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Controle Linear Quadratico

Caso Determinstico

Notas de aula paraum curso de

Otimizacao e Controle Otimo

COPPE-UFRJ

esbocado em 1985

refeito e impresso no 2.o semestre de 1988

revisto, ampliado e ilustrado em fevereiro-marco de 1989

revisto e enriquecido em fins de 1991

aperfeicoado ainda uma vez em outubro de 1996

analise no IRn e otimizacao em outubro-novembro de 1997revisto, reformatado e enriquecido em 10,11/1999

Sumario

1 Problemas Tpicos de Controle 11.1 Problema das condicoes terminais . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Anulando z(tf ): Problema do Regulador Terminal . . . . . . . 31.3 Comportamento Funcional em um Intervalo . . . . . . . . . . 41.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Problema do Regulador Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Regulador Linear Otimo Determinstico . . . . . . . . . . . . . 81.7 Regulador Linear Otimo Determinstico Fixo . . . . . . . . . . 91.8 Exerccios, ainda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Solucao do Problema do Regulador 152.1 Solucao pelo Calculo das Variacoes . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Equacoes Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Em resumo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Busca de Caminhos Mais Simples . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Equacao de Riccati Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Horizonte de Tempo Infinito 353.1 Discussao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Solucao Para o PRLOHTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Solucao da ERM quando tf . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Pequena Generalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Um Pouco de Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Solucao para o PRLOHTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Algoritmo para Solucao do PRLOHTI . . . . . . . . . . . . . 423.6 Que Acontece se a Condicao Falha? . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Comentarios e Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i

SUMARIO ii

4 Outros caminhos. . . 464.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Propriedades da Solucao do PRLOHTI 475.1 Retomando o pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Encontrando a solucao da ERMA . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Um caminho alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Que Acontece aos Polos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Resumo Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Discussao dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6.1 Caso do Controle Barato, r pequeno. . . . . . . . . . . 635.6.2 Caso do Controle Caro, r . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Projeto Otimo de Observadores 666.1 Observadores Assintoticos de Estados . . . . . . . . . . . . . . 666.2 Problema do estimador aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 O verdadeiro problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4 Estimadores e Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.5 Medias e correlacoes de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.1 Valor medio de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5.2 Valor medio quadratico de um sinal . . . . . . . . . . . 776.5.3 Variancia de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5.4 Autocorrelacao de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . 776.5.5 Correlacao cruzada entre dois sinais . . . . . . . . . . . 776.5.6 Densidade espectral de um sinal . . . . . . . . . . . . . 77

6.6 Variaveis aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.1 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.2 Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.3 Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.4 Covariancia entre x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.5 Funcao distribuicao de probabilidade . . . . . . . . . . 776.6.6 Funcao densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . 776.6.7 Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.8 Valor medio quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.9 Variancia e covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.10 Distribuicao uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6.11 Distribuicao normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.7 Processos aleatorios ou estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.1 Rudo branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.2 Processo gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.3 Processo estocastico estacionario . . . . . . . . . . . . 77

SUMARIO iii

6.7.4 Processo estocastico ergodico . . . . . . . . . . . . . . 776.7.5 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.6 Matriz de autocorrelacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.8 Formulacao e solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A Formas Quadraticas 80A.1 Formas Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2 Sinal da Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.4 Criterios de definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.5 Normas, Metricas e Tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.7 Visao Geometrica das Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . 89A.8 Miscelanea de Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.9 Matrizes Hamiltonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B Analise no IRn 101B.1 Funcao Real de variavel vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.2 Continuidade e Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.3 Derivada: caso escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.3.1 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.4 Derivada: caso vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.5 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104B.6 Funcoes Vetoriais de Variaveis Vetoriais . . . . . . . . . . . . . 105B.7 Pontos Estacionarios e Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.8 Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.9 PGO Problema Geral de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . 106B.10 Pontos Viaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.11 Solucao do PGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.12 Caso Escalar sem Restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.13 Caso Vetorial sem Restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108B.14 Funcoes Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.15 Restricoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.16 PGO com Restricoes Lineares de Igualdade . . . . . . . . . . . 113B.17 PGO com Restricoes Lineares de Desigualdade . . . . . . . . . 117

B.17.1 Estudo da Regiao Viavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 118B.18 Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.19 PGO com Restricoes Nao-Lineares de Igualdade . . . . . . . . 119B.20 PGO com Restricoes Nao-Lineares de Desigualdade . . . . . . 120B.21 Metodos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

SUMARIO iv

B.22 Caso Escalar: Obtencao de Razes . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.22.1 Metodo da Biseccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.22.2 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.22.3 Metodo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.22.4 Metodo da Regula Falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.22.5 Metodo de Interpolacoes Superiores . . . . . . . . . . . 122B.22.6 Metodo Geral dos Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . 122B.22.7 Metodo Garantidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.23 Caso Escalar sem Restricoes: Obtencao de mnimos . . . . . . 122B.23.1 Busca de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.23.2 Busca Aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.23.3 Interpolacao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.23.4 Aproximacoes Cubicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.23.5 Metodos Garantidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.24 Caso Vetorial sem Restricoes: Obtencao de mnimos . . . . . . 122B.24.1 Metodos de Busca Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.24.2 Algoritmo do Politopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.24.3 Algoritmo U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.24.4 Metodos dp Gradiente e da Derivada Segunda . . . . . 122B.24.5 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122B.24.6 Metodos da Decomposicao Espectral . . . . . . . . . . 122B.24.7 Metodos de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 122B.24.8 Metodos Nao Derivativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 123B.24.9 Problema dos Mnimos Quadrados . . . . . . . . . . . 123

B.25 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Captulo 1

Problemas Tpicos de Controle

Consideremos inicialmente o sistema linear variante no tempo S descritopelas seguintes equacoes dinamicas, validas t IR :

S

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t); x(t0) = x0

z(t) = D(t)x(t)y(t) = C(t)x(t)

onde x(t) e um vetor de dimensao n representando o estado do sistema noinstante t; u(t) e a entrada, no instante t, com dimensao m; z() representa aparticular combinacao das variaveis

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