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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Gestão Financeira e Orçamentária
Conceitos Básicos de Juros
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Porcentagem e cálculo de taxa
(per + cento + agem) corresponde a uma fração de cem (cento) de qualquer coisa mensurável. Exemplo: “dez por cento” = 10 % = 10/100 ou seja, 0,1 Logo, “cem por cento” = 100% = 100/100 = 1
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Porcentagem e cálculo de taxa
• Os cálculos são sempre feitos uClizando o juro em sua forma unitária, ou seja, taxa dividida por cem. O resultado deve ser mulCplicado por cem para retorná-‐lo na forma percentual.
10% = 10/100 = 0,1 ç è 100% = 100/100 = 1
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Taxa de juro comercial e taxa de juro exato
• Ano comercial = 360 dias (a.a.) • Taxa semestral = 180 dias (a.s.) • Taxa trimestral = 90 dias (a.t.) • Taxa mensal = 30 dias (a.m.)
• O juro exato é calculado com base no ano civil de 365 dias (ou 366)
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Variáveis para cálculo de juros
• Capital ou Principal: Valor do dinheiro invesCdo ou emprestado.
• Juro: É a remuneração do capital. • Taxa de juro: É o percentual uClizado como base para cálculo dos juros e expressa quanto o capital rende e em que periodicidade.
• Número de capitalização: indica quantas vezes a taxa de juro é aplicada ao capital.
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Variáveis para cálculo de juros
Exemplo: Uma família investe $1.000,00 em um banco pelo prazo de um ano, à taxa de juro de 1%a.m. Nesta operação existem três variáveis necessárias para o cálculo do juro: • Capital (P) = $ 1.000,00 • Taxa de juro (i) = 1%a.m. • Número de Capitalização (n) = 12
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Variáveis para cálculo de juros
• Vencimentos: Datas em que o capital deve ser resCtuído.
• Liquidação ou resgate: quando a devolução do capital é feita em uma única data.
• AmorGzação: quando a devolução é feita em várias parcelas.
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Variáveis para cálculo de juros
• Prazo da operação: período em que o capital fica invesCdo.
• InvesGdor ou credor é o fornecedor do dinheiro.
• Devedor ou tomador: é quem toma o emprésCmo.
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Capitalização Simples e Capitalização Composta
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JUROS SIMPLES
• Nos juros simples, somente o valor principal rende juros, ou seja, são diretamente proporcionais ao valor emprestado.
J = i . P . n • O montante F que deverá ser devolvido ao final de n períodos será:
F = P + J = P + i.n.P = P (1 + i.n)
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JUROS COMPOSTOS
• Ao final de cada período de capitalização, os juros são incorporados ao valor principal. A parCr daí, também passam a render juros.
Mês Juros do mês Montante F 0 -‐ 100 1 100 x 0,05 = 5 105 2 105 x 0,05 = 5,25 110,25 3 105,25 x 0,05 = 5,5125 115,7625
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JUROS SIMPLES x J. COMPOSTOS
Mês
Montante F Juros Simples Juros Compostos
0 100 100 1 100 + 0,05 x 100 = 105 100 + 0,05 x 100 = 105 2 105 + 0,05 x 100 = 110 105 + 0,05 x 105 = 110,25 3 110 + 0,05 x 100 = 115 110,25 + 0,05 x 110,25 = 110,25 -‐ -‐ 12 160,00 179,5856
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Relações de Equivalência Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng.
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Relação entre P, F e A
P = Capital ::: Valor Presente F = Montante ::: Valor Futuro A = AmorUzação ::: Prestação
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Relação entre P e F
F = P (1+i)n
P = F / (1+i)n
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Relação entre P e F
Exercício 01 Paulo conseguiu um papagaio (emprésCmo) de $ 100.000,00 em um banco que cobra 5% ao mês de taxa de juros. Quanto deverá pagar se o prazo do emprésCmo for de cinco meses? Resp.: $ 127.628,16
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Relação entre P e F
Exercício 02 Paulo emprestou a um amigo $ 2.500,00 o qual liquidou a dívida pagando $ 2.730,00 após dois meses. Qual a taxa de juros envolvida na transação? Resp.: i = 4,5% ao mês.
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Relação entre P e A
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2. Matemática financeira
= A ( P/A , i , n )
= P ( A/P , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre P e A
P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i
n
n!"
#$
%
&'
A = P ( 1 + i ) i
( 1 + i ) - 1
n
n
"
#$
%
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2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A
A A A A AF
F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1
0 n
F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]
12
2. Matemática financeira
= A ( P/A , i , n )
= P ( A/P , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre P e A
P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i
n
n!"
#$
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A = P ( 1 + i ) i
( 1 + i ) - 1
n
n
"
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2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A
A A A A AF
F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1
0 n
F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]
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Relação entre P e A
Exercício 03 Paulo está interessado em comprar uma moto, cujo preço a vista é $ 4.000,00. Se Paulo der uma entrada de $ 500,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa for de 5%a.m.? Resp.: $ 253,65
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Relação entre F e A
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2. Matemática financeira
= A ( F/A , i , n )
= F ( A/F , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A
F = A ( 1 + i ) 1
i
n !"
#$
%
&'
A = F i
( 1 + i ) - 1n"
#$
%
&'
2. Matemática financeira
....G
2G3G
(n - 1) G
P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIASéries em gradiente
0 n1 2
13
2. Matemática financeira
= A ( F/A , i , n )
= F ( A/F , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A
F = A ( 1 + i ) 1
i
n !"
#$
%
&'
A = F i
( 1 + i ) - 1n"
#$
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2. Matemática financeira
....G
2G3G
(n - 1) G
P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIASéries em gradiente
0 n1 2
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Relação entre F e A
Exercício 04 Se eu invesCr $ 100,00 por mês, empregado a uma taxa de 5%a.m., quanto terei ao final do sexto mês? Resp.: $ 680,19