construo de modelos de programao linear

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Pesquisa operacional - exercicios

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  • Prof. Dr. Fernando [email protected]

    UNIVERSIDADE SO JUDAS

    TADEUFACULDADE DE TECNOLOGIA E

    CIENCIAS EXATAS

    Construo de Modelos de Programao

    Linear

  • Material disponvel em:

    http://www.fmori.com

    FERNANDO MORI - USJT 2

  • ndice

    Titulo Pgina

    Introduo e Exemplos Prottipos 5

    Uso do Lindo em Programao Linear 25

    Problemas Gerais 42

    Problemas de Produo 59

    Analise de Sensibilidade 77

    Problemas de Mistura 89

    Problemas de Transporte 109

    Problemas de Programao Inteira 126

    Construo de Modelos de PL 154

    FERNANDO MORI - USJT 3

  • FERNANDO MORI - USJT

    Construo de Modelos de

    Programao Linear

    4

  • Introduo

    A programao linear usa um modelo matemtico para descrever problemas. O adjetivo linear significa que

    todas as funes matemticas nesse modelo so

    necessariamente lineares. A palavra programao,

    nesse caso, no se refere a programao de

    computador, ela essencialmente um sinnimo para

    planejamento. Portanto a programao linear envolve o

    planejamento de atividades para obter um resultado

    timo, isto , um resultado que atinja o melhor objetivo especificado( de acordo com o modelo matemtico )

    entre todas as alternativas viveis.

    FERNANDO MORI - USJT 5

  • Exemplos Prottipos

    Veremos a seguir alguns exemplos de construo de modelos em que so

    discutidos todos os passos intermedirios

    na confeco de um modelo de P.L.

    FERNANDO MORI - USJT 6

  • FERNANDO MORI - USJT

    Exemplo 1:

    Funo objetivo a ser maximizada:

    Lucro = 2x1 + 3x2

    1 2

    1 2

    1

    2

    4 3 10

    tcnicas 6 20

    Restries0

    de no negatividade 0

    x x

    x x

    x

    x

    7

  • FERNANDO MORI - USJT

    As variveis controladas ou de deciso so x1 e

    x2 . A funo objetivo ou eficincia mede o

    desempenho do sistema, no caso a capacidade

    de gerar lucro para cada soluo apresentada.

    O objetivo maximizar o lucro.

    Roteiro:

    1) Quais as variveis de deciso?

    Devemos explicitar as decises que devem ser

    tomadas e representar essas possveis decises

    atravs de variveis chamadas de variveis de

    deciso.

    8

  • FERNANDO MORI - USJT

    Se o problema programao de produo, as

    variveis de deciso so as quantidades a produzir no

    perodo; se for um problema de programao de

    investimento, as variveis vo representar as decises

    de investimento.

    2) Qual o objetivo?

    Devemos identificar o objetivo da tomada de deciso.

    Eles aparecem geralmente na forma de maximizao

    de lucros ou receitas, minimizao de custo, perdas.

    A funo objetivo a expresso que calcula o valor do

    objetivo (lucro, custo, receita, etc.) em funo das

    variveis de deciso.

    9

  • FERNANDO MORI - USJT

    3) Quais as restries?

    Cada restrio imposta na descrio dos

    sistema deve ser expressa como uma relao

    linear (igualdade ou desigualdade) montadas

    com as variveis de deciso.

    10

  • FERNANDO MORI - USJT

    Exemplo 2:

    1) Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2.

    O lucro unitrio do produto P1 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2 .O tempo anual de produo disponvel para isso 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2 .

    Qual o plano de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construir o modelo de programao linear.

    11

  • FERNANDO MORI - USJT

    Soluo:

    Variveis de decisoQuais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2 ?

    As variveis de deciso sero x1 e x2x1 quantidade anual a produzir de P1x2 quantidade anual a produzir de P2 Qual o objetivo?

    O objetivo maximizar o lucro que pode ser calculado:

    Lucro devido a P1 : 1000 . x1 (lucro por unidade de P1 x

    quantidade produzida de P1).

    Lucro devido a P2 : 1800 . x2 Lucro total : L = 1000 . x1 + 1800 . x2

    12

  • FERNANDO MORI - USJT

    Quais as restries?

    - Disponibilidade de horas para produo: 1200- Horas ocupadas com P1 : 20 x1 (uso por unidade x

    quantidade produzida)- Horas ocupadas com P2 : 30 x2 (uso por unidade x

    quantidade produzida)

    - Total em horas ocupadas na produo: 20x1 + 30x2disp.: 1.200 horas

    - Restrio: 20x1 + 30x2 1200

    - Disponibilidade de mercado para os produtos:

    a) para P1 : 40 unidades

    b) quantidade a produzir de P1 : x1- Restrio: x1 40

    13

  • FERNANDO MORI - USJT

    - Disponibilidade para P2 : 30 unidades

    - Quantidade a produzir de P2 : x2- Restrio: x2 30

    - Resumo do modelo:

    max L = 1.000 x1 + 1.800 x2 .

    - Sujeito:

    - Restries de no negatividade:

    1 2

    1

    2

    20 30 1200

    40

    30

    x x

    x

    x

    1

    2

    0

    0

    x

    x

    14

  • FERNANDO MORI - USJT

    3) Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de

    vitaminas 32 unidades por dia e a de protenas de 36

    unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos

    para se alimentar. Cada unidade de carne tem 4 unidades

    de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de

    ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de

    protenas.

    Qual a quantidade diria de carne e ovo que deve ser

    consumida para suprir as necessidades de vitaminas e

    protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de

    carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo

    custa 2,5 unidades monetrias.

    15

  • FERNANDO MORI - USJT

    Soluo:

    a) Quais as variveis de deciso?

    Devemos decidir as quantidades de carne e ovos que a pessoa deve consumir.

    x1 quantidade de carne a consumir no diax2 quantidade de ovos a consumir no dia

    b) Qual o objetivo?

    O objetivo minimizar o custo que pode ser calculado:

    . custo da carne: 3.x1

    . custo dos ovos : 2,5.x2

    . custo total: C = 3.x1+ 2,5 .x2Objetivo: minimizar C = 3.x1 + 2,5.x2

    16

  • FERNANDO MORI - USJT

    c) Restries:- Necessidade mnima de vitaminas: 32 unidades

    .vitamina de carne: 4.x1 (quant.por unidade x unidades de carne a consumir). .vitamina de ovos: 8.x2 (quant. por unidade x unidades de ovos a consumir).

    Total de vitaminas: 4x1 + 8x2- Necessidade mnima: 32

    Restrio: 4x1 + 8x2 32- Necessidade mnima de protena: 36 unidades

    .protena de carne: 6.x1 (quant.por unidade x unidades de carne a consumir)..protena de ovos: 6.x2 (quant.por unidade x unidades de ovos a consumir).

    Restrio: 6x1 + 6x2 36

    17

  • FERNANDO MORI - USJT

    Resumo do modelo:

    min C = 3x1 + 2,5x2

    -Restrio:

    -Restries de no negatividade:

    1 2

    1 2

    4 8 32

    6 6 36

    x x

    x x

    1

    2

    0

    0

    x

    x

    18

  • FERNANDO MORI - USJT

    4) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 u.m. e o lucro unitrio de P2 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel para essas atividades de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo de produo mensal com o objetivo de maximizar o lucro.a) Variveis de deciso

    x1 quantidade a produzir de P1x2 quantidade a produzir de P2

    19

  • FERNANDO MORI - USJT

    b) Qual o objetivo?

    maximizar lucro:

    -lucro de P1 = 100 x1

    -lucro de P2 = 150 x2

    max L = 100 x1 + 150 x2

    c) Restries

    Horas para P1 = 2. x1

    Horas para P2 = 3. x2

    Horas disponveis: 120

    2x1 + 3x2 120

    20

  • FERNANDO MORI - USJT

    Limite para P1 = x1 40

    Limite para P2 = x2 30

    d) Modelo:

    max L = 100 x1 + 150 x2

    Restries:

    Restries de no negatividade: 1

    2

    0

    0

    x

    x

    1 2

    1

    2

    2 3 120

    40

    30

    x x

    x

    x

    21

  • FERNANDO MORI - USJT

    5) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no mximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema.a) Variveis de deciso

    x1 quantidade de caixas de pssegosx2 quantidade de caixas de tangerinas

    quantidade de caixas de laranja fixa em 200 caixas a lucro de 20 u.m. Sobra espao para 600 caixas.

    22

  • FERNANDO MORI - USJT

    b) Qual o objetivo?maximizar lucro:

    -lucro de pssegos = 10. x1-lucro de tangerinas = 30. x2-lucro de laranjas = 200. 20= 4000

    max L = 100x1 + 30 x2 +4000

    c) Restries

    Cabem no caminho 600 caixas.

    x1 + x2 600 Caixas de pssegos: x1 100Caixas de tangerinas: x2 200

    23

  • FERNANDO MORI - USJT

    d) Modelo:

    max L = 10 x1 + 30 x2 +4000

    Restries:

    Restries de no negatividade:

    1 2

    1

    2

    600

    100

    200

    x x

    x

    x

    1

    2

    0

    0

    x

    x

    24

  • FERNANDO MORI -

    USJT

    USO DO LINDO EM

    PROGRAMAO LINEAR

    25

  • FERNANDO MORI - USJT

    Uso do Lindo em Programao Linear O Lindo (Linear, Interactive and DiscreteOptmizer) um software desenvolvido pela LindoSystems Inc.de Chicago, Illinois, EUA, para aresoluo de modelos de programao linear,quadrtica ou inteira. Ele roda no ambienteWindows e est disponvel nas seguintes verses:

    Verso Limites Mximos Observaes# Linhas # Colunas

    Demonstrao * 150 300 Cpia em uso

    Super 500 1.000

    Hiper 2.000 4.000

    Industrial 8.000 16.000

    Extended 32.000 100.000

    26

  • FERNANDO MORI - USJT

    Existem atualmente centenas de pacotes para

    Programao Linear, e dentre os diversos

    disponveis, os listados a seguir so os mais

    conhecidos e utilizados:

    Software FornecedorCapacidade

    Restries(Linhas)

    Variveis(Colunas)

    Lindo/Lingo Lindo 32.000 100.000

    MPSX IBM 16 milhes 2 bilhes

    CPLEX CPLEX 50.000 100.000

    OSL IBM 16 milhes 2 bilhes

    Solver-Excel Microsoft 100 200

    Solver Premium Frontline Sem limite 1.000

    27

  • FERNANDO MORI - USJT

    Considere o Modelo:Maximizar Lucro = 30ST +40 LX

    Sujeito a:

    ST 24LX 16ST + 2LX 40

    Acionando o Lindo e Entrando com Dados

    Para acionar o software Lindo, basta clicar no cone correspondente no Windows,. A primeira tela fornecida tem o formato da figura a seguir e, para entrar com os dados, basta ir digitando-os conforme foi feito na prpria figura.

    28

  • FERNANDO MORI - USJT

    Entrada de Dados no Lindo

    Observe que:

    Podemos iniciar a digitao de cada linha qualquer coluna.

    Utilizamos o sinal < para

    ! Exemplo 1

    Max 30st + 40Lx

    st

    st < 24

    Lx < 16

    St + 2Lx < 40

    End

    29

  • FERNANDO MORI - USJT

    Os significados das outras informaes so:

    Linha Significado

    ! Exemplo do Captulo 1 Trata-se de uma linha de comentrio, pois

    inicia-se com !

    Max Comando que solicita maximizar uma

    funo (outra opo seria Min).

    St Subject to que significa sujeito a. Informa que a seguir temos o conjunto de

    restries.

    End Informa o fim dos dados.

    30

  • FERNANDO MORI - USJT

    Salvando os Dados

    Para salvar os dados em um arquivo em disco,

    faa:

    Clique em File no Menu Principal

    Clique em Save as

    Selecione o diretrio e escolha um nome adequado (por exemplo: radio.ltx)

    Clique em OK.

    31

  • FERNANDO MORI - USJT

    Executando o Exemplo

    Para executar, faa:

    Clique em Solve no Menu Principal Clique em Solve

    Existe uma opo mais simples: basta clicar no cone Solve

    Aps isto, aparece uma tela perguntando se se deseja efetuar a anlise de sensitividade (Do Range (sensitivity) analysis?). No momento responda negativamente. A seguir aparece a tela que contm um resumo do resultado alcanado ou informaes de alerta caso o modelo apresente algum problema. Aps analis-la, clique em Close.

    32

  • FERNANDO MORI - USJT

    .LINDO Solver Status

    Optmizer Status

    Status: Optimal

    Interations: 1

    Infeasibility: 0

    Objective: 1040

    Best IP: N/A

    IP Bound: N/A

    Branches: N/A

    Elapsed Time: 00:00:02

    Update Interval: 1

    Interrupter Solver Close

    33

  • FERNANDO MORI - USJT

    Visualizando a Tela de ResultadosAps a etapa acima o Lindo apresenta, de maneira superposta, tanto a tela de entrada de dados como a tela de resultados. Para ativar uma ou outra, basta clicar em qualquer ponto de uma delas. Eventualmente, quando uma das telas estiver ocupando todo o espao disponvel, somente veremos uma delas. Para visualizar a outra, faa:

    Clique em Window no Menu Principal Clique em Send to Back

    Existe ainda outras opes interessantes para acessar as visualizaes do Lindo, tais como:

    Em cascata (cascade) Uma ao lado da outra (tile)

    34

  • FERNANDO MORI - USJT

    Analisando o ResultadoAps a execuo de um modelo sem erros, o Lindo apresenta o quadro de resultados mostrado a seguir:

    LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

    OBJECTIVE FUNCTION VALUE

    1) 1040.000

    VARIABLE VALUE REDUCED COST

    ST 24.000000 0.000000

    LX 8.000000 0.000000

    ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

    2) 0.000000 10.000000

    3) 8.000000 0.000000

    4) 0.000000 20.000000

    NO. ITERATIONS = 1

    35

  • FERNANDO MORI - USJT

    Para o quadro anterior temos: LP OPTIUM FOUND AT STEP 1:

    Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a soluo tima no primeiro passo (um passo corresponde a um vrtice do mtodo simplex).

    OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 1) 1040.000

    Indica o valor timo encontrado para a Funo Objetivo (no caso temos Lucro= R$1.040,00)

    VARIABLE VALUE REDUCED COST ST 24.000000 0.000000

    LX 8.000000 0.000000Temos aqui uma pequena tabela que apresenta os valores timos das variveis bsicas.Portanto, a soluo tima foi (Value):

    ST = 24 LX = 8

    36

  • FERNANDO MORI - USJT

    Solicitando Impresso de Resultados

    Para imprimir os resultados de um modelo, efetue (tendo

    a tela de resultados ativada):

    Clique em File no menu Principal

    Clique em Print

    Ou simplesmente clique no cone

    Importante: Voc pode observar que possvel digitar no

    texto da tela de resultados. Isto muito conveniente, pois

    torna possvel:

    Incluir qualquer informao que melhor identifique o trabalho.

    Copiar e colar os dados de entrada do modelo.

    37

  • FERNANDO MORI - USJT

    Alterando os Dados e Executando Novamente

    Para alterar os dados, basta acessar a tela de dados (utilize os mesmos procedimentos mostrados anteriormente no item Visualizando a Tela de Resultados). Para executar novamente, basta clicar no cone Solve, conforme mostrado anteriormente em Executando o Exemplo. Esteja atento para o fato de que o Lindo vai colocar a nova soluo, na tela de resultados, logo aps asoluo anterior. Ou seja, a tela de resultados contm todas as operaes efetuadas. Eventualmente isto pode confundir e pode ser conveniente apagar a soluo anterior. Para tanto, efetue:

    Clique no cone da tela de resultados.X

    38

  • FERNANDO MORI - USJT

    Abrindo Outros Modelos

    Para abrir qualquer outro modelo do Lindo, faa:

    Clique em Open no Menu Principal

    Selecione o diretrio e o arquivo desejado

    Clique em OK.

    39

  • FERNANDO MORI - USJT

    Exerccios de

    Programao Linear

    - Construo de Modelos

    40

  • Exerccios Prticos

    Os exerccios a seguir devem ser resolvidos com o auxilio do LINDO.

    FERNANDO MORI - USJT 41

  • 1. Problemas Gerais

    FERNANDO MORI - USJT 42

  • FERNANDO MORI - USJT

    1) Uma rede de televiso local tem o seguinteproblema: foi descoberto que o programa Acom 20 minutos de msica e 1 minuto depropaganda chama a ateno de 30.000telespectadores, enquanto o programa B, com10 minutos de msica e 1 minuto depropaganda chama a ateno de 10.000telespectadores. No decorrer de uma semana, opatrocinador insiste no uso de no mnimo, 5minutos para sua propaganda e que no hverba para mais de 80 minutos de msica.Quantas vezes por semana cada programa deveser levado ao ar para obter o nmero mximode telespectadores? Construa o modelo dosistema.

    43

  • FERNANDO MORI - USJT

    2) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos decouro. O modelo M1, de melhor qualidade,requer o dobro do tempo de fabricao emrelao ao modelo M2 . Se todos os cintos fossemdo modelo M2, a empresa poderia produzir1.000 unidades por dia. A disponibilidade decouro permite fabricar 800 cintos de ambos osmodelos por dia. Os cintos empregam fivelasdiferentes, cuja disponibilidade diria de 400para M1 e 700 para M2. Os lucros unitrios sode $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual oprograma timo de produo que maximiza olucro total dirio da empresa? Construa, omodelo do sistema descrito.

    44

  • FERNANDO MORI - USJT

    3)Uma empresa, aps um processo deracionalizao de produo, ficou comdisponibilidade de 3 recursos produtivos, R1,R2e R3. Um estudo sobre o uso desses recursosindicou a possibilidade de se fabricar 2 produtosP1 e P2. Levantando os custos e consultando odepartamento de vendas sobre o preo decolocao no mercado, verificou-se que P1 dariaum lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00por unidade. O departamento de produoforneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

    45

  • FERNANDO MORI - USJT

    Que produo mensal de P1 e P2 traz o maiorlucro para a empresa? Construa o modelo dosistema.

    Produto Recurso R1 por unidade

    Recurso R2 por unidade

    Recurso R3 por unidade

    P1P2

    24

    32

    53

    Disponibilidade de

    recursos/ms100 90 120

    46

  • FERNANDO MORI - USJT

    4) Um fazendeiro est estudando a diviso de suapropriedade nas seguintes atividadesprodutivas:

    A (Arrendamento) Destinar certa quantidadede alqueires para a plantao de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega daatividade e paga pelo aluguel da terra $300,00por alqueire por ano.

    P (Pecuria) Usar outra parte para criao degado de corte. A recuperao das pastagensrequer adubao (100kg/Alq.) e irrigao(100.000 l. de gua/Alq.) por ano. O lucroestimado nessa atividade de $400,00 poralqueire por ano.

    47

  • FERNANDO MORI - USJT

    S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer

    200kg por alqueire de adubos e 200.000 l de

    gua/Alq. para irrigao por ano. O lucro

    estimado nessa atividade de $500,00/alqueire

    no ano.

    Disponibilidade de recursos por ano:

    12.750.000 l. de gua

    14.000 kg de adubo

    100 alqueires de terra.

    Quantos alqueires dever destinar a cada

    atividade para proporcionar o melhor retorno?

    Construa o modelo de deciso. 48

  • FERNANDO MORI - USJT

    5) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econmica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas so:

    a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mnimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos.

    b) Investir diretamente na divulgao dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno de 10%.

    A empresa dispe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.

    49

  • FERNANDO MORI - USJT

    6) (Mistura) Uma liga especial constituda de ferro, carvo, silcio e nquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros alm de 2 tipos de materiais recuperados:

    Material Recuperado 1 MR1 Composio:ferro 60% Custo por kg: $0,20carvo 20%silcio 20%Material Recuperado 2 MR2 Composio:

    ferro 70% Custo por kg: $0,25carvo 20%silcio 5%nquel 5%

    50

  • FERNANDO MORI - USJT

    A liga deve ter a seguinte composio final:

    O custo dos materiais puros so (por kg):

    ferro:$0,30; carvo:$0,20; silcio:$0,28;

    nquel:$0,50. Qual dever ser a composio da

    mistura em termos dos materiais disponveis,

    com menor custo por kg? Construa o modelo de

    deciso.

    Matria-prima % mnima % mxima

    Ferro

    Carvo

    Silcio

    Nquel

    60

    15

    15

    5

    65

    20

    20

    8

    51

  • FERNANDO MORI - USJT

    7)(Transporte) Uma rede de depsitos de material deconstruo tem 4 lojas que devem ser abastecidas com50m3 (loja1), 80m3 (loja2), 40m3 (loja3) e 100m3 (loja4) deareia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portosP1, P2 e P3 cujas distncias s lojas esto no quadro (emkm):

    O caminho pode transportar 10m3 por viagem. Os portostem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecerum plano de transporte que minimize a distncia totalpercorrida entre os portos e as lojas e supra asnecessidades das lojas. Construa o modelo linear doproblema.

    L1 L2 L3 L4

    P1

    P2

    P3

    30

    12

    8

    20

    36

    15

    24

    30

    25

    18

    24

    20

    52

  • FERNANDO MORI - USJT

    8) A indstria Alumilminas S/A iniciou suasoperaes em janeiro/2001 e j vem conquistandoespao no mercado de laminados brasileiro, tendocontratos fechados de fornecimento para todos os3 tipos diferentes de lminas de alumnio quefabrica: espessuras finas, mdia e grossa. Toda aproduo da companhia realizada em duasfbricas, uma localizada em So Paulo e a outrano Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados,a empresa precisa entregar 16 toneladas delminas finas, 6 toneladas mdia e 28 toneladasde grossas. Devido qualidade dos produtos daempresa, h uma demanda extra para cada tipode lminas.

    53

  • FERNANDO MORI - USJT

    A fbrica de So Paulo tem custo de produo

    diria de R$100.000,00 para uma capacidade

    produtiva de 8 toneladas de lminas finas, 1

    tonelada de lminas mdias e 2 toneladas de

    lminas grossas por dia. O custo de produo

    dirio da fbrica do Rio de Janeiro de

    R$200.000,00 para uma produo de 2

    toneladas de lminas finas, 1 tonelada de

    lminas mdias e 7 toneladas de lminas

    grossas. Quantos dias cada uma das fbricas

    dever operar para atender aos pedidos ao

    menor custo possvel?

    54

  • FERNANDO MORI - USJT

    9) A empresa de logstica Deixa Comigo S/A tem duasfrotas de caminhes para realizar transportes de cargaspara terceiros. A primeira frota composta porcaminhes mdios e a segunda por caminhes gigantes,ambas com condies especiais para transportarsementes e gros prontos para o consumo, como arroz efeijo. A primeira frota tem capacidade de peso de 70.000quilogramas e um limite de volume de 30.000 pscbicos, enquanto a segunda pode transportar at 90.000quilogramas e acomodar 40.000 ps cbicos de volume.Oprximo contrato de transporte refere-se a uma entregade 100.000 quilogramas de sementes e 85.000quilogramas de gros, sendo que a empresa pode

    55

  • FERNANDO MORI - USJT

    aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga,

    deixando o restante para outra transportadora

    entregar. O volume ocupado pelas sementes de 0,4

    ps cbico por quilograma, e o volume dos gros de

    0,2 ps cbico por quilograma. Sabendo que o lucro

    para transportar as sementes de R$0,12 por

    quilograma e o lucro para transportar os gros de

    R$0,35 por quilograma, descubra, quantos

    quilogramas de sementes e quantos quilogramas de

    gros a Deixa Comigo S/A deve transportar para

    maximizar o seu lucro.

    56

  • FERNANDO MORI - USJT

    10) Suponha que uma pequena fbrica faz dois produtos P1 e P2, vendendo toda a produo que venha a ser realizada. Cada produto necessita de um tempo de fabricao em cada uma das trs sees de trabalho: A, B e C, tal como apresentado na tabela a seguir:

    Tabela 1: Necessidades de tempo de fabricao para produzir

    uma unidade de cada produto em cada seo de trabalho.

    Produto

    Tempo de fabricao (em horas)

    Seo de

    trabalho A

    Seo de

    trabalho B

    Seo de

    trabalho C

    P1 3 1,5 5

    P2 3 3 3

    57

  • FERNANDO MORI - USJT

    A quantidade fixa de horas por semana disponveis emcada seo de trabalho apresentada na Tabela 2:

    Limites de capacidade de fabricao

    Determine quantas unidades dos produtos P1 e P2 devemser fabricadas de maneira a maximizar o Lucro daempresa, sabendo que o lucro unitrio proporcionado peloproduto P1 de 2 unidades monetrias e o proporcionadopelo produto P2 de 3 unidades monetrias.

    Seo de trabalho Homens/hora por semana

    A 210

    B 180

    C 330

    58

  • 2. Problemas de Produo

    FERNANDO MORI - USJT 59

  • FERNANDO MORI - USJT

    11) A indstria Bonecas Sinistras S/A produz 2 tipos deboneca: a Vampiresca e a Lobimulher. O processo demontagem para cada uma destas bonecas requer duaspessoas. Os tempos de montagem so os seguintes:

    A poltica da companhia a de balancear toda a mo deobra em todos os processos de montagem. Na verdade, agerncia deseja programar o trabalho de modo quenenhum montador tenha mais de 30 minutos de trabalhopor dia do que o outro.

    Modelo Montador 1 Montador 2

    Vampiresca 6 minutos 2 minutos

    Lobimulher 3 minutos 4 minutos

    Mximo de horas disponveis 8 8

    60

  • FERNANDO MORI - USJT

    Isto quer dizer que,num perodo regular de oito horas,

    os dois montadores devero ter um mnimo de 7 horas

    e meia de trabalho. Considerando que o mercado est

    disposto a comprar toda a produo de Bonecas

    Sinistras S/A e que a firma tem um lucro de R$2,00

    por cada Vampiresca e R$1,00 por cada Lobimulher,

    quantas unidades de cada boneca devem ser

    produzidas por dia de modo a maximizar o lucro ?

    61

  • FERNANDO MORI - USJT

    12) A Cat Without Fat S/A uma empresa fabricante decomida enlatada para gatos, cujo principal diferencialcompetitivo o baixo nvel de gordura assegurado nasembalagens. Para fabricar o enlatado, a empresa utilizauma mistura de frango que contm 75% de carne, 25%de gordura e custa R$3,00 o quilo e peixe que contm90% de carne, 10% gordura e custa R$5,00 o quilo. Acompanhia deseja saber qual a melhor combinao defrango e peixe que deve utilizar, a fim de preparar umacomida para gatos com, no mximo, 15% de gordura aomenor custo possvel por quilo.

    Modele o problema. Dica: as variveis de deciso desteproblema representam os percentuais de frango e peixeutilizados para preparar o enlatado, devendo, portantoter valores entre 0 e 1 (ou entre 0 e 100%).

    62

  • FERNANDO MORI - USJT

    13) Duas fbricas produzem 3 diferentes tipos de papel. Acompanhia que controla as fbricas tem um contratopara produzir 16 toneladas de papel fino, 6 toneladas depapel mdio e 28 toneladas de papel grosso. Existe umademanda para cada tipo de espessura. O custo deproduo na primeira fbrica de 1.000u.m. e o dasegunda fbrica de 2.000u.m. por dia. A primeirafbrica produz 8 toneladas de papel fino, 1 tonelada demdio e 2 toneladas de grosso por dia, enquanto asegunda fbrica produz 2 toneladas de papel fino, 1tonelada de mdio e 7 toneladas de grosso. Quantos diascada fbrica dever operar para suprir os pedidos maiseconomicamente?

    63

  • FERNANDO MORI - USJT

    14) Uma companhia de transporte tem dois tipos

    de caminhes: o tipo A, que tm 2m3 de espao

    refrigerado e 3m3 de espao no refrigerado; o

    tipo B que tem 2m3 de espao refrigerado e 1m3

    de no refrigerado. O cliente quer transportar

    um produto que necessitar de 16m3 de rea

    refrigerada e 12m3 de rea no refrigerada. A

    companhia calcula em 1.100 litros o

    combustvel para uma viagem com o caminho

    A e 750 litros para o caminho B. Quantos

    caminhes de cada tipo devero ser usados no

    transporte do produto, com o menor consumo de

    combustvel.

    64

  • FERNANDO MORI - USJT

    15) Uma companhia fabrica dois produtos P1 eP2 que utilizam os mesmos recursosprodutivos: matria-prima, forja e polimento.Cada unidade de P1 exige 4 horas de forjaria,2 horas de polimento e utiliza 100unidade dematria-prima. Cada unidade de P2 requer 2horas de forjaria, 3 horas de polimento e200unidade de matria-prima. O preo devenda de P1 1.900u.m. e o de P2 2.100u.m. Toda produo tem mercadogarantido. As disponibilidades so de: 20h. deforja; 10h.de polimento e 500 unidades dematria-prima, por dia.

    65

  • FERNANDO MORI - USJT

    a) Determinar as quantidades a produzir de P1e P2 que otimizem a receita diria dosprodutos.

    b) Suponha que os custos dos insumos sejam:

    . Matria-prima = 1u.m. por unidade

    . Forjaria = 150 u.m. por hora

    . Polimento = 100 u.m. por hora

    Qual o plano de produo que maximiza olucro dirio?

    66

  • FERNANDO MORI - USJT

    16) Um sitiante est planejando sua estratgia de plantio parao prximo ano. Por informaes obtidas nos rgosgovernamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz emilho sero as mais rentveis na prxima safra. Porexperincia, sabe que a produtividade de sua terra para asculturas desejadas a constante na tabela abaixo:

    Por falta de um local de armazenamento prprio, aproduo mxima, em toneladas, est limitada a 60. A reacultivvel do sitio de 200.000m2. Para atender asdemandas de seu prprio sitio, imperativo que se plante400 m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 demilho.Determine as reas a serem plantadas de forma amaximizar o lucro.

    Cultura Produtividade kg/m2 Lucro centavos/kg

    Trigo 0,20 10,80

    Arroz 0,30 4,20

    Milho 0,40 2,03

    67

  • FERNANDO MORI - USJT

    17) Dos muitos produtos feitos pela Flecha S/Aapenas os produtos P1, P2 , P3 e P4 passam pelassees S1, S2, S3 e S4. As necessidades porunidade do produto em horas e o lucro em u.m.

    A capacidade disponvel em horas nas seces e asnecessidades mnimas de venda dos produtos so:

    Seco /Produto S1 S2 S3 S4 Lucro p/unidade

    P1 0,5 2,0 0,5 3,0 8,00

    P2 1,0 1,0 0,5 1,0 9,00

    P3 1,0 1,0 1,0 2,0 7,00

    P4 0,5 1,0 1,0 3,0 6,00

    68

  • FERNANDO MORI - USJT

    Determinar o nmero de produtos P1, P2, P3 eP4 que devem ser feitos para que o lucro sejamximo.

    Seco Capacidades(horas)

    Produto Venda Mnima(unidade)

    S1 1800 P1 100

    S2 2800 P2 600

    S3 3000 P3 500

    S4 6000 P4 400

    69

  • FERNANDO MORI - USJT

    18) A gua para suprir a demanda de uma cidade

    vem de 3 reservatrios. A necessidade total de

    gua para a populao de 30.000 litros/hora. O

    reservatrio R1 sendo o maior, fornecer uma

    quantidade igual ou superior mdia das

    quantidades fornecidas pelos dois outros. O

    reservatrio R3 fornecer no mnimo 5.000

    litros/hora. O custo da tonelada de gua

    fornecida pelo reservatrio R1 de 5u.m., pelo

    R2 de 10u.m. e pelo R3 de 8u.m. Quantos

    litros cada reservatrio dever fornecer para

    termos o custo mnimo? Qual este custo?

    70

  • FERNANDO MORI - USJT

    19) A companhia Betontex segue a poltica de produzir aqueles produtos que do lucratividade e tenham custo fixos. Contudo sempre se levou em conta o atendimento da necessidade mnima semanal para os artigos A1, A2, A3 e A4 que :

    As necessidades da produo e o tempo disponvel para a prxima semana so:

    Artigo A1 A2 A3 A4

    Unidades 25 30 30 25

    Seco A1(horas/

    unidade)

    A2(horas/

    unidade)

    A3(horas/

    unidade)

    A4(horas/

    unidade)

    Tempo Disponvel

    Semanal/horas

    S1 0,25 0,20 0,15 0,25 400

    S2 0,30 0,40 0,50 0,30 1000

    S3 0,25 0,30 0,25 0,30 500

    S4 0,25 0,25 0,25 0,25 500

    Lucro/unidade

    10,50 9,00 8,00 10,00

    71

  • FERNANDO MORI - USJT

    Atualmente a produo semanal, considerando

    as necessidades mnimas de venda :

    OBS: o artigo produzido pela empresa pode ser

    apresentado em meia unidade.

    a) O esquema de produo atual timo?

    b) Que tipo de recomendao voc daria a

    Betontex ?

    Artigo A1 A2 A3 A4

    Unidades 1533 30 30 25

    72

  • FERNANDO MORI - USJT

    20) Um show de meia hora na televiso deve apresentar um comediante, um mgico e uma cantora, incluindo no mnimo trs e no mximo seis minutos para os comerciais. O comediante exige que seu tempo de apresentao seja no mnimo o dobro da cantora. O produtor do show estabelece que a soma dos tempos do comediante e da cantora no seja inferior ao tempo de apresentao do mgico.

    Sabendo que o comediante, o mgico e a cantora custam ao produtor respectivamente 50, 30 e 20u.m. por minuto e que os comerciais nada custam, determinar o tempo de apresentao de cada artista, de modo que o custo do programa seja mnimo.

    73

  • FERNANDO MORI - USJT

    21) Uma empresa do ramo de madeiras produz madeira tipo compensado e madeira serrada comum e seus recursos so 40m3 de pinho e 80m3

    de canela. A madeira serrada d um lucro de R$5,00 por m3 e a madeira compensada um lucro de R$0,70 por m2. Para produzir uma mistura comercivel de 1 metro cbico de madeira serrada so requeridos 1 m3 de pinho e 3 m3 de canela. Para produzir 100m2 de madeira compensada so requeridos 3m3 de pinho e 5m3

    de canela. Compromissos de venda exigem que sejam produzidos pelo menos 5m3 de madeira serrada e 900 m2 de madeira compensada. Qual o esquema de produo que maximiza o lucro?

    74

  • FERNANDO MORI - USJT

    22) Uma indstria de refrigerantes pode fabric-los de 3tipos: A, B e C vendidos em garrafas de 2 litros, 3 litros e5 litros respectivamente. Deve atender a uma demandade 8000 litros dirios. O refrigerante tipo A contm 3unidades de suco natural por garrafa e os B e C somenteuma unidade por garrafa. Exige-se ao menos 10.000unidades de suco natural na produo diria. Sabe-seainda que o refrigerante tipo A tem um consumo muitosuperior ao refrigerante tipo B, mais precisamente,supera em 6.000 ou mais garrafas dirias o dobro doconsumo de B. Quantas garrafas de cada refrigerantedevemos fabricar diariamente se o custo por garrafa Afabricada de 21u.m. por garrafa B de 3u.m. e porgarrafa C 6u.m., para obter o custo mnimo de produo?

    75

  • FERNANDO MORI - USJT

    23) Uma empresa produz 4 diferentes modelos de um certoproduto P1, P2, P3 e P4. Deseja-se estabelecer aprogramao diria que maximiza o lucro e atenda aslimitaes de recursos. A empresa tem a sua disposio 8horas mquinas. 250m2 de espao para armazenagem e230kg de matria-prima. Sabe-se que para as mquinas ataxa de produo de 15, 10, 20 e 25 peas/horarespectivamente para P1, P2, P3 e P4. Com relao aoarmazenamento temos uma necessidade de espao de 1,50;2,00; 3,00 e 2,50m2/unidade respectivamente de P1, P2, P3e P4. O consumo de matria-prima de 1,50; 2,00; 1,50 e3,0kg/unidade de P1, P2, P3 e P4 respectivamente. Aquantidade diria do produto P4 deve ser de pelo menos 10unidades segundo informaes do departamento demarketing. O lucro obtido por unidade de P1, P2, P3 e P4so respectivamente 4,50; 5,00; 3,50 e 3,00u.m.

    76

  • 3. Anlise de Sensibilidade

    FERNANDO MORI - USJT 77

  • Analise de Sensibilidade

    Uma das hipteses dos problemas de programao linear a considerao de certeza nos

    coeficientes da funo objetivo.

    No mundo real, quase nunca temos certeza destes valores, e portanto devemos saber o quanto a

    soluo otimizada est dependente de uma determinada constante ou coeficiente.

    Na analise de sensibilidade queremos responder basicamente a 3 perguntas:

    1. Qual o efeito de uma mudana em um dos coeficientes da funo objetivo sobre a resposta do

    problema?

    2. Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio?

    3. Qual o efeito de uma mudana em um dos coeficientes de uma restrio?

    O estudo da analise de sensibilidade estabelece limites inferiores e superiores para todos os

    coeficientes da funo objetivo e para todas as constantes das restries.

    Vamos estudar um pouco da analise de sensibilidade atravs do relatrio do LINDO, usando para

    isso o exemplo a seguir.

    FERNANDO MORI - USJT 78

  • FERNANDO MORI - USJT

    24)A empresa W vende 4 tipos de produtos. Os recursos necessriospara produzir uma unidade de cada produto e o preo de venda estodados na tabela a seguir. A demanda do mercado exatamente 950unidades.

    Atualmente 4600 unidades de matria prima e 5000 horas de trabalhoesto disponveis. Os mercado tem uma demanda de no mnimo 400unidades do produto 4. Resolva o problema que maximize o lucro daempresa.

    Usaremos este problema para explorar o relatrio de analise desensibilidade do LINDO.

    Produto1 Produto2 Produto3 Produto4

    Matria Prima

    2 3 4 7

    Horas de Trabalho

    3 4 5 6

    Preo de venda

    4 6 7 8

    79

  • 1) Objective Function Coef. Ranges

    Esta parte do relatrio indica o quanto podemos alterar os coeficientes da funo objetivo sem

    alterar a soluo tima. Assim olhando na coluna variable, escolhemos, por exemplo, o

    coeficiente de X3 que na funo objetivo tem o valor 7. Olhando na linha correspondente vemos

    que seu allowable increase 1 e o seu allowable decrease 0,5 o que significa que se

    alterarmos o coeficiente de X3 para qualquer valor entre 6 e 7,5, o ponto timo encontrado para

    X1, X2, X3 e X4 permanecero os mesmos. A alterao apenas ocorre no valor da funo

    objetivo.

    OBJ COEFFICIENT RANGES

    VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

    COEF INCREASE DECREASE

    X1 4.000000 1.000000 INFINITY

    X2 6.000000 0.666667 0.500000

    X3 7.000000 1.000000 0.500000

    X4 8.000000 2.000000 INFINITY

    importante observar que a variao no coeficiente deve ser feita uma de cada vez, ou seja se

    alterarmos o coeficiente de X3 conforme mencionado acima, os outros coeficientes devem

    permanecer os mesmos. Se alterarmos o coeficiente de X1, ento so os demais que devem

    permanecer os mesmos.

    Observe que temos algumas situaes em que o allowable decrease foi infinito, neste caso podemos

    diminuir o coeficiente de quanto quisermos que no haver alterao na soluo tima do

    problema.

    FERNANDO MORI - USJT 80

  • 2) Custo reduzido (Reduced Cost)

    O custo reduzido nos d informao sobre como devemos variar o coeficiente da funo objetivo de

    tal forma que uma soluo nula, e que portanto no fazia parte da soluo tima passe a fazer

    parte da soluo. O custo reduzido ser diferente de zero apenas para os casos em que a

    soluo tima para uma das variveis seja nula.

    VARIABLE VALUE REDUCED COST

    X1 0.000000 1.000000

    X2 400.000000 0.000000

    X3 150.000000 0.000000

    X4 400.000000 0.000000

    Considere o custo reduzido de X1 que 1. Isto implica que se aumentarmos o coeficiente de X1 na

    funo objetivo de uma unidade, haver uma nova soluo tima na qual o valor de X1 ser

    diferente de zero. Se aumentarmos o coeficiente de X1 na funo objetivo de por mais que 1

    ento qualquer soluo tima ter soluo com X1 no nula.

    FERNANDO MORI - USJT 81

  • 3) Right Hand Side Ranges (RHS)

    RIGHTHAND SIDE RANGES

    ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

    RHS INCREASE DECREASE

    2 950.000000 50.000000 100.000000

    3 400.000000 37.500000 125.000000

    4 4600.000000 250.000000 150.000000

    5 5000.000000 INFINITY 250.000000

    Esta parte do relatrio se refere ao lado direito das restries. Os numeros da coluna Row, se referem as restries na

    linha em que foram escritas. A finalidade deste relatrio nos dizer de quanto uma restrio pode ser alterada de

    forma que ainda possamos encontrar uma soluo para o problema. Assim se alterarmos o valor de uma

    restrio alteramos o valor do ponto timo, mas a partir de um certo intervalo pode no haver mais soluo tima

    para o problema. para isso que serve este relatrio.

    Considere a primeira restrio. O lado direito desta restrio 950. Se tivermos a seguinte variao:

    Este intervalo em que a restrio da linha 2 pode ser alterada de forma que uma soluo tima ainda possa ser

    encontrada. Observe que neste caso tambm a variao deve ser feita em uma restrio de cada vez, mantendo

    as outras com seus valores originais.

    FERNANDO MORI - USJT

    850 950 100 RHS da linha 2 950 50 1000

    82

  • 4) Shadow Prices ou Dual Prices

    O Preo Sombra (Dual Price) de uma restrio a quantidade que aumenta o valor timo da funo

    objetivo se correspondentemente aumentarmos de 1 unidade o valor direito da restrio

    considerada.

    ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

    2) 0.000000 3.000000

    3) 0.000000 -2.000000

    4) 0.000000 1.000000

    5) 250.000000 0.000000

    Assim, o Dual Price 3 para a restrio na linha 2. Isto implica que cada aumento unitrio na

    demanda total aumenta o lucro (valor da funo objetivo) em 3 unidades monetrias.

    O Dual Price de -2 para a restrio da linha 3 implica que cada aumento unitrio na necessidade do

    produto 4 ir diminuir o lucro de 2 unidades monetrias.

    O Dual Price de 1 para a restrio da linha 4 implica que cada 1 unidade de matria prima a mais na

    restrio aumenta o lucro de 1 unidade.

    Observe que o Dual Price diferente de zero apenas na restrio em que o Slack (folga) for nulo.

    Assim na restrio da linha 5 temos um Dual Price nulo, o que significa que por haver folga na

    restrio, um aumento de uma unidade na restrio no altera o valor da funo objetivo (lucro).

    FERNANDO MORI - USJT 83

  • 5) SLACK ( Folgas)

    O Slack exprime a folga na restrio no ponto timo do problema.

    ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

    2) 0.000000 3.000000

    3) 0.000000 -2.000000

    4) 0.000000 1.000000

    5) 250.000000 0.000000

    No nosso caso, apenas a restrio da linha 5 apresenta folga de 250. isto significa que no ponto timo

    para uma restrio igual a 5000 unidades h uma folga de 250. Portanto poderamos colocar um

    novo valor para esta restrio de 5000 250 = 4750, que isso no altera em nada a resposta de nosso problema.

    Observe que o Dual Price nulo quando o Slack no nulo. Isto porque apenas quando temos folga

    que podemos alterar o valor de uma restrio sem alterar o ponto timo.

    FERNANDO MORI - USJT 84

  • FERNANDO MORI - USJT

    25) Determinado produto qumico pode ser comprado de 3 fornecedores X, Y e Z, o primeiro enviando seus

    produtos em tambores de 3 toneladas, o produto de Y e Z

    sendo vendidos em tambores de 1 tonelada cada.

    Necessita-se pelo menos 10 toneladas por semana deste

    produto. Este material usado na obteno de um

    subproduto, do qual necessitamos semanalmente de 12

    unidades no mnimo. Sabe-se que os produtos

    comprados dos fornecedores X e Y somente nos fornecem

    1 unidade do subproduto em questo por tambor, porm

    o produto fornecido por Z nos possibilita obter 2

    unidades do subproduto por tambor.

    85

  • FERNANDO MORI - USJT

    Contratos assumidos em anos anteriores exigem que as

    quantidades compradas semanalmente dos

    fornecedores X e Z somem ao menos 8 tambores

    semanais, e isto deve ser respeitado sob pena de multa

    contratual. Os custos por tambor adquiridos dos

    fornecedores X, Y e Z so 5, 2 e 4u.m. respectivamente.

    Quantos tambores devemos adquirir de cada fornecedor

    a fim de minimizar o custo, satisfazendo os requisitos?

    Se um dos valores para a quantidade de tambores for

    nula para o problema em questo, especificar de quanto

    devemos alterar o custo do correspondente tambor para

    que ele seja includo no pedido. Calcular o ponto timo

    para essa nova situao.

    86

  • FERNANDO MORI - USJT

    26) Uma pequena fbrica de papel toalha manufatura trs tipos deprodutos A, B e C. A fbrica recebe o papel em grandes rolos. O papel cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da fbrica, omercado absorver qualquer produo a um preo constante. O lucrounitrio de cada produto respectivamente R$1,00; R$1,50 e R$2,00.O quadro abaixo identifica o tempo requerido para operao (emhoras) em cada seo da fbrica, bem como a quantidade de mquinasdisponveis, que trabalham 40 horas por semana(cada mquina).Planeje a produo semanal da fbrica.Verifique se existe ociosidade das mquinas disponveis e proponhauma quantidade adequada para a resoluo do problema.Se algum produto no for produzido no ponto timo, especificar dequanto deve ser alterado o lucro deste produto para que ele tambmseja produzido.

    Seo Produto A

    Produto B

    Produto C

    Mquinas Disponveis

    Corte 8 5 2 3

    Dobra 5 10 4 10

    Empacotamento 0,7 1 2 2

    87

  • FERNANDO MORI - USJT

    27) O Problema do Atleta Indeciso

    Um jovem atleta sente-se atrado pela prtica de dois esportes: natao e

    ciclismo. Sabe por experincia que:

    A natao exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento at a

    piscina que pode ser expresso em um custo mdio de R$3,00 por seo de

    treinamento de duas horas.

    O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de R$2,00 pelo mesmo

    tempo de prtica.

    O oramento do rapaz dispe de R$70,00 para seu treinamento. Seus

    afazeres de aluno de graduao na universidade lhe do liberdade de

    empregar, no mximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para os

    esforos fsicos.

    Cada seo de natao consome 1.500 calorias, enquanto cada etapa

    ciclstica despende 1.000 calorias. Considerando que o rapaz goste

    igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu

    treinamento de forma a maximizar o nmero de sees de treinamento.

    Verifique se existem folgas nas restries que permitam ao atleta

    otimizar os recursos disponveis.

    88

  • 4. Problemas de Mistura

    FERNANDO MORI - USJT 89

  • FERNANDO MORI - USJT

    28) Uma empresa industrial fabrica trs produtos p1, p2 e p3, com lucro unitrio de, respectivamente, R$2,00, R$3,00 e R$4,00. O

    gerente de produo identificou as seguintes restries no

    processo produtivo:

    a) A capacidade produtiva total de 30 unidades por ms.

    b) Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma

    autorizao do governo federal para importar apenas uma

    quantidade fixa de 60kg. deste material, o qual deve ser

    plenamente utilizado durante o ms por razes de segurana.

    c) As quantidades necessrias do material radioativo para

    fabricao dos produtos p1, p2 e p3 so de, respectivamente, 2kg,

    1kg e 3kg.

    Encontre o nvel de produo timo.

    90

  • FERNANDO MORI - USJT

    29) A Nitroglicerina S/A esta desenvolvendo um novo aditivo paragasolina de avio. O aditivo uma mistura de trs ingredientes

    lquidos: A,B e C. Para que haja um desempenho adequado, o montante

    (total) de aditivo (montante do ingrediente A + montante do ingrediente

    B + montante do ingrediente C) deve ser de, pelo menos, 10 decilitros

    por gasolina. Entretanto, por razes de segurana, o montante de

    aditivo no deve exceder 15 decilitros por litro de gasolina. A mistura

    dos trs ingredientes critica. No mnimo um decilitro do ingrediente A

    deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante

    utilizado do ingrediente C deve ser maior ou igual metade do

    montante utilizado do ingrediente A.

    Encontre a mistura dos trs produtos com custo mnimo por litro de

    gasolina de avio, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes A,

    B e C de R$0,10, R$.0,03 e R$0,09 respectivamente.

    91

  • FERNANDO MORI - USJT

    30) A motorbike S/A produz os modelos das motos C250,C750 e C1000. A, B e C so os trs componentes que

    entram no processo produtivo, cuja oferta diria

    pequena para limitar a produo. Os suprimentos

    dirios dos componentes A, B e C so respectivamente

    de 400kg, 200kg e 300kg. Embora os componentes B e

    C possam no ser utilizados ao dia, todos os

    componentes A existentes devem ser utilizados ao dia

    por razes de segurana.

    A tabela a seguir apresenta o lucro unitrio e as

    quantidades dos componentes para produzir cada

    modelo de motocicleta:

    92

  • FERNANDO MORI - USJT

    Motocicleta Componentes

    Modelo Lucro unitrio A B C

    C250 R$140,00 2 1 1

    C750 R$300,00 8 1 0

    C1000 R$400,00 2 4 1

    Encontre a programao de produo diria

    tima.

    Se aumentarmos a quantidade de material B em

    50 Kg, de quanto aumenta o lucro?

    93

  • FERNANDO MORI - USJT

    31) A Opinio Popular S/A uma empresa especializada em avaliar

    a reao de consumidores a novos produtos, servios e/ou

    campanhas de publicidade. Um cliente pediu empresa para

    providenciar informaes sobre a reao de consumidores para

    um produto recentemente lanado. O contrato do cliente

    necessita que sejam feitas entrevistas pessoais de porta em porta,

    respeitando as seguintes condies:

    1) Entrevistar pelo menos 400 famlias com crianas.

    2) Entrevistar pelo menos 200 famlias sem crianas.

    3) A quantidade de famlias entrevistadas durante a noite deve

    ser, pelo menos, to grande quanto o nmero de entrevistados

    durante o dia.

    4) O total de entrevistados deve ser, pelo menos, 1.000 famlias.

    Baseando-se em entrevistas realizadas anteriormente, os custos

    das entrevistas so os seguintes:

    94

  • FERNANDO MORI - USJT

    Famlia Custo da Entrevista

    Dia Noite

    Criana $10 $12

    Sem criana $8 $10

    Para minimizar os custos das entrevistas, quantas entrevistas em

    cada tipo de famlia devem ser realizadas em cada um dos

    horrios (dia e noite), atendendo s restries impostas?

    Se quisessemos entrevistar, ao invs de 1000, 1050 familias. De

    quanto aumentaria nosso custo?95

  • FERNANDO MORI - USJT

    32) A Verificao Total S/A inspeciona cpsulas de remdiopassando-as sobre uma mesa com iluminao especial, onde uminspetor verifica visualmente a existncia de cpsulas quebradasou parcialmente avariadas. Atualmente, qualquer um dos trsinspetores pode ser alocado para o servio de inspeo visual. Osinspetores, porm, diferem na preciso e no tempo de inspeo,alm de receberem valores diferentes pelo servio. As diferenasso as seguintes:

    Inspetor Velocidade(unidade por hora)

    Preciso(percentual)

    Valor por hora trabalhada

    Pedro 300 98 $ 5,90

    Joo 200 99 $ 5,20

    Marcel 350 96 $ 5,50

    96

  • FERNANDO MORI - USJT

    Operando num perodo de 8 horas, a empresa precisa de pelo

    menos 2.000 cpsulas inspecionadas com no mais do que 2% de

    erro nesta inspeo. Alm disso, por causa do fator fadiga do

    processo de inspeo, nenhum inspetor pode trabalhar mais do

    que 4 horas por dia. Quantas horas cada inspetor deve trabalhar

    no processo de inspeo durante um dia de 8 horas de trabalho

    para minimizar os custos da inspeo? Qual volume ser

    inspecionado por dia e qual ser o custo de inspeo por dia?

    Se ao invs de um perodo de 8 horas quisessemos um periodo de

    10 horas de trabalho, mantendo as demais condies inalteradas.

    De quanto aumentaria nosso custo?

    97

  • FERNANDO MORI - USJT

    33) Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fbrica daMotorela utiliza trs processos diferentes: o de montagem dosaparelhos, configurao e verificao. Para a fabricao do celularMulti Tics, necessria 0,1 hora de montagem, 0,2 hora deconfigurao e 0,1 de verificao. O aparelho mais popular, StarTic Tac, requer 0,3 hora de montagem, 0,1hora de configurao e0,1 hora de verificao. J o moderno Vulco necessita de 0,4hora de montagem, 0,1hora para configurao e em virtude deseu circuito de ltima gerao, no necessita de verificao.Devido a uma imposio do governo de economia de energia, afbrica no pode consumir mais do que 50.000kw/ms de energia,o que significa, de acordo com os clculos tcnicos da empresa,que eles podero dispor de 290h/ms na linha de montagem,250h/ms na linha de configurao e 110h/ms na linha deverificao.

    98

  • FERNANDO MORI - USJT

    Sabe-se ainda que o lucro por unidade dos produtos Multi Tics,

    Star Tic Tac e Vulcano so de R$.100, R$.210 e R$.250,

    respectivamente; e que empresa operadora do sistema de

    telefonia celular adquire todos os celulares produzidos pela

    Motorela.

    Pede-se: o nmero de celulares de cada modelo a ser produzido

    mensalmente para que a empresa maximize seus lucros. Sabe-se

    ainda que o presidente da Motorela exige que os trs modelos

    sejam produzidos e quer lucrar pelo menos R$25.200/ms com o

    modelo Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus

    produtos mais modernos, o presidente tambm exige que a

    produo do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo

    Star Tic Tac.

    99

  • FERNANDO MORI - USJT

    34) Na tabela abaixo fornecemos as necessidades

    alimentares semanais de um certo animal. Que mistura

    destas raes satisfaz os requisitos alimentares a um

    custo mnimo para o proprietrio?

    Rao Protenas(Unidades/kg

    Carboidratos(Unidades/kg)

    Custo(R$/kg)

    A 25 55 R$3,00

    B 25 20 R$2,00

    C 45 10 R$4,00

    D 35 35 R$3,00

    E 25 20 R$3,00

    Mnimo (Unidades) 200 250

    100

  • FERNANDO MORI - USJT

    35)Um fazendeiro dispe de 200 hectares cultivveis para milho e/ou

    soja. Os dados so os seguintes:

    Qual deve ser a alocao da terra para os vrios tipos de cultura de

    maneira a maximizar os lucros?

    Existe sobra nos recursos disponveis alocados pelo fazendeiro.

    Proponha valores que otimizem esta disponibilidade.

    Atividade Milho Soja Disponvel

    Espao 1 1 200

    Preparo do terreno

    R$500 R$700 R$200.000

    Mo de obra (homens/dia)

    15 18 20.000

    Lucro R$900 R$1.300

    101

  • FERNANDO MORI - USJT

    36) Considere o fundo de investimento que tem as

    seguintes opes de compras de aes:

    Empresa Categoria Lucratividade

    E1 A 10%

    E2 A 15%

    E3 B 5%

    E4 C 20%

    E5 A 12%

    E6 B 15%

    E7 A 10%

    E8 C 5%

    E9 B 5%

    E10 C 10%

    102

  • FERNANDO MORI - USJT

    As restries governamentais a fundos de investimentos

    estabelecem que nenhum investimento isolado pode ultrapassar

    15% do capital total do fundo. Alm disso, o total de investimento

    por categoria no pode ultrapassar 40%.

    Construir o modelo de programao linear e encontrar os

    investimentos que maximizam a lucratividade composta do

    fundo.

    103

  • FERNANDO MORI - USJT

    37) Problema de Dosagem em Formulao de Petrleo: Uma refinaria de petrleo deseja encontrar na maneira tima de cumprir um contrato de fornecimento de gasolina de aviao e gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente um mnimo de 1.000 barris de gasolina de aviao e 2.000 barris de gasolina comum. A unidade que se responsabilizar pela entrega tem uma capacidade mxima de produo de 10.000 barris por dia, indistintamente. As gasolinas devem ser transportadas at seus depsitos, cujas distncias da unidade so de 10 milhas e 30 milhas, respectivamente. A capacidade mxima de transporte da refinaria de 186.000 barris x milha. Sabendo-se que a gasolina de aviao d um lucro de R$1,00 e a comum R$2,00, pede-se o esquema de produo que maximiza o lucro da refinaria com relao ao citado contrato.

    104

  • FERNANDO MORI - USJT

    38) Problema de Alocao de Recursos: Um fundo de investimentos tem at R$.300.000,00 para aplicar em duas aes. A empresa D diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-se que fornea bonificaes de 12%. A empresa N no diversificada (produz apenas cerveja) e espera-se que distribua bonificaes de 20%. Para este investimento, considerando a legislao governamental aplicvel, o fundo est sujeito s seguintes restries:

    a) O investimento na empresa diversificada pode atingir R$270.000,00.

    b) O investimento na empresa no diversificada pode atingir R$150.000,00.

    c) O investimento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode atingir R$180.000,00.Pede-se: Qual o esquema de investimento que maximiza o lucro?

    105

  • FERNANDO MORI - USJT

    39) Problema de Carga de Forno em Siderurgia: Uma

    empresa siderrgica produz um tipo de ao a partir de

    ao puro misturado com adies metlicas e recebeu um

    pedido de uma pea de 400kg. Sabe-se que o custo por

    quilo de ao puro de R$5,00 e o das adies R$3,00 e

    que os estoque so de 400kg e 800kg, respectivamente.

    Na carga do forno para a produo da liga desejada, a

    relao de adies para ao puro deve estar entre 25% e

    35%. Qual o esquema de produo de custo mnimo?

    106

  • FERNANDO MORI - USJT

    40) Problema de Formulao de Petrleo: Uma empresa adquire petrleo para produzir gasolina comum, gasolina especial e leo diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no incio de cada semana, um estoque mnimo de produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composies, disponibilidades e estoques mnimos. Qual o esquema de produo de custo mnimo?

    Petrleo A Petrleo B Estoque mnimo

    Gas. Comum 10% 60% 200 barris

    Gas. Especial 20% 30% 50 barris

    leo Diesel 70% 10% 100 barris

    Disponibilidade 200 Barris 300 Barris

    Custo R$10,00 R$15,00

    107

  • FERNANDO MORI - USJT

    41) Mistura : Uma empresa de minerao deseja cumprir um contrato de fornecimento de 4 milhes de toneladas por ano do minrio Sinter Feed e, para tanto, conta com os seguintes minrios (a tabela abaixo mostra a composio percentual e o custo/tonelada de cada minrio):

    O minrio a ser produzido por este blending deve conter no mnimo 65% de Ferro e no mximo 3% de Silcio. Qual o blending a custo mnimo?

    M1 M2

    Fe 66% 64%

    Si 1,5% 3,7%

    Custo 5,60 3,30

    108

  • 5. Problemas de Transporte

    FERNANDO MORI - USJT 109

  • FERNANDO MORI - USJT

    42) (Transporte) Em uma minerao deseja-se minimizar a utilizao de caminhes que efetuam o transporte de estril entre as lavras (de onde se retira o estril) e os depsitos de estril (onde se armazena o estril). A tabela abaixo fornece as distncias envolvidas (valores em metros):

    Origem(Frente de Lavra)

    Destino (Depsito de Estril)

    1 2

    A 300 400

    B 600 700

    C 800 300

    110

  • FERNANDO MORI - USJT

    As necessidades de transporte das frentes-de-lavra para a prxima semana so (valores em toneladas):

    A capacidade mxima de recebimento dos depsitos 1 e 2 so respectivamente, 50.000 e 60.000 toneladas. Sabendo-se que cada viagem de caminho transporta 100 toneladas, pede-se o esquema de transporte que minimiza a distncia total percorrida.

    Origem(Frente de Lavra)

    Necessidade de Transporte

    Mnimo Mximo

    A 20.000 40.000

    B 40.000 60.000

    C 45.000 60.000

    111

  • FERNANDO MORI - USJT

    Origem A

    Origem B

    Origem C

    Depsito 1

    Depsito 2

    1AX

    2AX

    2CX

    1CX

    2BX

    1BX

    112

  • FERNANDO MORI - USJT

    43) (Mistura) Um fabricante de fertilizante deseja produzir 1.000kg do produto a custo mnimo.Para tanto conta com as seguintes matrias primas:

    No produto obtido, as quantidades de Nitrognio (N), Fsforo (P) e Potssio (K) devem ficar acima dos seguintes limites mnimos (valores em kg):

    Mat.Prima x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

    Custo 12 16 8 26 16 8 11 19

    Nutriente N P K

    Mnimo 75 30 15

    113

  • FERNANDO MORI - USJT

    A composio fracionria de seus produtos mostrada

    abaixo:

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

    N 0,02 0,03 0 0,17 0 0,02 0,04 0,05

    P 0 0 0,02 0,05 0 0,01 0,01 0,03

    K 0 0 0 0 0,06 0,01 0,04 0,03

    114

  • FERNANDO MORI - USJT

    44) (Transporte) A prefeitura da cidade colocou coletores de lixo em alguns pontos da cidade, onde os lixeiros devem esvaziar seus carrinhos, aps ench-los na limpeza das ruas. So seis lixeiros com carrinhos e trs coletores. A prefeitura calculou a distncia mdia da rea de atuao de cada lixeiro para cada coletor. Deseja estabelecer um plano que esclarea onde os lixeiros devem esvaziar seus carrinhos, para que todos os coletores se encham de maneira uniforme e os lixeiros percorram a menor distncia total no dia. Os lixeiros esvaziam cinco vezes seus carrinhos por dia. A prefeitura, aps estabelecer quantas vezes e em quais coletores isto deve ser feito, deixa a seu critrio a escolha do coletor em cada vez, desde que cumpra o programa dirio.

    115

  • FERNANDO MORI - USJT

    A distncia mdia de cada regio para cada coletor

    est na tabela:

    Qual o plano da Prefeitura?

    L1 L2 L3 L4 L5 L6

    C1 200 300 500 400 250 300

    C2 100 150 200 300 150 180

    C3 120 200 50 180 220 100

    116

  • FERNANDO MORI - USJT

    45)(Transporte) Uma firma distribuidora de alimentos

    programou para a prxima semana 100 viagens que

    devero ser realizadas por empresas contratadas. So

    seis locais diferentes que recebero as mercadorias,

    conforme exposto na Tabela 1. As empresas que prestam

    esse servio so quatro, e tem preos diferentes para as

    viagens, devido localizao, possibilidade de viagens de

    retorno etc. Os oramentos e as disponibilidades das

    empresas prestadoras de servio esto na Tabela 2.

    Estabelecer um plano de contratao dessas empresas,

    com o menor custo total possvel.

    117

  • FERNANDO MORI - USJT

    Tabela 1

    Tabela 2

    Locais de entrega

    1 2 3 4 5 6

    Quantidade

    necessria

    20 12 15 10 18 25

    Transpor-

    tadora

    Locais Disponibi-

    lidades1 2 3 4 5 6

    A 100 120 105 90 105 110 30

    B 80 100 110 100 100 110 40

    C 90 105 90 100 80 105 25

    D 120 130 110 100 95 105 20

    118

  • FERNANDO MORI - USJT

    46) (Transporte) Um laboratrio de manipulao que presta servios de entrega para idosos possui duas filiais e fornece o servio a seis bairros diferentes. Tendo em vista que atualmente a demanda superior capacidade de entrega da companhia, a mesma gostaria de saber a quais clientes atender, a partir de cada filial, de maneira a minimizar o seu custo de entrega. As capacidades das filiais, as demandas dos bairros e os custos unitrios de entrega esto evidenciados na tabela a seguir:

    119

  • FERNANDO MORI - USJT

    Resolva este problema propondo um planejamento

    adequado das entregas a um custo mnimo e que

    obedea as restries do problema.

    Bairro 1 Bairro 2 Bairro

    3

    Bairro

    4

    Bairro 5 Bairro

    6

    Capa-

    cidade

    Filial 1 7,00 9,00 1,00 12,00 7,00 4,00 2500

    Filial 2 4,00 5,00 12,00 1,00 3,00 8,00 2000

    Demanda 1400 1560 400 150 870 620

    120

  • FERNANDO MORI - USJT

    47) (Transporte)A organizao no-governamental Criana Renascer est organizando a festa dos aniversariantes deste ms. Para isto, ela comea a pesquisar o preo dos doces e salgados com cinco diferentes bufs do Rio de Janeiro. Como a festa ser realizada com o dinheiro de doaes, ela deseja ter os menores custos possveis. A tabela a seguir, relaciona os custos de cada item por empresa, bem como as quantidades requeridas para a festa (demanda) e as capacidades de produo de cada empresa, determine quantos doces e salgados a organizao deve encomendar a cada empresa (resolva com o auxilio do Lindo).

    121

  • FERNANDO MORI - USJT

    .

    Ourio

    (1)

    Cajuzinho

    (2)

    Brigadeiro

    (3)

    Bolinha

    de

    queijo

    (4)

    Risole

    (5)

    Croque-

    te

    (6)

    Coxinha

    de

    galinha

    (7)

    Oferta

    Empresa

    1

    0,080 0,070 0,065 0,080 0,083 0,080 0,083 25.000

    Empresa

    2

    0,075 0,070 0,067 0,060 0,060 0,060 0,060 23.000

    Empresa

    3

    0,045 0,040 0,040 0,027 0,030 0,027 0,030 15.000

    Empresa

    4

    0,050 0,045 0,045 0,040 0,040 0,040 0,045 22.000

    Empresa

    5

    0,060 0,055 0,050 0,055 0,055 0,055 0,060 20.000

    Demanda 5.000 4.000 7.000 5.000 4.000 3.500 6.000

    122

  • FERNANDO MORI - USJT

    48) (Transporte)A PowerCo tem trs usinas eltricas

    para suprir as necessidades de quatro cidades: Feira

    de Santana(1), Milagres(2) , Itabuna (3) e

    Maiquinique (4), sendo suas potncias instaladas,

    respectivamente, de 35 milhes kw/hora; 50 milhes

    kw/hora e 40 milhes kw/hora. A demanda de energia

    atinge o pico nas cidades no mesmo momento (19:00h)

    e o seguinte (em kw/hora): Feira de Santana,

    45milhes; Milagres, 20milhes; Itabuna, 30 milhes e

    Maiquinique, 30 milhes.

    123

  • FERNANDO MORI - USJT

    O custo de enviar um milho de kw/hora de eletricidade de cada usina para uma das cidades est disponvel na tabela abaixo:

    Formule como um problema de transporte e resolva-o utilizando o Lindo. Interprete o significado das variveis e os resultados obtidos.

    Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4

    Usina 1 R$8 R$6 R$10 R$9

    Usina 2 R$9 R$12 R$13 R$7

    Usina 3 R$14 R$9 R$16 R$5

    124

  • FERNANDO MORI - USJT

    49)(Transporte) Uma vincola do sul de Santa Catarina possui trs fbricas e trs armazns nos quais os vinhos so envelhecidos. Como as fbricas e os armazns esto localizados em diferentes locais do estado, a empresa deseja saber quantos tonis de vinho deve enviar de cada fbrica para cada Armazm de forma a minimizar o seu custo de transporte. As capacidades das fbricas e dos Armazns (em nmero de tonis), bem como os custos de transporte por tonel, esto explicitados na tabela a seguir. Resolva este problema de transporte com o auxilio do Lindo.

    Armazns

    Capacidade das fbricasA1 A2 A3

    Fbricas

    F1 20 16 24 300

    F2 10 10 8 500

    F3 12 18 10 200

    Capacidade

    dos armazns

    200 400 300

    125

  • 6. Problemas de Programao

    Inteira

    FERNANDO MORI - USJT 126

  • 50) Uma Universidade est planejando comprar uma nova mquina

    de cpias para sua biblioteca. Trs membros do departamento de

    compras esto analisando qual comprar. Eles esto considerando

    dois modelos diferentes: Modelo A, uma copiadora de alta

    velocidade, e Modelo B, uma de baixa velocidade mais barata.

    Modelo A pode produzir 20000 cpias por dia, e custa $6000,00.

    Modelo B pode produzir 10000 cpias por dia, mas custa apenas

    $4000,00. Eles gostariam de ter pelo menos seis copiadoras de

    forma a espalh-las pela biblioteca. Eles tambm gostariam de ter

    pelo menos uma copiadora de alta velocidade. Finalmente as

    copiadoras juntas devem produzir pelo menos 75000 cpias por dia.

    O objetivo determinar a quantidade de copiadoras de cada tipo

    que satisfazem essas condies a custo mnimo.

    FERNANDO MORI - USJT 127

  • 51) Um jovem casal, Eve e Steven, querem dividir suas

    principais tarefas domsticas (compras,cozinhar, lavar

    roupa e lavar loua) entre eles de modo que cada um

    tenha duas tarefas, porm o tempo total despendido

    nessas tarefas domesticas seja o mnimo possvel. Suas

    eficiencias nessas tarefas diferem, os tempos que cada

    um precisaria para realizar as tarefas so dados a

    seguir:

    FERNANDO MORI - USJT

    (horas) Compras Cozinhar Lavar

    Loua

    Lavar

    Roupa

    Eve 4,5 7,8 3,6 2,9

    Steven 4,9 7,2 4,3 3,1

    128

  • 52) Uma empresa de empreendimentos imobilirios est considerando

    cinco possveis empreendimentos. A tabela a seguir mostra o lucro

    estimado a longo prazo que cada projeto geraria, bem como a

    quantidade de investimento necessria para realizar o

    empreendimento em unidade de milhes de dlares. Os donos da

    empresa levantaram $20 milhes de capital para investimento em

    tal empreendimento. Eles agora querem selecionar a combinao

    de empreendimentos que vai maximizar o lucro total estimado a

    longo prazo, sem investir mais do que $20 milhes.

    FERNANDO MORI - USJT

    Empreendi

    mento 1

    Empreendi

    mento 2

    Empreendi

    mento 3

    Empreendi

    mento 4

    Empreendi

    mento 5

    Lucro

    estimado

    1 1,8 1,6 0,8 1,4

    Capital

    necessrio

    6 12 10 4 8

    129

  • 53) A diretoria de uma empresa est considerando sete grandes investimentos

    de capital. Cada investimento pode ser feito somente uma vez. Esses

    investimentos diferem no lucro estimado a longo prazo que eles vo gerar,

    bem como o volume de capital necessrio, conforme ilustrado na tabela

    (em unidades de milhes de dlares).

    O volume de capital disponivel para estes investimetos de $100 milhes.

    As oportunidades de investimentos 1 e 2 so mutuamente exclusivas e, da

    mesma forma, as oportunidades 3 e 4. Alm disso nem a oportunidade 3

    nem a 4 podem ser empreendidas a menos que uma das duas primeiras

    oportunidades seja realizada. No h tais restries sobre as

    oportunidades de investimento 5, 6 e 7. O objetivo selecionar a

    combinao de investimentos de capital que vai maximizar o lucro total

    estimado a longo prazo.

    FERNANDO MORI - USJT

    1 2 3 4 5 6 7

    Lucro

    estimado

    17 10 15 19 7 13 9

    Capital

    necessrio

    43 28 34 48 17 32 23

    130

  • 54) O Problema de Alocao de Pessoal

    Um hospital trabalha com um atendimento varivel em

    demanda durante as 24 horas do dia.

    As necessidades distribuem-se segundo a Tabela:

    Turno de Trabalho

    HorrioNmero mnimode Enfermeiros

    1 08:00 12:00 50

    2 12:00 16:00 60

    3 16:00 20:00 50

    4 20:00 00:00 40

    5 00:00 04:00 30

    6 04:00 08:00 20

    131FERNANDO MORI - USJT

  • O horrio de trabalho de um enfermeiro de oito

    horas quando ele entra nos turnos 1,2,3,4,5 e 6.

    O enfermeiro que entra no turno 4 recebe uma

    gratificao de 50% sobre o salrio e o enfermeiro

    que entra no turno 5 trabalha apenas quatro

    horas.

    Elaborar o modelo de programao linear

    inteira que minimiza o gasto com a mo de obra.

    132FERNANDO MORI - USJT

  • 55) O Problema do Jantar de Nero

    O imperador romano Nero, em um momento, de inspirao,

    resolveu promover um jantar para eliminar seus melhores

    inimigos. Consultando seu mdico de confiana, soube que ele

    dispunha de dois tipos de venenos, alfa e beta. Tratavam-se de

    frmacos prprios para serem misturados no molho de carneiro.

    Havia no estoque da farmcia do facultativo 0,5kg do veneno alfa e

    2kg do veneno beta. Para que os convidados no sentissem o gosto

    do veneno, era indispensvel misturar em peso trs pores do

    veneno alfa para poro de beta. Cada 12 gramas de alfa ou 6 de

    beta eram capazes de sozinhas liquidarem um homem. O efeito do

    veneno sobre as mulheres era cerca de 50% mais poderoso do que

    sobre os homens.Nero satisfeito com a informao deu suas ordens

    ao mdico: prepare a mistura mais eficiente e elimine pelo menos

    20 homens e 10 mulheres! Elaborar o modelo de programao

    matemtica que maximize o efeito do veneno sobre os inimigos do

    imperador.133FERNANDO MORI - USJT

  • 56) O problema da Otimizao de Padres de Corte

    Uma metalrgica deve entregar uma partida de

    2.500 placas retangulares de 2 x 4cm (placas do

    tipo I) e 1.000 de 4 x 11cm (placas do tipo II).

    Existem, em estoque, uma tira metlica com

    15cm de largura e 20 metros de comprimento e

    outra com 14cm de largura e 30 metros de

    comprimento. As tiras com 30 metros de

    comprimento so cerca de 20% mais caras por

    quilo do que as de 20 metros, devido a

    problemas de transporte. So possveis as

    seguintes configuraes de corte ou padres de

    corte nos equipamentos da empresa:

    134FERNANDO MORI - USJT

  • Formular o modelo que permita minimizar a

    perda de corte.

    4 cm

    2 cm 12 cm

    Padro 1

    4 cm 11 cm

    2 cm

    Padro 2

    Padro 3

    4 cm

    2 cm 11 cm

    135FERNANDO MORI - USJT

  • 57) O Problema da Cmara de Segurana

    Um laboratrio biolgico est construindo uma

    sala de desinfeco e segurana para proteger a

    entrada de suas instalaes mais perigosas. A

    finalidade da sala isolar agentes biolgicos como

    vrus e bactrias que so manipulados em

    instalaes hermeticamente fechadas, permitindo,

    contudo, o trnsito dos pesquisadores e demais

    materiais. A sala composta de trs cmeras

    visando a aumentar a segurana.

    Conforme figura a seguir:

    136FERNANDO MORI - USJT

  • Unidade de

    Desinfec

    o

    Forro

    Espao

    de

    Alocao

    rea de

    Atuao Efetiva

    Perfil

    Cmara 1 Cmara 2 Cmara 3

    Acess

    o

    rea

    Extern

    a

    Acesso

    aos

    Labora-

    trios

    Possveis Posies de

    Alocao das Unidades nas

    Cmaras

    Planta

    137FERNANDO MORI - USJT

  • A desinfeco basicamente realizada atravs

    de uma sofisticada unidade de irradiao. Como

    essa unidade extremamente sensvel e o objeto

    em trnsito pode ter um comportamento

    inesperado, existe uma probabilidade de falha

    da atuao de uma unidade isolada de

    desinfeco. Essa probabilidade varia

    basicamente em funo da cmara em que a

    unidade esteja localizada. Existem restries de

    espao e peso para a distribuio das unidades

    de desinfeco no teto das cmaras. Os custos

    das unidades tambm variam por cmara

    devido variao de temperatura e isolamento

    de umidade, tudo conforme a tabela a seguir:138FERNANDO MORI - USJT

  • Formular o problema de minimizar a probabilidade da

    ocorrncia de um trnsito na sala de desinfeco sem que

    ocorra uma perfeita desinfeco, considerando-se

    inaceitvel mais que 3% na probabilidade de que uma

    cmara isolada falhe na desinfeco.

    CmaraEspao

    (m3)Peso Custo (R$)

    Probabilidade de

    Falha de Unidade

    1 2,5 150 30.000 0,20

    2 4,0 130 70.000 0,15

    3 3,0 100 40.000 0,30

    Limitaes 60 1.500 600.000

    139FERNANDO MORI - USJT

  • 58) O Problema de Carregamento de Avies

    Um avio de transporte possui quatro compartimentos para

    carga a saber: compartimento frontal, compartimento

    central, compartimento da cauda e poro de granel. Os trs

    primeiros compartimentos s podem receber carga em

    container, enquanto o poro recebe material em granel. A

    tabela resume a capacidade do aparelho:

    Compartimento Peso Mximo (Ton.) Espao Mximo ((m3)

    Frontal 5 35

    Central 7 55

    Da Cauda 6 30

    Poro de Granel 7 30

    140FERNANDO MORI - USJT

  • Objetivando o equilbrio de vo, indispensvel que a distribuio de carga seja proporcional entre os compartimentos. Para carregar o avio, existem trs tipos de containers e duas cargas em granel. Os dois tipos de carga em granel podem ser facilmente transportados conjuntamente, por isso essa carga aceita em qualquer quantidade.

    Elaborar o problema de programao linear que otimize a distribuio de carga de forma a maximizar o lucro de vo cargueiro.

    Carga TipoPeso por Container

    ou (m3) (ton.)

    Volume por

    Container

    (m3)

    Lucro $/ton.

    1 (Container) 0,7 0,5 200

    2 (Container) 0,9 1 220

    3 (Container) 0,2 0,25 175

    4 (granel) 1,2/ m3 - 235

    5 (granel) 1,7/ m3 - 180

    141FERNANDO MORI - USJT

  • 59) O Problema de Auditoria BancriaFase 1: Processo normal de auditoria

    Um banco deve decidir quantos auditores ser necessrio contratar em

    um horizonte de 6 meses de operao a saber: maro agosto. As necessidades do esforo de auditoria so contabilizadas em termos de

    mo-de-obra de auditores experientes da seguinte forma:

    Ms Necessidade em Homens x Hora

    Maro 7.000

    Abril 8.000

    Maio 10.000

    Junho 11.000

    Julho 7.000

    Agosto 11.000

    142FERNANDO MORI - USJT

  • Cada auditor contratado como funcionrio do banco, apesar de

    formado e aprovado em concurso, tem que ser treinado por um ms

    antes de poder atuar plenamente em sua funo. Nesse treinamento

    so utilizados auditores experientes do prprio banco que, deixando de

    trabalhar na auditoria normal, dedicam 100 horas para cada auditor a

    ser treinado. Um auditor trabalha 150 horas por ms. Em 1 de

    fevereiro o banco dispe de 60 auditores experientes. O programa de

    contratao ter inicio em 1 de maro. Sabe-se tambm que o

    mercado de trabalho para os auditores est muito instvel, de forma

    que 10% de fora de trabalho desses profissionais experientes deixa o

    banco a cada ms em busca de melhores salrios.

    143FERNANDO MORI - USJT

  • Um auditor experiente recebe do banco cerca de R$2.000,00 por ms

    enquanto o auditor em treinamento s recebe uma ajuda de custo de

    R$150,00. Quando o nmero de auditores excede as necessidades, a

    carga de trabalho reduzida, mas no so feitas demisses devido

    ao elevado custo do processo de acordo na justia. Quando isso

    acontece, novos auditores no so contratados e a evaso normal

    equilibra a fora de trabalho.

    Formular o problema objetivando minimizar os custos de operao do

    sistema de auditoria.

    144FERNANDO MORI - USJT

  • Fase 2: Utilizando o processo de terceirizao

    Paralelamente ao sistema de contratao formal para auditores existe

    a possibilidade de obter-se a mo-de-obra para as auditorias via uma

    empresa de terceirizao: a Burocrticos ao seu Dispor. Essa

    organizao oferece auditores experientes (possivelmente evadidos

    do sistema normal) e licenciados pela Cmara dos Auditores

    Juramentados. Esse profissional custa R$2.500,00 ao ms e pode ser

    includo e retirado da folha a qualquer ms sem qualquer custo de

    admisso ou demisso. A Burocrticos s exige a garantia mnima

    de um ms de trabalho para o profissional e que ele no trabalhe em

    treinamentos, at porque a empresa promove o curso para licenciar

    auditores juramentados como um servio adicional.

    145FERNANDO MORI - USJT

  • Reformular o problema levando em conta essa

    nova possibilidade.

    Desafio:

    Reformule o problema para o caso em que a

    empresa Burocrticos passe a exigir uma garantia

    mnima de trs meses de emprego para seus

    auditores e uma indenizao proporcional a K

    vezes o nmero de meses trabalhado alm desses

    trs meses.

    146FERNANDO MORI - USJT

  • 60)O Problema do Incndio Florestal Ataque Massivo

    Uma reserva florestal est em chamas e o governo planeja uma

    operao fulminante de combate ao fogo para amanh. O incndio

    de pequenas propores e est se propagando lentamente, devendo

    ser extinto em cerca de trs horas de operao logo aps o amanhecer.

    Esto sendo mobilizados avies e helicpteros especializados nesse

    tipo de operaes. As caractersticas dos aparelhos constam da Tabela

    abaixo:

    Aparelho

    Eficincia no

    Incndio

    (m2 / hora)

    Custo (R$/

    hora)Necessidade em Pessoal

    Helicptero AH-1 15.000 2.000 2 Pilotos

    Avio Tanque 40.000 4.000 2 Pilotos 1 Operador

    Avio B67 85.000 10.000 2 Pilotos 3 Operadores

    147FERNANDO MORI - USJT

  • A rea de floresta a ser coberta pelo combate ao fogo de

    3.000.000 m2 , envolvendo a frente de fogo (para

    paralisao do avano do dano), reas j queimadas que

    necessitam de rescaldo (para proteo de animais e

    segurana contra recrudescimento) e reas de acero

    (proteo preventiva indispensvel) . Nas bases de apoio

    so disponveis 14 pilotos de avio e 10 de helicpteros,

    bem como 22 operadores especializados em combate

    areo de fogo.

    Formular o problema de programao matemtica que

    minimize os custos da operao.

    148FERNANDO MORI - USJT

  • 61) O Problema do Sistema de Defesa Antiarea

    Fase 1: Alocao arma x alvo

    Um determinado conjunto de armas antiarea est

    distribudo de forma a defender uma cidade de um ataque.

    So n plataformas de msseis. Sabe-se que dij a

    distncia entre a plataforma da arma i e a ameaa j (avio

    inimigo ou mssil), que o alcance mximo dos msseis de

    ri que o custo de cada tiro sobre uma ameaa j de cij e o

    valor da neutralizao da ameaa vj . Em cada ataque, o

    sistema de defesa deve selecionar, dentre m ameaas,

    apenas k possveis alvos.

    Elaborar o modelo matemtico de alocao arma x alvo

    que minimiza o custo da defesa.

    149FERNANDO MORI - USJT

  • Fase 2: Considerao da eficcia

    Sabe-se que a cada alocao arma x alvo devam

    ser disparados pij msseis para que o alvo seja

    neutralizado. Sabendo-se que existem mij msseis

    disponveis em cada plataforma, reformular o

    problema de minimizar o custo da defesa.

    150FERNANDO MORI - USJT

  • 62) O Problema dos Anncios na Rede de TV

    Uma rede de televiso resolveu estabelecer preos

    compatveis para o tempo de comercial em certos horrios.

    Existem trs horrios para a propaganda em promoo na

    rede: horrio nobre noturno (horrio 1), horrio da tarde em

    fins de semana (horrio 2), horrio da tarde em dias da

    semana (horrio 3). O preo de um mdulo mnimo de

    propaganda em cada horrio p1, p2 e p3, respectivamente.

    A rede vende grandes espaos de tempo dentro da

    programao, denominados pacotes promocionais. Os

    anunciantes desejam entrar no programa de pacotes de

    propaganda promocional porque podem obter , com isso,

    melhores preos unitrios.Um pacote representa um

    esquema de desconto baseado em economia de escala.151FERNANDO MORI - USJT

  • Existem 3 faixas de preos sendo praticadas nos pacotes.

    A faixa 1, ou de desconto zero, a faixa 2, em que o desconto

    de 10 unidades monetrias e a faixa 3, com desconto de

    30 unidades monetrias. A tabela que segue resume as

    regras de programao:

    Descontos Somatrio de tempoValor do desconto

    (em unidades monetria)

    Faixa 1 Sem exigncia 0

    Faixa 2Comprar, no mnimo,

    f unidades de tempo10

    Faixa 3Comprar, no mnimo,

    g unidades de tempo30

    152FERNANDO MORI - USJT

  • Os anunciantes que competem na disputa do uso

    da mdia so n e dispem, cada um deles, de snunidades monetrias para investir em

    propaganda.

    Os anunciantes, reunidos em uma associao,

    desejam estabelecer a melhor estratgia de

    negociao com a rede, objetivando maximizar,

    dentro das disponibilidades oramentrias de cada

    cliente, o tempo global de utilizao da mdia.

    Formular o modelo que maximiza o ganho dos

    anunciantes.

    153FERNANDO MORI - USJT

  • 7. Problemas Gerais

    FERNANDO MORI - USJT 154

  • 63. A PSC Ltda. uma empresa no ramo de produo deacessrios para computador. O diretor Paul Lepore

    recebeu uma encomenda de 5.000 drives de disquetes,4.500 HDs de 16Gb, 1.000 unidades de CD-ROM e 3.500

    gravadores de CD-ROM(CD-RW). Esta entrega deve ser

    cumprida em um prazo de 12 dias teis, e a PSC nopossui nenhum produto em estoque. A tabela abaixo

    resume requisitos de tempo e de alguns produtos comuns

    para a confeco dos equipamentos:

    Produto

    Drive HD CD-

    ROM

    CD-RW

    Rotor 1 1 1 1

    Cabea de leitura 1 6 1 1

    Cabea de gravao 1 6 - 1

    Gabinete de unidade (padro) 1 1 1 1

    Horas de montagem 0,8 1,1 2 2,5

    Horas de ajuste/regulagem 0,2 0,5 0,9 2155FERNANDO MORI - USJT

  • A PSC possui um estoque das seguintes matrias-primas: 13.000 rotores, 40.000 cabeas de leitura, 35.000

    cabeas de gravao e 15.000 gabinetes-padro. No

    possvel comprar mais matria prima. O processo de

    montagem e regulagem do equipamento feito

    manualmente, empregando um funcionrio cada. A PSCpossui 190 funcionrios capacitados para a montagem

    dos equipamentos e 115 funcionrios capacitados para a

    regulagem. Considere que cada funcionrio tem uma

    jornada de 8 horas dirias.

    Se a PSC preferir, possvel comprar os produtos

    prontos em uma outra empresa, que possui material

    suficiente em estoque. A empresa s no produz as

    unidades de HD desejadas. A tabela a seguir resume os

    custos de produo e o preo de venda dos produtos por

    esta empresa (em reais):

    156FERNANDO MORI - USJT

  • Determine um problema de programao linear que

    minimize o custo da PSC, de maneira a atender ao

    pedido no tempo previsto (resolva atravs do Solver).

    Produto

    Drive HD CD-

    ROM

    CD-RW

    Custo de Produo 15,00 200,00 40,00 400,00

    Preo para compra 17,00 - 45,00 550,00

    157FERNANDO MORI - USJT

  • 64. Um determinado cliente procurou uma Corretora de

    Valores com o objetivo de investir em aes. O gerente

    de atendimento, aps receber o cliente, o entrevista para

    identificar o seu perfil de risco e apresenta as opes de

    investimento.No final da entrevista fica