conceitos iniciais de anรlise โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra...
TRANSCRIPT
![Page 1: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL - UFRGS
INSTITUTO DE MATEMรTICA
PROGRAMA DE PรS-GRADUAรรO EM ENSINO DE MATEMรTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMรTICA
DAFNE ATZ
CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE COMBINATรRIA
PROPOSTA DE SEQUรNCIA DIDรTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
ANOS FINAIS UTILIZANDO A RESOLUรรO DE PROBLEMAS
PRODUTO FINAL
PORTO ALEGRE
2017
![Page 2: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/2.jpg)
1
SUMรRIO
1 PRODUTO FINAL .................................................................................................... 2
2 RESUMO DO PROFESSOR .................................................................................... 3
2.1 Uma breve contextualizaรงรฃo histรณrica da Anรกlise Combinatรณria .................... 3
2.2 Definiรงรตes Importantes ................................................................................... 4
3 PLANEJAMENTO .................................................................................................. 11
3.1 Informaรงรตes Gerais ...................................................................................... 11
3.2 Conteรบdo previsto......................................................................................... 11
3.3 Objetivos Especรญficos ................................................................................... 11
3.4 Sequรชncia Didรกtica ....................................................................................... 12
3.4.1 O Planejamento proposto ....................................................................... 12
REFERรNCIAS ......................................................................................................... 36
![Page 3: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/3.jpg)
2
1 PRODUTO FINAL
A seguir apresentamos um roteiro didรกtico para professores que contรฉm uma
introduรงรฃo aos conceitos bรกsicos de Anรกlise Combinatรณria e, em seguida, um plano
de aula para o 6ยบ ano do Ensino Fundamental.
O plano de aula visa trabalhar, atravรฉs da resoluรงรฃo de problemas, situaรงรตes
que, ao nosso ver, instigam o aluno a pensar como a Anรกlise Combinatรณria funciona,
sem se prender a fรณrmulas e formalizaรงรฃo de conceitos. Ressaltamos ainda que
algumas questรตes sofreram alteraรงรตes se comparadas ร sequรชncia didรกtica aplica na
pesquisa visando uma melhor aplicaรงรฃo.
Esperamos que o aluno, ao final deste roteiro, seja capaz de interpretar e
resolver situaรงรตes envolvendo:
O conceito de fatorial de um nรบmero;
O Princรญpio da Adiรงรฃo;
O Princรญpio Fundamental da Multiplicaรงรฃo;
Permutaรงรตes Simples;
Permutaรงรตes com Repetiรงรฃo;
Combinaรงรฃo Simples.
O resumo para o professor e as atividades a seguir pretendem contemplar
esses tรณpicos.
![Page 4: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/4.jpg)
3
2 RESUMO DO PROFESSOR
O texto a seguir foi retirado do Trabalho de Conclusรฃo de Curso em Licenciatura
em Matemรกtica de Dafne Atz, realizado em 2014. Ele tem por objetivo guiar o leitor
atravรฉs de uma breve histรณria da Anรกlise Combinatรณria, que hรก muitos anos รฉ foco de
estudo de diversos matemรกticos.
Em seguida, adaptando o Trabalho referido, trazemos alguns dos conceitos
bรกsicos da Anรกlise Combinatรณria, que posteriormente sรฃo trabalhados no
Planejamento proposto.
2.1 Uma breve contextualizaรงรฃo histรณrica da Anรกlise Combinatรณria
De acordo com Atz (2014):
O Cรกlculo Combinatรณrio, como tambรฉm รฉ conhecida a Anรกlise Combinatรณria,
teria surgido devido ร necessidade do homem de calcular maneiras seguras de vencer
em jogos de azar, tais como dados e baralhos.
A primeira apariรงรฃo na histรณria parece ser o Problema 79 do Papiro de Rhind,
que data de 1650 a.C.: โHรก sete casas, cada uma com sete gatos, cada gato mata
sete ratos, cada rato teria comido sete safras de trigo, cada qual teria produzido sete
hekat1 de grรฃos; quantos itens tรชm ao todo?โ. Mas nรฃo hรก garantias quanto a resposta
do problema.
Biggs, em seu artigo de 1979, relata que hรก uma charada datada de pelo menos
1730, e para resolvรช-la hรก um truque:
Quando eu estava indo para St. Ives,
Eu encontrei um homem com sete mulheres,
Cada mulher tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatos,
Cada gato tinha sete caixas,
Caixas, gatos, sacos e mulheres,
Quantos estavam indo para St. Ives?
1 Hekat รฉ uma unidade de medida egรญpcia para grรฃos, que representa 4,8 litros.
![Page 5: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/5.jpg)
4
Resoluรงรฃo: uma vez que o narrador estava indo para St. Ives, ele encontrou no
caminho o homem, as mulheres, gatos e caixas, que supostamente estariam indo para
o lado oposto, o que nos possibilita duas respostas: se o narrador pergunta quem
estava indo para St. Ives a resposta seria ninguรฉm, porรฉm se contarmos o narrador a
resposta seria uma pessoa.
Hรก tambรฉm um problema no Liber Abaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci), que
data de 1202: โSete mulheres velhas estรฃo indo para Roma; cada uma delas tรชm sete
mulas; cada mula carrega sete sacos; cada saco contรฉm sete pรฃes; cada pรฃo tem
sete facas; e cada faca tem sete bainhas. Qual รฉ o nรบmero total de coisas?โ. Este
problema poderia ou nรฃo ter gerado a charada anterior, mas nรฃo hรก confirmaรงรตes.
De acordo com Vazquez e Noguti:
A teoria combinatรณria apareceu como um capรญtulo novo da Matemรกtica em fins do sรฉculo XVII e dentro de poucos anos trรชs notรกveis livros surgiram: Traitรฉ du triangle arithmรฉtique (escrito em 1654 e publicado em 1665) de Pascal, Dissertatio de arte combinatรณria (1666) de Leibniz e Ars magna sciendi sive combinatoria (1669) de Athanasius Kircher e tambรฉm em trabalhos de Wallis (1673), Frรฉnicle de Bessy (1693), J. Bernoulli (1713) e De Moivre (1718). (VAZQUEZ, C. M. R.; NOGUTI F.C.H.. Anรกlise Combinatรณria: alguns aspectos histรณricos e uma abordagem pedagรณgica. Anais do VIII ENEM)
Uma das grandes contribuiรงรตes de Pascal foi o โTriรขngulo de Pascalโ. Apesar
de os chineses jรก conhecerem este triรขngulo muitos anos antes, foi Pascal que
mostrou a maioria de suas propriedades.
2.2 Definiรงรตes Importantes
Com estas definiรงรตes, retiradas de Atz (2014), buscamos guiar o leitor nos
principais conceitos trabalhados ao longo da pesquisa, proporcionando exemplos, em
sua maioria adaptados de Atz (2014), e base teรณrica para a realizaรงรฃo do
Planejamento.
Definiรงรฃo 2.2.1. Dizemos que o fatorial de um nรบmero ๐ โ โ รฉ o produto de todos os
nรบmeros inteiros positivos desde 1 atรฉ ๐, ou seja, ๐! = ๐ โ (๐ โ 1) โ (๐ โ 2) โ โฆ โ 1.
Comumente colocamos estes fatores em ordem para facilitar os cรกlculos. Define-se,
por conveniรชncia, 0! = 1.
![Page 6: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/6.jpg)
5
Definiรงรฃo 2.2.2. (Princรญpio da Adiรงรฃo): Dados ๐ conjuntos dois a dois disjuntos
๐ด1, ๐ด2, โฆ , ๐ด๐, com ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ elementos, respectivamente, entรฃo ๐ด1โ๐ด2โโฆ โ๐ด๐
possui ๐ฅ1 + ๐ฅ2 +โฏ+ ๐ฅ๐ elementos.
Exemplo 2.2.1. Uma turma contรฉm 15 meninas e 17 meninos. Quantos alunos hรก no
total?O total de alunos รฉ dado pela quantidade de meninas e meninos junta, logo: 15 +
17 = 31 alunos.
Definiรงรฃo 2.2.3. (Princรญpio Fundamental da Multiplicaรงรฃo): Se uma decisรฃo ๐1 pode
ser feita de ๐ฅ maneiras, e para cada decisรฃo ๐ฅ uma decisรฃo ๐2 pode ser feita de ๐ฆ
maneiras, entรฃo ๐ฅ โ ๐ฆ รฉ o nรบmero de maneiras que podemos tomar as decisรตes
๐1 ๐ ๐2.
Exemplo 2.2.2. Sabendo que, no Brasil, os automรณveis possuem placas contendo 3
letras (alfabeto com 26 letras) seguidas de 4 dรญgitos (0, 1, 2, 3, โฆ, 8, 9), determine
quantas sรฃo as combinaรงรตes possรญveis sem termos o conflito de placas iguais.
Como temos 26 opรงรตes para cada uma das trรชs letras da placa, segue que:
26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐๐ก๐๐
โ 26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2๐ ๐๐๐ก๐๐
โ 26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3๐ ๐๐๐ก๐๐
= 263 = 17 576
Alรฉm disso, temos 10 algarismos possรญveis para o nรบmero, que deve ser
formado por 4 algarismos, logo:
10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐๐.
โ 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐๐.
โ 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐๐.
โ 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐๐.
= 104 = 10 000
Porรฉm a placa com a numeraรงรฃo 0000 nรฃo รฉ utilizada, o que nos tira uma das 10 000
opรงรตes para o nรบmero e ficamos com 104 โ 1 = 10 000 โ 1 = 9 999 combinaรงรตes
possรญveis de nรบmeros com 4 algarismos.
Com isso podemos concluir que hรก 263 โ (104 โ 1) = 175 742 424 possรญveis
placas de carro no Brasil.
![Page 7: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/7.jpg)
6
Exemplo 2.2.3. Em um torneio internacional de nataรงรฃo participaram cinco atletas
europeus, dois americanos e um brasileiro. De quantos modos distintos poderรฃo ser
distribuรญdas as medalhas de ouro, prata e bronze?
Como sรฃo 3 colocaรงรตes distintas e 8 atletas, temos:
8โ๐๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐ ๐๐ข๐๐
โ 7โ๐๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐
โ 6โ๐๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ง๐
= 336
Logo, 336 maneiras de termos as 3 colocaรงรตes finais.
Exemplo 2.2.4. Quantos anagramas de 3 letras diferentes podemos formar com um
alfabeto de 23 letras?
Temos 23 opรงรตes de letras para a primeira escolha, 22 para a segunda escolha
e 21 para a terceira, logo:
23 โ 22 โ 21 = 10 626
Portanto hรก 10 626 anagramas.
Definiรงรฃo 2.2.4. (Permutaรงรตes Simples): Dados ๐ objetos distintos, com ๐ > 1,
podemos ordenรก-los em ๐! modos diferentes, pois temos: ๐ opรงรตes para na primeira
seleรงรฃo, (๐ โ 1) para escolher o segundo objeto, (๐ โ 2) opรงรตes para a terceira
seleรงรฃo, e assim sucessivamente, atรฉ termos apenas 1 opรงรฃo e um objeto restante.
Representamos a permutaรงรฃo simples por: ๐๐ = ๐!.
Um exemplo muito comum da utilizaรงรฃo das permutaรงรตes simples รฉ quando
trabalhamos com anagramas (veja exemplo 2.2.5). Anagrama รฉ uma reorganizaรงรฃo
das letras de uma palavra ou frase, visando produzir outras palavras, utilizando todas
as letras iniciais uma รบnica vez.
Exemplo 2.2.5. Quantos sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da
palavra LIVRO?
Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5 = 5! = 120
anagramas.
Analisando atravรฉs do Princรญpio Fundamental da Multiplicaรงรฃo, podemos dizer
que:
![Page 8: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/8.jpg)
7
5โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐๐๐๐ก๐๐
โ 4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2๐๐๐๐ก๐๐
โ 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3๐๐๐๐ก๐๐
โ 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4๐๐๐๐ก๐๐
โ 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐5๐๐๐๐ก๐๐
= 5! = 120
Exemplo 2.2.6. Considerando a palavra CAPรTULO, quantos anagramas podemos
formar considerando que as vogais devem permanecer juntas?
Temos 4 vogais e 4 consoantes. Queremos que as 4 vogais fiquem sempre
juntas, porรฉm, sua ordem nรฃo nos importa. Sendo assim, podemos analisar as 4
vogais como um รบnico elemento, totalizando 5 que devemos permutar: ๐5 = 5! = 120.
4 ๐ฃ๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐.1
โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ 1โ ๐๐๐๐.2
โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ 2โ ๐๐๐๐.3
โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ 3โ ๐๐๐๐.4
โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐ 4โ ๐๐๐๐.5
= 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 5!
Uma vez que a ordem das 4 vogais nรฃo importa, temos que considerar as
diferentes ordens que elas podem assumir, pois poderรญamos ter AรOU, OUAร, UรOA,
etc. Sendo assim: ๐4 = 4! = 24.
4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐ฃ๐๐๐๐
โ 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2๐ ๐ฃ๐๐๐๐
โ 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3๐ ๐ฃ๐๐๐๐
โ 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4๐ ๐ฃ๐๐๐๐
= 4!
Como para cada uma das 120 maneiras de organizar os nossos 5 elementos,
terรญamos ainda 24 maneiras de organizar o elemento das 4 vogais, ficamos com
120 โ 24 = 2 880
ou seja, 2 880 maneiras de formar esses anagramas.
Definiรงรฃo 2.2.5. (Combinaรงรตes Simples): Dados ๐ elementos distintos, uma
combinaรงรฃo simples รฉ quando queremos encontrar quantos subconjuntos podemos
formar com ๐ elementos dos ๐ iniciais (๐ > ๐), sem preocuparmo-nos com a ordem.
Alรฉm disso, podemos enxergar a combinaรงรฃo simples como a forma de selecionar ๐
elementos dos ๐ iniciais sem que a ordem desta seleรงรฃo interfira. Esta combinaรงรฃo
รฉ dada atravรฉs da fรณrmula: ๐ถ๐๐ =
๐!
๐!(๐โ๐)! (lรช-se: combinaรงรฃo de ๐ ๐ a ๐).
Deduรงรฃo da fรณrmula.
Queremos escolher ๐ elementos de ๐ elementos disponรญveis e a ordem da
escolha dos ๐ elementos nรฃo interfere nosso resultado final.
Como nรฃo estamos usando todos os ๐ elementos, precisamos eliminar aqueles
que nรฃo sรฃo utilizados, que sรฃo ๐ โ ๐. Segue que temos ๐!
(๐โ๐)! maneiras de escolher
![Page 9: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/9.jpg)
8
esses elementos. Alรฉm disso, a ordem dos ๐ elementos selecionados nรฃo importa e
tambรฉm deve ser eliminada, ou seja, as ๐! maneiras de ordenar esses ๐ elementos.
Entรฃo, dividindo o nรบmero total de maneiras que podemos escolher o ๐ dos ๐
elementos pelo nรบmero de possรญveis repetiรงรตes que terรญamos destes ๐ elementos,
obtemos: ๐ถ๐๐ =
๐!
(๐โ๐)!
๐!=
๐!
(๐โ๐)!.1
๐!=
๐!
๐!(๐โ๐)!.
Logo, ๐ถ๐๐ =
๐!
๐!(๐โ๐)!. โ
As combinaรงรตes simples tambรฉm sรฃo representadas em diversos livros atravรฉs
das seguintes notaรงรตes: (๐๐) =
๐!
๐!(๐โ๐)! e ainda ๐ถ(๐, ๐) =
๐!
๐!(๐โ๐)!.
Exemplo 2.2.7. Dado o conjunto ๐ด = {1, 2, 3, 4, 5}, quantos sรฃo os subconjuntos que
podemos formar contendo 2 elementos?
Atravรฉs da fรณrmula:
๐ถ52 =
5!
2!(5โ2)!=
5!
2!3!= 10 subconjuntos.
Atravรฉs de raciocรญnio combinatรณrio:
Temos 5 โ 4 = 20 maneiras de formar grupos com dois elementos, porรฉm a
ordem dos elementos nรฃo altera o grupo formado, eliminamos entรฃo as repetiรงรตes,
que sรฃo as permutaรงรตes de 2 elementos:
2 โ 1 = 2
Logo,
5โ4
2โ1=20
2= 10 subconjuntos.
Exemplo 2.2.8. Hรก 15 estaรงรตes num ramal de estrada de ferro. Quantos tipos de
bilhetes de passagem sรฃo necessรกrios para permitir a viagem entre 2 estaรงรตes
quaisquer?
Atravรฉs da fรณrmula:
๐ถ152 =
15!
2!(15โ2)!=
15!
2!13!=15.14.13!
2!13!= 15.7 = 105 tipos de bilhetes.
Atravรฉs de raciocรญnio combinatรณrio:
![Page 10: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/10.jpg)
9
Como temos 15 estaรงรตes e queremos conectar duas, hรก 15 โ 14 = 210 trechos
que podem ser realizados entre essas estaรงรตes.
Porรฉm, estamos preocupados com quantidade de trechos diferentes, logo nรฃo
importa se estamos indo da estaรงรฃo โAโ para a estaรงรฃo โBโ ou vice-versa, entรฃo
precisamos eliminar as 2 repetiรงรตes de cada trecho, e com isso temos 15โ14
2=210
2=
105 tipos de bilhetes.
Exemplo 2.2.9. Em uma turma hรก 28 alunos. De quantas maneiras podemos escolher
uma comissรฃo de 4 alunos para representar a turma em uma atividade da escola?
Atravรฉs da fรณrmula:
๐ถ284 =
28!
4!(28โ4)!=
28!
4!24!=28โ27โ26โ25โ24!
4!24!=28โ27โ26โ25
4!=491 400
24= 20 475 maneiras.
Utilizando um raciocรญnio combinatรณrio:
Temos 28 alunos para escolher 1 primeiro a participar da comissรฃo, 27 opรงรตes
para o segundo, 26 opรงรตes para o terceiro e 25 opรงรตes para o quarto aluno:
28 โ 27 โ 26 โ 25 = 491 400
Porรฉm, a ordem dos alunos escolhidos nรฃo faz diferenรงa, pois nรฃo hรก
colocaรงรตes nem cargos diferentes a serem preenchidos, portanto, nessas 491.400
maneiras hรก repetiรงรตes de grupos. Devemos eliminar entรฃo as 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 24
maneiras de organizar os 4 alunos escolhidos e teremos:
28โ27โ26โ25
4โ3โ2โ1=491 400
24= 20 475 maneiras.
Definiรงรฃo 2.2.6. (Permutaรงรตes com repetiรงรฃo): Dados ๐ objetos nรฃo distintos, com
๐ > 1, seja ๐ = ๐ผ1 + ๐ผ2 +โฏ+ ๐ผ๐, onde ๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐ representam a quantidade de
elementos repetidos, ou nรฃo, de parte destes ๐ objetos. Entรฃo a permutaรงรฃo com
elementos repetidos รฉ dada atravรฉs da fรณrmula: ๐๐๐ผ1,๐ผ2,โฆ,๐ผ๐ =
๐!
๐ผ1!๐ผ2!โฆ๐ผ๐!.
Deduรงรฃo da fรณrmula.
Se fossemos utilizar combinaรงรตes simples para definirmos o nรบmero de
maneiras possรญveis de ordenar estes ๐ elementos, terรญamos: ๐ถ๐๐ผ1 maneiras de ordenar
os ๐ผ1 elementos, ๐ถ๐โ๐ผ1๐ผ2 maneiras para os ๐ผ2 elementos, โฆ, ๐ถ๐โ๐ผ1โ๐ผ2โโฏโ๐ผ๐โ1
๐ผ๐ para os
๐ผ๐ elementos restantes, ou seja:
![Page 11: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/11.jpg)
10
๐๐๐ผ1,๐ผ2,โฆ,๐ผ๐ = ๐ถ๐
๐ผ1 โ ๐ถ๐โ๐ผ1๐ผ2 โ โฆ โ ๐ถ๐โ๐ผ1โ๐ผ2โโฏโ๐ผ๐โ1
๐ผ๐
=๐!
๐ผ1! (๐ โ ๐ผ1)! .
( ๐ โ ๐ผ1)!
๐ผ2! (๐ โ ๐ผ1 โ ๐ผ2)! . โฆ .
(๐ โ ๐ผ1 โ ๐ผ2 โโฏโ ๐ผ๐โ1)!
๐ผ๐! (๐ โ ๐ผ1 โ ๐ผ2 โโฏโ ๐ผ๐โ1 โ ๐ผ๐)!
=๐!
๐ผ1! ๐ผ2! โฆ ๐ผ๐โ1! ๐ผ๐! 0!=
๐!
๐ผ1! ๐ผ2! โฆ ๐ผ๐โ1! ๐ผ๐!
Entรฃo ๐๐๐ผ1,๐ผ2,โฆ,๐ผ๐ =
๐!
๐ผ1!๐ผ2!โฆ๐ผ๐โ1!๐ผ๐!.
Exemplo 2.2.10. Quantos sรฃo os anagramas da palavra PARALELEPIPEDO?
Temos um total de 14 letras, porรฉm algumas letras se repetem:
*A โ 2 vezes
*P โ 3 vezes
*E โ 3 vezes
*L โ 2 vezes
Atravรฉs da fรณrmula temos:
๐142,2,3,3 =
14!
2!2!3!3!= 605 404 800 anagramas possรญveis.
Utilizando raciocรญnio combinatรณrio:
Temos 14 letras, das quais algumas possuem repetiรงรตes como indicado acima.
Hรก 14! maneiras de formarmos anagramas diferentes, porรฉm precisamos
eliminar as repetiรงรตes das letras iguais.
A letra โAโ se repete 2 vezes, logo, devemos eliminar as 2! maneiras de troca-
las de lugar.
A letra โPโ se repete 3 vezes, logo sรฃo 3! maneiras que devemos eliminar.
A letra โEโ se repete 3 vezes, entรฃo da mesma forma que a letra โPโ, eliminamos
3! maneiras de trocar esses โEโsโ de lugar.
E por fim, a letra โLโ tambรฉm se repete 2 vezes, ou seja, 2! maneiras a serem
eliminadas.
Resultando em 14!
2!3!3!2!= 605 404 800 anagramas.
![Page 12: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/12.jpg)
11
3 PLANEJAMENTO
A seguir apresentamos a proposta de Planejamento, elaborado a partir da
aplicaรงรฃo de seu original na pesquisa. Todos os problemas propostos possuem
respostas e/ou explicaรงรฃo.
3.1 Informaรงรตes Gerais
O tempo sugerido de aplicaรงรฃo para o planejamento proposto รฉ de 10
horas/aula, podendo variar de acordo com conhecimentos prรฉvios da turma,
velocidade de compreensรฃo, disponibilidade de tempo, dentre outros fatores. O roteiro
foi elaborado para o 6ยบ ano do Ensino Fundamental, podendo ser aplicado em
diferentes anos do EF โ Anos Finais e/ou no Ensino Mรฉdio.
3.2 Conteรบdo previsto
Os conteรบdos da Anรกlise Combinatรณria abordados nesse planejamento foram:
- Fatorial
- Princรญpio da Adiรงรฃo
- Princรญpio Fundamental da Multiplicaรงรฃo
- Permutaรงรฃo Simples
- Permutaรงรฃo com Repetiรงรฃo
- Combinaรงรฃo Simples
3.3 Objetivos Especรญficos
Espera-se que os alunos, apรณs as 10 horas/aula, consigam:
- Compreender o significado do termo โpossibilidadeโ;
- Compreender o que sรฃo acontecimentos provรกveis/nรฃo provรกveis;
- Compreender favorรกvel/nรฃo favorรกvel;
- Organizar as informaรงรตes dadas em um problema;
- Organizar o raciocรญnio da contagem;
![Page 13: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/13.jpg)
12
- Determinar o nรบmero de possibilidades de ocorrรชncia de determinado evento
listando as opรงรตes;
- Determinar o nรบmero de possibilidades de ocorrรชncia de determinado evento atravรฉs
da multiplicaรงรฃo;
- Resolver situaรงรตes problema que envolvam o raciocรญnio combinatรณrio;
- Diferenciar quando hรก necessidade de โeliminarโ determinada quantidade de
combinaรงรตes.
3.4 Sequรชncia Didรกtica
O planejamento a seguir nรฃo estรก dividido em aulas. Conforme dito
anteriormente, sugerimos 10 horas/aula, porรฉm deixamos a critรฉrio do leitor a divisรฃo
conforme lhe convir.
3.4.1 O Planejamento proposto
Trabalhar inicialmente com os alunos o que a palavra possibilidade representa,
assim como o que sรฃo acontecimentos favorรกveis ou nรฃo favorรกveis.
Para isso, sugerimos as atividades a seguir, que buscam promover a discussรฃo
referente ร โO que รฉ uma possibilidade? O que significa algo ser possรญvel?โ.
Questionamentos iniciais:
โ Temos como saber como serรก o clima amanhรฃ olhando para como foi o clima no
mesmo dia do ano passado?
โ Resposta esperada: Nรฃo!
โ Questionamento: Por que nรฃo?
โ Resposta esperada: Pois nรฃo estรฃo relacionados. Um ano nรฃo interfere no
prรณximo.
โ Em um jogo de dados, onde o vencedor รฉ quem tirar o nรบmero mais alto,
conseguimos saber quem ganha antes das jogadas?
โ Resposta esperada: Nรฃo!
โ Questionamento: Por que nรฃo?
โ Resposta esperada: Pois nรฃo temos como prever quem tirarรก o maior no.
![Page 14: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/14.jpg)
13
Atividade 1:
Mostrando a turma uma caixa preta e 3 bolas de cores diferentes (amarelo,
verde, vermelho) colocar essas bolas dentro da caixa e questionar aos alunos:
โ Temos como retirar uma bola de cor amarela da caixa?
o Resposta esperada: Sim!
โ Temos como retirar uma bola de cor verde da caixa?
o Resposta esperada: Sim!
โ Temos como retirar uma bola de cor azul da caixa?
o Resposta esperada: Nรฃo!
o Questionamento: Por que nรฃo podemos?
o Respostas esperadas:
โPois nรฃo foi colocada nenhuma bola azul dentro da caixaโ
โPorque nรฃo รฉ possรญvel!โ
โ Caso nenhum aluno diga que nรฃo รฉ possรญvel, questionar: โEra possรญvel que
retirรกssemos uma bola azul? Ou ainda, รฉ possรญvel retirarmos uma bola
roxa?โ
Resposta esperada: Nรฃo!
โ Existe a possibilidade de retirarmos uma bola vermelha?
o Resposta esperada: Sim!
โ E de retirarmos uma bola cinza?
o Resposta esperada: Nรฃo!
Atividade 2:
Para a prรณxima atividade serรก necessรกria uma moeda. Sugerimos que seja
solicitado aos alunos que cada um traga a sua, independente do valor (ou paรญs de
origem). As vezes os alunos trazem moedas diferentes que podem gerar uma
discussรฃo mais enriquecedora.
Sugerimos que seja dado tempo para os alunos observarem as moedas
trazidas para entรฃo iniciar os questionamentos para a turma:
โ Todos vocรชs sabem que uma moeda possui dois lados, certo? Como chamamos
esses dois lados?
o Resposta esperada: Cara e Coroa.
ร esperado que os alunos saibam o que รฉ Cara e o que รฉ Coroa
Solicitar que na moeda que trouxeram examinem cada lado.
![Page 15: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/15.jpg)
14
o Histรณria:
Antigas moedas portuguesas: Cara (rosto + valor) e Coroa
(brasรฃo ou as armas da coroa).
Roma antiga: โnavia aut caputโ (navio ou cabeรงa): navio e face do
imperador.
Moedas espanholas: โcara e cruzโ.
EUA: โheads or tailsโ (cabeรงa ou caudas).
โ Se eu jogar essa moeda para cima e deixar ela cair no chรฃo, quais sรฃo as
possibilidades?
o Resposta esperada: Cair cara ou Coroa.
Espera-se que os alunos digam que as duas opรงรตes existem.
โ ร mais provรกvel que caia cara ou coroa?
โ Espera-se que os alunos fiquem intrigados com a pergunta, sem saber o
que responder.
โ Questionar por que nรฃo temos como saber.
Espera-se que eles digam que โpode ser uma coisa ou pode ser
outraโ, โa possibilidade รฉ a mesmaโ, โas chances sรฃo as
mesmasโ. Dependendo dos alunos, alguns trazem a questรฃo de
ser โ50% de chance de cada coisaโ.
Sugerimos que um aluno seja chamado para auxiliar na prรณxima etapa, na qual
serรก lanรงada uma moeda e, apรณs cair no chรฃo, esse aluno deverรก conferir se รฉ a face
voltada para cima รฉ cara ou coroa. Antes de cada jogada pedir que os alunos digam
o que acham que vai acontecer: cara ou coroa. Construir uma tabela no quadro, na
qual serรฃo marcados os palpites dos alunos assim como o โresultadoโ da moeda. O
intuito da atividade รฉ reforรงar o que sรฃo possibilidades, eventos provรกveis ou nรฃo,
assim como introduzir um pouco da Histรณria da Anรกlise Combinatรณria com os alunos,
mostrando que ela surgiu devido a necessidade/vontade de prever e estimar o que
estaria por acontecer. Alรฉm disso, pode gerar a discussรฃo que quanto mais vezes
jogarmos a moeda, mas parelho fica a quantidade entre os resultados Cara e Coroa.
O ideal รฉ que o conteรบdo Fraรงรตes jรก tenha sido trabalhado com a turma. Pois
รฉ interessante utilizar as fraรงรตes como a representaรงรฃo de comparaรงรฃo de
informaรงรตes, que relacionam o todo com uma parte; o que รฉ o intuito da prรณxima
atividade.
![Page 16: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/16.jpg)
15
Atividade 3:
Com as bolas coloridas explorar duas situaรงรตes: possibilidades e ordenaรงรฃo.
Primeiramente, com todas as bolas dentro de uma urna/caixa, os alunos devem
ser questionados:
โ Qual a possibilidade de eu retirar, sem olhar para dentro da urna, uma bola de cor
amarela?
โ Como hรก apenas uma bola, espera-se que os alunos digam que a resposta
รฉ uma.
โ Questionamento: Mas uma de quantas possibilidades?
Com esses questionamentos, queremos retomar com os alunos
a representaรงรฃo atravรฉs de fraรงรตes para comparaรงรตes: โ .
โ Qual a possibilidade de eu retirar, sem olhar, uma bola de cor azul?
o Resposta esperada: Nenhuma ou zero.
Devolvendo a bola anterior, questionar:
โ Qual a possibilidade de eu retirar, sem olhar, uma bola de cor vermelha?
o Resposta esperada: โ .
Retirar uma bola da urna, e sem devolvรช-la, questionar com relaรงรฃo as cores
que ficaram dentro da urna:
โ Qual a chance de retirar uma bola verde?
o Resposta esperada: ยฝ.
Espera-se que os alunos percebam que agora nรฃo temos mais as
trรชs possibilidades que tรญnhamos antes, pois uma bola estรก fora
da urna.
Agora, apรณs retirar todas as bolas da urna, trabalharemos com as maneiras de
ordenar essas bolas em uma fila.
โ De quantas formas posso colocar duas dessas bolas em ordem?
โ Respostas esperadas:
โuma do lado da outraโ
โde duas maneirasโ
โ De quantas maneiras posso colocar trรชs dessas bolas em ordem?
โ ร esperado que alguns dos alunos saibam dizer 6, e que digam que รฉ
devido a multiplicaรงรฃo, porรฉm, com as bolas coloridas e o auxรญlio do quadro,
desenharemos as possibilidades/maneiras de dispor essas bolas em uma
linha reta.
![Page 17: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/17.jpg)
16
Similar a essa รบltima atividade, propor aos alunos os problemas a seguir:
Situaรงรฃo 1: Quantos nรบmeros diferentes podemos formar com algarismos 1, 2 e 3?
โ Resposta esperada: 6 nรบmeros.
โ Listar as opรงรตes.
โ Comeรงar a analisar que โpara cadaโ nรบmero escolhido, restam tantas
opรงรตes para escolhermos a seguir.
Situaรงรฃo 2: Quantos sanduรญches podemos fazer dispondo de dois tipos de pรฃo (branco
e integral), trรชs tipos de queijo (mussarela, lanche e cheddar) e 2 tipos de presunto
(presunto e mortadela)?
โ Resposta esperada: 12 sanduรญches.
โ Listar as opรงรตes de montagem dos sanduรญches.
โ Mostrar que โpara cadaโ tipo de pรฃo, temos 3 opรงรตes de queijo, e que โpara
cadaโ uma dessas opรงรตes de pรฃo e queijo temos 2 tipos de presunto,
totalizando 12 sanduรญches diferentes.
Situaรงรฃo 3: A professora Dafne fez uma questรฃo de verdadeiro ou falso na prova. Hรก
4 frases verdadeiras e 6 frases falsas. Quantas respostas diferentes os alunos podem
dar?
โ Raciocรญnio esperado: tenho duas opรงรตes (V ou F), e sรฃo 10 questรตes, logo:
2ร2ร2ร2ร2ร2ร2ร2ร2ร2โ 2 ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ ๐กรฃ๐,2 ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐๐ ๐กรฃ๐,
2 ๐๐รงรต๐๐ โฆ
= 210 = 1024
โ ร natural os alunos pensarem que โalguma contaโ deva ser feita com o 4 e
6, e na aplicaรงรฃo desse plano, nรฃo foi o 4+6=10 questรตes.
Situaรงรฃo 4: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR?
โ A primeira dรบvida que surge รฉ: O que รฉ um anagrama?
โ Apรณs a explicaรงรฃo do que รฉ um anagrama, espera-se que os alunos
relacionem com o exemplo inicial dos nรบmeros com os algarismos 1, 2 e 3.
โ Resposta esperada: 24 anagramas.
4ร3ร2ร1 = 24
![Page 18: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/18.jpg)
17
Apรณs as atividades iniciais, sugerimos que os problemas a seguir sejam
propostos para os alunos. Para promover a discussรฃo, os problemas devem ser
propostos em grupos e quando todos, ou a maioria, tiver finalizado, o professor poderรก
partir para a socializaรงรฃo dos resultados no quadro.
Os problemas podem ser feitos e corrigidos logo em seguida, ou ainda entregar
mais de um problema, corrigindo todos depois. Ressaltar que os problemas podem
ser resolvidos atravรฉs de cรกlculos, desenhos, ou atรฉ mesmo, esquemas (โda forma
que eles quiserem, sem ter certo e erradoโ).
Caso algum grupo/aluno nรฃo saiba como โsair do lugarโ fazer questionamentos,
sugerir desenhos e formas de os fazer pensar sobre o problema, sem dar resposta ou
dizer como se faz. Alรฉm disso, os problemas com permutaรงรตes envolvendo um
nรบmero maior de objetos buscam, na correรงรฃo, introduzir o que significa fatorial.
Os problemas abaixo envolvem permutaรงรตes, nestas situaรงรตes serรก sempre
enfatizado a frase โpara cadaโ, alรฉm da utilizaรงรฃo de desenhos em algumas das
situaรงรตes que envolvem um nรบmero menor de possibilidades/maneiras.
Problemas sugeridos:
1. Manuela vai encomendar um bolo de aniversรกrio para sua mรฃe. A padaria faz
bolos de chocolate e de cenoura. Cada sabor pode vir com cobertura verde, amarela,
rosa ou marrom. De quantas formas diferentes Manuela pode escolher o bolo de sua
mรฃe?
Resoluรงรฃo:
Temos 2 tipos de bolos e 4 tipos de cobertura, logo: 2ร4 = 8 bolos possรญveis.
Observaรงรฃo:
Pode surgir turmas nas quais os alunos questionem se โeu nรฃo posso escolher
sem cobertura?โ o que geraria 5 tipos de cobertura e terรญamos: 2ร5 = 10 bolos.
Alรฉm disso, podem ser feitos esquemas no quadro, que permitam ao aluno
visualizar o que estรก sendo pedido (Figura 1).
![Page 19: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/19.jpg)
18
Figura 1: Esquema com tipos de bolo e cores de cobertura
2. O Ristorante Pasta Nostra deixa que o cliente escolha o tipo de massa e molho
que gostaria de comer. As massas podem ser fettuccine, macarrรฃo, espaguete, penne
ou concha; e os molhos disponรญveis sรฃo quatro queijos, pesto e molho de tomate. De
quantas maneiras diferentes um cliente desse restaurante pode escolher a sua
massa?
Resoluรงรฃo:
Como hรก 5 tipos de massa e 3 tipos de molho temos: 5ร3 = 15 maneiras para
escolher uma massa e um molho.
Observaรงรฃo:
Da mesma forma que os alunos podem questionar o bolo sem cobertura, pode
haver questionamentos referente a massa sem molho. Nessa situaรงรฃo terรญamos 5
tipos de massa e 4 opรงรตes para o molho, logo: 5ร4 = 20 maneiras de escolher a sua
massa.
3. Hรก 4 bolas de cores diferentes dispostas em cima de uma mesa (laranja, roxa,
vermelha e azul). De quantas maneiras diferentes podemos reorganizรก-las uma ao
lado da outra?
Resoluรงรฃo:
Como queremos organizar todas as bolas disponรญveis temos:
![Page 20: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/20.jpg)
19
4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐
โ 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐ก๐๐๐๐๐
= 24
Portanto hรก 24 maneiras de organizar essas bolas em cima da mesa.
4. Joรฃo estรก pedindo o cafรฉ da manhรฃ para a recepcionista do hotel. Ele pode
comer ovos fritos ou mexidos. Como acompanhamento ele pode pedir uma torrada,
panquecas ou bisnaguinhas. Alรฉm disso, ele ainda pode escolher um tipo de fruta. As
frutas disponรญveis sรฃo laranja, banana, mamรฃo. Sabendo que Joรฃo nรฃo pode pedir
mais de um item de cada grupo, de quantas maneiras diferentes ele pode pedir esse
cafรฉ da manhรฃ?
Resoluรงรฃo:
Temos 3 categorias:
- 2 opรงรตes de ovos
- 3 opรงรตes de โpรฃesโ
- 3 opรงรตes de frutas
Portanto segue que: para cada opรงรฃo de ovo, temos 3 opรงรตes de โpรฃesโ, o que
gera 2ร3 = 6 opรงรตes atรฉ o momento. Porรฉm, para cada uma dessas 6 opรงรตes ainda
temos 3 opรงรตes de frutas, logo: 6ร3 = 18 possรญveis cafรฉs da manhรฃ.
Pode-se ainda expor para os alunos da seguinte forma:
2โ๐๐ฃ๐๐
ร 3โ"๐รฃ๐๐ "
ร 3โ๐๐๐ข๐ก๐๐
= 18
totalizando 18 maneiras de montar esse cafรฉ da manhรฃ.
Observaรงรฃo:
Podem surgir questionamentos como โE se eu nรฃo quiser algo?โ, nesse caso,
acrescentamos uma opรงรฃo em cada categoria:
3โ๐๐ฃ๐๐
ร 4โ"๐รฃ๐๐ "
ร 4โ๐๐๐ข๐ก๐๐
= 48 cafรฉs da manhรฃ possรญveis.
5. Laura adora o esporte e a arte! Sua escola oferece times de basquete, futebol e
vรดlei; assim como clubes de teatro, mรบsica e desenho. Porรฉm devido ao tempo ela sรณ
pode escolher um esporte e um clube para participar esse ano. De quantas maneiras
Laura pode fazer essa escolha?
![Page 21: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/21.jpg)
20
Resoluรงรฃo:
Laura possui 3 opรงรตes para escolher o esporte, e, para cada uma dessas 3, hรก
outras 3 opรงรตes para escolher um dos clubes, logo: 3ร3 = 9 maneiras de escolher
suas atividades extraclasse.
6. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ESTUDO?
Resoluรงรฃo:
Temos 6 letras diferentes uma das outras, logo serรฃo 720 anagramas:
6โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
โ 5โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
โ 4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
โ 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
โ 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
โ 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
= 720
7. Quantos anagramas podemos formar com a palavra PERNAMBUCO?
Resoluรงรฃo:
Dispomos de 10 letras distintas, portanto hรก 3 628 800 anagramas que
podemos formar:
10 โ 9 โ 8 โ 7 โ 6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 3 628 800
Observaรงรฃo:
Este รฉ um bom exemplo de situaรงรฃo em que podemos introduzir o que รฉ o
fatorial de um nรบmero. ร interessante ressaltar com os alunos que, da mesma forma
que podemos simplificar expressรตes como 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, dizendo que isso
รฉ 7ร3, na matemรกtica tambรฉm podemos simplificar multiplicaรงรตes nas quais os
fatores vรฃo em ordem decrescente atรฉ o 1. O sรญmbolo utilizado รฉ um ponto de
exclamaรงรฃo:
10 โ 9 โ 8 โ 7 โ 6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 10!
Dizendo que isso simplifica a escrita de problemas com nรบmeros muito
grandes, retomar problema anterior como exemplo e mostrar que:
6! = 6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 720
Os alunos normalmente questionam: โTรก, mas qual รฉ a resposta desse ponto
de exclamaรงรฃo?โ, e nessa hora รฉ necessรกrio explicar que รฉ um sรญmbolo como outro
qualquer na matemรกtica, e que ele representa uma operaรงรฃo a ser feita.
Pode-se ainda questionar os alunos โSe eu quiser saber quantas maneiras eu
tenho de colocar 120 alunos em fila, que conta eu faria?โ, eles entรฃo comeรงam a fazer
na calculadora: 120 โ 119 โ 118 โ 117 โ 116 โ โฆ e logo percebem que a calculadora
![Page 22: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/22.jpg)
21
apresenta a mensagem de erro, e entรฃo percebem que nรฃo temos como chegar de
um jeito simples no resultado, e que a utilizaรงรฃo da representaรงรฃo de fatorial simplifica
o que queremos apresentar como resultado.
8. A professora de Teatro estรก fazendo uma encomenda para o novo uniforme do
grupo. Ela pode escolher entre camisetas, moletons canguru ou moletons com zรญper.
Cada um desses pode ser vermelho ou laranja. O logo que vai nas costas pode ser
impresso ou bordado. Considerando essas escolhas a serem feitas, de quantas
maneiras diferentes a professora pode escolher esse novo uniforme?
Resoluรงรฃo:
A professora de Teatro possui 3 opรงรตes para a roupa, para cada uma dessas
โroupasโ hรก 2 opรงรตes de cores e para cada roupa com cor escolhida hรก 2 opรงรตes de
logo, entรฃo segue que:
3ร2ร2 = 12
totalizando 12 possรญveis uniformes.
9. Quantas maneiras podemos distribuir uma famรญlia de 5 pessoas em um banco
para tirar uma foto?
Resoluรงรฃo:
Segue que temos 120 maneiras de dispor essa famรญlia no banco:
5โ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐
โ 4โ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐
โ 3โ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐
โ 2โ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐
โ 1โ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐
= 120
10. Marรญlia estรก escolhendo um novo skate. O skate pode ser preto, branco ou
marrom; as rodas podem ser rosas ou roxas. Os adesivos podem ser em formato de
estrela, lobo, diamante ou raio. Quantos modelos diferentes de skate ela pode
montar?
Resoluรงรฃo:
Marรญlia tem 3 cores para o skate, para cada uma dessas 3 cores hรก 2 possรญveis
cores para as rodas, e para cada uma dessas combinaรงรตes hรก 4 adesivos diferentes
que ela pode escolher, o que totaliza 24 skates diferentes que ela pode montar.
3โ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐
โ 2โ๐๐๐๐๐๐๐๐
โ 4โ๐๐๐๐ ๐๐ฃ๐๐
= 24
![Page 23: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/23.jpg)
22
11. Marta irรก pedir sua janta em seu restaurante favorito. Ela vai pedir uma bebida,
um aperitivo, um prato principal, dois acompanhamentos diferentes e uma sobremesa.
Se hรก 10 escolhas para bebida, cinco aperitivos, 6 pratos principais, 8
acompanhamentos e cinco sobremesas, de quantas formas diferentes ela pode
solicitar sua refeiรงรฃo?
Resoluรงรฃo:
Segue que:
10โ๐๐๐๐๐๐๐
ร 5โ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐๐
ร 6โ๐๐๐๐ก๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 8โ๐๐๐๐๐.
1
ร 7โ๐๐๐๐๐.2โ
๐รก ๐๐ ๐๐๐โ๐๐ข ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ 7 ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ข๐๐๐
ร 5โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐
= 84 000
portanto hรก 84 000 opรงรตes de refeiรงรตes diferentes.
Observaรงรฃo:
As vezes, os alunos se impressionam com a quantidade de opรงรตes que Marta
tem, e podem surgir comentรกrios como โela vai comer a vida todaโ, โquanto tempo
serรก que ela levaria pra comer isso tudo?โ, etc. Acreditamos que seja interessante
aproveitar a situaรงรฃo e calcular com a turma quanto tempo ela levaria para comer
todas essas possรญveis refeiรงรตes. Sugestรฃo: Se Marta comesse todo o dia nesse
restaurante, almoรงo e janta, pedindo sempre como foi descrito acima, quantos anos
ela levaria para esgotar suas opรงรตes?
84 000 รท 2โ๐๐๐๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
= 42 000โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐
42 000 รท 365โ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
โ 115โ๐๐๐๐
Ou seja, Marta teria que comer a sua vida toda ali, desde o seu nascimento,
para ter chances de conseguir chegar aos 115 anos. Logo os alunos percebem que
isso dificilmente seria possรญvel!
Problemas reserva:
![Page 24: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/24.jpg)
23
12. Em uma sorveteira hรก 20 sabores. Quando compramos uma casquinha, sรณ
podemos colocar um sabor. De quantas maneiras 3 amigos podem fazer seus
pedidos?
Resoluรงรฃo:
Sรฃo 20 sabores e nada impede que os trรชs amigos escolham o mesmo, temos
entรฃo 8000 maneiras.
20โ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 20โ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 20โ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
= 8 000
13. Em um grupo de CTG2 hรก 8 moรงas e 8 rapazes. De quantas maneiras podemos
formar pares para uma danรงa?
Resoluรงรฃo:
Segue que:
8โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐1๐ ๐๐รง๐
ร 7โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐2๐ ๐๐รง๐
ร 6โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐3๐ ๐๐รง๐
ร 5โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐4๐ ๐๐รง๐
ร 4โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐5๐ ๐๐รง๐
ร 3โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐6๐ ๐๐รง๐
ร 2โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐7๐ ๐๐รง๐
ร 1โ๐๐๐๐๐ง๐๐ ๐๐๐ ๐ รญ๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐8๐ ๐๐รง๐
= 8!
14. Quantos sรฃo os anagramas da palavra JULGAMENTOS?
Resoluรงรฃo:
Sรฃo 11 letras distintas, logo temos 11! Anagramas:
11 โ 10 โ 9 โ 8 โ 7 โ 6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1 = 11!
15. De quantas maneiras 3 americanos, 4 brasileiros e 3 franceses podem sentar
em fila, de modo que os de mesma nacionalidade sentem juntos?
Resoluรงรฃo:
Neste problema hรก alguns pontos importantes que devem ser levados em
consideraรงรฃo. Faremos cada passo separadamente:
- Americanos sentando juntos: 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐
ร 1โ๐๐รงรฃ๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐
= 3!
2 CTG: Centro de Tradiรงรฃo Gaรบcha
![Page 25: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/25.jpg)
24
- Brasileiros sentando juntos: 4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐
ร 2โ๐๐รงรฃ๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐
ร 1โ๐๐รงรฃ๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐ก๐
= 4!
- Franceses sentando juntos: 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐
ร 1โ๐๐รงรฃ๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐
= 3!
Como para cada uma das 3! maneiras de dispor os americanos, temos 4!
Maneiras de dispor os brasileiros, e para cada uma dessas, temos ainda 3! Maneiras
de dispor os franceses, logo: 3!โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
ร 4!โ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
ร 3!โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
= 864 maneiras.
Porรฉm, nรฃo precisa ser necessariamente americanos, brasileiros e franceses
nessa ordem, poderรก ser franceses, americanos e brasileiros, entรฃo precisamos levar
em conta que hรก 3โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 2โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
ร 1โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
= 3! maneiras de trocar as
nacionalidades do lugar, o que totaliza no problema em questรฃo:
3!โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
ร 4!โ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
ร 3!โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐ข๐๐ก๐๐
ร 3!โ๐ก๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐
= 5 184
resultando em 5184 maneiras de dispor essas pessoas.
Os problemas propostos anteriormente visavam trabalhar com os alunos
conceitos referente ao princรญpio da adiรงรฃo, princรญpio fundamental da multiplicaรงรฃo,
permutaรงรตes simples.
Permutaรงรตes simples, como dito anteriormente, sรฃo situaรงรตes em que
utilizamos todos os objetos envolvidos no problema, nos preocupando com a ordem
final dos objetos. A partir de agora, buscaremos introduzir situaรงรตes nas quais nem
todos os objetos sรฃo utilizados, mas ainda levando em consideraรงรฃo a ordem final que
eles estarรฃo dispostos. Alguns livros didรกticos trazem situaรงรตes dessa forma como
Arranjos. Porรฉm, ao trabalhar com a intuiรงรฃo e lรณgica, nรฃo vemos a necessidade do
termo Arranjo, uma vez que a ideia de possibilidades para cada etapa do
acontecimento รฉ suficiente para raciocinarmos de forma correta. As situaรงรตes a seguir
trabalharรฃo com a ideia de โorganizar parte dos objetosโ, nas quais a ordem faz
diferenรงa.
![Page 26: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/26.jpg)
25
Propor alguns questionamentos para a turma:
Situaรงรฃo 1: Considere os algarismos 3, 5, 6 e 8.
a) Quantos nรบmeros de algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 3,
5, 6 e 8?
โ Espera-se que os alunos jรก tenham compreendido a multiplicaรงรฃo:
4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐.
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
ร 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยฐ ๐๐๐.
= 24 nรบmeros possรญveis
โ Se necessรกrio mostrar โesquemaโ de como listar esses nรบmeros: fixa o 3
como primeiro e daรญ tem tantas opรงรตes, fixa o 5 como primeiro eโฆ
Em seguida questionar a turma:
โ O que mais podemos perguntar sobre esses nรบmeros?
โ Que outras perguntas podemos adicionar a essa? Suponhamos que a que a
professora fez รฉ o item โaโ, o que mais podemos questionar? Quem sugere o item
โbโ?
โ Anotar as sugestรตes dos alunos no quadro e dizer que os grupos devem
responder a esses novos questionamentos.
Espera-se que dentro das sugestรตes dos alunos surjam situaรงรตes como as que
seguem:
โ Quantos desses nรบmeros comeรงam com o algarismo 3?
โ Como o primeiro algarismo jรก estรก definido, restam:
3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
ร 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยฐ ๐๐๐.
= 6 nรบmeros
โ Quantos desses nรบmeros sรฃo maiores que 8 mil?
โ Mesmo raciocรญnio que questรฃo anterior, uma vez que o algarismo inicial jรก
estรก escolhido precisamos decidir apenas as possibilidades para os outros
3: 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
ร 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยฐ ๐๐๐.
= 6 nรบmeros
โ Quantos desses nรบmeros sรฃo pares?
โ Neste caso estamos definindo que o รบltimo algarismo deve ser par, ou seja,
temos duas opรงรตes. Porรฉm, depois de escolhido esse รบltimo algarismo,
voltamos a ter 3 algarismos para dispor nos outros 3 lugares, uma vez que
um dos algarismos pares nรฃo foi utilizado:
![Page 27: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/27.jpg)
26
3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ยฐ ๐ ๐๐๐๐๐
= 12 nรบmeros
โ Quantos desses nรบmeros sรฃo รญmpares?
โ Idem ao item anterior, temos duas opรงรตes que fazem o nรบmero ser รญmpar,
e posteriormente restam 3 algarismos para distribuir:
3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 1โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ยฐ ๐ ๐๐รญ๐๐๐๐
= 12 nรบmeros
โ O que acontece se somarmos a quantidade de nรบmeros pares e รญmpares?
โ Encontraremos a quantidade total de nรบmeros que podemos formar.
โ E se, usando esses algarismos, eu quiser escrever nรบmeros de apenas 2
algarismos distintos?
โ Temos entรฃo 4 opรงรตes para escolher o primeiro algarismo e, para cada
uma dessas, temos 3 opรงรตes para escolher o segundo algarismo,
resultando em 4ร3 = 12 nรบmeros possรญveis
โ Idem anterior com 3 algarismos distintos?
โ Para formar nรบmeros de trรชs algarismos teremos:
4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐.
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐.
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐.
= 24 nรบmeros
Situaรงรฃo 2: Sabendo que as placas dos veรญculos contรฉm 3 letras seguidas de 4
algarismos, responda:
a) Quantas placas podemos formar, sendo que nรฃo podemos utilizar 4 algarismos
zero juntos?
Como as letras e os algarismos podem ser repetidos, e a รบnica situaรงรฃo que
nรฃo รฉ permitida รฉ a combinaรงรฃo de 4 zeros nas placas, segue que:
- para as 3 letras hรก:
26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยช ๐๐๐ก๐๐
= 263 = 17 576 combinaรงรตes possรญveis
- para os algarismos hรก:
10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐
ร 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยฐ ๐๐๐
ร 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐
ร 10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยฐ ๐๐๐
โ 1โ๐๐๐๐๐๐๐รงรฃ๐0000 ๐๐ข๐ ๐รฃ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ข๐ ๐๐๐
= 104 โ 1 = 10 000 โ 1 = 9 999
![Page 28: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/28.jpg)
27
Como para cada uma das 17 576 combinaรงรตes de letras possรญveis hรก 9 999
combinaรงรตes de algarismos possรญveis, temos um total de:
263ร(104 โ 1) = 17 576 ร 9 999 = 175 742 424 placas possรญveis
b) Em quantas placas o zero nรฃo aparece na primeira posiรงรฃo?
Continuamos com as combinaรงรตes possรญveis para as letras, porรฉm temos
restriรงรตes nos algarismos. Uma vez que jรก estamos excluindo uma posiรงรฃo para o
zero, nรฃo precisamos mais nos preocupar com a possibilidade de 0000:
9โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 1ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 10โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 2ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 10โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 3ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 10โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ 4ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
= 9 000
Sendo assim: 263ร(9ร10ร10ร10) = 17 576 ร 9 000 = 158 184 000 placas
nas quais os nรบmeros formados nรฃo comeรงam com o algarismo 0.
c) Quantas placas podemos formar sem repetir letras ou dรญgitos?
Sem repetir letras ou dรญgitos temos 78.624.000 placas possรญveis:
26โ1ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 25โ2ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 24โ3ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐โ
๐๐รงรต๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐
ร 10โ1ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 9โ2ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 8โ3ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐
ร 7โ4ยช ๐๐๐ ๐รงรฃ๐โ
๐๐รงรต๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐
= 78 624 000
Problemas sugeridos:
1. Todo comeรงo de ano cada turma escolhe um lรญder e um vice-lรญder. Sabendo que
uma turma tem 30 alunos, de quantas formas diferentes podemos fazer essa escolha?
Resoluรงรฃo:
Temos 30 opรงรตes de alunos para a escolha do primeiro aluno e, para cada uma
dessas escolhas, temos 29 opรงรตes de alunos para escolher o segundo. Como temos
cargos/posiรงรตes diferentes, a ordem que realizamos essa escolha faz diferenรงa, entรฃo
temos: 30ร29 = 870 possรญveis maneiras de escolher a dupla de representantes da
turma.
2. Quantos anagramas de 2 letras diferentes podemos fazer com as 26 letras do
alfabeto?
Resoluรงรฃo:
Como a ordem das letras forma anagramas diferentes, temos:
![Page 29: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/29.jpg)
28
26โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 25โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ก๐๐
= 650 anagramas diferentes.
3. Em uma competiรงรฃo de judรด hรก 10 lutadores que podem terminar em primeiro,
segundo ou terceiro lugar. De quantas maneiras diferentes podemos ter o resultado
final?
Resoluรงรฃo:
A posiรงรฃo que cada lutador chegar ร final farรก diferenรงa, portanto:
10โ๐๐๐๐ ๐ 1ยช๐๐๐๐๐๐รงรฃ๐
ร 9โ๐๐๐๐ ๐ 1ยช๐๐๐๐๐๐รงรฃ๐
ร 8โ๐๐๐๐ ๐ 1ยช๐๐๐๐๐๐รงรฃ๐
= 720 classificaรงรตes finais possรญveis
4. A professora Dafne precisa criar uma senha de 4 dรญgitos. Como ela รฉ
supersticiosa, ela nรฃo gosta que nenhum dos algarismos se repita. De quantas
maneiras distintas ela pode criar essa senha?
Resoluรงรฃo:
Jรก que os algarismos nรฃo podem se repetir:
10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยฐ ๐๐๐
ร 9โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ 02ยฐ ๐๐๐
ร 8โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยฐ ๐๐๐
ร 7โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยฐ ๐๐๐
= 5 040 senhas de 4 dรญgitos distintos
5. Considerando as letras A, B, C, D e E de quantas maneiras diferentes podemos:
a) ordenar 2 dessas letras?
Resoluรงรฃo:
Sรฃo 5 letras no total e a ordem que as dispomos faz diferenรงa no anagrama
formado, entรฃo temos 5 opรงรตes para escolher a primeira letra e, para cada uma
dessas, temos 4 opรงรตes para a escolha da segunda letra, totalizando 5ร4 = 20
maneiras diferentes.
b) ordenar 3 dessas letras?
Resoluรงรฃo:
Similar ao item anterior temos:
5โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยช ๐๐๐ก๐๐
= 60 maneiras distintas
![Page 30: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/30.jpg)
29
c) colocar em ordem 4 letras, sendo que a primeira serรก sempre a letra A?
Resoluรงรฃo:
Uma vez que a primeira letra foi fixada temos:
4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยช ๐๐๐ก๐๐
= 24 maneiras diferentes.
Observaรงรฃo:
Podemos analisar o A fixado como uma opรงรฃo para a primeira letra:
1โ๐๐รงรฃ๐๐๐๐๐ ๐1ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 4โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 3โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยช ๐๐๐ก๐๐
ร 2โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐4ยช ๐๐๐ก๐๐
= 24 maneiras distintas
d) colocar em ordem 3 letras, onde a primeira sempre serรก a letra B?
Resoluรงรฃo:
Apรณs fixada a letra B restam 2 espaรงos para serem preenchidos, sendo que
temos 4 letras para o primeiro deles e 3 letras para o segundo, ou seja, 4ร3 = 12
maneiras diferentes.
Observaรงรฃo:
A letra B tambรฉm pode ser analisada como uma escolha para a primeira letra,
deixando 4 opรงรตes para a segunda e 3 opรงรตes para a terceira: 1ร4ร3 = 12 maneiras
diferentes.
Apรณs a correรงรฃo propor novo problema para a turma no quadro, que visa dar
continuidade ร s permutaรงรตes, porรฉm dando oportunidade para gerar perguntas que
levem a introduzir o conceito de combinaรงรตes.
Situaรงรฃo 1: Em uma turma hรก 10 alunos (6 meninas e 4 meninos). Responda:
a) De quantas formas podemos colocar eles em fila?
Resoluรงรฃo:
Como nรฃo estรก sendo especificado nada, apenas para que os 10 alunos sejam
colocados em fila temos: 10ร9ร8ร7ร6ร5ร4ร3ร2ร1 = 10! maneiras.
![Page 31: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/31.jpg)
30
b) De quantas formas podemos colocar apenas as gurias em fila?
Resoluรงรฃo:
Como sรฃo 6 meninas, segue que hรก 6ร5ร4ร3ร2ร1 = 720 maneiras de coloca-
las em fila.
c) De quantas formas podemos colocar apenas os guris em fila?
Resoluรงรฃo:
Para colocar os meninos em fila temos 4ร3ร2ร1 = 24 maneiras distintas.
Em seguida questionar a turma:
โ O que mais podemos perguntar?
โ Que outras perguntas podemos adicionar a essa? โJรก temos os itens a, b e cโฆโ
quem sugere a prรณxima pergunta?
โ Anotar as sugestรตes dos alunos no quadro e dizer que as duplas nas quais eles
estรฃo sentados devem responder a esses novos questionamentos.
Espera-se que dentro das sugestรตes dos alunos surjam situaรงรตes como as que
seguem:
โ Quantas maneiras podemos formar um grupo de 3 pessoas?
Resoluรงรฃo:
Como temos 10 pessoas e queremos apenas 3, segue que hรก:
10โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐1ยช ๐๐๐ ๐ ๐๐
ร 9โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐2ยช ๐๐๐ ๐ ๐๐
ร 8โ๐๐รงรต๐๐ ๐๐๐๐ ๐3ยช ๐๐๐ ๐ ๐๐
= 720 maneiras
Porรฉm, a ordem que essas pessoas foram escolhidas nรฃo importa. Se
escolhermos ABC ou BCA ou ACB, etc. o grupo formado continua o mesmo.
Nesse caso, precisamos eliminar esses grupos repetidos que se formam, que
รฉ na verdade a quantidade de formas que temos de ordenar essas trรชs pessoas
escolhidas. Temos 3ร2ร1 = 6 maneiras de ordenar as trรชs pessoas do grupo, ou
seja, cada trio formado estรก sendo contado 6 vezes.
Entรฃo segue que:
10ร9ร8
3ร2ร1=720
6= 120 maneiras de formarmos esse trio.
โ Quantas maneiras podemos formar um grupo de 5 pessoas?
Parecido com o item anterior, tambรฉm formamos grupos nos quais a ordem das
pessoas escolhidas nรฃo faz diferenรงa, precisamos entรฃo eliminar essas repetiรงรตes.
![Page 32: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/32.jpg)
31
Nesse exemplo temos 10ร9ร8ร7ร6 = 30 240 maneiras de selecionar 5 pessoas (10
possibilidades para escolher a primeira e, para cada uma dessas hรก 9 possibilidades
para escolher a segunda, ...).
Porรฉm, precisamos eliminar as 5ร4ร3ร2ร1 = 120 maneiras que podemos
reorganizar essas 5 pessoas escolhidas, uma vez que a ordem nรฃo faz diferenรงa, o
que resulta em:
10ร9ร8ร7ร6
5ร4ร3ร2ร1=30 240
120= 252 maneiras diferentes de formar o grupo com trรชs alunos.
โ Quantas maneiras podemos formar um grupo com 2 meninos e 2 meninas?
Resoluรงรฃo:
Aqui jรก precisamos ter um cuidado extra, estamos dizendo quantos meninos e
quantas meninas queremos.
Escolhendo primeiro as meninas temos 6ร5 = 30 maneiras, das quais
precisamos eliminar a ordem da dupla de meninas escolhida:
6ร5
2=30
2= 15 maneiras de escolher as meninas
Escolhendo agora os meninos temos 4ร3 = 12 maneiras de escolher os
meninos. Porรฉm novamente precisamos eliminar a ordem na qual eles podem ser
escolhidos, jรก que ela nรฃo faz diferenรงa. Temos entรฃo:
4ร3
2=12
2= 6 maneiras de escolher os meninos
Para cada uma das 15 maneiras que podemos escolher as meninas, hรก 6
maneiras que podemos escolher os meninos, ou seja, 15ร6 = 90 maneiras de
escolher esse quarteto.
Em combinaรงรตes temos como fazer parecido ao ensino de permutaรงรตes,
enfatizando o โpara cadaโ, porรฉm รฉ necessรกrio destacar que cada uma das
combinaรงรตes pode ter sido contada mais de uma vez. Por exemplo, se tenho 10
alunos e quero formar um grupo com 4, temos 10ร9ร8ร7 maneiras de fazer isso,
porรฉm, se eu escolher Ana, Bruno, Carla e Daniel ou Carla, Ana, Daniel e Bruno, o
grupo continua sendo o mesmo. Entรฃo precisamos eliminar o nรบmero de maneiras
que podemos formar esse grupo (4ร3ร2ร1), jรก que a ordem da seleรงรฃo dos
integrantes do grupo nรฃo altera o grupo final. E com isso temos 10ร9ร8ร7
4ร3ร2ร1.
Exemplos extras a serem discutidos com a turma:
![Page 33: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/33.jpg)
32
โ Dona Clรกudia comprou 5 potes de sorvete de sabores diferentes para a
sobremesa do almoรงo em famรญlia no domingo. De quantas maneiras Jรฉssica, sua
filha, pode escolher:
โ dois sabores diferentes?
Resoluรงรฃo:
Como sรฃo 5 sabores e a ordem que escolhermos eles nรฃo interferem no que
serรก colocado no pote temos 5ร4
2=20
2= 10 maneiras de escolher os dois sabores jรก
eliminando a ordem da escolha.
โ trรชs sabores diferentes?
Resoluรงรฃo:
Novamente a ordem que escolhermos nรฃo irรก interferir nos trรชs sabores
colocados no pote, portanto hรก 5ร4ร3
3ร2ร1=60
6= 10 maneiras de escolher esses trรชs
sabores.
โ Se eu quero escolher trรชs meninos e duas meninas da turma (16 meninas + 18
meninos) para uma atividade da gincana, de quantas maneiras posso fazer isso?
Resoluรงรฃo:
Escolhendo as meninas temos: 16ร15
2=240
2= 120
Escolhendo os meninos temos: 18ร17ร16
3ร2ร1=4 896
6= 816
Totalizando 120 ร 816 = 97 920 maneiras de escolher essas 5 pessoas.
Problemas sugeridos:
1. Em um grupo de 15 pessoas queremos selecionar uma dupla. De quantas
maneiras diferentes podemos fazer essa seleรงรฃo?
Resoluรงรฃo:
Para escolher duas pessoas temos 15ร14 = 210 maneiras. Como a ordem de
escolha dos integrantes da dupla nรฃo faz diferenรงa, quer dizer que estamos contando
dobrado, jรก que hรก 2ร1 = 2 maneiras de organizar as pessoas da dupla.
Sendo assim temos 15ร14
2=210
2= 105 maneiras de selecionar essa dupla.
![Page 34: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/34.jpg)
33
2. Devemos escolher 3 pessoas para formar o time de vรดlei para o jogo das
Intersรฉries3. Como temos 32 alunos na turma, de quantas maneiras podemos escolher
esse trio?
Resoluรงรฃo:
Temos 32ร31ร30 = 29 760 maneiras de escolhermos 3 pessoas, porรฉm, como
a ordem dessas trรชs pessoas nรฃo importa, devemos eliminar as 3ร2ร1 = 6 formas
de organizar elas resultando em 32ร31ร30
3ร2ร1=29 760
6= 4 960 maneiras de escolher esse
trio.
3. Para uma competiรงรฃo serรก necessรกrio escolher 4 alunos de uma turma com 20
alunos. De quantas formas diferentes a escolha dos participantes dos times pode ser
feita?
Resoluรงรฃo:
Selecionando 4 dos 20 alunos temos 20ร19ร18ร17 = 116 280.
Como a ordem dos grupos que nรฃo importa, devemos eliminar as formas que
temos de reorganizar esses 4 alunos dentro do grupo: 4ร3ร2ร1 = 24
Temos por fim 116 280
24= 4 845 maneiras de escolher os 4 alunos.
4. Para participar do Spelling Bee4 serรฃo escolhidos 3 alunos de uma turma de 10
alunos. De quantas maneiras diferentes podemos formar esse time?
Resoluรงรฃo:
Devemos escolher os 3 dos 10 alunos, e eliminar a ordem que eles podem ser
rearranjados. Temos que hรก 10ร9ร8
3ร2ร1=720
6= 120 maneiras diferentes para formar esse
time.
5. Sabe a MegaSena? ร um jogo no qual escolhemos 6 nรบmeros de 60 opรงรตes.
Quantas combinaรงรตes diferentes podemos criar?
Resoluรงรฃo:
Primeiramente selecionamos os 6 nรบmeros: 60ร59ร58ร57ร56ร55.
3 Atividade esportiva; envolve jogos em que os times sรฃo formados misturando, por nรญvel, as turmas da escola. 4 Spelling Bee: nome dado, na escola, ร competiรงรฃo na qual os alunos soletram palavras.
![Page 35: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/35.jpg)
34
Em seguida, como a ordem que os nรบmeros sรฃo escolhidos nรฃo altera os seis
nรบmeros marcados, precisamos calcular quantas combinaรงรตes devem ser eliminadas:
6ร5ร4ร3ร2ร1 = 720, pois se escolhermos, por exemplo, 1, 10, 33 ou 10, 33 e 1, nรฃo
hรก diferenรงa no ganhador).
No total temos: 60ร59ร58ร57ร56ร55
6ร5ร4ร3ร2ร1=36 045 979 200
720= 50 063 860 maneiras de
escolher os 6 nรบmeros a serem marcados na cartela da MegaSena.
6. Em um baralho de carta com 52 cartas, de quantas maneiras podemos separar
7 cartas diferentes?
Resoluรงรฃo:
Para escolhermos as 7 cartas distintas temos:
52โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 1ยช
ร 51โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 2ยช
ร 50โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 3ยช
ร 49โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 4ยช
ร 48โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 5ยช
ร 47โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 6ยช
ร 46โ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ 7ยช
= 674 274 182 400
Porรฉm a ordem que as cartas estรฃo sendo selecionadas nรฃo importa, com isso,
precisamos eliminar as 7ร6ร5ร4ร3ร2ร1 = 5 040 formas de organizar essas sete
cartas escolhidas.
Sendo assim teremos 674 274 182 400
5 040= 133 784 560 maneiras de separar 7 cartas
diferentes.
7. Hรก 7 meninos e 9 meninas em uma turma de inglรชs. Para participar da etapa
final do Spelling Bee serรฃo escolhidos dois meninos e duas meninas. De quantas
maneiras diferentes podemos formar essa equipe?
Resoluรงรฃo:
Escolhendo primeiramente as meninas temos 9ร8 = 72 maneiras, das quais
precisamos eliminar as maneiras de coloca-las em ordem, que nรฃo importa, que sรฃo
2ร1 = 2. Sรฃo entรฃo: 9ร8
2ร1=72
2= 36 maneiras de escolher as meninas.
Para escolher os meninos temos o mesmo problema, dentre as 7ร6 = 42
maneiras de escolhรช-los, estamos contando 2ร1 = 2 vezes a mesma dupla, o que
nos deixa com 7ร6
2ร1=42
2= 21 maneiras de escolher a dupla de meninos.
Para cada uma das 36 maneiras que podemos escolher as meninas, temos 21
maneiras de escolher os meninos, totalizando 36ร21 = 756 maneiras de escolher
essa equipe de 4 alunos.
![Page 36: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/36.jpg)
35
8. Hรก 12 meninos e 14 meninas em uma sala de aula. Para uma tarefa da gincana
serรฃo escolhidos 3 meninos e 3 meninas. De quantas maneiras podemos formar um
grupo?
Resoluรงรฃo:
Parecida com a questรฃo anterior, precisamos primeiramente escolher os 3
meninos ou 3 meninas, eliminando as possรญveis formas de organiza-los em fila, jรก que
o grupo formado nรฃo muda se a ordem dos alunos escolhidos mudar. Segue que hรก
80.080 maneiras de escolher esse grupo:
12ร11ร10
3ร2ร1โ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
ร14ร13ร12
3ร2ร1โ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
=1 320
6ร2 184
6= 220ร364 = 80 080
9. Na aula de Educaรงรฃo Fรญsica vamos jogar basquete. Sabendo que a turma tem
16 meninas e 18 meninos, de quantas maneiras podemos escolher 2 times mistos
com 5 jogadores em cada um?
Resoluรงรฃo:
A informaรงรฃo de que hรก 16 meninas e 18 meninas sรณ nos auxilia a descobrir
quantos alunos hรก nessa turma, pois como os times as mistos, nรฃo hรก a necessidade
de calcular meninos e meninas separadamente.
Para formar o primeiro time temos 32ร31ร30ร29ร28
5ร4ร3ร2ร=24 165 120
120= 201 376
maneiras.
Para formar o segundo time, como temos 5 alunos a menos, temos 27 alunos
para escolher os 5 do prรณximo time: 27ร26ร25ร24ร23
5ร4ร3ร2ร1=9 687 600
120= 80 730 maneiras.
Para cada uma das 201 376 maneiras de escolher o primeiro time, temos 80
730 maneiras de escolher o segundo, totalizando 201 376ร80 730 = 16 257 084 480
maneiras.
Porรฉm, a ordem que escolhemos esses dois times nรฃo importa, e como temos
2 maneiras de ordenar esses times, segue que hรก 16 257 084 480
2= 8 128 542 240
maneiras de escolher esse time.
![Page 37: CONCEITOS INICIAIS DE ANรLISE โฆ sรฃo os anagramas que podemos formar com as letras da palavra LIVRO? Temos cinco alternativas de letras distintas entre si, logo ๐5=5!=120 anagramas](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022052610/5bf49e0009d3f26f7c8c85c6/html5/thumbnails/37.jpg)
36
REFERรNCIAS
ATZ, Dafne. Anรกlise Combinatรณria: Noรงรตes Bรกsicas e Um Estudo das Funรงรตes Geradoras. Trabalho de Conclusรฃo (Licenciatura em Matemรกtica). Universidade do Vale do Rio dos Sinos. Sรฃo Leopoldo, 2014.
DANTE, Luiz Roberto. Projeto Telรกris: Matemรกtica 6 (2.ed.). Sรฃo Paulo: รtica, 2015.
MORGADO, Augusto Cรฉsar; PITOMBEIRA DE CARVALHO, Joรฃo Bosco; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; FERNANDEZ, Pedro. Anรกlise Combinatรณria e Probabilidade. 9 ed. Rio de Janeiro, RJ: SBM, 1991.
SANTOS, Josรฉ Plรญnio O.; MELLO, Margarida P.; MURARI, Idani T. C.. Introduรงรฃo ร Anรกlise Combinatรณria. 2 ed. Campinas, SP: Editora UNICAMP, 1998.
SILVEIRA, รnio; MARQUES, Clรกudio. Matemรกtica: compreensรฃo e prรกtica 6 (2.ed.). Sรฃo Paulo: Moderna, 2013.
VAZQUEZ, C. M. R.; NOGUTI F. C. H.. Anรกlise Combinatรณria: alguns aspectos histรณricos e uma abordagem pedagรณgica. In: VIII Encontro Nacional de Educaรงรฃo Matemรกtica. Recife: ANAIS โ VIII ENEM, 2004.