control automático

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL Sistemas de Control Automático

MSc. Oscar Cerón Aguirre 2010 Pág. 1

1. SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO

1.1 EVOLUCIÓN DE LAS TENDENCIAS DEL CONTROL

AUTOMÁTICO, MODERNO E INTELIGENTE

Siglo XVIII: Máquina de vapor y controlador (James Watt -1769).

Siglo XIX: Modelo matemático del controlador de la máquina de vapor (J. C. Maxwell -

1868).

Siglo XX: Análisis de amplificadores realimentados (H. W. Bode - 1927).

Método de análisis de estabilidad de sistemas (H. Nyquist - 1932).

Diseño de servomecanismos con relé en el control de posición (Hazen -

1934).

Métodos: Lugar Geométrico de las Raíces LGR – Función de Transferencia

(Transformada de Laplace) y Respuesta de Frecuencia RF (Transformada de

Fourier) – década de los 40 y 50. Aquí se establece la Ingeniería del Control

Clásico (Control Automático).

Aparición de computadoras digitales: Respuesta en el Tiempo RT

(Ecuaciones Diferenciales), Variables de Estado – década de los 60. Aquí se

establece la Teoría del Control Moderno.

Control Multivariable (MIMO), Control Óptimo (sistemas determinísticos y

estocásticos), Control Discreto, Control No Lineal e Identificación de

Sistemas (Mediciones, Algoritmos) – década de los 70.

Control Adaptativo (SCADA Supervisory Control And Data Adquisition –

Sistema de Control Supervisor y Distribuido), Control Robusto, Control

Predictivo – década de los 80.

Control Inteligente (Redes Neuronales, Lógica Difusa, Algoritmos

genéticos), Control Deslizante – década de los 90.

Alcances: Instrumentación, Instrumentación Industrial, Electrónica de Potencia,

Control de Procesos, Control de Máquinas, etc.

Aplicaciones: Ingeniería Mecánica, Eléctrica, Química, Matemática, Computacional.



1. 2. ENFOQUE SISTÉMICO

Sistema:

Conjunto de componentes

Interactúan entre sí con el entorno

Cumplen un objetivo, tarea o fin específico

Proceso (involucra varios sistemas):

Serie de cambios graduales y continuos

Debido a una secuencia de acciones de control (preprogramadas)

Con el objetivo de obtener un producto o familia de productos terminales

Planta:

Sistema (servomecanismo) o Proceso

Perturbación:

Señal indeseable (inevitable, naturaleza aleatoria)

Efecto adverso al comportamiento dinámico del Sistema

Fig. 1.1 Componentes de un Sistema de Control

Servomecanismo:

Sistema realimentado cuya variable de salida es de tipo mecánico (torque,

aceleración).

Dispositivo de precisión en el que la salida sigue a la entrada sin error (control de

velocidad de un motor).

Entrada

Excitación

Referencia

Set point

r(t), u(t)

Salida

Respuesta

y(t), c(t)

Sistema / Proceso

Planta

Perturbación (aleatoria): Ruido



Sistema Entrada Salida

1. 3. PROBLEMA DEL CONTROL

a) Regulación: mantener una salida deseada aún en presencia de perturbaciones. La

referencia es fija o cero.

Fig. 1.2 Comportamiento de Regulación

b) Seguimiento (servomecanismo): la salida sigue a la entrada con error cero (mínimo)

aún en presencia de perturbaciones (se pueden provocar oscilaciones).

Fig. 1.3 Comportamiento de Seguimiento

1. 4. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

a) Sistemas en lazo abierto: la entrada actúa sobre el Sistema sin considerar el valor de la

salida.

Fig. 1.4 Sistema en lazo abierto

perturbación

y

t

yd

r, y

t



Ejemplos de Sistemas en lazo abierto

Semáforo: intervalo de verde fijo, tiempo de verde independiente del volumen de tráfico.

Lavadora: tiempo de lavado independiente del porcentaje de limpieza.

inq

outq

h

rControlado Actuador PlantaEntrada Salida

controldeSeñal

Fig. 1.5 Proceso de llenado y vaciado de agua (lazo abierto)

b) Sistemas en lazo cerrado (Sistema realimentado): el Sistema mantiene una relación

permanente entre la entrada y salida. Elementos de realimentación, pueden ser sensores

o transductores.

Fig. 1.6 Sistema en lazo cerrado

donde: e (error) = r – hy Si h = 1, entonces e = r - y

Ejemplos de Sistemas en lazo cerrado

Semáforo con tiempo de verde dependiente del volumen de tráfico.

Lavadora con tiempo de lavado dependiente del porcentaje de limpieza.

Conclusión: Los Sistemas de Control permiten ejecutar acciones de regulación y segui-

miento mediante realimentación.

Sistema (g) y r +

set point

e

h

_

-

Trayectoria de realimentación

Trayectoria directa



1.5. CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS

a) Sistema dinámico:

Comparte las características de un Sistema

Evoluciona en el tiempo (respuesta temporal)

Almacena energía o información

No responde en forma instantánea (existe un estado transitorio antes de llegar a un

estado estable)

yd

t

yd

y y

transitorio transitorio estable estable

Exponencial decreciente Oscilatorio amortiguado

Fig. 1.7 Curvas dinámicas

Sistema de primer orden (exponencial decreciente)

....)( 2/

2

1/

10

tt

eKeKKty

Sistema de segundo orden (oscilatorio amortiguado)

ndd

t tSenKtCosKeKty /1)()(21

/

0

, 21

nd

b) Sistema determinístico:

La respuesta a un experimento controlado es siempre la misma

Las variables se representan por funciones analíticas (exponencial, sinusoidal, etc.)

Se puede predecir el comportamiento futuro



c) Sistema lineal e invariante (LTI):

Relación entrada – salida de característica estática (estado estable)

u (entrada)

y (salida)

Zona muerta

Zona lineal

Saturación

Punto de operación

Fig. 1.8 Curva estática (estado estable)

Conclusión: La dinámica del Sistema tiene que ver con los principios básicos (ecuaciones)

y las mediciones entrada – salida.



1.6. SISTEMA DE CONTROL AUTOMÁTICO

Es un Sistema realimentado (lazo cerrado), que considera: componentes, variables y

parámetros.

Componentes:

Comparador (amplificador operacional)

Controlador (PC, PLC, µP)

Actuador (sobre variables)

Planta Instrumentada Planta (Sistema)

Medición (realimentación)

Fig. 1.9 Sistema de Control Automático

El conjunto formado por el Actuador, la Planta y la Medición forma el bloque llamado

PLANTA INSTRUMENTADA.

A su vez lo que corresponde al Actuador y la Medición, se llama INSTRUMENTACIÓN

Fig. 1.10 Sistema de Control Automático con Planta Instrumentada

La Ingeniería de Control afronta estrategias de: Modelación, Simulación y Control.

ym R(s) E(s)

_

-

CONTROLADOR

Actuador

U(s) +

lazo de control

SISTEMA

Medición

A M

Gp(s) Gc(s)

Planta Instrumentada

Planta

Sistema

Proceso

y r e

_

-

Trayectoria de realimentación

Trayectoria directa

Controlador Actuador

Medición

comparador

error

u

señal de control

m

variable manipulada

salida +

lazo de control



a) Modelación:

Obtención del modelo analítico (ecuaciones diferenciales, función de transferencia,

variables de estado)

Basado en el conocimiento de la estructura del Sistema (componentes e

interconexión)

Utilización de fundamentos de ciencias básicas y de ingeniería (leyes de Kirchhoff,

Newton, Termodinámica)

b) Simulación:

Equivalente computacional del modelo (aspecto básico en Control)

Para el análisis y diseño del control del Sistema

Ensayo de diferentes controladores

No solo se calcula la respuesta sino que se implementan Algoritmos

c) Control (el Problema de Control), realmente tiene que ver con:

- Regulación (entrada fija)

Control

- Seguimiento (entrada variable)

- Estado (conocidos los parámetros) se determina el estado x

Estimación

- Parámetros (conocido el estado x) se determinan los parámetros

(Identificación)

Las alternativas de Identificación tienen que ver con el uso de:

Modelo analítico (sin necesidad del conocimiento de los componentes y de su

función)

Mediciones (datos) de entrada - salida

Algoritmos computacionales



2. MODELACIÓN DINÁMICA DE SISTEMAS

2.1. MODELO A ECUACIÓN DIFERENCIAL

R

iv

0v

L

C

i

Fig. 2.1 Sistema Eléctrico

LVK: ivvRi

dt

diL

0

Relación dinámica: dt

dvCi 0

Ecuación Diferencial: ivvvRCvLC

000

2.2. MODELO A VARIABLES DE ESTADO

R 1xi

L

uvi

20xv

L

C

Fig. 2.2 Sistema eléctrico a variables de estado

LVK (ecuación constitutiva): ivvRi

dt

diL

0

Relación dinámica: dt

dvCi 0



donde:

uL

xL

xL

RxuxRxxL

11211211

1221

1x

CxxCx

0

1

01

1

2

1

2

1

Lx

x

C

LL

R

x

x

2

110

x

xy

2.3. MODELO DE REDES

a) Sistema Eléctrico

- Modelo a Función de Transferencia y Ecuación Diferencial

R R

C Civ

0v

av

Fig. 2.3 Sistema eléctrico RC doble

R/1 SC

R/1

SC

aV

0V

RV i /

Fig. 2.4 Modelo de red

Donde, aplicando el método de nodos, se tiene:



011

12

0

R

V

V

V

sCRR

RsC

Ria

entonces, la Función de Transferencia viene dada por: 13

1222

0

SCRRCSV

V

i

Considerando los siguientes datos, se tiene:

13

1][1000],[1

2

0

ssV

VuFCKR

i

iivvvvVVss

0000

2 3)13(

- Modelo a Variables de Estado

R R

C Cuvi

20xv

1xv

a

1i

2i

3i

4i

1 2

Fig. 2.5 Modelo a variables de estado

Nodo V0: 2042xCvCii

Malla 2: 21222221

11x

RCx

RCxxxRCxRixv

a

Nodo Va: 210231xCxCvCvCiii

a

Malla 1: 12111211)()( xxxxCRuxRxCxCvRiuv

ai

uRC

xRC

xRC

xxxxxCRu112

)(2111211



uRC

x

x

RCRC

RCRC

x

x

0

1

11

12

2

1

2

1

2

1

010

x

xyv

b) Sistema Mecánico

Ejemplo 1:

B

k

Bf

kf

mf f

vx ,

m

0v

Fig. 2.6 Sistema mecánico con una masa

kf

mf

Bf

f

Fig. 2.7 Diagrama de cuerpo libre

Leyes de Newton: ffffkBm

xmvmmafm

xBBvfB

kxfk

donde:

mf fuerza de inercia de la masa ‘m’

Bf fuerza del amortiguamiento ‘B’ (B es el coeficiente de rozamiento viscoso)

kf fuerza del resorte ‘k’



además: naceleracióa

velocidadv

salidaposiciónx

entradafuerzaf

- Ecuación Diferencial: fkxxBxm

- Función de Transferencia: kBsmssF

sXsG

2

1

)(

)()(

- Variables de Estado: 1xyx

2112xxxxxv

m

ux

m

Bx

m

kxufkxBxxm

212122

u

mx

x

m

B

m

k

x

x

1

010

2

1

2

1

2

101

x

xy

Ejemplo 2:

2B

1k

f2

m

0v

1m 2

k1

1

v

y2

2

v

y

Fig. 2.8 Sistema mecánico con dos masas

2kf

2

)(mfacción

2B

f

)(excitaciónf2m

)(

2

reacciónk

f1

m1

kf

1m

f

Fig. 2.9 Diagramas de cuerpo libre



Ecuaciones de la dinámica:

fyykyBymffffkBm

)(1222222

222

)(1221111

211

yykykymfffkkm

Datos: ]//[12

smNB ]/[221 mNkk

][11

Kgm ][32

Kgm

- Modelos a Ecuaciones Diferenciales:

)(22

)(23

1211

1222

yyyy

fyyyy

- Modelos a variables de Estado:

2

2

1

1

4

3

2

1

v

y

v

y

x

x

x

x

ecuaciones: fxxxxfyyyy 13331222

223223

024024311211 xxxyyy

además: 12111xxvyv

34222xxvyv

por lo que: fxxxxfxxxx 13441333

223223

024024312311 xxxxxx

entonces:



f

x

x

x

x

x

x

x

x

3

1

4

3

2

1

3

1

3

2

3

2

4

3

2

1

0

0

0

0

1000

0204

0010

4

3

2

1

2

1

01

00

00

01

x

x

x

x

y

y

2.4. DIAGRAMA DE FLUJO

Diagrama formado de Nodos (variable o señal) y Ramas (ganancia de la transmisión de la

señal entre Nodos).

g

r y

Fig. 2.10 Diagrama de flujo elemental

donde: rgy .

yr, = variables

g = ganancia

El diagrama de flujo representa gráficamente un sistema de ecuaciones algébricas. En

Control se manejan ecuaciones diferenciales, donde se despeja la más alta derivada y se

usa el operador de integración 1/S.

2x

2x

1s

Fig. 2.11 Diagrama de flujo con ganancia 1/S

donde: dtxxsx ..22

1

2

Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales:



fyyyyfyyyy3

1

13

2

23

2

23

1

21222223

21121124024 yyyyyy

El diagrama de flujo correspondiente a las ecuaciones diferenciales, viene dado por:

2y

2y

2y

1y

1y

1y

f

3

2

3

2

3

1

3

1

4

2s/1 s/1 s/1 s/1

entrada

2salida 1salida

Fig. 2.12 Diagrama de flujo con dos salidas

- Modelos a Función de Transferencia usando la Regla de Mason:

Regla de Mason:

ii

PsU

sYsG

1

)(

)()(

donde: kjijii

LLLLLL1

además:

iL = sumatoria de ganancias de lazos individuales

jiLL = sumatoria de producto de ganancias de 2 lazos individuales que no se

topan

kjiLLL = sumatoria de producto de ganancias de 3 lazos individuales que no

se topan

iP = ganancia de la i-ava trayectoria directa entre entrada y salida

1i suma de ganancias de lazos individuales que no topan a la i-ava

trayectoria + suma del producto de ganancias de dos lazos individuales que

no se topan entre sí ni tampoco topan a la i-ava trayectoria - …….



Ejemplo: Aplicar la fórmula de Mason para obtener las funciones de transferencia de cada

salida respecto a la entrada.

2y

2y

2y

1y

1y

1y

f

3

2

3

2

3

1

3

1

4

2s/1 s/1 s/1 s/1

1salida2salida

entrada

4L

1L

2L

3L

Fig. 2.13 Diagrama de flujo con lazos individuales

Donde las ganancias de cada lazo individual, viene dado por:

1

3

1

1

sL 2

3

2

2

sL 2

34 sL

4

3

4

4

sL

además:

)44143(3

1)()(1 4321

32314321

ssssLLLLLLLL

Salida 1: 4

13

2 sP 11

4

4

4321

3

1

4

3

2

111

1)44143()(

)()(

s

s

ssss

sP

sF

sYsG

34

342

3143

314

1

1

11

1

3

2

)(

)()(

sssssD

sNKsG

Salida 2: 2

23

1 sP

2

32411 sL

4

4

4321

31

4

342

31

222

2)44143()(

)()(

s

s

ssss

ssP

sF

sYsG

34

342

3143

314

2

2

2

22

4

3

1

)(

)()(

ssss

s

sD

sNKsG



2.5. FORMAS CANÓNICAS

rrryyyy 54235.65.4

rSSrrySyySySdt

dS 223 54235.65.4

a) Observable (cuando observando o midiendo la salida es posible determinar el estado

en un tiempo finito)

Agrupando coeficientes de S, se tiene:

)32()5.64()5.45(23 yryrSyrSyS

Despejando y y reagrupando factores de S-1

, se llega a lo siguiente:

3

2

1

}])32()5.64[()5.45{( 111

x

x

x

yrSyrSyrSy

entonces:

yx 3

rxxxyrx 55.4)5.45(3223

rxxxyrx 45.6)5.64(3112

rxyrx 23)32(31

Por lo tanto, la forma CANÓNICA OBSERVABLE viene dada por:



r

x

x

x

x

x

x

5

4

2

5.410

5.601

300

3

2

1

3

2

1

3

2

1

100

x

x

x

y

Cuyo diagrama de flujo está dado por:

1s

1s

1s

yr2 1 1 13

x3

x2x1

x1

x 2x

4

5

5.4

5.6

3

Fig. 2.14 Diagrama de flujo con forma canónica observable

b) Controlable (propiedad por la cual se puede transferir de un estado inicial a un estado

final, mediante una señal de control de entrada, en un tiempo finito)

La función de transferencia, viene dada por:

X

X

SSS

SS

R

Y

35.65.4

24523

2

donde: XSSY 245 2

XSSSR 35.65.4 23

considerando: xx 1



entonces: 2112xxxxx

3223xxxxx

xx 3

por lo tanto: 123335.65.435.65.4 xxxxxxxxr

rxxxx 3213

5.45.63

A su vez: 321542542 xxxxxxy

Finalmente las dos últimas expresiones permiten dibujar el diagrama de flujo, dado por:

1s

1s

1s 21 3

x

1x

4

5

23xx 12

xx

5.6

5.4

3

r y

Fig. 2.15 Diagrama de flujo con forma canónica controlable

Entonces, la forma CANÓNICA CONTROLABLE viene dada por:

r

x

x

x

x

x

x

1

0

0

5.45.63

100

010

3

2

1

3

2

1

3

2

1

542

x

x

x

y



c) Forma Canónica de Jordan: es una forma de desacoplamiento de estados, para el caso

de que los valores propios o polos de la función de

transferencia sean reales.

Partiendo de la función de transferencia con el denominador factorado, se tiene:

)2)(5.1)(1(

245

35.65.4

245 2

23

2

SSS

SS

SSS

SS

R

Y

Descomponiendo en fracciones parciales, se llega a la siguiente expresión:

rS

rS

rS

ySSSR

Y

)2(

28

)5.1(

29

)1(

6

)2(

28

)5.1(

29

)1(

6

donde:

rxxxrSx

S

rx

111111

rxxxrSxS

rx

222225.15.1

5.1

rxxxrSx

S

rx

3333322

2

además: 32128296 xxxy

Entonces la forma CANÓNICA DE JORDAN viene dada por:

r

x

x

x

x

x

x

1

1

1

200

05.10

001

3

2

1

3

2

1

3

2

1

28296

x

x

x

y



El diagrama de flujo correspondiente, está representado por el modelo paralelo (estados

desacoplados):

1

1

1

1

r y

1s

1s

1s

1x

2x

3x

1x

2x

3x

6

29

28

1

5.1

2

Fig. 2.16 Diagrama de flujo con forma canónica de Jordan

Ejemplo: Obtener la Función de Transferencia en base al diagrama de flujo

1

1

1

1

r y

1s

1s

1s

1x

2x

3x

1x

2x

3x

6

29

28

1

5.1

2

1L

2L

3L

1

1

SL 2

25.1 SL

2

32 SL

)35.65.41)()(1 321

321323121321

SSSLLLLLLLLLLLL

además: 1

16 SP

21

3232135.31)(1 SSLLLL

1

229 SP

21

31312231)(1 SSLLLL

1

328 SP

21

212135.15.21)(1 SSLLLL



3

3

321

321

332211

)35.65.41(

245

)(

)()(

S

S

SSS

SSSPPP

sR

sYsG

35.65.4

4.08.05

)(

)()(

23

2

SSS

SS

sD

sNKsG

Esta última expresión es la misma con la que se partió para el dibujo del diagrama de flujo

(forma Canónica de Jordan), esto es:

)2)(5.1)(1(

245

35.65.4

245 2

23

2

SSS

SS

SSS

SS

R

Y

Ejemplo: Obtener la Función de Transferencia en base al diagrama de flujo

2L

1L

3L

u

1s

1s 1s

y

1 1

22

2

1

1

11

1

1

sL 1

2

sL 2

32 sL

321

31213212321)()(1 sssLLLLLLL

1

1

sP 21

32121)(1 ssLL

2

24 sP

1

1211 sL

donde:

3

3

321

321

2211

2321

65

)(

)()(

s

s

sss

sssPP

sU

sYsG

232

651

)(

)()(

23

2

sss

ss

sD

sNKsG



2.6. DIAGRAMA DE BLOQUE

- Representación de sistemas complejos en subsistemas simples

- Contempla la función de cada subsistema, ramas y comparadores

- Descripción funcional del Sistema

r yG

H

e

Fig. 2.17 Diagrama de bloque

donde: yHreeGy ..

G = Sistema o subsistema (ganancia en lazo abierto)

H = ganancia de realimentación

Considerando el Sistema eléctrico, se tienen las siguientes expresiones:

0V

iV

SC

1

R R

SC

1

1I

2I

aV

Fig. 2.18 Sistema eléctrico

donde:

)(

11 ai

VVR

I

)(1

21II

SCV

a

)(

102

VVR

Ia

20

1I

SCV

Cuyo diagrama de bloque, viene dado por:



R

1

SC

1

R

1

SC

1

iV a

V0

V1

I

2I

2I

aV 0

V

1l

2l

3l

Fig. 2.19 Diagrama de bloque

Uno de los diagramas de flujo equivalente al diagrama de bloque, vendrá dado por:

1

1 R/1 SC/1

0V

iV

1I

2I

aV R/1SC/11 1

1

1

Fig. 2.20 Diagrama de flujo equivalente al diagrama de bloque

También su equivalente de la Ecuación Diferencial, viene dado por:

ivvvCRvCR

000

2 )(3)( , con 1CR

iv

1 10v

0v

0v

0v 1

s1

s

1

3

Fig. 2.21 Diagrama de flujo correspondiente a la Ecuación Diferencial

O a su vez, otra forma de construcción del diagrama de flujo correspondiente, será:

R/1

R/1 SC/1

iV 1

I2

IaV R/1SC/1

SC/1

0V

R/1

Fig. 2.22 Diagrama de flujo correspondiente al Sistema eléctrico



Conclusión: Un diagrama de bloque, para un Sistema más complejo, no es funcional.

Ejemplo: Dibujar el diagrama de bloque correspondiente al sistema eléctrico

R

Civ

0v

i

En base a relaciones apropiadas, obtenidas del Sistema eléctrico, se llega al siguiente

diagrama de bloque:

R

1

SC

1

ii

v0

v

Equivalencia de Modelos mediante variables generalizadas: flujo (f) y esfuerzo (e)

- Sistema Eléctrico: f = corriente

e = voltaje

- Sistema Mecánico: f = fuerza

e = velocidad

- Sistema de Fluidos: f = caudal

e = presión (altura) P = h

- Sistema Térmico: f = flujo de calor

e = temperatura

Ejemplo de un Sistema eléctrico

SC

SL

1

R

1

R

Vi

aV

0V



Ecuación de Nodo (Sistema Eléctrico):

011

111

0

R

V

V

V

SCSLSL

SLSLRia

1

12

0

RCSLCSV

V

i

Ejemplo de equivalencia entre un sistema mecánico y un sistema eléctrico

0v

B

k

Bf

kf

mf f

vx

m

disipativoefecto

inductivoefecto

capacitivoefectoinercialreferencia

velocidad

posición

Cm RB

1

Lk

1

if

vx

RBif

Cmif

Lkif

Ecuaciones de Nodo (Sistema Mecánico y su equivalente Eléctrico):

FXkBSmSFSXmSS

kBFVmS

S

kB ][][][ 2

IVSLR

CSIS

V

LS

RCSFXkBSmS

1111][ 22



Equivalencias mecánicas: Traslación Rotación

f (fuerza) T (torque)

m (masa) J (inercia)

v (velocidad lineal) ω (velocidad angular)

x (desplazamiento) θ (posición)

B (rozamiento) B (fricción)

Ejemplo de un Modelo híbrido (Motor DC regulado por armadura)

ae

ee

,,T

constif

Ba

i

aR

aL

Ecuaciones Diferenciales

Sistema eléctrico: e

a

aaaae

dt

diLiRe

ee

Ke

Sistema mecánico: aTfaiKiiKT , puesto que f

i es constante

BJT

Diagrama de Bloque:

)(1

ea

aa

aeaaaaae

a

aaaaEE

sLRIEIsLIREe

dt

diLiRe



aTaTIKTiKT

TBsJ

BJSTBJT

1

ee

KE

Donde:

S

1

TK

eK

P

T

aasLR

1

sJB

1

aI

aE

eE

eléctrico

mecánico

Diagrama de Flujo:

a

e

a

a

a

a

a

e

a

a

a

a

a

a

ae

a

aaaaL

Ke

Li

L

Re

Le

Li

L

Rie

dt

diLiRe

111'

a

T iJ

K

J

BT

JJ

BBJT

1

ai

JT

K /

JB /

ae

ai

1s 1

s1

s

aaLR /

aeLK /

aL/1

Variables de estado:

ai

x

x

2

1

y

eua



uL

xL

Kx

L

Rx

L

Ke

Li

L

Ri

aa

e

a

a

a

e

a

a

a

a

a

a

11'

211

212

1x

J

Bx

J

Kx

J

Bi

J

K

J

BT

J

T

a

T

Donde:

uL

x

x

J

B

J

K

L

K

L

R

x

x

a

T

a

e

a

a

0

1

2

1

2

1

2

110

x

xy

Función de transferencia:

1

x1

x2

x2

xu

1s

1s

1sJK

T/

aaLR /

aL/1

aeLK /

JB/

2L1

L

3L

1

1

sL

RL

a

a

1

2

sJ

BL

2

3

sJL

KKL

a

eT

21

213211)(1

s

JL

BRKKS

J

B

L

RLLLLL

a

aeT

a

a

2

1

SJL

KP

a

T

11



Entonces:

2

2

21

2

11

1)(

)()(

S

S

SJL

BRKKS

JL

BLJR

SJL

K

P

sU

ssG

a

aeT

a

aa

a

T

a

aeT

a

aaa

T

JL

BRKKS

JL

BLJRS

JL

K

sD

sNKsG

2

1

)(

)()(



ANÁLISIS: Características de respuesta de Sistemas Dinámicos

- Robustez: Confiabilidad alta

Sensibilidad baja (comportamiento o variación del Sistema)

Rechazo a perturbaciones (minimización de perturbaciones)

- Estabilidad: Sentido BIBO (entrada limitada – salida limitada)

Absoluta y Relativa

Condicional y Marginal

Global y Local

Sentido de Lyapunov

- Respuesta: Transitoria

Estado estable

DISEÑO: Especificaciones de respuesta de Sistemas Dinámicos

- Ajuste de ganancia

- Esquemas de compensación

- Redes de compensación

- Controladores PID

MÉTODOS

- Respuesta Temporal RT

- Lugar Geométrico de Raíces LGR

- Respuesta de Frecuencia RF

Por qué REALIMENTACIÓN?

a) Rechazo a perturbaciones

Lazo abierto:

u

1G

2G

P

yR

RGGuGyyyyPRPR

.2120

Entonces: PGyRP

.20



Lazo cerrado:

1G

2G

P

yR

H

'u

PHGG

GYR

HGG

GGYYYY

RPPRPR.

1.

121

2

0

21

21

0

Considerando: P

HGYHGG

P.

11

1

21

b) Control con precisión

r yG

H

a

Donde: HYRa

= error actuante

Si: YREHa

1 = error de precisión

c) Inestabilidad del Sistema ?

Para estabilidad absoluta en el sentido BIBO, se requiere que las raíces (POLOS) del

Sistema tengan su parte real negativa y estar ubicados en el Semi Plano Izquierdo SPI del

plano complejo S.

r y

H

)3)(2)(1()(

sss

KsG

Donde: )()( sHsG = Función de Transferencia en lazo abierto



Lazo abierto:

Sistema ESTABLE puesto que todos los POLOS se hallan ubicados en el SPI

Lazo cerrado:

La estabilidad depende de la ubicación de los nuevos POLOS de lazo cerrado, por lo que la

Función de Transferencia en lazo cerrado, considerando una realimentación unitaria 1)( sH , viene dada por:

cbsass

K

Ksss

K

sss

K

sss

K

GH

G

R

Y

H

23

1)3)(2)(1(

)3)(2)(1(1

)3)(2)(1(

1

Donde las características de las nuevas raíces, para una estabilidad absoluta, pueden ser:

3 raíces reales negativas, ó

1 raíz real negativa + 2 raíces complejas conjugadas con su parte real negativa

d) Reducción de la ganancia y la constante de tiempo (respuesta más rápida)

r y)1( s

K

Lazo abierto: 1

s

KG con realimentación unitaria 1H

Donde: K = ganancia en lazo abierto

= constante de tiempo en lazo abierto

Lazo cerrado:

11

1

1

1

11

1

11

c

c

Hs

K

sK

K

K

Ks

K

s

Ks

K

GH

G

R

Y



Donde: cK = ganancia en lazo cerrado =

1K

K

c = constante de tiempo en lazo cerrado =

1K

Por lo tanto, al tener en lazo cerrado una constante de tiempo disminuida, la respuesta del

Sistema es más rápida.

e) Sensibilidad

Lazo abierto:

yGr

RGY . GGG YYY

Entonces: RGYRGGYY .).()(

Lazo cerrado:

r yG

H

RGH

GY .

1 R

HGGGH

GYR

HGG

GGYY .

]).(1)[1(.

).(1

Si se considera G pequeño, entonces: RGH

GY .

)1( 2

La sensibilidad se puede cuantificar de la siguiente forma:

G

KS = sensibilidad del Sistema G con respecto al parámetro K

Donde, para variaciones pequeñas, se tiene: K

G

G

K

K

G

G

K

K

KG

G

S G

K

..



Considerando el Sistema en lazo abierto dado por: 1

s

KG

LA

r y)1( s

K

Entonces la Sensibilidad el lazo abierto y cerrado, viene dada por:

Lazo abierto:

11

.

1

s

K

K

s

K

KS G

K

Lazo cerrado:

Sistema en lazo cerrado es: 11

1

1

Ks

K

sK

K

K

GLC

Entonces:

|1|

|1|

1.

1

Ks

s

Ks

K

K

Ks

K

KS G

K

Ejemplo: Determinar el valor de sensibilidad del Sistema anterior en lazo cerrado, para

4,1,01 Kjs

3

1

411

11

T

KS

f) Aumento del ancho de banda

Esta característica se puede ver en el análisis en frecuencia a través del Diagrama de Bode

(gráfica de magnitud) con la Función de Transferencia en lazo cerrado.



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G = 1 / (s + 1)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

r y

H

1

S

KG

c

Entonces: 111

c

c

Hs

K

GH

G

R

Y

En general, la respuesta del Sistema de Primer Orden viene dada por:

/

10)( teKKty , donde: 0

K = valor en estado estable (valor medible)

Cuya forma gráfica está dada por:

Es posible reducir el orden de un Sistema haciendo una serie de consideraciones, así el

Servomecanismo (motor DC), es posible aproximarle a un Sistema de Primer Orden, esto

es:

)1)(1(

emass

K

E

Donde: m = constante de tiempo sistema mecánico

e = constante de tiempo sistema eléctrico



Si: ][][ msegsegem

)1(

mas

K

E

También en general se puede considerar: )1(

mas

K

E

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

r y)2(

2

n

n

ss

Donde: 22

2

21nn

n

ssG

G

R

Y

naturalfrecuencian

ientoamortiguamdeíndice

ientoamortiguamdeecoeficientn

En general, la respuesta del Sistema de Segundo Orden viene dada por:

2/

2

1/

10)(

tt

eKeKKty

Donde: 0K = valor en estado estable (valor medible)

De acuerdo al modelo estándar del Sistema de Segundo Orden, las raíces (POLOS) de la

Función de Transferencia, vienen dados por:

02 22

nnss 12

2,1

nnp

Dependiendo del valor del índice de amortiguamiento se tienen los siguientes Casos:



0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G = 3 / (s*s + 4s +3)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G =4 / (s*s + 4s + 4)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

a) Sobre amortiguado (raíces o POLOS reales negativos diferentes): 1

12

2,1

nnp

Cuya forma gráfica viene dada por:

b) Críticamente amortiguado (raíces o POLOS reales negativos iguales): 1

np

2,1




0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

G = 5 / (s*s + 2s + 5)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G = 2 / (s*s + 4)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

c) Sub amortiguado (raíces o POLOS complejos conjugados): 10

dnnjjp 2

2,11

aamortiguadnaturalfrecuenciad


d) Oscilatorio sin amortiguamiento (raíces o POLOS imaginarios conjugados): 0

njp

2,1




Ejemplo: obtener la Función de Transferencia del Sistema de Segundo Orden dado por:

R Y)2(

1

SS

Ks1

Se debe considerar el modelo general dado por:

G

H

R Y

Donde: G

G

D

NKG

1

y H

H

D

NH

Entonces: HGHG

HG

H

H

G

G

G

G

NNKDD

DNK

D

N

D

NK

D

NK

GH

G

R

Y

...

.

.11

1

1

1

1

Para este ejemplo se tiene que: )2(

1

ss

KG y 1

1 KsH

Por lo que: 11

2

1

1

1

)2()1()2( KsKKs

K

KsKss

K

R

Y



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G = 6 / [(s+1)(s+2)(s+3)]

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

SISTEMAS DE TERCER ORDEN

Se puede considerar un Sistema constituido por dos componentes, una de Primer Orden en

cascada con otra de Segundo Orden, como se muestra en la figura.

22

2

2nn

n

ss

ps

p

En general: )1)(1)(1(321 sss

K

Donde: 3

/

3

2/

2

1/

10)(

ttt

eKeKeKKty

0K = valor en estado estable (valor medible)


IDENTIFICACIÓN tiene que ver con la determinación de las constantes: iK y i

SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR: Dependerá de los llamados POLOS dominantes.



COMPORTAMIENTO DINÁMICO (ANÁLISIS DE RESPUESTA)

a) Respuesta transitoria

- Sistema de primer orden

- Sistema de segundo orden



- Rapidez de respuesta (duración del transitorio)

ts = tiempo de establecimiento

tr = tiempo de subida

τ = constante de tiempo

ωn = frecuencia natural

- Estabilidad relativa (oscilación del sistema)

Mp = máximo sobreimpulso

tp= tiempo de máximo sobreimpulso

ξ = índice de amortiguamiento

Valores para propósitos generales:

seg

n

11

)4(4

%)2(4 segtterrordemargents

n

ss

)3(

3%)5(3 segtterrordemargent

s

n

ss

2n

5.0

21

n

pt

%20100%

21

ep

M

b) Respuesta estable (estado permanente)

Precisión: Ep = error de posición (entrada escalón)

Ev = error de velocidad (entrada rampa)

Ea = error de aceleración (entrada parabólica)



)( sG

)(sH

)( sR )(sYa

Donde:

)(.)()(1

1)(.

)()(1

)()()()()()( sR

sHsGsR

sHsG

sHsGsRsYsHsR

a

La medida del error de la señal de actuación a del Sistema para 1)( sH , está dada por:

)()(1

1)( sR

sGsE

.

Por lo que, el error en estado estable para 1)( sH , considerando el Teorema del Valor

Final, viene dado por:

)(.)(1

1.lim)(.lim)(lim

00sR

sGssEsete

ssss

t

Donde:

SistemadelordendetipoN

pss

zsK

sGq

i

i

N

m

l

l

1

1

)(

)(

)(

El error en estado estable, para diferentes tipos de entrada, considerando 1)( sH , será:

a) Escalón unitario: ps

ssE

ssGse

ssR

1.

)(1

1.lim

1)(

0

Entonces:

posicióndeerror

KGE

p

p

1

1

)0(1

1

Donde: posicióndeerrordeestáticoecoeficientsGKs

p

)(lim

0



Para N = 0 (Sistema tipo 0), se tiene:

q

i

i

m

l

ls

ppzKGsGK

110

)0()(lim

Para 1N (Sistemas tipo N) el error de posición será: 0p

E

b) Rampa unitaria:

vsss

ssE

ssGssGsssGse

ssR

)(

1lim

)(

1lim

1.

)(1

1.lim

1)(

00202

Entonces:

velocidaddeerror

KssGE

vs

v

1

)(

1lim

0

Donde: velocidaddeerrordeestáticoecoeficientssGKs

v

)(lim

0


v

q

i

i

m

l

lss

vEpzKssGsK 0.lim)(.lim

1100


q

i

i

m

l

l

q

i

i

m

l

lss

vpzKpz

s

KssGsK

111100

.lim)(.lim

Para 2N (Sistemas tipo N) el error de velocidad será: 0v

E



c) Parábola unitaria:

asss

ssE

sGssGssssGse

ssR

)(

1lim

)(

1lim

1.

)(1

1.lim

1)(

20220303

Entonces:

naceleraciódeerror

KsGsE

as

a

1

)(

1lim

20

Donde: naceleraciódeerrordeestáticoecoeficientsGsKs

a

)(.lim 2

0

Para N = 0, 1 (Sistema tipo 0 y 1), se tiene:

0.lim.lim)(.lim11

011

2

0

2

0

q

i

i

m

l

ls

q

i

i

m

l

lss

apzKspz

s

KssGsK

Por lo que: a

E


q

i

i

m

l

l

q

i

i

m

l

lss

apzKpz

s

KssGsK

1111

2

2

0

2

0.lim)(.lim

Para 3N (Sistemas tipo N) el error de aceleración será: 0a

E

Otras formas usadas para Sistemas de segundo orden, tipo 1 y 2

Tipo 1 (N = 1) → )2()(

1

2

n

n

sssG

Tipo 2 (N = 2) → 2

)2()(

s

ssG nn



La siguiente tabla resume los errores en estado estacionario para las diferentes entradas y

tipo de Sistema.

Entrada

Sistema

Tipo

Escalón

)(tu

Rampa

)(ttu

Parábola

)(2

2

1 tut

0 p

pK

E

1

1

KKp

v

E

0v

K

a

E

0a

K

1

0p

E

p

K

v

vK

E1

KKv

a

E

0a

K

2

0p

E

p

K

0v

E

v

K

a

aK

E1

KKa

Valores para propósitos generales: %10,, avp

EEE

Ejercicio: Obtener las características de funcionamiento en forma porcentual del estado

transitorio y estable del Sistema dado por:

1,1

2

H

sG

)(SG)( sR )(sY

Entonces:

13

2

1

21

1

2

1 31

32

ss

s

s

G

G

R

Y



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

G = 2 / (s + 3)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

Donde: seg13

1

segtsegtss

443

4

%0p

M debido a que no oscila

21

2lim)(lim

00

ssGK

ssp

%3.331001

1%

p

pK

E

Error demasiado alto, puesto que %10% p

E , por lo que necesita un controlador para

bajar su valor.



1,)1(

4

H

ssG

22224

4

)1(

41

)1(

4

1nn

ss

K

ss

ss

ss

G

G

R

Y



0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

G = 4 / (s*s + s + 4)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

Donde:

242

nn

4

112 n

segtn

s8

44

, valor alto puesto que segts

4

%4.44100%21

ep

M , demasiada oscilación ya que %20% p

M

)1(

4lim)(lim

00 sssGK

ssp

%01001

1%

p

pK

E



1,)2)(1(

4

H

ssG

222263

4

)2)(1(

41

)2)(1(

4

1nn

ss

K

ss

ss

ss

G

G

R

Y



0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

G = 4 / (s*s + 3s + 6)

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

Donde:

45.262

nn

61.03262

3 n

segtn

s67.2

44

%7.8100%21

ep

M

2)2)(1(

4lim)(lim

00

sssGK

ssp

%3.331001

1%

p

pK

E



Efecto de POLOS y CEROS

H

GR Y

Lazo abierto: GH = Ganancia en lazo abierto

Lazo cerrado: GH

GG

R

YRHYRGY

LC

1

).(

donde: )(01 cerradolazoenPOLOSticacaracterísEcuaciónGH

ticocaracterísPolinomioGHsP 1)(

Los POLOS determinan la respuesta mientras que los CEROS influyen sobre la magnitud

de la respuesta.

Los POLOS dan la característica de estabilidad del Sistema.

Los Sistemas Estables tienen POLOS en lazo cerrado a la izquierda del plano “s”, mientras

que los Sistemas de Fase No Mínima tienen CEROS a la derecha (ganancia negativa).

- Zona de ubicación de POLOS

Considerando un par de POLOS complejos conjugados, cuyos valores están dados por:

dnnjjp 2

2,11

X

X

j

n

0

n

21

nj

21

nj

1p

2p



Donde: 10)( Cos

Además, asumiendo: 5.0 , se tiene que 60 .

También, se asume que: 2n

60

601

j

0POLOSde

ubicacióndeZona

- Dominancia de POLOS

Son los POLOS que dominan los que definen la respuesta (los más lentos)

Considerando el caso de la figura, se tiene que el criterio para aplicar dominancia de

POLOS viene dado por:

Si: |),(|3||213

ppep , entonces existe dominancia de los POLOS complejos sobre el

POLO real.

j

1j

2j

2j

123

x

x

04

1j

x),(

21ppe

1p

2p

3p



0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de anular un POLO ubicado a la izquierda de otros POLOS

G0 = 10 / [(s+5)(s*s + 2s + 2)]

G1 = 2 / (s*s + 2s + 2)

Esto es debido a que: 41 20 ee , por lo que se puede despreciar el POLO 4

3p

En el siguiente gráfico puede apreciarse el efecto de la dominancia de POLOS en la

respuesta del Sistema debida a una entrada PASO unitario.

Respuesta a una entrada PASO

Efecto de POLOS dominantes

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

G = 20 / [(s+4)(s*s + 2s + 5)]

G1 = 5 / [(s*s + 2s + 5)]

Ejemplo: Efecto de anular un POLO real ubicado a la izquierda de POLOS dominantes

complejos en el SPI

4

x3

j

1j

12

x

x

0

1j

5

anuladoPOLO



0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de eliminar POLOS a la izquierda de otro

G1 = 20 / [(s+1)(s*s + 8s + 20)]

G2 = 1 / (s+1)

En general, si se mantienen los POLOS dominantes, se tiene:

2222 2

'

)2)(( nnnnss

K

ssps

K

R

Y

Ejemplo: Efecto de anular POLOS complejos ubicados a la izquierda de un POLO real

dominante en el SPI

3

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1j

4x

anuladosPOLOS

Ejemplo: Eliminar el POLO real de la Función de Transferencia en lazo cerrado del

Sistema dado por: )2)(1(

6)(

ssssG , y mediante el Teorema del Valor Final

obtener el valor de K . Considerar 1)( sH y una entrada PASO unitario.

Donde: 2)2)(3(

6

623

6

)()(1

)(

)(

)(2223

s

K

ssssssHsG

sG

sR

sY

Entonces, según el Teorema del Valor Final, se tiene:

1

623

6.

1.limlim

2300

ssssssY

ss

Por lo tanto: 2

22.

1.lim1

20

K

K

s

K

ss

s

La forma gráfica de la respuesta sin y con anulación del POLO real, viene dada por:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Efecto de eliminar un POLO real

Tiempo (sec)

Am

plitu

d G1 = 6 / (s*s*s + 3s*s +2s +6)

G2 = 2 / (s*s + 2)

Ejemplo: Eliminar el POLO y el CERO más cercanos, entre si, de la Función de

Transferencia dada por: )6)(2(

2.25

ss

s

R

Y y determinar el valor de la constante

usando el Teorema del Valor Final. Considerar una entrada paso unitario.

Donde: 6)6)(2(

)2.2(5

s

K

ss

s

R

Y

Entonces: 12

11

)6)(2(

)2.2(5.

1.limlim

00

ss

s

sssY

ss

Por lo tanto: 5.5

66.

1.lim

12

110

KK

s

K

ss

s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Efecto de anular un CERO y un POLO cercanos

Tiempo (sec)

Am

plitu

d G1 = 5(s + 2.2) / [(s + 2)(s + 6)]

G2 = 5.5 / (s + 6)

Conclusión: Los Sistemas de Orden Superior pueden ser reducidos a Sistemas de Primer o

Segundo Orden, aplicando Dominancia de Polos.



- Estabilidad

Tiene que ver con: Conceptos (definiciones), Condiciones y Criterios.

Se tiene estabilidad en el sentido BIBO (Bounded Input – Bounded Output) y en el sentido

de LYAPUNOV.

Se usan los criterios de estabilidad de NYQUIST (frecuencia) y ROUTH – HURWITZ

(intervalo de variación de ganancia K).

El criterio de Hurwitz parte de la Función de Transferencia: GH

G

R

Y

1

Así, el polinomio característico del Sistema con realimentación unitaria 1)( sH , para el

siguiente Sistema viene dado por:

)2)(1( SS

Kr y

)2)(1(

SS

KG KSS

K

GH

GG

LC

)2)(1(1

Donde: )2(3)( 2 KsssP

Para este otro Sistema, se tiene:

)3)(1( SSS

Kr y

KSSS

K

R

Y

34 23

Donde: KSSSsP 34)( 23



El arreglo de Routh (en base a los coeficientes del polinomio característico) viene dado

por:

3S 1 3

2S 4 K

1S 1a 0

0S 1b

Donde: 4

12

4

1341

KKa

Ka

Kab

1

1

1

04

El criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz dice que los coeficientes de la columna de

valores 1, 4, a1 y b1 deben ser mayores a 0 (positivos). Por lo tanto, de acuerdo a los

valores obtenidos, se tiene que:

01

Kb y 1204

121

KK

a

Entonces, el rango de variación de K viene dado por: 120 K

Si se elige el límite superior se tiene el K crítico, es decir: Kc = 12.

Para saber a que valores de S le corresponde el Kc, se considera una ecuación auxiliar de

segundo orden con los coeficientes de la fila 2S , así:

2,12,1

22 3012404 pjSSKSc

Ejemplo: arreglo de Routh para el polinomio: KsssssP 234 22)(

4S 2 1 K 3S 2 1 0

2S 1a 1

b

1S 2a 0

0S K



Donde: 0

2

)1).(2()1).(2(1

a

KK

b

2

)0).(2(.21

KK

a

baa 21

2).2()1.(

1

11

2

es un valor negativo

Nota: Si el elemento 1a es cero provocará que los elementos de las filas subsiguientes

sean infinitos, por lo que se debe reemplazar el cero por un valor pequeño ( ).

Si aparece una fila de ceros, prematuramente, es necesario reemplazar dicha fila por

coeficientes dados por la derivada del polinomio de la fila anterior.

Además, un Sistema tiene tantos POLOS en el semiplano derecho, como cambios de signo

de los elementos de la primera columna del arreglo de Routh.



0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tiempo

Am

plitu

dEfecto de variación de la componente imaginaria de POLOS

G1 = 1 / (s*s + 2s + 5)

G2 = 1 / (s*s + 2s + 2)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de movimiento de un CERO a la derecha

G1 = (s+3) / (s*s + 2s + 5)

G2 = (s+2) / (s*s +2s + 5)

Formas gráficas del efecto de POLOS y CEROS

Ejemplo: Efecto de variar la componente imaginaria de POLOS complejos en el SPI

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1jx

x

Ejemplo: Efecto de mover un CERO hacia la derecha del plano complejo en el SPI

3

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1j

o o



0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de variación de un POLO a la derecha

G1 = 2 / [(s+5)(s*s + 2s + 2)]

G2 = 2 / [(s+0.5)(s*s + 2s + 2)]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de un CERO a la derecha de POLOS

G = (s + 0.25) / (s*s + 2s + 4)

Ejemplo: Efecto de mover un POLO real hacia la derecha de POLOS complejos en el SPI

4

x x3

j

1j

12

x

x

0

1j

5

Ejemplo: Efecto de un CERO ubicado a la derecha de POLOS complejos en el SPI

o

j

1j

1

x

x

0

1j

3j

3j

5.0



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo

Am

pitu

d

Efecto de los POLOS en el eje imaginario

G = 1 / (s*s +2)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de mover POLOS a la derecha

G1 = 5 / (s*s + 6s + 13)

G2 = 5 / (s*s + 2s + 5)

Ejemplo: Efecto de POLOS imaginarios

x

j

x

0

2j

2j

Ejemplo: Efecto de mover POLOS complejos hacia su derecha en el SPI

3

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1j

x

x



0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

Efecto de aumentar un POLO a la derecha de otros

Tiempo

Am

plitu

d

G1 = 10 / [(s+2)(s*s + 2s + 4)]

G2 = 10 / [(s+0.5)(s+2)(s*s + 2s + 4)]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Efecto de aumentar un POLO a la izquierda de otros

G1 = 10 / [(s+2)(s*s + 2s + 4)]

G2 = 10 / [(s+3)(s+2)(s*s + 2s + 4)]

Ejemplo: Efecto de agregar un POLO real a la izquierda de otros POLOS en el SPI

j

1

x

x

0

3j

3j

2x

x

3

agregadoPOLO

Ejemplo: Efecto de agregar un POLO real a la derecha de otros POLOS en el SPI

j

1j

1

x

x

0

1j

3j

3j

5.02x x



0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de aumentar un CERO a la izquierda de POLOS

G1 = 5 / (s*s + 2s + 5)

G2 = 5(s+1.5) / (s*s +2s + 5)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo

Am

plitu

d

Efecto de aumentar un CERO a la derecha de POLOS

G1 = 5 / (s*s + 2s + 5)

G2 = 5(s+0.5) / (s*s + 2s + 5)

Ejemplo: Efecto de agregar un CERO real a la izquierda de POLOS complejos en el SPI

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1j

o

agregado

CERO

Ejemplo: Efecto de agregar un CERO real a la derecha de POLOS complejos en el SPI

j

1j

2j

2j

12

x

x

0

1j

o

agregado

CERO

Conclusión: Añadir POLOS implica un deterioro de la respuesta transitoria (pueden

provocar inestabilidad)

Para mejorar la respuesta transitoria se añaden CEROS en el SPI.



LUGAR GEOMÉTRICO DE RAÍCES (LGR)

Se trata de una técnica para el Análisis de Respuesta Transitoria, Estabilidad y Diseño de

Compensadores. Se emplea para la ubicación de POLOS y CEROS, tanto en lazo abierto

como en lazo cerrado cuando uno de los parámetros del Sistema es variable.

Generalmente la ganancia K es el parámetro variable del Sistema.

)(

)(1

)(

)()(1

)(

)(

)(

sD

sNK

sG

sHsG

sGG

sR

sYLC

Donde: abiertolazoenGanancia

sD

sNKsHsG

)(

)()()(

cerradolazoenPOLOSsHsGsP 0)()(1)(

Entonces: 101)( GHGHsP

Lo que implica que las características del LGR son:

módulodecondiciónGH 1||

fasedecondiciónGH 180

Entonces la construcción del LGR en lazo cerrado se inicia con la información en lazo

abierto.

Ejemplo: Obtener el LGR del Sistema dado por: )2(

ss

KGH , considerando

realimentación unitaria (H = 1)

)2( SS

Kr y



Donde: Kss

K

GH

G

R

Y

21 2

Además: KpKssGHsP 11021)(2,1

2

K p1 p2

0 0 -2

1 -1 -1

2 -1+j1 -1-j1

5 -1+j2 -1-j2

10 -1+j3 -1-j3

… … …

Para K = 0 se tienen los POLOS en lazo abierto

El LGR se inicia en cada POLO en lazo abierto y se dirige a cada CERO (ubicados en el

infinito) en lazo abierto.

1p

2

p

j

1j

1x

0

1j

2

x x

2j

2j

3j

3j

4j

4j

0K 0K

1K 2K

2K

5K

5K

10K

10K



Reglas para la construcción del LGR

1. Modelo: )(

)(

sD

sNKGH

Ejemplo: )3)(2(

)1(

sss

sKGH

2. Sobre el eje real del plano S existe LGR a la izquierda de cada POLO o CERO ubicado

en posición impar (contado de derecha a izquierda). Para Sistemas de fase No-Mínima se

cuenta de izquierda a derecha.

Ejemplo: )9)(5)(1(

)8)(3(

sss

ssKGH

j

xxx oox0123456789

imparessubicacione

3. El LGR inicia en los POLOS de lazo abierto y termina en CEROS de lazo abierto.

Existen tantos ramales del LGR como POLOS en lazo abierto.

Ejemplo: 1;)3(

)1(

H

s

sKGH

Ubicación de CEROS: - 1

Ubicación de POLOS: - 3

ox

j

013



Ejemplo: 1;)4)(3(

)5)(2(

H

ss

ssKGH

Ubicación de CEROS: - 2, - 5

Ubicación de POLOS: - 3, - 4

ox

j

03

o x245

4. Si GH tiene CEROS en el infinito, el LGR se dirige a los CEROS en el infinito a lo

largo de ASÍNTOTAS.

Donde:

mn

CEROSPOLOS

A

= centro de asíntotas ubicado en el eje real

n = orden del polinomio D(s)

m = orden del polinomio N(s)

1,,2,1,0)12(180

mnll

mn = ángulos de asíntotas

Ejemplo: 1;)2(

1

H

ssKGH

Ubicación de CEROS: 2 en el infinito

Ubicación de POLOS: 0, - 2

Donde: n = 2, m = 0 → 102

)20(

nadaA

Además: l = 0, 1 → 270,90



j

1

x02

x x

270

A 90

5. Punto de partida o llegada desde el eje real B : 00)(

ds

dKsP

Para el ejemplo anterior se tiene:

)2(0)2(01 2 ssKKssGH

Donde: Bss

ds

dK 10)22(

Ejemplo: 1;)4)(2(

Hsss

KGH

Ubicación de CEROS: 3 en el infinito

Ubicación de POLOS: 0, - 2, - 4

Donde:

n = 3, m = 0 → 203

)420(

nadaA

300,180,602,1,0)12(

180 ll

mn



Además:

)863(0)4)(2(01 23 sssKKsssGH

Entonces:

1547.3,8453.00)8123(

21

2 ssssds

dKB

El valor de 2s no corresponde a la rama del LGR, por lo que no se le toma en cuenta.

xx x0

j

4 3 2 1

A

B

Kc

Kc

60

180300



6. Determinación del rango de K para estabilidad absoluta

Ejemplo: 1;)4)(2(

Hsss

KGH

Donde:

0860)4)(2(01 23 KsssKsssGH

De acuerdo al criterio de Routh - Hurwitz (en base a coeficientes del polinomio

característico), se tiene:

3S 1 8

2S 6 K

1S 1a 0

0S K

Donde: 4806

48

6

1861

KKK

a

También: 0K

Entonces: 480 K

El límite superior de K corresponde al K crítico (Kc), donde: 48Kc

7. Corte con el eje imaginario: Routh - Hurwitz

Para saber a que valores de S el LGR corta al eje imaginario del plano S, se elige el valor

de Kc a través de una ecuación auxiliar de segundo orden, la misma que se construye con

los coeficientes de la fila 2S del arreglo de Routh, así:

2,12,1

22 8048606 pjSSKSc



8. Ángulo de partida o llegada de POLOS o CEROS complejos conjugados

Se aplica la condición de fase en el POLO o CERO y se despeja el ángulo

Ejemplo: 1;)4(

1

H

ssKGH

Condición de fase:

180

42s

Ks

Donde:

180)2()2()(

42jsjss

s

Ks

Entonces para 2js se tiene:

180)4()2(4

2

2jj

s

Ks

js

1801809090)4()2( jj

Igual resultado se obtiene para 2js

j

0

x

x

180

180

2j

2j

Para Sistemas de Segundo Orden, el LGR corresponde un arco de circunferencia, tal como

se aprecia en la gráfica.



9. Modelo que no cumple con el formato )(

)(

sD

sNKGH

Ejemplo: 1;)(

4

H

pssGH

Este modelo no cumple con el formato para el LGR, esto es: )(

)(

sD

sNKGH , por lo que es

necesario transformarlo, esto es:

0)4(0401 22 spsspsGH

Donde: 01

40

)4(

)4(22

2

GH

s

sp

s

sps

Entonces: 42

s

spGH ya es un modelo que cumple con el formato del LGR.

Nota: Cabe recalcar que esta transformación solo es posible para dibujar el LGR y no para

otro objetivo.

Por lo tanto:

Ubicación de CEROS: 0,

Ubicación de POLOS: + j2, - j2

Donde:

n = 2, m = 1 → 012

)0()22(

jjA

1800)12(

180 ll

mn

Además:

s

sp

s

spGH

40

4101

2

2



Entonces:

2,20

4212

2

sss

s

ds

dpB

El valor de 2s no corresponde a la rama del LGR, por lo que no se le toma en cuenta.

También los ángulos de partida desde los POLOS están dados por: 180 (ejemplo

anterior)

j

x

02

x

o4

2j

2j

B

A

180

Conclusión: El tipo de transitorio lo determinan los POLOS y éstos desplazan al LGR

hacia la derecha, mientras que los CEROS lo desplazan al LGR hacia la

izquierda (mejoran el transitorio)

Ejemplo: obtener, con el mayor detalle, todas las características para construir el LGR del

Sistema dado por

R Y

Ks1

)2)(1(

1

sss

Donde: )2)(1(

1

sss

KsGH



Puesto que no se tiene el modelo apropiado para el LGR, esto es )(

)(

sD

sNKGH , entonces:

023

11

)2)(1(

111

23

sss

Ks

sss

KsGH

En el numerador se tiene: Kssss 123 23

, para lo cual se hace lo siguiente

0123123

1231

2323

23

sss

Ks

sss

sssGH

Donde: 123 23

sss

KsGH

, este ya es un modelo apropiado para el LGR

Entonces:

Ubicación de CEROS: 0, ,

Ubicación de POLOS: - 2.32, - 0.34 + j0.56, - 0.34 – j0.56

n = 3, m = 1 → 5.12

3

13

0)34.034.032.2(

A

l = 0, 1 → 270,90

Además: s

sssK

sss

sKGH

1230

12311

23

23

Donde:

5.0,10)1)(5.0(132

32,1

223 ssssssds

dKB

Como se puede apreciar, existen dos puntos de partida. El valor de 3s no corresponde a la

rama del LGR, por lo que no se le toma en cuenta.

Por otro lado, el ángulo de partida desde los POLOS complejos conjugados, vendrá dado

por:



Para 56.034.0 js se tiene:

)56.034.0()32.2()()56.034.0)(32.2(

56.034.0

jsssjss

Ks

js

Donde:

)56.034.056.034.0()32.205634.0()56.034.0(180 jjjj

Entonces: 2.195908.1599.120180

Para 56.034.0 js se tiene un ángulo 2.195

En este ejemplo, en razón de que no existe corte del LGR con el eje imaginario de S, no

tiene sentido aplicar el criterio de Routh – Hurwitz, en razón de que K0

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

LGR

G = K s / [s*s*s + 3s*s +2s +1]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

Conclusiones:

El número de POLOS debe ser igual al número de CEROS.

El origen de las ASÍNTOTAS A debe estar siempre en el eje real del plano S.



Los puntos de partida o llegada B debe corresponder solo al eje real del plano S, de lo

contrario se los descarta.

Si no existen CEROS en el infinito, no existen ASÍNTOTAS.

Donde existe doble POLO real corresponde a un punto de partida.

Ejemplo: Cómo se puede determinar el K del Compensador en el Sistema dado por:

2

1

sR Y

rCompensado Planta

)6(

)1(

s

sK

Puesto que la Planta presenta un LGR en el eje imaginario del plano S, es necesario

compensarlo, para lo cual el Sistema viene dado por:

1;)6(

)1(2

H

ss

sKGH

, cuyo LGR está dado por:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-6

-4

-2

0

2

4

6

0.10.20.320.440.560.7

0.84

0.95

0.10.20.320.440.560.7

0.84

0.95

123456

LGR

GH = K (s + 1) / [s*s (s + 6)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

Al no haber corte con el eje imaginario, se puede elegir el K en el rango: K0



Eligiendo un K = 14, los POLOS se ubican en 56.161.1 j y la respuesta del Sistema

viene dado por:

Respuesta del Sistema a un PASO unitario

y / R = K (s + 1) / [s*s (s +6) + K (s + 1)], K = 14

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: gc

Settling Time (sec): 2.63

System: gc

Peak amplitude: 1.33

Overshoot (%): 33

At time (sec): 1.24

Los comandos en Matlab serán:

>> g1 = tf (1, [1 0 0])

>> g2 = tf ([1 1], [1 6])

>> g = series (g1, g2) también: >> g = g1 * g2

>> rlocus (g)

>> gc = feedback (14 * g, 1)

>> step (gc)



Ejemplos de LGR obtenidos en Matlab (rlocus)

Ejemplo: obtener el LGR del Sistema dado por 1,42

Hs

sKGH

>> g = tf ([1 0], [1 0 4])

LGR

GH = K s / [s*s + 4]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

System: g

Gain: 3.49

Pole: -1.74 - 0.974i

Damping: 0.873

Overshoot (%): 0.36

Frequency (rad/sec): 2

System: g

Gain: 3.49

Pole: -1.74 + 0.974i

Damping: 0.873

Overshoot (%): 0.362

Frequency (rad/sec): 2

LGR

Grilla con valores de frecuencia natural e

indice de amortiguamiento

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.140.280.420.560.680.8

0.91

0.975

0.140.280.420.560.680.8

0.91

0.975

0.511.522.533.5



a) 1; Hs

KGH

>> g = tf (1, [1 0])

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

LGR

GH = K / s

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

b) 1;

2 H

s

KGH

>> g = tf (1, [1 1 0])

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

LGR

GH = K / s*s

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S



c) 1;4

Hs

KGH

>> g = tf (1, [1 4])

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

LGR

GH = K / (s + 4)

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

d) 1;)5(

Hss

KGH

>> g = tf (1, [1 5 0])

-5 -4 -3 -2 -1 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

LGR

GH = K / [s(s + 5)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S



e) 1;)5)(3(

Hsss

KGH

LGR

GH= k / [s(s +3)(s + 5)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

-15 -10 -5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

System: g1

Gain: 894

Pole: -12.5

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/sec): 12.5

System: g1

Gain: 894

Pole: 2.26 + 8.14i

Damping: -0.267

Overshoot (%): 239


Conclusión: Mientras más POLOS se añadan, el LGR se desplaza hacia la derecha del

plano S (deterioro del transitorio)

f) 1;)2)(1(

)3(

H

sss

sKGH

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

LGR

GH = K(s + 3) / [s(s + 1)(s + 2)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

Conclusión: al añadir CEROS el LGR se desplaza hacia la izquierda del plano S (mejora

el transitorio)



g) 1;

4

)1(2

H

ss

sKGH

LGR

GH = K(s + 1) / [s*s - s +4]

Grilla con valores de frecuencia natural

e indice de amortiguamiento

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.160.30.460.60.720.84

0.92

0.98

0.160.30.460.60.720.84

0.92

0.98

0.511.522.533.54

h) 1;

)4( 2

H

sss

KGH

-8 -6 -4 -2 0 2 4-6

-4

-2

0

2

4

6

LGR

GH = K / [s(s*s + s +4)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S



i) 1;

)164)(1(

)3(2

H

ssss

sKG

LGR

G = K (s+3) / [s (s+1) (s*s + 4s + 16)]

Eje real de S

Eje

imag

inar

io d

e S

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6

System: sys

Gain: 40

Pole: -2.68 + 1.89i

Damping: 0.818

Overshoot (%): 1.16


System: sys

Gain: 40

Pole: -2.68 - 1.89i

Damping: 0.818

Overshoot (%): 1.16


System: sys

Gain: 34.4

Pole: 0.0252 + 3.18i

Damping: -0.00791

Overshoot (%): 103




ANÁLISIS EN FRECUENCIA

La respuesta es debida a una ENTRADA de frecuencia variable

r ySISTEMA

Donde: )()( tCosRtrmx

→ )()( tCosYtymx

generadordelfrecuencia , 0

fase

- Dominio de la frecuencia real

Considerando el Sistema dado por: )(

)(

)(

)()(

sD

sNK

sR

sYsG

)(

)(

)(

)()(

jR

jY

jD

jNKjGjs = Función de Transferencia Sinusoidal

La Respuesta en Frecuencia es una FUNCIÓN DESCRIPTIVA, que maneja Magnitud y

Fase en función de : jMeM

En Sistemas de Control se maneja un Método Pseudográfico.

Las magnitudes para Sistemas de Potencia están en el orden de: [MW], [KA], [KV]

En Telecomunicaciones (bajas potencias): [mA], [uA], [A], [mV], [uV], [V]

[KHz] (cable coaxial), [MHz] (guías de onda), [GHz] (fibra óptica)



En Sistemas de Control: Sistema híbrido (sector industrial, instalaciones industriales)

Media potencia: [A], [V] en el orden de las decenas o unidades

- Diagramas de Respuesta en Frecuencia

)}({)}({)(|)(|)()( jGmjjGejGjGjGjssG

BODE:

.)(

.|)(|

vsjG

vsjGdb

NYQUIST: )}({.)}({ jGevsjGm

NICHOLS: )(.|)(| jGvsjGdb

DIAGRAMA DE BODE

Donde: |)(|log20|)(| jGjGdb

Lazo abierto: GM = Margen de Ganancia

FM = Margen de fase

Lazo cerrado: rM = Máximo pico de Resonancia

AB = Ancho de Banda

Factor de Primer Orden (lazo abierto): 1

1)(

1

1)(

jjwGH

ssGH

Donde: = constante de tiempo



2

1

1

1

1

|1|

1|)(|

cc

jj

jwGH

Entonces:

2

1log20|)(|

c

dbjGH

c

arctgjGH

)(

Asíntotas:

Frecuencias bajas: 1

c

)1log(20|)(| db

jGH = recta de ][0 db

0)( jGH

Frecuencias altas: 1

c

)log(20)log(20log20|)(|c

c

dbjGH

= recta con una pendiente de ]/[20 dcdb

90)( jGH

Frecuencia de corte:

1

c

][0|)(| dbjGHdb

45)( jGH



La gráfica de la Magnitud y la Fase de )( jGH viene dada por:

c1.0

c10

c

][0 db

][20 db

dbjGH |)(|

c1.0

c10c

)( jGH

0

45

90

Para el caso en que el factor de Primer Orden sea: 1)(

jK

jwGH

Entonces, la Fase no sufre ningún cambio, en tanto que la Magnitud se desplaza en el

factor dado por: ||log20 K , cuyo diagrama de Bode es el siguiente:

c1.0

c10

c

][0 db

][20 db

dbjGH |)(|

][||log20 dbK

1

Factor de Primer Orden (lazo abierto): jjwGH

ssGH

1)(

1)(



1

1

|1

|

1|)(|

j

jwGH

Entonces: )1log(20)log(20

1log20|)(|

dbjGH

=

= recta con una pendiente de ]/[20 dcdb que cruza en

1 , válida para frecuencias bajas y altas

parajGH 90)(

La gráfica de Bode de este tipo de factor (POLO en el ORIGEN) viene dada por:

][20 db

][0 db

][20 db

1 101.0

dbjGH |)(|

0

90

1.0 1 10

)( jGH

Para el caso en que el factor de Primer Orden sea: j

KjwGH )(





][0 db

][20 db

1 101.0

dbjGH |)(|

][20 db

][||log2020 dbK

Factor de Segundo Orden (lazo abierto): )2()(

2

n

n

sssGH

Donde: 12

1)(

2)(

222

2

nn

nn

n

j

jR

Y

sss

R

Y

Entonces:

2

2

22

41log20)(

nndb

jR

Y

2

1

2

)(

n

narctgj

R

Y

Asíntotas:

Frecuencias bajas: 1

n

)1log(20)( db

jR

Y

= recta de ][0 db

0)( jR

Y

Frecuencias altas: 1

n



)log(40)log(40log20)(

2

n

ndb

jR

Y

= recta con una pendiente de ]/[40 dcdb

180)( jR

Y

Frecuencia de corte: n

][0)( dbj

R

Y

db

90)( jR

Y

La gráfica de la Magnitud y la Fase de )( j

R

Yviene dada por:

][0 db

][40 db

n1.0

db

jR

Y)(

n10

n

7.0

5.0

0

90

180

n1.0

n

n10

)( jR

Y

5.0

7.0

Para el caso en que el factor de Segundo Orden sea: )2(

2

)(n

n

ssKsGH

se tiene:



12

1)(

2)(

222

2

nn

nn

n

j

KjR

Y

ssKs

R

Y



][0 db

][40 db

n1.0

db

jR

Y)(

n10

n

7.0

5.0

][||log20 dbK

Por lo tanto en lazo abierto se definen el Margen de Ganancia GM y el Margen de Fase

FM , esto es:

dbjGH |)(|

)( jGH

0

90

180

1

)(G

M

)(F

M

][0 db



Donde: )(

11)(

1

jGH

MjGHG

)(180180)(1

jGHMjGHF

También:

dbjGH |)(|

)( jGH

0

90

180

1

][0 db

)(G

M

)(F

M

Entonces:

Margen de Ganancia en [db] es la ganancia que se puede incrementar, en lazo abierto, para

que la Magnitud alcance los 0 [db] a la frecuencia en que la Fase pasa por - 180◦.

Margen de Fase en [◦] es la medida de Fase adicional que se puede alcanzar los - 180

◦ a la

frecuencia en que la Magnitud alcance los 0 [db].

Un Sistema es Estable cuando )(G

M y )(F

M

Un Sistema es Inestable cuando )(G

M y )(F

M



Para Sistemas de Fase Mínima se tiene: )(G

M y )(F

M o )(G

M y )(F

M

Para Sistemas de Fase No Mínima se tiene: )(G

M y )(F

M o )(G

M y )(F

M

En lazo cerrado se definen el Máximo de Resonancia rM y el Ancho de Banda

AB únicamente en la Magnitud, esto es:

db

jR

Y)(

][0 db

][3 db

rM

r

AB

AB

El Máximo de Resonancia es una medida de las oscilaciones del Sistema y tiene que ver

con la Estabilidad Relativa.

Para obtener el Máximo de Resonancia rM se debe hacer: 0)(

j

R

Y

d

d

Para un Sistema de Segundo Orden, se tiene:

212

1log20

rM

máximo valor que alcanza la Magnitud.

221 nr frecuencia a la cual ocurre el Máximo de Resonancia.

221)( arctgjGH

r Fase a la frecuencia de resonancia r

2421 242 n

AB Ancho de Banda



En otros casos, tales como Redes Eléctricas, el Ancho de Banda se obtiene en base a la

Curva Universal de Resonancia.

][3 db

1

2

AB

Max

Ejercicio: Dibujar el Diagrama de Bode y obtener el Margen de Ganancia y Fase, el

Máximo de Resonancia y el Ancho de banda, del Sistema dado por:

)5)(2(

1010

sss

sGH

Donde:

51

21

101

.5.2

10.10

)5)(2(

1010

sss

s

sss

sGH

Para js se tiene:

51

21)(

101

.10

jjj

j

GH

Entonces: )(log20)( jGHjGHdb

51log20

21log20log20

101log20|10|log20)(

jjjjjGH

db

Donde: |10|log20 factor constante

101log20

j

factor real (CERO) de primer orden

jlog20 factor real (POLO) en el origen

51log20

21log20

jj

factores reales (POLOS) de primer orden



Además:

5290

10)(

arctgarctagarctgjGH

Utilizando Matlab, se tiene:

>> g = tf ([10 100], [1 7 10 0])

>> bode (g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

System: g

Gain Margin (dB): 7.36

At frequency (rad/sec): 5.77

Closed Loop Stable? Yes

10-1

100

101

102

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

System: g

Phase Margin (deg): 10.7

Delay Margin (sec): 0.048



También:

100207

1010

)10(10)5)(2(

1010

1)(

23

sss

s

ssss

s

GH

Gs

R

Y

7.1567.034.6

1010

100207

1010)(

223

sss

s

sss

ss

R

Y

17.157.15

67.0

7.1534.61

101

.)7.15)(34.6(

10.10)(

2

sss

s

sR

Y



Para js , se tiene:

17.157.15

67.0

7.1534.61

101

)(2

jj

j

jR

Y

Donde:

17.157.15

67.0

7.15log20

2

j

factor complejo (POLOS complejos) de

segundo orden

Mediante Matlab, se tiene:

>> gc = feedback (g, 1)

>> bode (g)

El Diagrama de Bode correspondiente a la Magnitud, está dado por:

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

System: gc

Peak gain (dB): 14.8


Mag

nitu

de (

dB)

System: gc

Gain Margin (dB): 2.5





DIAGRAMA DE NYQUIST

Diagrama para el análisis de estabilidad de un sistema en lazo cerrado.

Entonces: 01)( GHsP )(

)(18011

sD

sNKGH

NYQUIST evalúa GH alrededor de una trayectoria o contorno cerrado , en el plano

""s , que genera un segundo contorno cerrado , en el plano ""GH , para luego utilizar

el contorno cerrado para localizar en el plano ""s los CEROS de: GH1 para ganancia

variable.

Este proceso se basa en el TEOREMA DE LA PROYECCIÓN CONFORME DE

CAUCHY que dice:

* Si una trayectoria en el plano ""s es cerrada ( ), entonces le corresponde otra

trayectoria en el plano ""GH también cerrada ( ).

* Si una trayectoria en el plano ""s encierra singularidades (POLOS y CEROS) de GH ,

se cumple que:

PZN

donde: N = # de circunvalaciones (en sentido horario) de la trayectoria

alrededor de una ORIGEN.

Z = # de CEROS de GH dentro de la trayectoria .

P = # de POLOS de GH dentro de la trayectoria .

Plano ""s : js Plano ""GH : }{}{ GHmjGHeGH

j

XX X

O

1S

2S

)(1

SGH)(

2SGH

}{GHe

}{GHm

)(

Pr

mappingconformal

conformeoyección

2;1 PZ 121 PZN (rotación de en dirección opuesta

a la rotación de ).



CRITERIO DE NYQUIST

NYQUIST elige un contorno que contenga la mitad derecha del plano ""s en sentido

horario. En este contorno no debe haber POLOS o CEROS de GH .

Entonces, los CEROS de GH1 son la solución de la Ecuación característica, pero a su

vez son los POLOS de la Función de Transferencia.

Por lo tanto, lo que se requiere es evaluar GH a lo largo de y agregar "1" al resultado,

por lo que cualquier circunvalación al origen del plano GH1 es una circunvalación al

valor 1 en el plano GH .

Todo esto es compatible con las gráficas de magnitud y fase de BODE.

j

0

0

R

0

1

}{GHe

}{GHm

NYQUISTdeContorno

)(

Pr

mappingconformal

conformeoyección

2N (circunvalaciones al punto 1 )

Ejemplo: 1;1

Hs

KGH 1

)(

j

KjGH

donde: 21)(

KjGH

)()( 1 tgjGH

)( jGH )( jGH

0 K 0

0 90

1 K71.0 45

5 K2.0 79

10 K1.0 84



Entonces:

j

R

0X

1

)}({ jGHe

)}({ jGHm

0

1

0K

4571.0 K

792.0 K

8 41.0 K

900

0P 00 ZN

Ejemplo: 1;)1(

Hss

KGH )1(

)(

jj

KjGH

donde: 21)(

KjGH

)(90)( 1 tgjGH

entonces:

)(lim0

jGH 0)(lim

jGH

90)(lim0

jGH

180)(lim

jGH



j

X

1

X )}({ jGHe

)}({ jGHm

0

0

1

)0(0 s

R

P = 0 N = 0 Z = 0

La semicircunferencia de radio infinitesimal )( se proyecta como semicircunferencia de

radio infinito.

La semicircunferencia de radio infinito )(R se proyecta como semicircunferencia de radio

infinitesimal.

Ejemplo: 1;)2)(1(

Hsss

KGH )2)(1(

)(

jjj

KjGH

donde: )4)(1(

)(22

K

jGH

2)(90)( 11

tgtgjGH

entonces:

)(lim0

jGH 0)(lim

jGH

90)(lim0

jGH

270)(lim

jGH



Dependiendo del valor de K , el mismo que puede ser relacionado con el CK , se tiene:

XX X

j

012

B

A

CK

CK

donde: 3 CEROS en el y 3 POLOS en: 0, -1, -2

1A

60

180

300

423.0B

60 K (rango de estabilidad)

6C

K

entonces:



j

X

XX

0

R

0

0

1

0

0

)}({ jGHe

)}({ jGHm

CKK

P = 0 N = 0 Z = 0

1

0

0

)}({ jGHe

)}({ jGHm

CKK

1

0

0

)}({ jGHe

)}({ jGHm

CKK

N = 2 Z = 2 N = 2 Z = 2

2 POLOS en el eje "" j 2 POLOS en el SPD, por lo que el

sistema es INESTABLE.



COMPENSACIÓN DE SISTEMAS

Al hacer un análisis Dinámico del Sistema, pueda que éste cumpla o no con las

especificaciones de desempeño. Si el Sistema no satisface especificaciones o es deficiente

en características, es necesario compensarlo.

La compensación de Sistemas está relacionada con la Calidad de Comportamiento

Dinámico.

compensado

deficiente

0

t

y

0

j

deficiente

compensado

deficiente

compensado

)(G

M

)(F

M



La compensación se la hace a través de dos etapas:

1) Agregando componentes específicos para cambiar su estructura.

2) Ajustando dichos componentes a fin de que cumplan con las especificaciones.

Para satisfacer especificaciones de Sistemas en Lazo Cerrado, se utilizan los

Compensadores (CONTROLADORES) en esquemas SERIE o Cascada y PARALELO o

Realimentación.

- COMPENSACIÓN SERIE O CASCADA:

CG

PG

H

ae

CASCADAoSERIE

rcontrolado .instrplanta

controldelazo

r

donde: ae = señal de error actuante

= señal de control

PCTGGG .

- COMPENSACIÓN EN PARALELO O REALIMENTACIÓN

CG

PG

H

ae

controldelazo

G

CIÓNREALIMENTAoPARALELO

ciónrealimentademenorlazo

r y



Ejemplos:

1s

K

s

1

gK

rr

sKg.1

1s

K

s

1

rcontroladoH

C

GP

Gr

yeFILTERPRE

FORWARDFEEDdirectaónalimentaci

señalde

ntoprocesamiepre

lineoff

De acuerdo al Hardware y Software, los CONTROLADORES pueden ser:

- Analógicos (continuos):

o Neumáticos

o Electromecánicos

o Electrónicos (amplificadores operacionales)

- Digitales (discretos):

o Microprocesados ( P : microprocesador, PLC : procesador dedicado)

o Computarizados ( PC )

)(tr)(te )(tu

)(tyC

GP

GDA/ AD/)(KTE )(KTU

PC

Donde: )(KTE , )(KTU son secuencias discretas



DISEÑO DE CONTROLADORES

Puesto que la PLANTA es un elemento inamovible, es necesario realizar el DISEÑO DE

CONTROLADORES.

Por Diseño se entiende el cálculo de los PARÁMETROS del CONTROLADOR.

La técnica utilizada es la de ensayo y error (tanteo), para lo cual el primer diseño se inicia

con ciertas especificaciones, para luego proceder a una calibración y ajuste de parámetros.

Para la compensación SERIE o Cascada, el diseño se hace mediante:

- REDES DE COMPENSACIÓN: ADELANTO, ATRASO y ADELANTO-ATRASO

- CONTROLADORES PID: PROPORCIONAL, INTEGRATIVO y DERIVATIVO

Para la compensación PARALELO o Realimentación, el diseño es a través de:

- REALIMENTACIÓN TACOMÉTRICA

- REALIMENTACIÓN DE ESTADO

Para el diseño se pueden considerar las siguientes especificaciones de desempeño:

RT (Respuesta Temporal): nsst ][4

%20%p

M

%10% p

E

RF (Respuesta de Frecuencia): ][6 dbMG

50F

M

][3 dbMR

]/[1 sradAB

Acción

Parámetros

st p

M% pE%

Acción

Parámetros

GM F

M RM AB

Original ][6 s %33 %20 Original 4 30 6 1

Compensado ][3 s %17 %8 Compensado 7 52 5.2 3



REDES DE COMPENSACIÓN

C

GP

Gr ye

u

Se trata del diseño del controlador: ps

zsKG

CC

donde: CK = Ganancia de compensación (ajuste de ganancia)

z = valor del CERO de compensación

p = valor del POLO de compensación

Para bajas frecuencias:

p

zK

ps

zsK

CCs 0lim

depende de z y p

Para altas frecuencias: CCs

Kps

zsK

lim no depende de z y p

Para: js pj

zjKjG

CC

)(

donde:

22

1log201log20log20)(

pzp

zKjG

CdbC

ptg

ztgjG

C

11)(

Si: z < p, se tiene una Red de Adelanto de fase (RED DE ADELANTO), puesto que:

ptg

ztg

11

, ángulo (+)



Una Red de Adelanto mejora la Respuesta Transitoria (Modifica el LGR).

Si: z > p, se tiene una Red de Atraso de fase (RED DE ATRASO), puesto que:

ptg

ztg

11

, ángulo (-)

Una Red de Atraso mejora el Error en Estado Estable (no modifica el LGR)

Si se quiere mejorar el Transitorio y el Error se usan REDES ADELANTO-ATRASO.

DISEÑO DE RED DE ATRASO

En una Red de Atraso (z > p) se trata de obtener:

- Ganancia a baja frecuencia

- Elección de POLOS y CEROS de bajo valor para introducir unos pocos grados de

atraso de fase.

Considerando:

ps

zsGK

CC

.11

entonces:

Gananciap

z

ps

zss

.1.1lim0

Conocido el valor de GANANCIA, se puede elegir POLOS y CEROS de bajo valor.



Ejemplo: Dado 1;

)2)(1(

4

H

ssG

P , determinar el valor del POLO y el CERO

del compensador para que %10% p

E .

donde:

2)2)(1(

4limlim

00

ssHGK

sP

sp

%3.33%3

1

21

1

1

1

p

p

pE

KE

Se requiere satisfacer: 9

1

11.0%10%

p

p

pK

KE

,

entonces se puede considerar 9p

K

Puesto que la compensación requiere elevar de 2p

K a 9p

K , entonces se tiene una

ganancia = 4.5 (2 x 4.5 = 9)

Eligiendo una ganancia: etcp

z

02.0

1.0

2.0

1

2

105

Por lo tanto, se puede considerar valores de: 1.0z

02.0p

a su vez: 1z

2.0p

con lo que se tiene:

2.0

1.1

s

s

)2)(1(

4

ss )2)(2.0(

4

ss

proceso que probablemente se volvería demasiado lento, por loe que puede añadirse otro

compensador para mejorar la respuesta transitoria (Red de Adelanto).

r

ps

zsK

C

2.0

1.1

s

s

)2)(1(

4

ssy

ATRASODEREDADELANTODERED



Ejemplo: Dado el Sistema, obtener los valores de z y p de CG para que %10%

pE

r y

CG

1

1

sG

PA M

donde: 1

)1(

1limlim

00

sHGK

sP

sp

%50%

2

1

11

1

1

1

p

p

pE

KE

entonces: 99

1

11.0

Pp

p

KKK

La compensación será de 1p

K a 10p

K ganancia = 10

por lo que la ganancia está dada por: etc

p

z

01.0

1.0

1.0

1

1

1010

eligiendo 1.0z y 01.0p , se tiene:

r y

01.0

1.0.1

s

s

1

1

s

Ejemplo: 1;

)1(

1

H

ssG

P

Mediante Matlab, se tiene:

>> g = tf (1, [1 1] )

>> gr = feedback (g, 1)

>> ltiview (gr) %0% p

M ; 96.1%)2( s

t ; %50% p

E



Entonces:

11

1lim

0

GHK

sp

%50%2

1

11

1

1

1

p

p

pE

KE

Se requiere: 9

1

11.0

1

1%10%

p

pp

ppK

KKEE

Si 10p

K la ganancia viene dada por: etcp

z

01.0

1.0

1.0

1

1

1010

Entonces: 01.0

1.01.11

s

s

ps

zsGK

CC

>> gc = tf ([1 0.1], [1 0.01])

>> gt = series (g, gc)

>> gtr = feedback (gt, 1)

>> ltiview (gtr) %0% p

M ; 3.55%)2( s

t ; %1.9% p

E

Se ha mejorado notablemente st , por lo que al mantener la ganancia baja a una frecuencia

= 10, se tiene:

1.0

1.1

s

s

1

1

s 1.0

1

s

CG

PG

TG

>> gc = tf ([1 1], [1 0.1])

>> gt = series (g, gc)

>> gtr = feedback (gt, 1)

>> ltiview (gtr) %0% p

M ; 56.3%)2( s

t ; %1.9% p

E



DISEÑO DE RED DE ADELANTO

Este diseño se hace en base a especificaciones de tiempo y usando LGR.

Las especificaciones de tiempo son: nsst ][4

%20%p

M

%10% p

E

Eligiendo valores de desempeño, se determinan los POLOS DESEADOS en la región de

convergencia del plano ""s .

2

2,11

nnjp

1

j

0

deseadospolos

Para disminuir el error, es necesario aumentar la ganancia (ajuste de ganancia)

)(

)(limlim

00 sD

sNKGHK

ssp



Para mejorar el transitorio, es necesario disminuir la ganancia

Por lo que en el diseño se afronta el CONFLICTO entre el Transitorio y el Error, puesto

que sus especificaciones son contradictorias.

0

j

0

j

XXX XXXOX

zp

deseadospolos

CK

gananciadeajuste

ADELANTOdeRED

0

j

XX 0

j

XXOX

zp

deseadospolos

CK

gananciadeajuste

ADELANTOdeRED

DISEÑO DE RED DE ADELANTO CON EJEMPLO

r y

ps

zsK

C

)1('

4

ss

PLANTACONTROL



1) Se analiza las características de la PLANTA:

n

nn

n

PssssR

Y

ssG

24

4

)1(

42

2

2

donde: 2n

25.012 n

%4.44100%21

ep

M

][84

4%)2( stn

s

%0100

1

1%

p

pK

E

Por lo que se requiere mejorar el Transitorio, para lo cual se debe diseñar una Red de

Adelanto.

2) Se analiza el LGR de la PLANTA:

0

j

XX

1

Los POLOS DESEADOS deben ubicarse con su parte real por lo menos en el límite – 1

2

2,11

nnjp

211 nd

jp

entonces:

11

nn



además considerando %20% p

M , se tiene 456.0 , para lo cual 193.2n

.

Por lo tanto, el valor de los Polos Deseados, será: 952.11 jpd

Estos Polos Deseados deben pertenecer al LGR del Sistema Compensado, esto es:

0

j

XXOX

zp

deseadospolos

1

952.1j

952.1jADELANTOdeRED

3) Se calcula el ángulo de adelanto necesario A que debe entregar la Red para que el

LGR pase por los Polos Deseados.

Se aplica la condición de fase 180)( jGH

El ángulo de la PLANTA viene dado por:

dd

dpppsP

sssHG )1()(

para:

1.207901.117)1952.11()952.11(952.11 jjjpd .

Entonces, para que alcance un ángulo de -180º, el ángulo de adelanto viene dado

por: 1.271801.207A

.



4) Con el ángulo de adelanto A , se fija el valor del CERO y se determina el valor del

POLO del Compensador.

Si: ACsGz )(1

donde: ApppsCd

dd

psssG

)()1()(

Para: 1.27)952.11()1952.11(952.11 pjjjpd

entonces: 952.1)9.62(1

952.19.62901.27

1

952.11

tg

pptg

donde: 211 pp

por lo tanto:

2

1

s

sK

C

)1('

4

ss )2(

4

ss

KC

[

Este Sistema no cumple con la condición de que por el LGR pasen los Polos Deseados, por

lo que se debe volver a recalcular los valores de z y p del Compensador.

Así, si: Appd

d

pssz )()2(2

Entonces, para:

1.27)952.11()2952.11(952.11 pjjjpd

se tiene que:

7.372.0)8.35(1

952.18.359.621.27

1

952.11

ptg

pptg

Donde:

)1('

4

ss7.3

2

s

sK

C)7.3)(1(

2

sss

sK

CG

PG

TG



5) Se dibuja el LGR de )(sGT para comprobar que pase por los Polos Deseados.

6) Para el cálculo de la ganancia CKK 4 se aplica la condición de módulo, esto es:

1)7.3)(1(

21

d

d

p

pTsss

sKG

entonces, para:

17.3951.111952.11952.11

2952.11952.11

jjj

jKjp

d

donde: 63.15.6 C

KK

entonces:

r y

7.3

263.1

s

s

)1('

4

ss

La Respuesta Temporal de este Sistema Compensado arroja los siguientes datos:

]/[28.2 sradn %6.26%

pM

441.0 ][76.3%)2( sts

Por lo tanto, el aún no cumplir con las especificaciones, es necesario hacerle un ajuste fino

al COMPENSADOR.

Así, considerando el valor del CERO del Compensador en un 80%, esto es: 8.02 s se

tienen los siguientes resultados del Sistema Compensado:

]/[59.1 sradn %3.18%

pM

632.0 ][64.2%)2( sts



Ejemplo: Dado el Sistema, determinar la Ganancia de Compensación K para que la planta

responda con %10% p

E en un ][2.0%)2( sts

.

r y

PLANTA

K3

1

s

RCONTROLADO

Sistema Original: 3

1

sG

P

donde: %751001

1%

3

1

3

1limlim

00

p

ps

Ps

pK

Es

GK

25.014

1

1 41

41

ssHG

G

R

Y

P

P

][14%)2( sts

Sistema Compensado: 3

s

KG

P

donde: 3lim

0

KGK

Ps

p

KKs

K

HG

G

R

Y

P

P

3

1

)3(1

][3

44%)2( s

Kt

s

Considerando: %8% p

E

se tiene: 5.341

08.0

131

13

1

1

1

1

3

pK

p

pE

KK

E

donde: ][11.03

4%)2( s

Kt

s



DISEÑO DE RED DE ADELANTO USANDO RF

Para el Diseño de una Red de Adelanto, usando la Respuesta de Frecuencia, se emplea

Redes Pasivas o Amplificadores Operacionales.

En una Red de Adelanto: p > z

j

xp

T

1

T

1

z

entonces: 10 1

1

1

1

Ts

TsK

Ts

Ts

Kps

zsKG

CCCC

donde: y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo, mientras que CK se

determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto.

El diagrama POLAR del Compensador de Adelanto, viene dado por:

TTj

TjjG

Ts

Ts

GCC

1

1)(

1

1

1

; 10

donde:

)(lim0

jGC

1)(lim

jGC

1

)}({ jGeC

)}({ jGmC

m

02

1 radio

2

1

0

Am



El ángulo máximo viene dado por:

1

1A

Sen

El valor mínimo de normalmente se toma alrededor de 0.05, para lo cual el adelanto de

fase máximo del Compensador de Adelanto es de 65º.

El diagrama de BODE del Compensador de Adelanto, para 1.0 , Tz

1 y T

p

1 ,

viene dado por:

dbCjG )(

T

1

T

10

T

10

z pm

][20 db

][0 db

0

)( jGC

90

45

45

Am

1.0

donde: m resulta ser la media geométrica de las frecuencias de esquina: T

1 y T

1 ,

por lo que:

TTTmm

11log20

1log20log20

2

1

Por otro lado, al añadir el Compensador en Adelanto, éste desplaza la frecuencia de cruce

de ganancia hacia la derecha, disminuyendo el margen de fase, por lo que es necesario

adicionar de 5 º a 12 º al ángulo de adelanto de fase A .



10originalMdeseadoMFFA

donde: )(180 jGoriginalMPF se visualiza en el diagrama de BODE.

1

1A

Sen A

A

Sen

Sen

1

1

También, la cantidad en la modificación de la curva de magnitud en

T

1 , debido a

la inclusión del término 1

1

Ts

Ts

, es:

1

11

11

1

1

1

j

j

Tj

jT

T

][log101

log20 dbM

La nueva frecuencia del corte C (en el diagrama de BODE) sirve para determinar el valor

de T, esto es:

TC

1

C

T1

Además:

1

1

1

1

Ts

TsK

Ts

Ts

KGCCC

11

CCKK

T

T

C

j

j

Tj

TjjG

1

1

1

1

1

1)(

Finalmente, diseñar una Red de Adelanto, usando la Respuesta de Frecuencia, es calcular

los valores de y T , mediante una componente analítica y una componente gráfica.



Ejemplo: Diseño de Red de Adelanto mediante características de RF.

r

Ts

Ts

KGCC

1

1

)1(

4

ssG

P

a) Obtención de la frecuencia 1 (corte con el eje ) de la PLANTA:

)1(

4

ssG

P )1(

4)(

jjjG

P 2

11

1

1

41)(

jG

P

donde: 01641 2

1

4

1

2

11

8791.1652

1

2

11

b) Determinación de la fase de la PLANTA en 1 :

98.15190)1()()(1

1

111 tgjjjG

P

c) Obtención del MARGEN DE FASE original:

02.2898.151180originalMF (Red de Adelanto)

d) Cálculo del ángulo de fase de la Red de Adelanto:

98.311002.285010originalMdeseadoMFFA

e) Determinación del coeficiente :

3075.01

1

A

A

Sen

Sen



f) Cálculo de M:

][1213.53075.0log10log10 dbM

g) Cálculo de T:

C

T1

Se debe graficar el diagrama de BODE y posicionarse en:

]/[59.2][1213.5 sraddbMC

Entonces: 6962.0

3075.059.2

1T

h) Cálculo de: 2519.31

C

K

4362.11

Tz

6705.41

T

p

Por lo tanto el diseño del COMPENSADOR viene dado por:

6705.4

4362.12519.3

s

sG

C

i) Gráficas de BODE de: CG , P

G y PCTGGG

donde: sss

s

sss

sG

T

6715.4671.5

68.1801.13

)1()6705.4(

)4362.1(42519.3

23



se obtienen los datos de BODE de 88.1,28:1

FPMG (calculados), así como

también 6.2,53:1

T

FTMG ( valores del sistema compensado).

La respuesta de TG a una entrada PASO, viene dada por:

68.1868.17671.5

68.1801.13

68.1801.136715.4671.5

68.1801.132323

sss

s

ssss

s

R

Y

Lo que implica: %8.16% p

M

][9.1%)2( sts

%0% p

E


>> w1 = sqrt ( - 0.5 + 0.5 * sqrt (65) )

>> gp = tf ( 4, [1 1 0] )

>> agp = - 90 – atand (w1)

>> mfo = 180 + agp

>> fa = 50 – mfo + 10

>> alfa = ( 1 – sind (fa) ) / ( 1 + sind (fa) )

>> m = - 10 * log10 (alfa)

>> bode

>> te = 1 / ( 2.59 * sqrt (alfa) )

>> kc = 1 / alfa

>> zero = 1 / te

>> polo = 1 / ( alfa * te )

>> gc = tf ( kc * [ 1 1 / te], [ 1 1 / ( alfa * te ) ] )

>> bode (gp)

>> hold on

>> bode (gc)

>> gt = series ( gp, gc )

>> bode ( gt )

>> gtr = feedback ( gt, 1 )

>> hold off

>> step ( gtr )



ACCIONES DE CONTROL

1- ACCIÓN ON – OFF (encendido - apagado), (1 – 0), (si – no), etc.

u

0

M

e PLANTA

r

ue

Donde:

0;0

0;

e

eM

finalValor

límiteciclorizado :

SIMULINK:

r e uy

1

s +4s+32

Transfer FcnStep ScopeRelay

Si se usa el RELÉ por defecto, el sistema no oscila, pero tiene un error Ep .

0e

u

1

t

7.0



Para mejorar el error Ep se usa un RELÉ con HISTÉRESIS (se mejora la vida útil del

actuador).

0 ee

M

M

h h

e

u

El Sistema, con el Relé con Histéresis, oscila alrededor de 0.95.

Para mejorar las características, se debe seguir variando los parámetros del RELÉ, hasta

obtener la mejor opción.

Swich on point = 0.02 (e)

Swich off point = - 0.02 (- e)

Output when on = 2 ( + M)

Output whwn off = - 2 (- M)

Para reducir el transitorio, se usa:

0e

u

M

M

e

e



2. ACCIÓN PROPORCIONAL ( P ): Ajuste de Ganancia

Ley de Control: )()( tKptu e

ie

oe

oR

iR

Donde: i

o

i

o

R

R

e

e

Si Kp aumenta, disminuye el ERROR

Si Kp disminuye, disminuye el SOBREIMPULSO

r y

e uP

G

CG

Kp

Ejemplo: )1(

ss

KGG

PC variar K para observar el efecto.

3. ACCIÓN DERIVATIVA ( D ): Anticipación (utiliza la pendiente) Control

dinámico

Ley de Control: dt

tKdtu

de )()(

ie

oe

R

C

Donde: RCs

E

E

i

o



Desventajas: - Si e es constante, no sirve (no trabaja)

- Introduce ruido

- Genera el efecto de rebote cuando e es tipo escalón

r

e uP

G

CG

Kds

En la siguiente gráfica se puede observar el efecto de anticipación de anticipación.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

YSalida:

eError :

dt

dPendiente

e:

Por lo tanto, la acción DERIVATIVA no se usa sola, puesto que introduce ruido y rebote

(picos).



4. ACCIÓN PROPORCIONAL DERIVATIVA ( PD ): Mejora el transitorio

Ley de Control: dt

tKdtKptu

dee

)()()(

Función de Trnasferencia:

Kd

KpsKdsKdKp

E

U

r y

PG

CG

Kd

KpsKd

Red de Adelanto: )( asKsKdKpGC

Ejemplo: )1(

4

ssG

P ; 1H

Donde: %4.44% p

M

][7 sts

%0% p

E

LGR original:

j

X X

1 0

Es necesario cancelar POLOS de la Planta con CEROS del Compensador, siempre y

cuando la Planta no tenga POLOS ubicados en el SPD del plano ""s .



Entonces: s

Kd

ss

Kd

KpsKd

GGGPCT

4

)1(

4

, donde 1Kd

Kp

t

j

X

1 02

K

original

compensado

Aplicando la condición de módulo y tomando un valor de Polo Deseado en – 2 (debido a

que el LGR del Sistema Compensado está en el eje real del plano ""s ), se tiene:

14

2

dp

s

Kd

donde: 5.012

4 Kd

Kd

Además, si: )1(

)2(42

ss

sKdG

Kd

KpT


>> gp = tf ( 4, [1 1 0] )

>> gc = tf ( [ 1 2 ], 1 )

>> gt = series ( gp, gc)

>> rlocus ( gt )

j

XXO012

K

Los Polos Deseados se ubican en cualquier punto del LGR



También: >> sisotool (gp), aquí se añade un CERO en – 2, luego se habre la ventana de

Respuesta Temporal (RT), para observar la variación de K en el LGR, hasta satisfacer las

condiciones de RT.

5. ACCIÓN INTEGRAL ( I ): para que %0% p

E

Ley de Control: dttKitu e )()(

ie

oe

R

C

Donde: RCsE

E

i

o 1

Función de Transferencia: s

Ki

E

U

La desventaja de la ACCIÓN INTEGRAL es que provoca desestabilización, por lo que no

se usa esta acción sola.

6. ACCIÓN PROPORCIONAL INTEGRAL ( PI ): Para mejora el ERROR

Ley de Control: dttKitKptu ee )()()(

Función de Transferencia:

s

Kp

Kis

Kps

KiKp

E

U

grandeKi

y

t

upwind

200

y

t



Red de Atraso: s

bsK

s

KiKpG

C

)(

7. ACCIÓN PID: Acción de tres términos para mejorar el transitorio y el error.

Ley de Control: dt

tdKddttKitKptu

eee

)()()()(

R

R

iR

dR

iC

dC

iR

iR

iR

oR

e1

dtCR

eii

1

dtCR

dedd

e

u

Donde: i

o

R

RKp


s

Kd

Kis

Kd

Kps

KdsKds

KiKp

E

U2

Red Adelanto – Atraso: s

bsasKsKd

s

KiKpG

C

))((

La sintonía se hace en base a la variación de Kp y Ki hasta mejorar la respuesta, luego si

es necesario se varía Kd .

y

t

y

t

y

t



Para Procesos Industriales se tiene:

dt

dKddtKiKpu

eee

dt

dTddt

TiKpu

eee

1

donde: Ti = tiempo de reset

Td = tiempo de anticipación

además: Ti

KpKi TdKpKd

KpBP

1 = banda propocional


sTd

sTiKp

E

U 11

- Banda Proporcional:

u

e][5 V

][10 V

%100

%100

0

1 pendienteKp

donde: Kpu

e

%1001001

Kp

BP

También: %501002

12

%50

%100 BPpendiente



u

e%100

%100

0

2 pendienteKp

%50

- Tiempo de reset: ][sTi

Considerando constantete )( Et

Ti

EdtE

Tidt

Tiu

Tit

e 00

11

u

0

t

Ti1 Ti2 Ti3

E1

E2

E3

- Tiempo de anticipación: ][sTd

Acción Proporcional: rampae

eKpu

u

0t



Acción Proporcional Derivativa:

u

0t

PD

P

DTd

MÉTODOS PSEUDO EMPÍRICOS: REGLAS DE SINTONÍA DE

ZIEGLER - NICHOLS

Son métodos para el ajuste de CONTROLADORES PID (años 40).

El diseño de PID se hace en base a MODELO con FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

Si no se cuenta con un MODELO, se aplica las REGLAS de ZIEGLER – NICHOLS, para

lo cual no se requiere de la Función de Transferencia.

a) CURVA DE REACCIÓN: Para Sistemas en lazo abierto y que no contengan POLOS

en el origen.

u

0t

0t

y

1

PLANTA

reaccióndeCurvaentradadeónPerturbaci

En Procesos Industriales, al haber capacidad de respuesta, la curva de reacción no es

oscilante, por lo tanto:

21

210)(

tt

ee KKKty



La curva de reacción puede ser obtenida a través de registradores, plotters, etc.

Se considera además el RETARDO DE TRANSPORTE, según la Dinámica del Sistema.

l

A BdoratransportaBanda

l

A Bfluidosdetransporte

De acuerdo al orden del Sistema, se tiene:

- PRIMER ORDEN:

11s

K

- SEGUNDO ORDEN:

1

1

2s1

1s

K inflexióndepunto

retardodeefecto

- TERCER ORDEN:

11s

K

inflexióndepunto)1)(1(

1

32 ss

transportederetardo



Ejemplos

- lazo abierto:

Se 5.0

1

1

s

plantaretardo

calefactor

energía atemperatur

- lazo cerrado:

Se 5.0

)2)(1(

4

ss

u

r e


>> g = tf ( 4, [1 3 2] , ‘inputdelay’, 0.5 )

>> step ( g )

Puesto que: se

ssG 5.0

)2)(1(

4

no es una función racional, entonces no es posible

proceder a la realimentación, por lo que es necesario convertirle a G en una función

racional, en base a la transformación de se 5.0

en CEROS y POLOS, mediante el comando

del Matlab pade .

Entonces: >> g1 = pade ( g, 1), donde 1 corresponde al orden (primer orden)

>> gr = feedback ( g1, 1)

>> step (gr)



67.0

01.2p

t ][43.7 sts0

5.0

%2.46% p

M

1

t

transportederetardo

se 5.0

: >> [ num, den ] = pade ( 0.5 1)

>> gd = tf ( num, den ) 4

4

s

s

>> [ num, den ] = pade ( 0.5 2)

>> gd = tf ( num, den ) 4812

48122

2

ss

ss

Ziegler – Nichols, usa el Modelo para la curva de reacción, dado por:

Planta

u y

donde:

sLe

s

K

U

Y

1

y

t



además:

sLess

K

U

Y

)1)(1(21

t

y

Puesto que para Ziegler – Nichols, no se cuenta con el Modelo de la Planta, éste se obtiene

en base a medidas, las mismas que dan una curva:

inflexióndepunto

L tiempodeconstante

transportederetardo

inflexióndepuntoel

engeométricatangentey

t

finaly

0

Con los parámetros L y se deduce el PID dado por:

sTd

sTiKp

11 en base a la

siguiente tabla.

Acción

Parámetros

Kp Ti Td

P L

0

PI L

9.0 3.0

L 0

PID L

2.1

L2 L5.0



Ejemplo: En base a la curva de reacción de la Planta )2)(1(

4

ss, obtener los parámetros

L y para un Compensador PID según Ziegler – Nichols.

yu

r e

sTd

sTiKp

11 )2)(1(

4

ss

CG P

G

>> gp = tf ( 4, [ 1 3 2 ] )

>> step ( gp )

y

t0

15.0 15.2

Entonces, considerando un PID, de acuerdo a los valores de la tabla de Ziegler – Nichols,

se tiene:

1615.0

22.12.1

LKp

3.015.022 LTi

075.015.05.05.0 LTd

Por lo tanto:

s

sG

C075.0

3.0

1116



donde: >> s = tf ( ‘s’ )

>> gc = Kp * ( 1 + 1 / ( Ti * s ) + td * s )

>> gt = series ( gc, gp )


>> ltiview ( gtr )

Este sistema tiene un fuerte sobreimpulso, por lo que es necesario iniciar

con la sintonía, hasta obtener la mejor respuesta.

Entonces se debe variar primeramente Kp , luego Ti hasta alcanzar algo aceptable, y si

se requiere mayor aproximación se variará Td (considerar los valores: 10Kp , 2Ti

y 1.0Td ).

Ejemplo: Utilizando >> sisotool ( g ), definir un PID para compensar a la Planta dada por:

)1)(6.0(

4

ssG

b) GANANCIA CRÍTICA: Para Sistemas en lazo cerrado y que contengan POLOS en

el origen.

u

0t

1

r PID Planta

Kp

0

críticoperiodo

Pc

Kcsostenibleoscilación :

Para ganancia crítica, se tiene: TióKi 0

00 TdóKd



Entonces, al no conocer el Modelo de la Planta, se debe variar Kp hasta conseguir una

oscilación sostenible, para obtener el periodo de oscilación Pc , con lo que se determina

CK .

De acuerdo con Ziegler – Nichols, el PID relativo a la Ganancia Crítica, se define en base a

la siguiente tabla:

Acción

Parámetros

Kp Ti Td

P Kc5.0 0

PI Kc45.0 Pc2.1

1 0

PID Kc6.0 Pc5.0 Pc125.0

Ejemplo: En base a la Ganancia Crítica de la Planta )4)(1(

1

sssG

P , obtener CK y

Pc para un Compensador PID según Ziegler – Nichols.

y

r Kp

)4)(1(

1

sss

En general: 01 HKpGP 0

)4)(1(1

sss

Kp

donde: 0450)4)(1( 23 KpsssKpsss

entonces:

3s 1 4

2s 5 Kp

1s 1a 0

0s 1b



donde: 2005

20

5

451

KpKpKp

a

01

Kpb

por lo que: 20200 KcKp

además: 225

052,1

2 cjKc

jsKcs

para lo cual:

cPc

Pcc

22

El Compensador PID de acuerdo con los datos de la tabla de Ziegler – Nichols, viene dado

por:

12206.06.0 KcKp

57.15.05.0 PcTi

39.0125.0125.0 PcTd

Por lo tanto:

s

sG

C39.0

57.1

1112

Debe procederse a realimentar al conjunto PCGG para el Análisis del Sistema, luego de

lo cual se realizará la sintonía, en el orden Kp , luego Ti y finalmente Td .

En la práctica se debe ir variando Kp hasta obtener la oscilación sostenible.

>> g1 = Kc * g

>> g1r = feedback ( g1, 1 )

>> ltiview ( g1r )

Al variar Kp se va observando hasta que se tenga una oscilación sostenible, con lo

que se define CK , luego se mide el periodo correspondiente a C

K ( Pc ).




)3)(2)(1(

4

sssG

P

Donde: 6116

423

sss

GP

>> gp = tf ( 4, [ 1 6 11 6 ] )

>> gpr = feedback ( gp, 1 )

>> ltiview ( gpr )

Análisis: %8.4% p

M

][97.3%)2( sts

%60% Ep

El Sistema no oscila en forma sostenible, por lo que:

>> sisotool ( gp) aquí se observa el LGR donde se determina CK .

Se abre la ventana [Analysis, Response to step command] para medir el periodo Pc .

Según SISOTOOL se tiene )]([3.14 sCKc , a cuyo valor le corresponde un periodo de

oscilación 92.109.201.4 Pc .

Por lo tanto, el Sistema original (Planta) tiene un transitorio aceptable, por lo que se

requiere únicamente una acción PI.

Entonces: 435.63.1445.045.0 KcKp

6.192.12.1

1

2.1

1 PcTi

0Td



donde : >> s = tf ( ‘s’ )

>> gc = Kp * ( 1 + 1 / ( Ti * s ) )

>> gt = series ( gc, gp )


>> ltiview ( gtr )

Se tiene demasiado sobreimpulso (60 %) y oscilación, por lo que se debe

iniciar la sintonía variando primeramente Kp , luego Ti y finalmente

Td ( considerar los valores: 8Kp , 6Ti y 1Td ).


)52)(1(

42

sss

G

Donde: >> g1 = tf ( 4, [ 1 3 7 5 ] )

>> g1r = feedback ( g1, 1 )

>> ltiview ( g1r ) 4.22.126.141644 PcKc

PID: 6.96.0 KcKp 2.15.0 PcTi 3.0125.0 PcTd

Considerar valores de: 8.05.2,5.3 TdyTiKp

control automático

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