cp 6 - protendido conteudo 06 - exercÍcios resolvidos

CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO

REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003

LUIZ CHOLFE

LUCIANA A. S. BONILHA

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EXERCÍCIOS

RESOLVIDOS

FEVEREIRO/2012



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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1.1 - Introdução Este capítulo é uma coletânea de exercícios aplicados em provas do curso de concreto protendido. Os problemas de dimensionamento quanto aos Estados Limites de Utilização devem ser complementados com a verificação do Estado Limite Último, obrigatória por norma. 1.2 - Formulário: Combinações da NBR- 8681 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO Combinações quase-permanentes m n

Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k

i =1 j =1 Combinações freqüentes m n

Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k

i =1 j =2 Combinações raras m n

Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k

i =1 j =2 COMBINAÇÕES ÚLTIMAS Combinações últimas normais m n

Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k]

i =1 j =2

0 , 1 e 2 : conforme tabela 5 da NBR-8681

gi e q : coeficientes de ponderação conforme NBR-8681



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2 - DIMENSIONAMENTO 2.1 - Exercício 1 A estrutura abaixo representa uma laje, de seção transversal constante, em balanço, submetida às ações:

g = peso próprio, com c = 25 kN/m³

q = 2 kPa (carga acidental distribuída) G = 50 kN (carga concentrada permanente) Q = 20 kN (carga concentrada acidental) A laje deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção de engastamento (A). Dimensionar a armadura de protensão, na seção de engastamento (A), com protensão completa, seguindo as diretrizes da NBR-7197.

seção transversal (A)A B

Acabos

A (distribuída)p

vista lateral

modelo de cálculo

DADOS COMPLEMENTARES · Utilizar um número inteiro de cabos · fck = 32 MPa ; fctk = 2 MPa

· Adotar CG dos cabos a 5 cm da borda superior : Yo = 0,05 m

· Fatores de utilização :

· Tensões máximas para os Estados Limites :



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RESOLUÇÃO

a) Características geométricas

Ac = 3,00 0,45 = 1,35 m²

Ic = 3,00 (0,45)3 / 12 = 0,02278 m4

Wcsu = Wcin = 0,02278 / 0,225 = 0,10124 m³

b) Ações externas

g = 1,35 25 = 33,75 kN / m

q = 2 3 = 6,00 kN / m

G = 50 kN

Q = 20 kN c) Esforços solicitantes na seção (A)

Mg,A = 33,75 (10)2 / 2 = 1687,5 kN.m

Mq,A = 6,00 (10)2 / 2 = 300 kN.m

MG,A = 50 10 = 500 kN.m

MQ,A = 20 10 = 200 kN.m

d) Tensões normais devidas às ações externas

g : csu,g = - cin,g = 1687,5 / 0,10124 = 16668 kPa

q : csu,q = - cin,q = 300 / 0,10124 = 2963 kPa

G : csu,G = - cin,G = 500 / 0,10124 = 4939 kPa

Q : csu,Q = - cin,Q = 200 / 0,10124 = 1975 kPa

e) Tensões normais devidas à protensão de 4 15,2 a tempo na seção (A)

ep = 0,225 - 0,05 = 0,175 m

P = 4 (- 150) = - 600 kN / cabo

csu,NP = (-600 / 1,35) - [-600 (-0,175) / 0,10124] = - 444,44 - 1037,14 = - 1481,58 kPa

cin,NP = - 444,44 +1037,14 = 592,70 kPa



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f) Dimensionamento: Protensão Completa

1 - Combinações freqüentes : (descompressão)

Na fibra superior :

16668 + 4939 + 0,7 2963 + 0,5 1975 + m' (- 1481,58) = 0

m' = 16,65 adotado 17 cabos Verificação da fibra inferior com 17 cabos

17 592,70 - ( 16668 + 4939 + 0,7 2963 + 0,5 1975) = - 14592,70

| 14592,70 | < 19200 OK

2 - Combinações raras : (formação de fissuras)

Na fibra superior :

16668 + 4939 + 2963 + 0,6 1975 + m'' (- 1481,58) 2400

m'' = 15,76 adotado 16 cabos Verificação da fibra inferior com 16 cabos

16 592,70 - (16668 + 4939 + 2963 + 0,6 1975) = - 16271,80

| 16271,80 | < 19200 OK

Resposta: m = 17 cabos de 4 15,2 , distribuidos na largura de 3 m, na parte superior, a cada ~17 cm.



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2.2 - Exercício 2 O pilar central de uma passarela, construído com formas deslizantes, com seção transversal constante, foi protendido segundo a direção vertical (protensão centrada), conforme indica a figura.

Ações atuantes, além da protensão:

G = 2000 kN reação da superestrutura, representando as cargas permanentes

H = 180 kN força horizontal acidental (com 1 = 0,6)

G1 peso próprio do pilar com = 25 kN / m³

Sabendo-se que o pilar foi projetado com 8 cabos, determinar o número de cordoalhas por cabo

para se ter protensão total na seção de engastamento bloco x pilar. A força de protensão, após

todas as perdas, é P = - 110 kN.

DADOS COMPLEMENTARES

· Características: Ic = ( / 64) (D4 - d4) , Wc = Ic / (D / 2)

· Utilizar concreto com fck = 34 MPa e fctk = 3 MPa

· Os cabos devem conter igual número de cordoalhas

· Desprezar efeitos de 2ª ordem e cisalhamento



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Combinações de Utilização

Combinações freqüentes m n


i =1 j =2

Combinações raras m n


i =1 j =2

RESOLUÇÃO a) Características

Ac = 0,7854 [(1,60)2 - (1,10)2] = 1,0603 m²

Ic = ( / 64) [(1,60)4 - (1,104)] = 0,2498 m4

Wc = 0,2498 / 0,80 = 0,3123 m³

b) Ações externas, no engastamento

G = 2000 kN

G1 = 1,0603 20 25 = 530,15 kN

MH = 180 20 = 3600 kN.m

c) Tensões externas

devido G G = - 2000 / 1,0603 = - 1886,26 kPa

devido G1 G1 = - 530,15 / 1,0603 = - 500,00 kPa

devido MH MH,máx,min = ± 3600 / 0,3123 = ± 11527,38 kPa

d) Tensões devidas à protensão de 1 cordoalha

P(o) = - 110 / 1,0603 = - 103,74 kPa



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e) Dimensionamento / Verificações

1 - Combinações freqüentes

Fibra mais tracionada: c,P + G + G1 + 1 FQ1 0

m' (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 0,6 11527,38 0

m' 43,7 cordoalhas adotado m1 = 48 cordoalhas

Fibra mais comprimida: c,P + G + G1 + 1 FQ1 | 0,6 fck |

48 (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 0,6 11527,38 = - 14282,21

| 14282,21 | < | 0,6 34000 | = | 20400 | OK

2 - Combinações raras

Fibra mais tracionada: c,P + G + G1 + FQ1 1,2 fctk

m'' (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 11527,38 1,2 3000

m'' 53,41 cordoalhas adotado m2 = 56 cordoalhas

Fibra mais comprimida: c,P + G + G1 + FQ1 | 0,6 fck |

56 (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 11527,38 = - 19723,08

| 19723,08 | < | 20400 | OK

f) Representação gráfica: combinações freqüentes e raras

Resposta: Adotado 56 cordoalhas (8 cabos de 7 cordoalhas cada).

-449,35

+3.331,68



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2.3 - Exercício 3 Dimensionar a armadura de protensão, da viga abaixo esquematizada, com protensão completa, segundo as recomendações da NBR - 7197.


· Utilizar cordoalhas de 12,7 mm

· Força útil de protensão após todas as perdas: N = - 115 kN / cordoalha

· Adotar igual número de cordoalhas por cabo

· Número de cabos = 4

· I = b h3 / 12 ; W = I / y

· Mg1 = 400 kN.m

· Mq1 = 300 kN.m 1 = 0,8 2 = 0,6

· MQ2 = 200 kN.m 1 = 0,8 2 = 0,6

· Concreto : fck = 30 MPa ; fctk = 2,0 MPa

Tensões máximas para os Estados Limites



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i =1 j =2 RESOLUÇÃO


Ac = 0,50 1,00 = 0,50 m²

Ic = 0,50 (1,00)3 / 12 = 0,0417 m4

Wcsu = Wcin = 0,0417 / 0,5 = 0,0833 m³

b) Carregamentos externos

Mg1 = 400 kN.m

Mq1 = 300 kN.m

MQ2 = 200 kN.m

c) Tensões normais externas

devido g1 cin,g1 = - csu,g1 = 400 / 0,0833 = 4800 kPa

devido q1 cin,q1 = - csu,q1 = 300 / 0,0833 = 3600 kPa

devido Q2 cin,Q2 = - csu,Q2 = 200 / 0,0833 = 2400 kPa

d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo Yo = 0,10 m ; e = 0,50 - 0,10 = 0,40 m ; NP = - 115 kN

c(o)su,NP = - 115 / 0,50 + 115 0,40 / 0,0833 = -230 + 552 = 322 kPa

c(o)in,NP = - 230 - 552 = - 782 kPa



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e) Dimensionamento com protensão completa

1 - Combinações freqüentes (descompressão)

Na fibra inferior cin,P + g1 + 1 q1 + 2 Q2 = 0

(- 782) m1 + 4800 + 0,8 3600 + 0,6 2400 = 0

m1 = 11,66 cordoalhas (: 4 = 2,92)

adotado 3 4 = 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm

12 322 - 4800 - 0,8 3600 - 0,6 2400 < |18000|

- 5256 < |18000| OK

2 - Combinações raras (formação de fissuras)

Na fibra inferior cin,P + g1 + q1 + 1 Q2 2400

(- 782) m1 + 4800 + 3600 + 0,8 2400 2400

- 782 m1 2400 - 10320

- 782 m1 - 7920

m1 10,13 adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm

Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm

12 322 - 4800 - 3600 - 0,8 2400 < |18000|

- 6456 < |18000| OK

Resposta: Adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm , ou seja, 4 cabos de 3 12,7 mm cada.



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2.4 - Exercício 4 A estrutura abaixo representa uma viga de seção transversal constante, biapoiada, submetida às ações g1 (peso próprio), g2 (sobrecarga permanente distribuída) e Q (carga concentrada

acidental). A viga deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção central de momento máximo. Dimensionar a seção central, com protensão limitada, seguindo as diretrizes da NBR-7197, utilizando-se um número inteiro de cabos.


· Ac = 0,65 m²

· Ic = 0,1695 m4

· fck = 32 MPa ; fctk = 2,2 MPa

· = 20 m

· g2 = 34 kN / m

· Q = 300 kN

· c = 25 kN / m³

· Adotar CG dos cabos em Yo = 0,10 m

· Fator de utilização para Q: 1 = 0,7 e 2 = 0,6

· Não considerar o Estado Limite Último e fases de execução (protensão)



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Combinações quase-permanentes m n


i =1 j =1



i =1 j =2 Tensões Limites

RESOLUÇÃO


Ac = 0,65 m² Wcsu = Wcin = 0,226 m³

Ic = 0,1695 m4 Ycsu = Ycin = 0,75 m

b) Carregamentos: momentos fletores na seção central

g1 = 0,65 25 = 16,25 kN / m Mg1 = 16,25 (20)2 / 8 = 812,50 kN.m

g2 = 34 kN / m Mg2 = 34 (20)2 / 8 = 1700,0 kN.m

Q = 300 kN MQ = 300 20 / 4 = 1500,0 kN.m

c) Tensões normais devidas às ações externas

devido g1: cin,g1 = - csu,g1 = 812,50 / 0,226 = 3595,13 kPa

devido g2: cin,g2 = - csu,g2 = 1700,0 / 0,226 = 7522,12 kPa

devido Q: cin,Q = - csu,Q = 1500,0 / 0,226 = 6637,17 kPa



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d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cabo de 4 cordoalhas

1 cabo = NP = 4 (- 150) = - 600 kN

ep = 0,75 - 0,10 = 0,65 m

c(o)in,NP = [(- 600) / 0,65] + [(- 600) 0,65 / 0,226] = - 923,08 - 1725,66 = - 2648,74 kPa

c(o)su,NP = - 923,08 + 1725,66 = 802,58 kPa

e) Número de cabos: protensão limitada

1 - Combinações quase permanentes

Na fibra inferior: cin (g1 + g2 + P) + 2 Q = 0

3595,13 + 7522,12 + 0,6 6637,17 + m' (- 2648,74) = 0

m' = 5,70 adotado m' = 6 cabos Na fibra superior com m' = 6 cabos

6 802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,6 6637,17) = - 10284,07 kPa

| 10284,07 | < 0,6 30000 = 19200 kPa OK

2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior: cin (g1 + g2 + P) + 1 Q 1,2 fctk

3595,13 + 7522,12 + 0,7 6637,17 + m'' (2648,74) = 2640

m'' = 4,95 adotado m'' = 6 cabos Na fibra superior com m'' = 6 cabos

6 802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,7 6637,17) = - 10947,79 kPa

| 10947,79 | < 19200 kPa OK Resposta: 6 cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm.



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2.5 - Exercício 5 Uma viga de seção transversal em forma de T, conforme detalhe a seguir, deverá resistir aos seguintes esforços solicitantes:

Mg1 = 280 kN.m devido ao peso próprio

Mg2 = 60 kN.m devido ao revestimento g2

Mq1 = 400 kN.m sobrecarga 1 1 = 0,6 2 = 0,4

Mq2 = 220 kN.m sobrecarga 2 1 = 0,3 2 = 0,2

A viga será protendida com cabos de cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 160 kN / cordoalha. a) Considerando-se as Normas NBR-7197 (Concreto Protendido) e a NBR-8681 (Ações e segurança), descrever os tipos de protensão quanto aos Estados Limites de Utilização. b) Dimensionar a seção, ou seja, calcular o número mínimo de cordoalhas para que se tenha, segundo a NBR-7197, protensão limitada. DADOS COMPLEMENTARES

· Ac = 0,335 m²

· Ic = 0,01803 m4

· Ycsu = 0,28 m

· Ycin = 0,52 m

· Wcsu = 0,0644 m³

· Wcin = 0,0347 m³

· Yo = 0,08 m (posição do CG dos cabos)

· fck = 30 MPa ; fctk = 2,1 MPa



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Combinações de Utilização conforme NBR-8681

Combinações quase-permanentes m n


i =1 j =1 Combinações freqüentes m n




i =1 j =2

Tensões Limites

RESOLUÇÃO

a) Tipos de protensão segundo os Estados Limites de Utilização (NBR-7197 e 8681)

Nas classificações são utilizadas as combinações quase-permanentes, as freqüentes e as raras. Os estados limites de utilização estão associados à fissuração do concreto podendo ser de descompressão, formação de fissuras e abertura de fissuras. As protensões podem ser completa, limitada e parcial, conforme a seguinte sinopse:

Em todas as combinações respeitar-se-á o Estado Limite Último.



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b) Dimensionamento da seção 1 - Esforços solicitantes

Mg1 = 280 kN.m

Mg2 = 60 kN.m

Mq1 = 400 kN.m

Mq2 = 220 kN.m

2 - Tensões normais devidas às ações externas

devido g1: cin,g1 = 8069,16 kPa csu,g1 = - 4347,83 kPa

devido g2: cin,g2 = 1729,17 kPa csu,g2 = - 931,68 kPa 1 2

devido q1: cin,q1 = 11527,38 kPa csu,q1 = - 6211,18 kPa 0,6 0,4

devido q2: cin,q2 = 6340,06 kPa csu,q2 = - 3416,15 kPa 0,3 0,2

3 - Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha a tempo Yo,in = 0,08 m

ep = 0,52 - 0,08 = 0,44 m

c(o)in,P = [(- 160) / 0,335] + [(- 160) 0,44 / 0,0347] = - 477,62 - 2028,82 = - 2506,44 kPa

c(o)su,P = [(- 160) / 0,335] - [(- 160) 0,44 / 0,0644] = - 477,62 + 1093,17 = 615,55 kPa

4 - Determinação do número de cordoalhas com protensão limitada i) Para combinações quase-permanentes

csu,P + g + 2j FQj,k | c |

cin,P + g + 2j FQj,k = 0

· Na fibra inferior

cin,P + g + 2j FQj,k = 0

m' (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,4 11527,38 + 0,2 6340,06 = 0

m' = 6,25 adotado 7 cordoalhas



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· Na fibra superior com 7 cordoalhas

csu,P + g + 2j FQj,k 0,6 30000 = 18000

7 615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,4 (- 6211,18) + 0,2 (- 3416,15) = - 4138,36

| 4138,36 | < | 18000 | OK

ii) Para combinações freqüentes

csu,P + g + 1 FQ1,k + 2j FQj,k | c |

cin,P + g + 1 FQ1,k +2j FQj,k = 2520

· Na fibra inferior

cin,P + g + 1 q1 +2 q2 = 2520

m'' (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,6 11527,38 + 0,2 6340,06 = 2520

m'' = 6,17 adotado 7 cordoalhas · Na fibra superior com 7 cordoalhas

csu,P + g + 1 q1 + 2 q2 18000

7 615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,6 (- 6211,18) + 0,2 (- 3416,15) = - 5380,60

| 5380,60 | < | 18000 | OK Resposta: m = 7 cordoalhas de 15,2 mm ; P = - 1120 kN.



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2.6 - Exercício 6 A estrutura abaixo representa uma viga-calha de cobertura de um galpão industrial, com seção transversal constante, biapoiada, submetida às seguintes ações externas:

g1 peso próprio com = 25 kN / m³

g2 ação permanente (telhas)

q ação variável (água e sobrecarga) Q ação variável concentrada (talha)

A viga deverá ser dimensionada com protensão através de 4 cabos, simetricamente distribuidos, com igual número de cordoalhas. As cordoalhas serão de 12,7 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 115 kN / cordoalha, na seção central (seção mais solicitada). Dimensionar a armadura de protensão, com protensão limitada, segundo as recomendações da NBR-7197.

10,2

10,0



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· fck = 30 MPa

· fctk = 2,04 MPa

· = 16,00 m

· q = 14,00 kN / m

· g2 = 18,00 kN / m

· Q = 60,00 kN

· Desprezar engrossamentos junto aos apoios

· Não há necessidade, para simplificar, da verificação da execução e Estado Limite Último Fatores de Utilização

Tensões Máximas para os Estados Limites

RESOLUÇÃO


Ac = 0,15 1,20 2 + 0,20 0,30 = 0,42 m²

Ic = 2 0,15 (120)3 / 12 + 0,30 (0,20)3 / 12 = 0,0434 m4

Wcsu = Wcin = 0,0434 / 0,60 = 0,07233 m³



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b) Carregamentos externos (momentos fletores)

= 16,00 m

g1 = 0,42 25 = 10,50 kN / m

g2 = 18,00 kN / m

q = 14,00 kN / m

Q = 60,00 kN

Mg1 = 10,50 (16,00)2 / 8 = 336,00 kN.m

Mg2 = 18,00 (16,00)2 / 8 = 576,00 kN.m

Mq = 14,00 (16,00)2 / 8 = 448,00 kN.m

MQ = 60 16,00 / 4 = 240,00 kN.m

c) Tensões normais externas

devido g1 : cin,g1 = - csu,g1 = 336,00 / 0,07233 = 4645,38 kPa

devido g2 : cin,g2 = - csu,g2 = 576,00 / 0,07233 = 7963,50 kPa

devido q : cin,q = - csu,q = 448,00 / 0,07233 = 6193,83 kPa

devido Q : cin,Q = - csu,Q = 240,00 / 0,07233 = 3318,13 kPa

d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo

Yo = 0,10 + 0,051 = 0,151 m

e = 0,60 - 0,151 = 0,449 m

NP = - 115 kN

c(o)su,NP = [(- 115) / 0,42] + [115 0,449 / 0,07233] = - 273,81 + 713,88 = 440,07 kPa

c(o)in,NP = -273,81 - 713,88 = - 987,69 kPa

e) Dimensionamento com Protensão Limitada

1 - Combinações quase-permanentes



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22

Na fibra inferior: cin,Np + g1 + g2 + 2 q + 2 Q 0

4645,38 + 7963,50 + 0,6 6193,83 + 0,4 3318,13 + m (- 987,69) 0

m 17,87 cordoalhas adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas:

- 4645,38 - 7963,50 + 0,6 (- 6193,83) + 0,4 (- 3318,13) + 20 440,07 = - 8851,03

| 8851,03 | < 18000 OK 2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior: cin,Np + g1 + g2 + 1 q + 2 Q 1,2 fctk

4645,38 + 7963,50 + 0,8 6193,83 + 0,4 3318,13 + m' (- 987,69) 2448

m 16,65 cordoalhas adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas:

- 4645,38 - 7963,50 + 0,8 (-6193,83) + 0,4 (-3318,13) + 20 (440,07) = - 10089,80

| 10089,80 | < 18000 OK

Resposta: Adotado 20 cordoalhas, ou seja, 4 cabos de 5 12,7 mm cada.



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23

3 - ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3.1 - Exercício 1 Verificar se, no Estado Limite Último de ruptura sob solicitações normais, a seção transversal abaixo indicada está satisfatória, considerando-se as armaduras ativas adotadas.

DADOS COMPLEMENTARES · Concreto: fck = 30 MPa

· Aço CP190 RB : fptk = 1900 MPa

fpyk = 1710 MPa

fpko = 1197 MPa

· Ap(o) = 1,40 cm² por cordoalha

· Ep = 200 000 MPa

· pi = 6 ‰ (pré-alongamento)

Coeficientes de ponderação:

s = 1,15

c = 1,4

g = q = 1,4



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24

Momentos fletores atuantes:

Mg = 12800 kN.m (permanente)

Mq1 = 7600 kN.m (acidental variável)

Mq2 = 4000 kN.m (acidental variável)

Fatores de combinação das ações:

Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB

No intervalo 0 pd 5,20 ‰ pd = Ep pd

No intervalo 5,20 ‰ pd 9,43 ‰ pd = curva indicada

No intervalo pd 9,43 ‰ pd = fpyk / s



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25

RESOLUÇÃO

a) CG dos cabos:

Yo = 0,20 m dp = 2,75 - 0,20 = 2,55 m

b) Momento de cálculo solicitante (Msd)

Msd = 1,4 (12800) + 1,4 (7600 + 0,6 4000) = 31920 kN.m

c) Equilíbrio da seção transversal

Adotando-se inicialmente pd = fpyk / s = 1710 / 1,15 = 1486,96 MPa

Força de tração na armadura protendida

Npd = Ap pd = 4 18 1,40 (10)-4 1486,96 (10)3 = 14988,56 kN

Área comprimida da seção de concreto: cd = (30 / 1,4) 0,85 = 18,214 MPa

Ncd = Acc cd = Npd Acc = Npd / cd = 14988,56 / 18,214 (10)3 = 0,823 m²

Posição da LN y = Acc / b = 0,823 / 1,2 = 0,686 < 0,85 OK LN na mesa

x = y / 0,8 = 0,686 / 0,8 = 0,857 m

Deformação p: p = [(dp - x) / x] 3,5 ‰ = [(2,55 - 0,857) / 0,857] 3,5 = 6,913 ‰

Alongamento total: pd = p + pi = 6,913 + 6,00 = 12,913 ‰

pd = 12,913 ‰ > ''p = 9,43 ‰ pd = 1486,96 MPa confirmada

d) Momento resistente de cálculo (MRd)

zp = 2,55 - y / 2 = 2,55 - 0,686 / 2 = 2,207 m

MRd = Npd zp = 14988,56 2,207 = 33079,75 kN.m

e) Verificação

MRd = 33079,75 kN.m > Msd = 31920 kN.m

Resposta: Satisfaz.



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26

3.2 - Exercício 2 Dimensionar a armadura de protensão, no estado limite último, para a seção abaixo esquematizada:


· Concreto fck = 34 MPa

· Aço CP 190 RB

· c = g = q = 1,4

· Pré-alongamento da armadura pi = 5,0 ‰

· cd = 0,85 fcd

· y = 0,8 x

· x = x / d

Ações Permanentes | Mg1 = 2500 kN.m

| Mg2 = 1000 kN.m

Ações Variáveis | Mq1 = 2000 kN.m 0 = 0,7

| Mq2 = 500 kN.m 0 = 0,6

Combinações últimas normais m n


i =1 j =2



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27

RESOLUÇÃO

a) Momento de cálculo solicitante (Msd)

Msd = 1,4 (2500 + 1000) + 1,4 (2000 + 0,6 500) = 8120 kN.m

Msd = 8,120 MN.m

b) Momento absorvido pela flange superior (Msd,f)

Msd,f = bf y cd (d - y / 2) bf = 1,0 - 0,2 = 0,80 m

y = hf = 0,30 m

x = 0,30 / 0,8 = 0,375

Msd,f = 0,80 0,30 0,85 (34 / 1,4) (1,40 - 0,30 / 2)

Msd,f = 6,193 MN.m

x,f = x / d = 0,375 / 1,40 = 0,268 Tabela z = 0,888

pi = 9,45 ‰

pd = 9,45 + 5,00 = 14,45 ‰ pd = 1500 MPa

Ap,f = (Msdf 104) / (z d pd) = (6,193 104) / (0,888 1,40 1500) = 33,21 cm²

c) Momento absorvido pela alma

Md = Msd - Msd,f = 8,120 - 6,193 = 1,927 MN.m

K6 = b d2 / Md = 0,20 (1,40)2 / 1,927 = 0,203

K6 = 0,203 Tabela x = 0,34

z = 0,859

pd = 6,794 ‰

pd = 6,794 + 5,00 = 11,794 ‰ pd = 1486 MPa

As,Md = (1,927 104) / (0,859 1,40 1486) = 10,78 cm²

d) Armadura final

Ap = Ap,f + As,Md = 33,21 + 10,78 = 43,99 cm²

43,99 / 1,40 = 31,42 32 cordoalhas de 15,2 mm

Resposta: Adotado 8 cabos de 4 15,2 mm.



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28

3.3 - Exercício 3

Dimensionar a seção abaixo esquematizada, sabendo-se que nela atuam os seguintes momentos fletores:

Ações (momentos fletores) atuantes: Ação permanente Mg1 = 1.800 kN.m Ação permanente Mg2 = 1.230 kN.m

Ação acidental principal Mq1 = 1.000 kN.m o = 0,7

Ação acidental Mq2 = 780 kN.m o = 0,6

2,60 m

1,00 mMgi, Mqi

0,90

0,10

0,10

0,50 0,300,30 0,501,00

Utilizar cordoalhas 15,2 mm

Pré-alongamento da

armadura = 5,5 ‰

pi

A = 1,40 cm² / cordoalha(o)

p

OBS: Utilizar apenas armadura ativa Ap

(número par de cordoalhas) Materiais

CONCRETO:

fck = 34 MPa

AÇO:

· Aço ativo CP190 RB :

Ep = 200.000 MPa


s = 1,15

c = 1,4

g = q = 1,4

Dados complementares: cd = 0,85 fcd

y = 0,8 x

xx

d

Combinações últimas normais m n


i =1 j =2



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RESOLUÇÃO

a) Momento de cálculo solicitante Msd = 1,4* (1.800+1.230) + 1,4 * (1.000 + 0,6 * 780) = 6.297,20 kN.m Msd = 6,2972 MN.m

b) Momento absorvido pela flange superior Msd,f = bf * hf * σcd * ( d – hf/2) Msd,f = 2,00 * 0,10 * 0,85 * 34/1,4 * ( 0,90 – 0,10/2) Msd,f = 3,509 MN.m x = y / 0,80 = 0,10/0,80 = 0,125

x = x/d = 0,125/0,90 = 0,139 TABELA z = 0,949

pd = 10,00 ‰

pd = 10,00 + 5,50 = 10,50 ‰ TABELA pd = 1.510 MPa

Ap,f = Msd,f * 104 / (z * d * pd ) = (3,509 * 104) / (0,949 * 0,90 * 1.510) = 27,21 cm2

c) Momento absorvido pela alma (Msd, alma = ΔMd) ΔMd = Msd – Msd,f = 6,2972 – 3,509 = 2,7882 MN.m K6 = b * d2 / ΔMd = 0,60 * (0,90)2 / 2,7882 = 0,174

K6 = 0,174 TABELA

x = 0,42

z = 0,825

pd = 4,83 ‰

x = x d = 0,42 0,90 = 0,378 m

pd = 4,83 + 5,50 = 10,33 ‰ TABELA

pd = 1.490 MPa

Ap,alma = (2,7882 * 104) / (0,825 * 0,90 * 1.490) = 25,20 cm2

d) Armadura final Ap = Ap,f + Ap,alma = 27,21 + 25,20 = 52,41 cm²

Ap( ) ,0 1 40 cm2

52,41 / 1,40 = 37,4

Resposta: Ap 38 15,2 mm.



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30

3.4 - Exercício 4 Verificar se, no estado limite último de ruptura sob solicitações normais, a seção a seguir indicada apresenta condições satisfatórias de segurança, considerando-se as armaduras ativas e passivas.

2,40 m

0,70

2,70 m

0,300,05 0,15

0,300,30 0,60

Armadura ativa(4 cabos)

Armadura passiva

(8 barras)

E = E = 200 000 MPap s

= 5,0 ‰ (pré-alongamento)pi

ARMADURA ATIVA: 4 cabos com 28 cordoalhas de 15,2 mm cada

· Ap(o) = 1,40 cm² / cordoalha

ARMADURA PASSIVA: 8 16 mm

· As(o) = 2,00 cm² / barra

MATERIAIS

· Concreto: fck = 30 MPa

· Aço ativo CP190 RB : fptk = 1900 MPa

fpyk = 1710 MPa

fpko = 1197 MPa

· Aço passivo CA 50 A : fyk = 500 MPa



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31


s = 1,15

c = 1,4

g = q = 1,4

Momentos fletores atuantes: Mg1 = 10 000 kN.m

Mg2 = 8 000 kN.m

Mq1 = 18 000 kN.m o = 0,8

Mq2 = 8 000 kN.m o = 0,6

Combinações últimas normais

n

j

ojKQq

m

i

gid FF2

KQj,,1 KGi,

1

F F

Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB

No intervalo 0 pd 5,20 ‰ pd = Ep pd

No intervalo 5,20 ‰ pd 9,43 ‰ pd = curva indicada

No intervalo pd 9,43 ‰ pd = fpyk / s



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32

RESOLUÇÃO a) Momento solicitante de cálculo (Msd)

Msd = g (Mg1 + Mg2) + q (Mq1 + o Mq2)

Msd = 1,4 (10000 + 8000) + 1,4 (18000 + 0,6 8000) = 57120,0 kN.m = 57,12 MN.m

b) Equilíbrio da seção transversal

b1) Força de tração resultante: RT = Rst + Rpt

Armadura passiva: As = 8 16 = 8 2,0 = 16,00 cm²

Armadura ativa: Ap = 4 28 15,2 = 4 28 1,40 = 156,80 cm²

Tensões adotadas nas armaduras

sd

y k

s

f

500

115434 78

,, MPa

pdpy k

s

f

1710

1151486 96

,, MPa

Rstd = Ap sd = 16,00 (10)-4 434,78 (10)3 = 695,65 kN

Rpd = Ap pd = 156,80 (10)-4 1486,96 (10)3 = 23315,53 kN

RTd = 695,65 + 23315,53 = 24011,18 kN

b2) Área de concreto comprimida:

cdck

c

f 0 85 0 85

30

1 418 2143, ,

,, MPa 18214,29 kPa

RTd = Rccd

Rccd = Acc cd AR

ccccd

cd

2401118

18214 291 3183

,

,, m2

b = bf = 2,40 m

yA

bh

ccf

1 3183

2 400 5493 0 70

,

,, , m m OK (LN na mesa )

xy

0 8

0 5493

0 80 6866

,

,

,, m



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33

b3) Deformações:

01,105,3

6866,0

6866,005,070,25,3

x

xdssd ‰ sd confirmada !

50,95,36866,0

6866,015,070,25,3

x

xdpp ‰

pi = 5,0 ‰

pd = p + pi = 9,5 + 5,0 = 14,5 ‰ pd confirmada !

c) Momento resistente de cálculo (MRd)

22

yzR

yzRM ppdsstdRd

2

5493,055,253,23315

2

5493,065,265,695RdM

MRd = 1652,41 + 53050,99 = 54703,40 kN.m = 54,70 MN.m

d) Comparação

Msd : MRd Msd = 57,12 MN.m > MRd = 54,70 MN.m

Resposta: A seção não satisfaz o estado limite último.



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34

4 - TRAÇADO GEOMÉTRICO, PERDAS E ALONGAMENTO 4.1 - Exercício 1 Desenho esquemático do cabo

Para o cabo acima desenhado determinar: a) A equação geométrica do traçado sabendo-se que os trechos curvos são parábolas do

2º grau com equação = a ² (tg = d / d).

Determinar a ordenada da abcissa = 10 m.

b) As perdas por atrito, alongamento teórico e as perdas por acomodação da ancoragem, com os seguintes dados:

· Ap = 12 1,40 = 16,80 cm²

· Ep = 200 000 MPa

· Aço CP 190 RB : fptk = 1900 MPa

fpyk = 1710 MPa

· = 0,22 (coeficiente de atrito)

· K = 0,01

· w = 3 mm (escorregamento da ancoragem)

DADOS COMPLEMENTARES A é uma ancoragem passiva e D é ativa.

Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor)

Pi = Ap Pi (força aplicada junto ao macaco)

Po(x) = Pi e -[ + kx] 2 Yi / li



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35

x

l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx : considerar as projeções horizontais e folga de 20 cm em D

o ____________

w = w Ep Ap / p 20,00 m , com p = coeficiente angular da reta Po(x)

RESOLUÇÃO

a) Traçado geométrico

Equação da curva AB ou CD : = a ² , origem em B ou C

para = 20,00 = 2,40 m a = 2,40 / (20,00)² = 0,006

Equação da curva : = 0,006 ²

para = 10,00 = 0,6 m

para = 20,00 = 2,40 m

d / d = 0,012 (d / d)D = 0,012 20,00 = 0,24 rd (13,49º)

b) Perdas por atrito Força inicial de protensão (Pi)

0,77 fptk = 0,77 1900 = 1463 MPa (adotada)

0,86 fpyk = 0,86 1710 = 1470 MPa

Pi = Ap Pi = 16,80 (10)-4 1463 (10)3 = 2457,84 kN

ponto D : Po(x=0) = 2457,84 kN (D)

trecho DC : = 2 2,40 / 20 = 0,24 rd

ponto C : Po(x=20) = 2457,84 e -[0,22 0,24 + 0,01 0,22 20] = 2231,07 kN (C)

trecho CB : = 0,24 + 0 = 0,24 rd

ponto B : Po(x=30) = 2457,84 e -[0,22 0,24 + 0,01 0,22 30] = 2182,53 kN (B)

trecho BA : = 0,24 + 0 + 0,24 = 0,48 rd

ponto A : Po(x=50) = 2457,84 e -[0,22 0,48 + 0,01 0,22 50] = 1981,16 kN (A)



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36

DIAGRAMA Po(x)

c) Alongamento teórico

Al,total = [1 / 200000 (10)3 16,80 (10)-4 ] [20,0 2081,845 +

+ 10,00 2206,80 + 20,2 2344,455] = 0,33 m (ou 6,58 mm/m)

d) Encunhamento : p (trecho DC) = 11,338 kN / m

_________________________________________

w = 3 (10)-3 200000 (10)3 16,80 (10)-4 / 11,338 = 9,43 m < 20,00 m OK

Po(x=w) = Po(x=9,43) = 2457,84 - 9,43 11,338 = 2350,92 kN

Po(x=0) = 2457,84 - 2 9,43 11,338 = 2244,00 kN



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37

4.2 - Exercício 2 Traçado em Elevação:

Para o cabo acima esquematizado, determinar:

a) TRAÇADO GEOMÉTRICO

a1) Equação da curva que representa o eixo do cabo no trecho AB.

a2) Ordenada do cabo no ponto x = 6,00 m.

a3) Ordenada do cabo no ponto x = 12,00 m.

b) PERDAS IMEDIATAS: ATRITO E CRAVAÇÃO

b1) Calcular as perdas por atrito.

b2) Calcular as perdas por cravação da ancoragem.

b3) Traçar o diagrama das perdas.

c) ALONGAMENTO TEÓRICO

c1) Calcular o alongamento teórico do cabo.



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38


Ponto A : ancoragem ativa

Ponto F : ancoragem passiva Aço CP 190 RB : Fptk = 1900 MPa

Fpyk = 1700 MPa

Ep = 200 000 MPa

Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor)

Pi = Ap Pi

= a ²

Po(x) = Pi e -[ + Kx] = 2 Yi / li (por trecho)

____________

w = w Ep Ap / p w 18,00 m

x

l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx · utilizar projeção horizontal para os comprimentos

o · acrescentar 30 cm em A

= 0,20

K = 0,01

w = 6,0 mm

Ap = 16,80 cm²

RESOLUÇÃO

a) Traçado Geométrico

= a ²

Trecho AB: = 1,30 - 0,15 = 1,15 m

= 3 6,00 = 18,00 m

a = / 2= 1,15 / (18)2 = 0,00355

Equação da curva no trecho AB : = 0,00355 ²



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39

Ordenada para x = 12,0 m = 6,0 m

= 0,128 m y(x=12) = 0,278 m

yo = 0,15 m

Ordenada para x = 6,0 m = 12,0 m

= 0,511 m y(x=6) = 0,661 m

yo = 0,15 m

b) Perdas Imediatas b1) Força inicial de protensão (Pi)

0,77 fptk = 0,77 1900 = 1463 MPa

0,86 fpyk = 0,86 1710 = 1470,6 MPa

Pi = 1463 MPa

Pi = Ap Pi = 16,80 (10)-4 1463 (10)3 = 2457,8 kN

b2) Perdas por atrito

Trecho AB yi = 1,30 - 0,15 = 1,15 m

li = 18,00 m

= 2 1,15 / 18,00 = 0,1278 (7,3 º)

Trecho BC yi = 0

li = 3,00 m

= 0

Trecho CD yi = 1,40 - 0,15 = 1,25 m

li = 12,00 m

= 2 1,25 / 12,00 = 0,2083 (11,9 º)

Trecho DE yi = 0,40 m

li = 3,00 m

= 2 0,40 / 3,00 = 0,2667 (15,3 º)

Trecho EF yi = 0

li = 12,00 m

= 0



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40

Variação da força por trecho:

Po(x) = Pi e -[ + Kx] Pi = 2457,8 kN

= 0,20

K = 0,01 = 0,002

Ponto A : x = 0 Po(x=0) = 2457,8 kN

Ponto B : x = 18,00 m Po(x=18) = 2457,8 e -[0,20 0,1278 + 0,002 18]

= 0,1278 Po(x=18) = 2311,06 kN

Ponto C : x = 21,00 m Po(x=21) = 2457,8 e -[0,20 0,1278 + 0,002 21]

= 0,1278 Po(x=21) = 2297,24 kN

Ponto D : x = 33,00 m Po(x=33) = 2457,8 e -[0,20 0,3361 + 0,002 33]

= 0,3361 Po(x=33) = 2151,24 kN

Ponto E : x = 36,00 m Po(x=36) = 2457,8 e -[0,20 0,6028 + 0,002 36]

= 0,6028 Po(x=36) = 2027,30 kN

Ponto F : x = 48,00 m Po(x=48) = 2457,8 e -[0,20 0,6028 + 0,002 48]

= 0,6028 Po(x=48) = 1979,23 kN

b3) Perdas por acomodação das ancoragens

Hipótese: w 18,00 m w = 6,0 mm

p = (2457,8 - 2311,06) / 18,00 = 8,1522 kN / m

____________

w = w Ep Ap / p

_________________________________________

w = 6 (10)-3 200000 (10)3 16,80 (10)-4 / 8,1522 = 15,72 m < 18,00 m OK

Po(x=15,72) = Pi - w p = 2457,8 - 8,1522 15,72 = 2329,65 kN

Po(x=0) = Pi - 2 w p = 2457,84 - 2 8,1522 15,72 = 2201,50 kN



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c) Alongamento Teórico do Cabo l = 48,00 + 0,30 = 48,30 m

x

l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx

o

Trecho Po (médio) l Po (médio) l

AB 2384,43 18,30 43635,07

BC 2304,15 3,00 6912,45

CD 2224,24 12,00 26690,88

DE 2089,27 3,00 6267,81

EF 2003,26 12,00 24039,12 ______________

= 107545,33

l total = [1 / 200000 (10)3 16,80 (10)-4] 107545,33 = 0,32 m

l total = 32,0 cm = 320 mm

Alongamento unitário aproximado = 320 / 48,30 = 6,62 mm / m



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4.3 - Exercício 3

A viga a seguir detalhada, é protendida longitudinalmente com aderência posterior, com 4 cabos

de 10 1,2 mm, sendo solicitada, além da protensão, pelos seguintes esforços externos:

Mg1 = 1320 kN.m momento fletor devido ao peso próprio

Mg2 = 3680 kN.m momento fletor devido aos revestimentos

MQ,max = 3000 kN.m devido às ações variáveis

Determinar as perdas de protensão no cabo situado na 2ª camada, devidas à retração e

fluência do concreto, sabendo-se que: 1- A força inicial aplicada em cada cabo foi: Pi = - 2048,20 kN 2 - A protensão dos 4 cabos é efetuada em uma única operação aos 21 dias (idades fictícias para a retração = 30 dias e para a fluência = 55 dias) 3 - As forças de protensão atuantes na seção, descontadas as perdas imediatas, são as seguintes:

· cabo 1 : Po1 = - 1800 kN

· cabo 2 : Po2 = - 1700 kN

4 - = Ep / Ec28 = 6,50 com Ep = 200 000 MPa



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5 - Área de 1 cabo de 10 1,2 mm = 14,0 cm² 6 - Idades do concreto nos instantes da aplicação dos carregamentos: t = 21 dias : protensão + g1 t = 30 dias (fictícia) para a retração

t = 55 dias (fictícia) para a fluência t = 60 dias : carregamento g2 t = 130 dias (fictícia) para a fluência

7 - Coeficientes para retração e fluência

cs (, 30) = -12,0 (10)-5

(, 55) = 1,88

(, 130) = 1,42

8 - Po = Po / Ap : tensão inicial no aço de protensão, descontadas as perdas imediatas, no

instante da protensão (valor > 0) 9 - Expressão para determinação das perdas por retração e fluência (tensão média)

Pc+s = cs(, 30) Ep + (, 55) [c,Po + c,g1] + (, 130) c,g2

_______________________________________________________________________________

1 - [c,Po / c,g1] [1 + (, 55) / 2]

OBS: A expressão acima pode ser aplicada, com os devidos ajustes, para cada um dos dois tipos de cabos. 10 - Perda de força de protensão

P(c+s) = Pc+s Ap

RESOLUÇÃO

a) Tensões provocadas pelos carregamentos permanentes na fibra adjacente ao cabo

devido g1 : c,g1 = Mg1 Y,cabo 2 / Ic = 1320 (0,90 - 0,20) / 0,3488 = 2649,08 kPa

devido g2 : c,g2 = Mg2 Y,cabo 2 / Ic = 3680 0,70 / 0,3488 = 7385,32 kPa



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b) Tensões devidas à protensão, na posição do cabo

4

Poi = 2 (- 1800 - 1700) = - 7000 kN

i = 1

4

Poi epi = 2 (- 1800 0,80 - 1700 0,70) = - 5260 kN.m

i = 1

c,Po = - 7000 / 0,96 - 5260 0,7 / 0,3488 = - 7291,67 - 10556,19 = - 17847,86 kPa

c) Tensão Po do cabo

Po = - 1700 / 14,0 10-4 = 1214,3 MPa

d) Cálculo das perdas

{NUMERADOR}

= -12,00 10-5 200 000 000 + 6,50 1,88 (-17 847,86 + 2 649,08) + 6,50 1,42 7 385,32 = - 24 000,00 - 185 729,09 + 68 166,50 = - 141 562,59 kPa {DENOMINADOR}

= 1 - 6,50 (- 17 847,86 / 1 214 300,00) (1 + 1,88 / 2) = 1,185

Pc+s = - 141 562,59 / 1,185 = - 119 462,10 kPa

e) Perda da força de protensão do cabo

P(c+s) = Pc+s Ap = - 119 462,10 14,0 10-4 = -167,25 kN

% de perda: (167,25 / 1700) 100 = 9,83 % Força após fluência e retração = - (1700 - 167,25) = - 1532,75 kN

% de perda em relação a Pi: [(2048,20 - 1532,75) / 2048,20] 100 = 25,17 % Resposta: Perda de 25,17 %.

cp 6 - protendido conteudo 06 - exercÍcios resolvidos

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