concreto armado 1_aula 15-20

ì Estruturas de Concreto Armado I ENGENHARIA CIVIL

Prof: Izabela Naves Coelho Teobaldo . e-‐mail: [email protected]

Roteiro para cálculo de lajes de concreto armado

5. Cálculo dos momentos

5.1. determinação dos momentos

mx = μx . p. lx2 / 100 (1)

my = μy . p. lx2 / 100 (2)

xx = μ'x . p. lx2 / 100 (3)

xy = μ'y . p. lx2 / 100 (4)

lx: menor lado da placa μx:, μy , μ'x:, μ'y : coeficientes fornecidos pelo Quadro 3

Coeficiente μx:, μy , μ'x:, μ'y para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares

uniformemente carregadas



5.2. determinação da altura ú\l mínima

A par\r do maior momento fletor resultante, calcular a altura ú\l mínima, que é a menor altura em que a laje ainda trabalhará apenas com a armadura tracionada e com os materiais no limite de sua capacidade resistente e, portanto, com melhor aproveitamento (entre domínios 3 e 4).

O Cálculo será efetuado da mesma forma que para seções retangulares sob flexão normal, par uma faixa de largura unitária (1,0 m) com o momento máximo encontrado.

Bases para Cálculo

ì  Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão

ì  a) Domínio 3

ì  o concreto encontra-‐se na ruptura e o aço tracionado em escoamento.

ì  Nessas condições, a seção é denominada subarmada.

ì  Tanto o concreto como o aço trabalham com suas resistências de cálculo. Portanto, há o aproveitamento máximo dos dois materiais.

ì  A ruína ocorre com aviso, pois a peça apresenta deslocamentos visíveis e intensa fissuração.

DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA

Bases para Cálculo

ì  Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão -‐ Domínio 3


Bases para Cálculo

ì  Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão

ì  b) Domínio 4

ì  o concreto encontra-‐se na ruptura, mas o aço tracionado não a\nge o escoamento. Portanto, ele é mal aproveitado.

ì  Neste caso, a seção é denominada superarmada.

ì  A ruína ocorre sem aviso, pois os deslocamentos são pequenos e há pouca fissuração.


Bases para Cálculo

ì  Ruína por Ruptura do Concreto na Flexão -‐ Domínio 4 (εyd > εs > 0)




5.2. determinação da altura ú\l mínima

A par\r do maior momento fletor resultante, calcular a altura ú\l mínima, que é a menor altura em que a laje ainda trabalhará apenas com a armadura tracionada e com os materiais no limite de sua capacidade resistente e, portanto, com melhor aproveitamento (entre domínios 3 e 4).

O Cálculo será efetuado da mesma forma que para seções retangulares sob flexão normal, par uma faixa de largura unitária (1,0 m) com o momento máximo encontrado.



5.2. determinação da altura ú\l mínima M: momento máximo encontrado bw= 1m ξ34 = 0,628 (aço CA-‐50) à (equivale ao limite entre domínios 3 e 4) d min = (Md / bw . fcd . (0,68 . ξ34 – 0,272 . ξ342)) 1/2



5.3. determinação da altura final da laje

h = d + φ + φ/2 + c

5.4. determinação do carregamento final

recalcular peso próprio

5.5. momentos finais

5.6. verificação da altura ú\l mínima para o novo momento máximo

Roteiro para cálculo de lajes de concreto armado ì  Cálculo da Flecha Diferida (αf)

ì  Conforme NBR 6118/2014 – 17.3.2.1.2 – a flecha adicional deferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela mul\plicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:

αf = Δε/(1 + 50 ρ’ )

ì  Onde: ì  ε = é um coeficiente em função do tempo que pode ser ob\do diretamente em tabela ì  Δε = ε(t) – ε(to)

ì  ρ’ = As’ / bd à ρ’ = no caso da laje não existe armadura na área de compressão, então ρ’ = 0

Roteiro para cálculo de lajes de concreto armado ì  Cálculo da Flecha Diferida (αf)

αf = Δε/(1 + 50 ρ’ )

ì  Δε = ε(t) – ε(to) ε(t) = 2 para t > 70 meses ε(to) = 0,54 para to ≤ 15 dias a re\rada do escoramento

Δε = 2 – 0,54 = 1,46

ì  ρ’ = 0


ì  Cálculo da Flecha Diferida (αf)

αf = Δε/(1 + 50 ρ’ ) αf = 1,46 / 1 + (50 x 0) αf = 1,46

ì  a total = ai(imediata) x (1 + αf)

ì  aadm ≥ atotal à então a flecha passou

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ì  Compa&bilização dos Momentos Fletores

ì  Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, os momentos fletores nega\vos numa borda comuns às duas lajes são geralmente diferentes.

ì  A norma permite (item 14.7.6.2) que seja feita uma compa\bilização dos momentos fletores nega\vos:

ì  “Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-‐se compa8bilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada.”

ì  Compa&bilização dos Momentos Fletores

ì  A compa\bilização dos momentos posi\vos e nega\vos deve ser feita nas duas direções da laje.

ì  método de compa\bilização -‐ o momento fletor nega\vo de duas lajes adjacentes é tomado como:

ì  Os alívios que ocorrerem nos momentos fletores posi\vos não são considerados, ou seja, são desprezados.

X ≥

0,8 X1

ou

(X1 + X2) / 2

Com X1 ≥ X2

Compa\bilização de momentos fletores nega\vos e posi\vos

Cálculo da armadura longitudinal

ì  Cálculo para as duas direções

ì  Altura ú\l recomendada (distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura posi\va) à as barras de cada direção podem ser posicionadas em qualquer uma das camadas



ì  Cálculo feito para faixa de laje de largura igual a 1,0 m

As = Md / KZ . d. fsd Md: momento de cálculo KZ: coeficiente tabela (encontrado através de KMD) d: altura ú\l fsd : resistência de cálculo do aço




KMD = Md / bw . d2. fcd Md: momento de cálculo bw: largura da faixa de laje d: altura ú\l fcd : resistência de cálculo do concreto




KMD = Md / bw . d2. fcd

KMD = 1,4 . m / [1,0 . 0,082 . (20.000 / 1.4)]

KMD = 0,0153 . m




As = Md / KZ . d. fsd

As = 1.4 . m / [KZ . 0,08 . (50 / 1,15)]

As = 0,4025 . m / KZ


Detalhamento da armadura ì  Diametro máximo das barras: φmax = h / 8

φmax = 12 / 8 φmax = 1,5 cm = 15 mm

ì  Escolha dos diametros das barras a serem u\lizadas (usuais: φ6,3

mm e φ10 mm)


Detalhamento da armadura ì  Escolha dos diametros das barras a serem u\lizadas (usuais: φ6,3

mm e φ10 mm)

Detalhamento da armadura

ì  Os valores mínimos de armadura passiva aderente devem atender a:

ρs = As / bw . h

ρs: porcentagem de armadura passiva aderente Obs: Armadura mínima para seção retangular

Detalhamento da armadura ì  Armadura mínima para seção retangular por m (depende de fck)

As = ρs . bw . h

Tabela para ρmin por largura unitária de laje


ì  Armadura mínima para seção retangular por m (fck = 20 MPa e bw=100 cm)

As,min = ρmin . bw . h

Armadura nega\va: As,min = 0,15/100 . 100 . 12 As,min = 1,8 cm2/m

Armadura posi\va (2d): As,min = 0,67 . 0,15/100 . 100 . 12

As,min = 1,2 cm2/m



ì  Espaçamento (s) para a armadura mínima

s = Asφ / As

Asφ: área da seção da barra escolhida As: área necessária de aço por unidade de largura da laje



ì  Espaçamento (s) para a armadura mínima Nega\vo: Φ6,3: s = Asφ / As = 0,32 cm2 / 1,8 cm2/m = 0,18 m = 18 cm Φ10: s = Asφ / As = 0,80 cm2 / 1,8 cm2/m = 0,44 m = 44 cm Posi\vo: Φ6,3: s = Asφ / As = 0,32 cm2 / 1,2 cm2/m = 0,27 m = 27 cm Φ10: s = Asφ / As = 0,80 cm2 / 1,2 cm2/m = 0,67 m = 67 cm



ì  Espaçamento máximo adotado

s ≤ 20 cm s ≤ 2 . h



ì  Comprimento e espaçamento das barras ì  Armadura posi\va

ì  Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida) ì  As barras deverão engastar nos apoios (vigas) 6 cm ou 10φ

ì  10φ = 10 . 0,63 = 6,3 cm: será adotado o valor de 7 cm ì  10φ = 10 . 1,0 = 10 cm: será adotado o valor de 10 cm

ì  Largura das vigas: 12 cm ì  As dimensões das lajes, em planta, estão relacionadas aos eixos das vigas



ì  Comprimento para laje 1, nas direções x e y: ì  l = 600 – 2 . 6 + 2 . 7 = 602 cm (N1)

ì  Comprimento para laje 2: ì  lx = 400 – 2 . 6 + 2 . 7 = 402 cm (N2) ì  ly = 600 – 2 . 6 + 2 . 7 = 602 cm (N1)

ì  Comprimento para laje 3: ì  lx = 500 – 2 . 6 + 2 . 10 = 508 cm (N3) ì  ly = 1000 – 2 . 6 + 2 . 7 = 1002 cm (N4)



ì  Comprimento e espaçamento das barras ì  Armadura nega\va

ì  Todas as barras tem dimaêtro φ=10 mm ì  Todas as lajes serão consideradas isoladas, e a armadura, para todas as

situações de vinculação, será estendida no interior da laje a uma distância de : 0,25 . lx (menor vão)


Detalhamento da armadura ì  Comprimento e espaçamento das barras

ì  Armadura nega\va ì  Ao comprimento anterior deve ser acrescentado o comprimento de

ancoragem reto (aço CA-‐50, boa aderência, fck = 20 Mpa, φ = 10mm)

ì  lb = (φ/4) . (fyd / �d)

ì  �d = η1 . η2 . η3 . fctd ì  fctd = fctk, inf/γc = 0,7 . fct,m/γc = 0,21. fck2/3/1,4


ì  �d = η1 . η2 . η3 . fctd ì  fctd = fctk, inf/γc = 0,7 . fct,m/γc = 0,21. fck2/3/1,4


fctd = 0,21. fck2/3/1,4 fctd = 0,15 . 20 2/3

fctd = 1,105 MPa �d = η1 . η2 . η3 . fctd �d = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 1,105 �d = 2,486 Mpa


lb = (φ/4) . (fyd / �d)

lb= (1,0/4) . (500/1,15 .2,486)

lb= 44 cm


ì  Comprimento e espaçamento das barras ì  Armadura nega\va

ì  Serão adotados, em todas as extremidades da armadura nega\va, ganchos retos, calculados de forma simplificada, como indicado na figura, descontando da altura total da laje 2,5 cm (cobrimento) junto a cada face, resultando lg = 12,0 – 2,5 – 2,5 = 7,0 cm



ì  Comprimento e espaçamento das barras

ì  Comprimentos finais em cada laje:

l = 0,25 . Lx + lb + lg



ì  Comprimento e espaçamento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L2:

ì  L1-‐L2: φ10 c/ 15 cm


Comprimento da L1: ì  0,25 . 600 + 44 + 7 = 201 cm Comprimento da L2: ì  0,25 . 400 + 44 + 7 = 151 cm

à comprimento total = 352 cm (N5)



ì  L1-‐L3: φ10 c/ 10 cm



à comprimento total = 377 cm (N6)



ì  L2-‐L3: φ10 c/ 10 cm



à  comprimento total = 327 cm (adotar mesmo que L1 com L3)


ì  Quan\dade (N) de barras (posi\vas e nega\vas) para cada situação

ì  A quan\dade de barras será calculada dividindo a distância de eixo a eixo em uma direção pelo espaçamento s adotado. Indicando como exemplo o número de barras da armadura nega\va entre as lajes L1-‐L2: N = l eixo-‐eixo / s N = 600 / 15 = 40 barras


REAÇÕES DE APOIO Assim como no cálculo dos momentos fletores solicitantes e das flechas, no cálculo das reações da laje nas bordas, as lajes serão analisadas em função de serem armadas em uma ou em duas direções.

Para as lajes retangulares armadas em duas direções com carga uniformemente distribuída, a NBR 6118/03 (item 14.7.6.1), prescreve que as reações nos apoios sejam calculadas segundo triângulos ou trapézios, determinados por meio das charneiras plás\cas, ob\dos com o traçado em planta, a par\r dos vér\ces da laje, de retas inclinadas como: •  45° entre dois apoios de mesmo \po; •  60° a par\r do apoio considerado engaste perfeito, se o outro for

considerado simplesmente apoiado; •  90° a par\r do apoio, quando a borda vizinha for livre.

Definição das áreas de influência de carga para cálculo das reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas direções.

Cargas nas vigas de bordo de lajes retangulares (Método da NBR 6118)

Dividida em quatro áreas iguais Ω (área de influência) Todas as vigas receberão o mesmo carregamento Área de influência: Ω = lx . ly / 4 = lx2/4 Carga total na viga: Pv = Ω . p laje = lx2. p laje /4 Carga distribuída na viga: pv = Pv / lx = lx2. p laje /4 . Lx = 0,25 . lx . p laje Logo: pv = k . lx . p

Laje quadrada -‐ Simplesmente apoiada -‐ Carga uniformemente distribuída p

Bases para Cálculo

Reações de apoio

ì  Reações nas direções x e y nas vigas em bordas simplesmente apoiadas (qx, por exemplo, refere-‐se a uma viga perpendicular ao eixo x):

qx = kx . p. lx / 10 (1)

qy = ky . p. lx / 10 (2)

lx: menor lado da placa kx:, ky : coeficientes fornecidos pela tabela


Bases para Cálculo

Reações de apoio

ì  Reações nas direções x e y nas vigas em bordas engastadas:

q’x = k'x . p. lx / 10 (3)

q’y = k'y . p. lx / 10 (4)

lx: menor lado da placa k'x:, k'y : coeficientes fornecidos pela tabela


Reações das lajes nas vigas

As reações nas vigas de contorno, causadas pelas lajes, são calculadas por meio das equações abaixo, com os fatores kx , ky , k'x , k'y referentes a valores da tabela, apresentada mais acima:

qx = kx . p. lx / 10 (1)

qy = ky . p. lx / 10 (2)

q’x = k'x . p. lx / 10 (3)

q’y = k'y . p. lx / 10 (4)

Verificação de lajes ao cisalhamento

ì  Lajes (placas): comportamento em relação aos esforços cortantes diferenciado das vigas

ì  As lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência ao esforço cortante fazrndo com que seu efeito não seja crí\co, e geralmente o concreto é suficiente para resis�-‐lo

ì  Armaduras transversais só são necessárias em situações especiais ì  NBR 6118:

ì  Lajes sem armadura para força cortante ì  Lajes com armadura para força cortante

Verificação ao cisalhamento

ì  Lajes sem armadura para força cortante

ì  Item 19.4.1 da NBR 6118: Permite-‐se prescindir da armadura transaversal para resis\r aos esforços de tração causados pelo força cortante, desde que os requisitos de ancoragem estejam sa\sfeitos, se a força cortante solicitante de cálculo for menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento

VSd (força cortante solicitante de cálculo): VSd = 1,4 . VS VRd1 (força resistente de projeto): VRd1 = [τRd . k . (1,2 + 40 . ρ1) + σcp] . bw . d

Onde:

τRd = 0,25 fctd = 0,25 . fctk, inf/γc = 0,25 . 0,7 . fct,m/γc = 0,25 . 0,7 . 0,3 . fck2/3/1,4 k = 1,6 – d ≥ 1 ρ1= As1/bw . d ≤ 0,02 σcp = NSd/As ( NSd: força longitudinal na seção, causada pela protensão ou pelo carregamento) bw = largura


ì  Verificação da compressão diagonal do concreto

A verificação da compressão nas bielas de concreto em elementos sem armadura de cisalhamento é feita comparando a força cortanre solicitante de cálculo VSd com a resistência de cálculo VRd2 , expressa por:

VSd = 1,4 . VS VRd2 = 0,5 . αv1 . fcd . bw . 0,9 . d

Em que: αv1 = (0,7 – fck/200) ≤ 0,5 fcd = fck/γc

VSd deve ser menor que VRd2, para que não haja problema de compressão excessiva nas bielas de concreto.


ì  Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento

ì  A verificação da necessidade de u\lizar armadura de cisalhamento nas lajes será feita para a laje 3, que apresenta o maior valor para a reação (força cortante) de todas as lajes, no caso, junto à viga V5. Compara-‐se a força cortante de cálculo VSd com a força resistente de projeto ao cisalhamento VRd1 (se VSd ≤ VRd1, não é necessário armadura de cisalhamento)

ì  Para essa verificação são necessárias as seguintes informações, resultantes dos cálculos e detalhamento já efetuados: ì  Força cortente solicitante: Vs = 14,40 KN/m (equivalente ao maior q encontrado) ì  Toda a armadura inferior estende-‐se ao longo das lajes, chegando até ao apoio ì  Na laje L3, a armadura longitudinal inferior é composta por barras de φ10mmm

(0,8cm2) a cada 20 cm, resultando em 5 barras por metro.


ì  Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento

ì  O valor de VSd (força cortante solicitante de cálculo) é: VSd = 1,4 . VS = 1,4 . 14,40 = 20,16 KN

ì  O valor da força resistente de projeto VRd1 é expresso por: VRd1 = [τRd . k . (1,2 + 40 . ρ1) + σcp] . bw . d VRd1 = [276 . 1,52 . (1,2 + 40 . 0,005)] . 1,0 . 0,08 = 47,0 KN

Onde:

τRd = 0,25 fctd = 0,25 . fctk, inf/γc = 0,25 . 0,7 . fct,m/γc = 0,25 . 0,7 . 0,3 . fck2/3/1,4 τRd = 0,0525 . 202/3/1,4 = 0,0525 . 7,368/1,4 = 0,276 MPa = 276 KN/m2

k = 1,6 – d = 1,6 – 0,08 = 1,52 > 1 ρ1= As1/bw . d = 5 . 0,8 (5 barras de φ10mm com área de 0,8)/ 100 . 8 = 0,005 < 0,02 σcp = 0 (não há força longitudinal na seção)

Portanto, VSd = 20,16 KN < VRd1= 47,0 KN, e não há necessidade de armadura transversal de cisalhamento. Caso essa condição não fosse verificada, deveria ser colocada armadura, calculada como em vigas.


ì  Verificação da compressão diagonal do concreto A verificação da compressão nas bielas de concreto é feita comparando VSd com VRd2

VSd = 1,4 . VS = 1,4 . 14,40 = 20,16 KN

VRd2 = 0,5 . αv1 . fcd . bw . 0,9 . d VRd2 = 0,5 .0,5 . 14285 . 1,0 . 0,9 . 0,08 = 257,13 KN

Em que:

αv1 = (0,7 – fck/200) = (0,7 – 20/200) = 0,6 > 0,5 à αv1 = 0,5 fcd = fck/γc = 20000/1,4 = 14285 KN/m2

Como VSd é menor que VRd2, não há problema de compressão excessiva nas bielas de concreto.

Referências Bibliográficas

ì  Este material foi produzido tendo como base as três referências abaixo:

ì  Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. Roberto Chust Carvalho, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho. São Paulo: EdUFSCar, 2013.

ì  Apos\la FUNDAMENTOS DO CONCRETO E PROJETO DE EDIFÍCIOS. Libânio M. Pinheiro. São Carlos, maio de 2007.

ì  Estruturas de concreto armado. Fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação. João Carlos Clímaco. Brasília: Finatec, 2008.

ì  Concreto Armado eu te amo. Manoel Henrique Botelho. Osvaldemar Marche�. Vol 1. São Paulo: Blucher, 2010.

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