conexões com a matemática

1

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Capítulo 23 Poliedros

Aformadessesiloéobtidajuntando20placashe-xagonaisemais12placaspentagonais.

Combasenotexto,écorretoafirmarqueessesilotem:

a)90arestase60vértices.

b)86arestase56vértices.

c) 90arestase56vértices.

d)86arestase60vértices.

e) 110arestase60vértices.

f ) I.R.

6. Calcule onúmerodevérticesdeumpoliedrocon-vexoquetemseisfacesquadrangularese10facestriangulares.

7. Determineonúmerodefacesdeumpoliedroconvexoquetem18vérticesesabendoquedecadaumdelessaem4arestas.

8. Qualé onúmerodearestasdeumpoliedrocon-vexocom20vérticese12faces?

9. Verifique se os poliedros a seguir são poliedros dePlatão.

a)Dodecaedrodefacespentagonais.

b)Decaedro com quatro faces triangulares e seisfacesquadrangulares.

c) Prismadebasetriangular.

d) Icosaedrocomfacestriangulares.

10. Represente uma possível planificação do sólido aseguir.

1. Qualéonomedecadapoliedro?

a)

b)

c)

2. Qualéonomedopoliedroconvexocom20vérticese30arestas?

3. Classifiquecadapoliedroemconvexoounãoconvexo.

a)

b)

c)

4. Determinequantasfacestemumpoliedroconvexode20arestasnoqualonúmerodevérticeséigualaodefaces.

5. (UFPel-RS)NoMéxico,hámaisdemilanos,opovoasteca resolveu o problema da armazenagem dapós-colheitadegrãoscomumtipodesiloemfor-madeumabolacolocadosobreumabasecirculardealvenaria.

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Poliedroscapítulo 23

Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil

conexões com a matemática

2

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Capítulo 23 Poliedros

11. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de umvérticeaoutrodoprismaretodebasestriangularesABCeDEG,seguindoumtrajetoespecial.Elapartiudo vértice G, percorreu toda a aresta perpendicu-laràbaseABC,paraemseguidacaminhar todaadiagonaldafaceADCG,efinalmentecompletouseupasseiopercorrendoaarestareversaaCG.Aformi-gachegouaovértice:

A B

D

G

E

C

a)A c) C e) E

b)B d) D

12. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedoreto-retângulocujasmedidassão:8dm,6dme5dm.

13. Determineadiagonaldeumcubo,sabendoqueadiagonaldecadaumadesuasfacesmede7 2m.

14. A soma das medidas das arestas de um cubo é108cm.Encontreamedidadecadaaresta,dadiago-naldeumafaceedadiagonaldessecubo.

15. Considereoparalelepípedoreto-retânguloaseguir.Sesuadiagonalmede3 83cm,determineasmedi-dasa,b,cindicadas,sabendoquesãoproporcionaisaosnúmeros3,5e7.

a

b

c

3 83 cm

16. (UFSCar-SP)Afiguraindicaumparalelepípedoreto--retângulo de dimensões 3 32 2 7 , sendo A,B,CeDquatrodeseusvértices.

AdistânciadeBatéoplanoquecontémA,DeCéiguala:

a)411 d)

213

b)414 e)

23 7

c)211

17. Determineaáreatotaldasuperfíciedeumprismaretodebasequadrada,sabendoqueaalturamede12cmeadiagonaldabase,5 2cm.

18. Calculeaáreatotaldasuperfíciedeumcubocujaarestamede2 3m.

19. Determineaáreatotaleovolume,emlitro,deumaembalagemdeleite longavidacujaformalembraum paralelepípedo reto-retângulo de arestas me-dindo:0,95dm,0,65dme1,7dm.

20. (Unifesp)Umcubodearestadecomprimentoavaisertransformadonumparalelepípedoreto-retângulodealtura25%menor,preservando-se,porém,oseuvolumeeocomprimentodeumadesuasarestas.

Adiferençaentreaáreatotal(asomadasáreasdasseis faces)donovosólidoeaárea totaldosólidooriginalserá:

a) a61 2

b) a31 2

c) a21 2

d) a32 2

e) a65 2

21. (Unifor-CE)Apeçadeferroabaixofoiobtidadeumparalelepípedoreto-retângulodedimensões20cm,30cme40cm,comaretiradadequatrocubosiguaisdearesta10cm.

40 cm

30 cm

20 cm

Seadensidadedoferroé7,8g/cm3,entãoamassadessapeça,emquilograma,é:

a) 187,2

b) 179,4

c) 171,6

d) 163,8

e) 156

C

BD

A

7

2 2

conexões com a matemática

3

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Capítulo 23 Poliedros

22. Determine a área total e o volume de um pris-ma hexagonal regular cujas dimensões são:arestadabase:8cmealtura:15cm

23. Calculeovolume,emcm3,deumlivrocom0,20mde largurapor0,27mdecomprimentoe3cmdealtura.

24. Determine o volume de um prisma reto de basetriangular, sabendoque todasassuasarestasme-dem5m.

25. Qualéacapacidade,emlitro,deumreservatóriocomaformadeumprismaretangularde8mdealtura,cujabaseéumquadradodeladomedindo1,5m?

26. Encontreovolumedeumprismade18mdearestalateral,cujabaseéumtrapézioisóscelescombasemenormedindo8m,basemaiormedindo14mealturade4m.

27. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prismareto,cujabaseABCDéumtrapézioisósceles,sendoquesuasarestasmedemAB510,DC56,AD54eAE510.

A B

E

D C

H G

F

OplanodeterminadopelospontosA,HeG seccio-naoprismadeterminandoumquadrilátero.Aáreadessequadriláteroé:

a)8 7 c) 16 7 e) 64 7

b)10 7 d) 32 7

28. Considereumapirâmidedebasequadrada.Calculeamedidadoapótemadabaseedoapótemadapi-râmide,sabendoqueaarestadabaseeaalturadapirâmidemedemrespectivamente12cme8cm.

29. Determineonúmerodevérticesdeumapirâmidedebasehexagonal.

30. Verifiquequaisplanificaçõesrepresentamsuperfí-ciesdepirâmide.

a)

b)

c)

31. (Unifesp)Umpoliedroéconstruídoapartirdeumcubodearestaa . 0,cortando-seemcadaumdeseuscantosumapirâmideregulardebasetriangu-lar equilateral (os três lados da base da pirâmide

sãoiguais).Denoteporx, , xa

02

< ,aarestalateral

daspirâmidescortadas.

x x

face lateral daspirâmides cortadas

a)Dêonúmerodefacesdopoliedroconstruído.

b)Obtenha o valor de x, , xa

02

< , para o qual o

volume do poliedro construído fique igual acincosextosdovolumedocubooriginal.Aal-turadecadapirâmidecortada,relativaàbase

equilateral,é x

3.

32. (Fuvest-SP)AfiguraaseguirmostraumapirâmideretadebasequadradaABCDdelado1ealturaEF51.SendoGopontomédiodaalturaEFeaamedidadoânguloAGWB,entãocosavale:

A B

C

E

α

D

F

G

a)21 b)

31 c)

41 d)

51 e)

61

conexões com a matemática

4

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Capítulo 23 Poliedros

33. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra um cubo dearestaiguala2cmondeospontosA,B,C,D,EeFsãopontosmédiosdascorrespondentesarestas.QualoraiodaesferainscritanapirâmidehexagonaldebaseABCDEFedevérticeP?

A

B

C

D

E

F

P

a) 22

3 3 cm d)32 cm

b) 12

3 3 cm e) 23 3cm

c)43 cm

34. Seja uma pirâmide regular de base triangularcomáreadabaseiguala12 3 cm2.Calculeovo-lume dessa pirâmide, sabendo que sua altura é2 2 cm.

35. Calculeaáreadabasedeumapirâmidecujaalturaé10dmeovolumeé120dm3.

36. Calculeovolumedeumapirâmideregulardebasehexagonal cuja altura é 100 mm e o apótema dabasemede10 3mm.

37. Umapirâmidedebasetriangulartemtodasassuasarestasmedindoa.Determineovolumedessapirâ-mideemfunçãodea.

38. (Mackenzie-SP)Nafigura,osvérticesdocubosãooscentrosdasfacesdooctaedroregulardearesta6 2.Ovolumedocuboé:

a) 64 c) 27 e) 72 2

b)27 2 d) 72

39. Em uma pirâmide regular de base quadrada comáreaiguala256cm2ealturade20cm,determineáreatotaldasuperfícieeovolumedapirâmide.

40. Uma pirâmide quadrangular regular ABCDE, comvérticeemE, temvolume iguala16m3.SendoM

o ponto médio do segmento AB e N o ponto mé-diodosegmentoAE, determineovolumedosólidoMBCDN.

41. (Unicamp-SP)Suponhaqueum livrode20cmdelargura esteja aberto conforme a figura a seguir,sendoDACX 5 120©eDBVC 5 60©.

CD

120°

20 cm

A

60°

B

a)CalculeaalturaABdolivro.

b) CalculeovolumedotetraedrodevérticesA,B,CeD.

42. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura

23 6 cujabaseéumquadradodelado3.Calcule:

a)ovolumedapirâmide.

b)oraiodaesferacircunscritaàpirâmide.

43. (UFBA) Considere-se uma barraca de camping quetemaformadeumapirâmideretangularcomares-taslateraiscongruentesealturaigualaummetro.

Assimsendo,écorretoafirmar:

a)Aprojeçãoortogonaldovérticedapirâmidesobreoplanodabasecoincidecomocentrodabase.

b)Se a altura e as medidas dos lados da base dapirâmideforemaumentadasem10%,entãoovo-lumeaumentaráem33,1%.

c) Se o piso da barraca tem área máxima entreasáreasde todososretânguloscomperímetroiguala8metros,entãoopisotemaformadeumquadrado.

d) Seabasedapirâmidetemaformadeumqua-dradocomladosmedindo2metros,entãoovo-

lumeéiguala34

metroscúbicos.

e) Suponha-se que a barraca está montada sobreumterrenohorizontal,esuabaseéumquadra-docom ladosmedindo2metros.Se,emdeter-minado instante, os raios solares formam umângulode45ºcomosolo,entãoalgumpontodabarraca será projetado pelos raios solares numpontodosolosituadoforadaregiãocobertapelopisodabarraca.

44. Aáreadabasedeumapirâmideéiguala900dm2.Umasecçãoparalelaàbaseexatamentea6cmdovérticetemáreaiguala81cm2.Calculeaalturadapirâmide.

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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BANCO DE QUESTÕES

Capítulo 23 Poliedros

45. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo má-gico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:

• apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;

• os pontos comuns ao cubo e ao copo determinas-sem um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunfe-

rência de raio 2 3 cm, determine o volume da par-

te do cubo que ficou no interior do copo.

46. Considere um tetraedro regular de aresta igual a 12 cm. Determine:

a) a altura do tetraedro;

b) sua área total;

c) seu volume.

47. (Vunesp) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja ares-ta mede 1 m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo, e pelo plano IJK, passan do por pontos mé-dios de lados do cubo, como na figura a seguir. Cal-cule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.

AB

CD

HK

E F

G

J

I

48. Determine o volume do tronco de pirâmide qua-drangular cuja altura é 6 cm e cujas bases têm ares-tas iguais a 8 cm e 4 cm, respectivamente.

LEA

ND

RO

KA

NN

O/G

UA

RA

IMA

GE

NS