conceito: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle....

• CONCEITO: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle.

• LEI DE CONTROLE: programa (software)

onde se atua nos parâmetros adequados a fim de cumprir as especificações estipuladas para a malha a ser controlada.

1.1. CONTROLADOR DIGITAL

SISTEMAS II

• DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL:


SISTEMAS II

• PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL:

1) AMOSTRAR UM SINAL: ler a função em tempos definidos pelo período T (conversor A/D).

2) RECONSTRUIR UM SINAL: transformar o sinal amostrado em sinal contínuo (conversor D/A).


SISTEMAS II

• LEI DE CONTROLE PID:

Saída = Kpr.e(t) + Ki.e(t)dt + Kd.(d e(t) / dt)

• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONTROLADOR PID:

Gc(s) = U(s)/E(s) = Kpr + (Ki/s) + Kds

2.1. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL

SISTEMAS II

a) INTEGRAÇÃO DIGITAL:• Termo e(t)dt , na equação da lei de controle PID,

representa a área sob a curva do erro pelo tempo, entre (t = 0) e (t = t).

• Pode ser obtida de forma aproximada dividindo-se a área em faixas retangulares e somando-se as áreas destas faixas.

Ki.e(t)dt = Ki.∑(das áreas das faixas, no intervalo de 0 a K), onde K = número de faixas entre (t=0) e (t=t)


SISTEMAS II

• Como cada faixa tem largura T (período de integração), a faixa imediatamente precedente ao instante KT tem uma área que é aproximadamente o valor do erro no começo do intervalo de tempo da faixa. Isto é: e(KT – 1) x T

Ki.e(t)dt = Ki.∑ e(KT – 1).T (para o intervalo de 0 a K)• Uma aproximação melhor é dada tomando-se, como

altura da faixa, o valor médio dos valores do erro no início e no fim da faixa. Daí:

Ki.e(t)dt = Ki.∑ ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T (para o intervalo de 0 a K)


SISTEMAS II

b) DERIVAÇÃO DIGITAL:• Termo [Kd.(d e(t) / dt)] pode ser considerado como a inclinação

da curva do erro pelo tempo, em um determinado instante de tempo.

Kd.(d e(t) / dt) = Kd.(inclinação da curva do erro pelo tempo)

• Para um sinal que é uma série de pulsos, uma aproximação razoável para a inclinação da curva do erro é dada pela inclinação da linha que une dois pulsos consecutivos → pulsos em KT e (KT – 1).

• Se esses pulsos tem amplitude e(KT) e e(KT – 1) e o intervalo entre os pulsos é de 1 período de amostragem T, podemos dizer que:

Kd.(d e(t) / dt) = (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)]


SISTEMAS II

c) EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL:

Saída = { Kpr.e(KT) } +

{ Ki.∑ ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T } +

{ (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)] }


SISTEMAS II

• EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL, APLICANDO A TRANSFORMADA Z:

Saída (z) = { Kpr.E(z) } +

{ (Ki. T / 2).[(z + 1) / (z - 1)].E(z) } +

{ Kd.[(z - 1) / z].E(z) }

3. CONTROLE DIGITAL DIRETO

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• Sistema linear realimentado com sinais contínuos → é estável se todos os pólos da FTMF estão no SPE → ou seja, todas as raízes do denominador da T(s)[equação característica q(s)] devem ter parte real σ = negativo.

• Pela definição de Z: z = eTs = eT(σ+jw) = eσT.ejwT

• Para a estabilidade: σ = negativo → σT = negativoeσT = valor entre 0 e 1

• Módulo de z = |z| = eσT → CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE

4.1. ESTABILIDADE

SISTEMAS II

• CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE PARA UM SISTEMA AMOSTRADO: todos os pólos da transformada Z da FTMF = T(s) devem estar dentro de um círculo de raio unitário.

4.2. ESTABILIDADE

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a) EM FUNÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES:

b) Raízes que estão dentro do círculo de raio unitário: uma entrada impulso leva a uma resposta que amortece com o tempo → figura 1 (a, b, c).

c) Raízes que estão fora do círculo de raio unitário: a resposta aumenta com o tempo → figura 1 (d, e).

5.1. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO

SISTEMAS II

a) EM FUNÇÃO DO TIPO DAS RAÍZES:b) Raízes reais dentro do círculo de raio unitário: a

resposta tem um amortecimento progressico com o tempo → figura 1 (a, b).

c) Raízes complexas dentro do círculo de raio unitário: a resposta apresenta oscilações amortecidas → figura 1 (c).

d) Raízes reais sobre o círculo de raio unitário: a resposta à entrada impulso unitário é uma resposta constante → figura 1 (f, g).

e) Raízes complexas sobre o círculo de raio unitário: a resposta é uma oscilação de amplitude constante → figura 1 (h).

5.2. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO

SISTEMAS II

• SUBSTITUIÇÃO DE Z: técnica é baseada na transformação do plano z em um novo plano v, por meio de transformação bilinear.

z = (1 + v)/(1 – v) → v = (z -1)/(z + 1)

• Coloca-se v na forma cartesiana (v = σ + jw):• Quando σ < 0, |σ + 1| < |σ – 1| → resulta:

|z| = √ {[(σ + 1)2 – w2] / [(σ – 1)2 – w2]} < 1

• O interior do círculo de raio unitário do plano z é mapeado no SPE do plano v.

6. CRITÉRIO DE ROUTH HURWITZ

SISTEMAS II

SISTEMA REALIMENTADO NO PLANO Z• Sistema genérico:

FTMA = G(z).H(z)Se H(z) = 1 → FTMA = G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) }

• No plano z, a FTMA de um sistema realimentado sem controlador pode ser escrito como uma relação de polinômios:

G(z) = K [(z – z1)(z – z2)...(z – zn)] / [(z – p1)(z – p2)...(z – pm)]

7.1. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z

SISTEMAS II

• Equação característica do sistema no plano z:1 + G(z) = 0

• O módulo e a fase serão:

|G(z)| = 1Fase de G(z) = K.(+ 180°); K = 1, 2, 3, …

• Os pólos da malha fechada estarão dentro do círculo de raio unitário para um sistema estável → O Lugar das Raízes pode ser traçado e, no ponto de encontro do LR com o círculo, pode-se obter o valor máximo do ganho K.


SISTEMAS II

• LUGAR DAS RAÍZES NO PLANO Z: é traçado de modo similar ao plano s

G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) }= (1 – e-Ts) Z { Gp(s) / s }= [1 – (1/z)] Z { Gp(s) / s }

• Relação entre entrada e saída, incluindo comparador em cascata:

[C(z) / R(z)] = [K.D(z).Gp(z)] / [1 + K.D(z).Gp(z)]

Onde: D(z) = compensador digital [1 + K.D(z).Gp(z)] = 0 → fornece os valores dos

pólos do sistema de malha fechada


SISTEMAS II

• PROJETO PELO MÉTODO DOS DIAGRAMAS DE BODE: torna-se complicado no plano z → as funções de z são tipicamente não racionais, onde a freqüência aparece na forma z = ejwT.

• PLANO V: transformação bilinear do plano z → projeto discreto pode ser realizado com as mesmas técnicas do plano s, em sistemas contínuos.

• O plano v é similar so plano s, exceto pelo fato de que é definido para sistemas discretos.

• Cuidado: a transformação pode distorcer a resposta em freqüência.

8. PROJETO POR BODE NO PLANO V

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1) PASSOS PARA PROJETO NO PLANO V:

2) Dada uma instalação contínua, transforma-se o conjunto dessa instalação Gp(s) e o Reconstrutor de Ordem de Zero Ghoz(s) para o plano Z para obter G(z), usando-se uma das técnicas conhecidas;

3) Transforma-se G(z) em uma função da variável v = +j, aplicando-se a transformação bilinear, isto é

G(v) = G(z), onde z = (1+v)/(1-v)

9.1. PROJETO NO PLANO V

SISTEMAS II

3) Seleciona-se T e projeta-se o compensador D(v) usando-se o Diagrama de Bode ou então o Lugar das Raízes, no plano V;

Quando a resposta em freqüência é usada, convém traçar também o Lugar das Raízes, pois pode ocorrer alguma ambigüidade com a fase ( a transformação bilinear distorce a resposta em freqüência de fase, mas não de módulo), devendo ser tomadas precauções para não compensar a fase na direção errada.

Nesta transformação o eixo das freqüências está distorcido. Se Z e V são dados por

z = esT = ejwT

v = ejvT = (z-1)/(z+1) = (ejwT – 1)/(ejwT + 1)

então, para uma faixa de passagem wc prevista, o projeto deve ser realizado para

vc = tan ((wc T) / 2)No traçado do diagrama de Bode no plano V, a freqüência será usada como eixo das

abscissas. O módulo do ganho |G(j)| e o ângulo de fase de G(j) serão traçados como funções de log . De modo análogo ao modo como se expressa G(jw), pode-se expressar G(j) como uma função de pólos e zeros.


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4) Uma vez obtida a expressão do compensador D(v), transforma-se D(v) para o plano Z, usando-se a transformação inversa bilinear:

D(z) = D(v), onde v = (z-1)/(z+1)Pelas razões já explicadas, convém traçar o

Lugar das Raízes no plano Z e verificar a posição dos pólos dominantes (se for o caso).

5) Transforma-se D(z) em um algoritmo adequado para implementação por software.


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• Representação genérica da função de transferência de um controlador digital D(z):

D(z) = U(z) / E(z)

• Forma de relação de polinômios:D(z) = [a0 + a1z-1 + a2z-2 + ...] / [1 + b1z-1 + b2z-1 + ...]

D(z) = [j=0n aj z-j ] / [1 + j=1

n bj z-j ]

10.1. IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS

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• Implementação do software usa-se a representação através da equação de diferenças cada atraso z-1 pode ser representado como uma entrada ei-1

(numerador) ou uma saída ui-1 (denominador).

ui = a0ei + a1ei-1 + a2ei-2 + ... - b1ui-1 - b2ui-1 - ...

ui = j=0n ajei-j - j=1

n bj ui-j

10.2. IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS

SISTEMAS II

conceito: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle....

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