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Física Laboratorial I Ano Lectivo 2007/08

Departamento de Física da FCTUC 1/6

TRABALHO PRÁTICO Nº 4 - LICENCIATURA EM FÍSICA

CONDENSADORES E DIELÉCTRICOS Objectivo - Este trabalho pretende ilustrar a constituição e o funcionamento de um condensador,

bem como determinar, de uma forma simples, a constante dieléctrica que o caracteriza. 1. Introdução

1.1 Noções básicas

Considerem-se dois condutores A e B, isolados e inicialmente e descarregados, colocados a uma certa distância um do outro (conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece, de alguma forma, uma diferença de potencial V. O estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge associada à diferença de potencial V. A carga Q depende apenas, para um dado valor V da diferença de potencial aplicada, do meio e das características geométricas dos dois condutores, variando linearmente com V. Define-se então a capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V:

VQC = (1)

A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No caso exemplificado na figura 1, de um condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro, pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão:

dA

C 0ε= (2)

em que mF /10854187817.8 120

−×=ε é a permitividade eléctrica do vazio. Se as placas estiverem separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ, designado constante dieléctrica do meio:

00 , κε=ε

ε=

εκ=

dA

dA

C (3)

ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico. Neste trabalho prático determinar-se-á a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar "folha de acetato"). 1.2. Carga e descarga de um condensador através de uma resistência

1.2.1. Carga

Considere-se o circuito da figura 2 que é apresentado na página seguinte.

Figura 1. Condensador constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro



Figura 2. Circuito série de uma bateria de força electromotriz E com um condensador de capacidade C e uma resistência R. Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o interruptor S encontra-se aberto. Em t = 0, fecha-se o interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador.

Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo. À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a carga nas placas atinge o valor máximo Qf = CE (+Qf na placa positiva e -Qf na placa negativa). A corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações:

( ) ( ) ECtqtiR =+ (4)

( ) ( )dt

tdqti = (5)

A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador está inicialmente descarregado), tem as formas seguintes:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

RCtCEtq exp1 (6)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RCt

REti exp (7)

A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4. Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Qf = CE, se a corrente se mantivesse constantemente igual a I0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Qf, tendo nesse instante a corrente decrescido para I0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar o condensador completamente carregado.

Figura 3. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a carga inicial Q(0)=0 até à carga final Qf = CE. Em t = RC, acumulou já a carga Qf(1-1/e).

Figura 4. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 2. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=E/R até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I0/e.



1.2.2. Descarga de um condensador

Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q0 e que o ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5.

Figura 5. Condensador inicialmente carregado com a carga Q0 ligado em série a uma resistência R. Em t = 0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o processo de descarga do condensador.

Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este processo é regido pelas equações:

( ) ( ) 0=+CtqtiR (8)

( ) ( )dt

tdqti −= (9)

A solução das equações (8) e (9) é, agora,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RCtQtq exp0 (10)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

RCt

RCQ

ti exp0 (11)

Agora, quer a carga do condensador, quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente igual a Q0/RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um factor e.

Figura 6. Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 5. O condensador descarrega exponencialmente desde a carga inicial Q0 até zero. Em t = RC, a carga diminuiu de um factor e para Q0/e.

Figura 7. Evolução temporal da corrente no circuito da figura 5. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0) = Q0/RC até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I0/e.



1.2.3. Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas

Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T

Tens

ão (u

nida

des

arbi

trár

ias)

Tempo (unidades arbitrárias)

Figura 8. Idealização de uma onda quadrada de período T (neste caso T = 2). Na realidade, o gerador é obviamente incapaz de fazer subir ou descer a tensão de um modo infinitamente rápido. A tensão leva um certo tempo para conseguir elevar-se desde zero até ao valor máximo, bem como para efectuar o processo inverso, conforme se discute nas notas de introdução ao osciloscópio e noutro trabalho prático (Medição de grandezas eléctricas. Utilização do osciloscópio e do multímetro).

Se for escolhido um período T da onda quadrada suficientemente grande, em comparação com τ = RC (T >> RC), então pode admitir-se que o condensador carrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], descarregará no intervalo [1,2], etc. Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não T >> RC. Pode, com o auxílio do osciloscópio, estudar-se simultaneamente os dois processos. Note-se que este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação (1) temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga. 2. Realização experimental

Material necessário: folhas de alumínio; folhas de acetato; osciloscópio; resistências; gerador de sinais; condensadores comerciais; fita cola. 2.1. Determinação da constante dieléctrica

2.1.1. Verifique, e descreva no seu relatório, o modo como está preparado o condensador. Anote os materiais de que são formadas as placas e o dieléctrico. Faça as medidas necessárias e calcule a área de cada uma das placas.

2.1.2. Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 10 kΩ) que utilizará no circuito. Considere o erro nesta determinação desprezável. Anote o valor na folha de registo de dados. 2.1.3. Monte o circuito esquematizado na figura ao lado. Substitua o gerador E e o interruptor S pelo sinal obtido de um gerador de sinais. Isto é, ligue os terminais do gerador de sinais ao terminal livre de C e ao terminal também livre de R. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto entre as folhas de alumínio e a folha de acetato (PORQUÊ?), colocando um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente).



2.1.4. Ajuste o gerador de sinais para que forneça ondas quadradas com frequência de 1 kHz. Anote na folha de registo de dados o valor da frequência e também da amplitude. 2.1.5. Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova adequada, a tensão nos terminais do condensador. No canal 2, com o auxílio da outra ponta, observe a tensão à saída do gerador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger pelo canal 2. Ajustando o trigger e a base de tempos de forma adequada, obtenha no écrã imagens semelhantes às das figuras 3 e 6 (reproduzidas de seguida).

Figura 3

Figura 6

2.1.6. A partir das imagens obtidas no ponto anterior, pode estimar o tempo característico RC. Para tal, orientando-se pela imagem correspondente à descarga do condensador (figura 6) e com o auxílio de um pequeno papel, determine o ponto em que a tangente à curva de descarga no ponto inicial corta o eixo dos tempos. Esse instante corresponde a τ = RC. Registe o valor na tabela Ι. 2.1.7. Calcule a partir do valor de τ a capacidade do condensador - C. Usando um multímetro apropriado, faça a medida da mesma capacidade. Compare os dois valores. 2.1.8. Determine, usando a equação (3), a permeabilidade eléctrica e a constante dieléctrica do meio, completando a tabela I. Para isso, calcule a espessura média das folhas de acetato com o auxílio de uma craveira, medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 5). 2.1.9. Verifique que também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do condensador. Descreva o modo como procederia. 2.2. Dependência da capacidade com a espessura

2.2.1. Repita a medição da capacidade do condensador (passos 2.1.3 até 2.1.7) usando, sucessivamente, 2, 4 e 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio. Agrupe todos os valores na tabela II. 2.2.2. Em gráfico (a incluir no relatório) represente a variação da capacidade em função de 1/d. A partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do meio. Compare com os valores obtidos no ponto anterior e comente.



2.3. Variação da capacidade com a área das placas

2.3.1. Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato, para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Descreva o modo como procedeu. Registe valores e cálculos na tabela III. 2.3.2. Compare o resultado com valor anteriormente obtido. Qual o efeito da área das placas sobre a capacidade de um condensador paralelo? 2.4. Comparação com condensadores comerciais

2.4.1. No circuito eléctrico que vem utilizando, substitua o condensador de acetato por um ou vários dos condensadores comerciais disponibilizados. 2.4.2. Compare a forma dos sinais de carga e descarga com os do condensador artesanal e comente. 2.4.3. Meça a capacidade de um dos condensadores comerciais usando o mesmo método utilizado anteriormente. Relatório

O relatório deste trabalho vai ser elaborado de acordo com um modelo que será distribuído na aula. Bibliografia

[1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (2004).

[2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de

Física da Universidade (2005/06). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial

Presença (1994).

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