concepções de modelagem matemática: contribuições teóricas

Educ. Mat. Pesqui., So Paulo, v. 10, n. 1, pp. 17-34, 2008

Concepes de modelagem matemtica:

contribuies tericas

TIAgO EMAnUEl KlbEr*

DIOnSIO bUrAK**

* Mestre em Educao UEPG PR. Professor do Departamento de Matemtica Unicentro PR. Doutorando do Programa em Educao Cientfica e Tecnolgica UFSC SC. E-mail: [email protected]

** Doutor em Educao Unicamp SP. Professor do Departamento de Matemtica Unicentro PR. Professor do Programa de Ps-graduao em Educao Mestrado UEPG PR. E-mail: [email protected]

resumoEste artigo tem por objetivo apresentar parte do resultado final de uma investigao realizada em um curso de especializao durante o ano de 2005. Enfoca as concepes de quatro autores que desenvolvem trabalhos com modelagem matemtica, sendo eles: Burak (1987, 1992, 1998 e 2004), Biembengut (1990 e 1999), Caldeira (2004 e 2005) e Barbosa (2001, 2003 e 2004). A partir disso, so apresentadas algumas interpretaes e apontamentos para a educao matemtica. O artigo trata, ainda, do desenvolvimento terico da Modelagem no mbito da educao matemtica.Palavras-chave: ensino-aprendizagem; educao matemtica; modelagem matemtica.

AbstractThis paper presents partial results of an investigation carried out in a specialization course during 2005. It focuses on the conceptions of four authors who develop studies about Mathematical Modeling: Burak (1987, 1992, 1998 and 2004), Biembengut (1990 and 1999), Caldeira (2004 and 2005) and Barbosa (2001, 2003 and 2004). Through them, some interpretations and notes are presented to Mathematics Education. This paper also approaches the theoretical development of Mathematical Modeling in the context of Mathematics Education.Keywords: Teaching-Learning; Mathematics Education; Mathematical Modeling.

Tiago Emanuel Klber e Dionsio Burak


Introduo

Sero apresentadas quatro concepes de modelagem matemti-ca, assumidas pelos seguintes autores: Burak, Biembengut, Caldeira e Barbosa. O objetivo explicitar a concepo de cada pesquisador acerca da modelagem, bem como analisar cada uma das proposies dos autores, buscando elucidar a concepo de ensino e de matemtica subjacentes a cada uma delas.

Esses pesquisadores foram escolhidos por fazerem sentido para ns, pois, nas leituras, nas investigaes que desenvolvemos desde 2004, temos nos aprofundado em questes levantadas por eles. Outros poderiam ser escolhidos, porm, consideramos que esses autores representam significa-tivamente a rea, pelo fato de estarem participando ativamente de eventos importantes, como a Conferncia Nacional sobre Modelagem e Educao Matemtica, CNMEM, e por suas dissertaes ou teses estarem ligadas ao tema em questo e voltadas para a educao matemtica.

A anlise procura considerar a relao estabelecida entre profes-sor e aluno, para a construo do conhecimento matemtico propiciada pelo trabalho com a modelagem, e busca indicativos que permitam essa construo em uma relao dialgica. Nessa perspectiva, concorda-se com Becker (1993, p. 10), que uma postura pedaggica centrada nas relaes: tende a desabsolutizar os plos da relao pedaggica, dialetizando-os [...]. O professor traz sua bagagem, o aluno tambm.

O trabalho intui clarear o conceito de cincia que cada concepo de modelagem possui e se elas vo ao encontro dos modelos epistemolgicos das cincias humanas. Ou seja, se elas consideram o sujeito como sujeito e no como simples objeto, no sentido da passividade, da receptividade ou, ainda, se o mais importante o mtodo ou rigor a ser seguido durante o processo da modelagem.

Na medida do possvel, dialoga-se com autores que falam sobre educao, epistemologia e outros temas, para que possamos fundamen-tar as nossas interpretaes concernentes s concepes de modelagem matemtica aqui estudadas.

Para a realizao do trabalho monogrfico que originou este artigo, optou-se pelo delineamento predominantemente qualitativo e bibliogrfi-co, seguindo as etapas: 1) escolha do tema; 2) levantamento bibliogrfico preliminar; 3) formulao do problema; 4) elaborao do plano provisrio

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de assunto; 5) busca de fontes; 6) leitura de material; 7) fichamento; 8) organizao lgica do assunto; 9) redao do texto, conforme sugerido por Gil (2002).

Ressalta-se que as etapas da investigao no foram seguidas linearmente, uma vez que o prprio problema de pesquisa j havia sido formulado anteriormente, em decorrncia de investigaes preliminares (Klber e Burak, 2005). Assim, foram consultados livros, dissertaes, teses, artigos e outros materiais bibliogrficos que forneceram o embasa-mento necessrio para as descries e depreenses evidenciadas.

Na seqncia, sero descritas e interpretadas as concepes de modelagem, subdividas pela autoria e, ao final, apresentadas as conside-raes gerais sobre o artigo.

Apresentando e analisando a concepo de modelagem de Burak

Em se tratando das concepes, Burak1 (1992, p. 62), em sua tese, entende a modelagem matemtica como um conjunto de procedimentos cujo objetivo construir um paralelo para tentar explicar, matematica-mente, os fenmenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predies e a tomar decises.

Durante a fase do mestrado, Burak (1987, p. 37) prope o trabalho em termos de construo de modelo, inferindo que as variveis devem ser relacionadas para melhor exprimir o problema a ser estudado, a construo do modelo. Considera-se que essa prioridade da construo de modelos deu-se em virtude dos referenciais tericos utilizados na poca para a modelagem. Esses referenciais eram quase em sua totalidade pro-venientes da matemtica aplicada, que trabalhava com a construo de modelos. A constituio de uma modelagem para o ensino de matemtica ainda estava incipiente e por fazer-se.

1 Prof. Dr. Dionsio Burak, professor titular na Universidade Estadual do Centro-Oeste, Unicentro, PR, realizou a primeira dissertao de mestrado na rea de educao mate-mtica sobre modelagem matemtica na Universidade Estadual de So Paulo, Unesp, Rio Claro, 1987, e tese de doutorado na rea de Educao, tambm sobre modelagem matemtica, no ano de 1992, Universidade Estadual de Campinas, Unicamp, SP. Disponvel em http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/index.jsp, consultado em 19/03/2007.



Decorrente da maneira pela qual Burak concebia a modelagem, compreende-se que, em sua dissertao de mestrado, primeiro trabalho com modelagem matemtica no ano de 1987, ele conservava idias fixas, como a obrigatoriedade da construo de modelos e as etapas propostas nos mesmos moldes da cincia moderna, de cunho positivista, que priorizava o mtodo em relao aos objetos a serem estudados (Rius, 1989). Portanto, as atividades de modelagem eram pr-definidas pelo pesquisador.

Assim, a modelagem matemtica era apenas uma transposio da modelagem utilizada por pesquisadores nas cincias naturais, a qual tinha poucos vnculos com as cincias humanas.

Um mrito do trabalho de Burak era a preocupao em considerar a Modelagem como um conjunto de procedimentos que no fosse apenas tcnico, mas que ocorresse de uma forma mais aberta e contextualizada, dando significado aos contedos matemticos.

Entendemos, pois, que essa construo terica ainda no era a mais apropriada para a educao matemtica, que j procurava romper com os moldes positivistas (Kilpatrick, 1996), pois as cincias humanas buscam construir seu mtodo a partir do objeto focado, ou seja, diferentemente do caminho proposto pelas cincias naturais, na qual o mtodo determina como trabalhar com os objetos.

Na tese, Burak (1992) acrescenta dois princpios bsicos em sua concepo de modelagem matemtica: 1) o interesse do grupo; e 2) a ob-teno de informaes e dados do ambiente, onde se encontra o interesse do grupo. Essa fase j possui maiores influncias das cincias humanas e do prprio mtodo etnogrfico, que se distancia da epistemologia da matemtica aplicada. Procura levar em conta os sujeitos, o ambiente social, cultural e outras variveis.

Provavelmente, em decorrncia da continuidade da pesquisa com modelagem matemtica, em doutoramento na rea de Educao na Universidade Estadual de Campinas, Unicamp, Burak desenvolveu uma outra perspectiva de seus encaminhamentos. Frisa sempre o interesse dos participantes da atividade e o envolvimento dos grupos em busca de dados do am-biente e argumenta que esses procedimentos so capazes de dar significado, bem como desenvolver a autonomia dos participantes, de forma a torn-los agentes do processo de construo do conhecimento matemtico.

Em artigos distintos, Burak (1998 e 2004) descreve a modelagem em cinco etapas orientadas pelo interesse do aluno ou do grupo e pelas



necessidades do nvel de ensino2 trabalhado, sendo elas: 1) escolha do tema; 2) pesquisa exploratria; 3) levantamento dos problemas; 4) resoluo dos problemas e o desenvolvimento do contedo matemtico no contexto do tema; e 5) anlise crtica das solues.

Escolha do tema o momento em que o professor apresenta aos alunos alguns temas que possam gerar interesse ou os prprios alunos sugerem um tema. Esse tema pode ser dos mais variados, uma vez que no necessita ter nenhuma ligao imediata com a matemtica ou com contedos matemticos, e sim com o que os alunos querem pesquisar. J nessa fase fundamental que o professor assuma a postura de mediador, pois dever dar o melhor encaminhamento para que a opo dos alunos seja respeitada.

Pesquisa exploratria escolhido o tema a ser pesquisado, enca-minham-se os alunos para a procura de materiais e subsdios tericos dos mais diversos, os quais contenham informaes e noes prvias sobre o que se quer desenvolver/pesquisar. A pesquisa pode ser bibliogrfica ou contemplar um trabalho de campo, fonte rica de informaes e estmulo para a execuo da proposta.

Levantamento dos problemas de posse dos materiais e da pesquisa desenvolvida, incentiva-se os alunos a conjecturarem sobre tudo que pode ter relao com a matemtica, elaborando problemas simples ou com-plexos que permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou aprender contedos matemticos, isso com a ajuda do professor, que no se isenta do processo, mas se torna o mediador das atividades.

Resoluo dos problemas e o desenvolvimento do contedo matemtico no contexto do tema nessa etapa, busca-se responder os problemas levantados com o auxlio do contedo matemtico, que pode ser abordado de uma maneira extremamente acessvel, para, posterior-mente, ser sistematizado, fazendo um caminho inverso do usual, pois se ensina o contedo para responder s necessidades surgidas na pesquisa e no levantamento dos problemas concomitantemente.

Anlise crtica das solues etapa marcada pela criticidade, no apenas em relao matemtica, mas tambm a outros aspectos, como a viabilidade e a adequabilidade das solues apresentadas, que, muitas vezes, so lgica e matematicamente coerentes, porm inviveis para a

2 Educao Bsica.



situao em estudo. a etapa em que se reflete acerca dos resultados obti-dos no processo e como esses podem ensejar a melhoria das decises e aes, contribuindo, dessa maneira, para a formao de cidados participativos, que auxiliem na transformao da comunidade em que participam.

Dessa nova forma de encaminhamentos, dada por Burak, inter-pretamos que ocorreu um avano terico no mbito epistemolgico da concepo desse autor, que se direciona dos moldes usuais para um ensino por construo e, por conseguinte, persegue mais de perto um ensino contextualizado, fruto de influncias recebidas das cincias humanas, como ele mesmo afirma, valendo-se das teorias de Piaget, Vygotsky e David Ausubel.

No artigo denominado Formao dos pensamentos algbricos e geomtricos: uma experincia com modelagem matemtica, Burak se desvincula da necessidade da formulao do modelo matemtico exigida no momento inicial da sua concepo. Entretanto, no exclui a possibilidade dessa construo de modelos, que pode aparecer com o desenvolvimento do trabalho ou ainda para propsitos definidos na resoluo ou explicao de uma dada situao, conduzindo sua concepo por pressupostos cons-trutivistas, sociointeracionistas e de aprendizagem significativa (Burak, 1998, p. 32).

E, nas etapas propostas, o trabalho sempre se desenvolve em plena interao entre professor-aluno-ambiente, sem a predominncia de um ou de outro, valendo-se, porm, da interao entre as trs dimenses, porque o aluno deve buscar, o professor deve mediar e o ambiente a fonte de toda a pesquisa. Isso reafirma as influncias dos pressupostos da etnogra-fia, a qual procura compreender o ambiente e os sujeitos para interpretar o material de investigao coletado e, posteriormente, trabalhar com as variveis que surgiram no processo.

ambiente

professor aluno



Tambm desse artigo podemos concluir que os problemas/situaes levantados como conseqncia da coleta de dados que orientam quais so e como sero tratados os contedos ministrados, sem a necessidade prvia de se ensinar contedos matemticos.

Subentende-se, portanto, que fundamental, a partir dos proble-mas/situaes levantados, que se ministrem alguns contedos matemticos com vistas resoluo ou resolues daqueles. Esses contedos devem ser ministrados sob a forma de unidades de contedo, no simplesmente o con-tedo necessrio resoluo, principalmente no nvel da educao bsica, para o qual o autor parece se voltar predominantemente, mas ensinar todo um contedo, tais como os de funo, matrizes, logaritmos, entre outros, para que no se torne pontual o que se est ensinando.

Por exemplo, se uma situao exige um contedo de funes, o professor ensina uma nica funo ou ainda um nico tipo de matriz, e assim por diante.

Apresentando e analisando a concepo de modelagem de Biembengut

Biembengut3 (1999, p. 20), em seu livro Modelagem Matemtica & Implicaes no Ensino-Aprendizagem de Matemtica, diz que a modelagem o processo que envolve a obteno de um modelo. E nesse processo a modelagem uma forma de interligar matemtica e realidade, que, na viso da autora, so disjuntas.

Consideramos que, se a modelagem na educao matemtica possuir a obrigatoriedade da obteno de um modelo, perde-se muito, principal-mente em relao ao desenvolvimento do contedo matemtico. Isso porque os alunos vo precisar dominar de antemo um ferramental matemtico e, acreditamos que a modelagem deve favorecer a aquisio desse ferramental e no apenas a sua aplicao. Por isso, a modelagem, como aqui apresentada, um mtodo externo que adentra no ensino e na aprendizagem.

3 Prof. Dr. Maria Salett Biembengut, da Universidade Regional de Blumenau, FURB, e do Centro Universitrio Diocesano do Sul do Paran, UNICS. Possui mestrado em Educao Matemtica pela Unesp de Rio Claro, SP, em 1990. Doutorado em Engenharia de Produo e Sistemas pela Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, SC, em 1997, e ps-doutorado em Metodologia de Ensino e Pesquisa pela Universidade de So Paulo, USP, em 2003. Disponvel em http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/index.jsp. Consultado em 19/03/2007.



Assim, essa concepo se aproximaria muito daquela proposta de incio por Burak, muito provavelmente pelas influncias recebidas no que concerne orientao do professor Rodney Carlos Bassanezi.

Para Biembengut, a modelagem segue alguns procedimentos (etapas), subdivididas em seis subetapas, sendo elas: 1) interao reco-nhecimento da situao-problema e familiarizao com o assunto a ser modelado (pesquisa); 2) matematizao formulao (hiptese) e resoluo do problema em termos matemticos; 3) Modelo matemtico interpretao da soluo e validao do modelo (uso).

Interao quando a situao a ser estudada j est delineada, desenvolve-se uma pesquisa, de modo indireto (livros, revistas, entre outros) e/ou de modo direto (campo, dados empricos, etc.); vale frisar que o reconhecimento da situao-problema e a familiarizao com o assunto so subetapas que no obedecem a uma ordem, antes, se inter-relacionam.

Matematizao etapa complexa e desafiante, pois nessa fase que se faz a traduo da situao-problema para a linguagem mate-mtica (formulao do problema), a partir da hiptese de que fundamental no processo, pois permite identificar constantes envolvidas, generalizar e selecionar variveis para descrever as relaes em termos matemticos. Elaborado o problema matemtico, passa-se sua anlise com o ferra-mental matemtico disponvel, sempre buscando aproximaes, que seria a resoluo do problema em termos matemticos.

Modelo matemtico para que se possa ter o modelo concludo, faz-se pertinente verificar o nvel de aproximao que este tem da situa-o-problema representada, com os dados obtidos da realidade atravs da interpretao da soluo e validao do modelo.

Vemos nessa proposio que a autora est vinculada aos pressu-postos de matematizao da matemtica aplicada. Para ns, isso tem implicaes contrrias s tendncias em educao matemtica, as quais procuram se livrar das influncias positivistas da matemtica aplicada e configurar a educao matemtica a partir das cincias sociais (Kilpatrick, 1996).

Para o ensino da matemtica, Biembengut (1999, p. 36) explicita que a modelagem pode ser um caminho para despertar no aluno o in-teresse por tpicos matemticos que ainda desconhece, ao mesmo tempo que aprende a arte de modelar, matematicamente.



Essa autora tambm se utiliza do termo modelao matemtica para falar do processo de modelagem em cursos regulares de qualquer nvel (desde os nveis iniciais at a ps-graduao). Porm, acrescenta que so necessrias algumas mudanas, sem perder a essncia da modelagem, ficando da seguinte maneira: justificao do processo, escolha do tema, desenvolvimento do processo e avaliao.

Essa essncia da modelagem, como j esclarecido anteriormente, advinda das cincias naturais (matemtica aplicada), nas quais os pes-quisadores tm o objetivo de modelar situaes empricas que so sempre aproximativas para explicar fenmenos mensurveis. No que isso seja ruim, entretanto, as finalidades da modelagem na educao matemtica e da modelagem na matemtica aplicada devem ser esclarecidas.

A modelagem na escola no deve ter os mesmos parmetros da modelagem experimental; nesta, os pesquisadores possuem um grande ferramental matemtico para a resoluo dos mais diferentes problemas. Os problemas que surgem na escola nem sempre ensejam problemas que possam ser modelados com a mesma intensidade das cincias naturais ou modelados matematicamente no sentido literal, muitas vezes, os primei-ros problemas requerem interpretaes bem mais simples, contudo, no menos significativas, pois essas podem conferir um outro significado e ordem aos contedos programticos do currculo.

H que se ressaltar, que Biembengut afirma que o processo no deve ser rgido e com certeza sua postura j constitui uma mudana em relao ao ensino tradicional, no qual o professor o centro do processo e o aluno apenas passivo ou reativo. Mas, no vis assumido pela autora, no qual o professor j sabe onde tem de chegar, no se geram muitos desafios, nem para ele, nem para os alunos, j que o docente sabe de an-temo quais sero os contedos matemticos a serem ministrados.

Tambm os nveis de ensino devem ser levados em conta, olhando para o alcance que a proposta pode ter, uma vez que ela parece se voltar predominantemente para o ensino superior, no qual o grau de desenvol-vimento dos alunos diferente dos alunos da educao bsica. No ensino superior, em tese, eles teriam maior facilidade de desenvolver modelos matemticos na linha proposta por Biembengut.



Apresentando e analisando a concepo de modelagem de Caldeira

Caldeira4 compreende a modelagem pensando-a como advinda de projetos, sem a preocupao de reproduzir os contedos colocados no currculo, mas sem perder os conceitos universais da matemtica. Ele acredita na eficcia da modelagem enquanto uma concepo de educao matemtica que pode oferecer aos professores e alunos um sistema de aprendizagem como uma nova forma de entendimento das questes edu-cacionais da Matemtica (Caldeira, 2005, p. 3, grifos do autor).

Para o mbito educacional, a viso da modelagem que o autor discute a de que ela pode ser um forte instrumento de crtica que oportuniza a clareza da importncia da matemtica na vida das pessoas, porque as aplicaes, por meio da modelagem, do luz aos contedos matemticos, conferem-lhes sentido.

A modelagem matemtica, concebida como um sistema de aprendi-zagem, questiona a forma linear da maioria dos currculos, no que concerne apresentao dos contedos. Possibilita condies para que professores e alunos questionem e entendam a educao, reconhecendo a realidade como um processo dinmico, oportunizando, assim, a ruptura com essa forma de conceber o currculo escolar.

Essas afirmaes de Caldeira evidenciam o avano nas discusses no que concerne modelagem. Destaca pontos novos, que ainda preci-sam ser mais estudados e, quem sabe, expostos para o debate em uma comunidade cientfica que se preocupe com as questes mais tericas da modelagem. Um exemplo considerar a modelagem como um sistema de ensino e de aprendizagem que gera uma metodologia.

Para Caldeira (ibid., p. 4), trata-se de fazer da modelagem mate-mtica um instrumento capaz de educar algum que no se deixe enga-nar. entendida como uma concepo de ensino e aprendizagem e no como um mtodo, na perspectiva da cincia moderna. Pois, segundo ele, a modelagem rompe com o paradigma cientfico, que tem como represen-

4 Prof. Dr. Ademir Donizeti Caldeira, colaborador da Universidade de Uberaba, pro-fessor adjunto da Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, e colaborador da Universidade Federal do Paran, UFPR. Possui mestrado em Educao Matemtica pela Universidade Estadual Paulista, Unesp, em 1992. Doutor em Educao pela Unicamp, no ano de 1998. Disponvel em http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/index.jsp, consultado em 19/03/2007.



tantes diretos Bacon, Newton e Descartes. Isso em mbito epistemolgico, haja vista que, na concepo pedaggica embasada na epistemologia de Bacon, Newton e Descartes, o conceito de conhecimento reducionista. Esse conhecimento s pode ser construdo se dividido em partes para, ao final, recompor o todo (Santos, 2004). Tal afirmao relevante, pois se a modelagem matemtica tem o seu incio justamente nesse mbito epistemolgico e agora procura se distanciar, o que est ocorrendo? Talvez seja o que Barbosa (2004) reivindica, que chegou a hora de encontrarmos um espao prprio da modelagem para a educao matemtica.

Isso porque a concepo da cincia moderna, transposta para a escola, fragmenta o currculo. Os alunos aprendem em partes e, depois, tm a difcil tarefa de recompor o todo, o que nem sempre conseguem. Segundo Caldeira (2005), isso no ocorre com a modelagem matemtica, justamente porque os conhecimentos no se apresentam fragmentados, mas sim interconectados e contnuos e tambm porque a modelagem, no contexto educacional, sempre um vir-a-ser e contextualizada.

Pelo exposto, Caldeira enfatiza que a modelagem mais que um mtodo ou metodologia que serviria apenas para a reproduo do status quo. Ela geraria uma metodologia dinmica e investigativa que dirigida pela criticidade, pela dvida, fundamentando, dessa forma, a concepo de modelagem matemtica. E mais, diz que, partindo de um problema da realidade, os alunos chegam a respostas e no a uma nica resposta, rom-pendo de maneira suave com o currculo tradicional.

Depreende-se, pelo escrito, que o autor apresenta restries con-ceituao de modelagem como um mtodo de ensino e de aprendizagem entendido em sentido cartesiano, afirmando que ela muito mais, se constituindo, na verdade, em um sistema de aprendizagem. Essa postura traz grandes implicaes para esta prtica5 que tem uma histria cientfica relativamente curta, mas que j se encaminha para grandes debates em seus pressupostos tericos, o que se percebe em seus eventos e por tantos pesquisadores na rea.

A partir dessas descries, pode-se concluir a no aceitabilidade dos atuais moldes de reproduo do currculo escolar, como o prprio autor

5 Prtica cientfica no sentido educacional, ou seja, desenvolvida no mbito da escola com vistas ao processo de ensino e de aprendizagem e com teorizao para esse campo.



expe em seu artigo. Portanto, essa concepo de modelagem pode ser considerada adequada para a busca de um ensino de matemtica com significado para quem ensina e para quem aprende.

Consideramos que essa forma de conceber a modelagem mantm estreita relao com o que Freire (2004) diz: no h um educador do educando ou um educando do educador, e sim h o educador-educando e o educando-educador. Ambos so sujeitos do processo de ensino-apren-dizagem. Ressaltamos, porm, que se a modelagem for encarada como uma concepo de ensino, ter-se- que aprofundar tais discusses, como, por exemplo, no que refere s bases epistemolgicas para cada forma de conceber a modelagem. Entretanto, destacamos que tal discusso foge ao escopo deste trabalho.

Cria-se, com a proposta de Caldeira, uma abrangncia maior do que o simples ensino de contedos de matemtica. Incitam-se decises concernentes participao dos alunos e professores como cidados e agentes de mudana da comunidade em que esto inseridos. E ainda, contribuies tericas para a prpria educao matemtica.

Essa forma de conceber a modelagem coerente com os pressupostos tericos da construo do conhecimento em bases epistemolgicas das cin-cias humanas, conforme clarificado acima. Uma vez que oportuniza dilogo entre os sujeitos e o ambiente que os circunda, marcado pela criticidade. A viso de Caldeira, em linhas gerais, vai ao encontro da viso de Barbosa, que ser discutida a seguir, e a de Burak, j abordada anteriormente.

Apresentando e analisando a concepo de modelagem de Barbosa

Barbosa6 (2001) concebe a modelagem matemtica em termos mais especficos, entendendo-a como uma oportunidade para os alunos indagarem diferentes situaes por intermdio da matemtica, sem pro-cedimentos fixados previamente.

6 Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa, do Departamento de Cincias Exatas da Universidade Estadual de Feira de Santana, UEFS, coordenador o Ncleo de Pesquisas em modelagem matemtica, Nupemm, e atuante no Programa de Ps-Graduao em Ensino. Possui doutorado em Educao Matemtica pela Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Unesp, Rio Claro, SP, no ano de 2001. Disponvel em http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/index.jsp, consultado em 19/03/2007.



Portanto, os conceitos e idias matemticas se encaminham de acordo com o desenvolvimento das atividades, dando um carter aberto para essa prtica. Por conseguinte, no exige a criao de um modelo matemtico, principalmente para os alunos de nvel fundamental e m-dio, que nem sempre tm conhecimento matemtico suficiente para tal atividade.

Consideramos essa concepo de modelagem apropriada para a educao matemtica, pois, da forma como apresentada, no se fecha nem em contedos programticos, nem no objetivo especfico da cons-truo de modelos. Permite, pois, romper com a linearidade do currculo que, segundo Machado (1995), um dos maiores problemas no que diz respeito ao ensino e aprendizagem da matemtica.

Nesse sentido, interpretamos que, quando os contedos a serem ensinados so definidos de antemo, o professor acaba por impedir a par-ticipao efetiva do aluno, que, nesse caso, apenas ir se condicionar com a proposta do professor. E, caso o objetivo do professor seja a construo de um modelo, pode ser que esse objetivo no atenda aos interesses e aos caminhos escolhidos pelo aluno.

O autor assume que a modelagem um ambiente de aprendiza-gem no qual os alunos so convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemtica, situaes oriundas de outras reas da realidade (Barbosa, 2001, p. 6). O ambiente concebido como um convite feito aos alunos, o que pode ocasionar que eles no se envolvam nas atividades. Sendo assim, os interesses dos educandos devem ir ao encontro da proposta colocada pelo professor.

Consideramos que, nessa concepo, se refora a idia de Freire (2004) acerca da autonomia que os educandos tm ante determinadas situaes, como as propiciadas pela modelagem matemtica.

Esse entendimento sobre modelagem pautado na indagao, que no uma simples explicitao do problema, mas uma atitude que acom-panha todo o processo de resoluo. A indagao conduz investigao, sendo essa a busca, seleo, organizao e manipulao de informaes (ibid., p. 7). Representa, nessa perspectiva, a dinamicidade do processo, podendo valer-se de procedimentos informais e da prpria intuio dos envolvidos. Ento, a indagao e investigao so tidas como indisso-civeis, pois uma s ocorre na mesma medida que a outra (ibid.).



Neste ponto, existe uma abertura epistemolgica em relao modelagem. Uma epistemologia prpria das cincias humanas que leva em considerao valores, subjetividade, intersubjetividade, comunicao, enfim, outros fatores para alm de contedos e mtodos fechados.

Oportuniza que professor, aluno e ambiente interajam, construindo conhecimentos em conjunto, no havendo imposio da mera transmisso, mas sim dilogo e convite. claro que isso ocorre quando h convergncia dos interesses dos alunos ante a proposta do professor.

Segundo Barbosa (2001, 2003 e 2004), essa maneira de conceber a modelagem se orienta prioritariamente por situaes da realidade e no por situaes fictcias (semi-realidades). Porque estas servem quase sempre para atender aos propsitos/proposies do ensino da matemtica pela matemtica, porm, no so descartadas, uma vez que podem, at certo ponto, envolver os alunos em ricas discusses, inclusive no matemticas, como questes de ordem econmica e poltica.

Essa concepo de convite aos alunos, em nosso entender, mostra respeito aos seus interesses e, caso eles aceitem, proporcionar-lhes- a oportunidade, em conjunto com o professor, de aprenderem a matem-tica escolar de acordo com as suas possibilidades cognitivas, biolgicas, culturais, sociais e outras. Essa viso do autor parece ser consoante com a ltima viso proposta por Burak, quando o interesse dos alunos que orienta o trabalho.

Consideraes finais

Apresentamos neste artigo quatro concepes de modelagem matemtica voltadas para o mbito educacional e, com base nelas, foram elaboradas interpretaes, com vistas elucidao das concepes de en-sino e de matemtica subjacentes a cada uma das propostas. O quadro a seguir sintetiza as interpretaes.

Este artigo possibilitou uma viso geral sobre as concepes de modelagem que fazem parte de nossa trajetria de pesquisa. Permitiu uma maior abertura para discusses tericas em relao a essa tendncia em educao matemtica.

7 O material escolhido para a anlise dos autores estudados aquele comumente citado em diferentes produes acadmicas: artigos, dissertaes e teses. Assim, as interpre-taes aqui apresentadas so decorrentes do contedo desse material.



Autores Concepo de Modelagem (1)Barbosa Modelagem um ambiente de aprendizagem no qual os alunos

so convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemtica, situaes oriundas de outras reas da realidade.

Biembengut processo que envolve a obteno de um modelo.Burak conjunto de procedimentos cujo objetivo construir um paralelo para

tentar explicar, matematicamente, os fenmenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predies e a tomar decises.

Caldeira Concepo de Educao Matemtica, constituindo-se em um sistema de aprendizagem.

Autores Embasamento terico em relao ao ensino e aprendizagem da Matemtica (2)

Barbosa Educao Matemtica Crtica.Biembengut No explicita a sua compreenso em relao s teorias de ensino e

de aprendizagem.Burak Orientao cognitivista: construtivista, aprendizagem significativa e

sociointeracionista. Caldeira Educao Matemtica Crtica.Autores relao entre (1) e (2)Barbosa A adoo da teoria possibilita deslocar o foco de permanncia da

viso matemtica para uma viso dialgica em relao ao ensino e aprendizagem.

Biembengut A no adoo de uma teoria tende a permanecer como foco principal da matemtica e suas estruturas.

Burak A adoo da teoria possibilita deslocar o foco de permanncia da viso matemtica para uma viso dialgica em relao ao ensino e aprendizagem.

Caldeira A adoo da teoria possibilita deslocar o foco de permanncia da viso matemtica para uma viso dialgica em relao ao ensino e aprendizagem.

Autores Encaminhamentos do trabalho prtico com a modelagemBarbosa No sugere etapas o convite feito pelo professor aos alunos, para

que estes aceitem ou no participar das atividades. O encaminhamento inicial feito pelo professor e o desenvolvimento parece ocorrer em uma perspectiva antropolgica. Isto , em virtude das necessidades oriundas das prprias atividades.

Biembengut Sugere etapas de acordo com o processo da modelagem, que possui como objetivo a obteno de modelo. As etapas seguem os modelos usuais da modelagem, utilizados na matemtica aplicada.

Burak Sugere etapas que inicialmente estavam fundamentadas na orientao da matemtica aplicada. Posteriormente, as etapas foram reformuladas em decorrncia de dois princpios: 1) o interesse do grupo; e 2) a obteno de dados do ambiente em que se localiza o interesse do grupo (influncias antropolgicas). Essa mudana se fez no mbito da concepo de ensino, de aprendizagem, de educao e da prpria matemtica.

Caldeira No sugere etapas como a modelagem considerada um sistema, ela pode assumir diferentes encaminhamentos de acordo com as ne-cessidades para o desenvolvimento do trabalho. A posio do autor tambm parece desenvolver-se em uma perspectiva antropolgica.



Temos a clareza de que as interpretaes explicitadas neste trabalho devem ser aprofundadas, entendendo-se que podem contribuir para a formao de uma massa crtica acerca de questes tericas e metodolgi-cas envolvidas na modelagem, com vistas a superar as formas usuais de ensino de matemtica.

Outro aspecto ressaltado neste artigo refere-se aplicao da mo-delagem nos nveis de ensino: fundamental, mdio e superior, mbitos em que foram propostas as concepes apresentadas, objetivando a inibio de comparaes equivocadas em relao s concepes dos autores, acerca da viso de matemtica, de ensino e de cincia, justamente por se tratarem de alunos diferentes em diferentes condies.

Como concluso, afirmamos que existem diferentes formas de con-ceber a modelagem pelos autores destacados, aspectos que podem e devem ser aprofundados por pesquisadores e educadores em modelagem. O fato de as concepes de Burak, Barbosa e Caldeira estarem embasadas explici-tamente em teorias de ensino e aprendizagem, em vises antropolgicas e sociais, resulta em implicaes para a modelagem matemtica no mbito do ensino e da aprendizagem da matemtica. Por essas razes, enfatizamos a importncia e a necessidade de aprofundar investigaes que tratem dos fundamentos e teorias que dem um lcus prprio modelagem no mbito da educao matemtica na perspectiva das cincias humanas e sociais.

Autores Abordagem dos contedos matemticosBarbosa Os problemas que determinam os contedos a serem estudados.Biembengut Os problemas so abordados de acordo com os contedos

programticos.Burak Os problemas que determinam os contedos a serem estudados.Caldeira Os problemas que determinam os contedos a serem estudados.Autores Opo por nveis de ensinoBarbosa No faz explicitamente. A leitura dos trabalhos enseja o trabalho no

ensino fundamental e mdio e a formao de professores.Biembengut Faz explicitamente. A leitura das produes enseja, inicialmente, o

trabalho no ensino fundamental e mdio e a formao de professores. Porm, como permanece a caracterstica da construo de modelos, essa concepo de modelagem , em nosso entendimento, mais apro-priada ao ensino superior.

Burak Faz explicitamente. A leitura permite afirmar que o trabalho priorita-riamente direcionado educao bsica e formao de professores.

Caldeira No faz explicitamente. Entretanto, as leituras permitem afirmar que o trabalho se desenvolve no mbito da educao bsica: educao infantil, ensino fundamental e mdio; e da formao de professores.



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Recebido em out./2007; aprovado em mar./2008

concepções de modelagem matemática: contribuições teóricas

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