control aula14 met-ident
TRANSCRIPT
-
Mtodos de Identi f icao de Processos
Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS
1
Departamento de Engenharia Qumica e de Petrleo UFF
Introduo2
Modelo do Processo
u ?
ANLISE
?
Identificao
u y
Modelo do Processo
Controle
? y
determinao de dito modelo, a partir de ter algum conhecimento prvio sobre o processo e de experincias prticas, se lhe conhece como Identificao de Processos.
-
A modelagem matemtica a rea do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemticos de sistemas reais.
A identificao de sistemas uma rea do conhecimento que estuda
Introduo
A identificao de sistemas uma rea do conhecimento que estuda tcnicas alternativas da modelagem matemtica.
Uma das caractersticas dessas tcnicas que pouco ou nenhum conhecimento prvio do sistema necessrio e, consequentemente, tais mtodos so tambm referidos como modelagem ou identificao caixa preta ou modelagem emprica.
Em muitos casos prefervel usar tcnicas de identificao para se obter modelos que descrevam o comportamento de um sistema. O que obter modelos que descrevam o comportamento de um sistema. O que se pretende descrever com tais modelos so as relaes de causa e efeito entre as variveis de entrada e de sada. Nesse caso, o tipo de modelos, as tcnicas usadas e os requisitos necessrios so bastantes distintos dos correspondentes na modelagem pela natureza do processo.
3
Teoricamente, para chegar a obter um modelo poderiam adoptar-se dois enfoques diferentes:
4Processo de identificao
Mtodo Analtico (Fenomenolgico): determinar as equaes e parmetros que intervm a partir dos princpios da Fsica, da Qumica, Biolgicos , mediante equaes de balanos de massa e energia.
Mtodo Emprico (via experimental): na qual se considera o sistema como uma caixa preta, com determinadas entradas e sadas.
-
5Mtodo analitico
Processo de identificao
TC
TT
TCV Processo ++
Ti Fi
ToTsp
Perturbaes
TTO trabalho de determinar kp, me chamado estimao de parmetros. A existncia de rudo na prtica, durante o processo de medio, faz que o trabalho se torne complexo.
GpGvGcGmGpGvGc
sTspsT
+=
1)()(
p
Mtodo emprico (via experimental).6
Processo de identificao
?
Identificao
u (t) Y (t)
Nesta situao se realiza um conjunto de experimentos que propor-cionaram pares de medidas das entradas e sadas durante a evoluo do sistema at o estado estacionrio, a partir dos quais se trataria de determinar o modelo do sistema.
-
7Processo de identificao
Processo de identificao8
2 ordem subamortecido
2 ordem criticamente amortecido
1 ordem mais tempo morto
2 ordem criticamente amortecido
1 ordem
2 ordem criticamente sobreamortecido
-
Objetivo: Para identificar a dinmica de processo de ordem baixa (ou seja,
modelos de funo de transferncia de primeira e de segunda ordem)
9
Processo de identificao
Estimar os parmetros de processo (i. e., Kp, t and x)
Metodologias:1. Estimativa por Mnimos Quadrados
abordagem estatstica mais sistemtica
2. Mtodos de Curva de Reao 2. Mtodos de Curva de Reao processo rpido e fcil baseado na engenharia heursticas
Mtodo Mnimo Quadrados:
Forma mais simples do modelo
10
Processo de identificao
Descrio do Processo
onde
E y x[ ] = + 0 1
y x= + + 0 1onde
y vetor de medio do processox vetor de entradas do processo1, 0 parmetros do processo
-
Problema:Encontrar 1, 0 que minimiza a soma dos quadrados residuais (SSR)
11
SSR y xn
= ( ) 2
Processo de identificao
SSR y xi ii
=
=
( ) 0 1 21
soluoDiferenciar SSR com relao aos parmetros
$ $
$
0 1
11
=
=
=
y x
x y nxyi ii
n
$1 12 2
1
=
=
=
x nx
i
ii
n
xx
ny y
n
ii
n ii
n= =
=
=
,1 1
onde
Ha duas equaes normal. Soluo de parmetros dado:Estes so chamados de equaes normais. Resolvendo
12
Processo de identificaoProcesso de identificao
para parmetros d:
$ $
$
0 1
11
2 2
=
=
=
y x
x y nxyi ii
n
n1 2 21
=
x nxii
n
Onde: xx
ny y
n
ii
n ii
n= =
=
=
,1 1
-
Mnimos Quadrados No-lineares so necessrios para aplicaes de Controle
13
Processo de identificao
A sada do sistema geralmente discretizado
ou, simplesmente
y t y t y t y tn( ) [ ( ), ( ), , ( )] 1 2 K
y t y y yn( ) [ , , , ] 1 2 K
E y K M ei pti[ ] ( )/= 1
Mnimos Quadrados No-lineares so necessrios para aplicaes de Controle
14
Processo de identificao
Processo de primeira ordem (resposta ao degrau)
o problema torna-se quadrados a minimizao daE y K M ei p
ti[ ] ( )/= 1
SSR y K M e tn
i=
( ( ))/1 2Isso produz um problema de soluo iterativa que so melhor tratada por pacotes de software: FORTRAN, SPLUS, MATLAB (funo leastsq)
SSR y K M ei pti
i=
=
( ( ))/1 21
-
15Mnimos Quadrados No-Lineares Ajuste de um processo de primeira ordem a partir dos dados de resposta degrau
Modelo E y t K ept[ ( )] . ( )/= 30 1
Processo de identificao
Modelo E y t K ept[ ( )] . ( )/= 30 1
2
2.5
3
3.5
4
4.5y(t
)Step Response
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Kp = =13432 118962. , .
Processo de identificao16
Resultados:Utilizando a funo do leastsq do MATLAB obtm-se
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y(t)
Step ResponseResultados do ajuste
0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.5
0
0.5
1
1.5
t
-
Na prtica se combinam ambos enfoques, atuando em duas etapas:
Problema da Identificao17
Etapa de anlises, na qual se tem em conta as leis fsicas e as condies particulares de trabalho para estabelecer hipteses sobre a estrutura e propriedades do modelo que se pretende identificar.
Etapa experimental, na qual se adotam as hipteses estabelecidas anteriormente e se tem em conta as medies experimentais para anteriormente e se tem em conta as medies experimentais para determinar o modelo.
Na anlise h que ter em conta que embora o sistema seja no lineal, pode ser conveniente adoptar um modelo lineal com objeto de estudar seu comportamento sob variaes
18
Problema da Identificao
com objeto de estudar seu comportamento sob variaes relativamente pequenas num ponto de operao.
Assim mesmo, podem usar-se hiptese simplificadoras para descrever o comportamento do sistema mediante um modelo de ordem reduzido, mais fcil de identificar e, posteriormente, de utilizar. posteriormente, de utilizar.
-
Por outra parte, em sistemas lineais com mltiplas entradas, possvel aplicar o principio de superposio, considerando cada sada como suma de sadas elementais
19
Problema da Identificao
considerando cada sada como suma de sadas elementais correspondentes a uma s entrada. A situao se ilustra na figura:
Aplicao do principio de superposio
Um fator a ter em conta na anlise a determinao do tempo das experincias, j que podem existir parmetros que variem em funo de perturbaes lentas no medveis, ou bem podem aparecer no
Fatores a considerar20
de perturbaes lentas no medveis, ou bem podem aparecer no linearidades que no esto presentes num transitrio ao redor de um ponto de trabalho.
Outro aspecto importante, dentro do marco do controle dos processos industriais, que no o mesmo identificar um modelo de um sistema que trabalhar a malha aberta ou a malha fechada. Esta claro que no primeiro se requer maior preciso.
O modelo de um sistema, como representao de seus aspectos O modelo de um sistema, como representao de seus aspectos fundamentais na forma mais conveniente para a finalidade a que est destinado, pode ficar expressado em forma de um conjunto de equaes, tabelas, grficos ou incluso de regras que descrevem sua operao.
-
Dependendo da comunidade cientfica que utilize a tcnica, se fala de parameter estimation, time series analysis ou Process identification.
Estimao x Identificao21
Process identification.
IIdentificao de Processo um termo usado pela comunidade de controle, o qual mais amplo e inclui a estrutura do modelo e os parmetros correspondentes a esse modelo. Tambm inclui os mtodos no-paramtricos.paramtricos.
Um teste de malha aberta pode ser realizado a partir do estado de referncia estvel: Fazer uma perturbao degrau na entrada do processo,
Determinao do ganho do processo22
Fazer uma perturbao degrau na entrada do processo, Registrar a sada do processo at que um novo estado
estacionrio seja atingido, verificar a semelhana deste perfil Se assim, calcule KP como: )1()( / PtP eAKty =
refssnovoss adayyK =
=
)s(,,equilibriodeestadorefnovo
refssnovossP
ntradasada
uu
yyK
=
= )E()s(,,
O ganho do processo, somente pode ser determinado a partir da informao do estado estacionrio.
-
A partir do mesmo teste em malha aberta : Determina-se a P graficamente (nota: P dimenso do tempo)
Determinao da constante de tempo do processo23
1.2
0.4
0.6
0.8
1
KpM
O ganho do processo somente pode ser determinado a partir da informao de estado estacionrio.Ns precisamos de informaes dinmica, para determinar a constante de tempo do processo.
0,63y
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2
0
0.2
p
tempo do processo.Determinar os valores de KP e P de um processo dado conhecido como Processo de identificao.
Indicar a tarefa de identificao como um problema de otimizao: A partir dos dados um modelo de primeira ordem, encontrar os valores de KP e P que
permitam obter o melhor modelo que se ajuste aos dados experimentais.
Uma abordagem alternativa24
Para o qual se precisa de pacote computacionais para executar o ajuste (ex. MatlabTM, Control StationTM, etc.)
recomendado realizar degrau ascendente e descendente na varivel manipulada vrias vezes para obter o real" comportamento dinmico do processo.
Nunca confie nos resultados "brutos" ajustados apenas uma nica Nunca confie nos resultados "brutos" ajustados apenas uma nica vez!. Sempre julgar os resultados por meio da sobreposio a curva ajustada ao processo.
-
Os controles de processos industriais tm se tornado cada vez mais complexos devido exigncia de qualidade dos produtos, rapidez na entrega e concorrncia de mercado, o que produz grandes quantidades de dados a serem gerenciados pelos trs nveis de controle (dispositivos
Uma abordagem alternativa25
de dados a serem gerenciados pelos trs nveis de controle (dispositivos de campo, sistemas de controle e softwares para gerenciamento e negcios).
Na busca de uma soluo para esse problema, foi desenvolvida a tecnologia OPC, que uma tecnologia para conectar aplicaes Windows e equipamentos de controle de processos.
O OPC um protocolo de comunicao aberto que permite um mtodo consistente de acesso aos dados de inmeros equipamentos dos mais diversos fabricantes.
Uma abordagem alternativa 26
Mediante o software MATLAB e da funo de controle ActiveX que permite a comunicao entre o MATLAB e as variveis do processo atravs da tecnologia OPC.
Resultado do Ajuste:
Processo real
Resultado do Ajuste: = 50,7p = 1,968p= 100,4R2 =0,9994.
-
A identificao de processos pode ser dividida nas seguintes etapas:
a) Testes dinmicos e coleta de dados:
PROCEDIMENTOS PARA A IDENTIFICAO DE UM SISTEMA27
a) Testes dinmicos e coleta de dados: Os arquivos de dados do processo tm o mesmo papel das equaes constitutivas na modelagem terica, pois fornecem as bases especficas para o desenvolvimento de modelos para processos especficos.
Como o modelo obtido por identificao totalmente baseado nos dados experimentais, importante ter em mente que a informao dados experimentais, importante ter em mente que a informao que no est contida nos dados no pode aparecer num passe de mgica no modelo, da mesma forma que no razovel esperar que uma equao constitutiva no especificada contribua para a qualidade do modelo terico final.
A identificao de processos pode ser dividida nas seguintes etapas:
b) Escolha correta da estrutura dos modelos:
PROCEDIMENTOS PARA A IDENTIFICAO DE UM SISTEMA28
b) Escolha correta da estrutura dos modelos: Consiste na determinao dos termos que devem compor os modelos, preferencialmente de forma automtica, atravs do reconhecimento da importncia destes diversos termos, utilizando os chamados dados de identificao e evitando a sobreparametrizaoque ocorre quando so utilizados mais termos do que o necessrio;
c) Estimao de parmetros utilizando mtodos numricos c) Estimao de parmetros utilizando mtodos numricos adequados;
d) Verificao da capacidade dos modelos em representar o processo estudado.
-
Esses mtodos se caracterizam por determinar os parmetros do modelo de uma forma grfica, e por muito tempo se vem utilizando desta forma a pesar das imprecises
Mtodos grficos de Identificao de Processos29
tempo se vem utilizando desta forma a pesar das imprecises implcitas neles.
No obstante, com a ajuda da computador, muitos mtodos grficos se tm programados mediante algoritmos analticos.
1) Ajustar o controlador para o modo manual.
Identificao de sistemas de primeira e de segunda ordem usando uma entrada degrau
30
2) Modificar a magnitude da varivel de controle (acrscimo ou decrscimo).
3) Registrar (plotar) a varivel de sada do processo. O grfico da resposta de sada do processo para uma variao na entrada muitas vezes referido como curva reao do processo.
-
Mtodos grficos de Identificao de Processos31
Mtodo da curva de reao do processo:
Baseado na aproximao do processo de primeira ordem mais um atraso:
D(s)
GpGc
GH
M/s D(s)
Y(s)
Y*(s)
U(s)
Ym(s)1. Introduzir um Degrau em U 2. Observar o comportamento ym (t)3. Montar um modelo de 1 ordem
mais tempo morto
Y s KMes s
m
s
( ) ( )= +
1
32
Se o processo de interesse pode ser aproximado a um modelo linear de primeira ou de segunda ordem, os parmetros do modelo podem ser obtidos por inspeco
Mtodos grficos de Identificao de Processos
parmetros do modelo podem ser obtidos por inspeco do curva reao do processo.
A resposta de um modelo de primeira ordem,
1)()(
+=
s
KsUsY
( ) /(1 ) (5-18)ty t KM e = para uma variao degrau de magnitude M :
-
33
A tangente inicial esta dada por:
1 (7-15)d y =
Mtodos grficos de Identificao de Processos
O ganho pode ser calculado a partir das mudanas no estado de equilbrio em u e y:
0(7-15)
tdt KM ==
yyK ==
onde y a variao no estado de equilbrio de y
My
u
yK =
=
0.9
1
34
Mtodos grficos de Identificao de Processos
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
u
yK
=
0 1 2 3 4 5 60
0.1
Figure 7.3 - Resposta de um sistema de primeira ordem para uma pertubao degrau e construes grfica utilizada para estimar a constante de tempo, .
-
35-
( ) 1Ke sG s
s=
+
Modelo de primeira ordem mais tempo morto
Para este modelo POTM, observa-se as seguintes caractersticas de sua
2. A linha traada tangente resposta (t = ) na mxima tangente (intersecta a y/KM=1 na linha (t = + ).
1. A resposta atinge 63,2% da sua ltima resposta no tempo, t = +.
Para este modelo POTM, observa-se as seguintes caractersticas de sua resposta a uma perturbao degrau so:
tangente (intersecta a y/KM=1 na linha (t = + ).
3. A resposta degrau essencialmente completada em t = 5t. Noutra palavra, o tempo do novo equilibrio ts = 5t.
Exemplo 1. A figura da resposta da temperatura T num CSTR para uma mudana degrau na velocidade do fluxo de alimentao W de 120 a 125 kg/min. Determine um modelo de primeira ordem aproximado para o processo nessas condiciones de
Exemplo: Mtodo da tangente mxima 36
operao.
152,6
-
Soluo: Primeiro note que W = M = 125 120 = 5 kg/min desdeT = T() T(0) = 160 140 = 20C,
o ganho do processo :
Exemplo: Mtodo da tangente mxima
o ganho do processo :
a constante de tempo obtida da construo grfica mostrada = 5 min.Note que esse resultado coincide com o tempo quando o 63,2% daresposta atingido, isto :
min/4
min/520
kgC
kgC
WTK ==
=
64,12)140160(63,0 =
154
)(')('
+=
ssWsT
assim, o modelo do processo desejado :64,12)140160(63,0 =
Mtodos Grficos de Identificao38
Na literatura de controle de processos existe uma variedade de mtodos baseado na resposta do processo ao degrau para identificao de K, e .
Ilustram-se os seguintes mtodos:
Ziegler/Nichols_1942.
Hgglund_1991.
Smith_1985. Smith_1985.
Sundaresan_1977.
Nishikawa_1984.
-
Mtodo 1: Mtodo do intercepto da pendente ou Mtodo de mxima pendente de Ziegler & Nichols.Consiste em tracejar uma tangente no ponto de inflexo da curva de reao do processo. Ento, os parmetros so determinados pela inspeo;
O tempo morto determina-se a partir da interseo da tangente de pendente Sm com o valor inicial da varivel de sada.
= y/Sm
39
de pendente Sm com o valor inicial da varivel de sada.Para uma reposta a uma mudana degrau de um sistema de 1aordem sem tempo morto atinja o 63,2 de seu valor final num t= ou seja que
t63 - =
Mtodo 1: Mtodo do intercepto da pendente ou de Ziegler-Nichols.
40
Figure 7.5 - Anlise grfica da curva de reao do processo para obter os parmetros do modelo de primeira ordem mais tempo morto.
-
O Dr Cecil Smith (1972) propus que os valores de e de sejam selecionado de tal modo que o modelo e as respostas reais coincidam em dois pontos na que a regio de elevada taxa de mudana. Assim,
2 Mtodo de Smith41
1)()(
+=
s
KesUsY s
s
Ms
KesY
s
1)(
+=
=
1s
Processo de 1 ordem + tempo morto
e para uma entrada degrau, tem se:
+=
11)(
ssKMesY s
[ ] /)(1)()( = tetKMuty
Logo, por expanso por fraes parciais:
Por transformada Inversa de Laplace e aplicando o teorema tranlao, temos:
Avaliando na eq. anterior os dois pontos recomendados por Smith : t1 = ( + / 3) e t2 = ( + ).
2 Mtodo de Smith42
Temos: [ ] YseKMy ==+ 283,01)3/( 3/1[ ] YsseKMy ==+ 632,01)( 1
O valor de e podem ser obtidos por uma simples resoluo do seguinte conjunto de equaes
13t=+
t=+
O que se reduze a : )(23
12 tt =
= 2tonde,t1 = tempo no qual Y =0,283Yst2 = tempo no qual Y =0,632Ys
2t=+
-
2 Mtodo de Smith43
Mtodo 3. Mtodo de Sundaresan e KrishnaswamyEste mtodo tambm evita a utilizao do ponto de inflexo para estimar a constante de tempo e de atraso de transporte . Eles propuseram que dois tempos, t1 e t2, sejam estimados a
partir da curva de resposta a um degrau, correspondente aos partir da curva de resposta a um degrau, correspondente aos 35,3% e 85,3% da resposta, respectivamente.
Ento, o tempo de morto e a constante de tempo so estimados a partir das seguintes equaes:
( )1 2
2 1
1.3 0.29 (7-19) 0.67
t t
t t
=
=
44
Estes valores de e aproximadamente minimizam a diferena entre a resposta medida e a do modelo, com base numa correlao do conjunto de dados.
( )2 1 0.67 t t=
-
0.9
1
45
3- Mtodo de Sundaresan e Krishnaswamy
85,3%
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
y(t)
= 13 0 291 2. .t t
85,3%
35,3%
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
0.1
0.2
0.3
t
=
=
13 0 290 67
1 22 1
. .
. ( )t t
t t
t1 t2
4 - Mtodo de Nishikawa46
-
Step Response
1.4
1.6From: U(1)
Para os dados experimentais nesta figura. Qual o modelo aproximado que pode
Exemplo47
Degrau unitrioAm
plitu
de
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
To: Y(
1)
57.152.005.057.0
05.0
57.1157.1
05.0
==
=
==
e
K
s
aproximado que pode obter-se?
Time (sec.)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
152.057.1 05.0
+=
s
eGs
0.57
0.05
Resposta de XB para um degrau na vazo de refluxo R
134
136response of XB due to R
0 10 20 30 40 50 60128
130
132
0.1
0.12response of XB due to R
4810 15 20 25 30 35 40
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-
132
134
136response of XB due to R
132
134
136response of XB due to R
)( eK
sGs
p
Aproximao de G(s) usando Mtodo Z&N:
=6.2Mudana na entrada
0 10 20 30 40 50 60128
130
0.08
0.1
0.12response of XB due to R
0 10 20 30 40 50 60128
130
0.08
0.1
0.12response of XB due to R
Linha atravs do ponto
1)(
+
ssG p
=.098
Mudana na entrada
Kp=/=.098/6.2=0.016
10 15 20 25 30 35 400.02
0.04
0.06
0.08
10 15 20 25 30 35 400.02
0.04
0.06
0.08ponto mximo inclinao
S=/
=.098 Mudana na sada
=12-10 = 2 seg, aps o degrau=23-12 =11 s
111016.0 2
+=
s
eGs
132
134
136response of XB due to R
=1.5*(t63%- t28%)=1.5*(19-16)= 4.5= t63%- = (19-10) - 4.5 = 4.5 s
Aproximao de G(s) usando Mtodo Smith:
0 10 20 30 40 50 60128
130
0.08
0.1
0.12response of XB due to R
(certifique-se de subtrair a vez do degrau)
=.098 Mudana da Sada
10 15 20 25 30 35 400.02
0.04
0.06
t63%, tempo p/ 63% de t28%, tempo p/ 28% de
Mudana da Sada
15.4016.0 5.4
+=
s
eGs
-
0.11
0.12
Comparao do Mtodo I e II
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
Mtodo Smith
Mtodo Z&N
10 15 20 25 30 35 400.02
0.03
0.04
0.05
51
Exercicio
O vapor de processo aquecido usando um trocador de calor de casco e tubos.A temperatura de sada controlada ajustando uma vlvula de controle. Duranteuma prova experimental malha aberta, a preso de vapor P mudourepentinamente de 18 a 20 psig e os datos da temperatura so mostrados narepentinamente de 18 a 20 psig e os datos da temperatura so mostrados naseguinte tabela como preso convertida a corrente pelo controlador. Por mediodo mtodo de Ziegler-Nichols determine o melhor modelo para estes dados.
t (min) T (mA)
0 121 122 12,53 13,14 145 14,85 14,86 15,47 16,18 16,49 16,810 16,911 1712 16,9
-
16
17
12
13
14
15
16
T
11
12
0 5 10 15t min
45.21820129.16
=
=
=
=
PT
MyK
0968.3632.0*9.49.4129.16
=
=
( )3.282.63 tt23
=
( ) 6.31.35.55.1 ==0968.150968.312 =+
3867.133867.1123867.1283.0*9.4
=+
=
5.5t 2.63 =
= 2.63d tt
9.16.35.5t d ===
1.3t 3.28 =
( )3.282.63 tt23
=
-
1sKe)s(G
std
+=
1s6.3e45.2
)s('P)s('T s9.1
+=
Substituindo o degrau
)1s6.3(se)45.2(2)s('T
s9.1
+=
Aplicando trasformada inversa
( )= /)tt( de1KA)t('T( )6.3/)t9.1( de19.4)t('T =
16
17
13
14
15
T
11
12
0 5 10 15t min
-
Muito poucos grficos experimentais da resposta degrau apresenta umcomportamento de primeira ordem por que:
1. difcil para construir uma perfeita entrada degrau
2. O verdadeiro modelo de processo no de primeira ordem nemlinear. Unicamente o mais simples processo exibir tais modelosdinmicos ideais.
3.A resposta de sada so usualmente corrompidas com rudo, isso, contm um componente aleatrio na sada medida.
4.Outra entrada (perturbao) pode mudar durante o teste dodegrau sem o conhecimento do operador.
Estimao de Parmetros de Modelos de Segunda ordem usando anlise grfico
Em geral, uma melhor aproximao resposta de um degrau experimental pode ser obtido pelo ajuste os dados a um modelo de segunda ordem. segunda ordem.
( ) ( )( ) (5-39) 1 1KG s
s s=
+ +
2 1 / 0=criticamente amortecida
2 1 / 1=Sistema 1 ordem
58Figure 7.6 Step response for several overdamped second-order systems.
( ) ( )( )1 2 (5-39) 1 1G s s s= + +
-
Estimaco de Parmetros de Modelos de Segunda ordem usando anlise grfico
A Figura 7,6 (Seborg) mostra a faixa das formas que pode ocorrer na resposta degrau do modelo,
A Figura 7,6 inclui dois casos: onde o sistema se torna de primeira ordem, e, caso o criticamente amortecida.2 1 / 0=
2 1 / 1=
( ) ( )( )1 2 (5-39) 1 1KG s
s s=
+ +
59
O maior dos duas constantes de tempos, , a chamada constante tempo dominante.
2 1
1
Estimaco de Parmetros de Modelos de Segunda ordem usando anlise grfico
60Figure 7.6 Step response for several overdamped second-order systems.
-
Mtodo Harriot.
Harriot plotou a resposta na forma fracionria de segunda ordem (sem tempomorto) assim mesmo t/(1+2) para diversas fraes de 2/ 1.Encontrou que todas as curvas se intersectam aproximadamente a 73% dovalor final do estado estvel onde t/(1+ 2) igual a 1.3 como se mostra navalor final do estado estvel onde t/(1+ 2) igual a 1.3 como se mostra nafigura:
A faixa real 0.7275 < y < 0.7326. Assim para medir o tempo requerido pelo sistema para atingir o 73% do valor final t , a soma das duas constantes de tempo pode ser
Mtodo Harriot.
final t73, a soma das duas constantes de tempo pode ser calculada:
(1+2) = (t73/1.3).
Harriot graficou a resposta fracionria em t/(1+2) = 0.5 asim mesmo /( + ) desde as curvas do grfico anterior, asim mesmo 1/(1+2) desde as curvas do grfico anterior, mostra uma grande desviao neste ponto. A resposta fracionria mostrada na seguinte figura:
-
Mtodo Harriot.
O valor da resposta fracionria quando t = 0.5(1+2) podeser determinado nos dados experimentais, e o valor de1/(1+2) pode ser ldo desde a figura anterior.
Mtodo Harriot.
Se a resposta fracionria menos que 0.26 ou maiorque 0.39 neste ponto, o mtodo no aplicvel, o qualgeralmente indica que o processo requer um modelode ordem superior que de segunda ordem, a que subamortecida.
O mtodo de Harriot geralmente menos exato, a medidaque 2 / 1 se aproxima unidade, e 1 e 2 so justamentesensiveis estimao de K (obtendo a resposta no estadoestacionrio).
-
Mtodo de Smith para processo de 2 ordem
Assuma-se o modelo:
( )
2 2 2 1
sKeG ss s
=
+ +
1. Determine t20 e t60 da resposta degrau.2. Determine e t60/t da Fig. 7.7.
( ) 2 2 2 1s s+ +
Procedimento:
65
2. Determine e t60/t da Fig. 7.7.3. Determine t60/t da Fig. 7.7 e calcule t (dado que t60
conhecido).
66
-
Exemplo.
Use os mtodos de segundo ordem de Harriot e Smith para ajustara curva da resposta degrau mostrada no grfico abaixo. Pelo mtodoHarriot e Smith assuma = 0, desde a curva resposta chegue a serdiferente de zero imediatamente depois de t = 0.
min 4.6t 73 =
min 92.41.3
min 4.63.1
t 7321 ===+
Se utilizaMtodo Harriot.
1.33.1
min46.2min)92.4(5.0t
5.0t21
==
=
+
Desde o grfico de dadosexperimentales:
Para encontrar
1
295.0KM
y=
21
1
+
74.021
1=
+
-
Como min92.421 =+
Se obtm min64.31 =
se obtm de:2
min92.421 =+
min28.12 = Se obtm a funo de transferncia.min28.12 =
)1s28.1)(1s64.3(KM)s(G
++=
Se obtm a funo de transferncia.
min 85.1t 20 =min 5t 60 =
37.0tt 20
=
Se obtm
como
8.2t 60 =
min 5t =
Mtodo Smith.
37.0t 60
=
Se utilizase calcula
min 5t 60 =
min79.1=3.1=
Se obtm a funo de transferncia.
1s6.2s79.1KM)s(G 22 ++=