comportamento dinâmico de dutos de materiais compósitos

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE DUTOS DE MATERIAIS

COMPÓSITOS PRODUZIDOS POR ENROLAMENTO

FILAMENTAR

Rafael Azevedo Matos Ferreira

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia de Materiais da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de

Engenheiro de Materiais.

Orientadores: Fernando Luiz Bastian

Rafael de Azevedo Cidade

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2015

iii

Ferreira, Rafael A. M.

Comportamento Dinâmico de Dutos de Materiais Compósitos

Produzidos por Enrolamento Filamentar / Rafael Azevedo Matos

Ferreira – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

viii, 48 p.: il.; 29,7cm

Orientadores: Fernando Luiz Bastian e Rafael de Azevedo Cidade

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia de Materiais, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 30.

1. Materiais Compósitos. 2. Frequências Naturais de Vibração.

3. Método dos Elementos Finitos.

I. Bastian, Fernando Luiz e de Azevedo Cidade, Rafael. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Engenharia

de Materiais. III. Comportamento Dinâmico de Dutos de

Materiais Compósitos Produzidos por Enrolamento

Filamentar.

iv

Em memória de meu querido avô João.

Obrigado pela companhia e pelas lições.

v

Agradecimentos

A Deus por tudo, das alegrias às tristezas, das vitórias aos fracassos e das

oportunidades aos desafios.

Aos meus pais Ricardo e Gina, pela força, pelo apoio, pelo aprendizado e pelo

amor incondicional que deles recebi ao longo de toda a minha vida. Minhas vitórias são

vitórias suas também!

Ao professor e orientador de projeto Bastian, pela oportunidade de realizar este

trabalho, pela seriedade, carinho e cobrança.

Ao co-orientador Rafael Cidade, por toda a orientação que me desempenhou do

começo ao fim do projeto e pela grande paciência para lidar com minhas dificuldades.

Um grande agradecimento também ao professor Fernando Castro Pinto e aos

demais professores e funcionários do LaVi pela enorme ajuda e receptividade durante a

fase experimental deste trabalho. Também agradeço aos funcionários dos demais

laboratórios que precisei utilizar para a realização deste trabalho, pelos mesmos

motivos.

À professora e coordenadora Renata Simão, pela enorme assistência durante a

minha graduação em variadas questões, em especial nesta reta final do curso.

A todos os meus amigos, muitos para enumerar, que me apoiaram, me ajudaram,

ficaram perguntando quando iria ser a apresentação deste projeto, e de forma geral

foram de companhia. Ainda, um abraço particular para aqueles que me acompanharam

durante as tempestades da graduação, sofreram, riram e choraram comigo ao longo das

Físicas, Cálculos, Polímeros, Metalurgias Físicas e Cerâmicos que se encontraram em

nossa trajetória.

Outro abraço especial para o pessoal do Minerva Baja, pela oportunidade de me

envolver num projeto interessantíssimo que tanto me ensinou, além de serem ótimos

amigos.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de Materiais.

Comportamento Dinâmico de Dutos de Materiais Compósitos Produzidos por

Enrolamento Filamentar


Fevereiro/2015

Orientadores: Fernando Luiz Bastian e Rafael de Azevedo Cidade

Curso: Engenharia de Materiais

Uma das classes de materiais em ascensão nos dias atuais é a dos materiais

compósitos, graças à sua versatilidade em combinar aspectos dos materiais

constituintes, possibilitando o desenvolvimento de peças ou estruturas leves e

resistentes, além de resistentes à corrosão. Com a demanda por estes materiais, vem a

necessidade de se poder prever seu comportamento diante de suas condições de

operação. Neste trabalho, estudou-se a possibilidade de simulações numéricas capazes

de prever as frequências naturais de vibração de compósitos em forma de dutos. Ensaios

foram realizados sobre tubos compósitos pré-fabricados, obtendo-se suas frequências

naturais, e estas peças foram simuladas por análise modal através de um software de

elementos finitos. Os resultados obtidos através do software demonstraram-se próximos

aos obtidos experimentalmente, indicando a viabilidade do método.

Palavras-chave: Materiais Compósitos, Orientação de Fibras, Método dos Elementos

Finitos, Frequências Naturais de Vibração, Teste de Vibração.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Materials Engineer.

Dynamic Behavior of Composite Material Pipes Produced by Filament Winding


February/2015

Advisors: Fernando Luiz Bastian and Rafael de Azevedo Cidade

Course: Material Engineering

A class of materials on the rise today is the composite materials class, thanks to

their versatility that comes with combining aspects of the constituent materials, thus

making it possible to develop strong, light and corrosion resistant structures or parts.

From the growing demand for these materials, comes the necessity of being able to

predict their behavior in operational conditions. In this project, the use of numerical

simulations to predict the natural vibration frequencies of tubular composites was

studied. Tests were conducted on pre-fabricated composite tubes to obtain their natural

vibration frequencies. Those tubes were then simulated in modal analysis with finite

elements software. The results obtained through the software were close to the

experimental data, indicating the viability of the method.

Keywords: Composite Materials, Fiber Orientation, Finite Elements Method, Natural

Frequencies of Vibration, Vibration Test.

viii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 1

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................ 2

2.1 Materiais Compósitos .......................................................................................... 2

2.2 Vibrações Mecânicas em Corpo Contínuo .......................................................... 7

2.3 Método dos Elementos Finitos .......................................................................... 10

3 METODOLOGIA ................................................................................................... 13

3.1 Caracterização dos Materiais ............................................................................. 13

3.2 Teste de Vibração .............................................................................................. 16

3.3 Modelagem Numérica ........................................................................................ 18

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ........................................................................... 23

4.1 Resultados Experimentais .................................................................................. 23

4.2 Resultados Numéricos ....................................................................................... 25

6 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 29

REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 30

APÊNDICE ................................................................................................................... 32

1

1. INTRODUÇÃO

A classe de materiais compósitos tem recebido cada vez mais atenção na

indústria pela sua versatilidade e pela possibilidade de se obter propriedades ótimas ao

se combinar dois ou mais materiais com atributos requeridos. Compósitos são utilizados

atualmente em diversas áreas, destacando-se seu uso em tubulações pelas quais haverá

passagem de fluidos. Neste tipo de atividade, há geração de vibrações internas graças ao

movimento turbulento do conteúdo transferido pelos tubos, gerando preocupação a

respeito do fenômeno da ressonância mecânica, capaz de gerar falhas catastróficas nos

materiais utilizados.

Materiais compósitos, pela sua versatilidade, podem ser materiais adequados

para conter este fenômeno, graças à manipulabilidade de suas propriedades e a

possibilidade de inclusão de camadas amortecedoras de vibração na estrutura.

Entretanto, é desejável a previsão do comportamento dinâmico das peças através do

conhecimento de suas frequências naturais de vibração.

O objetivo deste trabalho é verificar e validar previsões computacionais a

respeito das frequências naturais de vibração de materiais compósitos reforçados por

fibras, de forma específica tubos fabricados pelo procedimento de enrolamento

filamentar, através da comparação entre dados obtidos experimentalmente e uma

simulação do mesmo sistema em software de elementos finitos.

Em particular, pretende-se utilizar para este fim as funções próprias para cálculo

de compósitos presentes no software empregado. É importante a capacidade de prever

computacionalmente a relação entre as frequências naturais de vibração e características

do material compósito, como orientação de fibras e organização do laminado.

2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Materiais compósitos

Compósitos são definidos como combinações de dois ou mais materiais

arranjados em uma unidade estrutural macroscópica. Exemplos de compósitos incluem

o concreto, a madeira natural, ossos de animais vertebrados, papel maché e polímeros

reforçados por fibras de vidro ou de carbono. Esta classe de materiais é utilizada em

diversas aplicações de engenharia, como peças de fuselagem de aviões, suportes de

estruturas, tubulação industrial e chassis de automóveis. [1]

A organização mais típica dos compósitos é a de uma fase matriz contendo uma

fase de reforço dispersa, e seu princípio de funcionamento está na transferência de

esforços mecânicos entre a matriz e o reforço por cisalhamento na interface, podendo

reduzir a susceptibilidade do compósito à falha quando comparado aos materiais

utilizados como matriz ou reforço. Esta transferência de carga está relacionada com a

capacidade de adesão entre as partes do material, portanto a eficiência da fabricação é

de suma importância na qualidade da peça resultante.

A aplicação de compósitos na engenharia se desenvolve no sentido de se projetar

sua estrutura de forma a tirar proveito das características de cada um dos materiais

constituintes, para obter um compósito com propriedades desejadas. Este projeto deve

levar em consideração alguns fatores: materiais a assumir as funções de matriz e

reforço, proporção volumétrica entre os constituintes, adesão entre eles, morfologia do

material de reforço e sua escala, razão de aspecto (razão entre comprimento e diâmetro

dos constituintes da fase dispersa) e orientação da fase dispersa. Desta forma, deseja-se

controlar as propriedades do compósito resultante, visto que cada um destes fatores é

responsável por efeitos diferentes no comportamento mecânico do material. Além disto,

é possível, sendo em muitas situações a prática adotada, dispor o material em forma de

uma pilha de várias camadas finas, frequentemente combinando diferentes materiais,

como ilustrado na figura 2.1.

3

Figura 2.1: Ilustração de um material compósito na forma de laminado. Imagem:

Wikimedia Commons (domínio público).

A organização da fase de reforço como fibras é a mais comum entre compósitos.

Nesta estrutura, o reforço se dispõe na forma de fibras, ou seja, de grande comprimento

em relação à sua seção transversal. Nestes tipos de compósito, a orientação das fibras é

importante por direcionar o reforço mecânico. Fibras são mais eficientes sob

carregamentos de orientação coincidente com a das fibras, enquanto seu efeito é

minimizado sob tensões transversais às mesmas, uma vez que seu comprimento efetivo

nesta situação é dado pelo diâmetro das fibras. A figura 2.2 esquematiza uma unidade

volumétrica de um compósito sofrendo carregamentos longitudinal e transversal.

Figura 2.2: Representação de uma unidade volumétrica de um compósito reforçado por

fibras (hachuradas em cinza) sobre carregamentos transversal e longitudinal à direção

das mesmas.

A razão de aspecto influencia nas propriedades do compósito resultante, com a

resistência mecânica variando com o comprimento das fibras, até atingir determinado

4

comprimento a partir de qual a resistência atinge um patamar constante, chamado

comprimento crítico, dado pela seguinte fórmula:

Ou, em termos da razão de aspecto,

onde lcrit é o comprimento crítico, d é o diâmetro das fibras, σf é a tensão de fratura da

fibra e τc é a resistência da adesão matriz-fibra, em termos do cisalhamento

desenvolvido.

Com base neste dado, as fibras podem ser contínuas ou descontínuas, estas

apresentando comprimento abaixo do crítico (não ocorre transferência plena do

carregamento da matriz à fase dispersa) e aquelas com razão de aspecto crítica ou

superior. Na prática, esta razão de aspecto crítica está na ordem de 500, enquanto fibras

descontínuas apresentam razão de aspecto cerca de dez vezes menor [2]. Fibras

contínuas apresentam maior resistência, enquanto as fibras descontínuas podem ter

mesma orientação (alinhadas) ou não apresentarem orientação em comum (orientação

aleatória), como ilustrado na figura 2.3, o que permite uma distribuição igual da

resistência conferida pela fase dispersa em todas as direções, portanto sendo a

disposição mais empregada para fibras descontínuas.

5

Figura 2.3: Fibras contínuas (acima), descontínuas alinhadas (esquerda), alinhadas e

orientadas fora do eixo (centro abaixo) e de orientação aleatória (direita).

Propriedades como o módulo de elasticidade longitudinal, densidade,

distribuição de carregamento entre matriz e fibras e coeficiente de Poisson longitudinal

podem ser descritos pela regra das misturas [3],

Onde:

pc = Propriedade correspondente ao compósito

pm = Propriedade correspondente à matriz

pf = Propriedade correspondente às fibras

vm = Fração volumétrica da matriz

vf = Fração volumétrica das fibras

Já o módulo de elasticidade transversal, o coeficiente de Poisson transversal e os

módulos de cisalhamento longitudinal e transversal podem ser definidos pela regra das

misturas inversa,

A regra das misturas inversa é apenas uma aproximação, e há ainda formas mais

sofisticadas para sua formulação, como os modelos Halpin-Tsai e Hopkins-Chamis.

6

Estruturas de compósitos com reforço de fibras contínuas são tipicamente

projetadas em forma de laminados, pilhas de lâminas do material compósito, uma vez

que a cada camada é unidirecional e, portanto, incapaz de apresentar desempenho

suficiente em aplicações que venham a resultar em substanciais esforços transversais às

fibras. Portanto, é adotada a prática de se combinar camadas orientadas diferentemente

umas das outras, conferindo propriedades adequadas sob carregamentos em orientações

diversas. Em algumas situações, os laminados podem consistir de combinações de

diversos materiais além das próprias combinações matriz-dispersão, como é o caso do

laminado aeroespacial GLARE, com camadas de epóxi reforçada com fibra de vidro e

de alumínio.

Diversos métodos de fabricação estão disponíveis para a manufatura de

materiais compósitos, para atender à variedade de formas e materiais desejados. A

tabela 2.1 apresenta uma relação de alguns meios de fabricação de compósitos de matriz

polimérica reforçada por fibra e suas aplicações.

Tabela 2.1: Técnicas de fabricação e suas aplicações [4].

Técnica de fabricação Aplicação

Moldagem por injeção Compósitos de fibra curta, matriz termorrígida

ou termoplástica

Depósito por spray Compósitos de fibra curta, matriz

termorrígida; forma de chapa

Pultrusão Compósitos de fibra longa, matriz

termorrígida; peças com seção transversal

constante

Moldagem à mão Compósitos de fibra longa, matriz

termorrígida

Enrolamento filamentar Compósitos de fibra longa, matriz

termorrígida, formas tubulares

Os compósitos utilizados neste trabalho são fabricados pela técnica de

enrolamento filamentar, ou seja, consistem de tubos com fibras longas. Pela própria

forma de processo, os ângulos de direção das fibras escolhidos serão sempre

acompanhados do ângulo simétrico (transversalmente ao tubo).

7

2.2 Vibrações mecânicas em corpo contínuo

Segundo RAO [5], o termo vibração descreve movimentos repetidos em um

intervalo de tempo. Estes movimentos ocorrem como forma de transferência entre

energia potencial e energia cinética, alternando entre si de forma a configurar o

movimento vibratório.

Vibrações podem ser analisadas como sistemas discretos, como pêndulos e

sistemas de molas, cujos elementos podem ser aproximados por pontos, ou como

sistemas contínuos, que consideram corpos como sistemas de infinitos pontos que

representam sua massa. Para certas situações e finalidades, não é possível derivar

sistemas discretos, como cordas e vigas.

Em muitas situações envolvendo ondulações, deseja-se estudar o sinal através de

suas frequências ou densidades de frequência específicas; a transposição de intensidade

de sinal em um período de tempo para o domínio da frequência é realizado através do

que se chama de Análise de Fourier. Ela consiste na aplicação de métodos que venham

a converter um sinal no domínio do tempo para uma soma de funções harmônicas, cada

uma com frequências e intensidades definidas. Um sinal pode ser representado de forma

discreta pela série de Fourier, que é dada pela seguinte fórmula:

Onde ω é a frequência fundamental de oscilação, n corresponde a números

inteiros positivos e an e bn são constantes. A série de Fourier descreve um movimento

periódico qualquer como um conjunto de oscilações harmônicas de frequências

múltiplas da frequência fundamental.

O processamento de um sinal contínuo é realizado através da Transformada de

Fourier, que transpõe o sinal de entrada em um gráfico do tipo Amplitude x Frequência,

de forma contínua. O mesmo método pode ser ainda utilizado de forma discreta, ao ser

aplicado em uma série de dados, configurando a chamada Transformada de Fourier

Discreta.

8

Figura 2.4: Gráfico representativo de um sinal pelo tempo (esquerda) e sua

Transformada Discreta de Fourier (direita).

Sistemas mecânicos apresentam o que se chama de frequências naturais de

oscilação, nas quais um sistema tende a oscilar quando nele não há aplicações de forças

externas, ou seja, ocorre naturalmente quando este sistema está fora de equilíbrio, como

resposta a uma excitação inicial. Para uma viga uniforme, as frequências naturais de

vibração podem ser calculadas com a equação a seguir [6]:

Onde:

ωn = Frequência natural de vibração;

E = módulo de elasticidade do material;

I = Segundo momento de inércia da seção transversal da viga;

A = Área da seção transversal da viga;

L = comprimento da viga;

N = Constante que dependerá das condições de contorno do sistema e do modo

de vibração a ser calculado.

Um fenômeno que recebe muita atenção na engenharia estrutural é o da

ressonância, em qual uma força externa oscilatória é aplicada em um sistema em

frequência próxima da frequência natural de vibração. Ocorre, então, uma acumulação

de energia pelo sistema maior que sua dissipação, resultando em aumento da amplitude,

muitas vezes capaz de resultar em falha do material, mesmo que a força motriz aplicada

seja de magnitude relativamente baixa. Torna-se fundamental, portanto, o estudo de

9

frequências naturais de estruturas, com o intuito de se desenvolver sistemas mais

confiáveis.

O fenômeno da ressonância pode ser ilustrado através do fator de amplificação

de uma força (Q), definido como a razão entre o deslocamento provocado por uma

carga harmônica e o deslocamento teórico provocado por esta mesma força em caráter

estático. Para um esforço de amplitude constante, o fator de ampliação é dado por [7]:

Onde ω é a frequência de excitação externa. ω0 é uma frequência natural da peça

e ξ é o fator de amortecimento do material. Conclui-se que este amortecimento é

importante por determinar a ampliação máxima a ocorrer durante o fenômeno de

ressonância.

Figura 2.5: Relação entre ampliação de carga e as frequências de força aplicada e

natural. Imagem: Wikimedia Commons (domínio público).

10

As frequências naturais de um sistema real podem ser obtidas através de uma

análise modal experimental. Os dois métodos principais de obtenção de frequências

naturais são o teste com shaker eletrodinâmico e o teste de impacto. O primeiro envolve

o uso do shaker, um atuador eletrodinâmico que gera movimentos oscilatórios de

frequência ajustável. Através da resposta dinâmica do material em relação à frequência

de oscilação do shaker, é possível encontrar as frequências ressonantes do material com

uma varredura de frequências do equipamento. O segundo envolve ligeiramente

impactar a superfície do material com um martelo, e então registrar a resposta dinâmica

do corpo de prova a partir do instante do impacto, correspondente à sua frequência

natural de vibração [8].

Outra característica interessante de ser obtida é a Função Resposta de Frequência

(FRF) [9], que descreve a relação entre a força de excitação sobre o material e sua

resposta, em função da frequência, e é definida pela razão entre a amplitude de

movimento (seja deslocamento, aceleração ou velocidade) desempenhada em um ponto

e a força de entrada, ambos no domínio da frequência. Através da FRF, é possível se

obter dados como as formas dos modos de oscilação e o amortecimento dinâmico da

estrutura.

2.3 Método dos elementos finitos

O método dos elementos finitos é um método numérico utilizado para prever o

comportamento de diversos tipos de sistemas reais. Seu princípio é representar um

corpo através uma malha, cujas regiões são chamadas de elementos finitos, conectados

por nós. A partir disto, encontra-se uma solução numérica para equações diferenciais

parciais, dadas as condições de contorno sobre pontos escolhidos na malha. Isto é feito

através da associação de funções, tipicamente lineares ou quadráticas, de interpolação

entre nós que simulam a estrutura, a começar pelos nós cujas condições de contorno são

conhecidas, e iterativamente aos demais.

11

Figura 2.6: Modelo 3D de um pedal de freio (esquerda) e sua malha de elementos

finitos (direita).

A grande vantagem do método dos elementos finitos em relação aos demais

métodos numéricos é a possibilidade de se analisar corpos complexos, já que há poucas

limitações espaciais para a distribuição dos elementos. A malha pode ser composta de

elementos de geometrias específicas, para melhor representação do objeto e a formação

de uma malha mais regular, o que é desejado para fidelidade de resultados; elementos

triangulares e tetraédricos, por exemplo, são melhores para cobertura de modelos

complexos, enquanto elementos quadrados e hexaédricos são mais indicados para

determinadas estruturas simples. Além disto, a malha pode ser construída de forma a ser

mais fina em regiões críticas do sistema e mais grosseira em regiões onde pouca atenção

é requerida.

O método é também flexível quanto a formulações possíveis do modelo. As

equações que definem a simulação podem ser de ordem linear ou quadrática,

dependendo da situação – equações lineares exigem menor processamento, enquanto

equações quadráticas são mais precisas e não apresentam certos problemas presentes na

formulação linear, como os fenômenos de “hourglassing” e “shear locking”, que afetam

substancialmente o resultado em certas circunstâncias. [10]

Um exemplo comum e intuitivo do uso do método é sua aplicação para análise

de tensões [11]. Constrói-se uma relação entre força e deslocamento, utilizando a

definição de tensão, a definição de deformação e a Lei de Hooke (assumindo que o

12

material se comporta de acordo com esta, na situação estudada), que no caso

unidimensional se apresentam da seguinte forma:

Para cada elemento, temos ainda que o somatório das forças é igual, assumindo

equilíbrio, e o deslocamento Δl pode ser expresso pelos deslocamentos individuais de

cada nó de um elemento. Rearranjando-se as equações, pode-se obter um sistema de

equações representado matricialmente na forma F = K*D, onde F contém as forças

sobre cada nó, D contém os deslocamentos em cada nó e K é a matriz rigidez do

material, um produto das características do elemento (módulo de elasticidade, área da

seção transversal, comprimento do elemento) que relaciona, através das equações

acima, as forças com os deslocamentos nodais.

A mesma relação é expandida a todos os elementos. Através de condições de

contorno que relacionam todos estes elementos na mesma peça (por exemplo, a

equivalência entre dois nós de elementos adjacentes), permite-se a criação de uma só

matriz para toda a malha.

13

3 METODOLOGIA

3.1 Caracterização dos Materiais

Utilizou-se dois tubos compósitos (chamadas, por conveniência, de Tubo A e

Tubo B) previamente fabricados, do Laboratório de Compósitos. Após lixamento (lixas

com granulometrias de tamanhos 110, 220, 400, 600 e 1200) e polimento com pasta de

alumina, realizou-se a análise microestrutural por microscopia ótica de amostras de

ambos os materiais, para determinação de sua organização de camadas, as orientações

de fibras e a fração volumétrica de fibras.

Figura 3.1: Espessuras dos tubos A (esquerda) e B (direita) em microscópio ótico, com

ampliação 25X. (Figura composta de várias fotos, para montagem da espessura total)

14

É possível observar descontinuidades no tubo A, provenientes de sua produção

com características diferentes, como os ângulos de enrolamento e frações volumétricas;

portanto, cada seção foi avaliada separadamente, como identificado na Figura 3.1. No

tubo B, descontinuidades não foram observadas, indicando que o tubo foi fabricado

uniformemente e, assim sendo, foi avaliado como um todo.

A distribuição de volume de fibras e matriz, assim como os ângulos de

enrolamento das fibras, foi determinada a partir das imagens de microscópio obtidas

com aumento 200X (disponíveis no Apêndice). Para a determinação da fração

volumétrica de fibras, tratou-se digitalmente, através do software Adobe Photoshop

CS5, estas imagens de forma a destacar as fibras com uma cor e verificar-se, pelo

histograma de cores disponível no programa, a porcentagem de fibras. Já os ângulos

foram determinados através da relação:

Onde d1 e d2 são os diâmetros menor e maior da superfície elíptica das fibras na

imagem do microscópio (foram utilizadas para este fim fotos com aumento de 500%,

para maior precisão nas medidas). Foram medidas cinco fibras em cada avaliação, para

obtenção do valor médio e seu desvio padrão.

Tabela 3.1: Resultados obtidos para ângulo de enrolamento e fração volumétrica

de fibras das diversas microestruturas encontradas nos tubos.

Ângulo de enrolamento Fração volumétrica

de fibras

Tubo A – Camada I Média – 78,34°

Desvio Padrão – 3,10° 50%

Tubo A – Camada II Média – 45,40°


Tubo A – Camada III Média – 57,70°

Desvio Padrão – 5,77° 55.9%

Tubo A – Camada IV Média – 47,34°

Desvio Padrão – 3,27° 41.1%

Tubo A – Camada V Média – 78,65°


Tubo B Média – 65,15°

Desvio Padrão – 4,84° 54,33%

15

Uma vez que os tubos foram pré-fabricados, assumiu-se as propriedades da

matriz e das fibras como fibra de vidro tipo E e polímeros epóxi disponíveis no mercado

(Tabela 3.2). A partir destes dados, em conjunto com os anteriores, é possível obter-se

os módulos de elasticidade longitudinal e transversal das lâminas, assim como os

módulos de cisalhamento, relevantes para a simulação numérica, com as regras das

misturas direta e inversa. Os resultados estão disponíveis na Tabela 3.3. Por fim, as

espessuras dos tubos e de cada camada no Tubo A foram medidas através das

montagens vistas na Figura 3.1. Para efeito de comparação, foram calculadas, pela

teoria dos laminados, as propriedades dos dois tubos, cujos resultados estão disponíveis

na Tabela 3.5. Observa-se que os materiais apresentam propriedades similares.

Tabela 3.2: Propriedades de matriz e fibra utilizados nos tubos [4,12].

Matriz Fibras

E (GPa) 3,35 74,0

G (GPa) 1,24 30,8

ρ (kg/m3) 1200 2550

Tabela 3.3: Propriedades das seções das camadas individuais dos tubos.

E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) G23 (GPa) ρ (kg/m

3)

Tubo A – Camada I 38,68 6,41 2,38 2,38 1875

Tubo A – Camada II 30,20 5,26 1,95 1,95 1713

Tubo A – Camada III 42,84 7,8 2,68 2,68 1955

Tubo A – Camada IV 32,39 5,51 2,05 2,05 1755

Tubo A – Camada V 43,62 7,35 2,74 2,74 1970

16

Tabela 3.4: Espessuras dos tubos e camadas individuais.

Espessura (mm) Desvio-padrão (mm)

Tubo A - Total 5,23 0,017

Tubo A – Camada I 1,24 0,05

Tubo A – Camada II 0,74 0,013

Tubo A – Camada III 0,57 0,011

Tubo A – Camada IV 0,933 0,026

Tubo A – Camada V 1,72 0,048

Tubo B 6,86 0,011

Tabela 3.5: Propriedades das seções dos tubos

E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) G23 (GPa) ρ (kg/m

3)

Tubo A – Total 6,65 15,18 3,61 3,61 1871

Tubo B (ângulos) 6,56 13,35 3,75 3,75 1933

Tabela 3.6: Comprimentos e diâmetros dos tubos.

Comprimento

(mm)

Diâmetro

externo (mm) σDiâmetro externo

(mm)

Tubo A 2185 59,6 0,56

Tubo B 2115 61,7 0,11

4.2 Teste de Vibração

Montou-se um sistema de acelerômetro e martelo instrumentado para aquisição

de dados de resposta dinâmica dos tubos pelo teste de impacto. O acelerômetro (PCB

modelo 353B03) e o martelo instrumentado foram conectados a um módulo de

aquisição de dados (National Instruments 9234) acoplado a um portador USB (National

Instruments USB-9162). Os dados foram obtidos no software National Instruments

LabVIEW. O sistema foi organizado de forma que a leitura seja realizada a partir do

impacto.

17

Figura 3.2: Sistema de aquisição de dados.

Para a realização dos ensaios, os tubos foram pendurados por um fio, como visto

na figura 3.3, de forma a minimizar a interferência do contato no comportamento

dinâmico do material, configurando uma situação próxima à de vibração livre.

Figura 3.3: Um dos tubos pendurados para realização dos ensaios.

18

O acelerômetro foi fixado aos tubos.. Foi medida a dinâmica da aceleração dos

tubos nos pontos de fixação dos acelerômetros, resultante de impacto do martelo em

pontos diferentes ao longo do corpo de prova. Estes pontos foram designados por um

espaço de 10 cm entre cada (exceto onde coincidiria com a fixação do acelerômetro e

entre os penúltimo e último pontos), a partir da extremidade superior à inferior, num

total de vinte e um pontos. Foram computadas as médias de cinco impactos em cada

ponto.

Os dados foram obtidos durante um segundo para cada impacto, com uma taxa

de aquisição de 25600 Hz.

Figura 3.4: Fixação do acelerômetro em um dos tubos.

4.3 Modelagem Numérica

Para a simulação de elementos finitos das frequências e formas dos modos de

vibração dos tubos, utilizou-se o software ABAQUS/CAE.

Aplicou-se elementos de casco (ou seja, bidimensionais em um espaço 3D) para

representar os tubos de forma a, ao mesmo tempo, reduzir o tempo de processamento

em relação a elementos tridimensionais e utilizar simulação de laminados, não possível

no programa sobre elementos unidimensionais. A ordem de interpolação escolhida foi a

quadrática, para evitar shear locking, fenômeno em qual elementos apresentam

demasiada tensão de cisalhamento sob carregamentos diversos. O modelo não possui

19

condições de contorno, configurando uma simulação de vibração livre, de forma

análoga à experimental.

Como ilustrado na Figura 3.5, o tubo terá, no software, sua espessura derivada a

partir do diâmetro fornecido como entrada, que é o externo, medido experimentalmente,

e assim terá um diâmetro efetivo maior em ½ da espessura do tubo real. Para que os

cálculos utilizem a forma correta do tubo, foi necessário contrabalancear este efeito,

utilizando uma função disponível no programa (“Shell offset”), que permite a escolha

da superfície de referência (do tubo no modelo) a ser utilizada nos cálculos. Portanto, a

superfície de referência utilizada foi a inferior, fazendo com que o tubo calculado tenha

diâmetro menor que o do modelo em ½ da espessura, tornando-o equivalente ao tubo

real.

Figura 3.5: a) Linha do diâmetro fornecido ao software (diâmetro externo); b) Espessura

real do tubo; c) Espessura derivada pelo software, a partir do diâmetro intermediário;

d) Espessura efetivamente utilizada nos cálculos, utilizando a superfície inferior de c)

como referência.

A aplicação do material no software foi realizada através da configuração de

uma seção do tipo compósito, em qual a espessura do material é preenchida como um

laminado, oferecendo-se a espessura e o ângulo de orientação de cada camada, em

ordem. Ambos os tubos foram simulados, e suas seções foram preenchidas com os

mesmos atributos das camadas observadas durante a caracterização dos materiais; a

camada III (central) do Tubo A e o Tubo B foram divididos em duas partes, uma com

20

direção de fibras em ângulo positivo e outro em seu negativo, para compreender a

simetria de ângulos de orientação obtidos durante o processo de enrolamento. Esta

mesma relação de simetria foi aplicada às camadas I (superior) e V (inferior), assim

como as camadas II e IV do Tubo A, sendo pares de camadas com propriedades

similares. Isto é uma simplificação da organização produzida pelo enrolamento

filamentar, em qual as fibras são dispostas intercaladamente no ângulo e em seu oposto

em cada camada.

Para determinar o nível de detalhes da malha – definido aqui pela distância entre

sementes geradoras de malha – a ser utilizado, foi realizada uma análise de

convergência em um modelo similar, com mesmos parâmetros exceto a composição dos

laminados ([30°/-30°]), e geometria similar. Para isso, realizou-se simulações com

níveis variados de detalhes de malha, e comparou-se os resultados dos terceiro, quarto e

quinto modos de vibração (cujos valores são maiores, apresentando maior propagação

de erro), identificando a distância a partir de qual o resultado converge a um valor.

Utilizou-se como critério a diferença de frequência entre a malha testada e a malha mais

fina do teste (0,005 mm de distância entre sementes), que para este fim, não deveriam

ser superiores a 0,05. Os resultados destas simulações se encontram na Tabela 3.7.

Tabela 3.7: Simulações resultantes da análise de convergência de malha.

Distância (m) Frequência Δf

0.005 3º Modo – 58,275 3º Modo - 0

4º Modo – 112,15 4º Modo - 0

5º Modo – 182,89 5º Modo - 0

0,0075 3º Modo – 58,276 3º Modo – 0,001

4º Modo – 112,16 4º Modo – 0,01

5º Modo – 182,91 5º Modo – 0,02

0,01 3º Modo – 58,274 3º Modo - 0,001

4º Modo – 112,16 4º Modo – 0,01

5º Modo – 182,92 5º Modo – 0,03

0,02 3º Modo – 58,240 3º Modo – 0,035

4º Modo – 112,10 4º Modo – 0,05

5º Modo – 182,85 5º Modo – 0,04

21

Figura 3.6: Ilustração das malhas utilizadas para o teste de convergência. (ordem

crescente de nível de detalhes de cima para baixo)

0,02 m, portanto, foi julgada uma distância suficiente entre as sementes

geradoras das malhas a serem utilizadas nas simulações. É importante observar que esta

precisão de resultados com uma malha relativamente grossa é, talvez, devido à

simplicidade da geometria simulada, e poderá variar com simulações de geometrias

diferentes e mais complexas.

Como a situação real envolve vibração livre dos tubos, não foram incluídas

condições de contorno, representando um verdadeiro modelo livre.

A Figura 3.7 ilustra, resumidamente, o processo de inserção de dados no

software.

22

Figura 3.7: Fluxograma de realização da simulação numérica utilizada no software de

elementos finitos.

Execução da simulação

Criação de tarefa (Job)

Condições de contorno

Não há condições de contorno neste caso (tubo livre)

Inserção da peça na montagem

Criação de passo (Step)

Definição do tipo de análise (Modal) Definição do número de modos a analisar

Construção da malha

Definição de distância entre sementes Tipo de elemento a ser atribuído

Atribuição da seção à geometria

Superfície de referência

Definição da seção transversal (Section)

Materiais constituintes do laminado

Ângulos de orientação das lâminas

Espessuras das lâminas

Definição de material

Densidade Módulos elásticos Módulos de cisalhamento

Geometria do material

Diâmetro Comprimento

23

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1 Resultados Experimentais

Foram obtidos, para todas as séries de impacto, os espectros de aceleração do

acelerômetro afixado nos tubos. Como esperado, embora com amplitudes diferentes, os

modos de vibração apresentam as mesmas frequências, independente do ponto de

impacto do martelo. Por conta disto, obteve-se o gráfico da RMS de todos os espectros

obtidos para ambos os tubos, de forma a obter uma representação mais clara das

frequências dos modos de vibração. Os gráficos de cada espectro estão disponíveis no

Apêndice.

A aceleração proveniente da oscilação do pêndulo, por ser de baixa frequência e

irrelevante ao estudo modal, foi filtrada no software de aquisição de dados através de

um filtro passa-alta.

Figura 4.1: RMS dos espectros obtidos para os tubos A (acima) e B (abaixo).

100 200 300 400 500 600Frequência Hz

60

40

20

Amplitude dB

100 200 300 400 500 600Frequência Hz

60

40

20

Amplitude dB

24

Figura 4.2: Espectros combinados em um mesmo gráfico. (Tubo A em azul, tubo B em

vermelho)

Os valores encontrados para os cinco primeiros modos de frequências normais

de vibração dos dois tubos estão disponíveis na Tabela 4.1 e na Figura 4.3. Os dois

tubos apresentam modos de vibração próximos, o que era esperado, visto que os

materiais apresentam propriedades mecânicas similares (como identificado após a

caracterização) e os tubos têm diâmetros e comprimentos comparáveis. Nota-se,

também, que as frequências encontradas não variaram com o ponto de impacto,

indicando que esta pequena diferença entre o comportamento dos tubos é sistemática. A

incerteza é de 2 Hz.

Tabela 4.1: Frequências dos modos de vibração dos dois tubos.

Tubo A Tubo B

1º Modo 37 Hz 36 Hz





100 200 300 400 500 600Frequência Hz

60

40

20

Amplitude dB

25

Figura 4.3: Frequências dos modos de vibração dos dois tubos.

5.2 Resultados Numéricos

Os resultados obtidos após a simulação no software encontram-se na Tabela 4.2

e na Figura 4.4. Foram obtidos, para este fim, os cinco primeiros modos de vibração

fornecidos pelo programa.

Tabela 4.2: Resultados encontrados após a simulação numérica em

ABAQUS/CAE, e comparação com os resultados reais.

Tubo A

(simulação)

Tubo B

(simulação)

Tubo A

(experimental)

Tubo B

(experimental)

1º Modo 34,985 Hz 35,888 Hz 37 Hz 36 Hz

2º Modo 95,729 Hz 98,534 Hz 101 Hz 97 Hz

3º Modo 185,84 Hz 192,14 Hz 198 Hz 192 Hz

4º Modo 303,25 Hz 315,19 Hz 321 Hz 316 Hz

5º Modo 446,00 Hz 467,52 Hz 472 Hz 470 Hz

1 2 3 4 5Modo

200

300

400

Frequência

26

Figura 4.4: Gráfico contendo os resultados obtidos em simulação numérica para os

tubos A (azul) e B (vermelho).

É possível observar que a simulação do Tubo A resultou em frequências naturais

um pouco inferiores às obtidas em laboratório, enquanto o erro da simulação

correspondente para o Tubo B foi menor. Como visto na Figura 4.5, a simulação do

Tubo A apresenta erro de 5% a 6%, enquanto a do Tubo B é apenas de em torno de

0,5% diferente da experimental.. É provável que esta discrepância superior seja

consequente de alguma característica do tubo, possivelmente relativo a variações de

espessura do Tubo A (cuja superfície foi observada como tendo diâmetro externo menos

regular que a do Tubo B), ou ainda da incerteza na obtenção dos valores.

Figura 4.5: Erro relativo percentual (por modo) das frequências naturais de vibração dos

Tubos A (esquerda) e B (direita) obtidos via Elementos Finitos em relação aos dados

experimentais.

Desvios nos resultados podem ser atribuídos à simplicidade do modelo utilizado

e discrepâncias entre os dados utilizados e características do tubo. Não foram levados

em consideração nos dados de entrada, por exemplo, os vazios visualizados nas fotos de

1 2 3 4 5Modo

200

300

400

Frequência

0 1 2 3 4 5Modo

1

2

3

4

5

6

7

Erro relativo

0 1 2 3 4 5Modo

1

2

3

4

5

6

7

Erro relativo

27

microscópio; entretanto, acredita-se que sua influência nas frequências naturais seja

baixa, uma vez que tanto a densidade quanto o módulo de elasticidade são reduzidos

pela presença de poros, de forma diretamente proporcional à sua fração volumétrica no

meio [13]. Outras características que podem influir nos resultados são desvios nos

ângulos de enrolamento, variações nas espessuras dos tubos e heterogeneidades na

distribuição das fibras, em especial no Tubo A, cuja microestrutura é mais complexa.

Finalmente, foram obtidas, juntamente com o resultado numérico das

frequências naturais, as formas dos modos de vibração, como consta na Figura 5.6.

Figura 4.6: Modos de vibração adquiridos no software de elementos finitos em

deformação ampliada.

Para uma investigação mais aprofundada sobre a eficiência do modelo, foi

realizada mais uma comparação, utilizando dados experimentais abordados em um

artigo científico [14]. Neste trabalho, o autor utilizou uma medida experimental

previamente realizada sobre um tubo de epóxi reforçado com fibras de boro, cujas

características são apresentadas na Tabela 4.3. Na tabela, a nomenclatura da

configuração do laminado aponta todas as camadas, através de seus ângulos de

enrolamento, em ordem.

28

Tabela 4.3: Atributos do tubo compósito utilizado no experimento estudado.

Atributo Valor

E1 211 GPa

E2 24 GPa

G12=G13=G23 6,9 GPa

ρ 1967 kg/m3

Comprimento 2,47 m

Diâmetro 12,69 cm

Espessura 1,321 mm

Configuração do

laminado

[90°/45°/-45°/0°/0°/0°/0°/0°/0°/90°]

(distribuídos igualmente pela espessura)

Desta vez, o diâmetro dado ao modelo corresponde ao tubo que se deseja

simular, portanto a superfície tomada como referência é a intermediária, diferente do

que foi feito a respeito dos testes anteriores. Nos demais aspectos, a metodologia

empregada na geração deste modelo foi a mesma anteriormente empregada.

O resultado obtido para a frequência natural de primeiro modo foi próximo do

obtido experimentalmente, com 89,498 Hz contra os 92 Hz derivados da medida real.

Este resultado é ainda mais acurado que as demais simulações citadas no texto, cujo

valor mais próximo é de 95 Hz.

Com isto, surge a possibilidade de se projetar estruturas compósitas tendo em

mente as frequências naturais de vibração que a peça apresentará, para aplicações que

incluam a indução de vibrações no sistema, como tubulações industriais e risers de

petróleo. Com o modelo aqui desenvolvido, é possível prever a viabilidade de peças

projetadas para estes fins, comparando as vibrações desenvolvidas durante sua atuação

com as frequências naturais do sistema, e poder antecipadamente tomar as medidas

adequadas, como alterar a estrutura do material para evitar estas frequências, ou incluir

camadas de amortecimento para reduzir a ampliação da força desenvolvida [15].

29

5 CONCLUSÃO

Foi desenvolvido um modelo de elementos finitos para uso em software

adequado, a ser empregado para simulação de análise modal de dutos de materiais

compósitos, de forma a encontrar numericamente suas frequências naturais de vibração.

Foram comparados resultados obtidos experimentalmente para frequências naturais de

tubos compósitos com dados numéricos obtidos através de modelos simulando estes

mesmos tubos.

Através deste trabalho, foi possível validar o modelo, cujo maior erro encontrado

foi de cerca de 6%. Sua simplicidade e razoável eficiência fazem do mesmo uma

ferramenta útil de estudo do comportamento de materiais compósitos sob a ótica da

vibração.

Uma maior pesquisa pode ser realizada acerca deste modelo, de forma a garantir

sua eficiência diante de outras e mais complexas circunstâncias. Outra direção possível

é a da previsão numérica do comportamento dinâmico do material, levando-se em

consideração o amortecimento, que não foi abordado neste trabalho.

30

REFERÊNCIAS

1. PANDEY, P. C. Composite Materials – Engineering Applications of Composite

Materials. Disponível em <http://nptel.ac.in/courses/105108124/11>. Acessado em

17/02/15.

2. LEE, S. M. Handbook of Composite Reinforcements. Wiley-VCH, 1993.

3. GIBSON, R. F. Principles of Composite Materials. McGraw-Hill, 1994

4. MAZUMDAR, S. K. Composites Manufacturing: Materials, Product and Process

Engineering. CRC Press, 2002.

5. RAO, S. Vibrações Mecânicas. 4 ed., São Paulo: Pearson, 2009.

6. HARRIS, C. M., PIERSOL, A. G., Harris’ Shock and Vibration Handbook. 5ª ed.,

McGraw-Hill, 2002.

7. CORREIA, V. F. Vibrações Mecânicas – Textos de Apoio. Escola Superior Náutica

Infante Dom Henrique, 2010.

8. SCHWARZ, B. J., RICHARDSON, M. H., Experimental Modal Analysis.

Jamestown: Vibrant Technology Inc., 1999.

9. IRVINE, T., An Introduction to Frequency Response Functions. 2000. Disponível

em <http://www.vibrationdata.com/tutorials/frf.pdf>. Acessado em 30/01/15.

10. SUN, E. Q. Shear Locking and Hourglassing in MSC Nastran, ABAQUS, and

ANSYS. Virtual Product Development Conference, 2006.

11. FISH, J., BELYTSCHKO, T., A First Course In Finite Elements. Chichester:

Wiley, 2007.

12. SODEN, P. D., HINTON, M. J., KADDOUR, A. S. Failure Criteria in Fibre-

Reinforced-Polymer Composites. Oxford: Elsevier, 1998.

13. HUANG, H., TALREJA, R. Effects of Void Geometry on Elastic Properties of

Unidirectional Fiber-Reinforced Composites. Elsevier, 2005

14. QATU, M. S., HAJIANMALEKI, M., Mechanics of Composite Beams. Intech,

2001. Disponível em <http://www.intechopen.com/books/advances-in-composite-

materials-analysis-of-natural-and-man-made-materials/mechanics-of-composite-

beams>. Acessado em 29/01/15.

15. LAKES, R. S. High Damping Composite Materials: Effect of Structural

Hierarchy. University of Wisconsin-Madison, 2001.

31

16. JUVANDES, L. F. Materiais Compósitos Reforçados com Fibras, FRP.

Departamento de Engenharia Civil - Universidade do Porto, 2002

17. SCHMID, S.R, KALPAKJIAN, S. Manufacturing Engineering and Technology.

4 ed. p. 222

18. FU, S., LAUKE, B. Effects of Fiber Length and Fiber Orientation Distributions

on the Tensile Strength of Short-Fiber-Reinforced Polymers. Elsevier, 1996

19. AVITABILE, P. Experimental Modal Analysis (A Simple Non-Mathematic

Presentation). University of Massachussets Lowell. Disponível em

<http://homes.civil.aau.dk/rrp/DYNAMIK/notes/modalana.pdf>. Acessado em

30/01/15.

20. LEPOITTEVIN, G. Composite Laminates With Integrated Vibration Damping

Treatments. ETH Zurich, 2012.

32

APÊNDICE

Figura A.1: Espectro de aceleração do Tubo A sob impacto no ponto 0 (0 cm).



100 200 300 400 500 600Frequência

100

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

80

60

40

20

Amplitude

33




100 200 300 400 500 600Frequência

140

100

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

34




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

0

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

35




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

36




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

60

40

20

0

Amplitude

37




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

0

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

38





100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

60

40

20

0

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

0

Amplitude

39

Figura A.23: Espectro de aceleração do Tubo B sob impacto no ponto 0 (0 cm).



100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

120

80

60

40

20

Amplitude

40




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

0

Amplitude

41




100 200 300 400 500 600Frequência

100

60

40

20

0

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

42




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

43




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

100

60

40

20

0

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

44




100 200 300 400 500 600Frequência

120

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

45




100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

100 200 300 400 500 600Frequência

80

60

40

20

Amplitude

46

Figura A.45: Imagem de microscopia ótica da Camada I do Tubo A. (Aumento: 200X)

Figura A.46: Imagem de microscopia ótica da Camada II do Tubo A. (Aumento: 200X)

47

Figura A.47: Imagem de microscopia ótica da Camada III do Tubo A. (Aumento: 200X)

Figura A.48: Imagem de microscopia ótica da Camada IV do Tubo A. (Aumento: 200X)

48

Figura A.49: Imagem de microscopia ótica da Camada V do Tubo A. (Aumento: 200X)

Figura A.50: Imagem de microscopia ótica do Tubo B. (Aumento: 200X)

comportamento dinâmico de dutos de materiais compósitos

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