coordenação hidrotérmica de médio prazo usando uma função de

COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO

PRAZO USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO

HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA

Renan Monteiro de Andrade

Rio de Janeiro

Abril de 2016

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro Eletricista.

Orientador(es): Carmen Lúcia Tancredo Borges

André Luiz Diniz Souto Lima Lima, D. Sc.

COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO PRAZO

USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO



PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE

DO CURSO DE ENGENHARIA DE ELÉTRICA DA ESCOLA

POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA.

Examinada por:

___________________________________

Carmen Lúcia Tancredo Borges, D. Sc.

___________________________________

André Luiz Diniz Souto Lima, D. Sc.

________________________________________

Glauco Nery Taranto, D.Sc.

______________________________________

Tiago Norbiato dos Santos, M. Sc.

Rio de Janeiro

Abril de 2016

Andrade, Renan Monteiro de

Coordenação Hidrotérmica De Médio Prazo Usando Uma Função

De Produção Hidroelétrica Múltipla / Renan Monteiro de Andrade. –

Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.

90 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadora: Carmen Lúcia Tancredo Borges

Co-orientador: André Luiz Diniz Souto Lima

Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Departamento

de Engenharia Elétrica, 2016.

Referências Bibliográficas: p. 79-81

1.Função de Produção Hidroelétrica. 2. Planejamento Hidrotérmico.

3. Modelo Linear Por Partes. 4. Programação Linear. I. Andrade,

Renan Monteiro de, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

UFRJ, Engenharia Elétrica, III. Coordenação Hidrotérmica De Médio

Prazo Usando Uma Função De Produção Hidroelétrica Múltipla

iv

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a minha família, irmãos e avós, por todo o amor e apoio.

Agradeço em especial aos meus pais, Ricardo e Mara, pela educação, pelo incentivo,

pelos valores e pelo suporte que sempre procuraram me passar. Por sempre terem se

sacrificado, diante de todos os percalços que a vida nos proporciona, para que eu

obtivesse a melhor educação possível. Sem eles nada disso seria possível. Meu muito

obrigado por estarem comigo em todos os momentos importantes da minha vida.

Agradeço a todos os professores do Departamento de Engenharia Elétrica da Poli que

contribuíram para minha formação pessoal e acadêmica, compartilhando seus

conhecimentos e experiências de vida. Em especial a professora Carmen Lúcia

Tancredo Borges, por abrir meu interesse pela área de sistemas de Energia, pela

oportunidade e apoio na elaboração deste trabalho, pela paciência e tranquilidade com

que coordenou esse trabalho, sempre me passando segurança, meu mais sincero

obrigado.

Meu profundo agradecimento aos funcionários do CEPEL, do departamento de

Otimização e Meio Ambiente (DEA) e em especial aquele que me acolheu nesta

empresa, me conduzindo pelos caminhos da pesquisa com paciência, maestria e

confiança na minha capacidade: meu co-orientador André Luiz Diniz.

Agradeço imensamente aos meus amigos de longa data e a todos com que tive o prazer

de cultivar amizade durante a Graduação e que serão levados para toda a vida. Com

vocês esses anos de curso, que poderiam ser uma difícil jornada, se transformaram em

uma viagem prazerosa e inesquecível, que será sempre lembrada com certa nostalgia e

saudade.

v

À Marcelle que sempre esteve solicita e disposta a me ajudar e contribuir para meu

sucesso. Obrigada pela paciência, por todo o carinho e amor que me proporcionou.

Agradeço por fim a Deus por minha vida, família e amigos. Pela saúde e força para

superar as dificuldades.

A todos vocês o meu sincero muito obrigado.

“Because limits, like fears, are often

just an illuision”

Lima, D. Sc.

- Michael Jordan

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA DE MÉDIO PRAZO

USANDO UMA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO



Abril/2016

Orientador: Carmen Lúcia Tancredo Borges, D.Sc.

André Luiz Diniz Souto Lima, D.Sc.

Departamento: Engenharia Elétrica

Apresenta-se um modelo agregado para a função de produção hidroelétrica, que

condensa em uma única função a geração em um conjunto composto por reservatórios de

montante e diversas usinas a fio d´água a jusante em um trecho de cascata. Obtém-se

uma expressão exata da geração desse conjunto de usinas a partir dos armazenamentos e

defluências dos reservatórios de montante e realiza-se uma aproximação linear por partes

dessa função. Essa estratégia permite reduzir a complexidade do problema de

planejamento da operação hidrotérmica de médio/longo prazos, ao mesmo tempo em que

se representam aspectos importantes da operação individualizada das usinas, sendo uma

alternativa competitiva ao uso de reservatórios equivalentes de energia.

Palavras-chave: Função de Produção Hidroelétrica, Planejamento Hidrotérmico,

Modelo Linear por Partes, Programação Linear.

vii

Abstract of Graduation Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requiremnts for the degree of Electrical Engineer

AN EXACT MULTI-PLANT HYDRO POWER PRODUCTION FUNCTION FOR MID/LONG TERM HYDROTHERMAL

COORDINATION


April/2016

Advisors: Carmen Lúcia Tancredo Borges, D.Sc.

André Luiz Diniz Souto Lima, D.Sc.

Department Electrical Engineering

This paper proposes a new exact “Multi-plant hydro production function (MHPF)”, which

depends on the storage and discharge of a given reservoir power plant and comprises not only

its generation but also the power output to all subsequent run-of-the-river plants until the next

reservoir. Based on this function we build a piecewise linear model that can be embedded in

stochastic linear programs for optimal hydrothermal coordination.

Keywords: Hydroelectric power generation, linear programming, power generation

planning.

viii

Sumário

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

1.1 Contexto ...................................................................................................................... 1

1.2 Objetivos e Relevância do Trabalho ............................................................................ 2

1.3 Organização / Estrutura da Dissertação ...................................................................... 4

2. FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDROELÉTRICA .................................................................... 5

2.1 Função de produção exata (FPH) ................................................................................ 6

2.2 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada Individual ........................................ 9

2.2.1. Modelo Linear por partes com variável defluência ........................................... 14

2.2.2. Modelo Linear por partes com turbinamento e vertimento independentes .... 15

3. FUNÇÃO DE PRODUÇÃO HIDROELÉTRICA MÚLTIPLA ................................................. 16

3.1 Identificação de uma usina agregada ....................................................................... 17

3.2 Exemplo de cálculo da FPHM - caso simples (usinas em série) ................................ 18

3.2.1. Apenas uma usina a fio d´água .......................................................................... 18

3.2.2. Diversas usinas a fio d´água ............................................................................... 20

3.3 Caso em V .................................................................................................................. 21

3.3.1. Representar como uma única usina .................................................................. 22

3.3.2. Utilizar modelos diferentes para os reservatórios e o conjunto de usinas a fio

d’água 24

3.4 Algoritmo de Identificação de uma Usina agregada ................................................. 25

4. CÁLCULO DA ENVOLTÓRIA CONVEXA ........................................................................ 28

4.1 Algoritmos para a construção da envoltória convexa ............................................... 29

4.1.1. Brute Force: ........................................................................................... 30

4.1.2. Gift Wrapping: ....................................................................................... 30

ix

4.1.3. Divide-and-Conquer: ...................................................................... 31

4.1.4. Quick Hull: ........................................................................... 31

4.2 Implementação no programa ................................................................................... 32

4.2.1. Dados de Entrada ............................................................................................... 32

4.2.2. Construção dos planos ....................................................................................... 33

4.2.3. Saída ................................................................................................................... 34

4.2.4. Análise de Sensibilidade .................................................................................... 34

5. MODELO LINEAR POR PARTES PARA A FPHM ............................................................ 37

5.1 Hipóteses iniciais e dados disponíveis ...................................................................... 38

5.2 Cálculo da função exata em uma grade de discretização. ........................................ 39

5.3 Cálculo da envoltória convexa .................................................................................. 40

5.4 Aplicação de um fator de ajuste ............................................................................... 41

5.5 Expressão final para a função ................................................................................... 42

6. REFORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE COORDENAÇÃO HIDROTÉRMICA

CONSIDERANDO A MODELAGEM PROPOSTA ............................................................ 44

6.1 Função Objetivo ........................................................................................................ 45

6.1.1. Penalidades para violação de restrições ............................................................ 46

6.2 Função de produção hidroelétrica ............................................................................ 46

6.2.1. Formulação com gerações individuais ............................................................... 46

6.2.2. Formulação com FPHAG .................................................................................... 46

6.3 Balanço hídrico .......................................................................................................... 47

6.3.1. Formulação Tradicional ..................................................................................... 47


6.4 Atendimento à demanda .......................................................................................... 49



6.5 Limites para as variáveis de geração ......................................................................... 50



6.6 Limites para as variáveis de operação hidráulica...................................................... 51



x

6.7 Síntese das modificações .......................................................................................... 52

7. PÓS-PROCESSAMENTO APÓS A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PARA OBTER

OPERAÇÃO INDIVIDUALIZADA DAS USINAS ............................................................... 53

7.1 Gerações individuais ................................................................................................. 53

7.2 Operação hidráulica .................................................................................................. 54

8. RESULTADOS NUMÉRICOS PARA O SISTEMA BRASILEIRO .......................................... 56

8.1 Analise do formato da FPHM .................................................................................... 56

8.2 Modelagem linear por partes da FPHAG .................................................................. 62

8.2.1. Descrição do sistema ......................................................................................... 63

8.2.2. Inequações construídas para algumas usinas agregadas .................................. 64

8.2.3. Análise dos desvios ............................................................................................ 67

8.3 Problema de coordenação hidrotérmica com a FPHAG ........................................... 69

8.3.1. Análise do tamanho do problema ..................................................................... 71

8.3.2. Análise do custo computacional ........................................................................ 73

9. CONCLUSÕES ........................................................................................................... 76

9.1 Considerações Gerais ................................................................................................ 76

9.2 Trabalhos Futuros ..................................................................................................... 78

10. REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 79

11. APÊNDICE A : COEFICIENTES DOS PLANOS QUE FORMAM AS ENVOLTÓRIAS

CONVEXAS DAS USINAS AGREGADAS PARA O CASO DE 50 USINAS ( SEÇÃO 8.2 ) ....... 82

1

1. Introdução

1.1 Contexto

Em sistemas de energia elétrica com base hidrotérmica, o problema do Planejamento da

Operação Energética, ou Coordenação Hidrotérmica, pretende estimar quanto deve

produzir cada usina hidroelétrica – UHE e Usina Termoelétrica – UTE ao longo de um

determinado horizonte de tempo, de modo que a demanda de energia seja atendida de

maneira confiável e otimizada, isto é, ao menor custo de operação possível, satisfazendo

porém determinados critérios de segurança. O uso adequado da energia hidroelétrica,

disponível em quantidades limitadas na forma de água armazenada nos reservatórios,

torna a operação do sistema complexa, pois estabelece um compromisso entre a decisão

de operação imediata e as consequências futuras desta decisão. No Brasil, tem-se

utilizado já há bastante tempo uma cadeia de modelos para a coordenação hidrotérmica

[1], cuja integração em geral é feita através do estabelecimento de valores da água.

O foco dos modelos de mais longo prazo, na cadeia da coordenação hidrotérmica, é a

modelagem das incertezas, em especial as vazões afluentes aos reservatórios [2] e [3],

enquanto os componentes do sistema são representados com menos detalhamento.

Desse modo, é comum a utilização de uma modelagem equivalente para os reservatórios

e a consideração da transmissão apenas por meio de grandes troncos, como em [1] e

[4].

Em horizontes de apenas alguns meses, com discretização semanal, a importância de

uma modelagem individualizada [5] das UHEs passa a ser discutida, podendo-se adotar

uma abordagem híbrida, onde parte do sistema é composto de usinas individualizas e

parte por reservatórios equivalentes [6].

2

Finalmente, para o problema de programação diária se torna de grande importância uma

representação com detalhes da operação das unidades térmicas e hidroelétricas. Além

disso, a rede elétrica pode também ser modelada de forma mais profunda [7] e [8].

Este trabalho será focado, em específico, para modelos de médio prazo, que consistem

em determinar uma política de operação para as usinas do sistema, ao longo de um

horizonte de vários meses ou anos, de forma que a função objetivo, que pode incorporar

tanto aspectos associados ao custo de operação como critérios de segurança operativa

[9], seja minimizada.

1.2 Objetivos e Relevância do Trabalho

Um aspecto de fundamental importância nos modelos de coordenação hidrotérmica é a

modelagem da geração das usinas hidroelétricas, que como será mostrado adiante, é em

geral uma função não linear do seu estado – volume armazenado e de sua operação –

turbinamento e vertimento. Essa função costuma ser chamada de “Função de Produção

Hidroelétrica Individual” – FPH. Modelos aproximados, que linearizam essa função

sem perder a característica da produtividade variável das usinas, para serem usados no

problema de despacho hidrotérmico como um problema de programação linear (PLL)

foram criados sob diferentes formulações.

Nos modelos de médio e longo prazo que se utilizam de equivalentes para as UHE, a

produtividade variável dessas usinas podem ser representadas, por exemplo, por meio

de parábolas que ajustam algumas grandezas associadas ao reservatório equivalente,

como a energia afluente e a geração máxima [4]. Pode-se também utilizar uma função

não linear que relaciona a geração do reservatório equivalente com seu deplecionamento

[1]. Essas funções conseguem considerar, de forma generalizada, a variação da

produtividade com o nível de armazenamento nos reservatórios. Porém, perde-se certa

acurácia na modelagem do parque hidráulico, pelo fato de ser representar a operação das

usinas hidroelétricas por meio de balanços de energia.

No modelo individualizado, se considera a representação da operação individual de cada

uma das UHEs presentes no sistema e formulam-se diretamente os balanços hídricos.

Isso permite maior acurácia na representação de diversos aspectos e no problema como

um todo, porém para a coordenação hidrotérmica com um horizonte longo e um grande

3

cenário hidrológico, essa representação individualizada da geração pode levar o sistema

a tempos computacionais impraticáveis para resolver o problema.

Esse trabalho irá apresentar um novo tipo de representação do parque elétrico, que

consiste em um modelo intermediário entre a modelagem equivalente a individualizada

das UHEs, onde usinas com reservatório são agrupadas com sequencias de usinas a fio

d’água a jusante nas cascatas, compondo o que denominaremos de Usinas “Agregadas”.

Esse modelo agregado foi idealizado com base na constatação de que a operação do

parque hidráulico é ditada pelos reservatórios, uma vez que as fio d’água irão

naturalmente defluir, por turbinamento ou vertimento, toda a água proveniente das

usinas de montante e das afluências naturais incrementais. Essa representação não

impede que se represente no problema de coordenação hidrotérmica os aspectos

principais da operação individualizada de todas as usinas do sistema, como o balanço

hídrico, afluências naturais, evaporação, a função de produção hidroelétrica e eventuais

restrições de defluência / afluência mínima para as usinas hidroelétricas, sem premissas

de operação pré-estabelecidas.

Dessa maneira, precisamos construir funções de produção apenas com base nas usinas

com capacidade de regulação (reservatório), sem perda sensível de acurácia e com a

principal vantagem de diminuir razoavelmente o número de equações e restrições no

problema de programação linear (PLL) para o despacho hidrotérmico.

O foco desse documento será a modelagem da geração de tais usinas agregadas, o que

se denominou de “Função de Produção Hidroelétrica Múltipla” (FPHM) e, baseado em

[12], realizar uma aproximação dessa função por um modelo linear por partes,

necessário para a resolução do despacho hidrotérmico por um problema de programação

linear (PLL). Essa função aproximada será chamada de “Função de Produção

Hidroelétrica Múltipla Aproximada” (FPHAG).

Na importância de sempre se buscar modelos mais sucintos, com menor custo

computacional e trade-off entre esse custo e a acurácia do modelo, ressalta-se que a

abordagem proposta neste trabalho é particularmente interessante na coordenação

hidrotérmica de mais longo prazo, visto que nestes modelos consideram-se usualmente

como reservatórios apenas usinas com regularização mensal, o que propicia a existência

de diversas usinas com modelagem a fio d’água na topologia. Além disso, alguns

4

aspectos que não poderiam ser representados pelo modelo agregado já não são

considerados em geral para horizontes mais longos, como, por exemplo, o unit

commitment das usinas hidroelétricas, tempos de viagem da água, restrições de rampa

de geração e restrições elétricas internas aos subsistemas de energia.

1.3 Organização / Estrutura da Dissertação

A Dissertação está dividida em 8 capítulos. Este Capítulo apresentou uma introdução ao

projeto desenvolvido e retratado neste trabalho, introduzindo os diversos conteúdos

teóricos necessários a um entendimento amplo do objeto de estudo.

O Capítulo 2 descreverá a Função de Produção Hidroelétrica para uma usina

hidroelétrica, abrangendo a função exata e a Função aproximada pelo modelo linear por

partes, onde serão discutidas duas vertentes para a obtenção desse modelo quanto à

operação hidráulica.

O Capítulo 3 aborda a Função de produção Hidroelétrica Múltipla, tratando do método

para a identificação de uma usina agregada e o algoritmo correspondente criado, até

exemplos de cálculo dessa função para casos específicos e opções que podem ser

levadas em conta ao modelar a FPHM.

No Capítulo 4 são apresentados algoritmos existentes para o cálculo da envoltória

convexa de uma grade de pontos e a implementação desse cálculo para o modelo

agregado. O cálculo da envoltória convexa, como será mostrado neste trabalho, é

necessário para a aproximação da FPHM por um modelo linear por partes – FPHAG.

O Capítulo 5 apresenta o modelo linear por partes para a Função de Produção

Hidroelétrica Múltipla.

Os Capítulos 6 e 7 tratam do problema de coordenação hidrotérmica, considerando o

uso da FPHAG e das alterações realizadas nas restrições do PLL e no pós-

processamento do problema.

Já o Capítulo 8 apresenta os resultados numéricos para exemplos de cascatas de usinas

no Sistema Brasileiro.

Por fim, o Capítulo 9 aborda as conclusões e algumas sugestões de trabalhos futuros.

5

2. Função de produção hidroelétrica

A geração de energia elétrica em um aproveitamento hidrelétrico é dada através das

unidades hidrelétricas, compostas pelo conjunto turbina-gerador. Em certo instante de

tempo, a quantidade de água armazenada no reservatório, sendo a fonte de energia

potencial gravitacional acumulada, é transformada em energia mecânica quando a água

passa pela turbina, provocando assim o torque necessário no eixo do gerador para a

conversão dessa energia mecânica em energia elétrica. Na Figura 1. podem ser vistos os

componentes básicos de uma usina hidroelétrica - UHE típica.

Figura 1. Componentes básicos de uma UHE [20]

Neste capitulo serão mostradas as equações para o cálculo da função de produção

real/exata de uma usina hidroelétrica assim como dois tipos de abordagens para se

6

representar a função de produção, que é não linear como será mostrado a seguir, em um

problema de Programação Linear ( Planejamento da Operação ), sem perder a

característica da produtividade variável da usina.

2.1 Função de produção exata (FPH)

A potência de uma unidade geradora de uma usina hidroelétrica corresponde ao produto

entre sua vazão turbinada e sua produtividade, , a qual é expressa pelas relações:

(1)

(2)

Onde é o rendimento da turbina (%), o rendimento do gerador (%), é o volume

de água armazenada na usina, é a vazão turbinada total da usina e é a quantidade de

água, ou vazão, vertida.

O rendimento do grupo turbina-gerador, , dado pelo produto entre e é obtido

através de uma relação não-linear envolvendo a vazão turbinada e a altura de queda

líquida hl , normalmente expressa através das curvas de desempenho da turbina,

denominadas curvas-colinas [21]. Neste trabalho, considera-se constante, já que o

horizonte de análise é de mais longo prazo. Assim, definindo produtividade especifica

, temos:

(3)

A altura líquida de queda, por sua vez, é definida como:

(4)

7

monh é a cota do reservatório da usina (cota de montante), que é uma função não linear

do volume armazenado . A cota de jusante, jush , é dada pela curva-chave do canal de

fuga, a qual é função não linear da vazão turbinada total da usina Q e, dependendo da

configuração, da usina, também da vazão vertida S. Normalmente, as curvas cota-

volume e a vazão-cota de jusante (curva-chave) são expressas

como polinômios de quarta ordem [17]:

(5)

Além disso, para o cálculo da altura de queda líquida é necessário considerar o

coeficiente de perdas hidráulicas da Usina, expresso em altura(m) ou percentual da

queda:

= – – perdas (m ou %) (6)

Portanto,

(7)

E por fim, temos que a expressão geral para a produção de uma unidade geradora é dada

da seguinte forma:

(8)

8

Como não se deseja detalhar a operação individual das unidades geradoras presentes na

usina, é interessante se determinar a expressão para a geração total da usina ( ), que

corresponde à soma das gerações de suas unidades.

(9)

Considerando essas relações, a geração elétrica total de uma usina é uma função não-

linear de , sendo denominada Função de Produção Hidroelétrica (FPH) . A

Figura 2 mostra o gráfico dessa função para a Usina de Tucuruí.

Figura 2. Função de Produção Exata para a Usina de Tucuruí [12]

Ressalta-se que, pela Equação (8), há uma interdependência entre as gerações das

unidades de uma mesma usina, já que o turbinamento total da usina influencia na

geração individual das unidades, não apenas pela diminuição da cota de montante (

efeito significativo apenas nas usinas com pequeno reservatório ) , mas também pela

elevação da cota do canal de fuga.

Outros fatores que complicam a modelagem da FPH das usinas são:

As zonas proibidas de geração das unidades geradoras;

O número de unidades acionadas da usina;

A sequencia na qual se dá o acionamento das unidades.

9

Todos estes aspectos tornam a modelagem da geração hidroelétrica uma tarefa bastante

complexa. Se considerarmos uma determinada cota de montante para o reservatório, e

estabelecermos uma ordem para o acionamento das unidades, pode-se derivar uma

curva para a geração da usina como um todo [14], [15], [16],ilustrada na Figura 3.

Figura 3. Função de produção típica para uma usina hidroelétrica com três unidades geradoras.

[21]

Por fim, uma vez que os programas desenvolvidos para o planejamento da operação

hidrotérmica baseiam-se na resolução de um problema de otimização através de

programação linear, são necessárias aproximações lineares para essa função de

produção exata com o fim de ser representada corretamente dentro do problema.

2.2 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada

Individual

A seguir, descrevem-se todos os passos da construção da função de produção

hidroelétrica aproximada (FPHA). Também são discutidas duas estratégias quando a

consideração do vertimento para a construção da função, o que será visto com mais

detalhes no passo cinco. As referências para esses modelos são os trabalhos [12] e [5].

Passo 1. Hipóteses Iniciais e dados disponíveis.

Assume-se um fator de eficiência constante para o conjunto turbina-gerador. As

perdas hidráulicas são calculadas como um percentual da geração, e não variam

10

com a vazão defluente. Ambos os parâmetros podem ser computados a priori a partir do

estado do reservatório (volume armazenado) no início do período de estudo, e uma

estimativa da vazão média defluente ao longo do período de programação. As zonas

proibidas de geração são ignoradas.

A cota de montante do reservatório é calculada por um polinômio de quarto grau em V,

e a curva-chave do canal de fuga é um polinômio de quarto grau de Q e, em algumas

usinas, da soma de Q e S. A produtividade por unidade de queda de cada usina

(comumente denominada de produtibilidade específica), expressa em

é conhecida.

Os coeficientes de evaporação mensal dos reservatórios são dados. Os limites para o

volume armazenado, turbinamento, vertimento e geração hidroelétrica também são

todos conhecidos. A grande maioria destes dados está contida no arquivo de cadastro de

usinas hidroelétricas, fornecidos pelo ONS – Operador Nacional do Sistema.

Passo 2. Determinação da grade de discretizaçao

Define-se uma grade de pontos no plano . O número de pontos e sua distribuição

dependem da precisão desejada para o modelo e do comportamento da função de

produção real de cada usina:

Uma grade com mais pontos tem melhor acurácia, porém perde-se tempo em

processamento (CPU).

Discretizar com uma janela/distribuição maior resulta em uma maior

abrangência para a função, porém com maiores desvios entre a FPH e a FPHA

próximo de , em relação a usar uma janela menor para V.

Para cada ponto, representado pelo par , a geração hidroelétrica é

obtida pela expressão abaixo

)),()((1081.9 3

perdasdwup hSQhVhQGH (10)

Obtendo-se assim um conjunto N de pontos no espaço tridimensional.

11

Passo 3. Calculo da envoltória convexa

Mesmo que a função seja côncava no plano referente ao turbinamento, a função tri-

dimensional FPH = GH(V,Q) apresentará em geral um comportamento não côncavo,

devido ao produto entre o turbinamento e a altura de queda na expressão (1). Desta

forma, para tornar possível a construção de um modelo linear por partes, deve-se,

inicialmente, ajustar uma envoltória convexa para a região abaixo da curva da FPH.

Essa envoltória é definida como a “menor” função côncava cujo gráfico está acima da

função original não-côncava, em todos os seus pontos.

Calcula-se a envoltória convexa de , onde M é o conjunto de pontos necessários

para se definir uma região compacta abaixo da curva Um algoritmo

particular, “ad-hoc” [4], que leva em consideração o conhecimento que se tem sobre a

forma da função de produção, é utilizado em [7]. A Figura 4 mostra a convexificação da

área abaixo de GH apenas para a variável , para melhor

visualização.

Figura 4. Convexificação da área abaixo da curva da função de produção para Qdef

As equações dos planos que definem C consistem em um modelo inicial para a FPHA, o

qual é denotado por FPHA0, e expresso por:

)),('(min),(' QVGHQVGH k

ik

i , iKk ,...,1

(11)

12

Onde QVQVGHki

Q

ki

V

kik

i

,,,

0),(' , e iK é o numero de hiperplanos gerados na

aproximação da FPHA da usina .

Um aspecto interessante que merece ser destacado é que, se a FPH for mal comportada

(ou seja, não côncava) em uma grande parte da grade definida no plano VQ, aumentar

o número de pontos na discretização não resultará em um modelo mais acurado, uma

vez que todos os pontos na região não côncava da curva serão eliminados durante o

cálculo da envoltória convexa.

Após a aplicação da envoltória convexa, obtém-se um modelo inicial denominado

FPHA0, que seria representado por uma função côncava e linear por partes, construída

diretamente a partir do subconjunto de planos que compõem a envoltória convexa.

Entretanto, esse modelo é, em geral uma aproximação otimista da FPH devido ao seu

comportamento levemente côncavo, ou seja, o valor de geração FPHA0(V,Q) tende

maior ou igual ao valor exato GH(V,Q) obtido pela Expressão (1). Esse efeito é

reduzido com a aplicação de um fator de correção, como será apresentado a seguir.

Passo 4. Aplicação de um fator de correção

Uma representação mais realista pode ser obtida aplicando-se um fator de correção

para o modelo FPHA0, calculado de forma a minimizar o desvio quadrático médio entre

a FPHA0 e a FPH, considerando ainda somente o plano VQ, com valores nulos para

vertimento.

),(FPHA ),FPHA( 0 QVQV (12)

Este procedimento é ilustrado na Figura 5 para um valor fixo de volume armazenado.

13

Figura 5. Esquema ilustrativo do ajuste realizado na FPHA0 na grade V Q, para minimizar o erro

médio quadrático em relação à FPH.

O fator de correção é calculado de forma a minimizar o erro médio quadrático entre a

função exata GH(V,Q) e os valores corrigidos (após a aplicação desse fator) para a

FPHA, considerando uma amostra significativa de m n pontos quaisquer na região de

ajuste:

m

i

n

j

jiji qvFPHAqvGHmn

RMS1 1

2

0 ),(.),(1

(13)

O valor de que minimiza a expressão (13) acima é dado por :

m

i

n

j

j

m

i

n

j

jj

q

qHq

1 1

2

i0

1 1

ii0

),(vFPHA

),(vG),(vFPHA

(14)

Passo 5. Expressão final para a função

A expressão final para a função de produção aproxima dependerá da abordagem

escolhida quanto à consideração do vertimento de forma explicita como uma variável

independente ou se apenas o consideramos implicitamente na variável Defluência .

14

2.2.1. Modelo Linear por partes com variável defluência

Nesta abordagem, representa-se o turbinamento e vertimento por apenas uma variável,

denominada vazão defluente , como em [5].

(15)

Portanto, de acordo com os procedimentos descritos nas seções anteriores, a geração das

usinas hidráulicas no problema de otimização de despacho hidrotérmico é modelada

pelas seguintes restrições:

iKk ,...,1

(16)

Para cada usina i=1,..., NH e período t=1,..., T, onde:

: número de hiperplanos (cortes) da função de produção da usina i.

: parâmetros de cada hiperplano k.

Volume armazenado médio da usina i durante o estágio t

vazão defluida pela i-ésima usina durante o estágio t

geração da i-ésima usina durante o estágio t

geração máxima na i-ésima usina durante o estágio t

número de usinas hidroelétricas na configuração

número de intervalos de tempo.

)(,,,

0,

t

i

ki

D

t

iki

V

ki

ti DVGH

titi GHGH ,,

15

2.2.2. Modelo Linear por partes com turbinamento e vertimento

independentes

Esta abordagem, desenvolvida em [12], representa o vertimento como uma variável

independente na função de produção. Além de ter uma maior acurácia, devido ao

tratamento diferenciado das variáveis Q e S, é particularmente interessante em casos

onde a usina verte sem atingir seu turbinamento máximo.

Entretanto, a análise de diversas usinas mostra que a função de produção hidroelétrica

tem uma forma convexa na dimensão do vertimento, vide a Figura 2, para valores fixos

de volume armazenado e turbinamento. Devido a esta propriedade, não é possível

realizar, para o vertimento, a mesma aproximação linear por partes descrita

anteriormente nas dimensões de e . Para contornar este problema utiliza-se uma

aproximação por secante na dimensão para cada par da grade de pontos, como

mostram as expressões abaixo.

SQVGHSQVGHki

S

k

i

k

i

,),('),,( , iKk ,...,1 (17)

Onde,

2

1

,

)),('(

),,(1minarg

n

j j

k

i

jki

SSQVGH

SQVFPH

n

(18)

Dessa maneira e seguindo os mesmos procedimentos realizados anteriormente, a

formulação matemática da FPHA multivariada considerando o vertimento é:

,0

,0

,0

,)(,,,,

0

i

t

i

i

t

i

i

t

i

t

i

ki

S

t

i

ki

Q

t

i

ki

V

kit

i

SS

QQ

GHGH

SQVGH

Para iKkTtNHi ,...,1,,...,1,,...,1 onde NH é o número de usinas hidroelétricas e

T é o número de intervalos de tempo. Os parâmetros de cada hiperplano k são :

16

3. Função de Produção Hidroelétrica

Múltipla

Como visto anteriormente, a modelagem da geração das usinas hidroelétricas é uma

função não linear do seu estado – volume armazenado – e de seu ponto de operação –

vazão turbinada e vertida.

A operação do parque hidráulico pode, então, ser ditada apenas pelo funcionamento de

usinas que contenham reservatórios com regulação de vazão, mesmo considerando a

modelagem individualizada das usinas hidroelétricas. Isso porque as usinas sem

regularização (chamadas de usinas a fio d’água) inerentemente defluem,

preferencialmente por turbinamento, as afluências provenientes das usinas de montante

e suas próprias afluências naturais.

Baseado nisso e na topologia hídrica do sistema, é possível idealizar conjuntos de usinas

hidroelétricas que condensem reservatórios com seqüências de fio d’água a jusante, até

que seja encontrado novo reservatório ou o oceano, fechando a cascata (vide seção 3.1) .

A esse conjunto de usinas em que se subdivide uma cascata deu-se o nome neste

trabalho de usina “agregada”. Nos modelos de coordenação hidrotérmica de horizonte

maiores, usualmente se considera apenas usinas com regularização mensal como

reservatório, o que faz com que existam diversas usinas com modelagem a fio d’água na

topologia. Portanto, tal abordagem se torna especialmente interessante para tais

modelos.

Ainda, nessa nova modelagem proposta, os aspectos principais da operação

individualizada de uma usina, como as afluências naturais, função de produção

hidroelétrica, balanço hídrico e eventuais restrições de afluência ou defluência, podem

17

ser representados. Existem aspectos que não podem ser exibidos nessa modelagem,

como por exemplo os tempos de viagem da água, o unit commitment das usinas

hidroelétricas, restrições elétricas internas aos subsistemas e restrições de rampa.

Porém, tais aspectos já não costumam ser considerados, em geral, em modelos de

médio/longo prazo.

3.1 Identificação de uma usina agregada

A identificação de uma usina agregada, teoricamente, não é complicada. Considere a

seguinte topologia de usinas hidroelétricas individualizadas, vide Figura 6 (a), onde as

usinas com regularização são exemplificadas por triângulos e as fio d’água por círculos.

Começando-se por um ou mais reservatórios em paralelo, as usinas fio d’água a jusante

na cascata são adicionadas ao conjunto até que se atinja uma usina de regularização.

Nesse momento, “quebra-se” a cascata e dá-se inicio uma nova usina agregada, como

mostra a Figura 6 (b).

Figura 6. Topologia de usinas agregadas (b), construída com base na topologia de usinas

individualizadas (a).

Quando uma cascata possuir mais de uma usina com reservatório em paralelo - vide a

cascata D e a conseqüente usina agregada na Figura 6 – a modelagem se torna mais

complexa e podemos propor duas maneiras de se estruturar a topologia das agregadas

para esse caso de reservatórios “em V”, que serão analisados em mais detalhes na seção

3.3.

(a)

(b)

18

Portanto, para cada uma dessas usinas agregadas, pode ser obtida uma “Função de

produção hidroelétrica múltipla (FPHM)”. Isso nos proverá a exata geração de cada

conjunto, sem aproximações, baseado na defluência dos reservatórios a montante e no

vetor de afluências naturais das usinas fio d’água. Ressalta-se que, como esta função

depende dos valores de vazão afluente natural às usinas que compõem a usina agregada,

será necessária uma função de produção para cada cenário. Ou seja, enquanto em um

problema determinístico haverá apenas uma FPHM por período, em um problema

estocástico será construída uma FPHM para cada cenário.

A seguir, mostram-se os cálculos para a obtenção dessa Função Múltipla para os casos

existentes a partir da topologia hidrológica do sistema e, por fim, demonstra-se parte da

lógica existente no algoritmo criado para a identificação e criação das Usinas Agregadas

3.2 Exemplo de cálculo da FPHM - caso simples (usinas

em série)

Nesse caso, a usina agregada é composta de apenas um reservatório de montante com

várias usinas fio d’água a jusante na cascata, até que se encontre um novo reservatório.

3.2.1. Apenas uma usina a fio d´água

Primeiramente, vamos exemplificar a idéia do cálculo da geração da usina agregada

para apenas uma usina sem regularização a jusante, como mostra a Figura 7 para depois

generalizar para “N” usinas na cascata.

Figura 7. Esquema de situação topológica de caso particular com somente uma usina a jusante na

cascata

Os dados de entrada da função são a defluência do reservatório, seu volume e a

afluência incremental à usina a fio d’água

19

Decidida uma defluência para a usina de montante, seu turbinamento e vertimento

podem ser expressos na equação abaixo, onde é a restrição operativa da usina

com relação à vazão máxima suportada por seu conjunto de turbinas.

(19)

Desse modo, tem-se que a geração do reservatório é:

(20)

Onde FPH é a função de produção exata da usina, como explicado na seção dois.

Seguindo a cascata, para a usina 2 (dois), considerando a afluência que chega à usina

hidrelétrica e que esta só irá verter ao atingir seu turbinamento máximo ,

podemos escrever, de maneira similar:

(21)

Lembrando que é constante por se tratar de uma usina sem regularização.

Dessa maneira, teríamos que a geração dessa usina agregada corresponde à soma dessas

duas gerações encontradas.

(22)

20

3.2.2. Diversas usinas a fio d´água

Para um caso mais geral, onde há usinas sem regularização em cascata, como

na Figura 8, estendem-se os cálculos da geração em cada usina fio d’água n, de modo

que o seu turbinamento será a soma da defluência no reservatório com as incrementais

de todas as usinas a fio d’água à montante. Caso esse turbinamento tenha chegado ao

limite de restrição operativa da hidrelétrica, o turbinamento é estabelecido no máximo

operacional definido e verte-se a água restante. Considerando que as usinas são

indexadas de ordem crescente de montante para jusante, tal raciocínio é formulado

abaixo:

(23)

Onde:

E, por conseguinte, a geração da usina agregada , como função apenas do estado

(volume armazenado) e operação (defluência) da usina de montante é dada por:

(24)

21

Figura 8. Esquema de situação topológica para o caso genérico de diversas usinas fio d’água a

jusante.

3.3 Caso em V

Quando existe mais de uma usina com reservatório defluindo água para o mesmo leito

de um rio, com usinas a jusante, é configurado um caso “em V” ou caso geral. Dessa

forma, existe um número de opções na maneira de ser formar o conjunto das usinas

agregadas, esquematizadas na Figura 9 abaixo.

Figura 9. Diferentes opções de modelagem quando existem dois ou mais reservatórios a montante.

22

A opção (a) e a opção (c) serão tratadas com mais detalhes ainda nesse capítulo. A

primeira opção consiste em incluir os reservatórios e a cascata de fios d’água a jusante

em uma única função; e a última se considera funções individuais para cada reservatório

e uma incluindo todas as usinas sem regularização.

Na opção( b), escolhe-se um reservatório para compor uma função múltipla, como no

caso simples já mencionado, e a geração hídrica dos reservatórios não selecionados é

modelada individualmente. Essa opção não será considerada neste estudo, pois o

interesse primordial é analisar o comportamento da FPHM nas situações mais extremas

(a) e (c).

É válido ressaltar que as ponderações feitas no caso simples serão também utilizadas no

caso em V. Isto é, a geração da usina agregada é função apenas do estado e do ponto de

operação das usinas de montante e a hipótese de que uma usina só irá verter ao atingir

seu turbinamento máximo, definido como uma restrição operativa à vazão das turbinas

de uma usina, .

3.3.1. Representar como uma única usina

Suponha, como indicado na Figura 10, que existam reservatórios em paralelo à

montante e usinas a fio d’água em cascata a jusante. Os índices de 1 a

compreendem os reservatórios e os subsequentes correspondem às usinas a fio d´água,

indexadas de forma crescente de montante para jusante.

O número de variáveis independentes da função de produção múltipla, no caso de

representarmos todo o conjunto escolhido em apenas uma única usina agregada, será de

. Isso porque cada reservatório contribuirá para a função com um par de variáveis

independentes, e .

Portanto, utilizando um raciocínio semelhante ao do caso simples, obtém-se a fórmula

para a geração da seguinte maneira:

(25)

23

Onde:

Figura 10. Esquema de situação topológica para o caso genérico com várias usinas a montante.

Conforme já dito, nesse tipo de modelagem, a função de geração possuirá variáveis

independentes. Desse modo, o cálculo da envoltória convexa, utilizada anteriormente

para se construir o modelo linear por partes para a função de produção hidroelétrica

individual [12] teve de ser estendida para o caso n-dimensional e será objeto de estudo

na seção 4.

Entretanto, o cálculo da envoltória convexa para o caso n-dimensional pode se tornar

muito custoso e pesado, em termos computacionais, posto que a dimensão dos

24

hiperplanos que a compõem estariam na dimensão . Na tentativa de

contornar tal problema, foi idealizada a opção a seguir.

3.3.2. Utilizar modelos diferentes para os reservatórios e o conjunto

de usinas a fio d’água

Uma maneira de se diminuir o número de variáveis na função de produção hidrelétrica

múltipla é apresentada na Figura 11.

Ao invés de agrupar os reservatórios em paralelo e a cascata de fio d’águas a jusante em

apenas um conjunto, consideram-se funções individuais para cada reservatório e uma

função múltipla para o conjunto de fio d’águas. Ou seja, uma usina agregada será

composta apenas da cascata das diversas usinas sem regularização e para cada

reservatório em paralelo a montante é definida outra usina agregada

Os cálculos para os reservatórios utilizam apenas a função de geração individual,

portanto, suas funções de produção, em princípio, serão semelhantes ao modelo

individual apresentada no Capítulo 2. A geração agregada é calculada apenas para as

usinas a fio d´água em cascata a jusante. Dessa maneira, no esquema da figura em

questão, temos que para cada reservatório :

(26)

A função de produção hidroelétrica múltipla para a cascata de usinas a fio d’água

considerará como parâmetro as defluências de cada usina com reservatório à montante.

Sendo essa cadeia chamada de , como mostra a Figura 11, temos:

(27)

Onde:

25

Figura 11. Detalhamento da criação das usinas agregadas, quando aplicada a proposta de separar

os reservatórios da cascata de usinas a fio d’água.

3.4 Algoritmo de Identificação de uma Usina agregada

O Fluxograma da Figura 12 tenta demonstrar parte da lógica envolvida no algoritmo de

Identificação e criação dessas Usinas Agregadas.

Uma Usina ser “ponta” significa, nessa rotina, que ou ela está a montante de uma

Agregada já formada ou não há usinas á jusante. Portanto, no inicio o algoritmo procura

a usina mais a jusante na Cascata. Caso essa usina seja um reservatório, é formada uma

Agregada com apenas esse elemento, através da chamada da rotina “ADIC_FPHAG.

Caso contrário é dado início o processo de identificação da cascata a montante dessa

Usina através da rotina recursiva “Identifica_Agregada”. Essa rotina identifica à

montante da usina processada, onde alguns casos podem ocorrer:

26

Usina ser Fio D’água

Nesse caso, a rotina guarda os dados dessa usina e analisa a próxima IUH de

montante, onde IUH refere-se a um índice pré-determinado para cada Usina no

programa.

Não encontrar Usina

Caso não haja usina de montante, o programa guarda os dados dessa usina como

uma usina de “Fio D’Água de Cabeceira”.

Nesse caso, a usina agregada formada será um conjunto de usinas a fio d’água sem

qualquer reservatório a montante que possa influenciar na vazão afluente que chega

a cada uma dessas usinas. Dessa maneira, sua geração, para cada cenário de vazão

incremental, é fixa e passa a ser calculada a priori. Essas parcelas de geração fixa

serão descontadas da parcela de Demanda na solução do problema de programação

linear para o despacho hidrotérmico.

Usina ser Reservatório

A rotina quebra a cascata e retorna para a rotina principal, que também pode ser

outra instância (stack) da “Identifica_Agregada” (vide caso abaixo), com os

elementos identificados

Mais de uma Usina encontrada (bifurcação)

Caso haja bifurcações na cascata, ou seja, uma usina ter mais de uma montante o

programa chama a si mesmo – recursão – para cada uma dessas montantes,

retomando o processo até que para cada ramo seja encontrado ou um Reservatório

ou uma Fio D’Água de Cabeceira.

Após esses passos, temos todos os elementos identificados e que podem formar uma

Agregada. Porém, pode-se ainda escolher entre as opções (a) e (c) descritas no item 3.2.

Ou seja, caso a cascata identificada possua reservatórios em paralelo, podemos formar

uma única Agregada com todas as usinas ou criar uma contendo apenas o Conjunto de

Fio ’Águas outras para cada reservatório em paralelo.

27

Figura 12. Fluxograma de algoritmo para identificação de uma Usina Agregada

28

4. Cálculo da envoltória convexa

Encontrar a envoltória convexa ou fecho convexo de um conjunto de pontos é um

problema clássico em Geometria Computacional e, para nosso estudo, condição

necessária para a construção de um modelo linear por partes para a função de produção

tridimensional que apresentará em geral um comportamento não

côncavo.(Capitulo 2.2 e 5).

De forma geral, dado um conjunto de pontos S, a envoltória convexa deste conjunto é o

menor polígono convexo que contém S. Algumas definições, das muitas existentes para

o fecho convexo, são apresentadas a seguir. [19]

1. Dados dois pontos distintos e em , o segmento é o conjunto de pontos

, com . Um conjunto é dito convexo se , o

segmento . Um polígono com um vértice reflexo - ângulo interior maior

que - não é convexo. (Figura 13) .

Figura 13. Polígono com vértice reflexo não é convexo [18]

2. Uma combinação convexa de um conjunto de pontos em é uma

combinação linear dos pontos em S, podendo ser também um vetor, onde todos

os coeficientes são não negativos e cuja soma é igual a um. Ou seja, dado um

número finito de pontos, a combinação convexa desses pontos é um ponto na

forma onde e . Por

29

exemplo, toda combinação de dois pontos está sobre o segmento de reta que liga

esses pontos.

3. O fecho convexo do conjunto S de pontos em é o conjunto de todos os

pontos que são combinação convexa dos pontos em S.

4. (Teorema de Carathéodory) O fecho convexo de um conjunto S de pontos em

é o conjunto de todos os pontos que são combinação covexa de n+1 pontos

de S. Logo, a envoltória convexa de um conjunto de pontos no plano é o

conjunto de combinações convexas, nesse caso planos, dos seus subconjuntos

de três pontos.

5. O fecho convexo de um conjunto S de pontos é a interseção de todos os

conjuntos convexos contendo S.

6. O fecho convexo de um conjunto S de pontos em é a intersecção de todos os

semi-espaços contendo S. Um semi-espaço no plano é um semiplano.

7. O fecho convexo de um conjunto S de pontos no plano é o menor polígono

convexo contendo P que contém S; menor no sentido que não existe outro

polígono P’ tal que .

8. O fecho convexo de um conjunto S de pontos no plano é o polígono convexo P

com menor área tal que

9. O fecho convexo de um conjunto S de ponto no plano é a união de todos os

triângulos determinados por pontos em S.

4.1 Algoritmos para a construção da envoltória convexa

Com base nas definições apresentadas na seção anterior e em [22] e [23], mostraremos a

ideia de alguns algoritmos, que seguem diferentes abordagens, para a construção do

fecho convexo de um conjunto S de pontos em .

30

4.1.1. Brute Force:

Dado um conjunto de pontos P, a idéia é testar cada combinação de (N) pontos, onde N

é a dimensão do problema, e verificar se essa combinação gerou um segmento de reta,

plano, ou hiperplano que pertence à envoltória convexa. Em 2D, o segmento de reta

pertence a envoltória convexa se todos os outros pontos estão abaixo da extensão desse

segmento de reta, como mostra a Figura 14 abaixo.

Figura 14. Exemplo de Brute Force para caso bi-dimensional. [22]

4.1.2. Gift Wrapping:

Também chamado de Jarvis’s March, a idéia é achar pontos que pertençam à envoltória

convexa se deslocando o menos possível, no sentido angular.

Começando pelo ponto mais a esquerda do conjunto, uma vez que sabemos que este

ponto pertencerá à envoltória, o algoritmo fará vários processos iterativos de modo a

encontrar o vértice, de todos que ele pode se conectar, com o menor deslocamento anti-

horário de todos. A Figura 15 ilustra esse processo.

Figura 15. Processo de envelopamento de pontos em 2D [22]

31

4.1.3. Divide-and-Conquer:

O principal “lema” desse algoritmo é que achar a envoltória convexa de pequenos

conjuntos é mais “fácil” do que encontrá-la em conjuntos mais largos. Porém, é

necessário um modo rápido de se juntar os conjuntos convexos em um, como mostrado

na Figura 16 abaixo. E isso é realizado achando-se as tangentes que ligam esses

conjuntos e descartando os pontos que se localizarem dentro dessa nova envoltória.

Figura 16. Agrupando conjuntos convexos em um [23]

4.1.4. Quick Hull:

A idéia principal desse algoritmo é descartar pontos que não estão na envoltória

convexa da maneira mais rápida possível, como mostra a Figura 17. Quadrilátero Inicial

no Quick Hull.

Para tanto, o algoritmo, no caso bidimensional, começa computando os pontos de

máximo e mínimo nas coordenadas x- e y-, esses pontos claramente pertencem à

envoltória. Conectando esses pontos é obtido um quadrilátero onde todos os pontos que

estiverem dentro deste polígono podem ser descartados sem qualquer consideração.

Figura 17. Quadrilátero Inicial no Quick Hull.[23]

32

4.2 Implementação no programa

Diante do já mostrado, foi desenvolvido um algoritmo para calcular a envoltória

convexa de N M, onde M é o conjunto de pontos necessários para se definir uma

região compacta abaixo da curva GH(Q, V). Algoritmos para a determinação de

envoltórias convexas em espaços tridimensionais são custosos do ponto de vista

computacional. Porém, com base na proposta descrita pelo algoritmo Brute Force, foi

desenvolvido em [12] um algoritmo próprio e eficiente que levou em consideração o

conhecimento que se tem sobre a forma da função de produção e pôde ser adaptado as

particularidades da função de produção. Neste trabalho estendeu-se esse algoritmo para

n dimensões, de forma a comportar a nova modelagem da FPHAG para o caso em V,

descrito na seção 3.3.

Esse algoritmo calculará os hiperplanos que definem uma modelagem linear por partes

para a envoltória convexa da região abaixo da curva de produção real da usina (FPH),

tendo como abscissas o plano . Essa envoltória é definida como “menor”

função côncava cujo gráfico está acima da função original não-côncava, em todos os

seus pontos, e é representado pelo conjunto de planos ou hiperplanos que passarão a

constituir a FPHA da usina individual ou a FPHAG da Usina Agregada, dependendo da

modelagem adotada.

4.2.1. Dados de Entrada

A rotina que calculará os planos que definirão a envoltória convexa deve receber como

dados de entrada:

Número de pontos discretizados para a função

Número de dimensões

Os pontos correspondentes as variáveis independentes, ou abcissas, em forma

de Matriz ( No caso em estudo, os pontos de defluência “ ” e de volume

útil “ ”.

Os valores da função para cada um desses pontos ( No caso em estudo, a função

de produção da Usina Agregada )

33

4.2.2. Construção dos planos

Primeiramente, o programa gera de forma recursiva todas as combinações de “n+1”

pontos, onde “n” é o número de abcissas, que poderiam definir planos. Feito isso, são

descartadas as combinações onde os pontos são colineares, uma vez que estas não

geram planos.

Em seguida, a rotina calculará o plano definido por cada uma dessas combinações e

verificará se esse plano pertence à envoltória convexa. Ou seja, para cada combinação

não colinear, são realizados os procedimentos abaixo:

1. Constroem-se as matrizes que definirão o sistema linear do tipo , onde,

para o calculo dos coeficientes do plano, A é a matriz que corresponde as

coordenadas do ponto “n”, b é o vetor das soluções de cada ponto e x é o vetor

dos coeficientes dos planos. Essas matrizes são exemplificadas para o caso com

três dimensões :

2. Resolve pelo método de Gauss o sistema linear, se este for determinado, para

achar que será o vetor com os coeficientes dos planos.

3. Verifica se para todos os pontos, com exceção daqueles que formaram o plano,

se o valor do ponto aplicado ao plano é maior que o da função, ou seja, se o

plano criado está sempre acima da função real para todos os pontos.

4. Caso o passo acima (três) seja validado e o plano já não exista, ou não seja

muito "parecido" com algum que já exista, esse plano passa a ser um dos que

irão compor a envoltória convexa. Um plano é semelhante a outro já existente

caso seus coeficientes estejam dentro de certa tolerância em relação à

proximidade com os coeficientes dos planos já existentes. Geralmente, essa

tolerância está na casa dos casas decimais.

34

4.2.3. Saída

Por fim, a rotina retorna para o usuário - ou para o programa que a chamou - os

seguintes dados de saída:

Número de planos que compõem a envoltória convexa

Os coeficientes de cada hiperplano

Os “ ” pontos que compuseram cada um desses hiperplanos ou planos

No caso em que a entrada é composta pelos pontos discretizados de e e a

Função de Produção Exata da Agregada ( ), a rotina criada obtém com extrema

acurácia, para a função real, os planos que compõem a envoltória convexa para uma

aproximação linear por partes.

O procedimento para avaliar a acurácia entre o modelo linear por partes criado e a

função real de entrada é descrito a seguir.

4.2.4. Análise de Sensibilidade

Para avaliar a eficácia do algoritmo criado, pode-se realizar um estudo de sensibilidade,

comparando o valor de uma função real com a aproximação obtida pela aproximação

linear por partes, com base nos seguintes procedimentos:

1. Primeiramente, é montada uma grade de pontos com os valores das variáveis

independentes e da função real.

2. Obtêm-se, pelo algoritmo, os planos que compõem a envoltória convexa para a

região abaixo da função.

3. Monta-se uma grade de pontos com as variáveis independentes, diferente da do

passo um e mais ampla, e calcula-se o valor da função real e da função

aproximada.

4. Computam-se os desvios entre os valores calculados no passo três.

35

A grade de discretização foi montada para um número variável de pontos, enquanto a

grade de pontos para a comparação das funções manteve-se na faixa dos mil pontos.

Os resultados para funções côncavas e convexas genéricas em diversas dimensões

foram promissores. Os desvios encontrados não ultrapassaram o valor de 2%, mesmo

em casos onde a grade de discretização na montagem da envoltória convexa fora criada

com poucos pontos. Como, por exemplo, 3 (três) pontos para cada eixo de variável

independente em um caso da quarta dimensão ou 5 (cinco) pontos em um caso

tridimensional –

É claro que se deve ter um número mínimo de pontos compondo a grade de entrada do

algoritmo, uma vez que se corre o risco de perder a forma da função e,

consequentemente, criar um modelo linear que não representa corretamente uma

aproximação da função real. Tal fato é exemplificado abaixo, para o caso bidimensional

e a função parábola .

Figura 18. Gráficos mostrando os 3 pontos dados como entrada para o programa e a comparação

entre a função real ( ) e o modelo linear criado para uma grade de pontos.

Apenas três pontos não são suficientes para a função ter de fato o contorno de uma

parábola, vide Figura 18. Desse modo, é inviável a criação de uma aproximação que

represente essa função.

36

Com o aumento do número de pontos na entrada da rotina do cálculo da envoltória

convexa, a forma da função é mantida e o modelo linear obtido representará

corretamente a função real. Isso ocorre na Figura 19. Com dez pontos de entrada, os

desvios entre as duas funções ainda pode ser levemente percebido, o que não ocorre, por

captar todas as peculiaridades da função real, no caso com 100 (cem) pontos.

Figura 19. Gráficos de comparação entre a função real e a aproximada

37

5. Modelo linear por partes para a

FPHM

Nessa seção, será mostrada a aproximação da Função de Produção Hidroelétrica

Múltipla – FPHM, discutida na capitulo 3 (três) – por um modelo linear por partes,

através de uma mescla das metodologias propostas em [12] e [5].

Essa aproximação será uma extensão do que é atualmente feito para a FPHA individual,

mostrada no capitulo 2 (dois), agora para o conceito idealizado de uma usina agregada,

onde a geração dessa usina agregada é representada pela soma das gerações de todas as

usinas que a compõem em função apenas das variáveis operativas das usinas de

montante com armazenamento.

A estratégia para a consideração do vertimento, para esse estudo inicial, será a

representar, para cada usina de montante, o turbinamento e o vertimento como uma só

variável, denominada vazão defluente, como [5] e 2.2.1. Isso foi adotado por duas

razões:

O efeito da vazão turbinada e vertida das usinas de montante é rigorosamente o

mesmo para as usinas a fio d’agua em jusante

A representação do vertimento causa um grande aumento na dimensão na função

quando há vários reservatórios em paralelo à montante.

É válido ressaltar que, caso exista alguma Usina Agregada que não tenha em sua

composição um reservatório e também não exista um reservatório mais a montante na

cascata (como quando usamos a opção (c) na seção 3.3.2), sua geração será fixa, em

38

cada período analisado. Portanto, não é necessária a criação de um modelo linear ou

aproximações para essas Usinas Agregadas.

Figura 20. Usina Agregada com apenas fio d’águas, sem reservatório a montante.

A seguir, descrevem-se todos os passos da construção da Função de Produção

Hidroelétrica Aproximada Múltipla – FPHAG:

5.1 Hipóteses iniciais e dados disponíveis

As hipóteses gerais são as mesmas que as assumidas para o modelo individualizado da

seção 2. Ou seja, para cada uma das usinas que compõem a Agregada, assume-se um

fator de eficiência constante para o conjunto turbina-gerador. As perdas hidráulicas

são calculadas como um percentual da geração, e não variam com a vazão

defluente. Ambos os parâmetros podem ser computados a priori a partir do estado do

reservatório (volume armazenado) no início do período de estudo, e uma estimativa da

vazão média defluente ao longo do período de programação. As zonas proibidas de

geração são ignoradas.

A cota de montante do reservatório é calculada por um polinômio de quarto grau em V,

e a curva-chave do canal de fuga é um polinômio de quarto grau de Q e, em algumas

usinas, da soma de Q e S. A produtividade por unidade de queda de cada usina

(comumente denominada de produtibilidade específica), expressa em

é conhecida.

Os coeficientes de evaporação mensal dos reservatórios são dados. Os limites para o

volume armazenado, turbinamento, vertimento e geração hidroelétrica também são

todos conhecidos. A grande maioria destes dados está contida no arquivo de cadastro de

usinas hidroelétricas, fornecidos pelo ONS – Operador Nacional do Sistema.

39

5.2 Cálculo da função exata em uma grade de

discretização.

A definição de uma grade de discretização para a geração da Usina Agregada dependerá

do número de reservatórios que a compõem.

Primeiramente, a variável de volume útil é discretizada para cada reservatório tendo

como limites suas restrições operativas.

A variável de defluência também é discretizada para cada reservatório, mas os limites

de defluência mínima e defluência máxima serão os da Usina Agregada que são

calculados da seguinte forma:

O valor de defluência mínima é dado pelo valor máximo entre os valores de

turbinamento mínimo restritivo das usinas no conjunto formado pelo

reservatório e a cascata de fio d’águas a jusante.

O valor de defluência máxima é dada pelo valor máximo entre os valores de

turbinamento máximo restritivo das usinas no conjunto formado pelo

reservatório e a cascata de fio d’águas a jusante.

Também são incluídos os pontos de não diferenciabilidade, ver seção 8.1, caso existam.

Esses pontos ocorrem onde o turbinamento máximo de uma das usinas que compõem a

agregada atinge o máximo. Nesse sentido, é importe que se inclua cada um desses

pontos na grade de discretização da função de produção exata – FPHM.

Além disso, podem-se incluir pontos além do turbinamento máximo encontrado para a

Usina Agregada, para que a grade em contenha pontos onde exista vertimento para

todas as usinas que compõem essa Agregada.

Dessa maneira, a grade de discretização para a defluência englobará os pontos mais

extremos possíveis, melhorando a acurácia do modelo linear por partes a ser criado.

Portanto, para cada ponto da grade

, onde é o número

de reservatórios em paralelo na configuração, é calculada a geração da Usina Agregada

pela expressão discutida na seção 3.3.

40

5.3 Cálculo da envoltória convexa

Como função de produção individual em geral apresenta trechos não convexos, o

mesmo pode se esperar para a função agregada. Desta forma, aplica-se o algoritmo

estendido para (onde se refere ao número de reservatórios presentes nessa

configuração), discutido no item 4, para obter os hiperplanos que definem a envoltória

convexa da função.

A Figura 21 a seguir ilustra uma região hipotética definida por essa envoltória convexa

tridimensional, denotada por C, onde existia apenas um reservatório na configuração.

Os pontos brancos correspondem àqueles onde a FPHM real não encosta em sua

envoltória convexa, indicando as regiões onde essa função não é côncava.

Figura 21. – Exemplo de envoltória convexa para a região abaixo da FPHM com um reservatório

[21]

Como foi discutido no item 3.3, caso existam situações onde o número de reservatórios

em paralelo torne muito elevado o custo computacional para o calculo da envoltória

convexa da Usina Agregada em questão, pode-se recorrer a decomposições alternativas

para a definição dessa Agregada. A Figura 22 exemplifica o caso onde M = 3, para o

qual a quantidade de variáveis na função agregada é 6, 5, 4 ou 3, nas decomposições (a),

(b) e (c), respetivamente. Nestas variantes, as variáveis da FPHM incluem as

defluências de todos os reservatórios de montante, porém apenas os armazenamentos

41

dos reservatórios da usina agregada (incluídos na região pontilhada). Os demais

reservatórios possuem uma FPHA individual, como em [4].

5.4 Aplicação de um fator de ajuste

O modelo agregado, assim como o individual, é, em geral uma aproximação otimista da

função de produção exata que, em nosso estudo, consiste na . Uma representação

mais realista é obtida aplicando-se um fator de correção α, da mesma forma que foi

mostrado no item 2.2 deste trabalho. Esse fator minimiza o desvio quadrático médio

entre a inicial e a .

(28)

Este procedimento está ilustrado na Figura 23, para uma agregada com um reservatório

e valor fixo de volume útil.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Figura 22. Formas alternativas de definir as usinas agregadas, a fim de diminuir o custo

computacional no cálculo da envoltória convexa da função

42

Figura 23. Esquema ilustrativo do ajuste realizado na FPHAG0 na grade D V, para minimizar o

erro médio quadrático em relação à FPHM.

O cálculo de α é semelhante ao que foi idealizado no modelo linear para usinas

individuais e sua expressão é mostrada abaixo:

m

i

n

j

j

m

i

n

j

jj

v

vHv

1 1

2

i0

1 1

ii0

),(dFPHAG

),(dG),(dFPHAG

(29)

5.5 Expressão final para a função

Realizado os procedimentos descritos anteriormente, a formulação matemática da

FPHAG a ser utilizado no problema de otimização de despacho hidrotérmico é dada

por:

(30)

para cada Usina Agregada , período e cenário , onde:

43

: número de hiperplanos (cortes) da FPHAG para a usina i, período e cenário

: parâmetros de cada hiperplano

Volume útil do reservatório a montante na cascata

Defluência do reservatório a montante na cascata

Geração da -ésima Usina Agregada durante o período e cenário

Geração máxima da -ésima Usina Agregada durante o período

Sendo o termo independente e os termos associados ao armazenamento e

defluência, respectivamente, de cada usina de montante, para a ésima restrição da

ésima usina agregada. Observe que, devido ao impacto das afluências às usinas a fio

d´água na geração da usina agregada, os termos da função variam com o período e o

cenário .

44

6. Reformulação do problema de

coordenação hidrotérmica

considerando a modelagem

proposta

Este capítulo tem como objetivo principal a formulação do problema do planejamento

energético de médio / longo prazo, considerando o uso do modelo linear recém-criado

(FPHAG). O planejamento em questão é uma otimização de vários estágios que visa à

minimização do custo total de operação do sistema.

O uso da Função de Produção Hidroelétrica Aproximada Múltipla permitirá que se

resolva o problema de despacho hidrotérmico, considerando ainda as características da

operação individualizada, porém com um número bem menor de equações para as

restrições do problema de programação linear, o que diminui o esforço computacional

do programa sem perda de acurácia.

Para tanto, é necessário uma reformulação do problema de programação linear,

anteriormente criado para o modelo individualizado, por causa das características inatas

ao modelo agregado, como:

Variável de geração ( ) da usina agregada ao invés das gerações individuais

de cada usina

Eliminação das variáveis e restrições associadas ao balanço hídrico para as

usinas a fio d’água, uma vez que a operação é ditada pelas usinas com

reservatório

45

Inclusão de parcelas conhecidas a priori no lado direito de algumas restrições,

referentes a operação das usinas a fio d’água “de cabeceira” em cada cenário.

Na sequência, são descritas as principais equações do problema de planejamento da

operação energética, comparando os dois modelos.

6.1 Função Objetivo

Como comentado acima, a função objetivo do problema visa minimizar o valor do custo

total de operação do sistema1. Esse custo é composto pelo custo do combustível das

UTEs ao longo do horizonte de planejamento e a penalidade do déficit.

(31)

Onde:

Custo de operação no período ;

NSIS Número de subsistemas;

Número de usinas térmicas do subsistema s;

Custo da usina térmica n do subsistema s no período t;

Geração da usina térmica n do subsistema s no período t;

Custo de déficit associado ao subsistema;

Déficit do subsistema s para o período t;

Custo futuro associado ao período t;

Taxa de desconto;

1 Atualmente consideram-se parcelas de aversão a risco na função objetivo, porém isto não tem relação

com a modelagem proposta neste trabalho.

46

6.1.1. Penalidades para violação de restrições

Para que o problema de programação linear (PPL) seja sempre viável, é utilizado um

artifício, colocando uma variável de folga em cada uma das restrições. Essas variáveis

têm um custo associado, ou penalidade, bem alto, de forma que apenas serão utilizadas

caso o problema seja inviável. Essas folgas, são também otimizadas pela rotina de

resolução do PPL, o que dá um parecer a um usuário experiente sobre qual restrição que

mais está prejudicando o problema e onde possíveis medidas podem ser adotadas de

forma eficiente.

6.2 Função de produção hidroelétrica

Consistem nas expressões finais para o modelo aproximado da função de produção pelo

método linear por partes. Tais expressões foram discutidas nas seções 2.2, para o

modelo individualizado e 5.5, para o modelo agregado.

6.2.1. Formulação com gerações individuais

t

i

ki

S

t

i

ki

Q

t

iki

V

ki

ti SQVGH,,,,

0, )( , iKk ,...,1 ,

titi QQ,,0

titi GHGH ,, ,

(32)

para cada usina i e período t

6.2.2. Formulação com FPHAG

(33)

para cada Usina Agregada , período e cenário .

47

Nessa restrição também será tratada a exceção para o caso onde existam agregadas em

um sistema com caso em V, onde a opção (c) discutida na seção 3.3 é tomada. Ou seja,

uma agregada que não contenha reservatórios, com agregadas individuais para cada

reservatório a montante.

Neste caso, a restrição para essa Usina Agregada em especial será:

(34)

Portanto, foi construído um modelo próprio para essa usina agregada. Mas é garantido,

com essa modificação, que sua operação é definida pela defluência dos reservatórios a

montante.

6.3 Balanço hídrico

Segundo o princípio de conservação da massa, o volume da água que aflui a um

reservatório deve ser igual ao volume que deflui do mesmo, em qualquer instante de

tempo. Dito de outro modo, a quantidade de volume que chega ao reservatório deve ser

igual à soma dos volumes evaporado, infiltrado, deplecionado e resultante da variação

do nível no reservatório durante o estágio. Desse modo, desprezando os efeitos de

evaporação e da infiltração, tem-se que:

6.3.1. Formulação Tradicional

(35)

Em que,

é o número de períodos/estágios considerados ;

é o número de usinas hidroelétricas UHEs presentes na configuração;

48

é o conjunto de usinas hidroelétricas UHEs localizadas imediatamente à montante da i-ésima UHE;

é o índice associado ao conjunto de ;

é o volume armazenado no reservatório da i-ésima UHE no final do estágio t em (hm3)

é a vazão turbinada pela x-ésima UHE durante o estágio t (m3/s)

é a vazão vertida pela x-ésima UHE durante o estágio t (m3/s)

é o fator de conversão da unidade de vazão (m3/s) para a unidade de

volume (hm3) considerando a duração do estagio de interesse;

é a vazão afluente incremental ao reservatório da i-ésima UHE no período t

(m3/s)

No modelo individualizado, cada usina terá sua restrição própria e influenciará em sua

jusante. As usinas a fio d’água também são consideradas. Para este caso o volume é

nulo nessa restrição.


No modelo agregado, as usinas a fio d’água não terão qualquer restrição a elas

associadas na resolução do problema linear. O balanço hídrico para essas usinas é

automaticamente considerado na construção do modelo para a função de produção

múltipla FPHAG.

Quanto às usinas com reservatório, que ditam a operação do sistema, duas modificações

são necessárias, em relação ao modelo tradicional:

Como uma das variáveis de decisão é a defluência das Usinas Agregadas , ao

invés da defluência da usina individualizada imediatamente à montante, deve ser

considerada a defluência do conjunto de usinas Agregadas

imediatamente à montante do reservatório i.

De forma consequente a primeira modificação, deve-se incluir como vazão

afluente adicional a cada reservatório, a soma dos valores (conhecidos) de

vazões naturais incrementais das usinas a fio d’água a montante, até o primeiro

reservatório antecessor na cascata. Esse conjunto de fio d´águas a montante é

representado como

49

(36)

Onde,

é o número de reservatórios no sistema;

é a defluência da Usina Agregada i durante o período t;

é a defluência da usina agregada m, imediatamente à montante, durante o

período t;

é a afluência incremental de cada usina a fio d’água j, no estágio t, que

pertence ao conjunto

6.4 Atendimento à demanda

Essas restrições garantem que a energia gerada total nas UHEs e UTEs (incluindo o

défict) seja igual à demanda de energia do sistema para cada estágio do horizonte de

planejamento.


(37)

Em que,

é o número total de UHEs do sistema;

é a energia gerada pela i-ésima UHE no estágio t (MWh);

é o número de usinas térmicas da configuração;

50

é a energia gerada pela j-ésima usina termoelétrica UTE no estágio t

(MWh);


Para o modelo agregado o conjunto de gerações individuais é substituído pela variável

referente à geração da Usina Agregada. Para isso, todas as usinas devem pertencer ao

mesmo conjunto para o qual a restrição se aplica (ex: mesmo subsistema), o que em

geral já ocorre nos modelos de médio e longo prazo.

É considerada a exceção, conforme já discutido anteriormente, do caso onde existam

Usinas Agregadas sem reservatório em sua configuração e sem usinas agregadas à

montante. Para esse caso se faz necessário descontar, na parcela da Demanda, a geração

dessas usinas agregadas, que é fixa uma vez que as depende apenas do cenário de

vazão afluente.

(38)

Onde.

é o número de Usinas Agregadas que possuem restrição no PPL;

é o número de Usinas Agregadas que não possuem restrição no PPL, ou

seja, compostas apenas de usinas a fio d’água e que não possuem

reservatório a montante na cascata.

é a geração da Usina Agregada, no período t, que possui geração fixa

calculada a priori.

6.5 Limites para as variáveis de geração


51

No modelo individualizado, cada usina tem seu limite próprio de Geração, que entra no

problema de programação linear como uma inequação linear:

(39)

Onde,

é a variável de geração individual da usina i no período t;

é a geração máxima dessa usina i, com base nas características operacionais;


No modelo agregado, as restrições de geração são para cada Usina Agregada. Portanto,

as inequações lineares são da seguinte forma:

(40)

Em que,

é a variável de geração agregada da usina agregada i no período t;

é a geração máxima da Usina Agregada i;

é a geração máxima da usina individual j;

é o numero de usinas individuais que compõem a usina agregada i;

6.6 Limites para as variáveis de operação hidráulica


52

No modelo individualizado, consiste de inequações lineares que definem os limites das

variáveis de vazão turbinada e vazão vertida de cada usina UHE da configuração.


Já no modelo agregado, essas inequações definem o limite da variável de decisão

defluência para cada usina agregada i.

6.7 Síntese das modificações

Abaixo, uma tabela mostra uma síntese dos blocos das restrições para o PPL que foram

ou removidas ou modificadas ou inseridas, para a utilização do modelo agregado –

FPHAG

Tabela 1. Síntese das Modificações para o Problema da Coordenação Hidrotérmica considerando a

modelagem FPHAG

V a r i á v e l ►

Restrição ▼

V o l u m e

(1...NDAM)

Turbinamento

(1...NUSIH)

Vertimento

(1...NUSIH)

Defluência

(1...NDAM)

GH

(1...NFPHA)

GHA

(1...NFPHAG*) R H S

BH

ID

(1..

.NU

SIH

)

(1..

.ND

AM

)

Modificado R e m o v i d o Removido I n s e r i d o - - Modificado

DEM

(1..

.NSI

ST)

- - - - Removido I n s e r i d o Modificado

FPH

A

(1..

.NFP

HA

)

Removido R e m o v i d o Removido - Removido - Removido

FPH

AG

(1..

.NFP

HA

G*)

I n s e r i d o - - I n s e r i d o Removido I n s e r i d o I n s e r i d o

53

7. Pós-processamento após a

resolução do problema para obter

operação individualizada das

usinas

A saída do problema de otimização (PPL) para o modelo agregado terá como principais

soluções a geração da usina agregada i e a defluência e armazenamento dos

reservatórios que compõem o sistema, em cada período t analisado.

Dessa forma, é necessário realizar um tratamento desses dados para atribuir a cada usina

sua parcela de geração individualizada, assim como a obtenção dos valores de

turbinamento e vertimento para a operação hidráulica de todas as usinas

do sistema.

7.1 Gerações individuais

O cálculo preliminar da parcela de geração a ser atribuída a cada usina

individualizada j é feito utilizando-se como referência a parcela da geração dessa

usina na geração exata da usina agregada , obtida a partir dos valores de

de cada reservatório dessa usina agregada. Obtidos

como resultado do PPL.

(41)

54

Feita essa parte preliminar, foi desenvolvida uma rotina proposta para o caso de alguma

Usina Individual atingir sua geração máxima. Nesse caso, essa a geração dessa Usina é

fixada com sua geração máxima e existirá uma sobra de geração,

, que deve ser alocada entre as outras usinas a jusante que pertencem à

Usina Agregada. A rotina é resumida a seguir.

Inicialização: Analisa a geração de cada usina individual na cascata. Caso (

Geração da usina é maior que o máximo) o algoritmo é chamado.

Algoritmo : Atualiza o índice do conjunto

de usinas que

podem ter acréscimo em sua geração (não atingiram o máximo). Atualiza cada geração

individual por

. Analisa as gerações das usinas, se

encontrar usina com geração acima da permitida, , repete o algoritmo.

7.2 Operação hidráulica

A operação hidráulica de cada usina individual, isto é o valor de turbinamento e

vertimento, é automaticamente calculado na rotina que obtém a parcela de geração

individualizada de cada usina pertencente à usina agregada. Esse cálculo tem como base

a defluência dos reservatórios de montante e as afluências incrementais que chegam a

cada usina para o período t.

Para os reservatórios

Para as usinas a fio d’água de jusante

Agora, a defluência que chega à primeira usina a jusante do reservatório é calculada

como:

. Caso exista outra usina a fio d’água a jusante desta usina j,

a defluência será

e assim por diante, percorrendo as usinas

que compõem a agregada.

55

Dessa maneira, os valores de turbinamento e vertimento são obtidos de forma

semelhante:

56

8. Resultados numéricos para o

sistema brasileiro

Nesta seção serão discutidos e ilustrados os resultados obtidos na aplicação da

metodologia proposta em diversos conjuntos e topologias hidrológicas presentes no

sistema real brasileiro. Utilizaremos os dados oficiais das usinas na programação da

operação realizada pelo ONS. O programa desenvolvido para obter tais resultados foi

escrito em FORTRAN, por diversos motivos, como, por exemplo: compatibilidade com

a linguagem utilizada atualmente nos softwares de coordenação hidrotérmica do sistema

brasileiro (Fortran e C) e possibilidade de comparação direta com o modelo

individualizado (FPHA), em termos de custo computacional, já que este já havia sido

implementado em Fortran.

O capitulo foi dividido em três partes para melhor entendimento e distribuição dos

dados e resultados. Primeiramente, será abordado o formato da função de produção

hidroelétrica múltipla – FPHM. Feito isso, serão mostrados os resultados obtidos após a

aproximação pelo modelo linear por partes para a função de produção – FPHAG.

Finalmente, serão discutidos os resultados preliminares para a coordenação hidrotérmica

utilizando o modelo proposto.

8.1 Analise do formato da FPHM

Iremos, inicialmente, realizar uma analise detalhada da função de produção múltipla

exata – FPHM para um conjunto de quatro usinas hidroelétricas. A topologia desse

conjunto, que formará uma Usina Agregada, é mostrada na Figura 24. Na Tabela 2, são

listadas características das usinas do exemplo em questão. A Tabela 3 mostra os

coeficientes dos polinômios cota montante ou jusante para cada usina, os

polinômios cota montante para as usinas a fio d’água foram emitidos, uma vez que são

constantes.

57

Tabela 2. Características das Usinas que compõem a Agregada

Os limites para o armazenamento do reservatório de Mascarenhas de Moraes é

e

Tabela 3. Polinômios cota para o caso em questão.

Coef

=1

=1 =2 =3 =4

0 6,42e-2 6,19e+2 5,57 e+2 5,10e+2 4,94e+2

1 8,09e-03 1,73e-3 1,22e-3 1,77e-3 7,82e-4

2 -3,70e-07 -4,89e-8 -7,51e-8 -7,40e-8 -1,04e-7

3 -7,11e-11 - 2,16e-12 1,12e-11 -

4 9,12e-15 - - -4,80e-16 -

Uma grade de pontos é mostrada na Tabela 4, com as gerações individuais e os valores

de e de cada usina e a geração total para cada ponto de defluência do

reservatório, mantendo as afluências naturais incrementais constantes nos valores

Usina

Produtividade

Específica

(MW/(m3/s)

Perdas

(% ou m)

m=1 0,0083 0,80% 1328,0 478,0

j=1 0,0088 1,50% 2028,0 1150,0

j=2 0,0089 1,34% 1076,0 450,0

j=3 0,0090 0,30 m 1480,0 230,0

Total - - 5921,0 2308,0

Jaguara

Igarapava

M. Moraes

(

Estreito

Figura 24. Topologia hídrica do conjunto de Usinas do exemplo

58

médios de cadastro MLT e o volume de água do reservatório em 50% de sua capacidade

máxima.

Tabela 4. Grade de pontos para a FPHM – Exemplo Ilustrativo

m=1 j=1 j=2 j=3

Qdef Qtur Qver GHind Qtur Qver GHind Qtur Qver GHind Qtur Qver GHind GHTOT

0,0 - - 0,0 272 - 155,13 548,0 - 232,47 1115 - 171,65 559,26

265,6 265,6 - 89,5 538 - 304,89 813,6 - 341,89 1381 - 210,82 947,14

531,2 531,2 - 177,1 803 - 453,30 1076 3,2 447,93 1480 166,2 228,11 1306,44

796,8 796,8 - 262,7 1069 - 600,42 1076 268,8 443,75 1480 431,8 226,23 1533,14

1062,

4 1062 - 346,4 1334 - 746,31 1076 534,4 439,62 1480 697,4 224,55 1756,97

1328,

0 1328 - 428,3 1600 - 891,05 1076 800 435,53 1480 963,0 223,07 1978,04

1593,

6 1328 265,6 423,7 1866 - 1034,69 1076 1065,6 431,47 1480 1228 221,78 2111,70

1859,

2 1328 531,2 419,1 2028 103,7 1120,02 1076 1331,2 427,42 1480 1494 220,69 2187,33

À medida que a defluência do reservatório cresce, existe a possibilidade de que alguma

UHE a Jusante na composição da Usina Agregada atinja seu valor máximo de

turbinamento, passando a verter água. Isso é bem exemplificado na Tabela 4, onde as

afluências incrementais estão fixadas em 272,5, 277,5 e 567 m3/s, para Estreito, Jaguará

e Igarapava respectivamente.

Observa-se que para o terceiro ponto de , a afluência que chega a Jaguará é de

, resultando em um vertimento de

.

59

Nesse mesmo ponto, a afluência que chega a Igarapava é de

, o que

causa

.

O sexto ponto de defluência é o valor máximo operacional de M. de Moraes. Portanto,

nos próximos pontos essa usina passará a verter.

Finalmente, Estreito só atinge, nesse caso, seu valor máximo no ultimo ponto mostrado

da Tabela 3, onde

e, por conseguinte, verte

.

Os pontos onde uma usina individual atingiu seu máximo operacional de turbinamento

são chamados de pontos de não diferenciabilidade da Usina Agregada, uma vez que a

partir desse ponto, um acréscimo na afluência da usina em questão causará, devido ao

vertimento, uma variação brusca na produtividade da Agregada, reduzindo a eficiência

do conjunto.

O gráfico da geração exata dessa usina agregada, em função do armazenamento e da

defluência do reservatório de montante, encontra-se na Figura 25. Também é disposto,

na Figura 26, uma analise de sensibilidade da geração desse conjunto quando a

afluência incremental em uma usina a fio d’água específica é variada, mantendo-se

constante o par e as afluências naturais das outras usinas. Em cada caso, os

pontos de não diferenciabilidade aparecem nos instantes que as usinas de jusante

atingem ou seu turbinamento ou potência máxima.

60

Figura 25. Geração Hidroelétrica do conjunto ( M. de Moraes, Estreito Jaguará e Igarapava) em

função da operação de M. de Moraes.

Figura 26. Análise de sensibilidade em relação à variação na vazão incremental de cada uma das

usinas a fio d´’agua, respectivamente da esquerda para a direita.

Em seguida, apresentamos primeiramente a topologia hidráulica na Figura 27, onde o

índice M refere-se à usina agregada criada e, em seguida, a função de produção

múltipla, Figura 28 e Figura 29.

61

Figura 27. Topologia e Usinas Agregadas formadas

É válido ressaltar que mudamos a ordem dos eixos de defluência e volume do

reservatório de montante nos gráficos acima. Isso foi feito apenas para dar outra visão

do gráfico da geração hidroelétrica múltipla

Figura 28. Geração Hidroelétrica para a Usina Agregada ( M = 1)

0.00 72.80

145.60 218.40

291.20 364.00

436.80 509.60

582.40 655.20 728.00

.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

140.000

160.000

180.000

200.000

.0

10

.0

20

.0

30

.0

40

.0

50

.0

60

.0

70

.0

80

.0

90

.0

10

0.0

Defluência (m³/s)

Ge

raçã

o H

idro

elé

tric

a (M

W)

V(%)

Agregada 1

180.000-200.000

160.000-180.000

140.000-160.000

120.000-140.000

100.000-120.000

80.000-100.000

60.000-80.000

40.000-60.000

20.000-40.000

.000-20.000

62

Figura 29. Geração Hidroelétrica para a Usina Agregada ( M = 2)

8.2 Modelagem linear por partes da FPHAG

Nessa seção, serão apresentados resultados da aproximação da FPHM por um modelo

linear por partes, resultando na FPHAG. Feito isso, será realizada uma comparação

entre a função aproximada com a geração real da usina agregada e com a aproximação

pelo modelo individualizado. O confronto dos modelos apresentará os desvios em

relação à função exata e o número de cortes ou restrições de geração construídos.

No sentido de permitir uma avaliação do modelo agregado para diferentes condições,

consideraremos 12 cenários diferentes para os dados de entrada das afluências

incrementais das usinas a fio d’água (necessários para gerar a FPHM), que

correspondem aos doze meses extraídos do histórico. Por isso, são construídos 12

diferentes funções de produção múltipla – FPHM, assim como 12 aproximações dessa

função pelo modelo linear por partes – FPHAG, para cada usina agregada. Também será

computada a aproximação linear para cada usina individual (FPHA), por motivos de

comparação.

0.00 128.80

257.60 386.40

515.20 644.00

772.80 901.60

1,030.40 1,159.20 1,288.00

.000

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

.0

10

.0

20

.0

30

.0

40

.0

50

.0

60

.0

70

.0

80

.0

90

.0

10

0.0

Defluência (m³/s)

Ge

raçã

o H

idro

elé

tric

a (M

W)

V(%)

Agregada 2

500.000-600.000

400.000-500.000

300.000-400.000

200.000-300.000

100.000-200.000

.000-100.000

63

8.2.1. Descrição do sistema

De forma a analisar o modelo de forma mais ampla, o sistema será composta de diversas

cascatas totalizando 51 usinas, que fazem parte do sistema hídrico brasileiro.

Os índices das usinas, mostrados na Figura 30, são os mesmos utilizados no

planejamento central do sistema Brasileiro, que é realizado pelo Operador Nacional do

Sistema, com a cadeira de otimização descrita em [9]. Todas as informações

características a essas usinas encontram-se disponíveis para acesso no site da ONS

(http://www.ons.org.br).

Figura 30. Cascata de Usinas Hidroelétricas e Usinas Agregadas formadas.

Para a criação dos modelos aproximados, foi considerada uma grade de discretização de

5 pontos para o armazenamento ( ), tanto para a FPHA quanto para a FPHAG, com

uma janela de 20% em torno do volume inicial (ver tabela V em [12] ). O turbinamento,

no modelo individualizado, também foi discretizado em 5 pontos, uma vez que produz o

melhor “trade-off” entre acurácia e tempo de processamento na resolução do problema

de despacho hidrotérmico [12]. Quanto a defluência no modelo agregado, a

http://www.ons.org.br/

64

discretizamos em 3 pontos quanto a operação do reservatório de montante por duas

razões: (i) pontos adicionais de vão ser automaticamente incluídos quando alguma

usina a jusante atingir seu máximo operativo de turbinamento; (ii) como a FPHAG

tende a apresentar mais pontos em sua envoltória convexa (uma vez que é composta por

mais de uma função de produção individual), utilizar o mesmo número de “breakpoints”

para os dois modelos geraria um número maior de cortes para a FPHAG, aumentando o

tempo computacional.

8.2.2. Inequações construídas para algumas usinas agregadas

Na Tabela 5, apresentaremos os planos que definem a envoltória convexa da Função de

Produção Hidroelétrica Múltipla Aproximada para algumas usinas agregadas. Os cortes

das demais usinas agregadas encontram-se no Apêndice [11]. Por motivos visuais,

apresentamos apenas os cortes para o um cenário, lembrando que existem 12 períodos e

que para cada período ou estágio são construídos FPHAGs diferentes e, portanto, cortes

diferentes.

Tabela 5. Coeficientes dos Planos ou Cortes que definem a FPHAG para cada usina Agregada

Índice da Agregada RHS/ (MW)

M = 1 (3 USIH)

224,17 0,1598 0,0388

232,00 0,2018 0,0000

224,95 0,1610 0,0350

225,42 0,1624 0,0326

225,73 0,1638 0,0311

M=2 (1 USIH)

-66,06 0,7266 0,0128

0,00 0,7833 0,0000

-49,41 0,7365 0,0096

-10,03 0,7675 0,0019

-72,85 0,7167 0,0157

-67,84 0,7197 0,0143

-66,06 0,7239 0,0132

M=3 (6 USIH)

1553,81 0,90002 0,03587

1580,72 0,9427 0,0000

1555,16 0,9006 0,0341

1556,46 0,9017 0,0323

1557,69 0,9033 0,0307

1675,59 0,7191 0,0612

65

1673,73 0,7459 0,0359

1677,12 0,7201 0,0582

1677,86 0,7220 0,0552

1677,86 0,7247 0,0524

1674,18 0,7476 0,0341

1675,48 0,7487 0,0323

1677,54 0,7493 0,0307

Cada um desses cortes comporá uma restrição no PPL para a geração da usina

hidroelétrica. Como mostrado anteriormente,

É interessante observar que a usina agregada #2 tem valores de coeficiente

independente negativos. A princípio, esses valores seriam considerados

inadequados, uma vez que para valores nulos de defluência e armazenamento sua

geração seria negativa, fato certamente incoerente. Porém, essa usina agregada é

composta de apenas uma usina e essa usina possui restrições de turbinamento mínimo o

que explica os valores negativos para o lado direito das equações dos planos que

compõem sua envoltória convexa. Ou seja, não é necessário representar bem a função

para o ponto de defluência nula.

Um dos objetivos principais da FPHAG é obter um conjunto de variáveis e restrições

mais conciso para o problema de coordenação hidrotérmica se comparado com o

modelo individualizado. Dessa maneira, é apresentado na Tabela 6 o número médio de

cortes, considerando os 12 períodos analisados, tanto na FPHA quanto na FPHAG.

Como estamos fazendo referencia a cada Usina agregada, o número médio de cortes no

modelo individualizado foi calculado como a soma das médias do número de cortes de

cada usina individual que compõem o índice da usina agregada em questão.

66

Tabela 6. Número de restrições de geração para os modelos agregado e individualizado.

Índice da

Agregada

# restrições

(FPHAG)

# restrições

(FPHA)

Índice da

Agregada

# restrições

(FPHAG)

# restrições

(FPHA)

1 6.0 11.0 13 7.0 14.0

2 7.0 11.0 14 10.5 18.0

3 10.2 31.0 15 9.3 27.0

4 13.3 19.0 16 11.1 19.0

5 7.0 14.0 17 9.0 29.0

6 9.0 15.0 18 7.0 11.0

7 9.0 28.0 19 7.0 11.0

8 5.0 11.0 20 8.7 11.0

9 11.0 15.0 21 8.8 19.0

10 7.0 11.0 22 11.1 19.0

11 12.0 19.0 23 8.4 26.0

12 11.3 15.0 Média 8.94 17.57

Podemos perceber que a modelagem proposta nesse documento reduz o número de

restrições de geração hidroelétrica em cerca de 50 % em relação à modelagem

individual. Portanto, uma grande vantagem dessa abordagem é diminuir o tamanho do

problema de programação linear para o despacho hidrotérmico e, se possível, sem perda

sensível de acurácia como será mostrado a seguir.

É válido ressaltar que se utilizássemos mais pontos para discretizar a variável de

defluência o número de cortes gerados aumentaria. Por exemplo, ao testarmos 5 pontos,

mais os pontos de quebra no turbinamento máximo, o número de cortes gerados para o

sistema em questão foi de, aproximadamente, 21, tornando o modelo agregado menos

viável em comparação com o individual.

Ainda, como foi discutido no Capitulo 6, reduções adicionais para o PPL foram

implementadas, uma vez que equações de balanços hídricos e algumas restrições

67

operativas, como demanda, foram adequadas para as usinas agregadas. As equações de

balanço hídrico, onde possuíam uma restrição por usina para o modelo individualizado,

com a modelagem agregada possuem uma restrição por reservatório. Já as equações de

demanda por exemplo, que possuíam variáveis para cada usina individual, passam a

possuir variáveis para cada usina agregada.

8.2.3. Análise dos desvios

Para analisar o erro relativo existente entre a aproximação linear que fizemos para a

função de produção exata de uma Usina Agregada, selecionamos determinado número

de “pontos de operação” para o reservatório de montante e compomos uma

grade de pontos. Para cada um desses pontos, calculamos tanto geração exata dessa

usina agregada – FPHM quanto à geração aproximada pelo modelo linear por partes –

FPHAG.

A Figura 31 mostra a média desses desvios para cada uma das 23 Usinas Agregadas. A

título comparativo, calculamos também a média dos desvios utilizando o modelo

individualizado. O desvio da FPHA, nesse caso, foi calculado como a soma dos desvios

entre a geração real e a aproximada de cada usina individualizada que compõe a Usina

Agregada.

Figura 31. Comparação entre acurácia do modelo individualizado FPHA e do modelo proposto

FPHAG quanto as suas funções exatas (MW).

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Erro

mé

dio

(M

W)

Índice da usina Agregada

FPHA

FPHAG

68

É importante ressaltar que o objetivo da Função de Produção Hidroelétrica Múltipla

Aproximada não é obter um modelo mais acurado do que [12], mas sim obter um nível

de acurácia o mais perto possível deste, com a vantagem de se modelar usinas

agregadas, diminuindo o tamanho do problema para o cálculo do despacho

hidrotérmico.

Olhar apenas os desvios absolutos em MW pode ser ilusório, por exemplo: A diferença

de 6 MW entre os desvios da Usina Agregada #9 pode ser desprezível caso a geração da

usina seja alta. Por esse motivo, mostramos na Tabela 7 abaixo os desvios médios

relativos para cada um dos modelos analisados.

Tabela 7. Desvio Médio Relativo da FPHA e FPHAG quando comparados com sua respectiva

função de produção exata.

Índice da

Agregada

Desvio (%)

FPHAG

Desvio (%)

FPHA

Índice da

Agregada

Desvio (%)

FPHAG

Desvio (%)

FPHA

1 0,3 0,40 14 0,48 0,62

2 0,8 0,73 15 0,24 0,06

3 0,75 0,54 16 1,95 0,00

4 1,28 0,62 17 0,23 0,31

5 3,2 4,67 18 5,88 10,25

6 0,22 0,33 19 3,08 3,20

7 0,23 0,07 20 0,78 0,20

8 0,31 0,00 21 1,05 0,49

9 0,75 0,99 22 0,62 0,42

10 0,55 0,12 23 0,89 0,82

11 0,22 0,73 Valor

máximo 5,88 10,25

12 0,36 0,08 Média 1,09 1,22

13 0,99 0,00

69

Os resultados indicam, primeiramente, uma boa acurácia da modelagem agregada para a

função de produção hidroelétrica. Pode ser visto que a FPHAG produz resultados

similares ao modelo individualizado e, em alguns casos com maior eficácia. No

exemplo em questão, o modelo agregado teve média de erro relativo inferior,

principalmente devido a Usina Agregada #18. Em geral, é observado que o modelo

Agregado obtém uma acurácia de apenas 10% inferior ao modelo individualizado e com

menor variância. A principio acredita-se que, ao somar as gerações de todas as usinas, o

comportamento fortemente côncavo da função para as usinas a fio d´água tende a

atenuar os trechos não côncavos da função individual da usina com reservatório,

favorecendo uma melhor aderência da envoltória convexa para a função de produção

aproxima.

8.3 Problema de coordenação hidrotérmica com a

FPHAG

Por fim, essa seção apresentará estudos de caso de aplicação do modelo agregado –

FPHAG – para um problema simplificado de despacho hidrotérmico, composto de 12

meses. Considerou-se um cenário determinístico para esse horizonte, pois o objetivo era

de simplesmente avaliar a acurácia e eficiência da modelagem à medida que cada

reservatório excursionasse por diversos valores de volume armazenado e as usinas

estivessem sujeitas a diferentes níveis de valores de afluência natural incremental.

A biblioteca OSL [18] foi utilizada para a resolução do problema de programação linear

da função objetivo, sujeito as restrições montadas e discutidas no capítulo 6. Os

experimentos foram realizados em um computador com processador Intel Quad Core ™

@2,83 GHz, 4 GB de memória RAM e sistema operacional de 32 bits.

Os casos analisados são apresentados na Tabela 8 abaixo. Foram escolhidas algumas

cascatas representativas, onde a cada caso será aumentado o número de cascatas e

usinas que representam o sistema e, por fim, será analisado um caso com a maioria das

UHE que compõem o sistema interligado brasileiro (SIN), como mostrado na Figura 32.

Os casos compreendem 40 usinas térmicas com custos de geração quadráticos, que

70

foram considerados no problema de acordo com a modelagem linear por partes

dinâmica apresentada em [24].

Figura 32. Diagrama Esquemático das Usinas Hidroelétricas do SIN ( 2015)

71

Tabela 8. Tabela com descrição dos casos que serão analisados para o problema de coordenação

hidrotérmica utilizando a FPHAG.

Caso Número Total de

Usinas

Número de

Reservatórios

Número de Usinas

Agregadas

1 7 2 2

2 10 5 5 + ITAIPU

3 50 24 23

4 100 51 50

8.3.1. Análise do tamanho do problema

Como visto na seção anterior, a construção da função de produção hidroelétrica

aproximada pelo modelo linear por partes para as Usinas Agregadas, diminui em cerca

de 50% o número de planos que representam sua envoltória convexa, em comparação

com o modelo individualizado. Esses planos definem restrições de Geração para o

problema de despacho hidrotérmico como um PPL.

Ainda, como mostrado no capitulo 6, o modelo agregado permite diminuir o tamanho

do PPL em outras restrições, como nas equações de balanço hídrico e alteração de

restrições operativas ( ).

Nas tabelas a seguir são mostrados, para cada caso e para ambas as modelagens, o

número de colunas, linhas e elementos que compõem a Matriz Linear que representa o

problema.

Tabela 9. Características da matriz linear do PPL para o caso 07 UHE

Caso 07 UHE

Modelo

Agregado

Modelo

Individualizado

Discrepância

Relativa

# Linhas 611 984 61%

# Colunas 192 456 138%

# Elementos 2355 3884 65%

72

Tabela 10 Características da matriz linear do PPL para o caso 10 UHE

Caso 10 UHE ( ITAIPU)

Modelo

Agregado

Modelo

Individualizado

Discrepância

Relativa

# Linhas 888 1296 49%

# Colunas 360 588 63%

# Elementos 3441 5141 49%


Caso 50 UHE

Modelo

Agregado

Modelo

Individualizado

Discrepância

Relativa

# Linhas 4576 6024 32%

# Colunas 1200 2832 136%

# Elementos 17980 23914 33%


Caso 100 UHE

Modelo

Agregado

Modelo

Individualizado

Discrepância

Relativa

# Linhas 9419 14388 53%

# Colunas 2472 5196 110%

# Elementos 36970 57309 55%

73

É possível perceber redução significativa no tamanho da Matriz que representa o

problema linear para o despacho hidrotérmico o que é uma grande vantagem ao utilizar

a modelagem proposta nesse documento.

8.3.2. Análise do custo computacional

Espera-se que a diminuição vista na seção anterior impacte diretamente o tempo

computacional na resolução do problema de programação linear.

As Tabelas 13 a 16 mostram para cada sistema de estudo o custo computacional para a

preparação e montagem da Matriz Linear e a resolução do PPL tanto para a modelagem

agregada quanto a individualizada. Também é mostrada o número de iterações

necessárias para a convergência do problema em questão.

Tabela 13. Custo computacional de ambas modelagens para o caso 07 UHE

CASO 07 USINAS

FPHAG FPHA

Duração

(segundos) %

Duração

(segundos) %

Preparação 0,02 0,8 0,02 0,17

Montagem 0,28 13 0,67 2,70

Resolução 4,45 83,56 13,77 91,78

# Iterações 11 09

A FPHAG foi concebida visando aplicações para o planejamento do despacho

hidrotérmico de sistemas de grande porte, e para o médio ou longo prazo, onde a

incerteza passa a ser motivo de foco e importância. Porém, o caso com apenas sete

usinas, mostrado na Tabela 13, por ter convergência demorada em termos de iterações,

conseguiu evidenciar a eficiência do modelo agregado perante o individualizado. O

custo computacional foi reduzido consideravelmente, sendo a FPHAG cerca de 3 vezes

mais rápida que a FPHA.

74


CASO 10 USINAS (ITAIPU)

FPHAG FPHA

Duração

(segundos) %

Duração

(segundos) %

Preparação 0,02 2,12 0,02 2,14

Montagem 0,32 40,06 0,28 37,53

Resolução 0,12 16,71 0,20 26,54

# Iterações 1 (uma) 1 (uma)

Já para uma pequena cascata englobando Itaipu, a convergência se deu rapidamente em

apenas uma iteração para aproximação dos custos quadráticos de geração, o que indica

que as usinas térmicas ou estão em sua geração mínima ou máxima. Dessa maneira, os

ganhos totais em eficiência para a FPHAG se tornam negligíveis perante o modelo

individualizado.


CASO 50 USINAS

FPHAG FPHA

Duração

(segundos) %

Duração

(segundos) %

Preparação 0,02 0,24 0,02 0,06

Montagem 0,48 6,95 0,44 1,49

Resolução 5,33 76,71 27,55 95,45

# Iterações 5 6

Para um caso mais abrangente, com 50 usinas individuais, o impacto do uso de Usinas

Agregadas com a consequente aproximação da Função de Produção Hidroelétrica

Múltipla é ainda mais evidenciado. A FPHAG quase chega à marca de cinco (5) vezes o

tempo computacional necessário para resolução do PPL, quando comparada ao modelo

Individualizado.

75


CASO 100 USINAS

FPHAG FPHA

Duração

(segundos) %

Duração

(segundos) %

Preparação 0,05 0,31 0,02 0,01

Montagem 0.94 4,84 0,61 0,35

Resolução 28,28 82,85 145,25 96,65

# Iterações 3 5

Por fim, foi estudo um caso com a maioria das usinas hidroelétricas do Sistema

Interligado Brasileiro. Para esse caso, os tempos computacionais para os modelos

encontram-se na Tabela 16. Novamente, percebe-se ganho computacional considerável,

cerca de 5 vezes superior, ao utilizar o modelo proposto nesse documento, perante o

modelo individualizado das usinas hidroelétricas.

76

9. Conclusões

9.1 Considerações Gerais

Um aspecto de fundamental importância nos modelos de coordenação hidrotérmica é a

modelagem da geração das usinas hidroelétricas que é, em geral , uma função não linear

do seu estado – volume armazenado e de sua operação – turbinamento e vertimento.

Essa função costuma ser chamada de Função de Produção Hidroelétrica Individual –

FPH.

Este trabalho apresentou um novo modelo para a representação do parque hidráulico,

sendo um intermediário entre a modelagem equivalente e a individualizada, onde usinas

com reservatório são agrupadas com sequencias de usinas a fio d’água a jusante na

cascata, formando uma usina agregada. Dessa maneira, precisamos construir funções de

produção apenas com base nas usinas com reservatório, sem perda sensível de acurácia

e com a principal vantagem de diminuir razoavelmente o número de equações e

restrições no problema de programação linear (PLL) para o despacho hidrotérmico. Ao

modelo da geração de tais usinas agregadas deu-se o nome de Função de Produção

Hidroelétrica Múltipla- FPHM e a aproximação dessa função por um modelo linear por

partes, necessário para a resolução do despacho hidrotérmico por um problema de

programação linear, foi chamada de Função de Produção Hidroelétrica Múltipla

Aproximada – FPHAG.

Essa nova abordagem permite se representar as características individuais das usinas

dentro do problema de coordenação hidrotérmica, como balanço hídrico, afluências

naturais, evaporação, geração (FPHAG) e eventuais restrições de defluências ou

afluência mínima para as usinas hidroelétricas, sem premissas de operação pré-

estabelecidas.

77

Os resultados comprovaram, de forma preliminar, a eficiência do uso do modelo

proposto. O reduzido número de restrições geradas no PPL permite menor

complexidade e menor custo computacional ao se resolver o problema do despacho

hidrotérmico. Também foi mostrado, para dados reais de usinas hidroelétricas que

compõem o sistema interligado nacional (SIN) que o uso da FPHM não resulta em

perda sensível de acurácia, quando comparado com o modelo individual.

Em particular, o modelo agregado torna-se mais interessante para o planejamento de

médio e longo prazo, como uma abordagem mais acurada para a representação das

usinas quando comparada ao modelo de reservatórios equivalentes de energia, hoje

utilizado pelo NEWAVE. Para o planejamento com horizontes mais longos, considera-

se apenas usinas com regularização mensal, o que propicia a existência de diversas

usinas com modelagem a fio d’água na topologia, o que aumenta a eficácia do modelo

proposto. Além disso, alguns aspectos que não poderiam ser representados pelo modelo

agregado já não são considerados em geral para esses horizontes, como, por exemplo, o

unit commitment das usinas hidroelétricas, tempos de viagem da água, restrições de

rampa de geração e restrições elétricas internas aos subsistemas de energia.

Ainda, é notório ressaltar que restrições ambientais tem forçado a maioria das novas

usinas hidroelétricas a serem construídas como fio d’águas, tornando ainda mais

interessante e eficiente o uso da FPHM.

78

9.2 Trabalhos Futuros

O modelo agregado ainda necessita de mais testes tanto comparativos com os modelos

de coordenação existentes (DECOMP e NEWAVE) tanto testes qualitativos para ser

validado e reconhecido perante a comunidade cientifica nacional. Porém, trabalhos

futuros já estão sendo avaliados, como:

Desenvolvimento do modelo para o tratamento estocástico no planejamento em

longo prazo para grandes sistemas.

Integração com o software de coordenação hidrotérmica DECOMP

Modelagem híbrida, onde se integraria a modelagem individualizada para

alguma usina especifica. Essa usina não faria parte de nenhuma usina agregada e

permitira maior nível de detalhamento em certas usinas especificas e importantes

do sistema.

79

10. Referências

[1] M.E.P. Maceira, L.A. Terry, F.S. Costa, J. M. Damazio, A C. G. Melo, “Chain

of optimization models for setting the energy dispatch and spot price in the Brazilian

system”, Proceedings of the Power System Computation Conference - PSCC’02, Sevilla,

Spain, June 2002.

[2] D. D. J. Penna, M. E. P. Maceira, J.M. Damázio, “Selective sampling applied to

long-term hydrothermal generation planning”, 17th PSCC - Power Syst. Comp. Conf.,

Stockholm, Sweden, Aug. 2011.

[3] A. Helseth, B. Mo, G. Warland, “Long-term scheduling of hydro-thermal

power systems using scenario fans”, Energy Systems, v.1, n.4, pp. 377-391, Dec. 2010.

[4] M.E.P. Maceira, V. S. Duarte, D.D.J. Penna, M.P. Tcheou, “An approach to

consider hydraulic coupled systems in the construction of equivalent reservoir model in

hydrothermal operation planning”, 17th Power Systems Computation Conference – PSCC,

Stockholm, Sweden, 2011.

[5] S.H.F. Cunha, S. Prado, J.P. Costa, “Modelagem da produtividade variável de

usinas hidrelétricas com base na construção de uma função de produção energética”, XII

Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos, ABRH, anais 2, 391-397, 1997.

[6] A. L. M. Marcato, “Representação híbrida de sistemas equivalentes e

individualizados para o planejamento da operação de médio prazo de sistemas de potência

de grande porte”, Tese Doutorado, PUC/RJ, Maio/2002.

[7] T. N. Santos, A. L. Diniz, “A Dynamic Piecewise Linear Model for DC

Transmission Losses in Optimal Scheduling Problems”, IEEE Transactions on Power

Systems, v.26, n.2, pp. 508-519, May 2011.

[8] A. L. Diniz, L. C. F. Sousa, M. E. P. Maceira, S. P. Romero, F. S. Costa, C. A.

Sagastizabal, A. Belloni, “Estratégia de representação DC da rede elétrica no modelo de

despacho da operação energética – DESSEM”, VIII SEPOPE –Symposium of Simposium of

Specialists in Electric Operational and Expansion Planning, Brasilia, Brazil, May 2002

[9] M.E.P. Maceira, V.S. Duarte, D.D.J. Penna, L.A.M. Moraes, A.C.G. Melo,

“Ten years of application of stochastic dual dynamic Programming in official and agent

studies in Brazil –Description of the NEWAVE program”, 16th PSCC - Power Systems

Computation Conference, Glasgow, SCO, July 2008

80

[10] N. V. Arvantidis, J. Rosing, “Composite representation of multireservoir

hydroelectric power system”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. 89,

n. 2, pp. 319-326, Feb. 1970.

[11] S. Stage, Y. Larsson, “Incremental cost of water power”, AIEE

Transactions, pt III (Power Apparatus and Systems), v. 80, pp. 361-365, Aug. 1961.

[12] A.L. Diniz, , M.E.P. Maceira, , “A four-dimensional model of hydro

generation for the short-term hydrothermal dispatch problem considering head and spillage

effects”, IEEE Trans. Power Syst., v. 23, n.3, pp. 1298-1308, 2008

[13] R. J. Pinto, A.L.G.P. Sabóia, R.N. Cabral, F.S. Costa, A.L.Diniz e M.

E. P. Maceira, “Metodologia para aplicação de processamento paralelo no planejamento de

curto-prazo (modelo DECOMP)”, XX SNPTEE- Seminário Nacional de Produção e

Transmissão de Energia Elétrica, Recife, Novembro 2009.

[14] O. Nilsson and D. Sjelvgren, “Variable splitting applied to modelling of start-up

costs in short term hydro generation scheduling,” IEEE Trans. Power Syst., vol. 12, no. 2,

pp. 770-775, May 1997.

[15] O. B. Fosso, A. Gjelsvik, A. Haugstad, et al, “Generation scheduling in a

deregulated system. The norwegian case”, IEEE Transactions on Power Systems, v. 14, n.

1, pp. 75-81, Feb. 1999.

[16] R. B. Allen, S. G. Bridgeman, “Dynamic programming in hydropower

scheduling”, Journal of Water Resources Planning and Management, v. 112, n. 3, pp. 339-

353, Jul. 1986.

[17] FINARDI, E. C. Alocação de Unidades Geradoras Hidrelétricas em Sistemas

Hidrotérmicos Utilizando Relaxação Lagrangeana e Programação Quadrática Seqüencial.

Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Centro Tecnológico, Universidade Federal de

Santa Catarina. Florianópolis, 2003.

[18] IBM Optimization Subroutine Library (OSL) – Guide and Reference, Release

2.1, 5th ed., 1995.

[19] AnalConv , “Fecho Convexo no Plano”, USP, 1997

[20] R. D. Q. Madera, “Modelagem da Função de Produção de uma usina

hidrelétrica com base nas caracteristicas individuais das unidades geradoras”, Centro

Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, 2013.

[21] CEPEL. Modelo Decomp – “Manual de Referência versão 16”, Centro de

Pesquisas de Energia Elétrica, Rio de Janeiro, 2010.

[22] D.R. Chand and S.S. Kapur, “ An algorithm for convex polytopes”, JACM 17,

1970, no. 1.

[23] R.A. Jarvis, “On the identification of the convex hull of a finite set in the

plane”, Information Processing Letters 2, 1973.

81

[24] M. I. Ennes, A. L. Diniz, “An efficient equivalent thermal cost function model

for nonlinear mid-term hydrothermal generation planning,” Int. Journal of Electrical

Power and Energy Systems, v.63, pp. 705-712, 2014.

82

11. Apêndice A : Coeficientes dos

planos que formam as envoltórias

convexas das usinas agregadas para

o caso de 50 usinas ( seção 8.2 )

Índice da Agregada RHS/ (MW)

M=4

46.41 1.6717 0.0130

48.38 1.7527 0.0000

47.69 1.7052 0.0045

46.02 1.6289 0.0210

46.17 1.6340 0.0194

46.23 1.6384 0.0184

46.77 1.5997 0.0248

45.70 1.6237 0.0239

57.49 1.3361 0.0448

58.14 1.3424 0.0383

46.24 1.6237 0.0212

58.07 1.3967 0.0212

58.35 1.4003 0.0194

58.60 1.4012 0.0184

83

M=5

-33.92 0.8854 0.0109

0.00 1.0152 0.0000

-29.93 0.8898 0.0096

-27.18 0.8960 0.0087

-25.23 0.9025 0.0081

-15.35 0.8232 0.0109

-8.70 0.8187 0.0096

96.07 0.6934 0.0000

-2.30 0.8126 0.0087

3.57 0.8060 0.0081

M=6

0.00 0.6169 0.0000

-2.80 0.6059 0.0640

-2.79 0.6059 0.0637

-2.78 0.6059 0.0634

-2.75 0.6060 0.0627

-2.55 0.5979 0.1195

-0.94 0.6003 0.0645

-0.94 0.6003 0.0643

-0.91 0.6003 0.0640

-0.90 0.6003 0.0637

-0.86 0.6002 0.0634

8.38 0.5920 0.0000

-0.78 0.6002 0.0627

M=7

-0.50 0.4933 0.1291

-0.49 0.4933 0.1282

3.67 0.4744 0.2589

84

4.00 0.4751 0.1295

4.01 0.4751 0.1274

3.99 0.4751 0.1289

4.02 0.4751 0.1270

5.49 0.4738 0.0000

M = 8

-0.02 0.4028 0.0556

0.00 0.4029 0.0000

7.50 0.3750 0.0556

7.56 0.3749 0.0000

M = 9

55.08 0.8781 0.0295

165.28 0.9582 0.0000

65.88 0.8804 0.0266

79.47 0.8872 0.0230

362.37 0.6428 0.0487

332.65 0.7058 0.0295

370.79 0.6566 0.0405

365.62 0.6658 0.0379

527.16 0.5664 0.0590

476.25 0.6000 0.0487

514.61 0.5793 0.0532

481.13 0.5977 0.0491

330.48 0.7161 0.0266

431.91 0.6256 0.0440

335.46 0.7210 0.0245

412.78 0.6408 0.0405

344.19 0.7229 0.0230

85

M = 10

-50.05 0.6275 0.0301

0.00 0.6647 0.0000

-32.90 0.6318 0.0198

-60.03 0.6144 0.0467

-58.44 0.6150 0.0453

55.17 0.6171 0.0021

M = 11

190.25 0.3290 0.0146

201.51 0.3645 0.0000

190.96 0.3296 0.0137

191.55 0.3306 0.0129

191.71 0.3310 0.0127

198.89 0.3552 0.0034

193.28 0.3197 0.0152

260.31 0.1320 0.0244

257.38 0.1614 0.0137

257.92 0.1624 0.0129

258.18 0.1626 0.0127

M= 12

105.25 0.4706 0.0113

112.45 0.4852 0.0000

105.36 0.4706 0.0111

105.47 0.4708 0.0109

132.92 0.4233 0.0158

126.82 0.4372 0.0113

132.95 0.4235 0.0156

132.81 0.4240 0.0153

338.90 0.1913 0.0226

86

126.69 0.4377 0.0111

336.74 0.1986 0.0156

337.05 0.1986 0.0153

360.41 0.1883 0.0059

126.73 0.4379 0.0109

372.20 0.1850 0.0000

M= 13

-14.60 0.3809 0.0141

0.00 0.3980 0.0000

-14.31 0.3810 0.0138

-13.79 0.3814 0.0133

17.74 0.3515 0.0141

18.23 0.3515 0.0138

70.18 0.3344 0.0000

18.85 0.3513 0.0136

19.60 0.3511 0.0133

M = 14

70.99 0.4868 0.0009

71.86 0.5158 0.0000

71.02 0.4870 0.0009

71.07 0.4882 0.0008

76.15 0.2677 0.0043

78.26 0.2964 0.0009

76.46 0.2695 0.0039

75.16 0.2504 0.0086

77.87 0.2581 0.0043

78.30 0.2967 0.0009

79.53 0.2558 0.0036

87

78.62 0.2574 0.0039

78.35 0.2968 0.0009

89.80 0.2430 0.0000

M= 15

226.62 0.6715 0.0084

234.25 0.7015 0.0000

226.86 0.6717 0.0081

227.08 0.6722 0.0079

227.29 0.6728 0.0076

250.88 0.5783 0.0149

248.12 0.6051 0.0084

249.06 0.6008 0.0089

252.69 0.5708 0.0167

252.43 0.5733 0.0157

248.19 0.6083 0.0076

M= 16

543.11 0.6781 0.0000

593.05 0.7198 -0.0125

543.11 0.5870 0.0000

512.81 0.5472 0.0177

529.93 0.5689 0.0077

525.02 0.5272 0.0208

514.37 0.5408 0.0193

670.64 0.3661 0.0345

673.91 0.3854 0.0208

675.04 0.3870 0.0196

679.35 0.3886 0.0177

M=17 -0.69 0.3129 0.0567

88

0.00 0.3197 0.0000

-0.64 0.3131 0.0520

-0.62 0.3132 0.0509

0.31 0.2996 0.1133

0.19 0.3060 0.0567

0.37 0.3005 0.0994

0.20 0.3062 0.0544

0.25 0.3064 0.0509

0.28 0.3064 0.0497

M= 18

-46.20 0.3697 0.0101

0.00 0.4414 0.0000

-24.66 0.3930 0.0054

-8.86 0.4158 0.0019

-50.62 0.3594 0.0121

-47.12 0.3632 0.0109

-46.20 0.3672 0.0103

M=19

-71.44 0.2061 0.0083

0.00 0.2428 0.0000

-70.88 0.2062 0.0082

-46.40 0.2139 0.0054

-81.01 0.1772 0.0166

-71.06 0.2060 0.0083

-66.64 0.1806 0.0141

-61.94 0.1850 0.0125

M=20

1632.48 0.5292 0.0223

1656.18 0.5475 0.0000

89

1769.79 0.4318 0.0445

1764.79 0.4492 0.0223

1770.66 0.4321 0.0433

1765.01 0.4496 0.0217

1767.25 0.4500 0.0201

M = 21

72.19 1.4283 0.0421

72.58 1.4312 0.0371

116.35 0.7598 0.0491

116.10 0.7671 0.0459

115.46 0.7799 0.0432

116.36 0.7596 0.0491

114.21 0.8041 0.0394

114.75 0.7939 0.0408

117.12 0.7587 0.0432

128.32 0.7159 0.0000

117.62 0.7571 0.0408

113.78 0.8151 0.0371

M = 22

1306.04 1.8104 0.0392

1622.71 1.3878 0.0504

1595.33 1.4337 0.0433

1611.35 1.4097 0.0456

1600.60 1.4261 0.0439

2000.31 0.9279 0.0866

1975.79 1.0032 0.0504

2003.67 0.9353 0.0783

2002.23 0.9409 0.0753

90

1975.58 1.0082 0.0477

1576.50 1.4672 0.0392

1980.77 1.0119 0.0439

M = 23

751.54 1.9379 0.0000

734.74 0.5018 0.0167

739.55 0.5129 0.0119

775.26 0.2737 0.0292

782.44 0.2962 0.0169

773.16 0.2663 0.0334

781.39 0.3105 0.0151

779.51 0.3237 0.0142

776.49 0.3479 0.0127

788.35 0.2920 0.0142

836.04 0.2409 0.0000

coordenação hidrotérmica de médio prazo usando uma função de

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