concreto 03

ECV 5228 ESTRUTURAS DE CONCRETO 1 ________________________________________________________________________

Exemplos completos de dimensionamento e detalhamento de vigas Sem. 2012/1

Exemplo 1 Dimensionar e detalhar a armadura da viga biapoiada de concreto armado que tem seo de dimenses 20 x 60 cm, vo livre de 620 cm, carga distribuda de 10 kN/m e uma carga concentrada de 48 kN aplicada no meio do vo. Sero adotados concreto C30 e ao CA 50. O cobrimento de 2,5 cm. A largura dos apoios de 20 cm

1. Vo de clculo

=+=+

=+=+

65660.3,0.2620.3,0.264020620

0

0

hLaL

L apo L = 640 cm

2. Esforos Solicitantes

Fora cortante Vk = (P + p.L)/2 = (48 + 10.6,4)/2 = 56 kN

Momento Fletor mximo Mk,mx = 56.3,2 10.3,22/2 = 128 kN.m

Figura 1 Diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor

320 320

640 cm

48 kN 10 kN/m

Mk= 128 kN.m

Vk= 24 kN Vk= 56 kN



3. Dimensionamento flexo

bw = 20 cm h = 60 cm d = 55 cm

MSd = f.Mk = 1,4.128 = 179,2 kN.m

fcd = fck/c = 30/1,4 = 21,43 MPa = 2,143 kN/cm2 x = 12,27 cm As = 8,24 cm2 As,adotada = 8,00 cm2 [4 16]

n1 = 3 y1 = 3,93 cm d = 4,50 cm defe = h d = 55,5 cm xefe = 11,94 cm xefe/d = 0,22 Domnio 2 Figura 2 Seo transversal da viga

MRd = 179,6 kN.m (+0,2%)

4. Dimensionamento fora cortante

Modelo II = 30.

= 1 fck/250 = 0,88

Fora Resistente compresso VRd2 = 0,54..fcd.bw.d.sen2.(cotg + cotg) = 494,4 kN

Fora cortante Solicitante VSd = f.Vk =1,4.56 = 78,4 kN < VRd2

Armadura mnima para o esforo cortante

( ) MPaff ckctm 897,2303,03,0 3/23/2 ===

001159,0500897,22,02,0

,==

=

ywk

ctm

w

swmnsw f

fsensb

A

mcms

Asw /31,210020001159.0 2==

20

60

4,5



Se VSd < 0,67.VRd2 Espaamento mximo: smx = 0,6.d = 0,6.56,07 = 33,64 cm > 30 cm s = 30 cm

Bitola mnima = 5 (CA-60) 5 c.30 As/s = 2.0,2/0,3 = 1,33 cm2/m < 2,31 cm2 6,3 c.30 As/s = 2.0,315/0,3 = 2,10 cm2/m s = 2.0,315/As/s = 2.0,315/2,31 = 0,27 m = 27 cm

Armadura transversal adotada 6,3 c.27 As/s = 2.0,315/0,27 = 2,33 cm2/m

Fora cortante resistida pela armadura mnima

Taxa de armadura efetiva

001167.02720315,02

=

=

=

sw

w

swsw

sensbA

Fora cortante resistente ( )( )

kNVV

fgfdbV

Rk

Rk

ckywdswwRk

11,133666,910,0732,18,434001167,056,020,0644

10,0cot644

min,

min,

3/290,min,

=

+=

+=

VSk = 56 kN < VRk,mn ento o estribo mnimo resolve toda a extenso do vo da viga.

5. Elementos para a distribuio longitudinal das barras

Comprimento necessrio para a decalagem no modelo II.

)cot(cot.5,0 ggdal = onde = 90 e = 30 .

5,48)90cot30(cot*5,55*5,0 == oo ggal cm

Figura 3 Decalagem do diagrama de momentos fletores

aL = 48 cm aL

Mk= 128

aL = 48 cm aL = 48 cm



Determinao dos comprimentos de ancoragem

Tenso de aderncia fbd = 1 . 2 . 3 . fctd Valor da resistncia de clculo trao: fctd = 0,7.0,3.fck2/3/1,4 = 0,15. fck2/3 = 0,15. 302/3 = 1,45 MPa Obtendo os valores de 1, 2, 3:

No caso de barras nervuradas: [1 = 2,25] para situaes de boa aderncia [2= 1,0] e m aderncia [2 = 0,7]

fck 20 25 30 35 40 45 50 fctd 1,106 1,284 1,450 1,607 1,757 1,900 2,038 fbd BOA 2,489 2,889 3,262 3,615 3,952 4,275 4,587 fbd M 1,743 2,022 2,284 2,531 2,767 2,993 3,211

Tabela Valores de fbd para em MPa para barras nervuradas em situao de boa e m aderncia e < 32 mm.

Logo, para barras positivas: 1 = 2,25, as barras CA-50 so de alta aderncia . 2 = 1, situao da armadura positiva na parte inferior da viga, boa aderncia. 3 = 1, dimetro da barra menos que 32 mm fbd = 1 . 2 . 3 . fctd fbd = 2,25 . 1 . 1. 1,45 = 3,263 MPa = 0,3263 kN/cm2

Comprimentos bsicos para a ancoragem reta:

Para as barras positivas: Lb = ( . fyd ) / 4.fbd Lb = (1,6. 43,48) / 4 . 0,3263 = 53,3 = 54 cm

Pode-se usar o valor de Lb,nec mas isso implica em obter a relao As,cal/As,efe, do dimensionamento flexo, a cada posio do inicio da ancoragem de cada barra. Neste exemplo adotamos o comprimento bsico de ancoragem o que a favor da segurana.



6. Distribuio longitudinal das barras

Dividindo o momento mximo em 4 partes iguais e determinando as distncias do momento fletor correspondente a cada barra at o eixo do apoio.

Figura 4 Seo e diviso do diagrama de momentos fletores Vk.mi p.mi2/2 - Mk = 0

p.mi2/2 Vk.mi + Mk = 0

mi = [Vk ( Vk2 2.p.Mki )1/2]/p

Distncias do eixo do apoio at o diagrama de momentos fletores: m1 = [56 (562 2.10.128)1/2]/10 = 3,2 m = 320 cm m2 = [56 (562 2.10.96)1/2]/10 = 2,11 m = 211 cm m3 = [56 (562 2.10.64)1/2]/10 = 1,29m = 129 cm m4 = [56 (562 2.10.32)1/2]/10 = 0,60 m = 60 cm m5 = [56 (562 2.10.0)1/2]/10 = 0,0 m

Distncia do eixo do apoio at o ponto de corte (extremidade) das barras

+ 101 Li

blii

am

Lamd

=

=

14716482112165448320

1d d1 = 147 cm

mi Vdir

Vk= 56 kN

10 kN/m

Mk= 128 kN.m

Mk= 32 kN.m

Mk

m1 = 320 cm

m2 = 211

m3 = 129

m4 = 60 64 kN.m

96 kN.m

Barra 1

Barra 3

Barra 2

Barra 4



=

=

6516481291075648211

2d d2 = 65 cm

=

=

4164860255648129

3d d3 = -4 cm Descartado, pois as barras 3 e 4 vo at o apoio.

Comprimento das barras interrompidas

L1 = 640 2. 147 = 346 cm L2 = 640 2.65 = 510 cm

Figura 5 - Detalhamento longitudinal dos deslocamentos do diagrama e barras

7. Ancoragem das barras prolongadas at o apoio

napoio = n/3 = 4/3 = 1,33 > 2 n = 2

Armadura calculada (necessria) nos apoios

yd

dL

yd

stcals f

Vda

fRA .

,==

48,4356.4,1

.

5,5548

,=calsA = 1,56 cm

2

As,efe = 4 cm2 (2 16)

As,cal/As,efe = 1,56/4 = 0,39 > 0,3 [conforme 9.4.2.5]

Mk= 128 kN.m

Mk= 32 kN.m

aL = 48 cm aL = 48 cm

aL = 48 cm

Barra 3

Barra 2

Barra 4

10 54

Barra 1

aL Lb

346

48 16 147

65

510

655

N 7 1 16 - 346

N 8 1 16 - 510

N 9 2 16 - 691

Barra 1

Barras 3 e 4 18

Barra 2



Comprimento necessrio de ancoragem reta:

Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

456,1

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 14,55 cm < 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 > 16 cm Atende.

Comprimento do trecho vertical das barras que ancoram no apoio

Lv = 8. + 3. = 11. = 11.1,6 = 17,6 18 cm

655

23 - N 10 c / 27

V 7 20 x 60

345

155

70

515

655

N 7 1 16 - 345

N 8 1 16 - 515

N 9 2 16 - 691

2. camada

18

N 6 2 6,3 - 655

DESENHO DE DETALHAMENTO DA VIGA

15

55

N 10

23

6

,3

- 15

4



Exemplo 02 Dimensionar e detalhar as armaduras da viga isosttica de 5 metros de vo livre. Sendo a largura de bw = 20 cm e os apoios de largura 20 cm. Usar a menor altura possvel para o momento fletor de 100 kN.m. Os materiais so concreto C30 e ao CA-50. O cobrimento adotado de 2,5 cm, ser usada brita 1 (Dmx = 19 mm) e o estribo de 5 mm.

Valores de clculo: Momento de clculo: f.Mk = 1,4.100 = 140 kN.m = 14000 kN.cm Concreto: fcd = fck/c = 30 / 1,4 = 21,43 MPa = 2,143 kN/cm2 Ao: fyd = fyk/s = 500/1,15 = 434,80 MPa = 43,48 kN/cm2

Altura mnima: dmn = [Md/0,32.bw.fcd]1/2 = 14000 / 0,32.20.2,143 = 31,95 cm

Adotando-se d = 32 cm obtm-se x = 1,25.d.[1-(1-Md/0,425.bw.d2.fcd)1/2] = 20,02 cm

Correspondente posio relativa da linha neutra de x/d = 20,02/32 = 0,626 Domnio 3.

A armadura correspondente: As=Md/fyd.(d-0,4.x) = 14000/43,48.(32-0,4.20,02) = 13,42 cm2

As opes so: 7 16 (7.2 = 14 cm2); 5 20 ( 5.3,15 = 15,75 cm2 ou 4 22 (15,20 cm2).

Neste caso a linha neutra correspondente a armadura adotada passa para o Domnio 4.

Ento uma nova altura til deve ser adotada.

Adotando-se d = 33 cm obtm-se x = 1,25.d.[1-(1-Md/0,425.bw.d.fcd)1/2] = 18,3 cm

Correspondente posio relativa da linha neutra de x/d = 18,3/33 = 0,555 Domnio 3.

A armadura correspondente: As=Md/fyd.(d-0,4.x) = 14000/43,48.(33-0,4.18,3) = 12,54 cm2

As opes so: 616 (6.2 = 12 cm2); 420 (4.3,15 = 12,6 cm2 ou 322+112,5 (12,65 cm2).

Adotando a opo de 6 16 a primeira camada pode alojar n1 barras, sendo eh = 1,2.Dmx =1,2.1,9 = 2,28 cm; cobrimento c = 2,5 cm e estribo t = 0,5 cm

n1 = [(bw-2c-2t)+eh]/[+eh] = [(20-5-1)+2,28]/[1,6+2,28] = 4,2 4 barras

A primeira camada (4 barras) fica a y1 = c + t + L/2 = 2,5 + 0,5 + 0,8 = 3,8 cm

A segunda camada, com ev = 2 cm, tem a altura: y2 = y1 + L + ev = 3,8 + 1,6 + 2 = 7,4 cm

O CG da armadura tem a altura d = (n1.y1 + n2.y2)/n = 4.3,8 + 2. 7,4 / 6 = 5 cm

A altura da viga ser h = d + d = 33 + 5 = 38 cm



Exemplo 02 Dimensionar e detalhar as armaduras da viga isosttica de 5 metros de vo livre. Sendo os apoios de largura 20 cm. Os materiais so concreto C30 e ao CA-50. O cobrimento adotado de 2,5 cm, o estribo de 5 mm de dimetro e ser usada brita 1 (Dmx = 19 mm). O dimensionamento resultou em h = 38 cm ; d = 33 cm e 6 barras de 16. A decalagem do diagrama aL = 29 cm. E o comprimento de ancoragem reta de 54 cm

M0 = 0 kN.m m1 = 0 mi aL - Lb = di mi-1 - aL 10 = di M1 = 16,67 kN.m m2 = 0,227 0,23 m 23 29 54 = -60 cm 0 29 16 = -45 cm M2 = 33,33 kN.m m3 = 0,477 0,48 m 48 29 54 = -35 cm 23 29 16 = -22 cm M3 = 50,0 kN.m m4 = 0,761 0,76m 76 29 54 = -7cm 48 29 16 = 3 cm M4 = 66,67 kN.m m5 = 1,09 m 109 29 54 = 26 cm 76 29 16 = 31 cm M5 = 83,34 kN.m m6 =1,54 m 154 29 54 = 71 cm 109 29 16 = 64 cm M6 = 100,0 kN.m m7 =2,60 m 260 29 54 = 177 cm 154 29 16 = 109 cm

Mk5 = 83,34 kN.m

76,92 kN

Mk1 = 16,67 kN.m Barra 1

Barra 2

Barra 3

Barra 4

Barra 5

Mk2 = 33,33 kN.m

Mk4 = 66,67 kN.m

Mk3 = 50 kN.m

m5

m3

m1

m2

m4

mi = [ 76,923 (76,9232 59,17.Mi)1/2]/29,586

500 20 20

p = 29,586 kN/m

29,586.m2/2 76,923.m+M = 0 m

M p = 29,586

10

aL

aL

m6 Barra 6 Mk6 = 100 kN.m



Valor de clculo da resistncia trao fctd=0,7.fctm/c = 0,15.fck2/3 = 0,15.302/3 =1,45 MPa

As barras do ao CA-50 so de alta aderncia e 1 = 2,25 Tabela 8.2 da norma NBR 6118.

A situao da barra na parte inferior da viga, portanto BOA ADERNCIA e 2 = 1 e o dimetro da barra menor que 32 assim 3 = 1.

A tenso de aderncia fbd = 1.2.3.fctd = 2,25.1.1.1,45 = 3,26 MPa

A ancoragem da barra Lb = .fyd / 4.fbd = (1,6.434,8) / (4.3,26) = 53,3 = 54 cm

A decalagem do diagrama no modelo I

ggVV

VdacSd

SdL cot)cot1.().(2. +

= com daL .5,0

A decalagem no modelo II

aL = 0,5.d.(cotg cotg)

No exemplo: aL = 0,5.33.(cotg30o cotg 90) = 0,866.d = 28,58 = 29 cm

Ou com as barras 5 e 6 iguais:

325

65 110

500 20 20

Barra 1 Barra 2

Barra 3

Barra 4

Barra 5

-7

29

aL

26

16

534

468

392

535

109 29

302 Barra 6

aL

16

64



7. Ancoragem das barras 1 e 2 prolongadas at o apoio

napoio = n/3 = 6/3 = 2 n = 2


yd

dL

yd

stcals f

Vda

fRA .

,==

48,4392,76.4,1

.

3329

,=calsA = 2,18 cm2

As,efe = 4 cm2 (2 16)




Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

418,2

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 20,33 cm < 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 < 20,33 cm No atende.

Adotando ento 3 barras ancorando no apoio

As,efe = 6 cm2 (3 16)


Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

618,2

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 13,55 cm < 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 < 16 cm Atende.


Lv = 8. + 3. = 11. = 11.1,6 = 17,6 18 cm



Detalhamento da armadura positiva da viga

1) Barras individuais

2) Armadura positiva com barras agrupadas (iguais)

350

105

65

500 20 20

N 1 3 16 - 571 Barras 1 e 2

N 2 2 16 - 350

535

535 18 18

Barras 3 e 4 N 3 1 16 - 535

Barras 5 e 6

500 20 20

N 1 3 16 - 571 Barras 1 e 2

N 2 1 16 - 535

N 3 - 1 16 - 390

N 4 1 16 - 300

65

7,5

110

535

390

300

535 18

18

Barra 6

Barra 5

Barras 3 e 4



Exemplo 03 Dimensionar e detalhar as armaduras da viga isosttica de 6,6 metros de vo livre e dois balanos de 1,5 m. Sendo os apoios de largura 20 cm. Os materiais so concreto C25 e ao CA-50. O cobrimento adotado de 2,5 cm, o estribo de 5 mm de dimetro e ser usada brita 1 (Dmx = 19 mm). A altura adotada para o vo h = 62 cm ; d = 54,6 cm e 6 barras de 16.No balano h = 38 cm, d = 32,75 cm e 4 barras de 12,5 mm. bw = 14 cm. Usando Modelo II com inclinao de 30o

M0 = 0 kN.m m0 = 0,40 m mi aL Lb = di mi-1-aL 10 = di M1 = 24,75 kN.m m1 = 0,66 m 66 47 61 = -42 cm 40 47 16 = -23 cm M2 = 49,50 kN.m m2 = 0,95 m 95 47 61 = -13 cm 66 47 16 = 3 cm M3 = 74,25 kN.m m3 = 1,28 m 128 47 61 = 20 cm 95 47 16 = 32 cm M4 = 99,00 kN.m m4 = 1,67 m 167 47 61 = 59 cm 128 47 16 = 65 cm M5 = 123,75 kN.m m5 = 2,18 m 218 47 61 = 110 cm 167 47 16 = 104 cm M6 = 148,50 kN.m m6 = 3,40 m 340 47 61 = 232 cm 218 47 16 = 155 cm

Mk5 = 123,75 kN.m

112,2 kN

Mk1 = 24,75 kN.m Barra 1

Barra 2

Barra 3

Barra 4

Barra 5

Mk2 = 49,5 kN.m

Mk4 = 99 kN.m

Mk3 = 74,25 kN.m

m5

m3

m1

m2

m4

mi = [ 112,2 (112,22 66.(Mi +42,42)1/2]/33

660 20 20

p = 33 kN/m

16,5.m2/2 112,2.m + (M+42,42) = 0 m

M p = 33

10

aL

aL

m6 Barra 6 Mk6 = 148,5 kN.m

42,42 kN.m

150 150



Clculo dos comprimentos de ancoragem

Valor de clculo da resistncia trao fctd=0,7.fctm/c = 0,15.fck2/3 = 0,15.252/3 =1,284 MPa

As barras do ao CA-50 so de alta aderncia e 1 = 2,25 Tabela 8.2 da norma NBR 6118.

A situao das barras positivas na parte inferior da viga, portanto BOA ADERNCIA e 2 = 1 e o dimetro da barra menor que 32 assim 3 = 1.


A ancoragem das barras positivas Lb = .fyd / 4.fbd = (1,6.434,8) / (4.2,89) = 60,2 = 61 cm

Para as barras negativas que se posicionam na parte superior da viga e esto em regio de M ADERNCIA 2 = 0,7 assim o comprimento bsico de ancoragem resulta em 43 % maior.

A ancoragem das barras negativas Lb = .fyd / 4.fbd = (1,25.434,8) / (4.2,023) = 0,2 = 67 cm

A decalagem no modelo II

aL = 0,5.d.(cotg cotg)

No exemplo:

Para o vo: d = 54,6 cm e o ngulo de inclinao da biela de 30o.

aL = 0,5.33.(cotg30o cotg 90) = 0,866.d = 47,28 = 47 cm

Para o balano: d = 32,75 cm e o ngulo de inclinao da biela de 30o.

aL = 0,5.33.(cotg30o cotg 90) = 0,866.d = 32,75 = 28,36 = 28 cm

Clculo do comprimento das barras positivas

680 2.155 = 370 680 2.104 = 472 680 2.59 = 562 680 2.20 = 640 680 2.2,5 = 675 680 2.2,5 = 675



Determinao das distncias para a distribuio da armadura negativa

Lado do balano: p = 33 kN/m , V = 52,8 kN e M = 42,42 kN.m

mi = (V (V2 2.p.(M-(i.M/n))1/2)/p

i (V (V2 2.p.(M-(i.M/n))1/2)/p i.M/n [kN.m] m [m] m [cm] 4 52,8 (52,82 2.33.(42,42-42,42)1/2/33 42,24 0 0 3 52,8 (52,82 2.33.(42,42-31,68)1/2/33 31,68 0,214 21 2 52,8 (52,82 2.33.(42,42-21,12)1/2/33 21,12 0,469 47 1 52,8 (52,82 2.33.(42,42-10,56)1/2/33 10,56 0,80 80 0 52,8 (52,82 2.33.(42,42-0)1/2/33 0 1,60 160

Lado do vo p = 33 kN/m , V = 112,2 kN e M = 42,42 kN.m

mi = (V (V2 2.p.(M-(i.M/n))1/2)/p

i (V (V2 2.p.(M-(i.M/n))1/2)/p i.M/n [kN.m]

m [m] m [cm]

4 112,2 (112,22 2.33.(42,42-42,42)1/2/33 42,24 0 0 3 112,2 (112,22 2.33.(42,42-31,68)1/2/33 31,68 0,095 10 2 112,2 (112,22 2.33.(42,42-21,12)1/2/33 21,12 0,194 20 1 112,2 (112,22 2.33.(42,42-10,56)1/2/33 10,56 0,295 30 0 112,2 (112,22 2.33.(42,42-0)1/2/33 0 0,40 40

148,5

49,5

95

20

59

115 116

232

110

42,24

24,75

125

95 105

155

124

65



49,5 66

40 30

95

128

167

20 10 21

80

218

47 42,24

24,75

10,56

148,5

49,5

95

20

59

115 116

232

110

42,24

24,75

125

95 105

155

124

65

aL + Lb = 95 10 =12,5 aL = 28



7. Ancoragem das barras 1 e 2 do vo prolongadas at o apoio

napoio = n/3 = 6/3 = 2 n = 2


yd

dL

yd

stcals f

Vda

fRA .

,==

48,432,112.4,1

.

6,5447

,=calsA = 3,11 cm2

As,efe = 4 cm2 (2 16)




Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

411,3

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 29 cm > 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 < 29 cm No atende.

Adotando ento 3 barras ancorando no apoio

As,efe = 6 cm2 (3 16)


Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

611,3

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 19,34 cm > 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 < 19,34 cm No Atende.

Nesse caso a adio de um grampo de bitola 8 acresce 1 cm2 na rea da armadura ancorada no apoio

Lb,nec = efes

cals

bd

yd

AA

ff

,

,

1 ..4.

=

711,3

.

263,38,434

.

46,1

.7,0 = 16,57 cm > 10 = 16 cm

Lapoio,disp = 20 - 2,5 = 17,5 > 16,57 cm Atende.


Lv = 8. + 3. = 11. = 11.1,6 = 17,6 18 cm



Detalhamento da armadura da viga

1) Barras individuais

N 10 2 16 - 755 Barras 1 e 2

N 9 1 16 - 695

N 8 - 1 16 - 562

N 1 2 12,5 - 315

59

7,5

155

695

562

370

69530 30

Barra 6

Barra 4

Barra 3

Barra 5

125 33

116

95

41

282 450

221 105

95

N 2 1 12,5 - 221

N 3 1 12,5 - 190

N 4 2 6,3 - 450 N 1 2 12,5 - 315 157

190

N 2 1 12,5 - 221

N 3 1 12,5 - 190 62

N 5 2 6,3 - 190

N 6 1 16 - 370

104 472

N 7 1 16 - 472

N 5 2 6,3 - 190

N 11 1 8 - 140 N1 1 8 - 140

concreto 03

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