comunicando matemática claudia neves

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COMUNICANDO MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DO PENSAMENTO MATEMÁTICO EM REGISTROS ESCRITOS DOS ALUNOS. Claudia Neves do M. F. de Lima 1 EE ”Profa.Maria J. Moraes Sales” Bragança Pta-SP e Faculdade Chafic/SP A comunicação matemática na sala de aula vem despertando a atenção nas pesquisas de educadores matemáticos, e se fazendo presente nas orientações curriculares atuais para o ensino da matemática. De acordo com Pontes et al (1999), a comunicação matemática é um aspecto também importante do processo de ensino e aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita que os alunos dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído. Christiansen e Walther (1986, p.31), com base na teoria vygotskyana, argumentam: Nas palavras de Vygotsky: “aprender tem valor enquanto contribuir para o desenvolvimento”. Os passos educacionais devem, de acordo com o dito, ter como objectivo a aprendizagem real, os quais através de cooperação orientada para objectos, reflexão e comunicação servem como impulso para novas áreas de actividade e de conhecimento. O uso das tarefas exploratório-investigativas contempla os requisitos acima expostos, no que diz respeito à comunicação matemática, uma vez que tais tarefas, na maioria das vezes, são problemas abertos, propostos pelo professor; mas, uma vez propostos, têm de ser interpretados pelo aluno e podem dar origem a atividades muito diversas (ou nenhuma atividade), conforme a disposição do aluno e o ambiente de aprendizagem. No decorrer da tarefa, por ser realizada em grupo, pressupõe a interação entre os alunos, o registro das estratégias, a produção do relatório e a apresentação e discussão com os demais colegas da classe. Os processos de pensamento matemático Em nossa análise identificamos registros escritos sobre as tarefas realizadas que, no nosso entender, explicitam os processos matemáticos. Ao nos referirmos aos “processos matemáticos” partilhamos das idéias de Frobisher (apud FONSECA, 2000, p.28) para quem, esses “processos são os meios através dos quais os alunos põem a 1 Mestre em Educação, Linha de pesquisa : Matemática, Cultura e práticas pedagógicas. E-mail: [email protected]

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COMUNICANDO MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DO PENSAMENTO MATEMÁTICO EM REGISTROS ESCRITOS DOS ALUNOS.

Claudia Neves do M. F. de Lima1

EE ”Profa.Maria J. Moraes Sales” Bragança Pta-SP e Faculdade Chafic/SP

A comunicação matemática na sala de aula vem despertando a atenção nas pesquisas de educadores matemáticos, e se fazendo presente nas orientações curriculares atuais para o ensino da matemática. De acordo com Pontes et al (1999), a comunicação matemática é um aspecto também importante do processo de ensino e aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita que os alunos dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído.

Christiansen e Walther (1986, p.31), com base na teoria vygotskyana, argumentam:

Nas palavras de Vygotsky: “aprender tem valor enquanto contribuir para o desenvolvimento”. Os passos educacionais devem, de acordo com o dito, ter como objectivo a aprendizagem real, os quais através de cooperação orientada para objectos, reflexão e comunicação servem como impulso para novas áreas de actividade e de conhecimento.

O uso das tarefas exploratório-investigativas contempla os requisitos acima

expostos, no que diz respeito à comunicação matemática, uma vez que tais tarefas, na maioria das vezes, são problemas abertos, propostos pelo professor; mas, uma vez propostos, têm de ser interpretados pelo aluno e podem dar origem a atividades muito diversas (ou nenhuma atividade), conforme a disposição do aluno e o ambiente de aprendizagem. No decorrer da tarefa, por ser realizada em grupo, pressupõe a interação entre os alunos, o registro das estratégias, a produção do relatório e a apresentação e discussão com os demais colegas da classe.

Os processos de pensamento matemático

Em nossa análise identificamos registros escritos sobre as tarefas realizadas que, no nosso entender, explicitam os processos matemáticos. Ao nos referirmos aos “processos matemáticos” partilhamos das idéias de Frobisher (apud FONSECA, 2000, p.28) para quem, esses “processos são os meios através dos quais os alunos põem a

1 Mestre em Educação, Linha de pesquisa : Matemática, Cultura e práticas pedagógicas. E-mail: [email protected]

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funcionar conceitos, conhecimentos e capacidades”. Fonseca (2000) acrescenta que, em matemática e, em particular, em investigação matemática, muitos são os processos relevantes que podemos encontrar durante a realização das tarefas; contudo, não existe uma lista pré-estabelecida e bem definida desses processos. A autora apresenta em sua pesquisa as concepções de vários pesquisadores sobre os processos matemáticos estabelecidos durante uma investigação; porém, daremos destaque em nossa análise às classificações de Pirie (apud FONSECA, 2000, p.33) que tenta “relacionar cada um dos processos que considera contribuir para o pensamento matemático com os diferentes momentos em que surgem ao longo de uma investigação”.

Pirie (1987) caracteriza as seguintes fases de uma tarefa: (1) fase do arranque da tarefa; (2) fase do envolvimento na tarefa; (3) fase de reflexão.

A fase inicial – arranque da tarefa – se caracteriza como a seleção de uma estratégia (processo de tentativa e erro, organização sistemática, manipulação de materiais, representação através de diagramas, tabelas ou desenhos) pela qual o aluno dará início à tarefa. A fase seguinte – de envolvimento na tarefa – é subdividida em quatro fases: exploração, descoberta, confirmação e comunicação. Segundo a autora, o registro pode estar presente em todas essas subfases. Assim, durante a exploração – fase mais informal – o registro é uma forma de ajudar o aluno a não esquecer o que já foi realizado; na subfase da descoberta, quando o aluno já começa a perceber alguma regularidade, formular conjecturas, o registro é fundamental para ajudar a organizar as estratégias escolhidas; na subfase da confirmação, as conjecturas confirmadas devem ser registradas para serem submetidas a novas verificações. A comunicação perpassa todas as demais subfases, pois está presente nas discussões aluno-aluno, nos relatos orais e nos relatórios escritos. No que diz respeito ao relatório escrito Fonseca (2000, p.34) esclarece:

A elaboração de um relatório escrito já pode ter como objectivo apresentar aos outros o trabalho que foi feito. Para pôr os alunos a criar e a compreender a matemática, é importante que escrevam através das suas próprias palavras e dos seus próprios símbolos. Os alunos devem ser encorajados a comunicar por meio de gráficos, tabelas, modelos, diagramas, pois este tipo de comunicação pode ajudar muito a explicar determinados assuntos.

Ainda, segundo a autora, a última fase – da reflexão – geralmente é esquecida pelo aluno, mas é fundamental, uma vez que é o momento em que se reflete sobre o trabalho realizado e pode contribuir para o emergir de novas conjecturas. Além disso, quando o aluno produz o relatório escrito e o comunica a outras pessoas, ele também produz reflexões sobre o seu trabalho, ou seja, “o aluno terá de pensar no modo de

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organizar o seu raciocínio, decidir o que comunicar a quem vai ler o relatório e reflectir sobre a forma como as idéias estão relacionadas” (FONSECA, 2000, p. 34).

Essa discussão reafirma a importância da comunicação matemática na sala de aula, como a possibilidade do professor identificar os processos matemáticos, utilizados pelos alunos durante a realização das tarefas propostas.

Com esses pressupostos, que apresentaremos um recorte da nossa pesquisa2 , que teve como um dos objetivos de identificar e analisar os elementos que emergem dos processos de comunicação de idéias nas produções escritas dos alunos quando da realização das tarefas, com ênfase nos aspectos delineados acima.

Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa, baseada no estudo de caso, tendo como sujeitos professor e alunos. Os dados foram coletados através de audiogravações das discussões em pequenos grupos, produções escritas dos alunos e registros feitos no diário de campo.

Traremos alguns registros dos alunos juntamente com a tarefa desenvolvida por eles e, a análise com os principais resultados.

Os primeiros registros foram efetuados diante da tarefa “Tabuada”, pelos alunos do 1ºD e 1ºA.3

TABUADA 1)OBJETIVOS: Desenvolver o pensamento matemático investigativo dos alunos, através da análise de padrões e regularidades envolvendo números e operações elementares. 2)ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE TAREFAS:

a) As tarefas serão feitas por grupos de 3 ou 4 alunos; b) O tempo para realização das tarefas será de 50 minutos partindo do ínicio da

atividade; c) Os grupos deverão escolher para organização das tarefas: _ 1 redator _ 1 cronometrista _ 1 orador _ 1 coordenador d) O redator deverá anotar toda a descrição durante a execução das tarefas,

poderão usar desenhos, esquemas, tabelas... E ao final deverá resumir as anotações de forma clara e organizada;

e) Para exploração da tarefa vocês irão precisar de papel, caneta e papel craft

2 Pesquisa que foi desenvolvida junto ao Programa de Pós Graduação Scricto Sensu em Educação, USF, Itatiba/SP, sob a orientação da Profª Drª Adair Mendes Nacarato. 3 Os alunos citados na pesquisa eram do 1º ano do Ensino Médio de uma Escola publica /SP.

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TAREFAS a) Construa a tabuada do 11. O que encontra de curioso nesta tabuada? Prolongue-a calculando 11x11, 11x12, 11x13,... e formule algumas conjecturas. b) Faça o relatório de todo o desenvolvimento da tarefa.

REGISTRO DOS ALUNOS GRUPO 1 (composto por 4 alunos do 1o A)

O registro inicial dos alunos nesta tarefa consistiu na montagem da tabuada do 11. Em seguida, escreveram a conclusão: “Quando chega no 11x11, os resultados se dão a cada sucessor, ex: 11x11= 121, 11x12= 132 e assim por diante. Na unidade, ou seja, na ultima casa os números estão seguindo naturalmente 0,1,2,3,4,5,... e na dezena, ou seja, na segunda casa os números estão tendo o sucessor ex: 110 e 121. Na soma dos fatores, os finais dos números, na multiplicação, somam-se formando a dezena do produto.

ex: 11x1+1= 121 , 11x1+2= 132”

GRUPO 2 (composto por 3 alunos do 1o D)

“Deduzimos que do 11x1 ao 11x10, os últimos números sempre serão em escada, esta seqüência é quebrada em 11x11, que é igual a 121, e a partir deste resultado começa outra seqüência de números em escada, mas agora, a seqüência parte dos dois primeiros números. Para obter o resultado seguinte basta acrescentar o nº 1 nos últimos 2 números do resultado”

Podemos dizer que, esses primeiros relatórios elaborados pelos alunos, de um modo geral, não explicitam os processos matemáticos que emergiram durante a realização da tarefa: são respostas curtas que, na realidade, resumem-se a conclusões do que era pedido; nestes casos, os processos por eles usados, estão implícitos nessas conclusões. No entanto, verificamos que eles tentaram explicar e justificar algumas ‘descobertas’.

Em todos os grupos, como dito anteriormente, havia, inicialmente, por parte dos alunos, a organização dos dados com a montagem da tabuada do 11 e os prolongamentos até 11x 20. A partir daí eles começavam a fazer suas observações.

A primeira percepção de regularidades, que está presente no registro dos alunos do grupo 1, também aparece nos registros dos alunos dos grupos 2 , porém, cada um usou uma forma ou estratégias diferentes para explicar que, no resultado da multiplicação (produto), o algarismo da unidade é formado por números em ordem

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crescente (0 até 9); o das dezenas também, porém, ‘salta’ um algarismo de 10 em 10 (99, 110, ... 209, 220). O algarismo da centena aumenta uma unidade a cada 9 números da seqüência.

Pode-se dizer, que os alunos do grupo 1 apresentaram um dos registros melhor elaborados; eles tentam fazer as conexões matemáticas corretas, usam os termos matemáticos (dezena, unidade), mostram exemplos e a seqüência dos números naturais para explicar o que está acontecendo. Os alunos do grupo 2 estabeleceram uma conexão com a tarefa anterior, a “escada”, que foi usada para ambientá-los com aulas deste tipo. Essa tarefa “escada” consiste de números que podem ser escritos, como a soma de números naturais consecutivos. Por exemplo: 12 é um número em escada porque pode ser escrito na forma: 3+4+5 Os alunos, implicitamente, relacionaram os produtos obtidos com os números consecutivos; quando falam da seqüência quebrada fazem conexão com o ‘salto’ do algarismo das dezenas de 10 em 10. Devemos acrescentar, com base no diário de campo da professora, que esse grupo foi o que conseguiu explicar da melhor maneira para a sala, esta regularidade encontrada.

Podemos afirmar que houve uma ampliação das estratégias utilizadas pelos alunos, no que se refere à análise de padrões e regularidades envolvendo números; passaram a ter um outro olhar para a tabuada e isto revela, de acordo com Fontana (2000, p.87), a influência de informações e métodos na utilização dos conceitos propostos pela professora. Ocorre aquilo que Vygotsky aponta: “movimento ascendente do conceito espontâneo”, ou seja, os conceitos formais ou científicos modificam os conceitos espontâneos que o aluno traz. Assim, a tabuada que antes era um fato matemático automatizado pelo aluno (provavelmente tenha sido decorado em algum momento da escolarização), passa agora a ter outros significados, há regularidades nos números que representam os produtos. No entanto, para a produção desses novos significados o aluno teve como ponto de partida aquilo que já era conhecido.

Embora sejam variadas as estratégias de escrita, é possível observar a predominância, quanto à estrutura, de generalização dos conceitos estabelecidos por todos os grupos diante da tarefa proposta.

No que se refere aos processos matemáticos , baseando em Pirie (apud FONSECA,2000), verificamos através dos registros que os alunos , provavelmente passam pelas quatro subfases descritas anteriormente.

Traremos agora, os registros de alunos do 1ºA e 1º D, efetuados durante a realização da tarefa “Triângulos com palitos” nos quais observamos a emergência de processos matemáticos.

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TAREFAS

a) Com palitos de sorvete, construa um triângulo. Quantos palitos você usou? Continue a formar outros triângulos, como na figura:

b) Prolongue as construções e análise à seqüência procurando descobrir quantos palitos usaria para formar 10 triângulos?Quantos palitos usariam para formar um número n de triângulos?Que outras observações vocês podem tirar dessa seqüência?

REGISTRO DOS ALUNOS

GRUPO 2 (composto por 4 alunos do 1o D)

“Nós utilizamos 21 palitos para formar 10 palitos. Notamos que a cada 5 triângulos separados resultaram em 11 palitos mais 5 triângulos seria igual a 22 palitos , mas quando se juntam só foram utilizados 21 palitos”. “Chegamos à conclusão que para formar 65 triângulos foram usados 131 palitos”.

Os componentes do grupo 2 também partiram da referência encontrada na seleção da estratégia: 10 triângulos, 21 palitos, porém, apresentam outro processo de descoberta, feito exclusivamente, observando e manipulando as seqüências de triângulos formadas com os palitos, deste modo Aqui tem 11 Aqui tem 11

mais

Quando juntos ficam 21 (pois 1 palito sai)

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Com a confirmação da regularidade encontrada, eles encontraram a solução para 65 triângulos, ou seja, as experiências com a manipulação dos dados, a manipulação dos materiais, desenhos vão se tornando conhecidos para os alunos e lhes possibilitam fazer um trabalho mais especifico. GRUPO 3 (composto por 3 alunos do 1o A) “Dez Triângulos dá 21 palitos; E 65 triângulos dá 131 palitos” “O nº 100 dá 201 palitos” “Para nós chegarmos a essa conclusão, tivemos que tirar um palito em cada dez triângulos” “E observando a figura você vai descobrir a quantidade de palitos que vai ter”

Se 10 triângulos têm 21 palitos, você colocando mais 5 vai descobrir pela tabela abaixo, vai ver como chegamos em uma conclusão”

T P

65 → 131

35 → 71

100 → 201

No registro dos alunos desse grupo há mais uma estratégia diferente.

Assistimos ao relato, conforme o diário de campo, com o uso de vários recursos ou modelos para chegar à conclusão, e consideramos que foi a turma que chegou mais perto da generalização. Nesse sentido, concordamos com Pais (2000, p.3) “no momento inicial da aprendizagem, os modelos funcionam como uma primeira forma de representação dos conceitos geométricos”.

Num primeiro momento, eles usaram o desenho reproduzindo o que fizeram com os palitos e logo depois completaram com a tabela, para argumentar sobre os processos usados, chegando até à confirmação dos resultados. Eles partiram do raciocínio de que para 10 triângulos são necessários 21 palitos, porém, foram descobrindo as regularidades de 5 em 5, pois o valor que tinham que encontrar era para 65, assim:

T P 10 → 21 15 → 31

mais

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20 → 41 ▪ 65 → 131 Pudemos perceber também, o conceito da razão da P.A.(razão 2) implícito no

processo. Se este grupo de alunos tivessem tido mais tempo para a realização da tarefa, talvez chegassem às generalizações.

Os grupos, de um certo modo, exploraram essa tarefa usando os palitos e encontraram o valor para 10 triângulos; a partir daí, então, selecionaram “uma estratégia de partida” (PIRIE, 1987), utilizando o valor encontrado como referência, ou seja, 10 triângulos contém 21 palitos; passam a fazer cálculos para encontrar novas conjecturas, utilizam o processo de especialização, momento que trazem os cálculos e, ao final, fazem a comunicação.

Diante da análise desses registros, percebemos a importância desse tipo de aula no ensino da matemática, pois, a interação estabelecida nas tarefas, possibilitou momentos importantes de aprendizagem e de comunicação de idéias matemáticas.

Para finalizar a análise , concordamos com Oliveira (2002) quando discute sobre os processos estabelecidos em uma investigação matemática: o processo central é a procura por regularidades que, conseqüentemente, motivam a conjecturação, a especialização e a verificação. Com isso, a generalização e a prova não desempenham papel algum. Isso ficou constatado em nossa análise, pois os alunos não chegaram à generalizaração e/ou provas em nenhuma das tarefas. Essa constatação nos suscita algumas hipóteses: - a pouca vivência com tarefas dessa natureza. Isso implica na necessidade de se questionar o currículo e a forma como se ensina matemática; - a forma como deve ocorrer a intervenção pedagógica, possibilitando avanços nos processos que emergem durante a realização da tarefa; - a cultura de aula de matemática não tem valorizado o ‘fazer matemático’ e os alunos chegam ao ensino médio sem ter desenvolvido processos de pensamento fundamentais à área de conhecimento: a generalização e os processos de prova.

De um modo geral, evidenciou-se a importância da comunicação de idéias nas aulas de matemática que, nesse caso, ocorreu com os registros escritos, demonstrando as marcas da intervenção pedagógica, e também as justificativas matemáticas encontradas pelos alunos, configurando-se em um recurso importante e necessário.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHRISTIANSEN, B. e WALTHER, G. Task and activity. In: CHRISTIANSEN, B; HOWSON, A. G. e OTTE, M. (Eds.) Perspectives on mathematics education. Dordrecht: D. Reidel, 1986, p. 243-307. Tradução em português disponível em <httt://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/mestrado-bibliografia.htm>. Acesso em: 28 mai. 2005. FONSECA, Helena. Os Processos Matemáticos e o discurso em atividades de investigação em sala de aula. 2000, 208 p. Tese (Mestrado). Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal. FONTANA, Roseli A.Cação. Mediação Pedagógica na sala de aula. 3ª edição, Campinas, SP: Autores Associados, 2000.(coleção ed. Contemporânea) OLIVEIRA, Paulo. A investigação do professor, do matemático e do aluno: Uma discussão epistemológica. 2002, 285p. Tese (Mestrado). Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal. PAIS, Luiz Carlos. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da Geometria. 23a Reunião da Anped. Disponível em <www. anped. org. br/23/textos/1919t. Pdf>. Acesso: 01out 2005 PONTE, João Pedro et al. Investigando as aulas de investigações matemáticas. In ABRANTES P., PONTE, J.P.,FONSECA, H e BRUNHEIRA,L (Orgs.). Investigações matemáticas na aula e no currículo. Lisboa, Projeto MPT e APM, 1999, p.133-150. VIGOTSKI, L. S. A aprendizagem e desenvolvimento intelectual na idade escolar In VIGOTSKI, L. S., LÚRIA, A.R., LEONTIEV, A.N. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. Tradução Maria da Penha Villalobos. São Paulo: Ícone,1988, p.103-117.