consevação energia mecânica

CONSERVAO DA ENERGIA MECNICA DE UMA ESFERA AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO

Paulo Jorge Carvalho

1. Introduo

Pretendemos com este trabalho verificar a conservao da energia mecnica estudando o

movimento de uma esfera rgida que rola por uma calha inclinada.

A ideia deste trabalho surgiu com a realizao da actividade experimental Salto para a piscina,

aquando do estudo do lanamento horizontal de projcteis no dcimo primeiro ano de escolaridade.

Durante as nossas pesquisas, constatmos que, alm do estudo do lanamento de projcteis, tambm se

realizava a determinao da energia cintica de uma esfera sada de uma calha atravs do enunciado do

princpio da conservao da energia. Inevitavelmente, na determinao da velocidade de sada da esfera

recorrendo energia cintica determinada atravs do enunciado do princpio da conservao da energia,

os alunos iro determinar sempre um valor superior ao medido experimentalmente, explicando essa

diferena como consequncia da existncia da fora de atrito. Para provarmos que tal no verdade, e que

existe conservao da energia mecnica desde que a esfera apenas tenha movimento de rolamento, iremos

variar a inclinao de uma calha de 4 em 4, desde uma inclinao inicial de 4 at 56. Para cada ngulo

estabelecido mediremos a energia mecnica no incio e no fim da calha. De referir que a calha ter que ser

lisa e indeformvel, pois, como j vimos em alguns casos, so utilizadas calhas de cortinados no referido

estudo. Esta situao resulta numa alterao do raio de rotao da esfera, pelo que no se deve realizar

este estudo com esse tipo de calhas.

Da observao e estudo dos resultados conclumos que a conservao da energia mecnica se

verifica at um ngulo limite.

2. Fundamentao Terica

A fundamentao terica que a seguir se explana tem por base o estudo apresentado por Almeida,

Maria Jos B. Marques de, em Preparao de Professores de Fsica Uma contribuio cientfico-

pedaggica e didctica, Almedina (2004) Coimbra, capitulo 5. Consideraes Sobre Energia.

Consideremos uma esfera infinitamente rgida e que rola por um plano inclinado. A figura 1 descreve

a referida situao.


Pgina 2 de 11

(1.2)

Figura 1. Situao em que uma esfera infinitamente rgida rola por um plano inclinado

Atendendo a que o sistema em estudo a esfera, a fronteira do sistema a sua superfcie.

As foras exteriores aplicadas sobre a esfera so: o peso do corpo , cuja componente na direco do

movimento realiza um trabalho positivo, dado por ; a fora normal

aplicada pelo plano sobre a esfera, que no realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento e a

fora de atrito .

Caso no houvesse atrito, a esfera escorregaria pelo plano inclinado. Como no movimento de

deslizamento o sentido da fora de atrito o de contrariar o movimento da esfera, o seu sentido apontaria

na direco contrria ao do movimento, ou seja, para cima. Como o momento desta fora (

), no nulo, visto que a linha de aco desta fora no passa pelo centro de rotao da esfera, far com

que a esfera role no sentido dos ponteiros do relgio, deslocando-se simultaneamente o seu centro de

massa no sentido descendente.

Se o movimento for de rolamento puro, isto , sem deslizamento, a fora de atrito realiza trabalho

nulo pois quando o ponto de aplicao de se move, esta fora passa a estar aplicada noutro ponto.

Como no h deslocamento do ponto de aplicao da fora de atrito sem que ela deixe de estar aplicada

nesse ponto. Como resultado, a fora de atrito no realizar trabalho.

Recorrendo ao enunciado do princpio da conservao da energia podemos escrever a seguinte

equao matemtica:

visto que no h trocas de calor nem de radiao entre o sistema e o seu exterior, ento ,

e como se pode considerar a variao da energia cintica interna e da energia potencial interna

praticamente nula, s haver alterao da velocidade do centro de massa, , e alterao da velocidade

angular , pelo que a equao (1.2) pode escrever-se da seguinte forma:

Hi

Hf


Pgina 3 de 11

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

como s o peso do corpo que realiza trabalho e este dado por (1.1), teremos:

ento

2.1. Determinao da Energia Mecnica da esfera

A energia mecnica em cada instante a soma da energia cintica do corpo com a sua energia

potencial associada ao eventual campo de foras conservativas.

2.1.1. Determinao da energia mecnica da esfera inicial.

No inicio do movimento, a esfera ser sempre abandonada sem velocidade, pelo que a sua

energia mecnica inicial ser dada por:

Emecnica = Ecintica + Epotencial

como

Ecintica = 0 J

pelo que

Emecnica = Epotencial =

Para o clculo da HinicialCM faremos o seguinte de acordo como o esquematizado na figura 1:

onde a inclinao do plano.


Pgina 4 de 11

(1.9)

(1.10)

2.1.2. Determinao da energia mecnica final.

Para o clculo da energia mecnica no ponto escolhido para o fim do plano inclinado, a

prpria energia cintica do corpo neste ponto, pelo que,

Emecnica = Ecintica =

sabendo que

e que

, podemos reduzir a equao anterior seguinte:

Emecnica =

3. Trabalho Laboratorial

3.1. Material

Calha metlica, clula fotoelctrica, CBL2, mquina de calcular grfica com o programa EasyData

2.00, esfera rgida, aparelho que possibilite a medio da inclinao da calha, fita mtrica, craveira,

balana digital.

Nesta actividade experimental utilizmos uma esfera rgida de massa 0,01632 kg e de

dimetro 0,0155 m. O comprimento da calha (x) m. O ngulo foi

medido com o auxlio de um transferidor acoplado ao plano que contm a calha e de um fio-de-prumo.

3.2. Esquema do trabalho laboratorial


Pgina 5 de 11

Figura 2.

3.3. Procedimento do trabalho laboratorial

1- Faa a montagem esquematizada na figura 2.

2- Mea o dimetro e a massa da esfera.

3- Coloque uma clula fotoelctrica na posio B. Ligue a clula fotoelctrica mquina de calcular

grfica no modo de funcionamento adequado, para medir o intervalo de tempo de passagem da

esfera.

Procedimento para a ligao (TI 84 Plus Silver Edition)

3.1. Carregue no boto APPS

B

x


Pgina 6 de 11

3.2. Desloque para baixo atravs do cursor existente na mquina at encontrar a aplicao

EasyData 2.00 seleccionando-a.

3.3. Aps a seleco da aplicao anterior, seleccione o setup para que possa escolher o sensor

pretendido. Neste caso, seleccione a posio trs do visor como se mostra nos esquemas

seguintes.

a. b.

3.4. Em seguida, escolha o comprimento do objecto a medir e carregue OK como se mostra na

figura.

3.5. Aps os passos anteriores carregue no iniciar e aps o sinal sonoro que o aparelho emite

comece o trabalho experimental.


Pgina 7 de 11

4- Defina uma distncia entre a posio A e B como indicado na figura.

5- Retire a clula fotoelctrica do suporte universal e para a respectiva posio B, fixe-a calha

recorrendo, por exemplo a fita-cola.

6- Abandone a esfera da posio A e registe o valor do intervalo de tempo de passagem da esfera na

posio B. Repita este procedimento pelo menos quatro vezes.

7- Repita o procedimento 5 e 6 para cada inclinao.

4- Resultados

Aps a concluso da actividade experimental e depois de seleccionar a opo sair, ir

aparecer no visor da mquina a seguinte informao:

A informao contida da experincia encontra-se nas listas L1 (nmero de ensaios realizados), L6

(intervalos de tempo para cada ensaio) e L7 (velocidade em m/s).

Para visualizar as listas carregue no menu STAT e ir aparecer o seguinte ecr:

Seleccione a opo 1 para poder visualizar as respectivas listas e os respectivos valores.

Percorra as listas com o cursor da calculadora e encontrar na lista L1, nmero de ensaios

realizados; L7, velocidade (m/s) de cada ensaio e na lista L6, o respectivo tempo.


Pgina 8 de 11

Aps a consulta das listas, atravs da aplicao TI Connect, transfira as listas para o seu

computador para poder trabalhar com maior facilidade. No nosso trabalho utilizamos o programa

Microsoft Office Excell.

Resultados obtidos

4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0

0,0262 0,0176 0,0144 0,0125 0,0112 0,0102 0,0096 0,0088 0,0085 0,0079 0,0071 0,0069 0,0067 0,0064

0,5925 0,8828 1,0783 1,2427 1,3873 1,5188 1,6211 1,7634 1,8267 1,9653 2,1703 2,2328 2,3168 2,4367

Tabela 1. Velocidade do centro de massa da esfera passagem no ponto B e o respectivo

melhor intervalo de tempo para cada inclinao.

4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0

0,0045 0,0089 0,0133 0,0177 0,0220 0,0262 0,0300 0,0347 0,0383 0,0432 0,0444 0,0475 0,0503 0,0529

0,0040 0,0089 0,0133 0,0176 0,0220 0,0263 0,0300 0,0355 0,0380 0,0439 0,0537 0,0568 0,0611 0,0676

Tabela 2. Energia mecnica inicial e final para cada inclinao.

Para interpretar os resultados finais, tracemos um grfico de energia mecnica final em

funo da mecnica inicial. Para tal, depois dos dados tratados, inserimos na calculadora desde a

lista 1 at lista 6 os seguintes dados:

L1 nmero de ensaios

L2 ngulo

L3 tempo mdio

L4 velocidade do centro de massa

L5 Energia mecnica inicial

L6 Energia mecnica final


Pgina 9 de 11

Figuras exemplificativas das listas.

Em seguida, atravs da operao 2ND STAT PLOT, definimos para o eixo dos x, a lista L5

e para o eixo dos Y a lista L6. Escolhemos um grfico de pontos e mandmos traar o respectivo

grfico.

Grfico 1- Energia mecnica final em funo da energia mecnica inicial.

5- Anlise dos resultados obtidos

Da anlise do grfico 1, verificamos que a partir de um determinado ngulo (34) no existe

conservao da energia mecnica.

Representando um novo grfico, e traando sobre os mesmos pontos uma recta em que a

condio Emf =Emi, verifica-se claramente que os ltimos quatro pontos no se ajustam respectiva

recta, porquanto resultam de erros sistemticos cometidos por ns aquando da realizao da actividade


Pgina 10 de 11

experimental, pois como bvio, de acordo com a actividade experimental realizada, a energia

mecnica final nunca poderia ser superior energia mecnica inicial.

Grfico 2 - Energia mecnica final em funo da energia mecnica inicial e uma recta que

representa a funo ideal Emf =Emi.

Considerando apenas os primeiros nove valores, e representando sobre estes uma recta Emf =

a Emi + b, obtemos o seguinte grfico:

Grfico 3 - Energia mecnica final em funo da energia mecnica inicial e uma recta que

representa a funo Emf = aEmi + b.


Pgina 11 de 11

A respectiva funo Emf = 1,019 Emi - 3,836 x 10-4

com R = 0,999, pelo que se verifica

que o declive de aproximadamente 1 e o ponto de interseco na origem aproximadamente 0.

Como tal podemos concluir que a energia mecnica se conserva para estas inclinaes.

6- Concluses

Como resultado desta actividade experimental verifica-se que, se no existe conservao da

energia mecnica, isso no se deve fora de atrito, pois a mesma no realiza trabalho enquanto a

esfera rolar. Verificamos tambm que, para inclinaes pequenas inferiores a 8 e para inclinaes

superiores a 36, a nossa actividade experimental no adequada. No primeiro caso, provavelmente, a

componente do peso na direco do movimento (pequena nestes casos) foi afectada pela resistncia ao

rolamento. No segundo caso (maiores inclinaes), o resultado obtido foi exactamente o oposto do

previsto, porquanto a esfera alm de rolar tambm comeava a deslizar, pelo que os resultados obtidos

para a energia mecnica final deveriam ser inferiores aos da energia mecnica inicial. Uma explicao

para os resultados por ns obtidos neste caso ser a passagem pela esfera na clula fotoelctrica com

um dimetro inferior ao real em consequncia da elevada inclinao da calha, pelo que obtivemos

tempos inferiores aos reais e, consequentemente, energias mecnicas finais superiores. Relativamente

aos dados por ns validados, o objectivo de alcanar uma recta que se ajustasse aos pontos com um

declive prximo de 1 e que passasse prxima da origem foi alcanado.

7- Bibliografia

1- Silva, Wilton Pereira da, Revista Brasileira de Ensino de Fsica, Vol. 25, no. 4, Dezembro, 2003.

2- Almeida, Maria Jos B. Marques de, Preparao de Professores de Fsica Uma contribuio

cientfico-pedaggica e didctica, Livraria Almedina Coimbra (2004).

3- Almeida, Maria Jos B. Marques de, Fundamentos de Fsica, Livraria Almedina Coimbra

(1993).

consevação energia mecânica

Education