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SERVIO PBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR CAMPUS UNIVERSITRIO DE TUCURU FACULDADE DE ENGENHARIA ELTRICA

CONSTRUO DE GRFICOS E PNDULO SIMPLES

ANDR BEZERRA DE ARAJO - 10134002618 ANDR FERRAIOLI NETO - 10134000518 DIORGE DE SOUZA LIMA - 10134000618 SAMARA PEREIRA DA SILVA 10134002318 VANESSA MENEZES RAMOS 10134000318

TUCURU PAR 2011

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SERVIO PBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR CAMPUS UNIVERSITRIO DE TUCURU FACULDADE DE ENGENHARIA ELTRICA

CONSTRUO DE GRFICOS E PNDULO SIMPLES

Relatrio apresentado ao professor Vicente Ferrer como requisito de avaliao da disciplina de Laboratrio Bsico I.

TUCURU PAR 2011

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RESUMO

Este relatrio contemplar a experincia realizada em laboratrio a qual se construiu um pndulo simples e a partir da observar o comportamento de uma classe de osciladores harmnicos simples em que a fora restauradora est associada gravidade, em lugar das propriedades elsticas de um fio torcido ou de uma mola comprimida ou esticada. E como este comportamento pode ser muitas vezes compreendido atravs de grficos, atentando ao fato da construo dos mesmos.

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LISTA DE GRFICOS

GRFICO 1: Deslocamento x Perodo ................................................................................... 13 GRFICO 2: Deslocamento x Frequncia. .............................................................................. 14 GRFICO 3: Comprimento x Perodo.................................................................................... 15 GRFICO 4: Comprimento x Perodo com reta parametrizada.............................................. 16

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LISTA DE TABELAS

TABELA 1: Tempos para uma oscilao completa ................................................................. 12 TABELA 2: Variao da amplitude do pndulo ...................................................................... 13 TABELA 3: Variao de valores para massa diferentes .......................................................... 14 TABELA 4: variao do comprimento do pndulo ........................................................................15

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SUMRIO

INTRODUO ........................................................................................................................ 07 OBJETIVOS ............................................................................................................................. 08 FUNDAMENTAO TERICA ........................................................................................... 09 PNDULO SIMPLES .................................................................................................. 09 REDUZINDO O ERRO NA MEDIO DO PERODO ............................................ 10 EXPERINCIA 1: CONSTRUO DE GRFICOS E PNDULO SIMPLES .................... 11 MATERIAIS ................................................................................................................. 11 MTODOS ................................................................................................................... 11 RESULTADO E DISCUSSES .................................................................................. 11 CONCLUSO .......................................................................................................................... 19 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 20

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INTRODUO

Um pndulo simples consiste em uma partcula de massa m suspensa em um fio inextensvel e sem massa, de comprimento L. A massa livre para oscilar em um plano, esquerda e direita de uma linha vertical que passa atravs do ponto em que a extremidade superior do fio est fixada 1 . O pndulo descrito acima chamado ideal, porm, a seguir, ser mostrada uma experincia em laboratrio a qual o pndulo construdo no ideal, pois as massas dos pesos e usadas no sero pontuais e o fio no ter massa desprezvel. Entretanto, essas massas

possuem dimenses lineares pequenas em comparao com o comprimento do fio e o fio de massa muito menor que a do corpo, assim, considerando os valores desprezveis, o sistema fsico pode ser considerado como um pndulo simples.

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OBJETIVOS

Manusear corretamente um cronmetro, Descrever o que ocorre quando o pndulo deslocado de sua posio de equilbrio e ento solto, Medir o tempo mdio de uma oscilao completa perodo, Medir o perodo de oscilao do pndulo para diferentes deslocamentos da posio de equilbrio, Construir o grfico perodo x deslocamento, Medir o perodo de oscilao do pndulo com diferentes massas, Medir o perodo de oscilao do pndulo com diferentes comprimentos, Construir o grfico perodo x comprimento do pndulo, Interpretar os grficos e tabelas obtidos, Verificar fatores que influenciam no perodo do pndulo, Determinar o valor da acelerao da gravidade local.

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FUNDAMENTAO TERICA

PNDULO SIMPLES Um pndulo simples um corpo ideal que consiste de uma partcula suspensa por um fio inextensvel e de massa desprezvel. Quando afastado de sua posio de equilbrio e solto, o pndulo oscilar em um plano vertical sob a ao da gravidade; o movimento peridico e oscilatrio, sendo assim podemos determinar o perodo do movimento.

FIGURA 1: (a) Pndulo e (b) as foras atuantes sobre ele.

(a)

(b)

A FIGURA 1 exemplifica um pndulo de comprimento L, sendo m a massa da partcula. No instante mostrado, o fio faz um ngulo com a vertical. As foras que atuam

em m so o peso m.g e a trao da corda T. O movimento ser em torno de um arco de crculo de raio L, por isto, o referencial escolhido ser um dos eixos que seja radial e o outro tangente ao crculo. O peso m.g pode ser decomposto numa componente radial de mdulo numa componente tangencial e

. A componente radial da resultante a fora

centrpeta que mantm a partcula na trajetria circular. A componente tangencial a fora restauradora onde o sinal negativo indica que F se ope ao aumento de . Nota-se que a fora restauradora no proporcional ao deslocamento angular ao sen . O movimento, portanto no harmnico simples. Entretanto, se o ngulo suficientemente pequeno, sen ser aproximadamente igual a e sim for

em radianos, com diferena

cerca de 0,1% e o deslocamento ao longo do arco ser x = L. e, para ngulos pequenos, ele ser aproximadamente retilneo. Por isto, supondo sen , obtm-se:

F = - m.g.

= - m.g. (x/L) = - (m.g/L).x

(1)

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Para pequenos deslocamentos, a fora restauradora proporcional ao deslocamento e tem o sentido oposto. Esta exatamente a condio para se ter movimento harmnico simples e, de fato, a equao (1) acima tem a mesma forma que a equao, F = - k . x, com m.g/L representando a constante k. Para pequenas amplitudes, o perodo T (tempo de um ciclo) de um pndulo pode ser obtido fazendo-se k = m. g /L T = 2 (m / k)1/2 = 2 (m / (m .g / L)) 1/2 T = 2 (L / g)1/2

(2)

(3)

O Pndulo Simples, atravs da equao acima, tambm fornece um mtodo para medies do valor de g, a acelerao da gravidade.2

g=4

L / T2

(4)

Nota-se que o perodo T, independente da massa m, da partcula suspensa.

REDUZINDO O ERRO NA MEDIO DO PERODO O resultado de uma medida possui um erro que decorre da limitao da preciso de qualquer instrumento de medida utilizado. De um modo geral, se a menor diviso de um instrumento de medida , haver um erro de . Por exemplo, se usamos uma rgua

milimetrada para medir o comprimento de uma corda, provavelmente conseguiremos dizer (por exemplo) que ele mede entre 437mm e 438mm, mas no conseguiremos ser mais precisos. Assim, deve-se relatar o comprimento com o erro instrumental como 437,5mm 0,5 mm. Alm do erro intrnseco ao equipamento ( metade da menor diviso), existem outros fatores que influem no resultado de uma medida como o tempo de reao motora do operador do instrumento. Para diminuir o erro de medio de um perodo, pode-se adotar obtido atravs da seguinte forma: Para o Valor do Erro, temos que: (5) Sendo segundo: (6) a menor diviso de um instrumento de medida, ento, para um centsimo de

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EXPERINCIA 1: CONSTRUO DE GRFICOS E PNDULO SIMPLES

MATERIAIS 01 Trip universal, 02 Massas, 01 Cronmetro, 01 Pndulo, 01 Rgua milimetrada.

MTODOS Primeiramente, verificaram-se as massas dos pesos seguintes valores 7,83g e 24,53g, respectivamente. Em seguida, junto ao fio fixado no suporte universal colocou-se o peso um pendulo. Ajustou-se, ento, o comprimento deste pendulo a uma altura de 50cm. Feito isso, inicio-se a experincia que transcorreu da seguinte forma: deslocou-se a amplitude do pendulo em 5cm do posio de equilbrio com auxilio da rgua milimetrada e, depois, largou-se o mesmo sob ao da gravidade. Observou-se o que aconteceu. Depois de observado o movimento do pendulo sob esta condio, utilizou-se um cronmetro para medir o tempo que o pndulo leva para dar uma oscilao completa, repetiuse esta ao seis vezes e anotaram-se estas medidas. Realizado este procedimento, mediu-se o tempo que o pndulo leva para oscilar 20 vezes e determinou-se o tempo mdio de uma oscilao completa. Deslocou-se o pndulo 5, 10, 15, 20 e 25 cm da posio de equilbrio, soltou-se e, para cada caso, anotou-se o tempo gasto em 5 oscilaes completas. Em seguida, trocou o prumo de massa pelo de massa e refizeram-se as medidas de tempo para o deslocamento do formando e os quais se obteve os

pndulo em 5 oscilaes completas. Para obter-se o perodo de um pndulo quando variamos o seu comprimento, vario-se o comprimento do pndulo para 48, 46, 44, 42 e 40 cm e mediu-se o perodo para cada cumprimento.

RESULTADO E DISCUSSES Observou-se que quando se deslocou a amplitude do pndulo em 5cm do posio de equilbrio e, depois, largou-se o mesmo sob ao da gravidade obteve-se um movimento em que a massa livre para oscilar em um plano, esquerda e direita de uma linha vertical

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que passa do ponto em que a extremidade do fio esta fixada, mas com o decorrer do tempo a fora de restaurao faz com que o pndulo volte sua localizao central, ou seja, a posio de equilbrio onde estaria em repouso. Quando observado o tempo que o pndulo leva para dar uma oscilao completa, concluiu-se que essas medidas de tempo estavam muito prximas, mas no eram as mesmas, como mostra a TABELA 1.

TABELA 1: Tempos para uma oscilao completa. Medidas 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5 Medida 6 Medida Tempo (segundos) 1,36 1,33 1,35 1,31 1,36 1,34

Obteve-se o valor foi de 1,42 segundos para a mdia de tempo para o pndulo dar uma oscilao completa atravs do valor obtido com o tempo de 20 oscilaes completas que foi 28,38s. Este tipo de medida mais recomendado, pois no se pode contornar diretamente o limite de preciso imposto ao instrumento e ao operado, mas, neste caso, pode-se diminuir o erro. O erro instrumental obtido anteriormente corresponde a abrange os 20 perodos, o erro cai para 0,005, mas j que essa

0,00025s. Portanto se repetido essa medida 20

vezes, isto , deixar o pndulo balanar ida-e-volta 20 vezes, pode-se usar o mesmo raciocnio para diminuir o desvio mdio por perodo. Idealmente, o erro experimental no perodo deve diminuir por um fator de 20 vezes. Com isso, obteve-se o valor do perodo T que corresponde ao valor de 1,42s e a partir deste valor encontra-se a frequncia f que corresponde a 0,70Hz. (7)

(8)

(9)

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Concluiu-se ao deslocar o pndulo 5, 10, 15, 20 e 25 cm da posio de equilbrio e soltar que o valor obtido para o tempo de cinco oscilaes completas foi aproximado para cada caso, pois como o ngulo formado entre a vertical e o fio foi pequeno, ou seja, os deslocamentos foram pequenos (pequenas amplitudes), a fora restauradora que atua na massa puntiforme era proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto a ele, o que constitui a caracterstica fundamental do Movimento Harmnico Simples, como pode ser observado na TABELA 2.

TABELA 2: Variao da amplitude do pndulo Tempo de 5 oscilaes Deslocamento (cm) 5 10 15 20 25 (seg) 7,09 7,04 7,04 7,07 7,01 . A partir dos dados da TABELA 2, podem-se construir os GRFICOS 1 E 2 que relaciona o deslocamento da amplitude com o perodo e com a frequncia, respectivamente, em cada caso observado. Perodo (seg) 1,418 1,408 1,408 1,414 1,402 Frequncia (Hz) 0,705 0,710 0,710 0,707 0,713

GRFICO 1: Deslocamento x Perodo.1,420 1,418 1,416 1,414

Perodo (seg)

1,412 1,410 1,408 1,406 1,404 1,402 1,400 5 10 15 20 25

Deslocamento (cm)

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GRFICO 2: Deslocamento x Frequncia.0,714

0,712

Frequncia (Hz)

0,710

0,708

0,706

0,704 5 10 15 20 25

Deslocamento (cm)

Observou-se que o tempo para cinco oscilaes completas do peso de massa 7,09 segundos, feito isso, trocou-se o prumo de massa experincia. Observou que para o prumo de massa pelo de massa

foi de

e refez-se a

o tempo foi de 7,07 segundos, ou seja, a

variao dos valores das massas no altera o valor do perodo e nem da frequncia (sendo a mesma o inverso do perodo, como mostra equao (7)), pois os valores obtidos nas duas medies de tempo foram aproximados, como mostra a TABELA 3.

TABELA 3: Variao de valores para massa diferentes. Massa do Pndulo (g) 7,83 24,53 Tempo de 5 oscilaes (seg) 7,09 7,07 Perodo (seg) 1,418 1,414 Frequncia (Hz) 0,705 0,707

Concluiu-se tambm que ao variar o comprimento do pndulo obteve-se uma variao no perodo e consequentemente na frequncia, isto , a variao no perodo diretamente proporcional variao no comprimento, como se pode observar na TABELA 4 e no GRFICO 3.

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TABELA 4: variao do comprimento do pndulo. Comprimento do Pndulo (cm) 1 2 3 4 5 48 46 44 42 40 Tempo de 10 oscilaes (seg) 13,72 13,50 13,22 12,92 12,75 Perodo (seg) 1,37 1,35 1,32 1,29 1,27 Frequncia (Hz) 0,73 0,740 0,757 0,775 0,787

GRFICO 3: Comprimento x Perodo.1,38

1,36

1,34

Perodo (seg)

1,32

1,30

1,28

1,26 40 42 44 46 48

Comprimento do Pndulo (cm)

Experimentalmente comprovou-se o que teoricamente j se tinha conhecimento, pois com estes experimentos conclui-se que o perodo (T) independente da amplitude do movimento, da massa e do material da massa puntiforme que constitui o pndulo, e que o comprimento do pndulo diretamente proporcional ao perodo, como mostra a formula do pndulo simples: (10) Onde T o perodo, L o comprimento do pndulo e g a acelerao da gravidade. Com a equao (10), obteve-se a medida acelerao da gravidade local a qual corresponde a 9,79 : (10)

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(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

GRFICO 4: Comprimento x Perodo com reta parametrizada.Valor Real Valor Parametrizado1,38

1,36

1,34

Perodo (seg)

1,32

1,30

1,28

1,26 40 42 44 46 48

Comprimento do Pndulo (cm)

Podem-se encontrar os coeficientes linear e angular traando uma reta parametrizada com os valores j encontrados de comprimento do pndulo e perodo, atravs da equao , sendo a o coeficiente angular e b o coeficiente linear. No caso, a reta traada apresenta os seguintes parmetros: 0,748 e 0,013 para o coeficiente angular e o coeficiente linear, respectivamente. (16)

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As foras que agem sobre a partcula so seu peso numa componente radial e na componente

e a tenso

no fio. Compe-se

que tangente trajetria

da partcula. Esta componente tangencial fora de restaurao, porque sempre age em oposio ao deslocamento da partcula, de forma a traz-la de volta a sua localizao central, ponto de equilbrio. Escreve-se a fora de restaurao como

,

(17)

onde o sinal negativo indica que F age em oposio ao deslocamento. Supe-se que o ngulo pequeno ento ser quase igual a em radianos. O deslocamento s da partcula pequeno, temos que ea

medido ao longo de seu arco igual a L equao (16) torna-se

Ento, para

.

(18)

FIGURA 2: Exemplo esquemtico de um pndulo.

Se um pndulo oscila com pequenas amplitudes, se comporta como um oscilador linear. Substitui-se k por simples:(19)

na equao (17). Acha-se para o perodo de um pndulo

18

(20)

.

(21)

19

CONCLUSO

Concluiu-se a partir da experincia realizada que atravs de dados obtidos como tempo de oscilao, pode-se determinar o perodo e, assim, a frequncia de um pndulo simples. Podem-se observar tambm as caractersticas de movimento harmnico simples comprovando que o pndulo simples descreve este movimento. Os dados da experincia levam a resultados coerentes com os conhecimentos tericos, ou seja, sabe-se por meio experimental que o perodo do pndulo simples depende somente do comprimento do fio sendo o mesmo inversamente proporcional ao perodo e que independe da amplitude do movimento, da massa e do material da massa puntiforme que constitui o mesmo. Ressalta-se, porm, que o experimento no foi feito sobre condies totalmente controladas, podendo haver erros de leitura do tempo devido ao tempo de reao para acionar o cronmetro, variao na amplitude do pndulo devido habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar o bloco metlico no mesmo valor, o paralelismo do fio que provavelmente no foi mantido, uma vez que ele no deveria oscilar para os lados assim como as aproximaes nos clculos. Contudo estes erros correspondem a pequenas variaes nos valores obtidos no comprometendo, portanto as anlises realizadas neste relatrio.

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BIBLIOGRAFIA

HALLIDAY. David, RESNICK. Robert, WALKER. Jearl. Fundamentos de Fsica 2: Gravitao, ondas e termodinmica. 4. ed. So Paulo: Editora LTC. p. 32-33.