UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS

"CRISTAL DE WIGNER BLINDADO"

JOÃO MEDEIROS E SILVA

Tese apresentada ao Instituto de Fisicae Quimica de São Carlo8. USP. paraobtenção do Titulo de DOUTOR EMCI~NCIAS (Fisica).

Orientador: Prof. Dr. Bernhard Joachim Mokross

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS

SÃO CARLOS - 1980

MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA TESE DE DOUTORADO DE

JOAO MEDEIROS E SILVA

APRESENTADA AO INSTITUTO DE FrSICA E QUrMICA DE SAO CARLOS, DA

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM 17 DE JUNHO

COMISSAO JULGADORA:

DE 1980.

Or. BERNHARD JOACHIM MOKROSS - Orientador

~,;J. /~.'-~Or. MICH~L AN~~r A GERTERv

Dr. GUILHERME FONTES LEAL FERREIRA

,~), ,- ,'----~.."Jt( {:ti (d~) 7-Llt\ {l ( (

Or. RICAROO DE CARVALHO FERREIRA

Dr. HUMBERTO SIQUEIRA BRANDI

 minha esposa e filhos,

Dizinha, Joca e Jodza.

AGRADECIMENTOS

A B.J. MOkross, pela eficiente orientação deste

trabalho e dedicação constante;

Aos que chefiaram e coordenaram o Departamento

de Fisica do IFQSC durante a realização desta

tese, pelas excelentes condições de trabalho

oferecidas.

Ao Prof. Jan F.W. Slaets e Valdeci, pela decisi

va ajuda na computação.

Aos colegas e funcionários deste departamento ,

pela amizade e apoio.

Especialmente, à minha esposa, Dizinha de cuja

compreensão e abdicação dependeu a realização

deste trabalho.

RESUMO

No presente trabalho propomos e estudamos um modelo teó

rico que denominamos Cristal de Wigner Blindado. Assumindo para

este sistema uma estrutura ordenada, nos foi possível verificar a

ocorrência de uma transição de fase entre as estruturas bcc e fce,

para este modelo em função da densidade e/ou do parâmetro de blig

dagem. Após esta análise estática nos estendemos aos aspectos di­

nâmicos. Determinamos os modos normais para estas estruturas ob­

tendo espectros de frequência para diversas blindagem e/ou densi­

dade. Levando o parâmetro de blindagem para o limite zero, recup~

ramos diversos resultados conhecidos para o Cristal de Wigner. Is

to era esperado uma vez que este modelo apenas difere do nosso pe

la natureza das interações, que neste caso são puramente coulOmbi

anas, sem blindagem. Além disto nos foi possível efetuar compara-

ção com sistemas reais formados por esferas de poliestireno

suspensão aquosa, permitindo-nos concluir que·o modelo por

proposto é aplicável aos mesmos.

em

~nos

ABSTRACT

We present and develop a theorectical model which we

designate Screened Wigner Lattice (SWL). In the ordered phase of

this system we were able to predict a bcc-fcc transition, by

varying the screening parameter andjor the density. After this

static analysis we calculated the normal modes of such crystals

and got the frequency spectra in function of the screening andjor

density. Taking for the screening parameter the limit zero we

reproduced several results already known for the Wigner Lattice

(WL). This was expected since the only difference between

the SWL and WL models consists on the nature of the interaction,

which for the WL is not screened. It was possible to compare

some of our theoret±cal results with experimental data obtained

for crystals formed by polystyrene spheres in aqueous suspension.

The agreement allows us to conclude that the $WL model applies

for such systems.

FIGURAS

FIGURA Ia - Espectro de frequência do CW, determinado por

Fo1dy para a estrutura bcc •••.•••••••••.•...... 11

FIGURA 1b - Espectro de frequência do CW, determinado por

Foldy para estrutura fcc •...•..............•.. 12

FIGURA 2 - Diferença fracional de energia livre, obtida3

por Pollock-Hansen, para o CW para (36) veto

res K Cl •••••••••••••••• 18

FIGURA 3 - Diferença fracional de energia estática do

CWB nas estruturas bcc e fcc versos À ••••••••• 34s

FIGURA 4 - Espectros de frequênciado CWB na estrutura

bcc, para diversos valores de À ••••••••••••••• 60s

FIGURA 5 - Espectro de frequência do CWB na estrutura

fcc, para diversos valores de À ••••••••••••••• 61s

FIGURA 6 - Espectro de frequência do CWB nas estruturas

bcc e fce, para À =0 63s

FIGURA 7 - Espectros de frequência de CWB nas estruturas

bcc e fcc, para À = 0,25 ••••••••••••.••.••••.•• 64's

FIGURA 8 - Espectros de frequência do CWB nas estruturas

bcc e fce, para À =1,05 65s

FIGURA 9 - Espectro de frequência do CWB nas estruturas

bcc e fcc, para À = 1,20 ••..••••.••.•.••••••.• 66s

FIGURA 10 - Espectros de frequência do CWB na estrutura

bcc, para À = O; 0,25, 1,05; 1,20 ••..•..•••••••. 67s

FIGURA 11 - Espectros de frequência do CWB na estrutura

fcc, para À =0; 0,25; 1,05;1,20 ••..•••..••••• 68s

2

sante nestes trabalhos experimentais é a sua extrema simplicida­

de. Devido ao fato do espaçamento entre as particulas ser da or­

dem de 104 A, os estudos estruturais podem ser efetuados com o

auxilio de luz visivel.

Williams3, também estudou a transição ordem-desordem.

Para isto, mediu o ponto de fusão da fase ordenada para diversas

concentrações. Para interpretar seus resultados desenvolveu um

modelo teórico extremamente simplificado. ° material das esferas

contém radicais -HS03 que se dissociam quando em contato com a

água segundo a reação

-HS03+

H + -5°3 (I.I)

onde os grupos -5°3 ficam ligados à esfera, os íons H+ ficam dis

persos na água sob a ação das agitações térmicas e da atração el~

trica exercida pelas esferas carregadas negativamente pelos gru­

pos -HSO;. Sob estas condições os H+ formariam uma nuvem difusa

em torno das partículas de poliestireno. Baseado nesta imagem

qualitativa Williams,3, no modelo teórico por ele desenvolvido,as

sumiu a interação entre as partículas como sendo do tipo

U (l exp{-Àr)r , (I.2)

onde À é o inverso do comprimento de Debye e r a distância entre

as partículas. O modelo contendo este pressuposto foi extremameg

te satisfatório para interpretar seus resultados experimentais.

A simplicidade dos experimentos e das interações, nos

dispertaram o interesse teórico para estas suspensões. O primei-

7

(11.2)

onde observamos que a divergência foi eliminada.

Os termos y(j) correspondem aos módulos dos vetores cor

respondentes a rede reciproca do cristal. erfc(x) é a usual fun­

çao erro complementar e E é o parâmetro de Ewald.

Os resultados numéricos computados a partir da equaçao

(II.2) para a energia por elétron do CW nas estruturas bcc e fcc

sao respectivamente:

Uo (bcc) = -1,79187 a3/2o -3/2 Rrs y (II.3)

Uo(fcc) = -1,79175 a3/2o -3/2 Rrs y , (lI. 4)

e R é a unidade de energiaydo volume esférico da célula

1'i.2(a = -)o 2me

. r é o raios

raio de Bohr4

(IR = ~)Y 2tí2

unitária.

onde a é oo

de Rydberg

II.3 - MODOS DE VIBRACÃO DO CW.Os espectros de vibração do CW bcc e fcc foram estuda­

dos por L.L. Foldyl0 • Seus resultados serão apresentados nesta se

çao, servirão de base para comparar nossos resultados.

As frequências normais de vibração, que constituem o es

pectro de vibração de um cristal são determinadas a partir das

raizes de uma equação secular, cujos pormenores serão dados no Ca

8

pitulo IV e Apêndice A. A equação secular para o cw é escrita na

forma

, (II.S)

onde DaS(K) são os elementos da matrizD(K), conhecida por matriz

dinâmica. a,S=x,y,z e Q,=l,2,3 definem as três raizes para cada

vetor de onda R. OS elementos de matriz D (K) do cw são defini­aS

dos por (veja Apêndice A, equação (lSA):

-+- 1 \'D Q (K) = M .L.aI-) J-~

rlvauna) duliS)

(II.6)

Aqui M é a massa do elétron e u(ja) é a componenente a do vetor

deslocamento li(j). R (j-i) = R (j) - R (i) e V é a energia potencial

total do sistema.

Para a energia potencial total V do sistema Foldy util~

zou os resultados de Carrll • Neste parágrafo apenas apresentamos

o resultado final e no capítulo IV, já no contexto do nosso pro-

blema, daremos uma demonstração do mesmo. Portanto, na

ção harmônica a energia potencial total do CW é:

aproxima

2e+­4

1R(j-iT .

(lI.?)

V (j-i) é tal Que, formalmente, 'iJ (ja-ia) = aR(' d. ) , onde- Ja-~aR(ja-icx)= R(ja) - R(ia). V é a energia estática total do CW nao

configuração de equilíbrio {R(j)}.

A partir da equação (lI.?), podemos construir a matriz

18

0,8

0,2

oo 4 e 12 16 20 24

r' •

FIGURA 2 - Diferença fracional de energia livre,

obtida por Pollock-Hansen" , para o

CW para (36)3 vetores K

qualquer que seja a temperatura. Esta verificação é importante urna

vez que evidencia a impossibilidade da energia de vibração in-

fluir numa transição de fase bcc~fcc, como havia pensado Foldy. Ig

felizmente, não nos é possível aceitar esta conclusão como defini-

tiva, uma vez que não conhecemos o espectro de frequência utiliza

do por estes autores.

23

, (111.7)

onde ~(1) é o potencial na origem escolhida, devido a todas as ou

tras partículas. Este têrmo, a partir da equação (111.2), será

~(l);; ·0 IIiexp -ÀR(i)

••

R (i)(III.8)

onde a linha no somatório significa a exclusão do ponto R(i) =0.

~(2) é o potencial na origem criado pelo fundo compensa

dor. Este fundo compensador, como foi definido, é constituido de

uma distribuição de carga continua cuja densidade é dada pela equ~

çao (III.3). Então, ~(2)~

sera

~(2)

00

J exp (-Àr) r2 dro

, (III.9)

que integrando, fornece

(III.IO)

A primeira vista parece que o problema de determinar a

energia estática do CWB está resolvida; basta substituir as equa-

ções (III.a) e (III.IO) na equação (III.7). Entretanto, teros dois

problemas inerentes a esta solução simplista: Primeiro é imediato

que para À=O o potencial ~(2) diverge. E segundo, devido à lenta

convergência de ~(l), principalmente para À pequeno, a comparação

entre as energias do CWB em suas formas estruturais é prejudicad~

tendo em vista a pequena diferença entre elas. Por exemplo, a di­

ferença fracional entre as estruturas bcc e fcc é da ordem de

25

onde a integral se extende sobre todo o volume do cristal.

A expressão (111.13) pode ser escrita na forma

~ 1 2' F[y(j)J = V ~ fIexP H R(i) - r['p' - 21fiy(i) •[r-R(i)] } d2r

(111.14)

onde utilizamos o fato de que exp [27Tiy(j) .R(i)] = 1.

I "'''" 1A 1ntegraçao e sobre toao espaço do crista e a soma so

bre todas N células. Então, a equação (III.14) pode ser reescrita

na forma

[-+ . ] N 2 J r 2 2 • -+. -+]F y( J ) = v - exp L-r p - 2TI ~ Y (J) •r{TI

que integrando fornece

[TI 2 2 "exp - p-z- y (j )J

p3

, (III.15)

onde n = ~ é o volume da célula unitária.

Substituindo a equação (III.15) na (III.12) e com o au­

xilio da equação (III.ll), temos

[ TI2 2 .. -+. -+]exp - PT Y (J) + 2TI~Y(J) .rp3

(III.16)

Esta expressão é conhecida na literatura como transformação teta~.

O método de Ewald consiste basicamente em utilizar a

transformação teta para separar uma soma na rede direta, lentameg

te convergente, em duas outras, uma na rede direta e outra na re-

de reciproca, ambas com rápida convergência.

1,00

W??:0o

-1,00

bccIfccI0,62·- -

• OM

I-oo~ --

o (j

°1 l,O:~1,5::> o

0,5 ÀsI 8- o

o ::>o.•..-o::>

FIGURA 3 - Diferença fracional de energia estâti ca do CWBnas estruturas bcc e fcc versos À •s

3.6

êeHê@f}.f;.;'f~.çª~g..ePªF!:~~!1±~spªFa a 9:\lal981?~re a transição de fase.

~~±~àg mª;~,P~F~ @t@~H~F 89mBªFªç9êª S9ID os dados experimentais

~ n~9~§§ªF}9ªn?!;§?F 9@F~~~ª~~p~e9 pªF~~tro de blindagem À uti

!!~ª~o ~~ ~g~~o ~9~10~ A ~~g~~~ ~e p~~ye=H6ckel é insuficiente ,

uma vez que ~sta teoria é válida pªra .~ eletrodo binário, onde

~ - . -os 10ns sao ªpr~~1mª9am~nte ~o mesmo tamanho e mesma concentraçao.

~~~e p~~b~~ma ~~i abordado por Mokross e Caliri6• Estes autores

e~etua~arn~ ~ª~c~lo rigo~oso para o potencial repulsivo entre

pa~~~c~!ªs ~e po~iestireno com diâmetro de 1090R e foram capazes

de ~bter para cada concentração o potencial correspondente. Conhe

~i40~ po~~ncia~ P?ra cada concentração, lhes foi possivel avaliar

a ~!!~ªag~m À que oc~rre na expressão pªra a interação.

Udo e Souza4 observaram que a ~~ansição de fase bcc~fcc

À interpolado por Mo­

4de 2,67 x 10 • Portan-

para este ~!po de part~culas de poliestireno ocorre entre

- d 1 13 3 13 • 1 / 3cent~açoes_ e _,91 x 10 e 2,5 x 10 part1cu as cm . Para- -5

concentraçoes rs = 2,3 x 10 em e o valor de

kross ~ Cal!ri, dentro de certo critério, é

as con-

estas

to, o valor de À por eles aferido é de Àr = 1,99, o qual está em~ s - - ~ sboa concordância com o valor de À por nós previsto, que é de-~ - ~ - ~ s -.:L'OS p03.raa trªnsição de fase bcc ~ fcc.

Afim de comparªr o nosso resul~ado com aquele obtido

por Fuchs8 para a energia estática do CW e que apresentamos na e-

quaçao (II.2), vamos considerar a energia estáti~a do CWB (Uo) no

limite de À ~ O. Para isto tornamoso limite de À ~ O (que pelas de-

finições b e Às é o mesmo b~O) da equação (III.34). Lembramos que

ao obter ~s~ª ~g~ªç~o ~~ªmos E e rl !~~!stintamente. Então, das

38

corretamente se anular~a com outro termo igual, que ele omitiu

quando determinou a contribuição da distribuição dos elétrons pa­

ra o potencial na célula. Apesar disto, esta passagem em sua de­

dução permanece um tanto quanto obscura.

41

v=v + 12 Q H [ii(j) -Ú(i)]'V(j-i) v R(j-i)o jri

- Q Iav [il (j) J

('u) 1Q I a2vfu(j)] I (') (' )dU(ja}

U J - "2 , auUa} au(i~) li Ja li 18J~

JaO

I'O

18

, 11111

,{IV. G}

onde os indices zero nas duas últimas derivadas significam que

elas são tomadas na configuração de equilibrio. Como anteriormen­

te a,8 = x,y, z e R(j-i} é o módulo do vetor R(j-i} = R(j) - R(i) .

u{ja} é a componente a do vetor deslocamento U(j). O

vtj-i}, significa formalmente:

operador

ªa [R (j a) - R (i B) ]

(IV.7)

Para escrever a expansão da energia na forma da equação (IV.6)uti

lizamos a fórmula de Taylor

1n: ,

no primeiro têrmo da equação {IV.l}.

~ fácil verificar que o primeiro termo linear em U, na

equaçao (IV.6), se anula por simetria. Podemos mostrar que o se­

gundo termo linear em U, também, é zero. Para isto, obtemos a paE

tir da equação (IV.5), a expressao

43

definição da equação (IV.?), temos

([~(j) -ti(iIJ -V(j-11}2 VI!l(j-ilJ!O=

= - Q u2 (j -i) [ 3 1 + 2 J exp [- À R ( j -i) ]R (j-i) R (j-i)

(IV. 9)

De maneira similar, da equação (IV.S), obtemos

+ [_ 6u(ja)u(jS) + jL ôaS _ ~ u(ja)u(jS)À3u5(j) À3 u3(j) À2 u4(j)

u(ja)u(jS)+ ôaS ]exp[-Àu(j)]Àu3(j) Àu(j)

..:[2u(ja)U(jS)+ 2u(ja)~(jS)+ u(ja~u(jS)]exp[-ÀU(j)J} ejiÀ2U4(j) ÀU (j) u (j) o

Expandindo o fator exponencial em série, desenvolvendo os produ-

tos e simplificando os termos simétricos, obtemos o resultado

a2v[u(j)]au(ja) au(iS)

o4rrQ ~ e ]= Q li~ o u (j) _.:il.ê. e ..

u(J)~O 3 1J

4 Q e Se ..= _ -L a 1JQ 3 (IV.IO)

+ 4a(j)h

54

a(ja)a(jS)

a5 (j)

-q {200sh[2a(jlb] - 4a(j)b senh[2a(j)b]

- exp [2a(j)bJ 1- 2a{j)b <P[a{j)+ b]

- exp[-2a(j)b][l+2a(j)bJ <p[a(j)-bJ

+ 4a(j)

/TI(IV. 37)

onde foi usada a definição de ~ (j) :::ER (j) = ~ ~ (j) da equaçao

(111.22).

+ +Os significados de n(j), n' (j), f e À foram dados nos

capitulo 111.

IV.4 - ESPECTRO DE FREQU~NCIA DO CWB

Neste parágrafo apresentamos as expressoes que nos con-

duzirão ao espectro de frequência do CWB.

A equação de movimento do CWB na aproximação harmônica

é dada por

M ü(ia) = - L vejaS) ü(jS) ,j(IV.38)

onde M é a massa da carga pontual, e ü(ia)é a derivada temporal+

da componente a do deslocamento u(i). Os coeficientes vejaS) sao

definidos por

V (jaS)

{R(j)}

55

conforme as condições apresentadas após a equação (IOA) do AP~NDI-

CE A.

v é o potencial total do CWB dado pela equação (IV.II).

O Indice {R(i}} na equação (IV.39) significa que as derivadas são

tomadas na configuração de equilíbrio.

Assumiremos a solução da equação (111.38) como sendo

u(ja) = u(a) exp[2niK.R(j) - iwt]1M

(IV. 40)

onde u(a) é a componente a do vetor amplitude de vibração, e que

para um sistema monodisperso é independente do índice da célula.

~ - --K e o vetor de onda e w e uma frequencia angular, que pode ter

+três valores diferentes para cada K, conforme veremos a seguir.

Substituindo a solução (IV.40) na equação (IV.38), te-

mos:

l V (jaS) exp [27T iK .R ( j)] u (S) ,j(IV AI)

+onde o termo dentro da chave define a matriz dinâmica D(K). Então,

a equaçao (IV.41) pode ser escrita na forma

, (IV. 4 2)

onde D (K) são os elementos de matriz dinâmica do CWB. Na aproxiaS -

maçao harmônica são dados pela equação (IV.14).

Para que a equação (IV.42) tenha solução não trivial e

necessário que o determinante formado por seus coeficientes se

anule, ou seja:

56

(IV. 43)

Claramente, R(K) é uma matriz 3x3, donde a solução da

equaçao determinantal (IV.43) nos fornecerá três valores de w2

-+ --Consequentemente para cada vetor de onda K teremos tres frequen -

cias w • Então, indexando w com (!{.Q,), .Q,= 1,2,3, a equação determi

nantal fica

-+

Introduzindo a frequência adimensional x (K.Q,), definida

na equação (11.9) por W(K.Q,)/Wp'a equação (IV.44) fica

I CaB (K) - x2 (i<.Q,) 0aB I = O(IV. 45)

-+ -

onde CaB(K) sao os elementos de matriz definidos pela equaçao- -+

(IV.17). Com a definiçao de x(K.Q,)ficamos livres do inconveniente

das unidades, da quantidade de carga em cada ponto e da massa.

Para ~m sistema com N partículas, que e o -nosso caso

temos 3N graus de liberdade, donde o número de frequências a ser

obtido é 3N. Portanto, para obtermos o espectro total do sistema

devemos escolher N vetores K, a qual evidentementenão pode ser compl~

tamente arbitrária.

~ -A escolha dos vetores de onda K depende das condiçoes

de contorno impostos à solução da equação de movimento do sistem~

dada pela expressão (IV.40). Para esta situação é conveniente ut!

lizar as condições de contorno cíclicas de Born-von Karman (veja

pago 21 da referência 7). Segundo estas condições, o problema fi-

glal

•

4

60 .'

•

iqll\

••

.2

Bcc .).s •• t5

FIGURA 4 - Espectros

de frequência do CWB

na es~rutura bcc, p~ra diversos valores

de À s

x = 0,01; ...,0,03; ..

0,99, correspondendo

aos pontos 2,4 •...50

2

12

l.--130 3S 410

gCal

8

••

II)

Bcc ).s =QO

glll

•

4

2

8

••

rcc ).s z l~

z

(al

" . Fcc '-s=.25

FIGURA 5 - Espectros

de frequência do CWB

na estrutura fcc, p~

ra diversos valores

de À s

x = 0,01; ... ,0,03, •••,

0,99, corres~ndendo

aos pontos 2,4, ..•,50.

z

gúl

,Fcc )os-ao

1x-(j)

12

8

4

°O 10 20

--

30

x ·

~ ~ = 0,0bcc

fcc

~o

f(1

50

C\W

FIGURA 6 - Espectt'os de frequência do <\\TB nas e :=:; tru turas bcc e

fcc para À = Os

I)(-G)

12

8

4

oO 10 20

~s = 0,25bcc

-- - -- -Icc

30

x ..-

4- O

I

111\

,,\

\

\

50

C'\.J:o.

FIGURA 7 - Espectros de frequência do

fcc para À = 0,25s

c: WB naS ~s tr"uturas b cc e

12 ).. 5 = I _ 05

bc:c

8

--- fe c

1x

c;)

4

,

I,f,III

~..••..

I~

\\ I.I

I - .

10

2030 4050

x -

0'\U"I

FIGURA 8 - Espectros de frequência ele:=:> C\VB naS

fccparaÀ =1,05s

es truturas bcc e

Ix-G)

12

8

~s = 1,20

~ ---- bcc

1\ ---- fcc

0\0'\

4

oO 10 20 30 4-C> 50

x •.

FIGURA 9 - Espectros de frequência do C WB na. 5fccparaÀ =1,20s

est ruturas bcc e

~-.J

50

r··1I·I•

II·,·,

I

I.I

I.I.,/.--

~

:250520

4- c:::::>

bcc

30

~s = 0_-.-.- ~s= o:- .. - .. - ~s= I.

20

~

11

I \

~:I \: I \

! \i \ - - - - >'$ ~ I.~ ~. \

i 1\ \

I 1\\: I : \! I \ \. I .~ I \ \ :1

I I i \ f~i:,:\ IA:

" I I \ / :, \. \ / .'.; I \ /~/ \ \

x. I \\-=.~./ \ \10

~..

8

oO

4

12

f-x-G)

x -...

FIGURA 10 - Espec tros de frequência do CWB n. G:a- es t ru tura b cc,

para À = O; 0,25; 1,05; 1,20.s

~ ~= 0.0_____ ~ ~ = o, 2 5_. __ .. _ ~s;. = I ,05____ ~~=lt2C)

0\O>

50

11..I ,.., I••

I Ii i·r·,·,·,I

J-'- ./4-0

f c c

302010

nI \I \

r: I ,! \ I \; \' \

: \ \

~ I: I! I\ Ii I \ \I I \ I

/\ : , : \. \.. l\ I'· \ ~~".J.: · \ I \. ::

! \ I' \ \ J:( ,I \ :, : I /\ :i \1/ 1\ /', .., \ \... ,: \ / /-' \ \I ~ \ ~.'

~I "~?'

8

4

oO

12

t

G)

x--

x-FIGURA 11 _ Espectro do CWB na estrutut::'a f ~c par a

Às =0; 0,25; 1,05; 1,20.

78

29. J. Ihm and Marvin L. Cohen, Phys. Rev. Abst. vol. 11, n9 6,

15 March (1980).

30. G.L. Hall and T.R. Rice, Physe Rev. B21, 3757 (1980).

IA

APE:NDICE A

MATRIZ DINÂMICA

Este apêndice foi desenvolvido conforme o sup. 3 de "Solid

State Physics", editado por Sei tZ-David-Henry 13 •

Consideremos uma rede perfeita e infinita, com infinitas

células unitárias, cada uma definida pelos vetores não coplanares

aI' a2 e a3 chamados vetores primitivos de translação da rede. Ca­

da célula tem r pontos de carga b = O ,I,2, ... ,r-I.

A posição de equilíbrio da célula j, relativa a

ponto de carga escolhido como origem será dada pelo vetor

algum

, (IA)

onde n(jl), n(j2), n(j3) são três inteiros quaisquer, positivos

negativos ou zero.

A posição de equilíbrio do ponto de carga b na célula j

é dado por

( 2A)

onde x(b) é o vetor de posição do ponto de carga b em relação a ce

lula j, tal que x (b = O) = O.

Devido às flutuações térmicas cada ponto de carga b na~

célula j sofre um deslocamento definido pelo vetor u(jb). A ener -

gia cinética total da rede será

1T = "2 L

jbCi

-2Mb u (jbCi)

( 3A)

lUBI) :II1. ~ ! 11:

:~~'I

! I,I'1

I:, ,"

nOt'l?n

1"

r,1'1'1;<"

lin<..rI

n

r\tl?fo,

0.5'11

P.17

fin!I~7r:Rr'Dr,

f:tir." .....li i: ,i; 1

00 • SD(~>+SR(N)11tICC (~:) : r.pp~ TiI\.i~1

e""

"" Ll~nl:TJ. J. r~c.1Nrt.VO€ jJoorWWi(!Tf(f<. I.;.')H",'tdCl\,"'" "V ~. ",'. '''.' Pf-!'" (,lkflA,:H/llY ~nt:r. N~ Rf:['IE ~fCIP~Or.A, r y , y: '(I " •-:''1. I \' i' 'f ,".' "" li, r, t. • )

'''(l_~' "/I,"I<,,:tr '\', Y 1 • 1'\

W~ 1 Td !., , to ;. S } I' J. ~' I " , i '.I:'" ( ,,~ , l fJ 1'7 (.1)60 Tr: 1'. 't:.,

1"''1'1,'"I

. 'n I (I., ti? c" l r' I y r.1) , I. r h v r J 1, Lrl H1(J 1~ ':~' I' t T ( i , , ), •r, = , , (T 1 , 1 , ~ • '~'\"'( , , , 7)( , • <:, ny v', 1 7)C , • 51' 7 Z • , 1111 ,l'!'1: ~y • , ,7\ , 'SI' Y/' ,17 Y , • ~I'): 7' , I)

r r, r; T J ~,'-, [

T'''''' j/l! n : ',;"~" ••1T' (I, , ;") I <:. ( J I, , n,~11 ::, , " ,

f- 1;ld.t.' ( I ;". , '. ' ,} , ~ 1 n •.~j I)

C"j!'ll'I,lt11- n,-?) f177,!'1q",'f'lrlil'T T,"I'f

I' ~: n F ( I- , /J ? " ) V ..r'" r .n , 1..'''f- Y f,t) , l. rJf Z ( J)P' T(1 kll,(' •.I/'T 1r, I}p.

" , I T F ( " , I, ;> 1 ) IJ"', 'I f .n , t') r v ( .T) , I. N 2 ( J),. .••• ' ;; 1 ( I , !}, •"= • , :'i T ' , , 1 Y , ' l' o{ lt Y • , 1 7)t , • S~ \' V', 17 Y., • 5 R Z 7 • , I 7'J ,, ••.• ,- • " ' , , 7 ) , ''''~' 'I 7 • • , 7', , • 5~ 'I 7 • , I)r.c"Tl,'·fDO q~.! r T : 1,?·~

. ! If' i ••, '",.:i", (<:".' ,J , t ~, , I.! =', , 1;);. , .;;.,. 1\ 1 r, r'; • ,..f ,,\ , f I,-• 'J , I)r. r· 1 r' i 'I-

ç, ': TUf'\Ulp

'/-I

:I

I/' I./

/,~\

II,'\\.1

I,i(

li

ji.N .,','

1~ li~3,~.i:0" 60 TO HHH..r·THI~,,('" h(fo (' ~ /' A T (' ~ li ~ :: ',~? I • , /11

T'(3: ,.VT.a ::~rr~(~Y"/~,~

T 'í, : ?, r'.;' TI' ••

T ~ foi : .:J, ,. * fJ 1 I ~, •~I h(?"*'~7",";'"\S(1't1;".Al', ~ : _? , " • , • '? • C " r.. ( T \fI + T~ " 1 - A t .~

'í~ :-? ,.'\1.r:1'i(H<:+T~1,1-A13

'_, f·l) : ~(,. , ( Y I," ? (J' = <;: • ~ I. , .' ,

" ~ ( S , = ~;, ...TI.. "' )~) I (.)): '1 ( r 1 i'~' ri r " 1t 't ~ r J'~\.? ( .I , = 'I ( ,i , • \' ," r J , +'t , I n * n r.11+ 'O (J) • o (.1)~ .•.~ r ..I ,:: 'I I I ,: 1 .• X ;'l r ,) * ~" r J )r.,', T ri fi. ? C;

r.1 Tr; ""l?r,o TI~ /'l?.' id. T f- ( 3, 1c; ~) .I, I f' '( r J' ,I "v I J1 , 1'3Z (J)F f! ~ r' A T ( I1 , F')' , •. ~n F r"l r E c; T! J!' ~ r)n o r: AS n I) F R A 11 1\ f.. r. A T I V A', II ,I ;>f,l li , T 'l , 1 ) , ", = • , , t ?)';1' Tfj <)",;>

r.:, Tr, •• ,;>Hr'1A) 42':>, ",H".'?I~~ =-I~~~rN),*.FY'1;· "!\for;,) T" ,. 7"

~?R s~: ?,G

rin

12B

TI'" = ~ a ti)

r;n T(1 f>7~

A?l ~~" wA •• t~Th "~f.

,..7" '( 1 :: I ~ '"'.•TI' _ r. 1 (,'2 ::(-IS~.•T~)/~.~-~t3)I '\ I: 'J.?

:. 1 I J) :: c:,,'~'Te '( "

"rl.l) : ~lq..T(X;lj-,3 ( J' = r.' f.' i r x ~)

" ~)l (,1): XlIJ)+(.J'-"+lC.HJ)'1 S~o?(.J1 •• '1(lr,l)"~.:lrqHl.r,,*nrJ'+X?(J).v3(J)n ~) ,~r J ,& ,; 1 I, r 1 ••'( .~r." •• 1~r ,I'n GO ,~ 8?~

r.r; TO 9Fq?n ~n 10 ~I~b fi 7 I: I) I = ;;.l. .•.~:r'" T (;l " 1

fll!? : PA_'>::I.T (01','TI- U< IJ 1) 11 r> 7 , l< .li i< , R ;> 7

R8~ S~ ••~.~T~ :-(An~(;S~l".~X)r,n Tr'l 677

427 .<; to ••• ( A h ~ r,~ .:'1 ) ••• F':nTI1 :- Ur,s u.")'~'*.FX)r.c' Tn 677

A?7 IFr?~?) ~~q,9Qq,~~qQ?q S,-: IWl**Et

T~ ="(A"~f~~?)**~X)Go TO (0,77

qqQ S~. Q01*.~.111 • íl'.9'

1~Í) TCl ~77

Rqq S~ •• (RA+S~~Tr~A*~A*~ft.R~*RA)' ••EXTFI : (\.I"-:;·:~T(:.'~"');'.IJA.~h*k""**UI

677 XI = (~~+T~-nl~'p ~F. 1: •• t • ':\I~•:"••("'...•.T ~ , •• , ." I , •:~* A 1

PJ'" = t.:U<,.:l ••(";rFT(3.",·n*(Sf< ••T~l...... "' .•..

I t,1

11

I,. J., ! ,,

,i i

"

I\ ,.,I

)JI I

'.'1'

1~(jO.LF.i:01 fiO TO \00'1·I.Tlf.13,1r··.·) h(foi' ~ I' A T(' i n : ',r? 1 • , I1,T\3 : I.'"l.a : ~rr~(TY')/'.~T t, = ? ('.;' TI'. 'T ~ fol : iJ. r' * tJ T I ~. '~l :r.(?nl~7r~;"lSnH)).Al'J c : -;.: • " • 1 « "? • C, t; !T\ !I •••T~ ~ ) • A ,~

n :-? '.1\7lrr~i"(TX<l •••T~~'·fl13

"t f.l, : ~r'· !p' ," ;> r J , =: <;: -; r •• ' ," ~( ,i ) = ~~i .'.' T ( • , )

~) I (.)}: Y I (.:)•~'c' r" 1 .•.'t ~ ( J 1

~,.? ( .I) = ~. t ( .' , • ,..' ( " l .•.'(, r J) * x ~ r.! ) + '( ? ( J) • x ~ r ,I)~"'5rJl:: Y, r.:l.x.,r l)'~'·rJlr:!"1 T ri p.;: c:,

r.1 Tr; <"~l?[,rJ TI; 1'1?.' i( 1T f- ( :s, , ",;) ,I, \ I"'r ( J' , t r'. v r J) , l '31 ( .I)H ..~VAT(I/,1:·),·.·~'1 Fr"lT r:C;T!I!'~f)n O CASn nF RAIZ t\.!:r;t.TIVA·,II,I ;> r., li , T iJ , I ) , ", = •• li t 2 )

'.;'-' Tr; 1)",;>r.:, T r., •.• ,;)

H(RA) u2,:>,:'I?",,"?1~h =-r~~~r~~l*.FY'li' \I ~fr;" Ti)'" 7"

~?A S~ li 1.G

rin

12B

TI... = ~~.~-~

1;0 TO f>7~R?1 ~~ \I wA"~~

T" \I Sf.

,.,7 /., ~ 1 :: (50 "' •••T [, _ t, (,'2 \I r-r!" •.•.•.T;q/?<~- .• t3)I" :: '/. i:'

,-, (J) = o;, I';" r C >( , ,

'<i' r .1) = ~r'h T (c»··HJ) : ~,'~'ir)(~'

o S)I(J)= ~1 (J'+OU'+lC,HJ)f) S~?(.I'" '(lr.l)''i.~rq+\''.rJ1*nrJ'+X?(J).Y'HJ)n ~) .~ r J '11 li 1 I· r , •. y .~ r,' , •. 'I ~ r ,I'o G0 Tn 8?~

r,r; TO 9Al?

" ~n TO ~,~

&? 7 I: r; l " ;;A ••.~',r' !' T (;l."nr!? " PIa_,>':'-T ("qT ~ cr~IJ 1) a;> 7 , l>, ,li P. , A? 1

~8~ S~" ~.~T" : - ( A;l S ( ; ':;> 1 .•.••... 'O1".(1 Til fi 77

4 21 ~ t< :r - CA i\ ~ r,~'::, 1 '" F':OTti :- U.r,s ( ...•'),";, * ••F'()r. e, Tr'I #'77

A?1 Jf(?~2' ~~q,9Qq,~qqQ?q s~,,, IJl1t .*E~

T~ =-(A"~I~~?'**~X)Gr.J TO (0,71

qqQ S!'l. r.n, **t'.tl~ • 0'.9'

l'q T(I f>77

Aqq s~" (RA+S~~Tr~A*~A"~h+R~*RA)l.*EXT FI li: {~ 0\-:.; -.';:;t T (:.' ~ •. I);' t1J A •••~ h •.• " , ) ••. [: li

&71 ll\:: (~~+T~-n1{'

P!< F. ,,- t • ':\11. • ~•.• ( ., " .•• T '" , -, ." 11, • :~•. A IP J"" " t.;, 12 • :I .•C'i 'F T (3 • '.') 1•• r Si< - T ~ ,......... - ..

ir13BPtM14=- \ ,~"ÍOIIM

r: ~? li C ~-::'II l 11", r , P T'i ,

(n : C 'l-'I.X(PIi~,Pt~ill

-' 1 (J) I: ~Ii-n rn 1

~ eU ., ) • r:;fI" Tf •.•~ ~ l.( O ;.q l\<;HJ) : 'i'l,.l('J":", (I"nnr:C II .q",J.(r:nl~ ~ JT F. n I' I' ; 1 "r, '.'.' ~ ( " , , V,i Y ( .n I L I)l (J) , r.r: I It A

F n~",.T ( 1,1 , , r~:•, < r ; , .,'X , • 1 •• ~ r,: ' , ~ri' • 1 li , "li , , I' A li ' , f, ~ 1 • t IJ ,

r'!~'T l/dlrt:' ' TI ,'.1 Ir

, .J P t ('i , ~~,1 ~) .!, I. " i (J1 , L rJY ( ,q , '-Q 7 ( .1) , I': 1 r J) , I' í? r J) , ',! 3( J )F ,,~.' A T ( 1 \ I [C;, • r: : ' , ~ ( 1 ~ I t ?l , il't , " 1 I ' , F" , ? • b I li Y , , ,-/? I: ' , ~ , ? .'" , LI )( I1 'w3=',fl?b)"'I'.: T"R~I

f, ~.I)

1 C"{lI"~'

qF'I ;:l

r-e, , rl

1'\

finr..~,~,n~?l;fi

I'r-Y"in(i 3'1fi

f'9Hn

tll HnDI)nnf)nni>~?7

ri?;;,.,.

OrF.?Q0'-';;1 ~~,

f'2f\"ilnn~f?:~"

~8H(l

O

O

O

OnO

O

~ 11 ~ R n li T J - i r I' /I

T'Cl.lJi-,f '.i.:1 T ,,'

lr(I,.;") 7\1,7~'l,'~(" _I ~ T T f ( •• , h .' q )' ,'~'( n I I. ;'J ,. Y ( T ) , I Q ~ v ( 1) , L rJ f 7 r 11 , '( , ( T), o'? ( [) , o .seJ )

.. ~ Tr [' t I, I ~;>' I) ;'.', ft I , L "'1', Y r n ,I n •. v ( n , L iJ,' 7 ( f) , y t ( IJ , 02 ( 1) , c ~S ( I )

r t: ti·, A T ( 11 I ' , , • ," '=' I , 't I 1 ;J , ? , ,., ••' , , v , ,~ T 1 , , v , , v , = ' , IX , F 7 , <;,'~'t,'r.v?=·,~~/,~,~1,·l'<"',?F7.~II)r;n TIl ~ \ ;>

Tr (I.-~' ,.~7 IC'~'l,q<q

"'-! T i- (to" >I 'I, 1 ): ;.' i T) , I ": f 't ( T ) , I r.~' v ( T) , L ~ r l (Tl , x 1 ( 1 , , li 2 ( T )

\ , ;d r 1 ) , '.) ! (11 • T ~ I n l , c; ~? ( T) , H,J ( Il , "v ~ ( J) , TA 3 CI 1i'. - 1 T" ( ;., , tl ~, 1"",- ( , , I I. ,>, 'f r n , I..') d Y r n , l fJ;, Z ( 1 ) , Y I, ( Tl , li 2 CI 1

, ,V~(ll,~JI ('J,r~, (1),~(?rr),T~?rT),~~1rT),T~~(rl

f i, p., A 1 r 1 Y I I?, ,~)( , '!o r , , ;.,.~, ~ 7 ••.• , I~ , , F-7 • " , I1 li , f 7 • '5 , f1 ( ? li , E , 2 • " ) )"~1 a. (fo, IJ.I:S")F'·'''''AT(ll,·L.1i~,1': " "LT''!\AGF,'', rHL/IX,I.f,lV,l.r./) F: VFTO"l DF. ONI)A "'A

, ploIl.·/:1;;·/. 'li) A,"i," " "J1!"'FRn r'F VET~~F:S DF.: (\'1I1A 5t"E'TRIcns, 'lt,?v;:.,)'s ~.,r' .\c;·,I,\'t,'d17f~ 1)1. "IIT"I17 np'A~li.A, SlI:l F. SOMA {'AS~T'<fS <"t.I/I·,-; (p! ~ I, Tlo/r(O, :"',"'-',",3 ~un ~s F"'Ef.IJf:NCIA PAlU

4(Ai A'" FI,; 1:', n '",+I,1I1',I,llC,'D[ FRE:f.IIJFNCIAS f:"fTRf i,I f. '~+r,".,II)1f rL • t r,~• n 1.0 Ti! l" 31 ''1'" = f,~. i?

1'0 qq:"1 Td = t,.r ...•'t )' li = 1 rr I;) +'. ;) ( T" J +, ~ nu 1x )" = :O1;~ (T I,) * ~x ' Ito. : U~+r.)(ll

Cr.'·TT;:iI"(!,'C( = 11"/1',1 19<n '." i", l' f (f., 1 ,. ~ n ~,,:r. , 1I t,~r.r. ,F n •• " " r ( 11 , \ )(, • -,c r I. ~ •••• ' , F 5.? , 1 r.\ X , 'lI1 (HC r' = ' , F 7 .5, 11.)MS = t 'n:, 3~3,' 1<, o: \~,\r;H".ln',," J T /: (h, ,) ••~ 7 ~ r '; ~ ( J:';) , ., ~=,~~, 15)

:.;" IT f (f, , ;.>",J r: ) r,. r'I ••• ( J C;' , t'1Y r J S) , L I') Z ( J 5) , J 5: M5 , I ~)

H( I1 F. (h, ,.> k') ~ 1 ( '.' (J s) , " ~: •.•~" T~ )!.j l.i JT F ( f, , ,) f, ~~') (. ;) ( J ~) , J:; = •..5, 15),,, r.,' IT I: (i, ; "f51) (" ~ ( ,I S, , ,J ~ :: ,. ~ ~ I S1F ti fi /.: 4 T ( 1 \' , '" = • , 1" (/j ~, 1/1) , I)F' (!~••"~ T (t ~, • '~=',t 'i (;> \',.5 T?l , I)F-' '1,. ~ A T ( I ~ , , /- 1 = • , 1 s- ( .n I f li.? 1 , I)

fo I'"'' A1 (, '11I ' ••? = ' , I" ( 'li , F 4. ;), , I)F r;õ<" AT ( 1 v, , '3:', I ,~ ( 3 .• , r:-il.?) , I)~~ = 1St' 1*********·.*­C(HJT H.j!F.(;('; TO 3512

)'1..1 "~. '"

1'>[1 c;q'~? ll' = I, .1"I.! V V = ." ( ,I' , 1 + -,? ( J'" +~,, r J li)

\I x II : :,I. ( J :." - ,llI 'J(

)t!1 • 1(1,.1111'(r.i'~'T I r,lJf.

,'Feeo; 'X.1·/14,Q~7.'"'; í<' 1 T F ( b, 'ti. ~ 7) 'i j)!" , 1i F r rF c\,'~,A.T ( 11, , )(, , f r: r: t. i." = • , F" ,? , , ?)' , 'u, (F Cc 1 • • , F' 7. c; , 11),,~ I IDO O~Qr I~ o; IA.,q~~.lR~:!õJ H. ( n , ;. fo ;. '?) { , ,~ ( J~;1 , ,T~ ••• \ ~ , T '5 )

~WtTE(~,?F-"~) (L~)'(J~',l~V{J~),lDZ(JS),JS=~S,IS)o.; ~ T T F. r f, , ;>!,;)!,) r',' r J" 1 , ,I S = t. ~, T S'

'': ~ J T F r"', ;> ," 3 ,') r,? (.' ~) , ,'" ='~~, Te;)

Ioir.'I H (f.,?"") (- ~(.J~l ,.I<;=~'~,1'5)

••~ • IS+I 1"**"'.*****,.,.,.•.,., 'l'le

O~O"0r.

c~""~

5rlo? 1

rOtl'fI"'01!

CfllCl'LI\ A ,llSTr-rQ"TCH' f'F rl./~':lIrNrIA PAIJA ~" I'IITF~N l"H RV~Lf1 o.;·alti : '"1T :"

r'r! ~0tQ IP : ('(.'-',1--;-"",;:>(,',"P', 1 = I'. I"

PH2 c ('o:"P "'3 = f' 07,~G ~?~0 tA : I,Ju

1\'11 = "HNt(vl\(h:, .•.t:""'~.'IyI? : 0,1'. T (\<l? (TG,h' w','r •• ,1 W ~ : '. I ô'" (~I~( T Q 1 • 1 ,":, 'r;.. o l

rr fI w 1 • "T • I P 1 I~", T I} (' " ,

TH Jf • ',> J • r' l) (; i~ T" ,;:;:>,FI- 1 : ~ .,(I<:il+p,,cr 11, T H !I~

H(~l-?,:.T.Tí" ,;,1 T" ':l,','??Jf rIT .I'~.1';:>' ;;1', rn 1;';:>;~-.,. ~ = j·:rjr ~!:'}+~"I?fli/' r H;l''''

. lF- ( h,~~•.~T • fi'» c:. r', T ri .~.;-.,

Tl-OT.r;f.r,·3) (;l Tl'l F?t'F>"~ : rJ~~(JI"+f'!"'S

r.' W T II: Ij i:

TH : 111+ IP~A : (j.~*(a7.~••~]-~.0l~no~~"'~t (Tr') " Pl-l, +Pl'p'+P"J1:r. (n"" ;"Nl'l(ll-\)/PNA

.' (TI.) : lP/H"'o.·;.,'T T. : 1 T .• 2 " I;('"r'~:T' ~urJ;, : 1

f r, ~~~l ,J'~ = ,r·,~:~,l~

• 'o' T T t (/.,'~,-? r' ] ( .. "I r I ,) • l •• ,. T ., , J '.,)F C; •• i" /lI ( I I , 1 ., , • .' : • , , ,". (I. ••.• F ~ • ;:» , I).;,' J Tt ('"•':,.'?~) U•.··, (t.) , L'.: J ..; , J'.oI'

F r:~;i·, f> T ( 1 'I , • ,',;.' =' • , ','(?)' , F " • i") , I ,~.!<T 't l: (t-. , <, :' ;:> li) r :'~r I "'.1 • I. !,' = J" , J \")f I.' J;. ': A T ( I '( , • \; ••• , I~(? '( , Fio'. C;) , I)I'" : I". tC c~'T Pol' Í'.

"fi 171? I~' li: ~',;~

S:·' I: ~.(l1~ ":: : (A.;;' (li

~n 111] T~ = J,C;7

)'~~ : ~' •• t •.S', •• li ~ S • i; ( r I; ) •••"!l • iI' (>. ? + ~ M

S ..•. = oS:.. + (.• "'?r.GITI""~~~JTE(h.lltnl I~.5~fDRM.T(lx,·~O~~~T·,J?,·=·,F?'ota,/)eO"T I NIJE'

roto TlIQ/',f.Nl)

"

! I

\

,\

,Il~