o máximo se não for levado em conta o

quão escarpado é o gradiente de momento. A expressão de acordo com a LRFD – apêndice F1

é idêntica à equação A.7, exceto pelo fato de que é expressa na forma dos parâmetros

pn M é M

λ ,

( ) pn b p p r

r p

M C M M M M⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ

= − − ≤⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦p⎥ (A.33)

onde

CBAmax

maxb M3+M4+M3+M5.2

M5.12=C (A.34)

onde

bC = fator de modificação para variação não-uniforme de momento fletor para o

segmento da viga sem contenção lateral exceto nos finais do segmento,

baseado nos valores absolutos dos momentos fletores

maxM = momento máximo no segmento sem contenção lateral

438

AM = momento no ponto a 1/4 do segmento sem contenção lateral

BM = momento no ponto médio do segmento sem contenção lateral

CM = momento no ponto a 3/4 do segmento sem contenção lateral

Para o estado limite de flambagem local da mesa, SALMON JOHNSON (1996) forneceram o

valor de , rλ

( ) cyff

fr k/5.16F

162t2

bλ

−== (A.35)

a equação A.35 pode ser convertida para as unidades do SI:

( )( ) 29000200000

k/9.65.16F162

t2b

λcyff

fr

−==

( ) cyff

fr k/85.113F

71.430t2

bλ

−== (A.36)

Para o estado limite de flambagem local da alma, SALMON JOHNSON (1996) forneceram o

valor de , rλ

ywr F

970thλ == (A.37)

a equação A.37 pode ser convertida para as unidades do SI:

29000200000

F970

EE

F970

thλ

yfyfwr ===

yfwr F

34.2547thλ == (A.38)


O item F-2.3b – anexo F – NBR 8800/86 utiliza, para o estado limite de


não-compactas:

rλ

y

'r F

E87.0=λ (A.39)

439

O item F-2.3a – anexo F – NBR 8800/86, para o estado limite de flambagem

lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : rλ

y

br F

EC44.4=λ (A.40)

O item F-2 – anexo F - NBR 8800/86 apresentou uma nota que afirma que o estado limite de

flambagem local da alma fica automaticamente verificado. O item F-1 – anexo F - NBR

8800/86 diz que para vigas esbeltas, λ deve ser maior que para FLA. O valor de

fornecido pela tabela 27 – anexo D – NBR 8800/86 é:

rλ rλ

yr f

E6.5=λ (A.41)

Tabela A.7 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a NBR 8800/86.

rλ

yf


yf (MPa)


seções I soldadas

yf

f

f9.393

=t2

b

(equação A.42)


yw f5.2535

=th

(equação A.44)


torção

yT

b

f3.2010

=rL

(equação A.43) 248 25.0 161.0 127.7 290 23.1 148.9 118.0 310 22.4 144.0 114.2 345 21.2 136.5 108.2 379 20.2 130.2 103.3 414 19.4 124.6 98.8 448 18.6 119.8 95.0 689 15.0 96.6 76.6

A tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada para as

condições da NBR 8800/86. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa

na equação A.39, tem-se, para flambagem local da mesa:

yyy

'r f

9.393=

f205000

87.0=fE

87.0=λ (A.42)

Considerando e substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000

MPa na equação A.40, tem-se, para flambagem lateral com torção:

1=Cb

440

yyy

br f

3.2010=

f205000

44.4=f

EC44.4=λ (A.43)

Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação A.41,

tem-se, para flambagem local da alma:

yyyr f

5.2535=

f205000

6.5=fE

6.5=λ (A.44)

A tabela A.7 apresenta os valores limites dos parâmetros para seções não-

compactas fornecidos pela NBR 8800/86.

rλ


O item F-2.3 – anexo F – PNBR 8800/03 utiliza, para o estado limite de


não-compactas:

rλ

cy

'r k/f

E35.1=λ (A.45)

onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .

O item F-2.3 – anexo F – PNBR 8800/03, para o estado limite de flambagem


y

br F

EC44.4=λ (A.46)

O item F.2.4 – anexo F – PNBR 8800/03 apresentou uma nota que afirma que o estado limite

de flambagem local da alma fica automaticamente verificado. O item F.1.2 – anexo F – PNBR

8800/03 diz que vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma ( )wt/h

superior a:

yr f

E70.5=λ (A.47)


condições da PNBR 8800/03. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa


441

cycyr k/f

2.611=

k/f205000

35.1=λ (A.48)



1=Cb

yyy

br f

3.2010=

f205000

44.4=f

EC44.4=λ (A.49)



yyyr f

8.2580=

f205000

70.5=fE

70.5=λ (A.50)

Tabela A.8 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/03.

rλ

yf


yF (MPa)


seções I soldadas

cyf

f

k/f2.611

=t2

b

(equação A.48)


yw f8.2580

=th

(equação A.50)

flambagem lateral

com torção

yT

b

f3.2010

=rL

(equação A.49)

248 23.0 161.0 127.7 290 21.2 148.9 118.0 310 20.5 144.0 114.2 345 19.5 136.5 108.2 379 18.6 130.2 103.3 414 18.0 124.6 98.8 448 17.4 119.8 95.0 689 14.7 96.6 76.6



rλ


442

O item H.2.3 – anexo H – PNBR 8800/07 utiliza, para o estado limite de


não-compactas:

rλ

cy

'r k/f

E35.1=λ (A.51)

onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .

O item H.2.3 – anexo H – PNBR 8800/07, para o estado limite de flambagem


y

br F

EC44.4=λ (A.52)

O item H.2.4 – anexo H – PNBR 8800/07 apresentou uma nota que afirma que o estado limite

de flambagem local da alma não é aplicável. O item H.1.1 – anexo H – PNBR 8800/07 diz

que vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma ( )wt/h superior a:

yr f

E70.5=λ (A.53)


condições da PNBR 8800/07. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa


cycyr k/f

2.611=

k/f205000

35.1=λ (A.54)



1=Cb

yyy

br f

3.2010=

f205000

44.4=f

EC44.4=λ (A.55)



yyyr f

8.2580=

f205000

70.5=fE

70.5=λ (A.56)

443

Tabela A.9 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/07.

rλ

yf


yF (MPa)


seções I soldadas

cyf

f

k/f2.611

=t2

b

(equação A.54)


yw f8.2580

=th

(equação A.56)

flambagem lateral

com torção

yT

b

f3.2010

=rL

(equação A.55)

248 23.0 161.0 127.7 290 21.2 148.9 118.0 310 20.5 144.0 114.2 345 19.5 136.5 108.2 379 18.6 130.2 103.3 414 18.0 124.6 98.8 448 17.4 119.8 95.0 689 14.7 96.6 76.6



rλ


A tabela 5.3.1 - Eurocode 3 fornece os valores máximos da relação

largura/espessura das mesas. De acordo com a tabela 5.3.1 – Eurocode 3, para Classe 3, que

corresponde a seções não-compactas nas normas americana e brasileira, esta relação é

fc / t 14≤ ε (A.57)

observando que e que 2/b=c f yf/235=ε , a equação A.57 se torna

MPa em f ,f

214=f/23514=t2/b=t/c y

yyfff (A.58)

A tabela 5.3.1 – Eurocode 3 apresenta os valores máximos de para as

classificações das seções. Para seções classe 3, que correspondem à classe de seções não-

compactas, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:

wt/h

wh / t 124= ε (A.59)

444

Tabela A.10 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com o Eurocode 3.

rλ

yf


yF (MPa)


seções I soldadas

yf

f

f214

=t2

b

(equação A.58)


yw f1900

=th

(equação A.60)

flambagem lateral

com torção

248 13.6 120.7 valores 290 12.6 111.6 devem ser 310 12.2 107.9 calculados 345 11.5 102.3 para cada 379 11.0 97.6 caso, 414 10.5 93.4 de acordo com 448 10.1 89.8 o item 5.5.2 – 689 8.15 72.4 Eurocode 3

onde yf/235=ε . Substituindo este valor na equação A.59, teremos:

w yy

1900h / t 124 235 / ff

≤ = (A.60)

para em MPa. yf

A tabela A.6 – SALMON E JOHNSON (1996) pode ser adaptada para as

condições do Eurocode 3, de acordo com a tabela A.10.

A.3 Seções esbeltas


Caso 5: Estado limite geral onde a resistência nominal de momento é

igual à resistência de flambagem elástica

nM

crM ( )rn M<M

SALMON E JOHNSON (1996) fizeram uma abordagem detalhada e ampla sobre

os conceitos relativos à resistência nominal de momento. Uma complexidade surge quando se

deseja usar e expressos pelas equações A.8 e A.9, respectivamente, para vigas esbeltas.

Para vigas de seções laminadas, não somente os valores de e estão disponíveis na

LRFD Manual mas também todas as propriedades, estão prontamente disponíveis. Para vigas

rM rL

rM rL

445

esbeltas todas as propriedades devem ser computadas para cada viga. Desta forma, enquanto as

provisões de vigas da LRFD – F1 são logicamente aceitáveis para vigas esbeltas, regras

simplificadas são fornecidas na LRFD – Apêndice G2 para evitar o uso de propriedades de

torção e as expressões complexas que o acompanham para . rL

A resistência nominal de momento de vigas esbeltas é controlada tanto pelo

estado limite de escoamento na mesa tracionada como pela flambagem da mesa comprimida,

como se segue, de acordo com a LRFD – Apêndice G2:

nM


PGytxtn RFS=M (A.61)


PGcrxcn RFS=M (A.62)

onde

crPG

r w cr

ha 970R 1 1.01200 300a t F

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

(A.63)

ra = proporção entre a área da alma pela área da mesa em compressão ( 10)≤

crF = tensão crítica de compressão da mesa, ksi

ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada, ksi

xcS = módulo da seção referente à mesa em compressão, , cx yI / 3.in

xtS = módulo da seção referente à mesa tracionada, , tx yI / 3.in

xI = momento de inércia relativo ao eixo x, 4.in

cy = distância do CG da seção à fibra extrema em compressão, in.

ty = distância do CG da seção à fibra extrema em tração, in.

ch = h, altura da chapa da alma para vigas esbeltas de seção I simétrica, in.

Os valores dos parâmetros de esbeltez para os estados limites de flambagem

lateral com torção e de flambagem local da alma, bem como as fórmulas para o cálculo da

tensão crítica foram fornecidos no capítulo 7, subitem 7.3. crF

Para o estado limite de flambagem lateral com torção estas provisões de vigas

esbeltas aproximam a relação x usada para vigas de seção laminada e mostrada na

figura A.1. A viga esbelta usa em vez de . Nota-se que da equação 7.3.8

nM

cr =F

bL

n S/ xM nM pλ

446

para obter é idêntica à equação A.2; no entanto, é usado para vigas esbeltas no lugar

em que é usado para vigas laminadas. A equação 7.3.9 para obtendo para vigas

esbeltas evita equações mais complicadas para vigas laminadas; e também evita a necessidade

de computar as propriedades de torção para vigas esbeltas.

pL Tr

yr rλ rL


O item F-2.1 – NBR 8800/86 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor

como o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da mesa

tracionada e de flambagem:

nM


ypgxtn fkW=M (A.64)

b) para flambagem:

crpgxcn fkW=M (A.65)

onde

wpg

f w cr

1≤A h Ek 1 0.0005 5.6A t f

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A.66)

O valor de é obtido de acordo com os valores dos parâmetros de esbeltez , que

são fornecidos no Anexo F – NBR 8800/86, para os estados limites de flambagem lateral com

torção e flambagem local da alma. Os valores limites de são fornecidos pelas tabelas

A.2 e A.7, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item F.2.2 –

NBR 8800/86, para cada estado limite de flambagem:

crf λ ,λ rp λ e

rp λ e λ

crf

a) para 'pλ ≤ λ

ycr f=f (A.67)

b) para ' 'p rλ < λ ≤ λ

'p

cr y ' 'r p

f f 1 0.5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ

= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.68)

c) para ' rλ>λ

2pg

cr λC

=f (A.69)

447

A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela NBR

8800/86 para o cálculo de crf .


O item F-2.1 – PNBR 8800/03 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor



nM


yxtn fW=M (A.70)

b) para flambagem:

crpgxcn σkW=M (A.71)

onde

w fpg

w f w cr

A / A h Ek 1 5.70 1.01200 300A / A t

⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ σ⎝ ⎠

(A.72)


são fornecidos no Anexo F – PNBR 8800/03, para os estados limites de flambagem lateral

com torção e flambagem local da alma. Os valores limites de são fornecidos pelas

tabelas A.3 e A.8, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item

F.2.2 – PNBR 8800/03, para cada estado limite de flambagem:

crσ rp λ e λ ,λ

rp λ e λ

crσ

a) para pλ ≤ λ

ycr f=σ (A.73)


pcr y

r p

f 1 0,5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ

σ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.74)

c) para rλ>λ

2pg

cr λC

=σ (A.75)

A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela PNBR

8800/03 para o cálculo de . crσ

448


O item H.2.1 – PNBR 8800/07 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor



RdM


1a

yxtRd γ

fWM = (A.76)

b) para flambagem:

1a

crpgRd γ

MkM = (A.77)

onde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

cr

xc

w

c

r

rpg M

EW70,5

th

a3001200a

1k (A.78)


são fornecidos no Anexo H – PNBR 8800/07, para os estados limites de flambagem lateral

com torção e flambagem local da mesa. Os valores limites de são fornecidos pelas

tabelas A.4 e A.9, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item

H.2.2 – PNBR 8800/07, para cada estado limite de flambagem:

crM rp λ e λ ,λ

rp λ e λ

crM

a) para pλ ≤ λ

yxccr fWM = (A.79)


xcpr

pycr W

λλλλ

5,01fM⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−= (A.80)

c) para rλ>λ

2xcpg

cr λWC

M = (A.81)

A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela PNBR

8800/03 para o cálculo da tensão crítica.


449

O item 5.4.5.2 – Eurocode 3 calcula o momento fletor resistente de projeto como

sendo:

Seções transversais Classe 4:

1MyeffRd,c γ/fW=M (A.82)

O Eurocode 3 não utiliza, como nas normas americana e brasileira, um valor de

tensão crítica para cada estado limite de flambagem, ele utiliza reduções na seção transversal,

cujos valores estão na tabela 5.3.2 – Eurocode 3, para elementos internos em compressão, que

é o caso de almas, e na tabela 5.3.3 – Eurocode 3, para elementos que permanecem fora, que é

o caso das mesas. Em conformidade com estas reduções fornecidas pelas tabelas 5.3.2 e 5.3.3

– Eurocode 3, está o valor de , que é o módulo efetivo da seção. effW

Para o estado limite de flambagem lateral com torção, o item 5.5.2 – Eurocode 3

traz considerações para o cálculo das propriedades de torção para cada tipo de seção

transversal, necessários para o cálculo da resistência de flambagem de vigas sem contenção

lateral.

450

B CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DA FORÇA CORTANTE

RESISTENTE CARACTERÍSTICA

Neste anexo é feita uma análise comparativa dos critérios utilizados pelas normas

para o cálculo da força cortante resistente característica de vigas esbeltas.

B.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

A tabela B.1 apresenta os critérios normativos para o cálculo da força cortante

resistente nominal , para flambagem elástica, de acordo com os itens B.1.1 a B.1.5 deste

anexo.

nV

Tabela B.1 – Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para flambagem elástica.

nV

normas parâmetro de esbeltez

wt/hλ =


vC


nV

LRFD apêndice G3

yvw F/k615t/h ≥ (equação B.6)

( )v

v 2w yw

303000kCh / t F

=

(equação B.2)

( ) wywvn AF6.0C=V (equação B.5)

NBR 8800/86 item 5.5.2

yw f/k634t/h ≥ (equação B.12)

( ) y2

wv ft/h

k306063C =

(equação B.14)

ywvn fA6.0C=V (equação B.15)

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1


( ) y2

wv ft/h

k317504C =

(equação B.23)


PNBR 8800/07 item 5.4.3


( ) y2

wv ft/h

k307582C =

(equação B.34)



yτw f/k688t/h ≥ (equação B.40)

[ ]wv λ/9.0C = (equação B.42)

onde

y

ww

f/k3.573t/h

λ =

(equação B.38)


451

A tabela B.2 apresenta os valores do coeficiente de cortante utilizado pelas

normas para flambagem elástica, de acordo com a tabela B.1.

vC

Tabela B.2 – Valores do coeficiente de cortante utilizado

pelas normas para flambagem elástica, vC

yw f/k4.615t/h ≥ .

wt/h (multiplicar por yf/k )

normas

615.

4 65

6.5

706.

7 76

1.6

787.

8 91

9.1

1050

.5

1181

.8

1313

.1

1444

.4

1575

.7

1707

.0

1838

.3

LRFD apêndice G3 0.

80

0.70

0.

61

0.52

0.

49

0.36

0.

27

0.22

0.

18

0.15

0.

12

0.10

0.

09

NBR 8800/86 item 5.5.2

- 0.

71

0.61

0.

53

0.49

0.

36

0.28

0.

22

0.18

0.

15

0.12

0.

11

0.09

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

- 0.

74

0.64

0.

55

0.51

0.

38

0.29

0.

23

0.18

0.

15

0.13

0.

11

0.09

PNBR 8800/07 item 5.4.3

- 0.

71

0.62

0.

53

0.50

0.

36

0.29

0.

22

0.18

0.

15

0.12

0.

11

0.09


- - 0.

73

0.68

0.

65

0.56

0.

49

0.44

0.

39

0.36

0.

33

0.30

0.

28

B.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)

SALMON E JOHNSON (1996) definiram o parâmetro adimensional como a

proporção entre a tensão crítica na flambagem e a tensão de escoamento ao cisalhamento

. Para estabilidade elástica da chapa, o valor de é:

vC

crτ

yτ vC

( ) yw2

w

vv Ft/h

k44000=C (B.1)

a demonstração desta equação foi feita por SALMON E JOHNSON (1996) e se encontra no

item 7.5.1 do capítulo 7. Para unidades do SI, tem-se

( )v

v 2w yw

303000kCh / t F

= (B.2)

452

A resistência nominal ao cisalhamento para flambagem elástica acontece quando é menor

ou igual a 0.8 do limite proporcional , ou seja, para

crτ

yτ vC 0.8≤ , e tem o seguinte valor:

wcrn Aτ=V (B.3)

e usando ycrv τ/τ=C

wyvn AτC=V (B.4)

e aproximando tem-se ywy F6.0=τ

( ) wywvn AF6.0C=V (B.5)

esta equação consta na LRFD – formula (A-G3-3), que representa o valor da resistência

nominal ao cisalhamento sem a ação do campo de tração. A relação que divide

flambagem elástica de inelástica é obtida colocando igual a 0.8 na equação B.2, obtendo

wt/h

vC

yw

v

w Fk

4.615th= (B.6)

Se excede o valor da equação B.6, a flambagem ocorre na extensão elástica

e se não excede, ou ocorre flambagem inelástica, ou há escoamento por cisalhamento da alma

e não ocorre flambagem.

wt/h

B.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)

Resistência nominal fornecida pelo item 5.5.2 da NBR 8800/86:

para , rλ>λ

pl

2p

n V28,1V ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

λ= (B.7)

onde

wth

=λ (B.8)

yp f

kE08.1=λ (B.9)

ywpl fA6.0=V (B.10)

453

O item 5.5.2 da NBR 8800/86, que calcula a resistência nominal ao cortante sem a

ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez , para flambagem elástica,

como se segue:

rλ

yr f

kE40.1=λ (B.11)

substituindo E=205000 MPa na equação B.11, tem-se;

( )yy

r fk9.633

f205000k40.1λ == (B.12)

substituindo E=205000 MPa e as equações B.8, B.9 e B.10 na equação B.7 tem-se:

( )

( )yw

2

w

yn fA6.0

t/h

f205000k08.1

28.1V

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

( )( )

( )yw2wy

n fA6.0t/hf

k23911228.1V =

( )( )yw

y2

wn fA6.0

ft/hk4.306063V = (B.13)

fazendo

( ) y2

wv ft/h

k4.306063C = (B.14)

substituindo a equação B.14 na equação B.13, tem-se a força cortante resistente nominal

ywvn fA6.0C=V (B.15)

B.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)

A resistência nominal fornecida no item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03 é:

para , rλ>λ2

pRk plV 1,28 V

λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟λ⎝ ⎠

(B.16)

onde

454

wth

=λ (B.17)

yp f

kE10.1=λ (B.18)

ywpl fA6.0=V (B.19)

O item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, que calcula a resistência nominal ao cortante

sem a ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez para flambagem elástica

como se segue:

rλ

yr f

kE37.1=λ (B.20)

substituindo E=205000 MPa na equação B.20, tem-se

( )yy

r fk3.620

f205000k37.1λ == (B.21)


( )

( )yw

2

w

yn fA6.0

t/h

f205000k10.1

28.1V

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

( )( )

( )yw2wy

n fA6.0t/hf

k24805028.1V =

( )( )yw

y2

wn fA6.0

ft/hk317504V = (B.22)

fazendo

( ) y2

wv ft/h

k317504C = (B.23)




A resistência nominal fornecida no item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07 é:

para , rλ>λ

455

pl

2p

Rd Vλλ

24.1V ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (B.25)

onde

wth

=λ (B.26)

yp f

kE10.1=λ (B.27)

ywpl fA6.0=V (B.28)

O item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, que calcula a resistência nominal ao cortante

sem a ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez para flambagem elástica

como se segue:

rλ

yr f

kE37.1=λ (B.29)


( )yy

r fk3.620

f205000k37.1λ == (B.30)


( )

( )yw

2

w

yn fA6.0

t/h

f205000k10.1

24.1V

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

( )( )

( )yw2wy

n fA6.0t/hf

k24805024.1V =

( )( )yw

y2

wn fA6.0

ft/hk307582V = (B.31)

fazendo

( ) y2

wv ft/h

k307582C = (B.32)



456

B.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)

O item 5.6.3 – Eurocode 3, que calcula a resistência nominal ao cortante sem a

ação do campo de tração, através do método simples pós-crítico, fornece a tensão crítica de

cisalhamento em função do parâmetro de esbeltez wλ , para flambagem elástica, como se

segue:

para w 1.2λ ≥ (flambagem elástica)

[ ]( )3/fλ/9.0=τ ywwba (B.34)

e a força cortante resistente, de acordo com o item 5.6.3 – Eurocode 3 é:

1MbawRd,ba γ/τdt=V (B. 35)

onde o parâmetro de esbeltez da alma é:

( )[ ]τ

w5.0cryww

kε4.37t/d

=τ/3/f=λyτ

w

f/k3.573t/d

= (B.36)

para w 1.2λ ≥

2.1kε4.37

t/dλ

τ

ww ≥= (B.37)

substituindo ywf/235=ε na equação B.37, tem-se

( ) yττyw f/k688kf/2354.372.1t/d =≥ (B.38)

substituindo a equação B.34 na equação B.35 tem-se

( )[ ]wywwbawRd,ba λ/9.03/fA=τdt=V

[ ]wywRd,ba λ/9.0fA6.0==V (B.39)

fazendo

[ ]wv λ/9.0C = (B.40)

a equação B.39 fornece a força cortante resistente nominal:

ywvRd,ba fA6.0CV = (B.41)

B.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro

As tabelas B.3 e B.4 apresentam os critérios normativos para o cálculo da força

cortante resistente nominal , para flambagem inelástica e para escoamento por nV

457

cisalhamento, respectivamente. Estas tabelas foram feitas de acordo com os itens B.2.1 a

B.2.5 deste anexo. A tabela B.5 apresenta os valores do coeficiente de cortante utilizado

pelas normas para flambagem inelástica, de acordo com a tabela B.3.

vC

nV

Tabela B.3 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para flambagem inelástica.

nV


w vt/hλ = coeficiente de cortante

C


LRFD apêndice

G3 ywwyw FtFvv k

615hk491 ≤≤

(equações B.45 e B.6) yww Ft/h ywn FA6V =v

vk491C =

(equação B.47)

v .0C (equação B.48)

NBR 8800/86

item 5.5.2 ywwyw FtFvv k

634hk489 ≤≤

(equações B.50 e B.12) w

v t/hywn fA6=V yf/k489

C =

(equação B.55)

v .0C(equação B.56)

PNBR 8800/03

item 5.4.3.2.1

ywwyw FtFvv k

620hk498 ≤≤


v t/hywn fA6=Vyf/k498

C =

(equação B.62)

v .0C (equação B.63)

PNBR 8800/07

item 5.4.3 ywwyw FtFvv k

620hk498 ≤≤


v t/hywn fA6=V yf/k498

C =

(equação B.69)

v .0C(equação B.70)

Eurocode 3 item 5.6.3 y

τ

wy

τ

f688

tf459 ≤≤

khk

(equações B.74 e B.38)

( )[ ]8.0λ625.01C wv −−= (equação B.79)

onde

y

ww

f/k3.573t/h

λ =

(equação B.73)

ywn fA6=V v .0C (equação B.80)

458

Tabela B.4 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para escoamento por cisalhamento. nV


wt/hλ =


vC


nV

LRFD apêndice G3

ywvw F/k491t/h < (equação B.45)

- ywn FA6.0=V (equação B.46)

NBR 8800/86 item 5.5.2

yw f/k489t/h < (equação B.50)

- ywn fA6.0V = (equação B.51)

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1



PNBR 8800/07 item 5.4.3




yτw f/k459t/h < (equação B.74)


Tabela B.5 – Valores do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem inelástica,

vC

ywy f/k688t/hf/k7.458 << .


normas

458.

7 49

1.0

506.

8 51

7.3

525.

2 53

8.4

556.

7 56

4.6

577.

7 59

0.9

604.

0 61

5.4

688.

0

LRFD apêndice G3

- 1.00

0.

97

0.95

0.

93

0.91

0.

88

0.87

0.

85

0.83

0.

81

0.80

-

NBR 8800/86 item 5.5.2

- 1.00

0.

96

0.95

0.

93

0.91

0.

88

0.87

0.

85

0.83

0.

81

0.80

-

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

- - 0.

98

0.96

0.

95

0.92

0.

89

0.88

0.

86

0.84

0.

82

0.81

-

PNBR 8800/07 item 5.4.3

- - 0.

98

0.96

0.

95

0.92

0.

89

0.88

0.

86

0.84

0.

82

0.81

-

Eurocode 3 item 5.6.3 1.

00

0.95

0.

94

0.93

0.

91

0.89

0.

88

0.87

0.

86

0.84

0.

83

0.83

0.

75

459


De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), na zona de transição entre

flambagem elástica e inelástica, tem-se

elásticocr

proporc..limcr τ τ=τ (B.42)

onde o limite proporcional é tido como . SALMON E JOHNSON (1996) obtiveram o

valor de , para flambagem inelástica, a partir da equação B.42, que é:

yτ8.0

vC

yw

v

wv F

kt/h

187=C (B.43)

A demonstração da equação B.43 foi realizada por SALMON E JOHNSON (1996) e se

encontra no item 7.5.2 do capítulo 7 deste trabalho. Para unidades do SI, tem-se:

yw

v

wv F

kt/h

491C = (B.44)

Para o valor de , ocorre escoamento na alma por cisalhamento e não ocorre

flambagem e pode-se obter o valor máximo de para esta situação, substituindo

na equação B.44,

1=Cv

wt/h 1=Cv

yw

v

w Fk

491th= (B.45)

A LRFD – apêndice G3 utiliza, para o cálculo da resistência nominal para escoamento por

cisalhamento da alma e para flambagem inelástica o seguinte critério:

para ywvw F/k491t/h < (escoamento da alma por cisalhamento)

ywn FA6.0=V (B.46)

para ywvwywv F/k4.615t/hF/k491 ≤≤ (flambagem inelástica da alma)

yw

v

wv F

kt/h

491C = (B.47)

( )ywvn FA6.0C=V (B.48)


460

O item 5.5.2 – NBR 8800/86 utiliza o seguinte critério para o cálculo da

resistência nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:

para pλ ≤ λ

pl'n V=V (B.49)


( )yy

p fk489

f205000k08.1λ == (B.50)


ywn FA6.0=V (B.51)

O item 5.5.2 - NBR 8800/86 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o

seguinte critério:


plp

n Vλλ

=V (B.52)

substituindo as equações B.8, B.9 e B.10 na equação B.52 tem-se:

( )yww

y

plp

n fA6.0t/h

fkE

08.1

=Vλλ

=V (B.53)

substituindo E=205000 MPa na equação B.53 tem-se:

( )

( )yww

y

n fA6.0t/h

f205000k

08.1

V =

( )yww

yn fA6.0

t/h

f/k489V = (B.54)

fazendo

w

yv t/h

f/k489C = (B.55)

substituído a equação B.55 na equação B.54, tem-se a força cortante resistente nominal

( )ywvn fA6.0CV = (B.56)


461

O item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03 utiliza o seguinte critério para o cálculo da


para pλ ≤ λ

pln V=V (B.57)


( )yy

p fk498

f205000k10.1λ == (B.58)

substituindo a equação B.19 na equação B.57 tem-se:

ywn FA6.0=V (B.59)

O item 5.4.3.2.1 - PNBR 8800/03 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o

seguinte critério para o cálculo da resistência nominal ao cortante:

para rp λ<λ<λ

plp

n Vλλ

=V (B.60)

Substituindo as equações B.17, B.58 e B.19 na equação B.60 tem-se:

( )yww

yn fA6.0

t/h

f/k498V = (B.61)

fazendo

w

yv t/h

f/k498C = (B.62)

e substituído na equação B.61, tem-se a força cortante resistente nominal

( )ywvn fA6.0C=V (B.63)


O item 5.4.3.1.1 – PNBR 8800/07 utiliza o seguinte critério para o cálculo da


para pλ ≤ λ

pln V=V (B.64)


462

( )yy

p fk498

f205000k10.1λ == (B.65)


ywn FA6.0=V (B.66)

O item 5.4.3.2.1 - PNBR 8800/03 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o

seguinte critério para o cálculo da resistência nominal ao cortante:

para rp λ<λ<λ

plp

n Vλλ

=V (B.67)

Substituindo as equações B.26, B.65 e B.28 na equação B.67 tem-se:

( )yww

yn fA6.0

t/h

f/k498V = (B.68)

fazendo

w

yv t/h

f/k498C = (B.69)

e substituído na equação B.68, tem-se a força cortante resistente nominal

( )ywvn fA6.0C=V (B.70)


O item 5.6.3 – Eurocode 3 utiliza o seguinte critério para o cálculo da resistência

nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:

Quando w 0.8λ ≤

( )3/f=τ ywba (B.71)

bawRd,ba τdtV = (B.72)

onde o valor de wλ é fornecido pelo item 5.6.3 – Eurocode 3:

( )[ ]τ

w5.0cryww

kε4.37t/d

=τ/3/f=λyτ

w

f/k3.573t/d

= (B.73)

fazendo

ww

d / t 0.837.4 kτ

λ = ≤ε

463

tem-se

( ) ( )( )w y

y

d / t 0.8 37.4 k 0.8 37.4 235 / f k

k458.66f

τ τ

τ

≤ ε =

= (B.74)


( ) ywywwbawRd,ba fA6.0=3/fA=τdt=V

ywRd,ba fA6.0=V (B.75)

O item 5.6.3 – Eurocode 3 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o seguinte

critério:

Quando 2.1<λ<8.0 w

( )[ ]( )3/f8.0λ625.01τ ywwba −−= (B.76)

bawRd,ba τdtV = (B.77)

substiuindo a equação B.76 na equação B.77 tem-se:

( )wba,Rd w ywV 0.6A f 1 0.625 0.8⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦ (B.78)

fazendo

( )[ ]8.0λ625.01C wv −−= (B.79)

a equação B.78 fornece a força cortante resistente nominal

vywwRd,ba CfA6.0V = (B.80)

B.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração

As tabelas B.6 e B.8 apresentam os critérios normativos para o cálculo da força

cortante resistente de flambagem , para flambagem elástica e inelástica, respectivamente,

de acordo com os itens B.3.1 a B.3.5 deste anexo. As tabelas B.7 e B.9 apresentam os valores

do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem elástica e inelástica, de

acordo com as tabelas B.6 e B.8, respectivamente. Somente o Eurocode 3 apresenta mudanças

nos critérios para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , as demais normas

não modificam seus critérios em relação aos itens B.1 e B.2 deste anexo. A tabela B.10

apresenta os critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente proveniente da

ação do campo de tração

crV

vC

tfV .

crV

464

Tabela B.6 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , para flambagem elástica. crV


wt/hλ =


vC


crV

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 item 5.5.2

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3

tabela B.1


yw f/k7.716t/h ≥ (equação B.117)

[ ]2wv λ/1C =

(equação B.123) onde

y

ww

f/k3.573t/h

λ =

(equação B.38)

vywcr CfA6.0V = (equação B.124)

Tabela B.7 – Valores do coeficiente de cortante utilizado

pelas normas para flambagem elástica, vC

yw f/k4.615t/h ≥ .


normas

615.

4 65

6.5

706.

7 76

1.6

787.

8 91

9.1

1050

.5

1181

.8

1313

.1

1444

.4

1575

.7

1707

.0

1838

.3

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 item 5.5.2

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3

tabe

la B

.2


- - 0.

64

0.55

0.

52

0.38

0.

29

0.23

0.

19

0.15

0.

13

0.11

0.

09

465

Tabela B.8 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , para flambagem inelástica. crV


wt/hλ = vC coeficiente de cortante


crV

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 item 5.5.2

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3

tabela B.3


ywy ftfk716hk458 <≤

(equações B.115 e B.117)

( )[ ]8.0λ8.01C wv −−= (equação B.119)

onde

y

ww

f/k3.573t/h

λ =

(equação B.73)

vywcr CfA6.0V = (equação B.120)

Tabela B.9 – Valores do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem inelástica,

vC

ywy f/k688t/hf/k7.458 << .


normas

458.

7 49

1.0

506.

8 51

7.3

525.

2 53

8.4

556.

7 56

4.6

577.

7 59

0.9

604.

0 61

5.4

688.

0

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 item 5.5.2

PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1

PNBR 8800/07 item 5.4.3

tabe

la B

.5

Eurocode 3 item 5.6.3 1.

00

0.95

0.

92

0.91

0.

90

0.88

0.

85

0.84

0.

82

0.81

0.

79

0.77

0.

64

466

Tabela B.10 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração tfV .

normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração tfV

LRFD apêndice G3

NBR 8800/86 anexo G


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2

wttf

α1

12

AσV


( )t v1 C Fσ = − yw (equação B.84)

onde é obtido pela tabela B.6 ou B.8. vC

PNBR 8800/07 - -


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=22

wbbtf

α11

11α

α11

α1

2A

σ9.0V


( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

α1arctansin3/fC5.1

α1arctansin3/fC5.1

fCf

σ

ywv

5.0

2

ywv

2yw

2v

2yw

bb

(equação B.135) onde é obtido pela tabela B.6 ou B.8. vC


De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a resistência nominal ao

cisalhamento pode ser expressa como a soma da resistência de flambagem e a resistência

pós-flambagem da ação do campo de tração,

crV

tfV

tfcrn V+V=V (B.81)

467

A primeira parcela, , representa a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de

tração e é calculada de acordo com os itens B.1.1 e B.2.1 deste anexo. A segunda parcela,

, que representa o valor da força cortante nominal proveniente da ação do campo de

tração, é calculada por:

crV

tfV

( )w

tf t 2

ht 1V2 1 a / h

⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥+⎣ ⎦

(B.82)

substituindo e α=a/h na equação B.82 tem-se ww htA =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2

wttf

α1

12

AσV (B.83)

onde

( )t v1 C Fσ = − yw (B.84)

a demonstração destas equações foi feita por SALMON E JOHNSON (1996) e está

disponível no item 7.6 do capítulo 7. Substituindo as equações B.4 e B.82 na equação B.81

tem-se

( )t

n w y v 2V ht C

2 1 a / h

⎡ ⎤σ⎢ ⎥= τ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(B.85)

substituindo a equação B.84 para e usando tσ 3/F=τ ywy na equação B.85 tem-se

( )v v

n yw w 2

C 1 CV F ht3 2 1 a / h

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(B.86)

De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a resistência nominal ao

cisalhamento pode ser expressa pela equação B.86. Fatorando 3 do denominador e

aproximando 3/Fyw por , tem-se ywF6.0

( )v

n yw w v 2

1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(B.87)

que é a equação que consta na LRFD – formula (A-G3-2) – apêndice G.


468

O anexo G – NBR 8800/86 utiliza os seguintes critérios para o cálculo da

resistência à força cortante, para flambagem inelástica, incluindo o efeito do campo de tração:


p p'n pV 1

⎡λ λ ⎤⎛ ⎞= +η −⎢ ⎥⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎣ ⎦

lV (B.88)

O anexo G – NBR 8800/86 fornece o valor de η :

( )2h/a+115.1

1=η (B.89)

substituindo as equações B.8 e B.9 na equação B.88 tem-se

( ) ( ) plw

y

w

y

n Vt/h

fk

489

1ηt/h

fk

489

V

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+= (B.90)

fazendo-se

( )w

yv t/h

fk489

C = (B.91)

substituindo as equações B.10, B.89 e B.91 na equação B.90 tem-se

( )( )n v v w2

1V C 1 C 0.6A F1.15 1 a / h

⎡ ⎤⎢= + −⎢ +⎣ ⎦

yw⎥⎥

(B.92)

onde a equação B.92 se torna

( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(B.93)

que é idêntica à equação fornecida na LRFD – formula (A–G3–2 ).

Para flambagem elástica, a NBR 8800/86 fornece os seguintes valores:

para rλ>λ

2 2p p'

n pV 1,28 1 1,28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

l (B.94)


469

( )

( )

2

y

w

n p2

y

w

kE1.08f

1.28h / t

V VkE1.08f

1 1.28h / t

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟

⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪+η −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

l (B.95)

substituindo o módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação B.95, tem-se

( )

( )

( )

( )

pl2

w

y

2

w

y

n V

t/h

f205000k08.1

28.11η

t/h

f205000k08.1

28.1

V

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

( ) ( ) ply

2wy

2w

n Vft/hk4.3060631η

ft/hk4.306063V

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+= (B.96)

fazendo-se

( ) y2

wv ft/h

k4.306063C = (B.97)

substituindo as equações B.10, B.89 e B.97 na equação B.96 tem-se

( )( )n v v w2

1V C 1 C 0.6A F1.15 1 a / h

⎡ ⎤⎢= + −⎢ +⎣ ⎦

yw⎥⎥

(B.98)

onde a equação B.98 se torna

( )v

n w yw v 2

1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h

⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(B.99)


470


O Anexo G – PNBR 8800/03 utiliza os seguintes critérios para o cálculo da

resistência à força cortante, para flambagem inelástica, incluindo o efeito do campo de tração:

para p w rh / tλ ≤ ≤ λ

w

yvv t/h

f/Ek10,1=C (B.100)

e a força cortante resistente é

( )Rkt v v plV C 1 C= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦V (B.101)


( )w

yv

w

yvv t/h

f/k498

t/h

f/205000k10.1C == (B.102)

o valor de η é fornecido pelo anexo G – PNBR 8800/03:

( )2h/a+115.1

1=η (B.103)


( )v

Rkt v pl2

1 CV C1.15 1 a / h

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

V (B.104)


( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−+=

2

vvywRkt

h/a115.1

C1CfA6.0V


Para flambagem elástica, a PNBR 8800/03 fornece, para o cálculo da força

cortante resistente incluindo a ação do campo de tração:

para rλ>λ

( ) y2

w

vv ft/h

Ek51.1=C (B.105)

( )Rkt v v plV C 1 C= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦V (B.106)

onde é fornecido pela equação B.20. Substituindo E=205000 MPa na equação B.105 tem-

se

rλ

471

( )( ) ( ) y

2w

v

y2

w

vv ft/h

k309550ft/h

205000k51.1C == (B.107)

e a força cortante resistente incluindo a ação do campo de tração fornecida pela PNBR

8800/03:

( )v

Rkt v pl2

1 CV C1.15 1 a / h

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

V (B.108)


( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−+=

2

vvywRkt

h/a115.1

C1CfA6.0V



A PNBR 8800/07 não considera a ação do campo de tração no cálculo da

resistência nominal ao cisalhamento.


Para o método do campo de tração, o Eurocode 3 calcula a força cortante

resistente característica através da seguinte equação:

( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V (B.109)

chamando de a primeira parcela da equação B.109, tem-se crV

bbwcr τdtV = (B.110)

a segunda parcela da equação B.109 pode ser chamada de tfV :

( )φsinσgt9.0V bbwtf = (B.111)


tfcrRd,bb VVV += (B.112)

Cálculo de . Para o cálculo de , o item 5.6.4 – Eurocode 3 utiliza os

seguintes critérios, para flambagem inelástica:

crV crV

Quando 25.1<λ<8.0 w

472

( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦ (B.113)

fazendo

8.0kε4.37

t/dλ

τ

ww == (B.114)

tem-se

( )( )( )

y

ττy

τw

fk

7.458kf/2354.378.0

kε4.378.0t/d

==

=

(B.115)

fazendo-se

25.1<kε4.37

t/d=λ

τ

ww (B.116)

tem-se

( )( )( )

y

ττy

τw

fk

66.716=kf/2354.3725.1=

kε4.3725.1<t/d

(B.117)

Substituindo a equação B.113 na equação B.110 tem-se:

( ) ( )( )wcr w yw

ww yw

V A 1 0.8 0.8 f / 3

0.6A f 1 0.8 0.8

⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦

(B.118)

fazendo-se

( )[ ]8.0λ8.01C wv −−= (B.119)

a equação B.118 fornece a força cortante resistente de flambagem:

vywcr CfA6.0V = (B.120)

O item 5.6.4 – Eurocode 3 utiliza os seguintes critérios para o cálculo de , para

flambagem elástica:

crV

Quando w 1.25λ ≥

[ ]( )3/fλ/1=τ yw2

wbb (B.121)


[ ]( )[ ]2

wyw

y2

wwcr

λ/1fA6.0

3/fλ/1AV

=

= (B.122)

fazendo-se

473

[ ]2wv λ/1C = (B.123)

a equação B.123 fornece a força cortante resistente de flambagem crV :

vywcr CfA6.0V = (B.124)

B.3.5.1 Análise da parcela da ação do campo de tração utilizada pelo Eurocode 3 tfV

A segunda parcela da equação B.111 é referente à ação do campo de tração e pode

ser chamada de , de acordo com a equação B.113, tfV

( )φsinσgt9.0V bbwtf = (B.125)

O fator é fornecido no item 5.6.4 – Eurocode 3: bbσ

[ ] ΨΨτ3fσ 5.022bb

2ywbb −+−= (B.126)

onde

φ2sinτ5.1Ψ bb= (B.127)

onde

( )2

a/darctanφ = (B.128)

De acordo com o item 5.6.4.2 – Eurocode 3 , o valor mínimo de

se aplica quando as mesas são totalmente utilizadas ao resistir o momento

fletor no membro, desprezando-se a contribuição de resistência das mesas na ancoragem do

campo de tração. Pode-se expressar em função de e da relação d/a. De acordo com o

item 5.6.4 – Eurocode 3, os valores de são:

( ) 2/a/darctanφ =

bbσ

bbτ

yf


( )3/f=τ ywbb (B.129)

substituindo a equação B.129 na equação B.126, obtém-se

0σ bb = (B.130)

portanto, o campo de tração não é formado, pois para w 0.8λ ≤ , 0σ bb = .

b) quando 2.1<λ<8.0 w :

( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦ (B.131)

474

substituindo as equações B.127, B.128 e B.131 na equação B.126, tem-se

( )[ ]( )[ ]( ) ( )( )( )

( )[ ]( ) ( )( )a/darctansin3/f8.0λ8.015.1

a/darctansin3/f8.0λ8.015.1

f8.0λ8.01fσ

yww

5.0

2

yww

2yw

2w

2yw

bb

−−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

+−−−=

(B.132)


[ ]( )3/fλ/1τ yw2

wbb = (B.133)

onde wλ é fornecido no item 5.6.3 – Eurocode 3. Substituindo as equações B.127, B.128 e

B.133 na equação B.126, tem-se

[ ][ ]( ) ( )( )( )

[ ]( ) ( )( )a/darctansin3/fλ/15.1

a/darctansin3/fλ/15.1

fλ/1fσ

yw2

w

5.0

2

yw2

w

2yw

22w

2yw

bb

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +−=

(B.134)

As equações B.132 e B.134 se transformam em

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

α1arctansin3/fC5.1

α1arctansin3/fC5.1

fCf

σ

ywv

5.0

2

ywv

2yw

2v

2yw

bb

(B.135)

onde é a equação B.119 para flambagem inelástica e a equação B.123 para flambagem

elástica, e . A largura do campo de tração g, na equação B.125, fornecido pelo item

5.6.4 do Eurocode 3 é:

vC

d/aα =

( ) φsinssaφcosdg tc −−−= (B.136)

onde são os comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas em

compressão e tração respectivamente. Desconsiderando os comprimentos s e

substituindo a equação B.136 na equação B.125, obtém-se:

tc s e s

tc s e

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

φsinaφ2sin2dtσ9.0

φsinφsinaφcosdtσ9.0V

2wbb

wbbtf

(B.137)

Substituindo a equação B.128 na equação B.137, obtém-se

475

( )( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22wbbtfa/d1

121

21a

a/d1

a/d2dtσ9.0V (B.138)

fazendo a=d/(d/a) na equação B.138 tem-se

( )( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22wbbtfa/d1

11a/d2

d

a/d1

a/d2dtσ9.0V (B.139)

e fatorando o termo d/2 da equação B.139 obtém-se

( )( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22wbbtfa/d1

11)a/d(

1

a/d1

a/dt2dσ9.0V (B.140)

observando-se que , a equação B.140 se transforma em ww Adt =

( )( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=22

wbbtf

a/d1

11)a/d(

1

a/d1

a/d2

Aσ9.0V (B.141)

fazendo se encontra a expressão final para , da equação B.141: d/aα = tfV

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=22

wbbtf

α11

11α

α11

α1

2A

σ9.0V (B.142)

476

C Análise das teorias utilizadas

Neste anexo será feita uma análise interpretativa das teorias utilizadas no trabalho.

C.1 Teoria de JUHÁS (2001)

De acordo com JUHÁS (2001), as equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e 3.3.1.11 são usadas

para se obter e , que representam a força cortante resistente última na presença de

momento fletor e o momento fletor resistente último na presença de cortante. A equação

3.3.1.12 fornece a proporção

M,uV V,uM

( )limplM,u V/V . Se , a força cortante influencia o

momento fletor último desprezivelmente, se , a força cortante influencia

significativamente, então deve-se ter

lim,M,uV<V

,M,uV>VV,uM lim

V,uM ( )lim

/V plM,upl V/VV < para que o cortante não

influencie o momento fletor resistente significantemente. Pode-se observar nas figuras 3.3.1.3,

para proporção de forma , e 3.3.1.4, para proporção de material m=1, que para

proporções , a proporção alcança valores acima de 0.9. Para

proporções , tem-se um significativo decréscimo na proporção

6.0γ >

8.0pl <

8.0>

V

pl

/V M,u

V/V M,u

plM/V,uM

plV,u M/M .

C.2 Teoria de BLEICH (1952)

De acordo com BLEICH (1952), uma chapa de alma de viga está sujeita

basicamente a ação superposta de tensões cisalhantes e tensões compressivas

linearmente distribuídas em dois lados opostos. A tensão crítica compressiva de flambagem

que a chapa pode carregar depende da intensidade de tensão de cisalhamento atuando

na chapa. A tensão crítica de cisalhamento será maior quando a tensão compressiva

decresce. De acordo com a equação 5.18, as relações e formam a equação

de um círculo. A tensão de cisalhamento que a chapa pode carregar só poderá atingir o

valor máximo se a tensão for igual a zero, pois tem-se para satisfazer a

equação 5.18 e a tensão crítica compressiva que a chapa pode carregar só poderá atingir o

valor máximo se a tensão for igual a zero, pois tem-se σ para satisfazer a

equação 5.18. O parâmetro

xyτ

o

c1σ/

1σ

1σ

c1σ xyτ

cτ

c

c1σ

c1σo

cc τ/τ

τ/τ cc =o

σ/ c1c1 =o

τ

o

cτ

o

c1σ

1σ

xyτ

β

1

1

cc1 τ/σ= representa a proporção entre a tensão crítica

477

compressiva e a tensão crítica de cisalhamento que podem atuar combinadas. O parâmetro

representa a proporção entre a tensão crítica de cisalhamento em cisalhamento

puro e a tensão crítica de flexão pura . Se a tensão ultrapassar o valor do limite

proporcional , deve-se calcular

oo

c1c σ/τκ =

o

cτo

c1σo

cτ

pσ τ/σ i . Quando τ/σ i < , pσ 1τ = e as equações que

calculam a tensão crítica nas extensões elástica e inelástica se tornam iguais.

C.3 Teoria de YU (1991)

A teoria de YU (1991) calcula a tensão crítica de cisalhamento nas extensões

elástica e inelástica de flambagem de chapas retangulares. O método do campo de tração não

é considerado em sua teoria. A tabela C.3.1 foi feita de acordo com os itens C.3.1 e C.3.2

deste anexo. Esta tabela apresenta os critérios utilizados por YU (1991) para o cálculo da

força cortante admissível de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas. aV

Tabela C.3.1 – Critérios utilizados por YU (1991) para o cálculo da força cortante admissível de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas. aV


admissível aV


v633th>

Fk

9.

(equação C.3.10)

vkh

E904.03t

aV =

(equação C.3.5)

inelástica (item C.3.2) yFt

vk9.633h

≤

(equação C.3.10)

EFkt646. yv20

aV

Va = (equação C.3.15)

com yw FA6.0≤

(equação C.3.17)

C.3.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

De acordo com YU (1991), a resistência à força cortante admissível, para

flambagem elástica pode ser obtida por:

478

hEtk53.0

=V3

va (C.3.1)

a equação que calcula a tensão critica de cisalhamento para flambagem elástica é

( ) v

2

2

2

cr kht

ν112Eπτ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= (C.3.2)

Substituindo na equação C.3.2, tem-se: 3.0=ν2

cr vt0.904E kh

⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(C.3.3)

A equação C.3.3 representa a tensão crítica de cisalhamento para flambagem elástica. A

inserção do fator e segurança de 1.71 na equação C.3.3 leva à equação C.3.4 2

cr vt0.53E kh

⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(C.3.4)

De acordo com YU (1991), a equação C.3.3 representa o valor de quando este

é menor que o limite proporcional em cisalhamento

crτ

( )yτ8.0 . A força cortante resistente

admissível pode ser obtida multiplicando a tensão crítica de cisalhamento pela área de

cisalhamento. Multiplicando a equação C.3.3 pela área da seção da chapa, tem-se:

aV

( )2 3

a vt tV 0.904E k ht 0.904E kh h

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

v (C.3.5)

considerando o fator de segurança, utiliza-se a equação C.3.4 para se obter:

( )2 3

a vt tV 0.53E k ht 0.53E kh h

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

v (C.3.6)

fazendo-se , onde ycrv τ/τC = 3/Fτ yy = e pode ser obtido pela equação C.3.3, tem-se crτ

3/F

khtE904.0

Cy

v

2

v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= (C.3.7)

substituindo E=205000 MPa na equação C.3.7 tem-se

( ) y2

vv Ft/h

k320984C = (C.3.8)

A relação h/t que divide flambagem elástica e inelástica pode ser obtida colocando 8.0Cv =

na equação C.3.7:

479

y

v

FEk

40.1th= (C.3.9)

substituindo E=205000 MPa na equação C.3.9 encontra-se

y

v

Fk

9.633th= (C.3.10)

C.3.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro

De acordo com YU (1991), para almas com h/t moderado, o valor teórico

calculado de pode exceder o limite proporcional em cisalhamento. Para este estágio, crτ

criprcr ττ=τ (C.3.11)

onde é o limite proporcional em cisalhamento prτ ( )3/F8.0=τ8.0=τ yypr e é a tensão

de flambagem ao cisalhamento crítica inicial

criτ

( )( )

2v

cri 22

k E12 1 h / t

πτ =

−ν (C.3.12)

substituindo e na equação C.3.11 tem-se: prτ criτ

t/h

EFk646.0=τ

yv

cr (C.3.13)

a equação C.3.11 representa a tensão crítica de cisalhamento para flambagem inelástica. Ao se

usar o fator de segurança de 1.67, esta equação se torna:

t/h

EFk387.0=τ

yv

cr (C.3.14)

a força cortante resistente admissível para flambagem inelástica pode ser obtida através da

equação C.3.13:

( ) EFkt646.0htt/h

EFk646.0V yv

2yva == (C.3.15)

De acordo com YU (1991), para almas com proporção h/t relativamente pequena,

a resistência ao cisalhamento é governada pelo escoamento em cisalhamento com tensão

máxima 3/Fτ yy = . Portanto, a força cortante para escoamento é determinada pela tensão

de escoamento por cisalhamento e a área da alma ht:

480

( )( )ht3/FV ya = (C.3.16)

fazendo-se e aproximando htA w = 3/Fy por a equação C.3.16 se torna yF6.0

ywa FA6.0V = (C.3.17)

C.4 Teoria de HÖGLUND (1998)

A tabela C.4.1 apresenta os critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o

cálculo da força cortante resistente nominal de painéis de chapas de alma de vigas

esbeltas. As tabelas C.4.2 e C.4.3 apresentam os valores do coeficiente de cortante

utilizado por HÖGLUND (1998), para flambagem elástica e inelástica, respectivamente.

wV

vC

Tabela C.4.1 – Critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o cálculo da força cortante resistente nominal de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas. wV

flambagem parâmetro de esbeltez

wt/hλ =


vC


wV


w f2.611t/h ≥

k

(equação C.4.7)

( )wv λ7.0/32.1C += (equação C.4.12)

onde

ywτ

ww f/Ek

t/h8.0λ =

(equação C.4.4)

inelástica (item C.4.2)

yw

y

fk2.611t/h

fk8.469

<

≤

(equações C.4.15 e C.4.7)

wv λ/8.0C = (equação C.4.18)

onde

ywτ

ww f/Ek

t/h8.0λ =

(equação C.4.4)

escoamento por cisalhamento (item C.4.2)

yww f

8.469t/h < 1Cvτk

(equação C.4.15)

= (equação C.4.16)

ywvw fA6.0CV = (equação C.4.10)

481

Tabela C.4.2 – Valores do coeficiente de cortante utilizado por

HÖGLUND (1998), para flambagem elástica, vC

yw f/k2.611≥t/h .


teoria

611.

2 65

6.5

706.

7 76

1.6

787.

8 91

9.1

1050

.5

1181

.8

1313

.1

1444

.4

1575

.7

1707

.0

1838

.3

HÖGLUND (1998) 0.75

0.

71

0.68

0.

64

0.63

0.

57

0.51

0.

47

0.44

0.

41

0.38

0.

36

0.33

Tabela C.4.3 – Valores do coeficiente de cortante utilizado por HÖGLUND (1998), para flambagem inelástica,

vC

ywy f/k2.611t/hf/k8.469 <≤ .


teoria

469.

8 49

1.0

506.

8 51

7.3

525.

2 53

8.4

556.

7 56

4.6

577.

7 59

0.9

604.

0 60

9.0

611.

2

HÖGLUND (1998) 0.96

0.

92

0.89

0.

87

0.86

0.

84

0.81

0.

80

0.78

0.

77

0.75

0.

74

0.74

C.4.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro

O parâmetro de esbeltez da alma utilizado por HÖGLUND (1998) é o mesmo

utilizado pelo Eurocode 3 – item 5.6.3:

wλ

cr

vw τ

fλ = (C.4.1)

onde

( ) τ

2w

2

2

cr kht

ν112Eπτ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= (C.4.2)

e a tensão de escoamento por cisalhamento vf é

3

ff yw

v = (C.4.3)

substituindo as equações C.4.2 e C.4.3 na equação C.4.1 tem-se

ywτ

ww f/Ek

t/h8.0λ = (C.4.4)

482

o fator de redução é obtido em função do parâmetro de esbeltez da alma . De acordo

com a tabela 3.3.3.1, para flambagem elástica, tem-se:

vρ wλ

para 08.1λw ≥

( )wv λ7.0/79.0ρ += (C.4.5)

fazendo na equação C.4.4 tem-se 08.1λw =

08.1f/Ek

t/h8.0λ

ywτ

ww == (C.4.6)

sustituindo E=205000 MPa na equação C.4.6 tem-se

yw

τw f

k2.611t/h = (C.4.7)

A força cortante resistente fornecida por HÖGLUND (1998) é

wywvw htfρV = (C.4.8)

fazendo e ww htA =

vv C6.0ρ = (C.4.9)

substituindo a equação C.4.9 na equação C.4.8 tem-se a expressão para a força cortante

resistente:

ywvw fA6.0CV = (C.4.10)

da equação C.4.9 tem-se

6.0ρ

C vv = (C.4.11)

subsituindo a equação C.4.5 na equação C.4.11 tem-se

( )wv λ7.0/32.1C += (C.4.12)

C.4.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro

Para escoamento por cisalhamento, a tabela 3.3.3.1 fornece : vρ

para 83.0λw <

3/1ρ v = (C.4.13)

fazendo na equação C.4.4 tem-se 83.0λw =

483

83.0f/Ek

t/h8.0λ

ywτ

ww == (C.4.14)

sustituindo E=205000 MPa na equação C.4.14 tem-se

yw

τw f

k8.469t/h = (C.4.15)

substituindo a equação C.4.13 na equação C.4.11 tem-se

1Cv = (C.4.16)

Para flambagem inelástica a tabela 3.3.3.1 fornece : vρ

para 08.1λ83.0 w <≤

wv λ/48.0ρ = (C.4.17)

substituindo a equação C.4.17 na equação C.4.11 tem-se

wv λ/8.0C = (C.4.18)

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