Fenômenos de Transporte I

Aula 01Aula 01

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

Bibliografia utilizada

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

A expressão fenômenos de transporte (maisraramente, fenômenos de transferência) refere-se aoestudo sistemático e unificado da transferênciade momento (mecânica dos fluidos), energia (transferênciade calor) e matéria (transferência de massa).

O transporte (transferência) destas grandezas e aO transporte (transferência) destas grandezas e aconstrução de seus modelos guardam fortes analogias,tanto físicas como matemáticas, de tal forma que a análisematemática empregada é praticamente a mesma.

1- IntroduçãoMecânica dos fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo docomportamento físico dos fluidos em movimento e em repouso e das leisque regem este comportamento.A mecânica dos fluidos pode ser subdividida no estudo da estática dos

fluidos, onde o fluido está em repouso, e na dinâmica dos fluidos, onde ofluido está em movimento.

Aplicações da mecânica dos fluidos:- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens- Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens- Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações- Estudo de lubrificações.- Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores- Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas- Instalações de vapor. Ex.: caldeiras- Ação de fluidos sobre veículos, aeronaves e edificações (aerodinâmica).

1.1- Definição de fluido

- Fluido é uma substância que não tem forma própria, e que,se estiver em repouso, não resiste a tensões de cisalhamento.- Fluido é uma substância que quando submetido a tensões decisalhamento (tangenciais), por pequenas que sejam, deforma-se continuamente.- Fluidos tendem a escoar (ou fluir) e os sólidos tendem a sedeformar ou dobrar quando interagimos com eles.deformar ou dobrar quando interagimos com eles.- Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas(ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe.- A distinção entre um fluido e o estado sólido da matéria éclara quando você compara seus comportamentos. Um sólidodeforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe éaplicada, mas sua deformação não aumenta continuamentecom o tempo.

1.2- Equações básicas

A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos começa,necessariamente, de modo direto ou indireto, com declarações dasleis básicas que modelam o movimento do fluido. As leis básicas,aplicáveis a qualquer fluido são:

1- A equação da conservação da massa2- A segunda lei do movimento de Newton3- O princípio da quantidade angular3- O princípio da quantidade angular4- A primeira lei da termodinâmica5- A segunda lei da termodinâmica

Obviamente, nem todas as leis básicas são necessárias para resolverum problema. Por outro lado, em muitos deles é necessário buscarrelações adicionais para a análise, na forma de equações de estadoou outras de caráter constitutivo, que descrevam o comportamentodas propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições.

1.3- Métodos de análise

O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistemaque você está tentando analisar.Na mecânica dos fluidos, utilizaremos um sistema ou um volumede controle para resolver um problema.

1.3.1- Sistema

Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa eUm sistema é definido como uma quantidade de massa fixa eidentificável; o sistema é separado do ambiente pelas fronteiras.As fronteiras podem ser fixas ou móveis; contudo, nenhumamassa cruza essas fronteiras.

1.3.2- Volume de controle

Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço atravésdo qual o fluido escoa. A fronteira geométrica do volume decontrole é denominado superfície de controle. É sempre importantetomar cuidado na seleção de um volume de controle, pois a escolhatem um grande efeito sobre a formulação matemática das leisbásicas.

1.4- Dimensões e unidades

Referimo-nos as quantidades físicas tais como comprimento (L),tempo (t), massa (M) e temperatura (T) como dimensões.Unidades são os nomes (e magnitudes) arbitrárias dados àsdimensões primárias adotadas como padrões de medidas.Ex. A dimensão primária de comprimento pode ser medida emunidades de metros (m), centímetro (cm), pés (ft), jardas ou milhas.Cada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatoresCada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatores

de conversão de unidades.

Ex. 1 milha = 5280 pés = 1609 metros

SISTEMAS DE UNIDADES

Sistema Internacional de Unidades (SI)Massa é o quilograma (Kg)Comprimento é o metro (m)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Kelvin (K)Força é o Newton (N)

1 N ≡≡≡≡ 1 Kg.m/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Métrico Absoluto (CGS)Massa é o grama (g)Comprimento é o centímetro (cm)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Kelvin (K)Força é a dina (dina)

1 dina ≡≡≡≡ 1 g.cm/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Gravitacional BritânicoMassa é o slug (slug)Comprimento é o pé (ft)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Rankine (°°°°R)Força é a libra-força (lbf)

1 lbf ≡≡≡≡ 1 slug.ft/s2 (secundária)

Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de EngenhariaSistema de Unidades Inglês Técnico ou de EngenhariaMassa é a libra-massa (lbm)Comprimento é o pé (ft)Tempo é o segundo (s)Temperatura é o Rankine (°°°°R)Força é a libra-força (lbf)

1 slug ≡≡≡≡ 32,2 lbm

2cc

2

lbf.s

ft.lbm32,2 g

g

ft/s 32,2 x lbm 1 lbf 1 =≡

A constante de proporcionalidade, gc , tem dimensões e unidades nosistema inglês técnico.

g

am. F

c

=

No SI, a constante de proporcionalidade, gc , é sem dimensões eunitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita:unitário. Em consequência, a segunda lei de Newton é escrita:

Nesses sistemas, resulta que a força gravitacional (o peso) sobre umobjeto de massa m é dado por:

am. F =

gm. W =

2. Conceitos fundamentais

2.1- O fluido como um contínuo

Todos os fluidos são compostos de moléculas em constantemovimento.Um fluido é uma substância infinitamente divisível, umcontinuum, e deixamos de lado o comportamento dasmoléculas individuais.moléculas individuais.

2.2- Campo de velocidade

Ao lidarmos com fluidos em movimento, estaremosnaturalmente interessados na descrição de um campo develocidade.

A velocidade em qualquer ponto do campo de escoamentopode variar de um instante a outro. A representação completada velocidade (o campo de velocidade) é dada por:

O vetor velocidade, pode também ser escrito em termos dosseus três componentes escalares. Denotando os componentenas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se:

( Escoamento transiente ) 0 t

Vou t)z,y,(x, V V ≠

∂

∂=

rrr

nas direções x, y, z por µµµµ, νννν, ωωωω, escreve-se:

Se as propriedades em cada ponto de um campo deescoamento não mudam com o tempo, o escoamento édenominado permanente:

k ω j ν iµ V ++=r

( Escoamento permanente ) 0 t

Vou z)y,(x, V V =

∂

∂=

rrr

Ômega ω Ni; ν Mi; µ ===

Escoamento Uni, Bi e Tridimensionais

Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional deacordo com o número de coordenadas espaciais necessárias paraespecificar seu campo de velocidade.

t)z,y,(x, V V rr

= ( Escoamento tridimensional e transiente )

z)y,(x, V V rr

= ( Escoamento tridimensional e permanente )

Num escoamento uniforme, a velocidade é constante através de qualquer seçãonormal ao escoamento.

2.3- Tensão de cisalhamento e viscosidade

Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material édeformado ou cisalhado elasticamente; para um fluido, as tensõesde cisalhamento aparecem devido ao escoamento viscoso.Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A. Essaforça pode ser decomposta segundo a direção normal à superfície eda tangente, dando origem a uma componente normal e outratangencial.tangencial.

tF

nF F

Defini-se tensão de cisalhamento como sendo o quocienteentre o módulo da componente tangencial e da área a qualestá aplicada.

Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quociente

AF

t

=τ

Defini-se pressão (tensão normal) como sendo o quocienteentre o módulo da componente da força normal (força decompressão) e da área a qual está aplicada.

AF

P n

=

Considere-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placasinfinitas ilustradas a seguir:

A placa superior movimenta-se a velocidade constante, δδδδu, sob ainfluência de uma força aplicada constante, δδδδFx.

Força de cisalhamento aplicada sobre um fluido

Como aparecem as forças internas? O fluido junto à placa superior iráse deslocar com velocidade v, enquanto aquele junto à placa inferiorestará com velocidade nula. Em cada seção normal às placas, irá seformar um diagrama de velocidades, onde cada camada do fluido deslizasobre a adjacente com uma certa velocidade relativa. Tal deslizamentoentre as camadas origina tensões de cisalhamento. A Figura a seguirmostra o aparecimento da tensão de cisalhamento, ττττ , devido àvelocidade relativa v1 – v2, que cria um escorregamento entre as duascamadas indicadas.

A tensão de cisalhamento, ττττyx , aplicada ao elemento de fluido édado por:

dAdF

δAδF

lim τy

x

y

x

0 δyx

Ay

==→ ( 1 )

onde δδδδA é a área do elemento de fluido em contato com aonde δδδδAy é a área do elemento de fluido em contato com aplaca. No incremento de tempo, δδδδt , o elemento de fluido édeformado da posição MNOP para a posição M’NOP’.A taxa de deformação do fluido é dada por:

dtdα

δtδα

limdeformação de taxa0 δt

==→

( 2 )

O fluido é newtoniano se ττττyx for diretamente proporcional a taxade deformação (Equação 2).

A distância δδδδℓ entre os pontos M e M’ é dado por:

( 3 )δt δv δ δtδ

δv xx =⇒= ll

dtdα

a alproporcion ediretament τyx

δt xx

ou alternativamente, para pequenos ângulos,

δyδα δ =l ( 4 )

Igualando (3) com (4), temos:

δyδα δt δv x = δtδα

δyδv

x = ( 5 )

Aplicando o limite em ambos os lados da igualdade, obtêm-se:

δtδα

lim δyδv

lim 0 δt

x

0 δy →→=

dtdα

dydv

x = ( 6 )dtdy

Assim, se o fluido da figura é newtoniano, temos que:

dydv

a alproporcion ediretament é τ xyx ( 7 )

A tensão de cisalhamento age num plano normal ao eixo dos y

A constante de proporcionalidade da equação (7) é aviscosidade absoluta (ou dinâmica), µµµµ.Assim, em termos das coordenadas da figura anterior, a lei daviscosidade de Newton é dada por:

dydv

τ xyx µ= ( 8 )

Fluidos Newtonianos

Dividindo a viscosidade absoluta, µµµµ , pela massa específica dofluido, ρρρρ , temos uma outra quantidade útil, a viscosidadecinemática, ou seja:

ρ

µ=ν ( 9 )

Unidades para as grandezas relacionadas

Grandeza SI CGS Britânico

τyx Pa dina/cm2 poundals/ft2

vx m/s cm/s ft/s

y m cm fty m cm ft

µ Pa.s g/cm.s = poise lbm/ft.s

ν m2/s cm2/s = stoke ft2/s

Nota: Pascal, Pa, é o mesmo que N/m2, e Newton, N, é o mesmoque Kg.m/s2. A abreviação para “centipoise” é cP. 1cP = 10-2

poise. 1 stoke (St) = 1 cm2/s. 1 centistokes (cSt) = 10-2 cm2/s

Viscosidade de um fluido:

É a propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao corte;

É a medida da resistência do fluido à fluência quando sobre ele atuauma força exterior como por exemplo um diferencial de pressão ougravidade;

A viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) eA viscosidade mede a resistência de um líquido em fluir (escoar) enão está diretamente relacionada com a densidade do líquido, que éa relação massa/volume. Por exemplo, o óleo de soja utilizado paracozinhar é mais viscoso do que a água, embora seja menos denso.

A maioria dos líquidos viscosos fluem facilmente quando as suastemperaturas aumentam; o comportamento de um fluido quandovaria a temperatura, pressão ou tensão depende do tipo de fluido.

Influência da temperatura na viscosidade dinâmica:

A viscosidade pode mudar com o tempo (todas as outrascondições ficam constantes);A coesão molecular é a causa dominante da viscosidade noslíquidos; à medida que a temperatura de um líquido aumenta,estas forças coesivas diminuem, resultando uma diminuição daviscosidade;Nos gases, a causa dominante são as colisões aleatórias entre asmoléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com amoléculas do gás; esta agitação molecular aumenta com atemperatura; assim a viscosidade dos gases aumenta com atemperatura;Apesar da viscosidade dos líquidos e gases aumentaremligeiramente com a pressão, o aumento é insignificante numintervalo de pressões considerável; assim, a viscosidadeabsoluta dos gases e líquidos é usualmente consideradaindependente da pressão;

2.4- Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos

Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menosviscosos, caracterizam-se por terem uma viscosidade constante, ou seja,seguem a Lei de Newton da viscosidade. São exemplos a água, o leite, osóleos vegetais, etc. Já nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia coma força aplicada (e por vezes com o tempo também) e portanto têmpropriedades mecânicas muito interessantes.Um bom exemplo é o ketchup. Quando o frasco está em repouso o ketchupé muito viscoso, mas quando o inclina ele torna-se menos viscoso e escorre,e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade.e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade.O exemplo da mistura de amido e água é muito fácil de ser realizada emnossa própria casa; uma vez obtida a mistura comprovaremos um fatoinsólito: ao agitá-la lentamente comporta-se como um fluído semi-líquido,mas ao agitá-la com força se mostra dura como uma pedra. Enquanto semexe devagar com uma colher, a mistura terá a textura de uma papinha,mas tente dar um soco e seus dedos toparão com algo tão sólido quantouma parede.Em resumo, de uma forma simplificada, podemos dizer que os fluidos não-newtonianos não possuem uma viscosidade bem definida.

31

32

ττ

Taxa de deformação

33

A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as propriedadesfísicas que influenciam o transporte de quantidade de movimento numfluido. É o ramo da física que estuda a viscosidade, plasticidade,elasticidade e o escoamento da matéria.Podemos então concluir que é a ciência responsável pelo estudo do fluxo edeformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido.

A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida, e a única quecaracteriza os fluidos newtonianos.

A viscosidade aparente, µµµµ , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, aA viscosidade aparente, µµµµap , é a viscosidade dos fluidos não-Newtonianos, aqual é válida para uma determinada taxa de deformação. Em fluidoNewtonianos a idêntica a µµµµ.

A viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de deformação emfluidos pseudoplásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões decisalhamento).

Os fluidos nos quais a viscosidade aparente cresce conforme a taxa dedeformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais espessosquando sujeito a tensões de cisalhamento). 34

Numerosas equações empíricas têm sido propostas para descrever osfluidos não-newtonianos independentes do tempo. Para muitas aplicaçõesda engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadaspelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna-se:

dydv

k n

xyx

=τ

onde o expoente, n, é chamado de índice de comportamento do escoamentoe o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de

µµ ττe o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei deNewton da viscosidade para n = 1 e k = µµµµ. Para assegurar que ττττyx tenha omesmo sinal de dvx/dy, a equação anterior é reescrita na forma:

dydv

dydv

dydv

k dydv

dydv

dydv

k xap

x

1 n

xx

1

x

n

xyx

ap

µτ

µ

=

=

=

−−

43421

onde µµµµap é referenciado como viscosidade aparente do fluido.

35

Esquema de classificação dos fluidos conforme o comportamento reológico:

Um fluido que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, ττττy , sejaexcedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa dedeformação é denominado plástico de Bingham ou plástico ideal. O modelocorrespondente de cisalhamento é:

dy

dv x

apyyx µττ +=

36

Existem materiais que se comportam parcialmente como umfluido e parcialmente como um sólido. Estes são os fluidos

viscoelásticos.

Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como:

- o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, masdescrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluidodescrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluidoem questão;

- a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidosnewtonianos;

- a viscosidade é dependente da temperatura.

37

Viscoelásticos(propriedades elásticas e viscosas acopladas)

Modelo Maxwell(propriedades elásticas)Modelo Kelvin-Voigt(propriedades viscosas)

Estas substâncias quando submetidas à tensão de

cisalhamento sofrem uma deformação e quando cessa,

ocorre uma certa recuperação da deformação sofrida

Massas de farinha de trigo, gelatinas, queijos, líquidos

poliméricos, glicerina, plasma, biopolímeros,

saliva, etc.

Dependente do tempo

Reopético A viscosidade aparente diminuiconforme a duração da tensão

Alguns lubrificantes, suspensão de pentóxido de vanádio e argila bentonita.

Tixotrópico A viscosidade aparente aumentaconforme a duração da tensão

Suspensões concentradas, emulsões, soluções

protéicas, petróleo cru,

Comparativo de propriedades de fluidos não newtonianos:

conforme a duração da tensão protéicas, petróleo cru, tintas, ketchup.

Independente do tempo

PesudoplásticoA viscosidade aparente diminui conforme o aumento da tensão

de cisalhamento .

Polpa de frutas, caldos de fermentação, melaço de

cana.

DilatanteA viscosidade aparente aumentaconforme a duração da tensão

de cisalhamento .

Suspensões de amido, soluções de farinha de milho e açúcar, silicato de potássio

e areia.

Plásticos de Bingham

Este tipo de fluido apresenta uma relação linear entre a

tensão de cisalhamento e a taxa de deformação.

Fluidos de perfuração de poços de petróleo, pasta

dental, maionese, mel, etc.

Herschel-BulkleyA relação entre a tensão de

cisalhamento e a taxa de deformação não é linear.

Sangue, iogurte, purê de tomate, etc.

38

Fluido Herschel-Bulkley:Esses fluidos apresentam o comportamento do tipo lei dapotência com tensão de cisalhamento inicial. É o modelo maisgeral.

dv

n

x

+= µττ

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escoamento de indice n

dydv

xapyyx

=

+= µττ

Classificados em dois grupos: primário e secundário

Determinação simultânea da tensão de cisalhamento e taxa dedeformação num mesmo ponto do aparelho de medição

Há viscosímetros: rotacionais e capilares.

Instrumentos que realizam medidasdiretas da tensão e da taxa de deformação

2.5- Determinação experimental de propriedades reológicas

do fluido;De disco, de cone-disco e o de cilindro

rotativo;Todos eles visando a reprodução do

escoamento entre placas planas paralelas.Podem ser aplicados para ensaios tanto

de fluidos Newtonianos como de fluidoscom comportamento tensão versusdeformação não-linear e/ou visco-elástico.

Primários

Esquema de viscosímetros primários

µ = viscosidade;Ω = velocidade angular aplicadaα = ângulo do coneR = raioR = raioB = distância;T = torque medido, que resulta da tensãooriunda da deformação do fluido.

Viscosímetro primário de Brookfield

muito popular pela facilidade de manuseio.

"spindles" cada um apropriado"spindles" cada um apropriadopara medir a viscosidade de fluidosem uma faixa específica: os de menordiâmetro, as maiores viscosidades; osde maior diâmetro, as menoresviscosidades.

Inferem a razão entre a tensão aplicada e ataxa de deformação por meios indiretos, semmedir a tensão e deformação diretamente;

aplicam-se somente a fluidos Newtonianos,por medirem a viscosidade indiretamente.

Secundáriospor medirem a viscosidade indiretamente.

Viscosímetro capilar e viscosímetro deStokes.

A viscosidade é obtida atravésde medições do tempo dequeda livre de uma esferaatravés de um fluidoestacionário.

Viscosímetro de Stokes

g = aceleração da gravidade

D = diâmetro da esfera

ρρρρs = densidade da esfera

ρρρρf = densidade do fluido

V = velocidade terminal de queda livre, isto é, a razão entre a distância L e o intervalode tempo ∆∆∆∆t.

* Esta relação aplica-se somente para esferas em queda livre em meio infinito, comReynolds menores do que 1.

Viscosímetro Capilar

A viscosidade é obtida por meio damedida do gradiente de pressão de umescoamento laminar em um tubo.

Q = vazão volumétrica

L = distância entre as tomadas de pressão

∆∆∆∆P = diferença de pressão

D = diâmetro do tubo capilar

Fácil manuseio;A viscosidade está relacionada com o

tempo de esvaziamento de um copo devolume conhecido que tem um orifíciocalibrado na sua base;

Conjunto de orifícios-padrão (giglê)feitos de bronze polido

Viscosímetro Copo Ford

feitos de bronze polidoO orifícios de número 2, 3 e 4 são

utilizados para medir líquidos de baixaviscosidade, na faixa de 20 a 310centistokes;

Os orifícios de número 5, 6, 7 e 8 paralíquidos de viscosidade superior a 310 cSt.

2.5- Algumas propriedades dos fluidos2.5.1- Massa específicaA massa específica de uma substância, designada por ρρρρ , é definida como amassa de uma substância contida numa unidade de volume. Estapropriedade é normalmente utilizada para caracterizar a massa de umsistema fluido.

etc. ;L

kg;

cm

g;

m

kg

V

m

33

=ρ

2.5.2- Volume específicoO volume específico, νννν , é o volume ocupado por uma unidade de massa dasubstância considerada. Note que o volume específico é o recíproco damassa específica, ou seja:

Normalmente não é utilizado o volume específico na mecânica dos fluidos,mas é uma propriedade muito utilizada na termodinâmica.

etc. ;kgL

;g

cm;

kgm

1

33

=

ρν

47

2.5.3- Peso específicoO peso específico de uma substância, designada por γγγγ , é definido como opeso da substância contida numa unidade de volume. O peso específico estárelacionado com a massa específica através da relação:

onde g é a aceleração da gravidade padrão (9,807 m/s2). Note que o pesoespecífico é utilizado para caracterizar o peso do sistema fluido enquantoque a massa específica é utilizada para caracterizar a massa do sistemafluido.

= etc. ;

ftlbf

;cmdina

;mN

ρ.g γ333

fluido.

2.5.4- Densidade relativaA densidade relativa de um fluido, designada por SG ( specific gravity ), édefinida como a razão entre a massa específica do fluido e a massaespecífica da água a 4°°°°C (ρρρρágua = 1000 kg/m3). Nesta condição, temos:

( Adimensional ) ρ

ρ SG

C4 a água

fluidofluido

0

=

48

2.6- Lei dos gases perfeitosOs gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Sob certascondições, a massa específica de uma gás está relacionada com a pressão e atemperatura através da equação:

ρRT RTVm

PM

perfeitos) gases dos (lei RTMm

nRT PV

==

==

.atm/mol.Kcm 82,05 R

absoluta ra temperatu T

ideais gases dos universal constante R

gás domolar massa M

gás do absoluta Pressão P

RTPM

ρ

ρRT RTV

PM

3=

=

=

=

=

=

==

49