cosmologia básica: 5 - idades e distâncias

Cosmologia Basica:5 - idades e distancias

Laerte Sodre Jr.

August 30, 2011

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O modelo padrao: ΛCDM

I modelo “canonico”: ΛCDM

I uma das equacoes de Friedmann(a

a

)2

=8πG

3ρ− Kc2

a2

I universo com materia, radiacao e constante cosmologica:

ρ = ρm + ρr + ρλ

com ρm = ρb + ρDM

I nesse caso,Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1

(estamos desprezando, por exemplo, os neutrinos)

2


I vamos escrever H(z) como

H(z) = H0E (z)

E (z) caracteriza a dependencia em redshift do parametro deHubble

I e facil verificar que

E (z) =8πG

3H20

ρ− Kc2

a2H20

I vamos supor queρ = ρm + ρr + ρλ

I vamos reescrever o parametro de densidade de cada especie:

Ωx =ρx

ρc=

8πGρx

3H(z)2

3


I parametro de densidade de cada especie:

Ωm(z) =ρm(z)

ρc=

8πGρm

3H(z)2

Como ρm = ρm0(R0/R)3 = ρm0(1 + z)3 e H = H0E (z)(onde 0 indica valores hoje, em t = t0), temos:

Ωm(z) =8πGρm0(1 + z)3

3H20 E 2

=Ωm0(1 + z)3

E (z)2

I Analogamente,

Ωr (z) =Ωr0(1 + z)4

E (z)2,

Ωλ(z) =Ωλ0

E (z)2,

Ωk(z) =Ωk0(1 + z)2

E (z)2,

4


I parametros de densidade:

Ωm(z) =Ωm0(1 + z)3

E (z)2

Ωr (z) =Ωr0(1 + z)4

E (z)2

Ωλ(z) =Ωλ0

E (z)2

Ωk(z) =Ωk0(1 + z)2

E (z)2

I como Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1, fica facil ver que

E (z) = [Ωm0(1 + z)3 + Ωr0(1 + z)4 + Ωλ0 + Ωk0(1 + z)2]1/2

(Ωr0 e muito pequeno e a radiacao pode ser desprezada,exceto na era radiativa, claro!)

5


I universo atual: k = 0, ρ ' ρm + ρλesse modelo tem solucao analıtica:

a(t) =

(Ωm0

Ωλ0

)1/3

sinh2/3

(3H0Ω

1/2λ0

2t

)

Figure: Expansao para diferentes valores de Ωm e Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem(Ωm, Ωλ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).

6


nesse modelo:

I inflexao desaceleracao - aceleracao : a = 0

aI =

(Ωm0

2Ωλ0

)1/3

I isso acontece em

tI =2

3H0Ω1/2λ0

arcsinh

[√1

2

]

I t0/tI ' 1.84; zI ' 0.7

I a densidade da energia escura domina a da materia paraz < zc , onde

zc = (Ωλ0/Ωm0)1/3 − 1 ' 0.3

7

A idade do universo

I vamos determinar a relacao entre tempo e redshiftI como H = H0E (z) = a/a e a = (1 + z)−1, temos

H(z) = − z

1 + zou,

dt = − dz

(1 + z)H(z)∫ t0

0dt =

∫ ∞0

dz

(1 + z)H(z)ou

t0 =1

H0

∫ ∞0

dz

(1 + z)E (z)= τH

∫ ∞0

dz

(1 + z)E (z)

onde τH e o tempo de Hubble:

τH = H−10 = 9.78 h−1 Ganos

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A idade do universo

I idade do universo (t0):

t0 = τH

∫ ∞0

dz

(1 + z)E (z)

onde

E (z) =[Ωm0(1 + z)3 + Ωk0(1 + z)2 + Ωλ0 + ...

]1/2

I modelo de Einstein-de Sitter (Ωλ0 = 0, Ωm0 = 1):

t0 =2

3τH

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A idade do universo

I idade do universo no redshift z :

t(z) = τH

∫ ∞z

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)

I look-back time de um objeto no redshift z :

tl(z) = t0 − t(z) = τH

∫ z

0

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)

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A idade do universo

I universo de curvatura nula com materia e constantecosmologica:

t(z) =2

3τHΩ

−1/2λ0 arcsinh

[(Ωλ0

Ωm0(1 + z)3

)1/2]

I no intervalo de interesse (0.1 <∼ Ωm0<∼ 1, Ωλ0

<∼ 1), a solucaoexata pode ser aproximada dentro de alguns % por(Peacock, 1999):

t0 '2

3τH (0.7Ωm0 − 0.3Ωλ0 + 0.3)−0.3

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A idade do universo

I idade de aglomerados globulares:

Figure: Aglomerado globular M15.

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A idade do universo

I idade de aglomerados globulares:I Demarque, 1997, The ages of globular star clustersI turn-off (TO) da Sequencia Principal

Figure: Isocronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.

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A idade do universo

I idade de aglomerados globulares:I Demarque, 1997, The ages of globular star clustersI turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no nucleo e vai

para o ramo das gigantes no diagrama HRlimite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do Htermina quando ∼ 10% da massa da estrela e convertida emHe

I tTO : depende principalmente da massa da estrela:

tTO ∝ M−2

I mas tambem de Y , Z , conveccao , rotacao ...Maeder (XEAA): modelos com rotacao aumentam asestimativas de idade dos AG ate 25%!

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A idade do universo

I Chaboyer et al. (1998): tAG = 11.5± 1.3 GanosI t0: depende da epoca de formacao dos AGs

Peacock: t0 esta entre 12 e 16 Ganos

Figure: Isocronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.

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A idade do universo

note que o universo nao pode ser mais jovem que os objetos quecontem: isso permite por limites nos valores dos parametroscosmologicos.

Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galaxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284,1503; tem no Level 5).

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A idade do universo

Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em funcao do redshift paravarios modelos cosmologicos (Ωm0, Ωλ0). Linha solida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).

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Distancias

I Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology,astro-ph/9905116

I o conceito de distancia nao e unico em um espaco-tempodinamico

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Distancias

I medidas de distancia relacionam 2 eventos em geodesicasseparadas que estao em um mesmo cone de luz

I os eventos podem ser caracterizados pelos tempos te e t0 deemissao e observacao, ou pelo fator de escala nesses tempos,R(te) e R(t0), ou pelos redshifts correspondentes, ze e z0

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Distancia propria e comovel

I distancia propria entre dois eventos ao longo de umageodesica, Dp

I metrica de Robertson-Walker:

ds2 = c2dt2 − R(t)2

[dσ2

1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)

]I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0) e

considerando apenas deslocamentos radiais (dθ = dφ = 0),para a luz

cdt = R(t)dσ√

1− kσ2

I elemento de distancia propria: dDp = cdt

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I distancia propria entre dois eventos ao longo de umageodesica, Dp

I elemento de distancia propria: dDp = cdt

I como dt = −dz/[(1 + z)H], e facil verificar que

dDp =DHdz

[(1 + z)E (z)],

ondeDH =

c

H0' 3000 h−1 Mpc

e a distancia de Hubble

I note que nao se mede Dp!

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I distancia propria entre dois eventos em z1 e z2:

Dp = DH

∫ z2

z1

dz ′

(1 + z ′)E (z ′)

I distancia comovel Dc

dDc = (R0/R) dDp = (1 + z) dDp

I distancia comovel entre z1 e z2:

Dc = DH

∫ z2

z1

dz ′

E (z ′)

I note que toda a cosmologia esta embutida em E (z)

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I metrica de Robertson-Walker:

ds2 = c2dt2 − R(t)2

[dσ2

1− kσ2+ σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)

]I como a luz viaja por geodesicas nulas (ds2 = 0 e fazendo

dθ = dφ = 0),

cdt

R=

dDc

R0=

dσ√1− kσ2

.

I entao, distancia comovel entre um observador na origem eoutro na coordenada radial σ:

Dc = R0

∫ σ

0

dσ√1− kσ2

= R0S(σ)

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I distancia comovel entre um observador na origem e outro nacoordenada radial σ:

Dc = R0

∫ σ

0

dσ√1− kσ2

= R0S(σ)

I para os varios sinais da curvatura temos:I k = +1: Dc = R0 arcsin σI k = 0: Dc = R0 σI k = −1: Dc = R0 arcsinh σ

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I note que nao se pode medir diretamente nem as distanciasproprias nem as distancias comoveis

I entre as distancias que se medem, as mais importantes sao asde luminosidade e de diametro

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Figure: Distancia comovel entre O e G, Dc , sobre um cırculo.

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Distancia de luminosidade

I Dl : medida por metodos baseados na luminosidade aparente

I classicamente, fluxo, luminosidade e distancia estaorelacionados como

f =L

4πD2

I elemento de area (hoje) na metrica de RW:

dA = R20σ

2 sin θdθdφ = R20σ

2dΩ

I area de uma esfera de “raio” comovel σ hoje e

A = 4πR20σ

2

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I L(ν, t)dν: energia emitida por uma galaxia G por segundocom frequencia ν entre ν e ν + dν no instante t

I esses fotons sao recebidos com energia menor, devido aoredshift:

hν0 =hν

1 + z

I alem disso, essa energia e recebida em um intervalo de tempomaior:

∆t0 = (1 + z)∆t

I fluxo observado: energia recebida por cm2 por s no intervalo[ν0, ν0 + dν0]:

f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν

4πR20σ

2(1 + z)2=

L(ν, t)dν

4πD2l

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f (ν0, t0)dν0 =L(ν, t)dν

4πR20σ

2(1 + z)2=

L(ν, t)dν

4πD2l

ondeDl = R0σ(1 + z)

Dl e denominada distancia de luminosidade

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Figure: Distancia de luminosidade normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

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Distancia de diametro

I distancia de diametro (DA; “A” de aperture): obtida pelosmetodos baseados no tamanho aparente

I sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diametro D, adistancia de diametro DA e tal que

∆θ =D

DA

I diametro proprio:D = Rσ∆θ

I como 1 + z = R0/R, temos

DA =R0σ

1 + z

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Distancias de diametro e de luminosidade

I distancia de diametro:

DA =R0σ

1 + z

I distancia de luminosidade:

Dl = R0σ(1 + z)

I entao,

DA =Dl

(1 + z)2

note que essa relacao nao depende do modelo cosmologico

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I em estudos de lentes aparece a distancia de diametro entre oredshift z1 e z2 (z1 < z2), que e dada por:

DA(z1, z2) = R2σ12 =R0σ12

1 + z2

onde σ12 e a distancia de coordenadas entre z1 e z2

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Figure: Distancia de diametro normalizada em funcao do redshift para tres modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

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Calculo das distancias

I vamos definir a ”distancia comovel transversal” como:

DM ≡ R0σ

I entao, Dl = (1 + z)DM e DA = DM/(1 + z)

I logo, se conhecermos DM(z) podemos calcular Dl(z) e DA(z)

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I ”distancia comovel transversal”: DM ≡ R0σ

I comoI k = +1: Dc = R0 arcsin σI k = 0: Dc = R0 σI k = −1: Dc = R0 arcsinh σ

entao,I k = +1: DM = R0 sin(Dc/R0)I k = 0: DM = Dc

I k = −1: DM = R0 sinh(Dc/R0)

onde

Dc = DH

∫ z

0

dz ′

E (z ′)

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explicitando a curvatura:

I Ωk0 = −kc2/(H20 R2

0 ), de modo que, se k for diferente de zero,

R0 = DH/√|Ωk0|

I juntando tudo, temos:

I k = +1: DM = DH/√|Ωk0| sin

(√|Ωk0|Dc/DH

)I k = 0: DM = Dc

I k = −1: DM = DH/√|Ωk0| sinh

(√|Ωk0|Dc/DH

)onde Dc/DH =

∫ z0 dz ′/E (z ′)

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Volumes

I espaco euclidiano: o elemento de volume e dV = r 2dΩdr

I espacos curvos, com a MRW,

dV =R2σ2dΩRdσ√

1− kσ2

I substituindo Rdσ/√

1− kσ2 por cdt = −cdz/[(1 + z)H], oelemento de volume fica:

dV =DHD2

AdΩdz

(1 + z)E (z)

I elemento de volume comovel:

dVc = (1 + z)3dV

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Volumes

I contagem de objetos: numero de objetos dentro de dΩ e dz :

dN = n(z)dV =n(z)DHD2

AdΩdz

(1 + z)E (z)

onde n(z) e a densidade de objetos no redshift z

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Volumes

Figure: Elemento de volume comovel normalizado,(1/dH )3(dVc/dz), em funcao do redshift para tres modelosde mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha solida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

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Exercıcios

1. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que osaglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que vocediria sobre H0?

2. Calcule tl e t(z) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades emz = 1 e z = 15.

3. Mostre que

t(z) =2

3τHΩ

−1/2λ0 arcsinh

[(Ωλ0

Ωm0(1 + z)3

)1/2]

e a idade do universo num redshift z para um universo decurvatura nula com materia e constante cosmologica. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade emz = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.

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Exercıcios

4. Friaca, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasarAPM08279+5255, em z = 3.91. A razao de abundancia Fe/Oobservada e 3.3 em unidades solares. Usando um modelo deevolucao quımio-dinamico do quasar, concluem que sua idade etq =2.1 Ganos. Discuta as implicacoes disso para a constante deHubble, supondo um universo plano com Ωm0 = 0.3 e Ωλ0 = 0.7.

5. Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diametroaparente em funcao do redshift tem um mınimo. Determine oredshift onde isso ocorre.

6. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, emminutos de arco, um diametro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e2.

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Exercıcios

7. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo ondea energia escura pode ser descrita como

w = w0 + wa(1− a)

Suponha que w0 = −1 e wa = ±0.1. Que variacao isso produz nasdistancias de diametro e luminosidade em z = 0.8 em relacao aomodelo ΛCDM convencional ( w0 = −1 e wa = 0)?

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