Conjunto de Cantor dos tercos medios

Lucas Menezes de Brito

Universidade Federal de Goias

Abril, 2015

1 Definicao

O conjunto de Cantor dos tercos medios e um subconjunto da reta estudado pelo matematico Georg Cantore e definido como se segue:

No intervalo [0, 1], que chamaremos de K0, retiramos o intervalo (13 ,

23 ), de modo que sobre apenas o conjunto[

0,1

3

][

2

3, 1

]que sera chamado K1. Apos isso, retiremos os intervalos (

19 ,

29 ) e (

79 ,

89 ), sobrando o conjunto[

0,1

9

][

2

9,

1

3

][

2

3,

7

9

][

8

9, 1

]chamado de K2. Desse modo continuamos indefinidamente, sempre repetindo o processo de retirar o tercomedio aberto dos intervalos. O conjunto obtido apos o n-esimo processo sera chamado Kn, e o conjunto K, ouK, dos pontos do intervalo [0, 1] que pertencem a Kn para todo n N e o Conjunto de Cantor.Chamando os intervalos abertos omitidos de I1, I2, ..., In, ..., temos

K = [0, 1]n=1

In

2 Propriedades

O Conjunto de Cantor tem propriedades interessantes, algumas das quais listamos e demonstramos a seguir.

2.1 K tem interior vazio

Um conjunto X R tem interior vazio quando nao contem intervalos.

Para mostrar que o Conjunto de Cantor nao contem intervalos suponhamos que exista um intervalo I (dequalquer tipo, fechado, aberto ou semiaberto) tal que I K. Seja |I| = o comprimento desse intervalo. Sendo13n o tamanho de todos os intervalos contidos em Kn, existe n0 N tal que 13n0 < , ja que limn 13n = 0.Portanto os intervalos de tamanho , seriam todos desfeitos no maximo ate a n0-esima etapa da construcao doConjunto de Cantor, e por isso nao existe intervalo I K, e K tem interior vazio.

2.2 K e nao-enumeravel

Definicao 1 (Enumerabilidade de conjuntos) Seja X N. Um conjunto A e dito enumeravel se houveruma bijecao : X A, ou seja, se todos os elementos de A podem ser colocados em uma lista. Um conjuntoB e nao-enumeravel se nao existir bijecao : X B.

Antes de analisarmos a enumerabilidade de K, analisemos a enumerabilidade de um subconjunto.

1

Lema 1 Seja E o conjunto de todos os extremos de intervalos retirados durante a construcao do Conjunto deCantor. E e um conjunto enumeravel.

Demonstracao: Podemos mostrar facilmente uma enumeracao de E. E so pegar em cada etapa n daconstrucao, os extremos dos intervalos de Kn. Como o conjunto dos ndices n e enumeravel, entao, E tambeme. Desta forma temos uma enumeracao:

E =

{0, 1,

1

3,

2

3,

1

9,

2

9,

7

9,

8

9, ...

}o que prova o lema.

Agora, a proposicao principal:

Proposicao 1 O Conjunto de Cantor e nao-enumeravel.

Demonstracao: Podemos construir uma correspondencia biunvoca entre os pontos de K e as sequencias(an)

n=1, formadas de zeros e uns. Nos utilizaremos do seguinte processo:

(i) escolha x K;(ii) denote por Jn o intervalo de Kn1 que contem x para cada n N;(iii) chame de J(n,0) o intervalo em Kn que esta contido em Jn e que contem o extremo esquerdo de Jn e deJ(n,1) o intervalo em Kn+1 que esta contido em Jn e que contem o extremo direito de Jn;(iv) ponha, formando uma sequencia, an = 0 se x pertencer a J(n,0), e an = 1 se x pertencer ao J(n,1).Temos que essa associacao de um elemento de K a uma sequencia an = (a1, a2, a3, a4, ...) e uma bijecao.Vamos provar agora que o conjunto das sequencias do tipo (an)

n=1, onde an = 0 ou 1 e nao-enumeravel.

Suponhamos um conjunto enumeravel A = {(a1), (a2), (a3), (a4), (a5), ...}, onde cada an e uma sequencia determos iguais a 0 ou 1, e chamemos de a(m,n) o n-esimo termo da m-esima sequencia desse conjunto. Agora,construmos a sequencia (bn), tal que bn 6= a(n,n). Da, teremos:

b1 6= a(1,1) = (bn) 6= (a1)

b2 6= a(2,2) = (bn) 6= (a2)...

bn 6= a(n,n) = (bn) 6= (an)...

Logo, para todo conjunto enumeravel de sequencias com termos 0 ou 1, sempre ha outra sequencia desse tipoque nao pertence a esse conjunto. Entao essas sequencias formam um conjunto nao-enumeravel.Mas ja que existe uma correspondencia biunvoca entre o conjunto dessas sequencias e os elementos do Conjuntode Cantor, conclumos que K e nao-enumeravel.

A partir desse fato, conclumos que o Conjunto de Cantor tem pontos alem dos extremos dos intervalosomitidos na sua construcao. Mas nao apenas isso, tambem vale o

Corolario 1 O conjunto dos pontos de K E e nao-enumeravel

Demonstracao: Vamos provar esse fato por contradicao. Se tivessemosKE enumeravel, seja {x1, x2, ..., xn, ...}uma enumeracao dos seus elementos. Se tomarmos a uniao de E com K E teramos o conjunto:{

0, x1, 1, x2,1

3, , x3,

2

3, x4,

1

9, ...

}que e enumeravel. Mas (K E) E = K que acabamos de provar que nao e enumeravel. Absurdo. Portanto,E K e nao-enumeravel.

2

2.3 K e compacto

Comecamos com algumas definicoes sobre a natureza topologica de R.

Definicao 2 (Ponto aderente) Um ponto a e aderente ao conjunto X R se a e limite de alguma sequenciade pontos xn X. O conjunto de pontos aderentes a X e chamado fecho de X e denotado por X.

Definicao 3 (Conjunto fechado e compacto) Um conjunto X R e fechado se X = X, e e compacto see fechado e limitado.

Definicao 4 (Ponto interior e conjunto aberto) Um ponto a e interior a um conjunto X R (e diz-sea int(X)) se existe > 0 tal que (a , a + ) X. Se todos os pontos de um conjunto forem interiores aele, ou seja, int(A) = A, diz-se que o conjunto e aberto.

Agora provaremos lemas importantes para a demonstracao da proposicao principal.

Lema 2 A uniao de conjuntos abertos e um conjunto aberto.

Demonstracao: Sejam, L um conjunto de ndices, A conjuntos abertos e

A =L

A

a uniao desses conjuntos. Se tomarmos um x A, existe pelo menos um L tal que x A. Como A eaberto, entao existe pelo menos um tal que x (x, x+) A. Como A A, entao x (x, x+) A,e portanto, x int(A). Conclumos que todo ponto em A e ponto interior a A, portanto, int(A) = A e A e umconjunto aberto.

Lema 3 Seja X R. Se seu complementar Y = RX e aberto, entao X e fechado.

Demonstracao: Se Y = R X e aberto, entao para todo ponto a Y existe um intervalo aberto I talque a I Y . Como I X = conclumos que a nao e aderente a X seja qual for a Y . Entao sea / X = a / X, por contrapositiva temos: a X = a X, e portanto, X e fechado.

Ja estamos prontos para provar que

Proposicao 2 O Conjunto de Cantor e um conjunto compacto.

Demonstracao: Ja sabemos que o Conjunto de Cantor e limitado (ja que K [0, 1]), resta saber se efechado. Sabendo que todo intervalo aberto e um conjunto aberto e que, por definicao,

K = [0, 1]n=1

In

sendo In os conjuntos abertos retirados na construcao de K, temos que:

RK = (, 0) n=1

In (1,)

e um conjunto aberto pelo Lema 2, e portanto, K e fechado pelo Lema 3. Fica assim provado que o Conjuntode Cantor e compacto.

3

2.4 K nao contem pontos isolados

Comecaremos com uma definicao intermediaria.

Definicao 5 (Ponto de acumulacao) Um ponto a e de acumulacao a um conjunto X se existirem sequenciasde pontos xn X {a} tal que limxn = a. O conjunto de pontos de acumulacao a um conjunto X e denotadoX .

Quando todos os pontos de um conjunto sao pontos de acumulacao, diz-se que esse conjunto nao contempontos isolados.

Proposicao 3 O Conjunto de Cantor nao contem pontos isolados.

Demonstracao: Considere um ponto x K. Seja E o conjunto formado pelos extremos dos intervalosomitidos nas etapas da construcao de K.Se x E, seja y1 um ponto tal que x e y1 sao extremos de um mesmo intervalo em Kn para algum n N.Entao temos que na proxima etapa da construcao de K havera a omissao do terco medio do intervalo [x, y1]ou [y1, x] gerando um novo extremo y2 e o intervalo [x, y2] ou [y2, x]. Procedendo dessa maneira, vemos que ospontos yn formarao uma sequencia que converge pra x e, portanto, x K .Caso x nao pertenca a E, entao x esta contido em um intervalo [a, b] Kn para algum n N. Definamosa seguinte sequencia: yn = extremo direito do intervalo que contem x em Kn. E evidente que lim yn = x,portanto, x e ponto de acumulacao de K.

Corolario 2 O conjunto E e denso em K.

Antes, precisamos da

Definicao 6 (Conjunto denso) Um conjunto X e denso em Y se todo ponto de Y e limite de sequencias deelementos de X. Em outras palavras, X = Y .

Demonstracao do Corolario 2: A demonstracao segue imediatamente do argumento que utilizamos naProposicao 3. E evidente que todo ponto de E e limite de sequencia de E (basta pegar uma sequencia constante),e da proposicao anterior, conclumos que todo ponto em K E e limite de sequencia de elementos de E.

Um conjunto que e fechado e nao contem pontos isolados e chamado de conjunto perfeito. Assim, K e umconjunto perfeito. Outro exemplo de conjunto perfeito e R.

2.5 K tem medida nula

Definicao 7 (Conjunto de medida nula na reta) Um conjunto X R tem medida nula quando, para todo > 0, for possvel obter uma colecao de intervalos abertos I1, ..., Ik, ..., chamada cobertura, tal que

X I1 I2 ... Ik ...

e |Ik| <

Ou seja, a soma dos comprimentos dos intervalos que contem o conjunto e tao pequena quanto se queira.

Dois resultados importantes sobre conjuntos de medida nula sao mostrados a seguir.

Lema 4 A uniao de dois conjuntos A e B de medida nula tambem tem medida nula.

Demonstracao: Se A tem medida nula, entao para todo > 0, e possvel obter uma cobertura I tal queA I e |I| < /2. Do mesmo modo, se B tem medida nula, podemos, para todo > 0 obter uma cobertura Jtal que B J e |J | < /2. Desse modo, a soma dos comprimentos dos intervalos das coberturas I e J e menorque (/2) + (/2) = , para qualquer > 0. Como a uniao I J contem ambos os conjuntos, AB tem medidanula.

4

Lema 5 Todo conjunto enumeravel infinito tem medida nula.

Demonstracao: Seja E = {r1, r2, ..., rn, ...} um conjunto enumeravel. Para todo > 0 consideremosintervalos In de tamanho

2n+2 cobrindo o ponto rn para n N. Entao a soma de todos esses intervalos e

i=1

2i+2=

i=1

1

2i+2<

i=1

1

2i=

o que conclui a demonstracao.

Precisamos dos lemas anteriores para provar a seguinte proposicao:

Proposicao 4 O Conjunto de Cantor tem medida nula.

Demonstracao: A soma do comprimento dos intervalos abertos omitidos em Kn e:

1

3+

2

9+

4

27+ ...+

2n1

3n

e isto e igual a:

1

3

n1i=0

(2

3

)i= 1

(2

3

)nComo o intervalo [0, 1] tem comprimento 1, a soma dos comprimentos dos intervalos de Kn e

1(

1(

2

3

)n)=

(2

3

)nEscolhendo entao intervalos abertos de mesmo comprimento que contem cada intervalo de Kn, temos que otamanho desses intervalos e ( 23 )

n e

lim

(2

3

)n= 0

que e a soma do tamanho dos intervalos que escolhemos. Ou seja, a nossa cobertura tem medida menor quequalquer > 0 ja que seu limite e 0. A demonstracao nao esta completa, pois negligenciamos os extremosdos intervalos dos conjuntos fechados que compoem Kn. Mas este conjunto e o conjunto E que pelo Lema 1 eenumeravel. Segue do Lema 5, E tem medida nula e do, Lema 4, K tambem tem medida nula, como queramosdemonstrar.

References

[1] ABBOTT, Stephen; Understanding Analysis. Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, MathematicsDepartment - Middlebury College, 2001.

[2] FREIRIA, Antonio Acra; A teoria dos conjuntos de Cantor. Ribeirao Preto, Depto. de Geologia, Fsica eMatematica FFCL de Ribeirao Preto - USP, 1992.

[3] LIMA, Elon Lages; Analise Real 1. Colecao Matematica Universitaria, Instituto de Matematica Pura eAplicada, CNPq, 1989.

[4] LIMA, Elon Lages; Curso de Analise, Volume 1. Projeto Euclides, Instituto de Matematica Pura e Aplicada,CNPq, 1982.

[5] MEDEIROS, Luis Adauto; A Integral de Lebesgue. Instituto de Matematica - Universidade Federal do Riode Janeiro, 2008.

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