conjuntos numéricos

A linguagem dos números

Os conjuntos numéricos

Como surgiram os números? Eles foram sendo criados pouco a pouco. A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem e a ciência foram juntando novos tipos de números aos já existentes.

Com o tempo, por questões práticas, foi preciso agrupá-los, formando estruturas com características e propriedades comuns.

Conjuntos – Conceitos iniciais

Ficaram definidos, assim, os conjuntos numéricos

ℕ, dos números naturais;

ℤ, dos números inteiros;

ℚ, dos números racionais;

ℝ, dos números reais;

Conjunto dos números naturais (ℕ)

A necessidade de contar surgiu com o início da civilização dos povos. Povos primitivos contavam apenas um, dois e muitos. Esses três conceitos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sendo incorporadas. A idéia do zero só surgiu mais tarde.

Números utilizados para contar formam o conjunto

ℕ dos números naturais, definido assim:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Conjunto dos números inteiros (ℤ)

A soma e o produto de dois naturais são sempre naturais. Mas a diferença de dois naturais nem sempre é natural. Por exemplo,

(5 – 2) ℕ, mas (2 – 5) ℕ Subtrações como essa última só são definidas com

a introdução dos números inteiros negativos (–1, –2, –3, –4, ...).

A união dos naturais com os inteiros negativos

forma o conjunto ℤ dos números inteiros.

ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}


Podemos separar os inteiros em três categorias:

Os positivos: 1, 2, 3, 4, ...

O zero: 0

Os negativos: –1, –2, –3, –4, ...

De maneira geral, se k é um número inteiro, o número –k também é inteiro.

Dizemos que k e –k são simétricos ou opostos.


Simetria em relação ao zero.

0-1-2-3-4 1 2 43

Exemplo

De dois inteiros simétricos k e –k, não-nulos, qual é o positivo? Qual o negativo?

Dois inteiros simétricos podem ser iguais?

A soma, a diferença, o produto e o quociente de dois inteiros são sempre inteiros?


Definem-se, em ℤ, as relações de igualdade e de ordem (desigualdade).

Se p e q são dois inteiros, eles satisfazem uma, e somente uma, das seguintes relações:

p = q (p é igual a q);

p < q (p é menor que q);

p > q (p é maior que q).

→ 3 – 5 = 2

→ –5 < –1 < 0 < 3

→ 7 > 2 > 0 > –4

Observação Certos subconjuntos de ℕ e ℤ são definidos por

meio de desigualdades. No caso, devemos estar atentos ao universo indicado.

Exemplos

A = {x ℕ / x < 4} → A = {0, 1, 2, 3}.

B = {x ℤ / –3 ≤ x < 2} → B = {–3, –2, –1, 0, 1}.

C = {x ℤ / x ≥ –2} → C = {–2, –1, 0, 1, ...}.

Observação Os conjuntos numéricos podem vir acompanhados

de certos símbolos, que têm a função de excluir, dele, determinados números. Veja:

O símbolo asterisco (*) exclui o zero;

O símbolo mais (+) exclui os negativos;

O símbolo menos (–) exclui os positivos.

Observação Quando colocamos os inteiros em ordem crescente,

valem os conceitos de antecessor e sucessor. O antecessor de 8 é o 7 e o sucessor de 8 é o 9. Identifique, entre as sentenças a seguir, as que são verdadeiras.

O antecessor de –6 é –5 ( ).

Se p é inteiro, seu sucessor é (p + 1) e seu antecessor

(p – 1) ( ).

Se p, é par e q ímpar, então (p + 1).q é impar ( ).

Se p é par e q é ímpar, então (p + q).(q + 1) é par ( ).

No conjunto dos naturais, 0 não tem antecessor ( ).

Conjunto dos números racionais (ℚ) A necessidade de operar com grandezas que nem

sempre podem ser representadas por números inteiros e, consequentemente exigem subdivisões levou à criação dos números fracionários:

3

5,

8

7,

1

10, etc.

Divisões como essas são definidas com a introdução do conceito de número racional.

Conjunto dos números racionais (ℚ)

Todo quociente p/q da divisão de um inteiro p por um inteiro q (q ≠ 0) é chamado de número racional.

Veja a definição do conjunto ℚ dos números

racionais.

ℚ = {x/x = p/q; p, q ℤ, q ≠ 0}

Exemplo

São racionais os seguintes números

8

2 = 4 (inteiro)

3

7 (fracionário de termos inteiros)

–3

8 = –0,375 (decimal exato)

5

9 = 0,555... (dízima periódica)


Em resumo, são números racionais

Os números inteiros;

Os números fracionários;

Os decimais exatos;

As dízimas periódicas.

Transformando decimais exatos em frações

Um número decimal exato é sempre igual a uma fração, cujo denominador é uma potência de base 10 e expoente natural.

Exemplos

0,35 = 35

102 =

35

100 =

7

20

–1,8 = –18

101 =

–18

10 =

–9

5

Transformando decimais periódicos em frações

Numa dízima periódica, o grupo de algarismos que se repete é chamado período da dízima. Por exemplo na dízima 23, 4727272..., o período é 72.

A fração que dá origem a uma dízima é a sua geratriz.

Exemplos Achar a fração geratriz da dízima periódica 0,424242...

Suponhamos (1)x = 0,424242...

100 . x = 100 . 0,424242...

100x = 42,4242...

⇒

⇒ (2)

subtraindo (2) – (1), membro a membro

100x = 42,4242...

– x = 0,424242...

99x = 42 ⇒ x =42 99

=14 33

Exemplos

Encontrar a fração geratriz da dízima periódica 4,73333...

Suponhamos (1)x = 4,73333...

10 . x = 10 . 4,73333...

10x = 47,3333...

⇒

⇒ (2)

subtraindo (2) – (1), membro a membro

10x = 47,33333...

– x = 4,73333...

9x = 42,6

⇒ 90x = 426 ⇒ x =426 90

=71 15


Podemos representar os números racionais por pontos pertencentes a uma reta orientada, bastando para isso fazer subdivisões convenientes no eixo dos inteiros.

0-1-2-3 1 2 3

0,333...

0,6

–5/3 1,5–6/5

Conjunto dos números reais (ℝ)

Vimos anteriormente, que os únicos números decimais racionais são os exatos e as dízimas periódicas.

Existirão números decimais que não sejam exatos nem dízimas? Ou seja, números decimais não-racionais?

Conjunto dos números reais (ℝ) Veja a figura a seguir. Ela mostra um triângulo

retângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o cálculo de sua hipotenusa.

x

1

1

x2 = 12 + 12

x2 = 2

x = √2

Extraindo a raiz quadrada de 2 nos levará ao número 1,41421356237... que não é racional.


Números com √2 são chamados de números irracionais. Sua representação decimal não é exata e nem periódica.

De modo geral, número irracional é todo número que, escrito na forma decimal, é infinito e não-periódico. Veja alguns exemplos:

√3 = 1,73205080...

3√5 = 1,70099759...

= 3,141592653...

0,202202220...

Você sabia? que é aproximadamente

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066…?


A reunião dos racionais com os irracionais resulta no conjunto dos números reais. Ele é a partir de agora, o nosso universo numérico.

ℝ = {x/x é racional ou irracional}

Visão geral dos conjuntos numéricos No nosso estudo você deve ter notado como os

conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ e ℝ foram sendo

construídos. Na verdade, cada um deles amplia o anterior, com acréscimo de novos tipos de números.

ℕ ℤ ℚ ℝ+ Inteiros negativos

+ racionais fracionários

+ irracionais

Visão geral dos conjuntos numéricos

Veja sua representação por diagrama.

Inteiros negativos

racionais fracionários

irracionais

ℕ ℤ ℚ ℝ

O

Números reais como pontos da reta O conjunto ℝ dos números reais pode ser colocado

em correspondência com o conjunto dos pontos de uma reta. Para isso definimos

Um sentido positivo, indicado pela seta;

Um ponto O, chamado origem, associado ao zero;

uma unidade de medida arbitrária.

1 u

A esta reta, damos o nome de reta real ou eixo real;

Números reais como pontos da reta Na reta da figura marcamos os pontos O(0), A(1),

B(–3,5), C(4) e D(–2).

O

0

A CB D

1 4–2–3,5

Na representação:

A(1), 1 é a abscissa ou a coordenada do ponto A;

Em geral: Escrevemos P(x) para indicar que o ponto P está associado ao número x.

Números reais como pontos da reta

A reta estabelece uma ordenação para os números reais, expressas por relações de desigualdade. Sendo a e b dois reais distintos, temos:

a < b (a é menor que b) significa que, na reta real, a está à esquerda de b.

a > b (a é maior que b) significa que, na reta real, a está à direita de b.

Números reais como pontos da reta Na reta real da figura a seguir, estão

representados os números reais 0, p e q.

O

0 qp

Podemos escrever, por exemplo:

p < 0 (p é negativo)

q > 0 (q é positivo)

p < 0 < q (0 está entre p e q)

Observação A relação a ≤ b significa que (a < b ou a = b) e a

relação a ≥ b indica que (a > b ou a = b).

a ≤ b (a é menor que ou igual a b)

a ≥ b (a é maior que ou igual a b)

Exemplos

5 ≥ 3 (5 é maior ou igual a 3)

–2 ≤ 1 (–2 é menor ou igual a 1)

O C

ba

Exemplos A figura mostra a reta real, em que O é a origem.

São dados os pontos A(a) e B(b) e sabe-se que OA = OC.

A B

a) Quais são as abscissas de dos pontos O e C.

b) Complete os pontilhados com os sinais de desigualdade > ou <.

a .... 0 –a .... 0 a + b .... 0 a2 .... 0

b .... 0 –b .... 0 ab .... 0 –b .... a

0 e –a

< > > >

> < < <

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