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Crédito Slides preparados por: Prof. Eduardo Nobre Lages Prof. Eduardo Nobre Lages EES/CTEC/UFAL PET/Engenharia Civil/UFAL PET/Engenharia Civil/UFAL PEC/Engenharia Civil/UFAL PEC/Engenharia Civil/UFAL [email protected] [email protected] r r

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Crédito

• Slides preparados por:• Prof. Eduardo Nobre LagesProf. Eduardo Nobre Lages

EES/CTEC/UFAL

• PET/Engenharia Civil/UFALPET/Engenharia Civil/UFAL

• PEC/Engenharia Civil/UFALPEC/Engenharia Civil/UFAL

[email protected]@ctec.ufal.br

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EDO’s – 1a Ordem Formas de apresentação da equação diferencial:

Forma Normal ))x(y,x(f)x(y

Métodos de Solução: Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M

Situação elementar na forma normal)x(f)x(y Cdx)x(f)x(y

C10x)xsen()x(y

5x)xcos()x(y

2

Exemplo:

A solução representa uma família de curvas

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EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):

0dxdyy9x4ou 0)x(y)x(y9x4 Exemplo:

0ydy9xdx40ydy9xdx4 Cy

29x2 22

A solução representa uma família de elipses centradas na

origem

Situação elementar na forma diferencial0dy)y(Ndx)x(M Cdy)y(Ndx)x(M

Conhecida como equação diferencial com variáveis

separáveis

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EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):

Situação particular na forma normal que pode ser reduzida a uma equação diferencial com variáveis separáveis

xyf)x(y

)x(ux)x(u)x(yx)x(u)x(y

Com variáveis separáveis

Mudança de variável:x

)x(y)x(u

0du)u(fu

1dxx1ou f(u)u(x)(x)xu

Fazendo a substituição na equação original tem-se que

Cdu)u(fu

1ln(x)

Ao se determinar a solução implícita da ED,

faz-se a substituição de u(x) por y(x)/x, definindo-se a solução em termos das

variáveis originais.

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EDO’s – 1a Ordem

Cdu1u

u2)xln(u1u

21)u(f 2

Exemplo:

yx

xy

21you 0xyyxy2 22

K1uxou C1uln)xln( 22

A solução representa uma família de circunferências

Retornando às variáveis originais e arrumando a expressão tem-se que

Kxyx 22

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EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):

Equação diferencial exata

x)y,x(N

y)y,x(M

Definição: A equação diferencial é dita exata quando as funções M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedade

dy)y,x(Ndx)y,x(Mdyy

)y,x(udxx

)y,x(udu

Quando um equação diferencial é exata, então existe uma função u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o membro esquerdo da equação diferencial, ou seja,

y)y,x(M

x)y,x(Nou

x)y,x(u

yy)y,x(u

x

É sabido que para as funções “suaves” a derivada cruzada de segunda ordem independe da seqüência de derivação, ou seja,

)y,x(Ny

)y,x(u e )y,x(Mx

)y,x(u

Condição já garantida

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EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial exata (continuação)

Solução: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas parciais da função u(x,y) e as funções M(x,y) e N(x,y).

Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se )y,x(N)y(fdx)y,x(M

y

Como du(x,y) também é igual a zero, tem-se que a função u(x,y) é uma constante, de onde se conclui que a solução implícita da equação diferencial exata é dada por

Cdydx)y,x(My

dy)y,x(Ndx)y,x(M

dx)y,x(My

)y,x(Ndy

)y(df

dydx)y,x(My

dy)y,x(N)y(f

)y(fdx)y,x(M)y,x(u)y,x(Mx

)y,x(u

Considerando a primeira delas,

Cuidado!

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EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial exata (continuação)

Exemplo: 0dyy2)y3cos(x3dx)y3sen(x2 2

Verificando se a equação diferencial é exata

exata. é ED a )y3cos(x6xN

yM Como

y2)y3cos(x3)y,x(N

)y3sen(x2)y,x(M2

)y3sen(xdyMdxy

)y3cos(x3Mdxy

y)y3sen(xNdy e )y3sen(xMdx

22

222

Desenvolvendo as parcelas temos

chegando-se à solução implícita:

Cy)y3sen(x 22

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EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata:

Motivação - É possível transformar uma ED exata em uma não exata multiplicando-a por uma certa função.

exata. não é 0dy2xydx porém , exata é 0dy

2xxydx

2

Exemplo:

Idéia – Encontrar uma certa função (fator de integração) que transforme uma ED não exata em um exata.

exata. não seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar

Este problema é mais complicado que o original. Troquei uma EDO por uma

EDP.

)FN(x

)FM(y

exata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F

Problema

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EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata

(continuação):

xN

yM

N1

dxdF

F1

xNFN

dxdF

yMF)FN(

x)FM(

y então , )x(FF Se

F=F(x) só existirá se o membro à direita for independente da variável

y.Possibilidades:• O membro à direita independe de y – Determinamos o fator de integração, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o método já apresentado.• Caso contrário – Tentamos encontrar um fator de integração que só dependa da variável y, ou seja, F=F(y).

yM

xN

M1

dydF

F1

F=F(y) só existirá se o membro à direita for independente da variável

x.

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EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata

(continuação):Exemplo: 0xydy2dxy3x4 2

exata não ED y2xNy6

yM

xy2)y,x(N e y3x4)y,x(M 2

Existe algum fator de integração do tipo F=F(x)?

possível é F(x)Fx2y2y6

xy21

xN

yM

N1

2x)x(F)xln(2)Fln(dxx2dF

F1

x2

dxdF

F1

Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte solução implícita da equação diferencial

Cyxx 234

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EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial ordinária linear:

Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0

Homogênea 0)x(y)x(p)x(y 0

Variáveis separávei

s

dx)x(p

dx)x(pC

dx)x(pC

0

0

0

0

0

0

Ke)x(y

ee)x(y

e)x(y

dx)x(pC)yln(

C)yln(dx)x(p

Cdyy1dx)x(p

0dyy1dx)x(p0

Solução:Na forma diferencial

Empregando o procedimento já apresentado

Solução geral

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EDO’s – 1a Ordem Não Homogênea )x(q)x(y)x(p)x(y 0

Não exat

a

Solução: 0dydx)x(qy)x(p0 Na forma diferencial

Procurando um fator de integração no formato F=F(x)

Equação diferencial ordinária linear (continuação):

possível é )x(pxN

yM

N1

dxdF

F1

0

dx)x(p00

0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdFF1

Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pe

dx)x(peydydx)y,x(My

dx)x(pedx)y,x(My

yedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M

0dyedx)x(qy)x(pe

0dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0dx)x(p

0dx)x(p

0dx)x(p

dx)x(pdx)x(p0

dx)x(p

dx)x(p0

dx)x(p

0000

00

000

00

Desenvolvendo o procedimento já apresentado

Solução geral

Cdx)x(qee)x(y

dx)x(pdx)x(p 00

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EDO’s – 1a Ordem EDO Linear Não Homogênea (continuação)

Exemplo: Modelo linear de Kelvin

)t()t(E)t()t()t()t( AM Por equilíbrio

Solucionando a equação diferencial resultante

Cdt)t(ee)t(

Cdt)t(ee)t(

tEtE

dtEdtE

)t( , )t(

E

Solução geral dependente da

função de “carregamento”

)t()t(E)t(ou EDO Linear

Não Homogênea

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EDO’s – 1a OrdemExemplo: Modelo linear de Kelvin (continuação)

)t(No ensaio de fluência

Impondo a condição inicial do problema

tEtEtE

tEtEtEtE

CeE

)t(CeE

e)t(

Cdtee)t(Cdtee)t(

EC0C

E0)0(

tE

e1E

)t(

Solução geral

0 5 10 150

0.5

1

t

25,0E

00,1E

00,4E

)()t(

)t()t(J

Módulo de Fluência do

Material

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EDO’s – 1a Ordem EDO Linear Não Homogênea (continuação)

Exemplo: Modelo do sólido linear padrão

)t()t()t( 10 Por equilíbrio

É necessário prescrever a tensão

ou a deformação em função do

tempo

)t( , )t(

E

0E

)t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 Das relações constitutivas)t()t()t( 10 Da equação de compatibilidade

00 E

E1)t(E

)t()t(E)t(

)t(No ensaio de fluência

0E

E1)t(E)t(0E

)0( + Condição inicial

tE

0

e1EE

)t(

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EDO’s – 1a OrdemExemplo: Modelo do sólido linear padrão (continuação)

)t(No ensaio de relaxação

0E)0(+

Condição inicial

00 E

E1)t(E

)t(E

ou

EE)t(EE)t( 00

tEE

00

00

eEEEE

E)t(