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Prof. Wanderson S. Paris [email protected] Gestão Financeira e Orçamentária Conceitos Básicos de Juros Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]

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Conceitos  Básicos  de  Juros  

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Porcentagem  e  cálculo  de  taxa  

 (per  +  cento  +  agem)  corresponde  a  uma  fração  de  cem  (cento)  de  qualquer  coisa  mensurável.    Exemplo:    “dez  por  cento”  =  10  %  =  10/100  ou  seja,  0,1  Logo,  “cem  por  cento”  =  100%  =  100/100  =  1  

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Porcentagem  e  cálculo  de  taxa  

•  Os  cálculos  são  sempre  feitos  uClizando  o  juro  em  sua  forma  unitária,  ou  seja,  taxa  dividida  por  cem.  O  resultado  deve  ser  mulCplicado  por  cem  para  retorná-­‐lo  na  forma  percentual.  

10%  =  10/100  =  0,1  ç      è  100%  =  100/100  =  1  

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Taxa  de  juro  comercial  e    taxa  de  juro  exato  

•  Ano  comercial  =  360  dias  (a.a.)  •  Taxa  semestral  =  180  dias  (a.s.)  •  Taxa  trimestral  =  90  dias  (a.t.)  •  Taxa  mensal  =  30  dias  (a.m.)  

•  O  juro  exato  é  calculado  com  base  no  ano  civil  de  365  dias  (ou  366)  

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Variáveis  para  cálculo  de  juros  

•  Capital  ou  Principal:  Valor  do  dinheiro  invesCdo  ou  emprestado.  

•  Juro:  É  a  remuneração  do  capital.  •  Taxa  de  juro:  É  o  percentual  uClizado  como  base  para  cálculo  dos  juros  e  expressa  quanto  o  capital  rende  e  em  que  periodicidade.  

•  Número  de  capitalização:  indica  quantas  vezes  a  taxa  de  juro  é  aplicada  ao  capital.  

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Variáveis  para  cálculo  de  juros  

Exemplo:  Uma  família  investe  $1.000,00  em  um  banco  pelo  prazo  de  um  ano,  à  taxa  de  juro  de  1%a.m.    Nesta  operação  existem  três  variáveis  necessárias  para  o  cálculo  do  juro:    •  Capital  (P)  =  $  1.000,00  •  Taxa  de  juro  (i)  =  1%a.m.  •  Número  de  Capitalização  (n)  =  12  

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Variáveis  para  cálculo  de  juros  

•  Vencimentos:  Datas  em  que  o  capital  deve  ser  resCtuído.  

•  Liquidação  ou  resgate:  quando  a  devolução  do  capital  é  feita  em  uma  única  data.  

•  AmorGzação:  quando  a  devolução  é  feita  em  várias  parcelas.  

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Variáveis  para  cálculo  de  juros  

•  Prazo  da  operação:  período  em  que  o  capital  fica  invesCdo.  

•  InvesGdor  ou  credor  é  o  fornecedor  do  dinheiro.  

•  Devedor  ou  tomador:  é  quem  toma  o  emprésCmo.  

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Capitalização  Simples  e    Capitalização  Composta  

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JUROS  SIMPLES  

•  Nos  juros  simples,  somente  o  valor  principal  rende  juros,  ou  seja,  são  diretamente  proporcionais  ao  valor  emprestado.  

J  =  i  .  P  .  n    •  O  montante  F  que  deverá  ser  devolvido  ao  final  de  n  períodos  será:  

F  =  P  +  J  =  P  +  i.n.P  =  P  (1  +  i.n)  

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JUROS  COMPOSTOS  

•  Ao  final  de  cada  período  de  capitalização,  os  juros  são  incorporados  ao  valor  principal.  A  parCr  daí,  também  passam  a  render  juros.  

Mês   Juros  do  mês   Montante  F  0   -­‐   100  1   100  x  0,05  =  5   105  2   105  x  0,05  =  5,25   110,25  3   105,25  x  0,05  =  5,5125   115,7625  

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JUROS  SIMPLES    x    J.  COMPOSTOS  

 Mês  

Montante  F  Juros  Simples   Juros  Compostos  

0   100   100  1   100  +  0,05  x  100  =  105   100  +  0,05  x  100  =  105  2   105  +  0,05  x  100  =  110   105  +  0,05  x  105  =  110,25  3   110  +  0,05  x  100  =  115   110,25  +  0,05  x  110,25  =  110,25  -­‐  -­‐  12   160,00   179,5856  

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Relações  de  Equivalência  Prof.  Wanderson  S.  Paris,  M.Eng.  

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Relação  entre  P,  F  e  A  

       P  =  Capital  :::  Valor  Presente  F  =  Montante  :::  Valor  Futuro  A  =  AmorUzação  :::  Prestação  

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Relação  entre  P  e  F  

       

 F  =  P  (1+i)n    

 P  =  F  /  (1+i)n  

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Relação  entre  P  e  F  

Exercício  01  Paulo  conseguiu  um  papagaio  (emprésCmo)  de  $  100.000,00  em  um  banco  que  cobra  5%  ao  mês  de  taxa  de  juros.  Quanto  deverá  pagar  se  o  prazo  do  emprésCmo  for  de  cinco  meses?      Resp.:  $  127.628,16  

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Relação  entre  P  e  F  

Exercício  02  Paulo  emprestou  a  um  amigo  $  2.500,00  o  qual  liquidou  a  dívida  pagando  $  2.730,00  após  dois  meses.  Qual  a  taxa  de  juros  envolvida  na  transação?      Resp.:  i  =  4,5%  ao  mês.  

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Relação  entre  P  e  A  

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2. Matemática financeira

= A ( P/A , i , n )

= P ( A/P , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre P e A

P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i

n

n!"

#$

%

&'

A = P ( 1 + i ) i

( 1 + i ) - 1

n

n

"

#$

%

&'

2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A

A A A A AF

F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1

0 n

F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]

12

2. Matemática financeira

= A ( P/A , i , n )

= P ( A/P , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre P e A

P = A ( 1 + i ) 1( 1 + i ) i

n

n!"

#$

%

&'

A = P ( 1 + i ) i

( 1 + i ) - 1

n

n

"

#$

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2. Matemática financeira

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A

A A A A AF

F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1

0 n

F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]

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Relação  entre  P  e  A  

Exercício  03  Paulo  está  interessado  em  comprar  uma  moto,  cujo  preço  a  vista  é  $  4.000,00.  Se  Paulo  der  uma  entrada  de  $  500,00  e  pagar  o  restante  em  24  meses,  qual  será  o  valor  da  prestação  se  a  taxa  for  de  5%a.m.?    Resp.:  $  253,65  

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Relação  entre  F  e  A  

13

2. Matemática financeira

= A ( F/A , i , n )

= F ( A/F , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A

F = A ( 1 + i ) 1

i

n !"

#$

%

&'

A = F i

( 1 + i ) - 1n"

#$

%

&'

2. Matemática financeira

....G

2G3G

(n - 1) G

P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIASéries em gradiente

0 n1 2

13

2. Matemática financeira

= A ( F/A , i , n )

= F ( A/F , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIARelação entre F e A

F = A ( 1 + i ) 1

i

n !"

#$

%

&'

A = F i

( 1 + i ) - 1n"

#$

%

&'

2. Matemática financeira

....G

2G3G

(n - 1) G

P = G ( P/G , i , n )A = G ( A/G , i , n )F = G ( F/G , i , n )

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIASéries em gradiente

0 n1 2

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Relação  entre  F  e  A  

Exercício  04    Se  eu  invesCr  $  100,00  por  mês,  empregado  a  uma  taxa  de  5%a.m.,  quanto  terei  ao  final  do  sexto  mês?    Resp.:  $  680,19