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P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO COMPOSTA Prof. Almir Schäffer PORTO ALEGRE MAIO DE 2006

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P U C R S

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

CONCRETO ARMADO II

FLEXÃO COMPOSTA

Prof. Almir Schäffer

PORTO ALEGRE

MAIO DE 2006

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FLEXÃO COMPOSTA

1- Notações principais

As = área da seção da armadura

Ac = área da seção de concreto

e, ex, ey = excentricidades

e1, e1x, e1y = excentricidades de 1a ordem

e2, e2x, e2y = excentricidades de 2a ordem

e min1 , e xmin1 , e ymin1 = excentricidades mínimas de 1a ordem

N = força normal

M, Mx, My = momentos

M1, M1x, M1y = momentos de 1a ordem

M2, M2x, M2y = momentos de 2a ordem

M min1 , M xmin1 , M ymin1 = momentos mínimos de 1a ordem

M1d, M1xd, M1yd = momentos de cálculo de 1a ordem

M2d, M2xd, M2yd = momentos de cálculo de 2a ordem

ν e µ = esforços solicitantes relativos (adimensionais)

ρ = taxa geométrica de armadura

ω = taxa mecânica de armadura

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2- Generalidades

Na seção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão

composta quando na mesma atuam, simultaneamente:

- uma força normal (N);

- um momento fletor (M); e

- uma força cortante (V).

No caso particular da força cortante ser nula, a solicitação de flexão

composta é chamada também de tração ou compressão excêntrica.

Considere-se uma força normal atuando na seção transversal de um pilar

com excentricidade e (Fig. 1a). Para transladar esta força, de seu ponto de aplicação

para o centro de gravidade da seção, é necessário acrescentar o momento

M N e= . (1)

que resulta da translação (Fig. 1b). As solicitações representadas nas figuras 1a e

1b são equivalentes.

FIGURA 1

Quando a excentricidade da força normal é pequena, toda a seção

transversal do pilar é comprimida (Figs. 2a e 2b). Para excentricidades maiores, uma

parte da seção é comprimida e a outra é tracionada (Fig. 2c).

Eixo dopilar

G P

Ne

S

Eixo dopilar

GS

NM

a) b)

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FIGURA 2

O plano que contém o momento fletor é chamado plano de solicitação (PS).

A solicitação de flexão composta pode ser classificada, de acordo com a

direção do traço PS sobre a seção transversal da peça, em:

- reta (ou normal); e

- desviada (ou oblíqua).

A solicitação é reta quando o traço PS coincide com um dos dois eixos

principais de inércia da seção (Figs. 3a e 3b). A solicitação é desviada quando o

traço PS não coincide com nenhum dos dois eixos (Fig. 3c).

FIGURA 3

G

N

S

a)

G P

Ne

S

b)

G P

Ne

S

c)

G X=PS

Y

Pe

G X

Y=PS

Pe

G X

Y

Pe

a) b) c)

PS

exey

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3- Cálculo de seções solicitadas por flexão composta

3.1- Taxas de armadura

São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura:

- a taxa geométrica de armadura; e

- a taxa mecânica de armadura.

A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da

armadura e a área da seção do concreto que a envolve.

ρ =AA

s

c (2)

A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da

armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve.

ω = =NN

A f

A fsd

cd

s yd

c cd

.

. (3)

Dividindo membro a membro a eq. (2) pela (3), obtém-se a relação existente

entre as duas taxas de armadura.

ρ ω= .ffcd

yd (4)

3.2- Uso de ábacos (diagramas de interação)

O dimensionamento de seções de concreto armado, solicitadas por flexão

composta, é, em geral, um problema bastante complexo. Para simplificar a solução

destes problemas, na prática, podem ser usados ábacos (também chamados

diagramas de interação) preparados para este fim.

Os ábacos mais usados no nosso meio técnico são, provavelmente, os que

estão publicados nos livros do Montoya [1] e do Pfeil [2].

Na figura seguinte apresenta-se um destes ábacos. Para entrar no ábaco

deve-se calcular previamente os esforços relativos

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ν =N

A fd

c cd. (5.1)

e

µ ν= = =M

A f hN e

A f heh

d

c cd

d

c cd. ..

. .. (5.2)

Estes esforços são as coordenadas de um ponto P(ν, µ) do ábaco.

Marcando este ponto P(ν, µ) no ábaco obtém-se ω. Conhecido ω calcula-se ρ com a

equação (4) e em seguida As com a equação (2).

FIGURA 4

Se ω < 0 então nenhuma armadura é necessária, devendo-se no entanto

usar uma armadura mínima; se ω > 1 então é necessário aumentar a seção de

concreto.

Existem ábacos para diferentes tipos de seções transversais de pilares

(retangular, circular, duplo T, etc...), para diferentes resistências de aço e para

diferentes disposições de armaduras nas seções (no caso da seção retangular,

armadura igual nos quatro cantos, igual em dois lados, igual nos quatro lados, etc...).

Exemplos. Ver exercícios 1, 2 e 3 no polígrafo de exercícios.

= 0,0

= 0,5

= 1,0

O

P

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3.3- Solução aproximada para solicitações desviadas

Dada a complexidade da solução dos problemas de flexão composta em

seções de concreto armado, recorre-se, na falta de soluções mais precisas, à

soluções aproximadas. Uma destas soluções, para solicitações desviadas,

procedente da Resistência dos Materiais, é apresentada a seguir (ver também NBR

6118, item 17.2.5.2).

A verificação de uma seção solicitada por uma força normal N atuando com

excentricidades ex e ey (Fig. 5a) pode ser substituída pelas verificações desta seção

para duas solicitações retas, numa das quais a força normal N atua com uma

excentricidade exo (Fig. 5b) e na outra com uma excentricidade eyo (Fig. 5c), sendo

exo e eyo maiores que ex e ey (respectivamente) satisfazendo a seguinte condição:

ex

exey

eyo o+ ≤ 1 (6)

FIGURA 5

As excentricidades exo e eyo podem ser escolhidas de várias maneiras

diferentes, devendo no entanto satisfazer a condição (6). Algumas possibilidades

são as seguintes:

1a solução:

Arbitrar o valor de exo e calcular o valor de eyo com a equação (6).

G X

Y

Pex G X

Y

Pey

G X

Y

P

a) b) c)

exey

o

oe

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2a solução:

Escolher

ex exo = 2. (7.1)

ey eyo = 2. (7.2)

Estes dois valores satisfazem sempre a condição (6).

3a solução:

Escolher

ex ey ex eyo o= = + (8)

Estes dois valores também satisfazem sempre a condição (6).

A 3a solução é particularmente interessante para peças de seção quadrada

cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados, porque,

neste caso, como as duas solicitações retas são iguais entre si, é necessário fazer

uma só verificação. No caso de peças de seção retangular cheia com armadura igual

nos quatro cantos ou igual nos quatro lados também é possível fazer uma só

verificação escolhendo

ex exeyhy

hxo = + . (9.1)

ou então

ey eyexhx

hyo = + . (9.2)

Exemplos. Ver exercícios 4 e 5 no polígrafo de exercícios.

3.4- Hipóteses básicas

No cálculo de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta,

são feitas as seguintes hipóteses básicas (ver também NBR 6118, item 17.2.2):

a) as seções transversais planas antes da deformação permanecem planas após a

deformação (hipótese das seções planas);

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b) o diagrama tensão deformação do concreto é o diagrama parábola-retângulo; as

tensões de tração no concreto são nulas (Fig. 6a);

FIGURA 6

c) o diagrama tensão-deformação do aço é o diagrama reta-retângulo, tanto na

compressão como na tração (Fig. 6b);

d) o estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra mais

comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto ou quando

o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento plástico

limite do aço.

Para calcular as tensões no concreto e no aço, em função da deformação

específica, de acordo com os diagramas de cálculo anteriores, podem ser criadas as

funções (programas de computador)

σ σ εc c= ( ) (10.1)

e

σ σ εs s= ( ) (10.2)

respectivamente.

O encurtamento de ruptura do concreto ( εR ) é calculado, em função do

encurtamento da fibra menos comprimida de concreto ( ε2 ) como segue.

0,85.fcd

0,002 0,00350

c s

fyd

fyd

yd

yd

a) b)

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Se ε2 0≤ , então

εR = 0 0035, (11.1)

senão se ε2 0 002≤ ,

ε εR = −0 0035 0 75 2, , . (11.2)

senão

εR = 0 002, (11.3)

O alongamento plástico limite do aço ( εL ) é dado por:

εL = −0 010, (12)

3.5- Soluções numéricas (programas de computador)

3.5.1- Generalidades

As soluções numéricas usadas nos problemas de flexão composta são

baseadas em processos iterativos. Estes processos iterativos envolvem quantidades

enormes de operações aritméticas, que, para serem realizadas, requerem o uso de

programas de computador.

A seguir descreve-se a solução usada no programa FlexãoComposta,

desenvolvido para o dimensionamento da armadura de seções de concreto armado,

retangulares, solicitadas por flexão composta. A solução usada foi escolhida em

função da simplicidade e em função segurança que apresenta na convergência do

processo iterativo.

3.5.2- Convenção de sinais

No programa FlexãoComposta foi usada a seguinte convenção de sinais:

N = força normal (+ = compressão; - = tração)

Mx e My = momentos fletores (+ = compressão no I quadrante)

ε = deformação específica (+ = encurtamento; - = alongamento)

φx e φy = rotações específicas (+ = encurtamento no I quadrante)

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3.5.3- Deformação específica num ponto genérico da seção

Quando são conhecidos (dados) a deformação específica no centro de

gravidade da seção ( εg ) e as rotações específicas da seção em relação aos eixos X

e Y ( φx e φy ), a deformação específica num ponto genérico P(x,y) da seção pode

ser calculada com a equação (Figs. 7a e 7b)

ε ε φ φ= + +g y xx y. . (13)

FIGURA 7

3.5.4- Esforços resistentes da seção

Conhecidos (dados) εg , φx e φy , os esforços resistentes da seção são

calculados como segue:

a) Seção de concreto

A área da seção de concreto é dividida num certo número (nc) de pequenas

áreas Aci (Fig. 8a). Quanto menores estas áreas, mais precisos os resultados.

O

PMydNd

Mxd

x

y

X

Y

Nd Myd

PG

x

a) b)

g

y

S

S'

S''

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FIGURA 8

A deformação específica no elemento genérico Aci é dada por

ε ε φ φc xc yci g y i x i= + +. . (14)

e a tensão de cálculo, neste elemento, conforme a equação (10.1), por

σ σ εc c ci i= ( ) (15)

Os esforços resistentes provenientes deste elemento genérico da seção de

concreto são dados por

Nc Ac ci i i= .σ (16.1)

Mxc Nc yci i i= . (16.2)

Myc Nc xci i i= . (16.3)

e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de concreto, por

Nc Nci=� (17.1)

Mxc Mxci=� (17.2)

Myc Myci=� (17.3)

(i = 1, nc)

X

Y

X

Y

O O

Ac iAs i

xc

yc

xs

ysi

i

i

i

a) b)

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b) Seção de aço

A área da seção de aço é distribuída, na seção da peça, num certo número

(ns) de barras de áreas Asi (Fig. 8b).

A deformação específica na barra genérica Asi é dada por

ε ε φ φs xs ysi g y i x i= + +. . (18)

e a tensão de cálculo, nesta barra, conforme a equação (10.2), por

σ σ εs s si i= ( ) (19)

Os esforços resistentes provenientes da barra genérica da seção de aço são

dados por

Ns As si i i= .σ (20.1)

Mxs Ns ysi i i= . (20.2)

Mys Ns xsi i i= . (20.3)

e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de aço, por

Ns Nsi=� (21.1)

Mxs Mxsi=� (21.2)

Mys Mysi=� (21.3)

(i = 1, ns)

c) Soma

Os esforços resistentes totais são dados pela soma dos esforços resistentes

do concreto e do aço:

Nr Nc Ns= + (22.1)

Mxr Mxc Mxs= + (22.2)

Myr Myc Mys= + (22.3)

Estes esforços resistentes são evidentemente funções de εg , φx e φy .

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3.5.5- Condições de equilíbrio

Para que exista equilíbrio na seção é necessário que os esforços resistentes

de cálculo sejam iguais aos esforços solicitantes de cálculo, isto é:

Nr Nd= (23.1)

Mxr Mxd= (23.2)

Myr Myd= (23.4)

Para satisfazer estas condições de equilíbrio, os valores das variáveis

εg , φx e φy , devem ser escolhidos convenientemente.

3.5.6- Algorítmo

O algorítmo usado no programa FlexãoComposta, para o cálculo da taxa de

armadura necessária para a seção de uma peça de concreto armado solicitada por

flexão composta foi o seguinte:

a) escolhe-se a seção de concreto e a distribuição da armadura nesta seção;

b) escolhe-se uma taxa geométrica de armadura (a mais alta permitida pela norma

ou a mais alta que se pretende usar); no programa foi usado ρ = 0 08, ;

c) calcula-se as áreas das seções das barras da armadura de acordo com a

distribuição escolhida em a); com isto as seções de concreto e de aço ficam

completamente determinadas;

d) calcula-se εg , φx e φy de tal modo que sejam satisfeitas as condições de

equilíbrio dadas pelas equações (23); para tal foi usada uma combinação dos

processos iterativos de Newton-Raphson (para sistemas de equações não

lineares) e de Gauss (para sistemas de equações lineares diagonais);

e) calcula-se as deformações específicas máxima e mínima do concreto ( ε1 e ε2 ) e

do aço ( ε3 e ε4 );

f) se ε ε1 ≤ R e ε ε4 ≥ L então o estado limite último não foi alcançado; diminui-se ρ ,

fazendo ρ ρ= − ∆ρ ( ∆ρ = 0 001, , por exemplo) e reinicia-se o processo em c);

senão passa-se ao passo seguinte;

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g) o estado limite último foi alcançado; se ρ = 0 08, então é necessário aumentar a

seção de concreto; senão, a taxa de armadura necessária para a seção é ρ + ∆ρ .

4- Pilares

4.1- Generalidades

Os pilares são peças que trabalham principalmente à compressão.

Exemplos de pilares: pilares de edifícios, de pontes, de teatros, ginásios de

esportes, estádio de futebol, etc.

Como normalmente a força de compressão não é centrada na seção, a

solicitação dos pilares é, geralmente, de flexão composta com compressão (ou de

compressão excêntrica).

4.2- Classificação dos pilares de edifícios

Os pilares de edifícios podem ser classificados, de acordo com a posição

que ocupam no edifício, em planta, em (Fig. 9):

canto extremidade

intermediário

viga

FIGURA 9

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15

- pilares de canto;

- pilares de extremidade; e

- pilares intermediários.

4.3- Momentos nos pilares de edifícios

Num pórtico de edifício, carregado apenas com cargas verticais aplicadas

nas vigas, as deformações se apresentam, aproximadamente, conforme se mostra

na figura seguinte.

FIGURA 10

Nos pilares intermediários (como o pilar P2 por exemplo) os giros dos nós

geralmente são pequenos e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares,

nestes nós, também são pequenos, podendo ser desprezados. Consequentemente,

a solicitação dos pilares intermediários é de compressão simples (ou muito próxima

desta).

Nos pilares de extremidade (como o pilar P1, por exemplo), os giros dos nós

são consideráveis e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós,

também são consideráveis (Figs. 10 e 11). Conseqüentemente a solicitação dos

pilares de extremidade é de flexão composta reta.

P1 P2 P3 P4

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FIGURA 11

Já os pilares de canto estão sujeitos à momentos em relação aos dois eixos

principais de inércia da seção e, portanto, a solicitação dos pilares de canto é de

flexão composta desviada.

Nos pilares de extremidade os momentos nos nós podem ser calculados, de

modo aproximado, com um esquema de cálculo simplificado (Fig. 12), obtido a partir

da observação de que a) os momentos nos pilares se anulam aproximadamente no

centro dos pilares (Figs. 10 e 11), onde, então, podem ser imaginadas rótulas e b) a

viga, no pilares intermediários, não gira, onde, então, pode ser imaginado um

engaste perfeito.

�sup2

�inf2

�vig

FIGURA 12

NAMA

VA

NBMB

VB

A

B

M N V

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17

O cálculo aproximado é o seguinte (ver também NBR 6118, item 14.6.7.1, c):

Coeficientes de rigidez das peças (viga, pilar superior e pilar inferior):

vig

vigvig

I.4r

�= (24.1)

rsupsup

sup

.I=

6

� (24.2)

rinfinf

inf

.I=

6�

(24.3)

r r r rvig� = + +sup inf (24.4)

Momento de engastamento perfeito da viga no nó do pilar de extremidade:

M =... (25)

Momentos nas extremidades das peças:

M Mr r

rvig =+

�.

sup inf (26.1)

M Mr

rsupsup

.=�

(26.2)

M Mr

rinfinf.=�

(26.3)

Nos pilares de canto as fórmulas anteriores podem ser aplicadas nas duas

direções principais.

4.4- Momento mínimo

A excentricidade de 1a ordem a considerar no cálculo dos pilares não pode

ser menor que a mínima dada por (NBR 6118, item 11.3.3.4.3)

e hmin1 0 015 0 03= +, , . (27)

onde e min1 e h (h = altura da seção na direção considerada) são medidas em

metros.

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18

A consideração desta excentricidade mínima, admite-se, cobre os efeitos

das imperfeições locais nos pilares (desaprumos e falta de retilineidade dos eixos

dos pilares).

A norma não fornece nenhuma informação sobre como esta excentricidade

deve ser considerada no cálculo. Parece, no entanto, que ela deve ser considerada,

separadamente, primeiro numa direção principal da seção e depois na outra. Isto

significa que os pilares devem ser verificados para duas hipóteses diferentes de

solicitação excêntrica, a saber:

a) a força normal atuando com excentricidades

���

���

=���

���

)y1e;y1e(Maiorx1e

eyex

min (28.1)

b) a força normal atuando com excentricidades

���

���

=���

���

y1e)x1e;x1e(Maior

eyex min (28.2)

5- Disposições normativas

5.1- Dimensões das seções

A menor dimensão da seção transversal de um pilar (b), qualquer que seja

sua forma (Fig. 13), não pode ser menor que 19 cm (NBR 6118, item 13.2.3), isto é:

b cm≥ 19 (29.1)

FIGURA 13

É necessário observar também (NBR 6118, item 18.4.1):

b

a

b

a

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19

a b≤ 5. (29.2)

5.2- Armaduras longitudinais mínima e máxima

As armaduras longitudinais mínima e máxima dos pilares são dadas por

(NBR 6118, item 17.3.5.3):

)fN

.15,0;A%.4,0(MaiorAsyd

dcmin = (30.1)

As Amax c= 8%. (30.2)

O limite máximo aplica-se inclusive na região das emendas das barras.

5.3- Bitola da armadura longitudinal

O diâmetro das barras da armadura longitudinal não pode ser menor que 10

mm nem maior que 1/8 da menor dimensão da seção (NBR 6118, item 18.4.2.1),

isto é:

mm10≥φ (31.1)

φ ≤b8

(31.2)

5.4- Distribuição transversal da armadura longitudinal

Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra da armadura

longitudinal em cada vértice (Figs. 14a e 14b); em seções circulares, no mínimo seis

barras distribuídas no perímetro (Fig. 14c) (NBR 6118, item 18.4.2.2).

FIGURA 14

a) b) c)

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5.5- Espaçamento transversal da armadura longitudinal

O espaçamento transversal (e) da armadura longitudinal deve atender aos

seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.2.2):

)DMA.2,1;;mm20(Maiore φ≥ (32.1)

)b.2;cm40(Menore ≤ (32.2)

(DMA = dimensão máxima do agregado)

5.6- Estribos

A bitola ( φ t ) e o espaçamento ( e t ) da armadura transversal deve atender

aos seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.3):

)4

;mm5(Maiortφ≥φ (33.1)

))50CA(.12;b;cm20(Menore t −φ≤ (33.2)

5.7- Proteção da armadura longitudinal contra a flambagem

Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal

localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo,

20.φ t dos cantos (Fig. 15), desde que neste trecho de comprimento 20.φ t não

existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4).

20.φ t20.φ t

FIGURA 15

Para barras não protegidas contra a flambagem é necessário prever estribos

suplementares.

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6- Efeitos de 2a ordem (locais)

6.1- Definições

Os momentos (excentricidades) de 2a ordem são os acréscimos de

momentos (excentricidades) provenientes das deformações que ocorrem nas

estruturas (Fig. 16).

e1 e1e2 ~

M1 M1+M2

a) b)P P

FIGURA 16

No estudo dos pilares a norma usa um chamado comprimento equivalente

de um pilar ( � e ) que pode ser determinado como segue (ver também NBR 6118,

itens 15.6 e 15.8.2):

a) para pilares vinculados nas suas duas extremidades (Fig. 17a):

)h;(Menor oe += ��� (34.1)

b) para pilares engastados numa extremidade e livres na outra (Fig. 17b):

)h.5,0;(Menor.2 oe += ��� (34.2)

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22

� �oh� �oh

a) b)

Pilar Pilar

FIGURA 17

O índice de esbeltez de um pilar (conforme definição da resistência dos

materiais) é dado por:

a) para a seção qualquer

λ =� e

i (35.1)

b) para a seção retangular

λ =3 46, .� e

h (35.2)

c) para a seção circular

λ =4.� e

d (35.3)

6.2- Excentricidade de 2a ordem

Se o índice de esbeltez de um pilar for inferior à 35, os efeitos locais de 2a

ordem não precisam se considerados (NBR 6118, item 15.8.2); se estiver entre 35 e

90, os efeitos locais de 2a ordem podem ser determinados por métodos aproximados

(NBR 6118, item 15.8.3.3).

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Dentre os métodos aproximados o mais simples de usar é o chamado

método do pilar-padrão com curvatura aproximada (NBR 6118, item 15.8.3.3.2). De

acordo com este método, a excentricidade de 2a ordem a ser considerada é dada

por

er

e210

12

=�

. (36)

sendo que a curvatura do pilar pode ser avaliada por

1 0 005

0 50 005

r h h=

+≤

,.( , )

(37)

Usando o limite superior da curvatura dado pela equação (37) e substituindo

este valor na equação (35), resulta :

eh

e22000

2

=�

. (38)

Esta equação permite calcular a excentricidade de 2a ordem de modo

aproximado, porém simples e favorável à segurança. Se for desejada precisão

maior, então deve-se usar as equações (36) e (37).

As excentricidades finais obtém-se somando esta excentricidade de

2a ordem às excentricidades dadas pelas equações (28).