comportamento termodinamico de^ mesons … · 4.1 campo h˙i, como uma fun˘c~ao de temperatura,...

72
Universidade Federal da Bahia Programa de P´ os-Gradua¸ ao em F´ ısica - Instituto de F´ ısica Disserta¸ ao de Mestrado COMPORTAMENTO TERMODIN ˆ AMICO DE M ´ ESONS PESADOS Elenilson Santos Nery Orientador: Prof. Dr. Luciano Melo Abreu Salvador, setembro de 2013

Upload: phamhuong

Post on 18-Jan-2019

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Universidade Federal da Bahia

Programa de Pos-Graduacao em Fısica - Instituto de Fısica

Dissertacao de Mestrado

COMPORTAMENTO TERMODINAMICO DEMESONS PESADOS

Elenilson Santos Nery

Orientador: Prof. Dr. Luciano Melo Abreu

Salvador, setembro de 2013

Comportamento Termodinamico de Mesons Pesados

Agradecimentos

Agradeco a Deus por oportunizar esse momento tao especial em minha vida. Ao Prof.

Luciano Melo Abreu pelo apoio dado durante a pesquisa. Aos colegas, funcionarios e

professores do IF-UFBA. Aos colegas de maneira geral, a amizade e um combustıvel

necessario e suficiente. A minha famılia pelo apoio e a famılia de dona Loura, sem eles

isso nao seria viavel.

i

ii

Resumo

Tendo como motivacao a analise da existencia de estados ligados do tipo de mesons

pesados e de estados exoticos, neste trabalho estudamos o comportamento termodinamico

da materia constituıda pelos mesons pesados. Neste sentido, utilizamos um modelo efetivo

(Lagrangiana Efetiva) cujos graus de liberdade fundamentais sao campos pseudo-escalares

que representam os mesons q e q, interagindo via troca de mesons pseudo-escalares e

vetoriais. A formulacao da teoria que descreve este sistema a temperatura e potencial

quımico finitos e viabilizada pelos metodos caracterısticos das integrais de trajetoria e do

formalismo de Matsubara de tempo imaginario. Deste modo, a funcao de particao pode ser

construıda analiticamente fazendo uso da aproximacao de campo medio. A ideia central

deste modelo e substituir os operadores dos campos mediadores pelos seus respectivos

valores medios independentes das coordenadas. O que torna tal abordagem uma situacao

semelhante ao do modelo de Walecka utilizado no estudo da materia nuclear. Assim,

obtemos informacoes como equacao de estado, pressao e densidade de energia, o que nos

permite compreender as propriedades termodinamicas do sistema.

Palavras-chave:.

iii

iv

Abstract

Having motivated by the analysis of the existence of bound states of the type of

heavy mesons and exotic states, in this work we study the thermodynamic behavior of

matter consisting of the heavy mesons. In this sense, we use an effective model (Effective

Lagrangian) whose degrees of freedom are fundamental pseudo-scalar fields representing

the mesons q and q, interacting via the exchange of mesons and pseudo-scalar vector. The

formulation of the theory that describes this system to finite temperature and chemical

potential is made possible by the methods characteristic of path integrals and formalism of

Matsubara imaginary time. Thus, the partition function may be constructed analytically

making use of mean-field approximation. The central idea of this model is to replace

the field operators of mediators by their respective average values independent of the

coordinates. What makes this approach a situation similar to the Walecka model used to

study nuclear. Thus, we obtain information such as equation of state, pressure and energy

density, which allows us to understand the thermodynamic properties of the system.

Keywords:.

v

vi

Sumario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

Introducao 1

1 Fısica de Partıculas 3

1.1 Conceitos Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Quarks e Hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Teoria de Guage e Quebra Espontanea de Simetria . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Teoria de Guage nao-abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Quebra Espontanea de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Estados Ligados de Mesons D − D e de B − B . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Fısica Termica 9

2.1 Elementos da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Aspectos Cinematicos e Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Equacoes de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Potenciais Termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.4 Derivadas Termodinamicos de Interesse Fısico . . . . . . . . . . . . 13

2.1.5 Condicoes de Estabilidade e Transicoes de Fase . . . . . . . . . . . 14

2.2 Elementos da Mecanica Estatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Descricao Estatıstica de Sistemas de Partıculas . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Teoria de Ensembles na Mecanica Quantica: A Matriz Densidade . 14

2.2.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Teoria Quantica de Campos a Temperatura Finita 19

3.1 Funcao Particao via Funcional Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Amplitude de Transicao para Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Funcao Particao para Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Funcao Particao para Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

vii

viii SUMARIO

4 Comportamento Exotico de Mesons Pesados 31

4.1 O Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Massa Efetiva de B em µeff = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Massa Efetiva de D em µeff = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Propriedades dos Mesons Pesados na Presenca de um Campo Magnetico

Externo 45

5.1 O Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Conclusoes 55

Referencias Bibliograficas 57

Lista de Figuras

1.1 Partıculas Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.1 Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico. . . . 38

4.2 Massa efetiva do meson B, como uma funcao da temperatura, em equılibrio

quımico para gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Pressao da materia de mesons B0 e B±, como uma funcao de temperatura

em gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Razao da pressao/energia da materia B0 e B±, como uma da temperatura

em gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Energia por par da materia B0 e B±, como uma funcao de temperatura em

gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico. . . . 40

4.7 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio

quımico para gDDσ = 2.85 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 Massa efetiva dos mesonsD, como uma funcao de temperatura, em equilıbrio

quımico, para diferentes valores da constante de acoplamento. A linha

solida mostra o caso gDDσ = 2.85 GeV, a linha tracejada mostra o caso

gDDσ = 5.00 GeV e a linha com traco e ponto mostra o caso gDDσ = 9.00

GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.9 Isotermas do grande potencial termodinamico, como funcao da massa efe-

tiva, com gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso T = 1.100GeV,

a linha com traco e ponto mostra o caso T = 1.120 GeV e a linha com

tracejada mostra o caso T = 1.143 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10 Isotermas do grande potencial termodinamico, como uma funcao da massa

efetiva, com gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso T = 0.521GeV,

a linha com traco e ponto mostra o caso T = 0.527 GeV e a linha com

tracejada mostra o caso T = 0.533 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.11 Pressao da materia de mesons D0 e D±, como uma funcao de temperatura

em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.12 Razao da pressao/energia da materia D0 e D±, como uma de temperatura

em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ix

x LISTA DE FIGURAS

4.13 Energia por par da materia D0 e D±, como uma funcao de temperatura

em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio

quımico para gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01

GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco

e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio

quımico para gDDσ = 5.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01

GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco

e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio

quımico para gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01

GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco

e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Lista de Tabelas

1.1 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Barions de Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Barions de Spin 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Trabalho Mecanico e Forcas Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Variaveis Intensivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Potenciais Termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Derivadas com maior interesse fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

xi

xii LISTA DE TABELAS

Introducao

A procura por leis fundamentais que governam o mundo microscopico sempre condu-

ziram a diversos questionamentos, em algumas situacoes surgiram teorias importantes,

em seu tempo, outras perduram ate os dias atuais. Os modelos atomicos construıdos no

seculo XIX, modificados por Bohr e reformulados pela mecanica quantica (MQ) de Hei-

senberg, Schrodinger, Pauli, Dirac, entre outros deram uma descricao razoavel a sistemas

de baixa dimensao. No entanto, tal formulacao, nao se encaixava em processos em que

o numero e tipo de partıculas mudam, fenomenos tıpicos de fısica de partıculas. Essas

limitacoes constituıram as bases para o nascimento da teoria quantica de campos (TQC),

cujos metodos nao se restrigem apenas a sistemas de FP, e fornece ferramentas essenciais

a fısica nuclear, fısica da materia condensada, e astrofısica. Na mecanica estatıstica, com

o uso de integrais de trajetoria de Feymann, desempenha um papel importante [1, 2, 3].

Os resultados obtidos com a TQC sao extremamente significativos. Por exemplo, em

eletrodinamica quantica (QED) as predicoes teoricas da razao giromagnetica g, que apa-

rece na expressao do momento magnetico do eletron e do muon, concordam quase que

precisamente com as predicoes experimentais. Alem disso, podemos destacar o sucesso

experimental da teoria eletrofraca e da cromodinamica quantica (QCD), que juntas for-

mam o modelo padrao. Esses resultados mostram que entendemos as leis da natureza para

uma a escala de 10−17 cm, no qual corresponde a quatro ordens de magnitude abaixo ao

tamanho de um nucleo e nove ordens abaixo do tamanho de um atomo. Nao obstante,

tal cenario ainda esta muito longe de ser completado. Como encontrar o boson de Higgs

descrito pelo modelo, que recentemente alguns dados apontam na direcao de um possıvel

candidato [1, 2, 3, 4, 5].

Para obter dados expressivos em fısica de partıculas, como criar novas partıculas ou ex-

plorar a estrutura de outras (Hadrons), sao utilizados modernos aceleradores de partıculas,

Larger Hadron Collider (LHC). Um procedimento bastante usado em energias altas e a

colisao de ions pesados, que resulta em um novo estado da materia, chamado de plasma

de quark-gluon, se a densidade de energia na colisao for suficiente. Assim proporciona um

sistema rico para estudar as propriedades das novas partıculas, surgimento de campos

magneticos fortes, e as transicoes de fase da materia resultante [4].

Desde 1976, diversos modelos tem sido construıdos para explicar dois mesons juntos,

molecula de hadrons, analogo ao proton e o neutron juntos para formar um deuteron.

1

2 LISTA DE TABELAS 0.0

Porem esses objetos sao chamados de exotico, porque nao podem ser explicados em termos

do esboco de quark-antiquark. Os novos hadrons podem explicar as propriedades de novos

estados que foram descobertos em decaimentos de mesons B, chamados de X, Y , e Z com

massas entre 3.9 GeV e 4.7 GeV para o setor charmonium e Zb(10610) e Zb(10650) para o

setor bottomonium. E especulado que esses estados moleculares podem ser do tipo: DD∗,

D∗D∗, BB∗ e B∗B∗ [20, 21, 23, 24, 25].

O trabalho esta organizado da seguinte forma, no capıtulo 1 apresentamos, pelo menos

em principio, uma base para compreender as interacoes que ocorrem na natureza, exceto

a gravidade. A ideia e fornecer alguns conceitos basicos, como antipartıcula, processos

eletromagneticos, troca de partıculas e etc. Introduzir as entidades basicas de fısica de

partıculas - quarks, leptons e hadrons - e suas interacoes. Discutiremos algumas simetrias

discreta e a violacao CP. Alem disso abordaremos de maneira simples dois ingredientes

indispensavel a compreensao do modelo padrao: campos de guage nao abelianos, ou teoria

de Yang-Mills, e quebra espontanea de simetria.

Capıtulo 1

Fısica de Partıculas

Neste Capıtulo vamos estudar os constituintes fundamentais da materia e as forcas

entre elas, ou seja descrever o modelo padrao da Fısica de Partıculas. O estudo da fısica

de altas energias tem como marco inicial o trabalho de Yukawa em 1935, com experencias

utilizando a radiacao cosmica, seu objetivo era explicar as forcas nucleares de curto alcance

que agiam entre os nucleons (protons e neutrons) do nucleo dos atomos. Yukawa usou o

mesmo procedimento que se faz na compreensao das forcas eletromagneticas, devido a

duas partıculas carregadas, no que diz respeito a troca de fotons. Ele demonstrou que a

razao das forcas eletromagneticas terem longo alcance e uma consequencia da massa zero

do foton. O alcance de uma forca estaria entao intimamente relacionado com a massa dos

quantas do campo responsavel pela interacao. Para descrever a situacao nuclear ele utilizou

a equacao de Klein-Gordon que descreve um campo escalar Φ associado as partıculas de

massa m, logo depois ele postulou a existencia de uma partıcula (posteriormente detectada

e denominada meson π ou pıon) que estaria fortemente relacionada as forcas nucleares

[5, 6].

As investigacoes sobre a radiacao cosmica indicaram um fluxo consideravel de partıculas

penetrantes cuja massa era cerca de duzentas massas eletronicas e que foram mais tarde

denominadas mesons µ ou muons. Do ponto de vista teorico, era natural identificar esta

partıcula com a proposta por Yukawa, porem a partıcula de Yukawa, estava relacionada

com as forcas nucleares, deveriam interagir fortemente com a materia, e o meson µ nao

tinha essa propriedade. Atraves da experiencia de Conversi, Pancini e Piccioni, foi mos-

trado que no carbono, grande porcentagem de mesons µ negativos nao interagiam mas

decaiam normalmente, indicando que a interacao nuclear dos mesons µ e muito mais fraca

que a prevista pela teoria de Yukawa [5].

Marshak e Bethe surgeriram a existencia de dois tipos de mesons, que seriam os pro-

dutos do decaimento de mesons mais pesados, que teriam as propriedades previstas por

Yukawa. Lattes, Occhialini e Powell encontraram eventos em emulsoes nucleares que de-

monstraram a existencia de um meson π decaindo em repouso em um meson µ mono-

3

4 FISICA DE PARTICULAS 1.0

energetico e uma partıcula neutra, mais tarde identificada como o neutrino muonico1

(π+ → µ+ + νµ). Esses e outros eventos mostraram que os pıons tem interacao forte

com os nucleos [5, 6]. Com advento dos aceleradores de partıculas estudos detalhados das

caracterısticas dos mesons π foi feito com colisoes proton-proton.

No mesmo perıodo da descoberta dos mesons π, Rochester e Butler revelaram a

existencia de partıculas instaveis mais pesadas que o meson π, obtendo fotografias em

camaras de Wilson de tracos de partıculas da radiacao cosmica, os quais apresentavam

a configuracao de um V. Em 1953 foram estabelecidas dois grupos para estas partıculas

instaveis: um consistia em hıperons, mais pesados que os nucleos e outro denominado de

mesons κ ou kaons, com massa intermediaria entre a dos pıons e a dos nucleons. A partir

daqui foram implementadas novas leis de conservacao para garantir uma classificacao das

novas partıculas, ja que o numero era grande, como por exemplo: K+, Λ, K0, ∆++, Ξ− e

Σ+ [5, 6].

Em 1964, Gell-Mann publicou um trabalho propondo que qualquer hadron era formado

por tres partıculas fundamentais (e suas respectivas antipartıculas), que ele chamou de

quark. Sendo que um meson era formado por um quark e um antiquark qq, enquanto que

os barions tem em sua estrutura qqq e os antibarions qqq. Que em pouco tempo foi validado

a proposta. Na mesma decada, surge a eletrofraca que e a uniao da forca eletromagnetica

com as interacoes fracas. E sua mediacao ocorre com a troca das partıculas W−, W+, Z0 e

γ. A confirmacao dos tres primeiros ocorreu em 1983. Com a construcao da cromodinamica

quantica para descrever as forcas entre os quarks e a descobertas de outros leptons, (τ ,ντ )

o modelo padrao, alem do bosons de Higgs2 constitui a materia que existe [6].

Figura 1.1: Partıculas Elementares.

No entanto, algumas particularidades ainda intrigam os fısicos, como uma grande

1Em 1962, cientistas do Laboratorio Nacional de Brookhaven observaram a primeira evidencia doneutrino νµ.

2

1.4 CONCEITOS BASICO 5

unificacao, violacao CP, a relacao da fısica de partıculas com a cosmologia entre outros

problemas que motivam a continuacao de um modelo mais universal.

1.1 Conceitos Basico

1.2 Leptons

1.3 Quarks e Hadrons

Quarks Simbolo Massa Aproximada Q S C B TUp u 1,5 3,5 MeV +2/3 0 0 0 0

Down d 3,5 6,0 MeV -1/3 0 0 0 0Strange s 104+26

−34 MeV -1/3 -1 0 0 0

Charm c 1, 27+0,07−0,11 GeV +2/3 0 1 0 0

Bottom b 4, 20+0,17−0,07 GeV -1/3 0 0 -1 0

Top t 171, 2± 2, 1 GeV +2/3 0 0 0 1

Tabela 1.1: Quarks

Mesons 0− Massa (MeV)ud,du π± 139, 56995± 0, 00035uu−dd√

2π0 134, 9764± 0, 0006

us,su k± 493, 677± 0, 0006ds,sd k0,k0 497, 672± 0, 031uu+dd√

2η 547, 45± 0, 19

ss η′

957, 77± 0, 14cd,dc D± 1869, 3± 0, 5cu,uc D0,D0 1864, 5± 0, 5cs,sc D±S 1968, 5± 0, 6cc ηc,J/ψ 2979, 8± 2, 1, 3096, 88± 0, 04

ub,bu B± 5278, 9± 1, 8db,bd B0,B0 5279, 2± 1, 8sb,bs B0

S,B0S 5369, 3± 2, 0

bb Υ 9460, 37± 0, 21

Tabela 1.2: Mesons

6 FISICA DE PARTICULAS 1.4

Barions 1/2+ Massa (MeV)uud,udd p,n (938, 27231± 0, 00028),(939, 56563± 0, 00028)

uus,uds,dds Σ+0− (1189, 37± 0, 07),(1192, 55± 0, 08),(1197.436± 0, 033)uds Λ 1115, 684± 0, 006

uss,dss Ξ0− (1314, 9± 0, 06),(1321, 32± 0, 13)uds Λ+

c (2284, 9± 0, 6)uuc,udc,ddc Σ++

c ,Σ+c ,Σ0

c (2452, 9± 0, 6),(2453, 5± 0, 9),(2452, 1± 0, 7)usc,dsc Ξ+

c ,Ξ0c (2465, 6± 1, 4),(2452, 1± 0, 7)

ssc Ω0c (2704± 4)

udb Λ0b 5641± 50

usb,dsb Ξ0b ,Ξ−b ?, ?

Tabela 1.3: Barions de Spin 1/2

Barions 3/2+ Massa (MeV)uuu,ddd ∆++,∆− 1232uud,udd ∆+,∆0 1232

uus,uds,dds Σ∗+0− (1382, 8± 0, 4),(1383, 7± 1, 0),(1387, 2± 0, 5)uss,dss Ξ∗0,Ξ∗− (1531, 80± 0, 32),(1535, 0± 0, 6)sss Ω− (1672, 45± 0, 29)

Tabela 1.4: Barions de Spin 3/2

1.4 Teoria de Guage e Quebra Espontanea de Sime-

tria

Nas secoes anteriores exploramos as principais ideias sobre fısica de partıculas de

maneira informal, sem se perguntar que teoria quantica de campos descreve as interacoes

de partıculas elementares. Aqui vamos introduzir teorias de gauge nao-abeliana, pois as

interacoes fortes sao descritas por uma teoria de gauge nao-abeliana com grupo de gauge

SU(3), conhecida como cromodinamica quantica ou QCD. Enquanto que as interacoes

fraca e eletromagneticas sao unificadas em uma teoria de gauge com um grupo de gauge

SU(2)×U(1), a teoria eletrofraca. Juntas a QCD e a eletrofraca formam o modelo padrao

que reproduz todos os dados conhecidos de fısica de partıculas, com energias da ordem

de centenas GeV [1, 2, 3]. Tambem apresentaremos o fenomeno de quebra de simetria

espontanea, assim examinaremos sua estrutura e discutiremos efeitos de SSB em alguns

sistemas.

1.4.1 Teoria de Guage nao-abeliana

A invariancia de gauge e um princıpio orientador na construcao da teoria das interacoes

fundamentais. Os conceitos de invariancia tem sua origem no estudo das interacoes eletro-

magneticas. Assim comecaremos por introduzir transformacoes de gauge com a chamada

eletrodinamica quantica. Tal teoria tem uma invariancia de gauge local U(1), que escre-

1.4 TEORIA DE GUAGE E QUEBRA ESPONTANEA DE SIMETRIA 7

vemos

Uq(x) = eiqθ(x) (1.1)

com 0 ≤ θ(x) ≤ 2π, onde o parametro q rotula a transformacao. Um campo Ψ com carga

q transforma como

Ψ(x)→ Uq(x)Ψ(x) (1.2)

E as transformacoes do campo de gauge ocorrem de forma

Aµ → Aµ + (∂µθ) (1.3)

ou

Aµ → Aµ +i

q(∂µU)U † (1.4)

o acoplamento entre Aµ e Ψ e obtido usando a derivada covariante, como segue

DµΨ = (∂µ + iqAµ)Ψ (1.5)

Agora podemos generalizar para uma transformacao onde U(x) pertence a um grupo G

nao-abeliana. Ou seja transformacoes locais que deixam a lagrangeana invariante. Con-

sideremos um conjunto de campos Ψα que transforma em uma dada representacao R do

grupo de gauge. Os campos sao entao rotulados pelo ındice α = 1, ..., dim(R), de forma

Ψ(x)→ URΨ(x) (1.6)

ou em termos das componentes, Ψα(x)→ (UR)αβΨβ(x) sendo

UR(x) = exp[igθa(x)T aR] (1.7)

onde T aR sao os geradores do grupo de gauge na representacao R, θa(x) sao os parametros

da representacao e g e uma constante.

A densidade de lagrangena livre de Dirac e escrita como

Llivre = iΨαγµ∂µΨα (1.8)

e invariante sobre transformacoes global SU(N), porem quando UR depende de x a la-

grangeana nao e mais invariante, devido a presenca de um termo proporcional a ∂µU .

Para construir uma lagrangeana invariante, introduziremos um conjunto de campos

de gauge Aaµ rotulados pelo ındice a, com um campo de gauge para cada gerador do grupo

8 FISICA DE PARTICULAS 1.5

gauge; os Aaµ sao conhecidos como campos de gauge nao-abeliano. Sabemos que, SU(N)

tem N2−1 geradores. Os campos podem ser reformulados para uma formulacao matricial

Aµ(x) = Aaµ(x)T a (1.9)

Os campos Aaµ nao depende da representacao, enquanto o gerador T a, e portanto a matriz

Aµ, terem uma forma que dependem da representacao R. Agora uma definicao deve ser

feita em Aµ, da seguinte maneira

Aµ → UAµU† − i

g(∂µU)U † (1.10)

a equacao acima generaliza a expressao () para grupos nao-abelianos. Agora a derivada

covariante atua em Ψ como

DµΨ = (∂µ − igAaµT aµ )Ψ (1.11)

e podemos mostrar que a derivada covariante se transforma da mesma forma que os

campos Ψ,

DµΨ→ ∂(URΨ)− ig[UAµU† − i

g(∂µU)U †]URΨ = URDµΨ (1.12)

Com as ferramentas anteriores podemos construir a teoria de Yang-Mills e verificar

sua aplicacao na QCD de modo agregar conhecimento sobre as interacoes fortes.

Teoria de Yang-Mills e QCD

O procedimento agora e usar a derivada covariante para escrever a lagrangeana com

uma invariancia de gauge nao-abeliana local. Trocar ∂µ → Dµ na teoria livre, equacao (),

que e reescrita

L =∑α

Ψα[iγµ(DµΨ)α −mΨα] (1.13)

Esta lagrangeana contem o termo cinetico dos campos fermionicos e suas interacoes com os

campos de gauges. Tambem precisamos do termo cinetico dos campos de gauge. Seguindo

o roteiro da eletrodinamica pode-se

1.4.2 Quebra Espontanea de Simetria

1.5 Estados Ligados de Mesons D − D e de B − B

Capıtulo 2

Fısica Termica

Este capıtulo destina-se a apresentar os elementos de Termodinamica e os de Mecanica

Estatıstica (Fısica Termica-FT), de maneira a fornecer as principais leis e objetos de es-

tudo que concerne aos fenomenos que ocorrem sobre o comportamento termico da materia

macroscopica, numa teoria nao-relativıstica. Uma das motivacoes em estudar FT e cer-

tamente sua capacidade de presenca em qualquer parte da Fısica1. A Termodinamica

fornece uma descricao fenomenologica da natureza, de forma autoconsistente do ponto

de vista axiomatico, considerando, como um princıpio, a materia agregada sem qualquer

suposicao microscopica, e cujos parametros macroscopicos nao estejam variando com o

tempo [9, 10, 11]. Em contrapartida na Mecanica Estatıstica as propriedades termicas

surgem de uma formulacao microscopica.

A Formulacao da Termodinamica consegue uma estrutura cientıfica com os trabalhos

de Clausius e Kelvin, Leis Fundamentais da Termodinamica, baseado nas ideias de Carnot

sobre o funcionamento das maquinas termicas e nos trabalhos de Mayer e Joule sobre a

equivalencia mecanica do calor. A partir disto outras contribuicoes significativas ocorreram

com Maxwell, Helmholtz e Gibbs. O ultimo incorporou uma ferramenta fundamental para

a termodinamica os potenciais termodinamicos [9, 10, 11]. Ja a construcao da Mecanica

Estatıstica e viabilizada principalmente pelos trabalhos de Maxwell e Boltzmann, que

combina nocoes de probabilidade, ou estatıstica, com as leis conhecidas da mecanica que

governa o movimento de partıculas individuais [12, 13, 14].

2.1 Elementos da Termodinamica

O caminho para a formulacao da termodinamica segue as especificacoes abaixo, va-

mos considerar como conhecidas certas nocoes como energia interna, volume, ou numero

de moles, que sao parametros macroscopicos extensivos, proporcionais ao tamanho do

sistema.

1

9

10 FISICA TERMICA 2.1

• A descricao e baseada na equacao fundamental (contem todo o conhecimento ter-

modinamico sobre o sistema), em que a funcao de estado entropia, S, ou energia, E,

e dada explicitamente.

• A construcao usando a transformacao de Legendre de S ou E, originando os poten-

ciais termodinamicos, tal como energia livre de Helmholtz e Entalpia.

• O uso de um conjunto de equacoes de estado, envolve derivadas primeira das quan-

tidades extensivas como S e E.

• Apropriar de derivadas segunda, para descrever quantidades como calor especıfico,

entre outros.

A metodologia acima e similar a teoria de um sistema mecanico, onde primeiro e

introduzido os estados termicos, e apos as mudancas de estados segue uma analise com

determinadas leis. Nas secoes seguintes desenvolver as principais ideias para caracterizar

os itens acima.

2.1.1 Aspectos Cinematicos e Dinamicos

Para construir um problema fısico devemos especificar as coordenadas espaciais e tem-

poral, no caso de um sistema termico a caracterizacao e dado por um conjunto de variaveis

macroscopica. Estas variaveis sao, por exemplo, energia interna E, pressao P, volume V,

numero de moles N, temperatura T, entre outras. Existem dois tipos de variaveis termica,

as extensivas e as intensivas. A primeira depende de cada subsistema ao contrario da

segunda. O volume e especificado pelo tamanho finito de suas paredes. Se as paredes invi-

abilizam a ’troca’ de qualquer tipo de energia, temos um sistema isolado. Caso aconteca

um fluxo de energia via processo mecanico chamamos de adiabatico. E se a mudanca de

energia e permitida por diferenca de temperatura rotulamos de diatermico.

O Estado macroscopico de um sistema e determinado pela energia interna E, pelo

volume V e pela quantidade de materia N, ou seja pela funcao de estado do sistema. Em

um estado chamado de equilıbrio termico. E para obter as medidas usamos os metodos

padrao para V e N, e para medir a energia precisamos utilizar um metodos proprios de

trabalho mecanico. E numa situacao que conhecemos de quase estatico (ir de um estado

a outro pro um processo composto de uma infinidade de estados intermediarios) temos,

dW = f · dx =l∑

j=1

fjdxj, l ≤ j (2.1)

Descrevemos uma situacao atraves da definicao de estados, agora vamos verificar as leis

que governam as mudancas de estado de um sistema termico.

2.1 ELEMENTOS DA TERMODINAMICA 11

Trabalho Infinitesimal dW Tipo de Forca-PdV Pressao P∑lj=1 µjdNj Potencial Quımico µj

µ0Hext · dIj Campo Magnetico HEext · dp Campo Eletrico H

Tabela 2.1: Trabalho Mecanico e Forcas Generalizada

Primeira Lei da Termodinamica

Conhecida tambem como princıpio da conservacao da energia, estabelece que as diver-

sas formas de trabalho poderiam ser convertidas uma nas outras e que, alem disso, todas

elas poderiam ser dissipadas na forma de calor []. Inumeros experimentos foram feitos por

Joule e Mayer usando a conservacao de energia para determinar que uma quantidade de

trabalho sempre se transforme numa mesma quantidade de calor. Entao a evolucao de um

estado termico em equilıbrio, com um fluxo infinitesimal de energia em forma de trabalho

mecanico (dW ) e calor (dQ) devem assumir a seguinte relacao,

dE = dQ+ dW (2.2)

onde E e a energia e a expressao matematica revela a conservacao da energia como uma

lei fundamental.

Segunda Lei da Termodinamica

Existe uma funcao de estado de todos os parametros extensivos denominada entropia,

S = S(E, V,N) (equacao fundamental), que e definida funcao extensiva, analıtica e mo-

notonicamente crescente na variavel E. E sem restricoes internas S deve ter um maximo

para um estado de equilıbrio. Que e

δS = 0

δ2S < 0

e chamamos de segunda lei da termodinamica. Essa lei garante uma classificacao dos

processos termicos em reversıveis ou em irreversıveis.

Terceira Lei da Termodinamica

A entropia se anula num estado em que (∂E/∂S)V,N = 0. Estabelece que a entropia e

nula no zero absoluto, enunciado da lei de Nernst.

12 FISICA TERMICA 2.1

2.1.2 Equacoes de Estado

Para construir um conjunto de equacoes de estado vamos tomar a equacao fundamental

como

Ψ = Ψ(x0, x1, ...xr) (2.3)

tal que Ψ = S e x0 = E, do mesmo modo daquilo que apresentamos na secao anterior.

Neste caso chamamos de representacao entropia, ao contrario Ψ = E e x0 = S denomina-

mos de representacao energia. A entropia e aditiva sobre cada um dos seus componentes

e S(λE, λx1, ..., λxr) = λS(E, x1, ..., xr) e diante disto a expressao (2.3) pode ser reescrita

na forma

Ψ =r∑j=0

Fjxj (2.4)

onde (’forcas’)

Fj =

(∂Ψ

∂xj

)x0,...,xj−1,xj+1,...,xr

; j = 0, ..., r (2.5)

Atraves do conjunto de (r+1) relacoes dada pela equacao (2.4)2, pode-se construir o

problema termodinamico. As (r+1) relacoes dadas por (2.4) sao chamadas de equacoes de

estado. Estas equacoes estao relacionadas a aspectos praticos. Na tabela abaixo mostramos

algumas delas, variaveis intensivas,

∂E/∂S = T Temperatura∂E/∂V = −P Pressao∂E/∂N = µ Poencial Quımico

Tabela 2.2: Variaveis Intensivas

Para um sistema simples na representacao energia, a equacao () e dada por

dE = TdS − PdV +k∑j=1

µjdNj (2.6)

ou seja

dQ = TdS (2.7)

Assim para um fluxo de calor quase estatico a um sistema esta associado com o crescimento

da entropia.

2Daqui surge uma relacao importante, Gibbs-Duhem.

2.1 ELEMENTOS DA TERMODINAMICA 13

2.1.3 Potenciais Termodinamicos

Nem sempre uma equacao de estado fornece variaveis de facil acesso experimental,

como temperatura T ou a pressao P . Neste sentido uma outra expressao deve ser encon-

trada para explicitar as caracterısticas do sistema termico, para contornar esse problema,

vamos considerar uma funcao y = y(x), com derivada m = dy/dx. Terıamos de encontrar

uma outra funcao, da forma Ψ = Ψ(m), que fosse equivalente a y = y(x). Isso pode ser

feito mediante uma transformacao de Legendre.

Considere uma equacao fundamental Ψ = Ψ(x0, x1, ..., xr). A transformacao de Legen-

dre de Ψ em r − k variaveis xk+1, ..., xr, e definido por

L = Ψ−r∑

i=k+1

Fixi (2.8)

onde Fi = ∂Ψ/∂xi. A forma diferencial de L e dado por

dL =k∑i=0

Fidxi −r∑

i=k+1

(xi)dFi (2.9)

As funcoes L sao os potenciais termodinamicos, e Fi e dito ser conjugado de xi. A tabela

abaixo mostra os principais potenciais termodinamicos para sistemas simples, usando a

representacao energia.

Energia Livre de Helmholtz F (T, V,N1, ..., Nk) = E − TSEntalpia H(S, P,N1, ..., Nk) = E + PV

Energia Livre de Gibbs G(T, P,N1, ..., Nk) = E − TS + PV

Grande Potencial Termodinamico Ω(T, V, µ1, ..., µk) = E − TS −∑k

i=1 µidNi

Tabela 2.3: Potenciais Termodinamicos

A energia livre de Helmholtz e usualmente utilizada em processos isotermicos, a en-

talpia em processos isobaricos (pressao constante) e a energia livre de Gibbs combina as

caracterısticas anteriores.

2.1.4 Derivadas Termodinamicos de Interesse Fısico

Como foi dito na introducao deste capıtulo a termodinamica e uma area essencialmente

empırica e diante disto a construcao de determinadas derivadas se faz necessario, devido

ao facil acesso experimental. A tabela abaixo traz algumas delas,

o coeficiente de expansao termica mede a dilatacao relativa de um sistema a pressao

constante, a compressibilidade isotermica mede a variacao relativa do volume com a

pressao a temperatura fixa, o calor especıfico a pressao constante ou a volume constante

14 FISICA TERMICA 2.2

Coeficiente de Expansao Termica αP = − 1V

(∂V∂T

)P

Compressibilidade Isotermica κT = − 1V

(∂V∂P

)T

Calor Especıfico a Pressao Constante cP = 1N

(dQdT

)P

= TN

(∂S∂T

)P

Calor Especıfico a Volume Constante cV = 1N

(dQdT

)V

= TN

(∂S∂T

)V

Tabela 2.4: Derivadas com maior interesse fısico

mede a razao entre o calor que entra num sistema fechado, e a consequente variacao de

temperatura.

2.1.5 Condicoes de Estabilidade e Transicoes de Fase

2.2 Elementos da Mecanica Estatıstica

Na secao anterior apresentamos o problema termodiamico atraves do ponto de vista

macroscopico, agora vamos avaliar o caminho microscopico. A ideia e formular o problema

mecanico estatıstico e a sua conexao com a termodinamica, usando as nocoes de um

ensemble nas diversas representacoes (micro, canonico e grande canonico).

2.2.1 Descricao Estatıstica de Sistemas de Partıculas

2.2.2 Teoria de Ensembles na Mecanica Quantica: A Matriz

Densidade

Uma ferramenta que desempenha um papel importante na descricao mecanica es-

tatıstica quantica de processos termicos e a matriz densidade. Essa abordagem tambem

pode ser utilizada em outros campos da fısica, como computacao quantica, caos quanticos

e etc... A nossa tarefa e introduzir os conceitos e postulados de mecanica quantica ne-

cessarios para construir a matriz e como consequencia direta estudar a fısica termica.

Considere um ensemble de N sistemas identicos, onde N >> 1. Cujo sistema e ca-

racterizado pelo Hamiltoniano H (comum), e sua funcao de onda ψk(ri, t) (normalizada),

onde ri corresponde as coordenadas relevantes do sistema e com k = 1, 2, ..., N . Assim a

equacao de Schrodinger fica na forma

Hψk(ri, t) = ih∂ψk(ri, t)

∂t(2.10)

e a funcao de onda pode ser expandido em um conjunto completo de funcoes ortonormais

φn, ou seja

ψk(ri, t) =∑n

akn(t)φn(ri) (2.11)

2.2 ELEMENTOS DA MECANICA ESTATISTICA 15

onde

akn(ri, t) =

∫φ∗n(ri)ψ

k(ri, t)dτ (2.12)

sendo φ∗n o complexo conjugado de φn e dτ o elemento de volume no espaco das coor-

denadas do sistema. Assim podemos escrever a derivada temporal do coeficiente an da

seguinte maneira

ihdakn(t)

dt= ih

∫φ∗n(ri)

∂ψk(ri, t)

∂tdτ =

∫φ∗n(ri)Hψ

k(ri, t)dτ

=

∫φ∗n(ri)H

∑m

akm(t)φm(ri)dτ

=∑m

Hnmakm(t) (2.13)

onde

Hnm =

∫φ∗nHφmdτ (2.14)

os akn representam as amplitudes de probabilidade e |akn(t)|2 a probabilidade de medir em

um tempo t e encontrar o k sistema do ensemble no estado particular φn. Entao∑n

|akn(t)|2 = 1 (para todos os k) (2.15)

O operador densidade ρ(t), pode ser definido pelos elementos de matriz abaixo

ρmn(t) =1

N

N∑k=1

[akm(t)ak∗n (t)] (2.16)

A evolucao temporal para a matriz densidade ρmn(t) (equacao de movimento) pode ser

obtida, usando o resultado encontrado em (2.13), logo chegamos a

ihdρmn(t)

dt=

1

N

N∑k=1

ih

[dakm(t)

dtak∗n (t) + akm(t)

dak∗n (t)

dt

]

=1

N

N∑k=1

[∑l

Hmlakl (t)

]ak∗n (t) + akm(t)

[∑l

H∗nlak∗l (t)

]=

∑l

[Hmlρln(t)− ρml(t)Hln]

= [Hρ− ρH]mn (2.17)

utilizamos o fato que o hamiltoniano e hermitiano H∗nl = Hln. E usando a notacao de

16 FISICA TERMICA 2.2

comutador, escrevemos a equacao acima na forma

ihdρmn(t)

dt= [H, ρ(t)] (2.18)

Esta e a equacao Liouville-von Neumann, a equacao basica em mecanica estatıstica nao-

relativıstica.

Se o sistema estiver em um estado de equilıbrio, o ensemble correspodente deve ser

estacionario, i.e. dρmn(t)dt

= 0 e com isso ρ = p(H). Quando H for diagonal na repre-

sentacao φn, i.e. Hmn = Enδmn e consequentemente ρmn = ρnδmn. E para qualquer outra

representacao nao diagonal ρmn = ρnm.

As variaveis de interesse fısico nesse formalismo pode ser encontrados por meio do

valor medio dado pela expressao,

〈S〉 =1

N

N∑k=1

∫ψk∗Sψkdτ (2.19)

que pode ser escrita em termos dos coeficientes akn,

〈S〉 =1

N

N∑k=1

[∑m,n

ak∗n akmSnm

](2.20)

onde

Snm =

∫φ∗nSφmdτ (2.21)

colocando a matriz densidade dentro de (2.20) obtemos

〈S〉 =∑m,n

ρmnSnm =∑m,n

(ρS)mm = Tr(ρS) (2.22)

Se tomarmos S = 1, onde 1 e o operador identidade, encontramos

Tr(ρ) = 1 (2.23)

No caso em que as funcoes ψk nao sao normalizadas o valor esperado para qualquer

operador segue a forma abaixo,

〈S〉 =Tr(ρS)

Tr(ρ)(2.24)

As equacoes (2.22) e (2.24) mostram que o valor esperado desses operadores nao dependem

da base escolhida φn. Nas proximas secoes vamos empregar a matriz densidade para

2.2 ELEMENTOS DA MECANICA ESTATISTICA 17

construir uma teoria termica que contemple os aspectos microscopico via as ideias de

ensembles.

2.2.3 Ensembles

Ensemble Microcanonico

Ensemble Canonico

Ensemble Grand-Canonico

18 FISICA TERMICA 2.2

Capıtulo 3

Teoria Quantica de Campos a

Temperatura Finita

Teoria quantica de campos a temperatura finita tem como ponto de partida os estudos

de Fradkin, em 1965, tendo como motivacao as transicoes de fase que ocorrem na teoria

eletrofraca, em temperaturas da ordem de 200 MeV. Essa transicao e importante para

compreender a historia do universo primitivo. Na decada de 80 teorias de gauge sugeriram

a existencia de uma fase de desconfinamento de quarks e gluons, que tem sido chamada

de plasma de quarks e gluons, em uma temperatura estimada em torno de 150 MeV.

Atualmente o numero de aplicacoes dos efeitos de temperatura em TQC sao incontaveis

em areas como astrofısica e cosmologia. Alem de fenomenos devido as colisoes de ions

pesados e nucleos relativısticos [3, 16, 17].

No ultimo capıtulo construımos as bases da mecanica estatıstica, onde a funcao particao

desempenha um papel importante, conectando o mundo microscopico ao macroscopico.

Neste capıtulo iremos mostrar que a funcao particao pode ser usada para introduzir a

nocao de funcional gerador, uma ferramenta importante para resolver problemas quanticos.

O conceito de integral de trajetoria (funcional gerador), foi usado por Feynman para es-

tudar amplitude de transicoes em problemas de mecanica quantica. Duas caracterısticas

sao fundamentais na construcao de Feynman, a primeira e que tal formalismo usa a la-

grangeana, em vez do hamiltoniano, como sua quantidade fundamental, e assim preserva

explicitamente toda simetria de uma teoria. A segunda e a relacao com o grau de liber-

dade da estrutura de integrais de trajetorias. Assim a termodinamica tem uma abordagem

caracterıtica da teoria quantica de campos, com o uso do funcional integral [3, 7, 16, 17].

3.1 Funcao Particao via Funcional Integral

O modelo de Integrais de Trajetorias tem sido o mais empregado em Fısica de Partıculas

Elementares, e tem um numero razoavel de vantagens. Por exemplo, em fenomenos onde

19

20 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

efeitos nao-pertubativos podem ser relevantes. Nas proximas secoes vamos utilizar o for-

malismo para encontrar alguns resultados ja conhecidos de um gas ideal relativıstico para

bosons e fermions.

3.1.1 Amplitude de Transicao para Bosons

Os procedimentos abaixo seguem a mesma base matematica utilizada na representacao

da mecanica quantica de Schrodinger, no entanto na teoria quantica de campos os campos

sao elevados a condicao de operadores.

A partir daqui temos φ(x, 0) sendo o operador de campo em t = 0 e π(x, 0) seu

operador de momento canonicamente conjugado. Os autoestados do operador de campo

sao rotulados por |φ〉, cuja equacao de autovalor para o campo pode ser escrita

φ(x, 0) |φ〉 = φ(x) |φ〉 (3.1)

onde φ(x) e o autovalor. Um conjunto de estados (|φ〉), eles formam um espaco vetorial

(Espaco de Hilbert), que obdecem as relacoes de completeza e condicoes de ortogonalidade,∫dφ(x)|φ〉〈φ| = 1 (3.2)

e

〈φa|φb〉 =∏xδ(φa(x)− φb(x)) (3.3)

Da mesma forma, os autoestados para o operador de momento satisfaz a equacao,

π(x, 0) |π〉 = π(x) |π〉 (3.4)

Com configuaracoes similares as equacoes (3.2) e (3.3), podemos escrever relacoes de

completeza e condicoes de ortogonalidade para a representacao dos momentos∫dπ(x)

2π|π〉〈π| = 1 (3.5)

e

〈πa|πb〉 =∏xδ(πa(x)− πb(x)) (3.6)

Uma nudanca de representacao, no espaco dos campos ou no espaco dos momentos, pode

ser feita mediante a construcao (analoga a transformacao de |r〉 |p〉 da mecanica

3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 21

quantica)

〈φ|π〉 = exp

(i

∫d3xπ(x)φ(x)

)(3.7)

onde∫d3xπ(x)φ(x) substitui

∑Ni=1 pixi, pois na teoria quantica de campos os graus de

liberdade sao infinitos, enquanto na mecanica quantica se estende a N .

Para construir o problema via abordagem da mecanica quantica usual, devemos en-

contrar o hamiltoniano, isto se faz a partir do formalismo da teoria classica de campos.

Onde o produto final e em funcao dos campos e dos momentos canonicamente conjugados,

como segue

H =

∫d3xH(φ, π) (3.8)

Agora suponhamos que um sistema esta em um estado |φa〉 em um tempo t = 0. Depois

de um tempo tf ele evolui para e−iHtf |φa〉, caso o hamiltoniano nao tenha dependencia

explicita do tempo. A amplitude de transicao para ir de um estado |φa〉 a um estado |φb〉depois de um tempo tf e 〈φb|e−iHtf |φa〉.

Para se aproximar da descricao feita na ultima secao do capıtulo anterior, seria inte-

ressante avaliar a situacao em que o sistema retorna a seu estado original depois de um

tempo tf . Para obter a amplitude de transicao divimos o intervalo (0, tf ) em N intervalos

de duracao ∆t =tfN

. Entao, em cada intervalo de tempo inserimos um conjunto completo

de estados, alternando entre (3.2) e (3.5), da forma

〈φa|e−iHtf |φa〉 = limN→∞

∫ [ N∏j=1

dπjdφj2π

]〈φa|πN〉〈πN |e−iH∆t|πN〉〈φN |πN−1〉

〈πN−1|e−iH∆t|φN−1〉 · · · 〈φ2|π1〉〈π1|e−iH∆t|φ1〉〈φ1|πa〉 (3.9)

sabemos que

〈φ1|φa〉 = δ(φ1 − φa) (3.10)

e de (4.7) obtemos

〈φj+1|πj〉 = exp

(i

∫d3xπj(x)φj+1(x)

)(3.11)

Se tomarmos o limite de ∆t→ 0, podemos expandir os elementos como segue

〈πj|e−iHj∆t|φj〉 ≈ 〈πj|(1− iHj∆t)|φj〉

= 〈πj|φj〉(1− iHj∆t)

22 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

= (1− iHj∆t)exp

(−i∫d3xπj(x)φj(x)

)(3.12)

onde

Hj =

∫d3xH(πj(x), φj(x)) (3.13)

colocando a equacao (3.12) dentro de (3.9), chegamos a

〈φa|e−iHtf |φa〉 = limN→∞

∫ [ N∏j=1

dπjdφj2π

]δ(φ1 − φa)

×exp

−i∆t

N∑j=1

∫d3x[H(πj, φj)− πj(φj+1 − φj)/∆t]

(3.14)

onde φN+1 = φa = φ1. Tomando o limite contınuo de (3.14), surge uma importante

expressao para construir o formalismo de funcao geradora no ambito de teoria quantica

de campos a temperatura finita

〈φa|e−iHtf |φa〉 =

∫Dπ∫ φ(x,tf )=φa(x)

φ(x,0)=φa(x)

×expi

∫ tf

0

dt

∫d3x

[π(x, t)

∂φ(x, t)

∂t−H(π(x, t), φ(x, t))

](3.15)

Os sımbolosDπ eDφ representam uma integracao funcional, com restricao para os campos

φ(x, t), eles obdecem a configuracao φ(x, 0) = φ(x, tf ).

3.1.2 Funcao Particao para Bosons

As propriedades termodinamicas de um gas de bosons podem ser obtidos por meio da

grande funcao de particao,

Ξ = Tre−β(H−µiNi) =∑a

∫dφa〈φa|e−β(H−µiNi)|φa〉 (3.16)

onde a soma deve ser feita sobre todos os estados. Esta expressao e muito similar a

amplitude de transicao definida na secao anterior. Para tornar a anologia uma igualdade

devemos efetuar uma troca de variavel, τ = it conhecido como tempo imaginario. Se o

sistema admite uma carga conservada, entao cabe a substituicao

H(π, φ)→ H(π, φ)− µN (π, φ) (3.17)

onde N (π, φ) e a densidade de carga conservada e µ esta associada a carga como um

vınculo do sistema (transfomacoes de legendre). Assim a formula fundamental para a

3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 23

grande funcao particao e

Ξ =

∫Dπ∫Periodico

×exp∫ β

0

∫d3x

[iπ∂φ

∂τ−H(π, φ) + µN (π, φ)

](3.18)

A palavra periodico significa que a integracao sobre os campos e restrita φ(x, 0) = φ(x, β).

A funcao pode ser generalizada para um numero arbitrario de campos e cargas conserva-

das.

Campo Escalar Complexo, U(1)

De maneira a empregar as ferramentas acima a um problema fısico, vamos tratar o

campo escalar carregado Φ, este campo e complexo e descreve bosons de carga positiva

e negativa. O estudo do gas de bosons proporciona a compreensao de alguns fenomenos

interessantes, como a condensacao de Bose-Einstein1 e a quebra espontanea de simetria2.

A densidade de Lagrangeana para esse sistema e escrita da seguinte forma

L = (∂µΦ†)(∂µΦ)−m2Φ†Φ− λ(Φ†Φ)2 (3.19)

Esta expressao e invariante a uma transformacao de gauge do tipo

Φ→ Φ′ = e−iαΦ (3.20)

onde α e uma constante, ou seja a simetria e global. E de acordo com o teorema de

Noether’s existe uma corrente associada a cada simetria contınua da Lagrangeana, assim

a correspondente a (3.20) e

jµ = i[Φ†(∂µΦ)− Φ(∂µΦ†)] (3.21)

com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =

∫d3xj0(x)

respectivamente.

Podemos tratar o campo decompondo Φ em parte real e parte imaginaria usando os

campos reais φ1 e φ2, Φ = 1√2(φ1 + iφ2). Os momentos canonicamente conjugados sao

π1 =∂φ1

∂t(3.22a)

π2 =∂φ2

∂t(3.22b)

1

2

24 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente

H =1

2

2∑j=1

[Π2j + (∇φj)2 +m2φ2

j

]+

1

2λ(φ2

1 + φ22)2 (3.23)

e

Q =

∫d3x [φ2π1 − φ1π2] (3.24)

Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias. Considera-

se o sistema em equilibrio termico T e uma densidade finita de bosons φ, usando o tempo

imaginario (Formalismo de Matsubara), a grande funcao de particao tem a forma

Ξ =

∫Dπ1Dπ2

∫Dφ1Dφ2e

∫ β0 dτ

∫d3x

[i∑2j=1 πj

∂φj∂τ−H+µQ

](3.25)

Colocando a expressao (3.23) e (3.24) em (3.25) e integrando sobre os momentos, encon-

tramos

Ξ =

∫Dφ1Dφ2e

− 1

2

∫ β0 dτ

∫d3x

[∑2j=1

[∂φj∂τ

+i(−1)jµφ(3−j)

]2+∑2j=1[(∇φj)2+m2φ2

j ]+ 12λ(φ2

1+φ22)2

](3.26)

onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente. No

caso em questao devemos tomar λ = 0. Definindo a funcao abaixo (acao)

S = −1

2

∫ β

0

∫d3x

2∑j=1

[∂φj∂τ

+ i(−1)jµφ(3−j)

]2

+2∑j=1

[(∇φj)2 +m2φ2

j

](3.27)

integrando por partes e usando a periodicidade dos campos φ, obtemos

S = −1

2

∫ β

0

∫d3x

2∑j=1

φj

[− ∂2

∂τ 2−∇2 +m2 − µ2

]φj + 2iµ

[∂φ1

∂τφ2 − φ1

∂φ2

∂τ

](3.28)

As componentes do campo Φ podem ser expandido em uma transformacao de Fourier:

φj(x, τ) =

√β

V

∞∑n=−∞

∑pei(p·x+ωnτ)φj;n(p) j = 1, 2 (3.29)

Onde ωn = 2πnβ

, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x.

Usando (3.28) e (3.29) em (3.26), encontramos

Ξ =

∏n

∏p

∫Dφ1;n(p)Dφ2;n(p)

eS (3.30)

3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 25

onde

S = −1

2

∑n

∑p

[φ1;−n(−p), φ2;−n(−p)]D

[φ1;n(p)

φ2;n(p)

](3.31)

e

D = β2

[ω2n + ω2 − µ2 −2µωn

2µωn ω2n + ω2 − µ2

](3.32)

Com ω2 = p2 +m2. A grande funcao particao pode ser escrita como ()

Ξ =

∫Dφjexp

[−1

2(φj, Dφj)

]= (detD)−1/2 (3.33)

onde (φj, Dφj) e o produto interno no espaco das funcoes, entao

ln Ξ = ln(detD)−1/2 (3.34)

ou seja,

ln detD = ln

∏n

∏pβ4[(ω2

n + ω2 − µ2)2 + 4µ2ω2n]

(3.35)

que arrumando o argumento da funcao logaritımica torna-se

ln detD = ln

∏n

∏pβ2[ω2

n + (ω − µ2]

+ ln

∏n

∏pβ2[ω2

n + (ω + µ)2]

(3.36)

E o grande potencial termodinamico e expresso por

Φ(T, µ) = − 1

βln Ξ (3.37)

Ou seja

Φ(T, µ) = − 1

∑n

∑p

ln[β2[ω2

n + (ω − µ)2]]

+ ln[β2[ω2

n + (ω + µ)2]]

(3.38)

Em outra forma

Φ(T, µ) =V

∑n

∫d3p

(2π)3

ln[β2[ω2

n + (ω − µ)2]]

+ ln[β2[ω2

n + (ω + µ)2]]

(3.39)

26 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

Usando a seguinte identidade,

ln[(2πn)2 + β2(ω − µ)2] =

∫ β(ω−µ)

1

dξ2

ξ2 + (2πn)2+ ln[1 + (2πn)2] (3.40)

e

∞∑n=−∞

1

ξ2 + (2πn)2=

2π2

ξ

(1 +

2

eξ − 1

)(3.41)

Entao substituindo as identidades (3.40) e (3.41) dentro de (3.39) e resolvendo a integral

em ξ, encontramos

Φ(T, µ) = −Vβ

∫d3p

(2π)3

[βω + ln

(1− e−β(ω−µ)

)+ ln

(1− e−β(ω+µ)

)](3.42)

A partir da equacao (3.42) podemos construir as equacoes de estado deste sistema,

seguindo os roteiro do capıtulo anterior. Logo

P (µ, T ) =∂(T ln Ξ)

∂V

= − 1

β

∫d3p

(2π)3

[βω + ln

(1− e−β(ω−µ)

)+ ln

(1− e−β(ω+µ)

)](3.43)

3.1.3 Funcao Particao para Fermions

A densidade de Lagrangeana na ausencia de interacoes e

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ (3.44)

As matrizes de Dirac γµ, sao definidas pela relacao de anticomutacao γµ, γν = 2gµν ,

sendo

γ0 =

(1 0

0 −1

)(3.45)

γ =

(0 σ

−σ 0

)(3.46)

Onde cada uma delas denota uma matriz 4x4, sendo 1 uma matriz identidade 2x2 e σ as

matrizes de Pauli.

L = ψ†γ0

(iγ0 ∂

∂t+ iγ · ∇ −m

)ψ (3.47)

3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 27

Esta expressao e invariante a uma transformacao de gauge do tipo

Φ→ Φ′ = e−iαΦ (3.48)

onde α e uma constante, ou seja a simetria e global e nao local. E de acordo com o teorema

de Noether’s existe uma corrente associada a cada simetria contınua da Lagrangeana,

assim a correspondente a () U(1) e

jµ = ψγµψ (3.49)

com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =

∫d3xj0(x)

respectivamente.

O momento canonicamente conjugados sao

Π =∂L

∂(∂ψ/∂t)= iψ† (3.50)

Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente

H = ψ(−iγ · ∇+m)ψ (3.51)

e

Q =

∫d3xψ†ψ (3.52)

Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias. Considera-

se o sistema em equilibrio termico T e uma densidade finita de mesons φ, usando o tempo

imaginario (Formalismo de Matsubara), a grande funcao de particao tem a forma

Ξ =

∫iDψ†Dψe

∫ β0 dτ

∫d3xψ[−iγ·∇+m]ψ (3.53)

onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente. As

componentes do campo ψ pode ser expandido em uma transformacao de Fourier:

ψα(x, τ) =1√V

∞∑n=−∞

∑pei(p·x+ωnτ)ψα;n(p) (3.54)

Onde ωn = (2n+1)πβ

, devido a restricao de periodicidade ψ(x, β) = −ψ(x, 0) para todo x.

Colocando (2.16a) e (2.16b) dentro de (2.15) depois de uma integracao por partes, observe

28 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

(), encontramos

Ξ =

∏n

∏p

∫Dψ†α;n(p)Dψα;n(p)

eS (3.55)

onde

S =∑n

∑piψ†α;n(p)Dαρψρ;n(p) (3.56)

e

Dαρ = −iβ[(−iωn + µ)− γ0γ · ∇ −mγ0

](3.57)

Com ω2 = p2 +m2. E com as devidas integracoes, encontramos

ln Ξ = ln(detD) = Tr lnD (3.58)

ln detD = 2 ln

∏n

∏pβ2[(ω2

n + iµ)2 + ω2]

(3.59)

Ou melhor

ln Ξ =∑n

∑p

ln[β2(ωn(ω − µ))2

]+ ln

[β2(ωn(ω + µ))2

](3.60)

E o grande potencial termodinamico e expresso por

Φ(T, µ) = − 1

βln Ξ (3.61)

Ou seja

Φ(T, µ) = − 1

∑n

∑p

ln[β2[ω2

n + (ω − µeff )2]]

+ ln[β2[ω2

n + (ω + µeff )2]]

(3.62)

Em outra forma

Φ(T, µ) =V

∑n

∫d3p

(2π)3

ln[β2[ω2

n + (ω − µeff )2]]

+ ln[β2[ω2

n + (ω + µeff )2]]

(3.63)

3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 29

Usando a seguinte identidade,

ln[(2n+ 1)2π2 + β2(ω ± µ)2] =

∫ β2(ω±µ)2

1

dξ2

ξ2 + (2n+ 1)2π2+ ln[1 + (2n+ 1)2π2] (3.64)

e

∞∑n=−∞

1

(n− x)(n− y)=π(cotgπx− cotgπy)

y − x(3.65)

∞∑n=−∞

1

ξ2 + (2n+ 1)2π2=

1

ξ

(1

2+

1

eξ + 1

)(3.66)

Entao substituindo as identidades (29) e (28) dentro de (27) e resolvendo a integral em

ξ, encontramos

Φ(T, µ) = −Vβ

∫d3p

(2π)3

[βω + ln

(1 + e−β(ω−µeff )

)+ ln

(1 + e−β(ω+µeff )

)](3.67)

Onde U independe de T e µ. A partir da equacao (28) podemos construir as equacoes de

estado deste sistema.

P (µ, T ) =∂(T ln Ξ)

∂V

=1

β

∫d3p

(2π)3

[βω + ln

(1− e−β(ω−µeff )

)+ ln

(1− e−β(ω+µeff )

)](3.68)

30 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1

Capıtulo 4

Comportamento Exotico de Mesons

Pesados

Este capıtulo e devotado ao estudo de um sistema de muitos corpos de mesons q e

q, usando a teoria de campo medio relativıstico (Modelo de Walecka), via formalismo

de integrais de trajetorias mostrado no capıtulo anterior. Nossa motivacao e encontrar

moleculas composta de dois hadrons [18, 20, 21, 23], a possibilidade de encontrar tais

estruturas tem motivado esforcos experimentais e teoricos. Pois os novos hadrons podem

explicar as propriedades de estados que foram descobertos em decaimentos de mesons B,

chamados de X, Y , e Z com massas entre 3.9 GeV e 4.7 GeV para o setor charmonium e

Zb(10610) e Zb(10650) para o setor bottomonium, devido as restricoes que esses estados

encontram a serem tratados com o modelo formal da QCD.

Uma das primeiras interpretacoes para explicar os novos estados foi a que eles forma-

vam uma estrutura de dois mesons ligados, uma anologia a materia nuclear, um proton

e um neutron juntos. Recentemente diversos trabalhos estudam os estados ligados en-

tre mesons (DD e BB), modelos de troca de mesons, modelo de quarks chiral, regras de

soma da QCD, teorias de campo medio, entre outros. Alguns conseguiram apresentar bons

resultados quanto a existencia dos X, Y e Z, porem outros nao encontraram nenhuma

evidencia dos estados exoticos. Um parametro importante para descrever interacoes de

muitos corpos, tipo o sistema nucleo anti-nucleo (N − N materia nuclear) e a massa

efetiva, que em determinada regiao de temperatura favorece a producao de pares.

Os aspectos da fısica nuclear, ate meados da decada de 1970, quase todos os estudos

utilizavam um potencial nao-relativıstico, no entanto alguns resultados nao era satis-

fatorio. Em 1974, Walecka utilizou um modelo efetivo (Lagrangeana Efetiva) cujos graus

de liberdade fundamentais sao campos de barions, interagindo via troca de mesons pseudo-

escalares e vetoriais, para descrever a dinamica dos nucleos dentro de objetos altamente

condensados. Realizacao dos resultados e obtido tomando a aproximacao de campo medio,

que permite neglegenciar as flutuacoes nos campos mediadores.

31

32 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1

4.1 O Formalismo

Diante do exposto acima e da construcao de Ding para estudar um sistema do tipo

meson-meson, vamos derivar as caracterısticas de um sistema σ − BB e ω − BB, com a

densidade de Langrangeana na forma,

L = (∂µB)(∂µB†)−Bm2BB† − 1

4WµνW

µν +1

2m2ωωµω

µ +1

2(∂µσ)(∂µσ)−

−1

2m2σσ

2 + gBBσBB†σ + igBBωω

µ[B∂µB† − (∂µB)B†], (4.1)

com

m2B =

(m2B0 0

0 m2B±

)

onde Wµν = ∂µων − ∂νωµ, o campo B e um dubleto ( B

0√

2, B+), mB, mσ e mω sao respecti-

vamente a massa do meson B, meson σ e meson ω. As constantes de acoplamento desta

teoria sao: gBBσ e gBBω.

As equacoes de movimento sao obtidas a partir do formalismo de teoria classica de

campos, equacoes de Euler-Lagrange, usando o guage de Lorentz ∂λωλ = 0

∂µ∂µσ +m2σσ = gBBσBB

†, (4.2)

∂µ∂µων +m2

ωων = −igBBω[B∂νB

† − (∂νB)B†], (4.3)

∂µ∂µB0 +m2

eff0B0 = 0, (4.4)

∂′

µ∂′µB± +m2

eff±B± = 0, (4.5)

onde ∂′µ = ∂µ + igBBωωµ, m2

eff0 = m2B − gBBσσ e m2

eff± = m2B − gBBσσ + g2

BBωωµω

µ. As

equacoes (4.2) e (4.3) sao equacoes de campos massivos, tendo como fontes o campo B.

As equacoes (4.4) e (4.5) sao do tipo Klein-Gordon para o campo B, com os mesons σ e

ω incluıdos no acoplamento mınimo ou na massa efetiva.

Nossa abordagem sera analoga ao modelo proposto por Walecka para estudar a materia

nuclear. Ou seja, vamos tratar o problema com a aproximacao de campo medio (CM),

onde as flutuacoes dos campos mediadores sao neglegenciadas, i.e.

σ = 〈σ〉, (4.6a)

ω = 〈ω0〉, (4.6b)

4.1 O FORMALISMO 33

sendo ωµ = 0 para µ 6= 0, assim as equacoes (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6) ficam na forma

〈σ〉 =gBBσm2σ

ρs, (4.7)

〈ω0〉 =gBBωm2ω

ρv, (4.8)

∂µ∂µB0 + (m2

B0 − gBBσ〈σ〉)B0 = 0, (4.9)

∂µ∂µB + (m2

B± − gBBσ〈σ〉)B + 2igBBω〈ω0〉∂0B = 0, (4.10)

onde ρs = 〈BB†〉 e a densidade escalar e ρv = 〈i[(∂0B)B† − B(∂0B†)]〉 e a densidade

vetorial. Para construir o sistema termodinamico e viavel encontrar algumas variaveis

dinamicas que se conservam, neste caso a Corrente associada. A equacao (4.1) tem uma

simetria do tipo U(1) (B → B′ = e−iαB), onde α e constante, da mesma forma que foi

feito nas secoes do capıtulo anterior, com isso encontramos (utilizando a ACM)

jµ = i[B†(∂µ − igBBω〈ω0〉)B −B(∂µ + igBB〈ω0〉ωµ)B†] (4.11)

com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =

∫d3xj0(x)

respectivamente. E conveniente decompor B em parte real e parte imaginaria usando os

campos reais B1 e B2, B = 1√2(B1+iB2),colocando B0 = B3. Os momentos canonicamente

conjugados sao

Π1 =∂B1

∂t− gBBω

⟨ω0⟩B2 (4.12a)

Π2 =∂B2

∂t+ gBBω

⟨ω0⟩B1 (4.12b)

Π3 =∂B3

∂t(4.12c)

Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente

H = H12 +H3 +HM (4.13)

onde

H12 =1

2

2∑j=1

[Π2j + (∇Bj)

2 +m2eff±B

2j

]+ gBBω

⟨ω0⟩

[Π1B2 −B1Π2] (4.14)

34 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1

H3 =1

2[Π2

3 + (∇B3)2 +m2eff0B2

3 ] (4.15)

HM = m2σ 〈σ〉

2 −m2ω

⟨ω0⟩2

(4.16)

e

Q =

∫d3x [B2Π1 −B1Π2] (4.17)

Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias, como

foi construıdo ao longo do capıtulo 3. Considera-se o sistema em equilibrio termico T e uma

densidade finita de mesons B, usando o tempo imaginario (Formalismo de Matsubara), a

grande funcao de particao tem a forma

Ξ =

∫DΠ1DΠ2DΠ3

∫DB1DB2DB3e

∫ β0 dτ

∫d3x

[i∑3j=1 Πj

∂Bj∂τ−H+µQ

](4.18)

onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente.

Colocando as expressoes (4.14), (4.15), (4.16) e (4.17) em (4.18) e integrando sobre os

momentos, obtemos

Ξ = γ

∫DB1DB2e

− 1

2

∫ β0 dτ

∫d3x

[∑2j=1

[∂Bj∂τ

+i(−1)jµeffB(3−j)

]2+∑2j=1

[(DiBj)

2+m2eff±B

2j

]](4.19)

com

γ = α

∫DB3e

− 1

2

∫ β0 dτ

∫d3x

[( ∂B3∂τ )

2+(∇B3)2+meff0B2

3

]

α = e12βV[m2ω〈ω0〉2−m2

σ〈σ〉2]

As componentes do campo B pode ser expandido em uma transformacao de Fourier:

Bj(x, τ) =

√β

V

∞∑n=−∞

∑pei(p·x+ωnτ)Bj;n(p) j = 1, 2, 3 (4.20)

Onde ωn = 2πnβ

, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x.

Substituindo os campos (4.20) dentro de (4.19), e realizando uma integracao por partes,

observe (3.28), encontramos

Ξ = α

n

∏p

∫DB1;n(p)DB2;n(p)

eS12

n

∏p

∫DB3;n(p)

eS3

(4.21)

4.1 O FORMALISMO 35

onde S12 corresponde a acao do campo carregado,

S12 = −1

2

∑n

∑p

[B1;−n(−p), B2;−n(−p)]D12

[B1;n(p)

B2;n(p)

](4.22)

enquanto que S3 a presenca do campo neutro,

S3 = −1

2

∑n

∑pB3;−n(−p)D3B3;n(p) (4.23)

As matrizes constantes D12 e D3 que aparecem acima sao dadas por

D12 = β2

[ω2n + E2

± − µ2eff± −2µeff±ωn

2µeff±ωn ω2n + E2

± − µ2eff±

](4.24)

e

D3 = β2[ω2n + E2

0

](4.25)

Com E2± = p2 + m2

eff± e E20 = p2 + m2

eff0 . Da mesma forma que foi seguido em (3.34),

chegamos a

ln Ξ =1

2βV[m2ω

⟨ω0⟩2 −m2

σ 〈σ〉2]

+ ln(detD12)−1/2 + ln(detD3)−1/2 (4.26)

Seguindo o mesmo roteiro, equacao (3.35) ate a (3.41), chegamos ao seguinte grande

potencial termodinamico

Φ(T, V, µ,H0) = Φ0 + Φ12 + Φ3 (4.27)

onde as funcoes Φ0, Φ12, e Φ3 sao dadas por

Φ0 =1

2V[m2σ 〈σ〉

2 −m2ω

⟨ω0⟩2]

(4.28)

Φ12 =V

β

∫d3p

(2π)3

[ln(

1− e−β(E±−µeff± ))

+ ln(

1− e−β(E±+µeff± ))]

(4.29)

Φ3 =V

β

∫d3p

(2π)3ln(1− e−βE0) (4.30)

Aqui descartamos o termo de energia de ponto zero. Para verificar o comportamento

termodinamico deste sistema, precisamos considerar as equacoes de estado para os dois

36 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1

setores do modelo, com

∂Φ

∂ 〈σ〉= 0, (4.31)

∂Φ

∂ 〈ω0〉= 0. (4.32)

Usando as equacoes (4.28), (4.29) e (4.30), obtemos as seguintes expressoes que fornecem

os valores de 〈σ〉 e 〈ω0〉 que extremiza Φ, i.e.

〈σ〉 =gBBσ2m2

σ

[ρ12 + ρ3] , (4.33)

⟨ω0⟩

=gBBωm2ω

[gBBω

⟨ω0⟩ρ12 + ρs

], (4.34)

onde

ρ12 =

∫d3p

(2π)3

1

[1

eβ(E±−µeff± ) − 1+

1

eβ(E±+µeff± ) − 1

], (4.35)

ρs =

∫d3p

(2π)3

[1

eβ(E±−µeff± ) − 1− 1

eβ(E±+µeff± ) − 1

], (4.36)

ρ3 =

∫d3p

(2π)3

1

E0

[1

eβE0 − 1

]. (4.37)

As equacoes (4.33) e (4.34) sugere um sistema de equacoes para os campos 〈σ〉 e 〈ω0〉(Equacoes de auto consistencia). Note que se µeff = 0, ou seja µ = gBBω 〈ω0〉, a equacao

(4.34) mostra que 〈ω0〉 = 0, como esperado. Como foi descrito no capıtulo 2 podemos agora

derivar as quantidades termodinamicas relevantes do grande potencial termodinamico,

dado na equacao (4.27). No caso da pressao, temos

p(T, µ) ≡ −∂Φ

∂T

=1

2mω〈ω0〉2 − 1

2mω〈σ〉2 − T

∑κ0,±1

∫d3p

(2π)3

[ln(

1− e−β(E0,±+κµeff± ))]

(4.38)

Se κ = 0 usamos E0, caso contrario E±. A entropia e a densidade de Energia em equilıbrio

4.2 RESULTADOS 37

quımico sao dados por

s(T ) ≡ − ∂p∂T

= −∑κ0,±1

∫d3p

(2π)3

[ln(

1− e−β(E0,±+κµeff± ))

+1

T

E0,± + κµeff

e−β(E0,±+κµeff± ) − 1

](4.39)

e

ε(T ) ≡ −p+ Ts

=1

2mω〈σ〉2 −

1

2mω〈ω0〉2 − 1

T

∑κ0,±1

∫d3p

(2π)3

[E0,± + κµeff

e−β(E0,±+κµeff± ) − 1

](4.40)

respectivamente. Na secao seguinte iremos mostrar os principais resultados obtidos com o

modelo, alem de confronta-los com alguns dados experimentais encontrados na literatura.

4.2 Resultados

Aqui vamos tratar os resultados para os mesons D e tambem os B, nas duas primeiras

subsecoes para o caso em que µeff = 0, onde o numero de mesons q e q sao iguais, enquanto

que nas duas subsecoes finais a abordagem acontece para a situacao em que µeff 6= 0.

A descricao do comportamento termodinamico do modelo introduzido na secao acima se

dara por meio de mudancas de valores dos parametros relevantes. Na secao destinada aos

mesons B, os parametros usados sao os seguintes: mB± = mB0 = 5.279 GeV, mσ = 0.5

GeV, mω = 0.5, gBBσ = 8.04 GeV, gBBω = 12.00 GeV e temperatura de desconfinamento

de Tc = MeV. E para a secao dos mesons D, usamos: mD± = 1.869 GeV, mD0 = 1.864

GeV, gDDσ = 2.85 GeV, gDDω = 3.67 GeV e temperatura de desconfinamento de Tc = 172

MeV.

4.2.1 Massa Efetiva de B em µeff = 0

O campo 〈σ〉 desempenha um papel importante na caracterizacao das principais in-

formacoes termodinamicas do modelo descrito na secao anterior. Por isso, obtemos o

comportamento do campo sigma, equacao de auto consistencia (4.33), como uma funcao

de temperatura, figura 4.1. Notamos que 〈σ〉 nao existe para temperaturas acima de

T = 1.697 GeV. Antes, o 〈σ〉 tem um valor maximo em TB ≈ 1.118 ou 6.5Tc, que e o valor

em que a massa efetiva vai a zero. Essa temperatura e muito maior do que as sugeridas

na literatura para dissociacao do bottomonium, que sao: 2.06Tc [] e 4.18Tc [].

Vamos considerar a massa efetiva dos mesons B no meio hadronico, diante das apro-

38 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.2

Figura 4.1: Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico.

ximacoes de campo medio e potencial quımico efetivo nulo, temos

meff± =√m2B± − gDDσ〈σ〉 (4.41)

A figura 4.2 mostra os valores para meff± como uma funcao de temperatura, que sao

solucoes da equacao de estado (4.33). Podemos verificar que a massa diminui com o

aumento da temperatura. Assim estados ligados de B − B aparecem. E uma regiao de

transicao de gas interagente a uma materia fortemente interagente que aparece em TB.

Alem disso, esta temperatura e elevada em comparacao com a temperatura de dissociacao

bottomonium, como foi mencionado acima.

Figura 4.2: Massa efetiva do meson B, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gBBσ = 8.04 GeV.

A energia de ligacao das moleculas compostas por mesons B e B pode ser estimada

4.2 RESULTADOS 39

pela expressao abaixo,

ε(T ) = mBB − 2meff , (4.42)

onde mBB = 2mB e 2meff e a massa do estado ligado BB. Para T = 0 a energia de

ligacao e zero, i.e. em nosso modelo nao existem estados ligados dos mesons bottomonium

em temperatura nula. Uma analise da energia de ligacao pode ser feita numa regiao da

curva, como por exemplo 3.953Tc, na figura 4.2 a massa efetiva para tal temperatura e

≈ 5.277. Assim a energia de ligacao e de ≈ 3.4 MeV.

Figura 4.3: Pressao da materia de mesons B0 e B±, como uma funcao de temperatura emgBBσ = 8.04 GeV.

Figura 4.4: Razao da pressao/energia da materia B0 e B±, como uma da temperatura emgBBσ = 8.04 GeV.

40 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3

Figura 4.5: Energia por par da materia B0 e B±, como uma funcao de temperatura em gBBσ =8.04 GeV.

4.2.2 Massa Efetiva de D em µeff = 0

Semelhante ao caso anterior o campo 〈σ〉 desempenha um papel importante na ca-

racterizacao das principais informacoes termodinamicas do sistema com mesons D e D.

Numericamente, obtemos o comportamento do campo sigma na equacao () como uma

funcao de temperatura, figura 4.6. Notamos que 〈σ〉 nao existe para temperaturas acima

de T = 1.14 GeV. Antes, o 〈σ〉 tem um valor maximo em T = 0.97 ou 5.65Tc, que e o

valor em que a massa efetiva vai a zero.

Figura 4.6: Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico.

4.3 Conclusoes

4.3 CONCLUSOES 41

Figura 4.7: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 2.85 GeV.

Figura 4.8: Massa efetiva dos mesons D, como uma funcao de temperatura, em equilıbrioquımico, para diferentes valores da constante de acoplamento. A linha solida mostra o casogDDσ = 2.85 GeV, a linha tracejada mostra o caso gDDσ = 5.00 GeV e a linha com traco eponto mostra o caso gDDσ = 9.00 GeV.

42 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3

Figura 4.9: Isotermas do grande potencial termodinamico, como funcao da massa efetiva, comgDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso T = 1.100GeV, a linha com traco e pontomostra o caso T = 1.120 GeV e a linha com tracejada mostra o caso T = 1.143 GeV.

Figura 4.10: Isotermas do grande potencial termodinamico, como uma funcao da massa efetiva,com gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso T = 0.521GeV, a linha com traco e pontomostra o caso T = 0.527 GeV e a linha com tracejada mostra o caso T = 0.533 GeV.

4.3 CONCLUSOES 43

Figura 4.11: Pressao da materia de mesons D0 e D±, como uma funcao de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.

Figura 4.12: Razao da pressao/energia da materia D0 e D±, como uma de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.

44 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3

Figura 4.13: Energia por par da materia D0 e D±, como uma funcao de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.

Capıtulo 5

Propriedades dos Mesons Pesados na

Presenca de um Campo Magnetico

Externo

Neste capıtulo discute-se a presenca de um campo magnetico uniforme externo no

sistema apresentado no capıtulo anterior. Atualmente uma grande quantidade de trabalhos

sao dedicados a sistemas de fısica de partıculas na presenca de campos magneticos, dentre

eles os efetitos combinados de campo e temperatura. Desde o estudo de transicoes de fases

quark-hadron [], propriedades da materia de quarks [], ate os efeitos em fenomenos de

supercondutores de cor da materia de quarks []. Outros problemas que sofrem influencias

do campo magnetico sao encontrados em teoria quantica de campos, como em filmes

supercondutores e em sistemas que dependem do tamanho [].

Um ’laboratorio’ importante da fısica de altas energias e a colisao de ıons pesados,

trabalhos recentes argumentam que existen evidencias de que campos fortes sao criados

em tais colisoes []. Para colisoes de Au-Au em energia√sNN = 200 GeV e parametro de

impacto 4 fm e eB ≈ 1.3m2π ≈ 0.025 GeV, que corresponde a B ≈ 4.3× 1018 Gauss []. O

maior campo magnetico observado na natureza e 1012 − 1013 Gauss em pulsars e acima

1014− 1015 Gauss na superfıcie de magnetors, e em seu interior pode chegar a 1018− 1020

Gauss. Enquanto que no universo primitivo estima-se um campo de 1047 Gauss produzido

no comeco da inflacao [].

Ver a secao 9.4 do livro do Salinas

5.1 O Formalismo

O Modelo apresentado no capıtulo anterior pode ser ainda mais interessante se for

acoplado ao Campo Escalar Carregado um Campo Eletromagnetico. A densidade de Lan-

45

46 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1

grangeana e dada pela expressao

L = (DµB)(DµB)† −Bm2BB† − 1

4FµνF

µν +1

2m2ωωµω

µ +1

2(∂µσ)(∂µσ)−

−1

2m2σσ

2 + gBBσBB†σ + igBBωω

µ[B∂µB† − (∂µB)B†]− 1

4WµνW

µν (5.1)

Com Dµ = ∂µ + ieAextµ , Fµν = ∂µAextν − ∂νAextµ e Wµν = ∂µων − ∂νωµ. Sendo Fµν o Tensor

do Campo Eletromagnetico. Com

m2B =

(m2B0 0

0 m2B±

)

O campo B e um dubleto ( B0√

2, B+), mB, mσ e mω sao respectivamente a massa do meson

B, meson σ e meson ω. As constantes de acoplamento desta teoria sao: gBBσ e gBBω.

As equacoes de movimento para os campos sao similares as encontradas no capıtulo

anterior (4.2), (4.3), e (4.4), porem diferente para os campos B± que tem a seguinte forma

(Com Aproximacao de Campo Medio)

(∂µ + ieAextµ )(∂µ + ieAµext)B± + (m2

B± − gBBσ 〈σ〉)B± + 2igBBω⟨ω0⟩∂0B

± = 0 (5.2)

Alguns aspectos relevantes podem ocorrer em sistemas fısicos na presenca de campos

magneticos contante. Um procedimento muito utilizado e aplicar o chamado gauge de

Landau, que corresponde a Aextµ = (0,−Hx2, 0, 0), onde H e a intensidade do campo

externo uniforme. Assim a funcao de onda que governa o estado da equacao (5.2) pode

ser escrita na forma

B±(x) = ei(p0x0−p1x1−p3x3)u(x2) (5.3)

Onde u(x2) satisfaz a equacao de oscilador harmonico dada na forma,[−∂2

x2+ e2H2

(x2 −

p1

eH

)2]u(x2) = [(p0 + gBBω

⟨ω0⟩)2 − p2

3 −m2eff ]u(x2) = 0 (5.4)

Com m2eff = m2

B − gBBσ 〈σ〉+ g2BBω〈ω0〉2. Entao a solucao da equacao (4.4) sao

u(x2) =1√2nn!

(eH

π

)1/4

Hn

[√eH(x2 −

p1

eH

)]e−

12eH(x2− p1

eH )2

(5.5)

Onde os Hn sao os polinomios de Hermite e assim o espectro de energia e escrito como

p20 = p2

3 +m2eff + eH0

(n+

1

2

)(5.6)

5.1 O FORMALISMO 47

Com n = 0, 1, 2, ..., que corresponde aos nıveis de Landau.

Da mesma maneira trataremos o sistema a temperatura e densidade finita e para tal

devemos avaliar a lagrangeana (5.1) diante da simetria U(1) (B → B′ = e−iαB), assim

como no capıtulo anterior. Podemos encontrar a corrente conservada associada a essa

simetria continua.

jµ = i[B†(∂µ − ieAextµ − igBBωωµ)B −B(∂µ + ieAextµ + igBBωωµ)B†] (5.7)

Decompondo o campo B em B = 1√2(B1 +iB2), sendo os campos B1 e B2 reais e B3 = B0.

Os momentos canonicamente conjugados ficam (ACM)

Π1 =∂B1

∂t− eAext0 B2 − gBBω

⟨ω0⟩B2 (5.8a)

Π2 =∂B2

∂t+ eAext0 B1 + gBBω

⟨ω0⟩B1 (5.8b)

Π3 =∂B3

∂t(5.8c)

A densidade do Hamiltoniano e a densidade de carga sao, respectivamente (Aqui vamos

utilizar o fato que Aext0 = 0)

H = H12 +H3 +HM (5.9)

onde

H12 =1

2

2∑j=1

[Π2j + (DiBj)

2 +m2effB

2j

]+ gBBω〈ω0〉 [Π1B2 −B1Π2] (5.10)

H3 =1

2[Π2

3 + (∇B3)2 + (m2B0 − gBBσ〈σ〉)B2

3 ] (5.11)

HM = m2σ〈σ〉2 −m2

ω〈ω0〉2 +H20 (5.12)

e

Q =

∫d4x [B2Π1 −B1Π2] (5.13)

Com Di = ∂i − ieAexti Agora podemos escrever a Grande Funcao de Particao, usando o

formalismo que desenvolvemos no capıtulo 3. Entao

Ξ =

∫DΠ1DΠ2DΠ3

∫DB1DB2DB3e

∫ β0 dτ

∫d3x

[i∑3j=1 Πj

∂Bj∂τ−H+µQ

](5.14)

48 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1

A integracao sobre os momentos, reduz a expressao (5.13) a

Ξ = γ

∫DB1DB2e

− 1

2

∫ β0 dτ

∫d3x

[∑2j=1

[∂Bj∂τ

+i(−1)jµeffB(3−j)

]2+[∑2

j=1(DiBj)2+m2

eff±B2j

]](5.15)

onde

γ = α

∫DB3e

− 1

2

∫ β0 dτ

∫d3x

[( ∂B3∂τ )

2+(∇B3)2+(m2

B0−gBBσ〈σ〉)B23

]

α = e12βV[m2ω〈ω0〉2−m2

σ〈σ〉2−H2

0

]

As componentes do campo B pode ser expandido em Fourier:

Bj(x, τ) =

√β

V

∞∑n=0

∞∑l=−∞

∑pei(p·x+ωlτ)Bn

j;l(p) j = 1, 2 (5.16)

e

B3(x, τ) =

√β

V

∞∑l=−∞

∑pei(p·x+ωlτ)B3;l(p) (5.17)

Onde ωl = 2πlβ

, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x. E os

indices n rotulam os nıveis de Landau. Colocando (5.15) e (5.16) dentro de (5.14) depois

de uma integracao por partes, observe (3.28), encontramos

Ξ = α

n

∏l

∏p

∫DBn

1;l(p)DBn2;l(p)

eS12

l

∏p

∫DB3;l(p)

eS3

(5.18)

onde S12 corresponde a acao do campo carregado,

S12 = −1

2

∑n

∑l

∑p

[Bn

1;−l(−p), Bn2;−l(−p)

]D12

[Bn

1;l(p)

Bn2;l(p)

](5.19)

enquanto que S3 a presenca do campo neutro, e temos

S3 = −1

2

∑l

∑pB3;−l(−p)D3B3;l(p) (5.20)

e as matrizes constantes, nas expressoes acima sao dadas por

D12 = β2

[ω2l + E2

n − µ2eff −2µeffωl

2µeffωl ω2l + E2

n − µ2eff

](5.21)

5.1 O FORMALISMO 49

e

D3 = β2[ω2l + E2

0

](5.22)

Com E2n = p2

3 +m2eff± + eH0

(n+ 1

2

)e E2

0 = p2 +m2eff0 . E da mesma forma que foi feito

em (3.34), encontramos

ln Ξ =1

2βV[m2ω

⟨ω0⟩2 −m2

σ 〈σ〉2 −H2

]+ ln(detD12)−1/2 + ln(detD3)−1/2 (5.23)

Seguindo o mesmo roteiro, equacao (3.35) ate a (3.41), chegamos ao seguinte grande

potencial termodinamico,

Φ(T, V, µ,H) = Φ0 + Φ12 + Φ3 (5.24)

onde as funcoes Φ0, Φ12 e Φ3 sao

Φ0 =1

2V[m2σ 〈σ〉

2 −m2ω

⟨ω0⟩2

+H2]

(5.25)

Φ12 =eV H

2πβ

∞∑n=0

∫dp3

[ln(1− e−β(En−µeff )

)+ ln

(1− e−β(En+µeff )

)](5.26)

Φ3 =V

β

∫d3p

(2π)3ln(1− e−βE0) (5.27)

Onde o fator eH2π

multiplicando a soma em n surge por causa da degenerescencia dos nıveis

de Landau.

Para verificar o comportamento termodinamico deste sistema, vamos seguir o mesmo

modelo aplicado no capıtulo 4, ou seja considerar que as equacoes de estados obedecam

as situacoes abaixo,

∂Φ

∂ 〈σ〉= 0 (5.28)

∂Φ

∂ 〈ω0〉= 0 (5.29)

Usando as equacoes (5.25), (5.26) e (5.27) assim obtemos as seguintes expressoes que

fornecem os valores de 〈σ〉 e 〈ω0〉 que extremiza Φ,

〈σ〉 =gBBσ2m2

σ

[ρH12 + ρ3

](5.30)

50 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1

⟨ω0⟩

=gBBωm2ω

[gBBω

⟨ω0⟩ρH12 + ρHs

](5.31)

onde

ρH12 =eH

∞∑n=0

∫dp3

1

En

[1

eβ(En−µeff ) − 1+

1

eβ(En+µeff ) − 1

](5.32)

ρHs =eH

∞∑n=0

∫dp3

[1

eβ(En−µeff ) − 1− 1

eβ(En+µeff ) − 1

](5.33)

ρ3 =

∫d3p

(2π)3

1

E0

[1

eβE0 − 1

](5.34)

Diferentemente das equacoes (4.35) e (4.36), as expressoes (5.30) e (5.31) dependem do

campo magnetico externo. Do mesmo modo que (4.33) e (4.34), as equacoes (5.30) e

(5.31) sugerem um sistema de equacoes para os campos 〈σ〉 e 〈ω0〉 (Equacoes de auto

consistencia). Note mais uma vez que se µeff = 0, ou seja µ = gBBω 〈ω0〉, a equacao (5.31)

mostra que 〈ω0〉 = 0, como esperado. Como foi descrito no capıtulo 2 podemos agora

derivar as quantidades termodinamicas relevantes do grande potencial termodinamico,

dado na equacao (5.24). No caso da pressao, temos

p(T, µ, eH) ≡ −∂Φ

∂T= p0 + pH12 + p3 (5.35)

onde p0, pH12 e p3 sao descritas na forma

p0 =1

2mω〈ω0〉2 − 1

2mω〈σ〉2 −

1

2H2 (5.36)

pH12 = −T eH2π

∞∑n=0

∫dp3

[ln(1− e−β(En+µeff )

)+ ln

(1− e−β(En−µeff )

)](5.37)

p3 = −T∫

d3p

(2π)2

[ln(1− e−βE0

)](5.38)

A entropia e a densidade de Energia em equilıbrio quımico sao dados por

s(T, eH) ≡ − ∂p∂T

= sH12 + s3 (5.39)

5.3 RESULTADOS 51

onde

sH12 = −eH2π

∞∑n=0

∫dp3

[ln(1− e−βEn

)+

1

T

Ene−βEn − 1

](5.40)

s3 = −∫

d3p

(2π)3

[ln(1− e−βE0

)+

1

T

E0

e−βE0 − 1

](5.41)

e

ε(T, eH) ≡ −p+ Ts = ε0 + εH12 + ε3 (5.42)

sendo

ε0 =1

2H2 +

1

2mω〈ω0〉2 − 1

2mω〈σ〉2 (5.43)

εH12 = −eHπT

∞∑n=0

∫dp3

[En

e−βEn − 1

](5.44)

ε3 =

∫d3p

(2π)3

[E0

e−βE0 − 1

](5.45)

Na secao seguinte iremos mostrar os principais resultados obtidos com o modelo, alem

de confronta-los com alguns dados experimentais encontrados na literatura.

5.2 Resultados

5.3 Conclusoes

52 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.3

Figura 5.1: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.

Figura 5.2: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 5.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.

5.3 CONCLUSOES 53

Figura 5.3: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.

54 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.3

Capıtulo 6

Conclusoes

55

56 CONCLUSOES

Referencias Bibliograficas

[1] MAGGIORE, M.. A Modern Introduction To Quantum Field Theory. OxfordUniversity, New York, 2005. 1, 6

[2] RYDER, L.H.. Quantum Field Theory. Segunda Edicao. Cambridge UniversityPress, New York, 1996. 1, 6

[3] PESKIN, M.E.; SCHROEDER, D.V.. An Introduction To Quantum Field The-ory. Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1995. 1, 6, 19

[4] MARTIN, B.R.; SHAW, G.. Particle Physics. Third Edition. John Wiley, 2008. 1

[5] ENDLER, A.M.F.. Introducao a Fısica de Partıculas. Sao Paulo: Livraria daFısica, 2010. 1, 3, 4

[6] ABDALLA, M.C.B.. O discreto charme das partıculas elementares. Sao Paulo:Editora Unesp, 2008. 3, 4

[7] FEYNMAN, R.P.; HIBBS, A.R.. Quantum Mechanics and Path Integrals. Do-ver Publications, Mineola, New York, 2010. 19

[8] BASSALO, J.M.F.. Eletrodinamica Quantica. Segunda Edicao. Sao Paulo: Livra-ria da Fısica, 2006.

[9] OLIVEIRA, M.J. de. Temodinamica. Segunda Edicao. Sao Paulo: Editora Livrariada Fısica, 2012. 9

[10] CALLEN, H.B.. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics.Segunda Edicao. 9

[11] KHANNA, F.C.; MALBOUISSON, A.P.C.; MALBOUISSON, J.M.C.; SANTANA,A.E.. Termal Quantum Field Theory: Algebraic Aspects and Aplications.USA: World Scientific, 2009. 9

[12] PATHRIA, R.K.. Statistical Mechanics. Second Edition. Butterworth-Heinemann,1997. 9

[13] REIF, F.. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. New York:McGraw-Hill, 1965. 9

[14] SALINAS, S.R.A.. Introducao a Fısica Estatıstica. Segunda Edicao. Sao Paulo:Editora da Universidade de Sao Paulo, 2008. 9

[17] KAPUSTA, J.I.; GALE, C.. Finite-Temperature Field Theory Principles andAplications. Cambridge, New York, 2006. 19

57

58 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[16] LE BELLAC, M.. Thermal Field Theory. Cambridge, 1965. 19

[17] KAPUSTA, J.I.. Bose-Einstein condensation, spontaneous symmetry brea-king, and gauge theories. Physical Review D, 24, (1981). 19

[18] GAMERMANN, D.; OSET, E.; STROTTMAN, D.; VACAS, M.J.V.. DynamicallyGenerated Open and Hidden Charm Meson Systems. Physical Review D, 76,074016 (2007). 31

[19] SHURYAK, E.V.. Physics of the Pion Liquid. Physical Review D, 42, (1990).

[20] FREIRE, M.L. de F.; SILVA, R.R.. The D−D Matter in Walecka’s Mean FieldTheory. AIP Conf. Proc. 1296, 2010. 2, 31

[21] DING, G-J.. Are Y (4260) and Z+2 (4250) D1D or D0D

∗ hadronic molecules?.Physical Review D, 79, (2009). 2, 31

[22] EMERICK, A.; ZHAO, X.; RAPP, R.. Bottomonia in the Quark-Gluon Plasmaand their Production at RHIC and LHC. Eur. Phys. J. A 48, (2012).

[23] ZHANG, J-R.; HUANG, M-Q.. QqQ(′)q molecular states. Physical Review D,80, (2009). 2, 31

[24] MORITA, K.; LEE, S.H.. Charmonium mass in hot and dense hadronic mat-ter. arXiv: 1012.3110v2 [hep-ph] (2012). 2

[25] LI, M.T.; WANG, W.L; DONG, Y.B.; ZHANG, Z.Y.. Possible DD and BB Mo-lecular states in a chiral quark model. arXiv: 1206.0523v2 [nucl-th] (2012). 2

[26] ANDERSEN, J.O.. Chiral pertubation theory in a magnetic backgroundfinite-temperature effects. arXiv: 1205.6978v1 [hep-ph] (2012).

[27] AGASIAN, N.O; FEDOROV, S.M.. Quark-hadron phase transition in a mag-netic field. arXiv: 0803.3156v3 [hep-ph] (2008).

[28] FAYAZBAKHSH, S.; SADOOGHI, N.. Phase diagram of hot magnetizadotwo-flavor color superconducting quark matter. arXiv: 1009.6125v2 [hep-ph](2010).

[30] ABREU, L.M.; MALBOUISSON, P.C.; MALBOUISSON, J.M.C.; SANTANA, A.E..Large-N transition temperature for superconducting films in a magneticfield. Physical Review B, 67, 2003.

[30] ABREU, L.M.; MALBOUISSON, P.C.; MALBOUISSON, J.M.C.. Nambu-Jona-Lasinio model in a magnetic background: Size-dependent effects. PhysicalReview B, 84, 2011.