corte aterro
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS – UNICAMP
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT
Erivaldo Morais de Araújo RA: 060449
Movimento de Terra II
Cálculo de Corte e Aterro
LIMEIRAJunho 2014
Erivaldo Morais de Araújo
Movimento de Terra II
Cálculo de Corte e Aterro
Texto técnico apresentado como requisito parcial
para obtenção de aprovação na disciplina ST 732 A –
Movimento de Terra II, no Curso Superior Tecnologia
em Estradas, na Faculdade de Tecnologia – FT.
Prof. Rogério Durante
RESUMO
Para o engenheiro projetista de estradas, uma das principais metas durante a
elaboração de um projeto é encontrar uma solução que permita a construção da estrada com o
menor movimento de terras possível, cumprindo, logicamente, as normas de um traçado
racional.
O custo do movimento de terra é, na maioria dos projetos, significativos em relação ao
custo total da estrada, sendo portanto um item importante a ser analisado. Nos locais onde os
materiais de corte tiverem condições de serem usados nos aterros, o equilíbrio entre volumes
de cortes e aterros, minimizando empréstimos e/ ou bota-foras, acarreta em menores custos de
terraplenagem.
Para o cálculo do volume de terra a mover numa estrada, é necessário supor que existe
um determinado sólido geométrico, cujo volume será facilmente calculado.
O método usual consiste em considerar o volume como proveniente de uma série de
prismóides (sólidos geométricos limitados nos estremos por faces paralelas e lateralmente por
superfícies planas). No campo, as faces paralelas correspondem às seções transversais
extremas, e as superfícies planas laterais correspondem à plataforma da estrada, aos taludes e
à superfície do terreno natural.
Palavras chaves: Movimento de terra, Corte e Aterro, Métodos de Cálculo.
SUMÁRIO
1. Tipos de Movimento de Terra........................................................................................1
2. Classificação Segundo o tipo de Solo a Ser Movimentado...........................................2
3. Formas de contratação, Medição e Controle dos Serviços............................................3
3.1 Controle dos Serviços..................................................................................................4
3.2 Medição dos serviços...................................................................................................5
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA...................................................................................6
1
1. Corte
São segmentos onde a implantação da geometria projetada requer a escavação do
material constituinte no terreno. As operações de corte compreendem a escavação
propriamente dita, a carga, o transporte, a descarga e o espalhamento do material no destino
final (aterro, bota-fora ou depósito), conforme indica a Figura 01.
Figura 01: CorteFonte: engenhariacivilfsp.files.wordpress.com
2. Aterro
Preparar o terreno a fim de obter uma configuração desejada, através da deposição de
terra. Os aterros, quando necessários, devem ser realizados acompanhados dos serviços de
compactação, ou seja passar repetidas vezes os equipamentos nos locais aterrados, conforme
indica a Figura 02.
2
Figura 02: AterroFonte: engenhariacivilfsp.files.wordpress.com
3. Secção mista
Situação combinada de corte e aterro. Também exige a compactação e em pequenas
áreas aterradas esta pode ser feita manualmente através de equipamentos, os chamados
“sapos”, que podem ser rudimentares e fabricados em obras ou mecanizados.
Em determinadas situações, é possível que a terraplamagem seja basicamente de
acerto na conformação do terreno, não envolvendo nem importação nem exportação de
material. Para tanto, utiliza-se trator de esteira para fazer tal trabalho, não devendo a distância
entre os centros geométricos dos volumes escavados e dos aterrados ser superior a 40,00 m.
Caso esta distância ultrapasse os 40,00 m, recomenda-se a utilização de caminhões para
realizar o transporte, conforme a Figura 03.
3
Figura 03: Secção mistaFonte: engenhariacivilfsp.files.wordpress.com
4. Métodos de cálculo
4.1 Método das alturas ponderadas
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume deseja-se
calcular em sólidos menores, mais fáceis de calcular o volume. Estes sólidos são
normalmente de base quadrada ou triangular. Sua utilização típica é em escavações,
podendo no entanto também ser aplicado a volume de barragens e outras obras de
engenharia.
Para realizar o cálculo do volume vamos fazer a seguinte consideração: imaginemos um
sólido de base quadrada e área igual a Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e Z4. O
volume deste sólido será dado pelo produto da área da base pela média das alturas das arestas,
conforme mostra a Equação 01 abaixo.
V = Q . (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4 Equação 01
4
Área Q
Figura 04: Sólido regular de base quadrada
Na prática o terreno é dividido em uma malha regular e cada ponto desta malha
tem a sua cota calculada por algum método de nivelamento. Então é definida a cota de
escavação, ou seja a cota em que o terreno deverá ficar após a retirada do material. A partir
destas informações é possível calcular as alturas dos sólidos para o cálculo do volume. O
exemplo a seguir ilustra esta questão.
Vamos imaginar que queremos calcular o volume de corte de um terreno hipotético de
10x10m, cujas cotas dos cantos são dadas (Figura 5-a). Num primeiro momento queremos
calcular o volume de corte necessário para deixar o terreno plano na cota 85 m e depois 84 m.
No primeiro caso vamos ter que calcular o volume de um sólido, conforme mostra a
figura 5-b. Observe que para o ponto A o sólido terá uma aresta igual a 2m, resultado da
diferença entre a cota do ponto A no terreno (87 m) e a cota do plano em que vai ficar o
terreno (85m). Para os demais pontos o raciocínio é o mesmo para a determinação das alturas
das arestas do sólido. Para o primeiro caso (Figura 5-b) o volume de escavação será de 225
m3 e para o segundo (Figura 5-c) de 325 m3. 88,0 m
87,0 m 88,0m 87,0 m 88,0 m
A B 86,0 m A B
10,0 m C 2m D 3 m 3 m
C 10,0 m D 1 m
86,0 m 88,0 m Plano de Cota
Z3
Z4Z1
Z2
5
a) 85m
b)
B 88,0 m
87,0 m 88,0 m
A D
86,0 m 3 m 4 m
C 4 m
2 m
Plano de Cota 84m C )
Figura 05: Volume pelo método das alturas ponderadas.
Para uma malha de pontos podemos calcular o volume de cada célula da malha e
depois somar todos os volumes, conforme mostra o próximo exercício. A partir deste vamos
deduzir uma fórmula geral para o cálculo pelo métodos das alturas ponderadas.
Para a malha quadrada abaixo, de lado igual a L, calcular o volume de corte. São
dadas as alturas de cada um dos sólidos.
A B C
P1 P2
D E F
P3
G H
Q = L.L
6
VP1= Q. (A + B + D + E)/4
VP2= Q. (B + C + E + F)/4
VP3= Q. (E + F + G + H)/4
Volume Total = VP1 + VP2 + VP3
Volume Total = [Q. (A + B + D + E)/4] + [Q. (B + C + E + F)/4] + [Q. (E + F + G +
H)/4]
Volume Total = Q/4 . (A + B + D + E + B + C + E + F + E + F + G + H)
Volume Total = Q/4 . (A + 2B + C + D + 3E + 2F + G + H)
Volume Total = Q/4 . (A + C + D + G + H + 2B + 2F + 3E)
Esta última equação seria o resultado do exercício. Notar que os pontos que entram
somente no cálculo de um sólido recebem peso 1 (ponto A por exemplo), pontos que entram
no cálculo do volume de dois sólidos peso 2 (pontos B e F) e finalmente, para pontos
utilizados no cálculo do volume de 3 sólidos peso 3 (ponto E). A partir desta dedução é
possível chegar a uma fórmula geral para o cálculo do volume através do método das alturas
ponderadas:
V=Q4. (∑D1+2∑D2+3∑D3+4∑D4)
Onde os pesos 1, 2, 3 e 4 correspondem:
1 – Pontos localizados nos cantos da malha.
2 – Pontos localizados nas bordas da malha.
3 – Pontos localizados em cantos reversos da malha.
4 – Pontos localizados no interior da malha.
3 4
2
7
A figura 06 abaixo mostra os pesos que cada tipo de vértice recebe, conforme visto
anteriormente.
1 2 2 1
1 2
1 1
Figura 06: Pesos atribuídos a cada um dos vértices da malha.
Para a determinação da malha no terreno procederemos da seguinte forma: a
primeira etapa é a quadriculação do terreno (Figura 07- a). Esta etapa pode ser realizada
somente a trena ou com auxílio de um instrumento como um teodolito ou estação total.
No exemplo da figura 07 os pontos da malha foram materializados por piquetes. Depois
faz-se a determinação das cotas ou altitudes dos pontos, através de algum método de
nivelamento (Figura 07- b). Finalmente após a escavação teremos o terreno na forma
requerida pelo projeto (Figura 07- c).
a )
8
b)
c)
Figura 07: Determinação da malha no terreno.
Em alguns casos pode ser necessário que o volume de corte seja igual ao volume de
aterro. Imaginemos que calculamos para o sólido formado pelas cotas A, B, C e D (figura
08) o volume de corte para uma determinada cota de escavação. Agora queremos calcular
qual seria a cota para a qual o volume de corte seja igual ao volume de aterro (esta cota tem
um nome específico: cota de passagem – Cp). Neste caso o volume do sólido ABCD tem que
ser igual ao volume final do paralelogramo formado. Assim, como a área da base e o volume
são os mesmos para ambos os casos, o que vai mudar é cota de escavação.
9
A Corte Aterro
D B
C
hPlano da cota escavação
Figura 08: Cota de passagem
Então para uma cota de escavação Co encontramos um volume Vo. Agora
queremos calcular um valor de cota de passagem (Cp) para qual o volume de corte
compensaria o volume de aterro.
Vo = S . h
Onde S = área da base
h = Vo / S
Este valor de h está referenciado ao plano de cota Co, então o valor final da cota de
passagem será:
Cp = Co + h
Cp = Co + Vo/S
Podemos também, ao invés de utilizar uma malha quadrada, utilizar uma malha
triangular para efetuar o cálculo do volume, conforme mostra a figura abaixo, aonde a área
total foi dividida em 8 triângulos. Como todos os triângulos possuem a mesma área vamos
chamar esta malha de malha triangular regular. Posteriormente veremos o porque desta
classificação, conforme a Figura 09.
P1
P2 5
P3
P4
P5
P6
P7
P8
10
1 2 3
4 6
7 9
Figura 09: Malha Triangular regular.
O princípio de cálculo será o mesmo utilizado anteriormente, somente que agora
vamos trabalhar com sólidos triangulares (figura 10).
Z2
Z3 Z1
Plano de referência
Figura 10: Sólido triangular
O volume será dado por:
V=A .(Z1+Z2+Z3)
3
No exemplo da Figura 09 podemos notar que o ponto 4 é utilizado no cálculo do
volume de três sólidos (P1, P2 e P5), o ponto 1 em um sólido (P1), o ponto 5 em seis
11
sólidos (P2, P3, P4, P5, P6 e P7), etc. Então podemos definir uma equação geral para o
cálculo de volumes em malhas triangulares regulares:
V= A3.(∑D1+2∑D2+3∑D3+…+n∑Dn)
Onde:
A – Área plana do triângulo
1 – Pontos que são vértices de apenas um triangulo.
2 – Pontos que são vértices de dois triângulos.
N – Pontos que são de “n” triângulos.
Poderemos também trabalhar com malhas triangulares irregulares. Porém neste
caso teremos que calcular o volume de cada um dos sólidos triangulares
independentemente, pois as áreas dos sólidos serão diferentes, conforme Figura 11.
1
2
65
37
4
9
8
Figura 11: Malha triangular irregular.
A área de cada triângulo poderá ser calculada pela fórmula apresentada a seguir, entre
outras, conforme Figura 12.
12
B
a c
C b A
Figura 16: Cálculo da área de um triangula qualquer.
Area=√ p . ( p−a ) . ( p−b ) .( p−c)
n=(a+b+c )
2
Também podemos calcular a cota de passagem pela média ponderada das cotas dos
prismas triangulares. A ponderação é uma função do número de sólidos triangulares que cada
ponto entra no cálculo. Cabe ressaltar que somente podemos utilizar esta forma de cálculo
porque todos os triângulos possuem a mesma área.
4. Métodos das seções Transversais.
A aplicação desta fórmula supõe seções planas paralelas entre si, espaçadas de uma
distância “d” (Figura 17). O volume será dado por:
A2
A1
d
Figura 17: Seções paralelas.
13
Volume=d .( A1+A2
2 )
Esta fórmula é largamente empregada em estradas e ferrovias, nos cálculos de corte
e aterro. Para uma mesma seção poderemos ter áreas de corte e aterro, que posteriormente
significarão volumes de corte e aterro. A Figura 18 ilustra esta questão.
Ac2
Aa2
Ac1
Aa1
d = distância entre Perfil projetado
as seções Perfil do
terreno
Corte Aterro
Figura 18: Seções de corte e aterro.
Vcorte=d .( Ac1+Ac2
2 )
14
Vaterro=d .( Aa1+Aa2
2 )
O mais complicado e demorado deste método é o cálculo das áreas das seções
transversais. A aplicação da fórmula em si é muito simples. Antes de partirmos para um
exemplo de cálculo, vejamos a nomenclatura utilizada nas seções transversais a serem
calculadas no próximo exercício, as quais são apresentadas na Figura 19.
Corte
eixo off-set: distância/cota
terreno: cota
greide: cota bordo: distância/cota
off-set off-set
variável variável
plataforma
Aterro
eixo
bordo: distância/cota greide:cota
terreno:cota off-set: distância/cota
off-set off-set
variável variável
plataforma
Figura 19: Nomenclatura das seções transversais.
15
5. Superfícies Equidistantes
E uma metodologia de cálculo chamada de Superfícies Eqüidistantes, que na
realidade segue o mesmo princípio do cálculo do método das seções transversais, porém
agora ao invés de trabalharmos com seções verticais, utilizaremos seções horizontais. A
fórmula para cálculo é a seguinte e conforme Figura 20.
Volume=d .( A1
2+A2+A3+…+An−1+
An2 )
Onde n é o numero de seções.
15 S3
10
5 S2
S1
Figura 20: Superfícies equidistantes.
6. Diagrama de Massas (ou Diagrama de BRUCKNER)
O diagrama de massas (ou de Bruckner), facilita sobremaneira a análise da
distribuição dos materias escavados. Essa distribuição corresponde a definir a origem e o
destino dos solos e rochas objeto das operações de terraplenagem, com indicação de seus
volumes, classificações e distâncias médias de transporte. Após calcular as áreas das seções
transversais e os volumes dos prismóides, pode-se preparar uma tabela de volumes
acumulados (Tabela 01), que serve como base para construção do diagrama.
Para a construção do diagrama, calculam-se inicialmente as chamadas ordenadas de
Bruckner. Estas ordenadas correspondem aos volumes de cortes (considerados positivos) e
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aterros (considerados negativos) acumulados sucessivamente. A somatória dos volumes é feita
a partir de uma ordenada inicial arbitrária.
No caso de seções mistas, a compensação lateral é obtida de forma automática quando
do cálculo das ordenadas de Bruckner, pois os volumes de corte e de aterro são considerados
em cada seção, de forma que o acréscimo ou decréscimo nas ordenadas será dado pela
diferença entre os dois volumes considerados. Pode-se dizer que a compensação lateral será o
menor dos dois volumes e que o volume disponível para compensação longitudinal, que afeta
as ordenadas, será a diferença entre esses volumes.
As ordenadas calculadas são plotadas, de preferência sobre uma cópia do perfil
longitudinal do projeto. No eixo das abscissas é colocado o estaqueamento e no eixo das
ordenadas, numa escala adequada, os valores acumulados para as ordenadas de Bruckner,
seção a seção. Os pontos assim marcados, unidos por uma linha curva, formam o Diagrama de
Bruckner.
Tabela 01: Cálculo de Volumes e Ordenadas de Bruckner
A seguir, será explicado sucintamente cada uma das colunas da Tabela 01.
Coluna 1 – Estaca dos pontos onde foram levantados as seções transversais.
Normalmente são as estacas inteiras do traçado. Estacas fracionárias são utilizadas nos pontos
de passagem (PP).
Coluna 2 – Áreas de corte, medidas nas seções.
Coluna 3 – Áreas de aterro, medidas nas seções.
Coluna 4 – Produto da coluna 3 pelo fator de homogeneização (Fh).
Coluna 5 – Soma das áreas de corte de duas seções consecutivas na coluna 2.
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Coluna 6 – Soma das áreas de aterro de duas seções consecutivas na coluna 4.
Coluna 7 – Semidistância entre seções consecutivas.
Coluna 8 – Volumes de corte entre seções consecutivas.
Coluna 9 – Volumes de aterro entre seções consecutivas.
Coluna 10 – Volumes compensados lateralmente (não sujeitos a transporte longitudinal).
Coluna 11 – Volumes acumulados, obtidos pela soma algébrica acumulada dos volumes
obtidos nas colunas 8 e 9. Os volumes acumulados são colocados como ordenadas ao final da
estaca.
A Figura 21 apresenta o perfil longitudinal de um trecho de estrada e o diagrama de
massas correspondente.
Figura 21: Perfil longitudinal e diagrama de massas.
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7. Fator de Homogeneização de Volumes
O fator de homogeneização (Fh) é a relação entre o volume de material no corte de
origem, e o volume de aterro compactado resultante. Na fase de anteprojeto este fator é em
geral estimado. Um fator Fh = 1,4 indica que será necessário escavar cerca de 1,4 m 3 corte
para obter 1 m de aterro compactado, conforme Figura 22 .
Figura 22: Expansão e concentração de solos durante á terraplenagem.
Na etapa de projeto, Fh pode ser avaliado pela relação abaixo:
Fh=γ scompγ scorte
Onde:
γscomp = massa específica aparente seca após compactação do aterro;
γscorte = massa específica aparente seca do material no corte de origem.
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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
Noções de Topografia Para Projetos Rodoviarios. Disponivel http://www.topografiageral.com/Curso/capitulo%2018.php acesso 07/06/2014
engenhariacivilfsp.files.wordpress.com/.../aula-3-movimento-de-terra.do...
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/robison/materiais/AULA_12___CALCULO_DE_VOLUMES_E_DIAGRAMA_DE_BRUCKNER.pdf
Notas de Aula Topografia Cálculo de Volumes Disponivel http://www.cartografica.ufpr.br/home/wp-content/uploads/2012/11/Volume2006a.pdf
http://www.topografiageral.com/Curso/capitulo%2018.php
Notas de Aula, Trabalhos Preliminares de Construção. Disponívelhttp://demilito.com.br/2-trabalhos_preliminares-rev.pdf acesso 05/03/2014
Notas de Aula, Movimento de Terra, Disponível.
20
http://www.grupoge.ufsc.br/publica/material-complementar/movimento_terra%20USP.pdf acesso 05/03/2014
Notas de Aula,Movimento de Terra, Disponível http://profmarcopadua.net/movterr4.pdf acesso 05/03/2014
Titulo04MT.--.movimento de Terra, Disponível http://arquitectos.pt/documentos/1164040524D7sIA9ws4Sk25HI8.pdf
Acesso 06/03/2014