Estruturas Discretas

2012/2013

Funcionamento da disciplina

• Docentes:

– Teoricas e teorico-praticas: Sandra Alves

– Praticas: Sandra Alves, Luis Antunes, Rogerio Reis

• Avaliacao:

– Teste intercalar: 10 valores.

– Teste final: 10 valores.

Sendo TI a classificacao obtida no teste intercalar e TF a classificacaoobtida no teste final, entao a nota final e dada por:

F = TI(≥ 3) + TF (≥ 3)

Nao obterao aprovacao os alunos que nao obtiverem um mınimo de 3valores (em 10), em ambos os testes.

Objectivos da disciplinaEstudo das estruturas discretas fundamentais que estao na base formal da

area de Ciencia de Computadores/Informatica. A frequencia desta disciplinadeve desenvolver as seguintes aptidoes:

• Capacidade de trabalhar com notacao matematica e com os principaisconceitos de matematica discreta;

• Construir e compreender provas matematicas;

• Utilizar conceitos matematicos para formalisar e resolver problemas co-muns em Ciencia de Computadores/Informatica.

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Programa

1. Teoria de conjuntos

2. Inducao matematica e outras tecnicas de prova

3. Teoria de numeros

4. Relacoes e funcoes

5. Fundamentos de logica

6. Estruturas algebricas

7. Contagem

8. Teoria de grafos

Algum material de estudo

1. Discrete Structures, Vladlen Koltun, Lecture Notes, Stanford University,2008 (disponıveis na pagina da disciplina) (todos os capıtulos excepto 13)

2. Sets,Logic and Maths for Computing, David Makinson, UndergraduateTopics in Computer Science, Springer-Verlag, 2008.

3. Discrete and Combinatorial Mathematics, Ralph P. Grimaldi, Addison-Wesley, Inc., 1999 (capıtulos 1, 2, 3, 4, 5, 8, 11)

4. Discrete Mathematics and its Applications, Kenneth H. Rosen, McGraw-Hill, Inc., New York, 2003 (capıtulos 1, 2.4, 2.5, 3, 4, 7, 8)

5. Apontamentos e exercıcios das aulas (Nota: os apontamentos das au-las devem ser usados como uma referencia em termos de notacaousada e da materia a ser estudada e nao como unico material deestudo)

6. Material de apoio (apontamentos e exercıcios), disponıveis em:http://elearning2.fc.up.pt/aulasweb/

Teoria de conjuntos - IUm conjunto e uma colecccao de objectos distintos. Aos objectos num con-

juntos chamamos elementos ou membros.• Lista de elementos entre chavetas:

S = {a, b, c, d} o mesmo que {b, c, a, d} o mesmo que {b, c, a, d, a, b}

• x e um elemento de S (ou x pertence a S) x ∈ S

• Podemos usar reticencias para especificar uma sequencia que segue um padrao

S = {1, 2, . . . } ou S = {1, . . . , 64}

• Ambiguidade na definicao usando reticencias: S = {1, 2, . . . , 64}, pode represen-tar os inteiros positivos ate 64, mas tambem pode indicar o conjunto de todasas potencias de 2 ate 64 (S = {20, 21, . . . , 64} notacao mais apropriada)

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Conjuntos: exemplos

• {1, {1}}.

• N = naturais = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

• Z = inteiros = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

• {20, 21, . . . }

• {1, 3, . . . , 2k + 1, . . . }

• Z+ = inteiros positivos.

Teoria de conjuntos - II

• Podemos evitar ambiguidade definindo os conjuntos por compreensao

• Os elementos a esquerda de (:) tem que satisfazer a condicao P (X), parapertencerem ao conjunto S:

S = {X : P (X)}

• Exemplos:

– Z = {x : x ∈ N ou − x ∈ N} .

– Q = racionais = {ab : a ∈ Z, b ∈ Z, b 6= 0} .

– {x : x ∈ R,−2 < x < 5}.

Conjuntos[height=6cm]sets.png

Subconjuntos - I

• Dizemos que A e um subconjunto de B (notacao A ⊆ B), se e so se, todosos elementos de A sao tambem elementos de B, ou seja,

Para todo x, se x ∈ A entao x ∈ B

• O conjunto A e um subconjunto de si mesmo (A ⊆ A).

• Dizemos que A e um subconjunto proprio de B (notacao A ⊂ B), se e sose, A ⊆ B e A 6= B.

• O conjunto A nao e um subconjunto proprio de si mesmo (A 6⊂ A).

• Dois conjuntos A e B sao iguais (notacao A = B), se e so se tem os mesmoelementos. Mais formalmente,

A = B se e so se, A ⊆ B e B ⊆ A.

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Subconjuntos - II

• O conjunto vazio, ∅, e o unico conjunto que nao contem elementos. (x ∈ ∅e sempre falso!)

• ∅ e um subconjunto de qualquer conjunto. E sempre verdade que:

Para todo x, se x ∈ ∅ entao x ∈ A

• Exemplos: Seja A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5} e C = {3, 7}.

1. B ⊆ A?

2. C ⊆ A?

3. B ⊆ B?

Conjuntos de conjuntos

• Um conjunto pode ter como elementos outros conjuntos. Exemplo: {{2, 4}, {13}, 17}

• Note que, {2, 4} ∈ {{2, 4}, {13}, 17}, mas {2, 4} ⊆ {2, 4, 13, 17}

• Note que, 13 /∈ {{2, 4}, {13}, 17}, mas {13} ∈ {{2, 4}, {13}, 17}

• O conjunto {∅} nao e o conjunto vazio: ∅ ∈ {∅}

O conjunto de subconjuntos

• O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A e chamado oconjunto das partes de A (notacao 2A ou P(A)), ou seja:

2A = {S : S ⊆ A}

• Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} entao

2A = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4},{3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

Operacoes sobre conjuntos

• Dados dois conjuntos A e B, definimos a interseccao, uniao e diferenca deconjuntos da seguinte forma:

A ∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}A ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}A \B = {x : x ∈ A e x /∈ B}

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• As operacoes de uniao e intersecao podem ser definidas para multiplosconjuntos. Considerando n conjuntos A1, A2, . . . , An, entao

∩ni=1Ai, ∪n

i=1Ai

definem respectivamente a sua interseccao e a sua uniao.

• Considerando um determinado universo U , definimos o complementar deA, como:

A = {x : x /∈ A} = U \A

ExemploSeja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}.Entao:

• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

• A ∩B = ∅.

• A = {0, 6, 7, 8, 9, 10}.

• A−B = A.

Cardinalidade

• O numero de elementos (distintos!) em A, (notacao |A| ou #A), e chamadoa cardinalidade de A.

• Se a cardinalidade de um conjunto e um numero natural (N), entao oconjunto e finito, caso contrario e infinito.

• Exemplo: Se A = {a, b} entao |{a, b}| = 2 e |2A| = 4.

• O numero de subconjuntos de um conjunto com n elementos e 2n, ou seja,

|2A| = 2|A|

Produto cartesiano de conjuntos

• Um n-tuplos ordenados (a1, a2, . . . , an), e uma coleccao ordenada, que temai como i-esimo elemento.

• Um 2-tuplo ordenado e chamado de par ordenado.

• O produto cartesiano de o conjunto A com o conjunto B, A × B, e oconjunto de pares ordenados

{(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.

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• O produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, . . . , An, A1 ×A2 × . . . An, e oconjuntos de todos os n-tuplos ordenados

{(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 . . . an ∈ An}.

• Exemplo: Seja A = {a, b} e B = {1, 2, 3}. Entao:

A×B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Conjuntos: propriedadesA teoria de conjuntos e uma instancia de um sistema algebrico chamado

Algebra Booleana.

1. Comutatividade: para todo o conjunto A e B; A ∩B = B ∩A e A ∪B =B ∪A.

2. Associatividade: para todo o conjunto A, B e C; A∩(B∩C) = (A∩B)∩Ce A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

3. Distributividade: para todo o conjunto A, B e C; A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

4. Complemento duplo: para todo o conjunto A, A = A.

5. Idempotencia: para todo o conjunto A, A ∪A = A e A ∩A = A.

Conjuntos: propriedades II

6 Elemento neutro: para todo o conjunto A e universo U ; A ∩ U = A eA ∪ ∅ = A.

7 Elemento absorvente: para todo o conjunto A e universo U ; A∪U = U eA ∩ ∅ = ∅.

8 Leis de De Morgan: para todo o conjunto A e B; A ∪B = A ∩ B eA ∩B = A ∪B.

9 Leis de absorcao: para todo o conjunto A e B, A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩(A ∪B) = A.

10 Complementar: para todo o conjunto A e universo U , A∪A = U e A∩A =∅.

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Provas...Vamos provar que A ∪B = A ∩B.Prova: Vamos mostrar que, para todo o x:

x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∩B

Seja x um elemento arbitrario do domınio

(⇒) Se x ∈ A ∪B, entao (pela definicao de complementar) x 6∈ (A ∪ B).Alemdisso, x 6∈ (A ∪ B) implica (pela definicao de uniao) que x 6∈ A e x 6∈ B.Se x 6∈ A, entao (pela definicao de complementar) x ∈ A e x 6∈ B implica(pela definicao de complementar) x ∈ B. Mas, se x ∈ A e x ∈ B, entao(pela definicao de interseccao) x ∈ A ∩B.

(⇐) Analogo ao sentido inverso.

Logo x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∩B

Provas...Seja A um conjunto (fixo, mas genericamente escolhido), para mostrar que

A∩∅ = ∅ basta mostrar que A∩∅ nao contem nenhum elemento. Suponhamosque x ∈ (A ∩ ∅), por definicao de interseccao x ∈ A e x ∈ ∅. Em particularx ∈ ∅, o que e impossıvel por definicao de ∅. Esta contradicao mostra que ahipotese de existir um x ∈ (A ∩ ∅) e falsa. Logo A ∩ ∅ nao contem elementos eA ∩ ∅ = ∅.

Exercıcios

• Das seguintes afirmacoes idenfifique as verdadeiras:

1. 2 ∈ {1, 2, 3}2. {2} ∈ {1, 2, 3}3. 2 ⊆ {1, 2, 3}4. {2} ⊆ {1, 2, 3}5. {2} ⊆ {{1}, {2}}6. {2} ∈ {{1}}, {{2}}}

• Seja A = {a, b} e B = {1, 2, 3}. Determine:

1. B ×A e A×B ×A.2. |A×B|.

• Se |A| = 4 e |B| = 2, determine |A×B|.

• Mostre que para todo o conjunto A e B, A ∩B ⊆ A.

• Mostre que para todo o conjunto A e B, A \B = A ∩B.

• Mostre que para todo o conjunto A,B e C (A∪B)\C = (A\C)∪ (B \C).

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