Conceitos e Teoremas de Transformac~oes Lineares:Algebra Linear - T05 - Prof. Dr. Simone Baista.

Teorema 1: Dados dois espacos vetoriais reais V e W , (V de dimens~ao nita), seja =v1; v2; : : : ; vk

uma

base de V , e sejam w1; w2; : : : ; w + k vetores arbitrarios (quaisquer) de W . Ent~ao, existe uma unica aplicac~ao

linear T : V !W tal que T (v1) = w1; T (v2) = w2; : : : ; T (vk) = wk.

Observac~ao:

Se v 2 V ) v = a1 v1+a2 v2+ +ak vk ) T (v) = a1 T (v1)+a2 T (v2)+ +ak T (vk) = a1 w1+a2 w2+ +ak wk

Problemas:

Problema 1: Qual a transformac~ao linear T : R2 ! R3 tal que T (1; 0) = (2;1; 0) e T (0; 1) = (0; 0; 1) ?Problema 2: Qual a transformac~ao linear T : R2 ! R3 tal que T (1; 1) = (3; 2; 1) e T (0;2) = (0; 1; 0) ?

Denic~ao 1: Seja T : V !W uma aplicac~ao linear. A imagem de T e o conjunto dos vetores w 2W tais queexiste um vetor v 2 V que satisfaz T (v) = w. Ou seja: Im (T ) = w 2W j T (v) = w para algum v 2 V .Observac~ao: Im (T ) e um subconjunto de W , nos exerccios provaremos que Im (T ) e um subespaco de W .

Denic~ao 2: Seja T : V !W uma aplicac~ao linear. O conjunto de todos os vetores v 2 V tais que T (v) = 0e chamado de nucleo da transformac~ao linear T e e denotado por ker (T ). Ou seja: ker (T ) =

v 2 V j T (v) = 0 .

Observac~ao: ker (T ) e um subconjunto de V , nos exerccios provaremos que ker (T ) e um subespaco de V .

Exerccios:

1. Determine a imagem e o nucleo das transformac~oes lineares:

(a) T : R2 ! R, dada por T (x; y) = x+ 2y.(b) T : R3 ! R3, dada por T (x; y; z) = (x; 2y; 0).

Denic~ao 3: Dados V e W espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W , dizemos que T e injetora sedados u; v 2 V com T (u) = T (v) temos u = v. Ou seja, T e injetora () T (u) = T (v) ) u = v

Denic~ao 4: Dados V e W espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W , dizemos que T e sobrejetorase para todo w 2W; existir v 2 V tal que T (v) = w. Ou seja, T : V !W e sobrejetora () Im (T ) = W .

Exerccios:

1. Verique se as transformac~oes lineares abaixo s~ao injetoras e se s~ao sobrejetoras:

(a) T : R2 ! R2, dada por T (x; y) = (x+ 2y; 2x y).(b) T : R3 ! R2, dada por T (x; y; z) = (x y + 4z; 3x+ y + 8z).

Teorema 2: Dados V eW espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W linear. T e injetora () ker (T ) = 0 .Teorema 3: Dados V eW espacos vetoriais reais e T : V !W linear. dim ker (T )+ dim Im (T ) = dim (V ) .

Teorema 4: Dados V eW espacos vetoriais reais de diemens~ao nita e T : V !W linear. Seja = v1; v2; : : : ; vkbase de V . Ent~ao im (T ) =

T (v1); T (v2); : : : ; T (Vk)

.

Corolario 1: Dados V e W espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W linear.Se dim (V ) = dim (W ), ent~ao T e injetora se, e somente se, T e sobrejetora.

Corolario 2: Dados V e W espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W linear injetora.Se dim (V ) = dim (W ), ent~ao T leva base em base.

Exerccios:

1. Determine o nucleo e a imagem, a dimens~ao do nucleo e da imagem das transformac~oes lineares abaixo e

verique se as transformac~oes lineares abaixo s~ao injetoras e se s~ao sobrejetoras:

(a) T : P2(R)! R3, dada por P (a2x2 + a1x+ a0) = (2a1 + a0; a2 a1; 3a1 + a0).

(b) T : R3 !M22(R), dada por T (x; y; z) =0@ 2x x yy x

1A.Teorema 5: Dados V , L e W espacos vetoriais reais e duas aplicac~oes T : V ! L e S : L!W linear.Ent~ao a transformac~ao composta S T : V !W e linear.

Exerccios:

1. Cacule S T :(a) T : R2 ! R3 dada por T (x; y) = (2x y; 3x+ 2y; x+ y)

e S : R3 ! R2 dada por S(x; y; z) =2x+ y

7;3x+ 2y

7;x+ y

7

(b) T : P2(R)!M22(R) dada por T (ax2 + bx+ c) =24 a b

b c

35e S : M22(R)! R dada por S

0@24 x yz w

351A = x+ 2y 3z 4w.Denic~ao 5: Dados V e W espacos vetoriais reais e uma aplicac~ao T : V !W linear.Se T : V !W e injetora e sobrejetora a chamamos de isomorsmo. Neste caso, dizemos que V e W s~aoespacos vetoriais isomorfos.

Observac~ao: Espacos vetoriais nitos isomorfos tem a mesma dimens~ao e todo isomorsmo T : V !W levabase em base. Alem disso, todo isomorsmo T : V !W e invertvel, ou seja, tem uma aplicac~ao linearT1 : W ! V , tal que T T1 = I.

Exerccios:

1. Seja T : R3 ! R3 dada por T (x; y; z) = (x 2y; z; x+ y)(a) Calcule Im (T ) e ker (T ). (b) Mostre que T e um isomorsmo.

(c) Calcule a transformac~ao inversa T1.