Controlo de SistemasMEMec, LEAN (2015-2016)Área Científica de Controlo, Automação e Informática IndustrialRepescagem do 1o Teste14 de Junho de 2016, 11h30 (duração 1h30)

• Identifique todas as folhas entregues (incluindo o enunciado).• Justifique todas as suas respostas.• Apenas pode consultar até 2 folhas A4 (4 páginas) de formulário.• É proibido o uso de todos os dispositivos de telecomunicações, assim como calculadoras com capacidade gráfica.• Responda às questões de escolha múltipla como � no quadrado respectivo no enunciado, devendo esta página ser

identificada e entregue no fim do teste. Caso queira emendar uma resposta, risque completamente o quadradorespectivo e coloque à esquerda da opção que considera correcta o símbolo �.

• Cada resposta errada nas perguntas de escolha múltipla desconta um quarto da cotação da pergunta (0.25 val.)na cotação do Problema 1.

NOTA: Esta é a versão do teste com soluções. A resolução completa com justificações e cálculos não é apresentada.

Problema 1 - Escolha múltipla (5 val.)Para cada uma das seguintes questões, selecione a resposta correta com �.

1. (1 val.) Considere o sistema Gp(s) = (s+2)(s+30)s(s+3)(s+200) , controlado em anel fechado com um controlador proporcional

Gc(s) = K . Se a referência a seguir for uma rampa de declive unitário, o erro estacionário ess é dado por:

� ess = 0.� ess = 10

K .� ess = K

10 .� ess = 10

K+10 .

2. (1 val.) A figura ao lado mostra o Lugar Geométrico das Raízes do sistema G(s),quando o ganho do anel aberto verifica K > 0. O sistema é:

� G(s) = K (s+z)s(s+p)2 .

� G(s) = K (s+z)s(s+p) .

� G(s) = K (s+z)s2(s+p)2 .

� G(s) = K (s+z)s2(s+p) .

-p -z

Re(s)

Im(s)

3. (1 val.) O preditor de Smith destina-se a controlar:

� Sistemas de fase não-mínima.� Sistemas com atraso.� Sistemas com um ou mais polos na origem.� Sistemas com um ou mais zeros na origem.

4. (1 val.) O controlo em anel aberto pode razoavelmente ser utilizado para sistemas:

� Relativamente lentos ou com atraso.� Cuja resposta ao degrau estabiliza em tempo finito.� Cujo modelo é conhecido, estáveis, e sujeitos a perturbações desprezáveis.� Nenhuma das anteriores.

5. (1 val.) O diagrama de Nyquist da figura ao lado cruza o eixo real em −0.5,0 e 1.93, e corresponde a um sistema sem polos instáveis. Esse sistema podeser estabilizado em anel fechado por um controlador proporcional Gc(s) = Kque verifique:

� K ∈ ]−0.52, 2[.� K ∈ ]−∞,−0.52[.� K ∈ ]2,+∞[.� K ∈ ]−∞,−0.5[ ∪ ]1.93,+∞[.

Eixo real

Diagrama de Nyquist

Eixo

imag

inár

io

1

Problema 2 (8 val.): Considere a figura seguinte, que descreve um sistema automatizado em que um robô manipuladorpega em lingotes quentes provenientes de um forno, e os coloca num tanque de arrefecimento antes de os recolocarno tapete. Um sensor de visão permite determinar a posição do lingote (servindo esta de referência à posição dagarra do robô) e da própria garra (considere-se aqui apenas a direção x). O erro entre estas é realimentado para umcontrolador que define a ação de controlo a aplicar ao robô. A dinâmica do robô pode ser modelada pela função detransferência

Gp(s) = 1(s+ 1)2

apresentando-se o respetivo diagrama de Bode abaixo.

Controlador

Sistema de visão

Lingote

Tanque dearrefecimento

RobôDo forno

Tapete

Braço

Garra

Calha

Realimentação da diferençaentre posição da garra e do lingote nas direções x e y

Frequência (rad/s)

Gan

ho

(dB)

Fase

(º)

Diagrama de Bode de Gp(s)

Pretende-se projetar um sistema de controlo automático para o posicionamento do robô. As especificações de desem-penho desejadas para este sistema são:

• Erro de seguimento menor ou igual a 10% para posição de referência constante;

• Margem de fase maior que 50o;

• Máximo sobreimpulso menor que 10%.

a) (2 val.) Verifique que é possível satisfazer a primeira especificação (ess < 10%) com um controlador proporcionalGc(s) = K , com K ≥ 9.edegrauss = 1

1+lims→0K

(s+1)2≤ 0.1⇔ K ≥ 9 e sistema em anel fechado estável para ∀K > 0

b) (4 val.) Considerando apenas a segunda especificação (MF>50o), verifique se é possível satisfazê-la com ocontrolador proporcional Gc(s) = K , com K = 9. Caso não o seja, seria possível com outro valor de K ? Nessecaso, qual o impacto da nova solução na satisfação da primeira especificação?O sistema com controlador proporcional Gc(s) = 9 tem MF ≈ 40o < 50o (observado pelo diagrama de Bodedado), pelo que não satisfaz esta especificação. Esta só seria satisfeita para ganhos mais baixos (logo, menoresque 9), pelo que a especificação do erro estacionário deixaria de ser cumprida.

c) (2 val.) Considerando agora apenas a terceira especificação (Mp < 10%), verifique se é possível satisfazê-la comum controlador proporcional Gc(s) = K , indicando nesse caso a respetiva gama de valores de K .Sim, com K < 1.86.

2

Problema 3 (7 val.) Considere de novo o problema de controlo do robô descrito anteriormente. Considere agora queo sistema tem atraso, sendo representado pela função de transferência

Gp(s) = 1(s+ 1)2 e

−θs

com θ = 0.25 s.

1. (4 val.) Assumindo Gc(s) = K ∈ R, desenhe o Lugar Geométrico das Raízes do sistema com atraso utilizando aaproximação de Padé de 1a ordem para o mesmo, e−θs ≈ 1− θ

2 s1+ θ

2 s(note que as regras do LGR invertem devido ao

zero de fase não-mínima da aproximação). Determine os valores do ganho K ∈ R que guarantem a estabilidadedo sistema em anel fechado. Nota: os pontos de convergência/divergência do LGR com o eixo real são -5.38 e13.4 rad/s.

2. (3 val.) Não recorrendo à aproximação de Padé para representação do atraso do sistema, indique como seriao diagrama de Bode do sistema com atraso comparativamente ao diagrama de Bode do sistema sem atrasoapresentado no Problema 2. Faça um esboço dos dois diagramas (ganho e fase para os sistemas com e sematraso) na sua folha de resolução.Curva de ganho igual, curva de fase soma −θω 180o

π relativamente à fase do sistema sem atraso.

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