comportamento das cascatas de energia em...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E

ENGENHARIA DE PETRÓLEO (PPGCEP)

FÍSICA APLICADA À EXPLORAÇÃO E À PRODUÇÃO DE

PETRÓLEO E GÁS NATURAL

COMPORTAMENTO DAS CASCATAS DEENERGIA EM HIDRODINÂMICA PARA A

COMPREENSÃO DO FLUXO DE PETRÓLEO EMRESERVATÓRIOS

Adam Smith Nunes Costa

Natal, Julho de 2013

Adam Smith Nunes Costa

COMPORTAMENTO DAS CASCATAS DE ENERGIAEM HIDRODINÂMICA PARA A COMPREENSÃODO FLUXO DE PETRÓLEO EM RESERVATÓRIOS

Dissertação apresentada ao colegiado do Programa de Pós -

Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP

da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, com parte

dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciência

e Engenharia de Petróleo.

Orientador: Madras Viswanathan Gandhi Mohan

Natal, Julho de 2013

ii

Dedico este trabalho à:

Meu pai Raimundo Soares, minha mãe Francisca Val-

deisa e minha irmã Camila Kaiane que foram a base de

tudo. Minha tia Damiana Soares, meu tio Sérgio Ma-

chado e meu primo Je�erson Costa que foram essenci-

ais para a realização desse sonho. A todos os demais

familiares e amigos que de forma direta ou indireta me

ajudaram e torceram para que eu pudesse concluir esta

etapa de minha vida, muito obrigado.

iii

Agradecimentos

Primeiramente a Deus pela vida e pelas oportunidades a mim concedidas.

Aos meus Pais, Raimundo Soares e Valdeisa Nunes pelo apoio e pela força nos mo-

mentos de di�culdade.

A minha tia Damiana Soares e meu tio Sérgio Machado pela cobertura, força e auxílio

para que eu pudesse realizar esta importante etapa da minha vida.

Ao meu primo Je�erson Costa pelas orientações e ensinamentos nos momentos difí-

ceis.

Ao meu orientador Madras Viswanathan Gandhi Mohan pelos inúmeros ensinamen-

tos, pela paciência nos momentos de di�culdade, pela grandiosa ajuda em todos os momentos

da minha vida acadêmica e pela força dada para que eu pudesse realizar esse sonho.

Agradeço aos professores Liacir Dos Santos Lucena e Luciano Rodrigues da Silva

pelos inúmeros ensinamentos e apoio nos momentos de dúvida.

Agradeço aos professores Tarcilio Viana, Jennys Lourdes e Wilson da Mata pela

excelente formação e apoio acadêmico.

Agradeço a ANP e PRH-43 por todo o apoio acadêmico e �nanceiro que me foi

concedido nesta etapa, muito obrigado.

iv

�O verdadeiro valor das coisas é o esforço e o problema

de as adquirir..�

(Adam Smith)

v

Resumo

Quando passamos a estudar �uxo em meios porosos, percebe-se que existe um grande

número de desa�os em aberto envolvendo especi�camente a matemática das equações da

hidrodinâmica. Entre tais desa�os, destaca-se a solução da equação de Euler em 3-D para

�uidos incompressíveis, onde não se sabe se existem singularidades em tempos �nitos. Proble-

mas de natureza semelhante são bastante estudadas atualmente utilizando como base outras

equações da hidrodinâmica como, por exemplo, as equações de Navier-Stokes ou equações até

mais simples com objetivo de diminuir as complicações matemáticas na busca de obter uma

melhor compreensão sobre as equações de Euler. Um aspecto fundamental para problemas

que envolvam essas equações é que a energia cinética presente nas escalas espaciais grandes

pode ser redistribuída para escalas espaciais menores. Se isso for repetido em escalas cada

vez menores e em tempos cada vez mais rápidos, o processo pode resultar numa singulari-

dade mesmo no tempo �nito. Com isso a premissa deste trabalho será estudar a atuação

do processo de �cascatas de energia� usando como ferramenta a transformada de Fourier.

Estudamos a equação de Burger não-viscosa em 1-D, o que nos permite investigar detalha-

damente a formação da cauda de lei de potência no espectro de energia, que é associado à

singularidade.

vi

Abstract

When we study �ows in porous media, we see that there are a number of open

problems involving the mathematics of hydrodynamic equations. Among these challenges, is

the problem of the Euler equations in 3-D for incompressible �uids, where it is not known if

there are singularities in �nite time. Problems of a similar nature are currently studied using

other hydrodynamic equations, such as the Navier-Stokes equations or even simpler equations

aiming to reduce the mathematical complexities in seeking to gain a better understanding.

A key aspect to problems involving these equations is that the kinetic energy present in large

spatial scales can be redistributed to smaller spatial scales. If this is repeated on smaller and

smaller scales and ever faster times, the process can even result in �nite time singularity.

Thus the premise of this work is to study the process of cascades of energy using the Fourier

transform. We study the non-viscous Burger equation in 1-D, which allows us to investigate

in detail the formation of the power-law tail in the energy spectrum, which is associated with

singularities.

vii

Índice

Agradecimentos iv

Resumo vi

Abstract vii

1 Teoria da percolação e a indústria de petróleo 1

1.1 Percolação por sítios em uma rede quadrada simples . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Transição de fase na teoria da percolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Dimensão fractal na percolação e suas contribuições para indústria do petróleo 8

2 Hidrodinâmica em meios porosos 15

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Meios porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Alguns parâmetros macroscópicos da estrutura porosa . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Permeabilidade e a lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Escoamento e suas classi�cações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

viii

3 Equações hidrodinâmicas generalizadas 24

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Equações não-lineares da hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Equação de Burger não-viscosa e sua solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Normas Lp e suas leis de conservação 32

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Normas Lp da equação de Burger não-viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Normas Lp e a transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 A transformada de Fourier e as cascatas de energia . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Resultados numéricos e analíticos 36

5.1 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Resultados analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Discussão dos resultados e algumas conclusões 48

6.1 Possíveis aplicações na indústria do petróleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Considerações �nais 50

ix

Lista de Figuras

1.1 Representação das probabilidades de percolação . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Representação de lei de potência na percolação . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Percolação e a similaridade estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Figura ampliada mostrando a auto-similaridade estatística . . . . . . . . . . 14

2.1 Experimento da lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 Condição sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Magnitude da transformada de Fourier da condição sinusoidal . . . . . . . . 38

5.3 Condição Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Magnitude da transformada de Fourier da condição Gaussiana . . . . . . . . 40

5.5 Condição na forma u0 = exp[−|x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.6 Magnitude da transformada de Fourrier da condição u0 = exp[−|x| . . . . . . 42

5.7 Condição triangular inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.8 Avanço temporal da condição triangular inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.9 Magnitude da transformada de Fourier para a condição de três pontos singulares 46

5.10 Transformadas de Fourier e a formação das singularidades . . . . . . . . . . 47

x

Capıtulo 1Teoria da percolação e a indústria de petróleo

A teoria da percolação trata-se de um ramo probabilístico que estuda os mais diver-

sos comportamentos e propriedades de meios aleatórios. Os primeiros processos deste estudo

foram basicamente criados por dois matemáticos onde eles buscavam entender o comporta-

mento simples de partículas que se modi�cavam e se desenvolviam com intuito de formar

partículas maiores. Os pesquisadores Walter Stockmayer (1943) e Paul Flory (1941), bus-

cando compreender tal ideia , determinaram que tal processo não se tratava de um processo

característico de percolação.

Na literatura puramente matemática, o processo percolativo foi introduzido graças

a um artigo proposto por Simon R. Broadbent e por John M. Hammersley em 1957 onde os

mesmos buscavam introduzir novos conceitos geométricos e probabilísticos ao modelo [1, 2].

Mais adiante, a idéia da teoria de transição de fases foi incorporada ao modelo, onde em

particular o método de expansão em série e a teoria dos grupos de renormalização foram

incrementadas com propósito de estimular signi�cativamente as atividades de pesquisa nas

transições geométricas de percolação.

Mais adiante, conceitos mais fortes como a teoria dos fractais foram implementados

ao modelo por Mandelbrot, enriquecendo ainda mais a teoria e transformando-a em uma

poderosa ferramenta de modelagem onde hoje é bastante utilizada nas mais diversas ciências.

Teoria que em pouco tempo foi conquistando o seu espaço e foi concebida originalmente para

tratar de cristais, labirintos, meios aleatórios e meios que apresentem certo grau de desordem

e heterogeneidade nas mais diversas escalas, como é o caso de um reservatório de petróleo.

1

Capítulo 1. Teoria da percolação e a indústria de petróleo 2

De início, tratou-se basicamente do estudo hidrodinâmico de �uido e sua propagação

através de meios aleatórios. Os mais diversos pesquisadores e até mesmo os criadores da

teoria, explicavam e ainda explicam a percolação como sendo algo que modele problemas que

envolvam hidrodinâmica de �uido em meios porosos no sentido mais geral da coisa, porém

com suas características devidamente consideradas para cada um dos casos.

Na percolação, por exemplo, a ênfase e o foco está na aleatoriedade do meio que

permite ou não que o �uido percole, ou seja, o meio é quem determina os caminhos para a

passagem do �uxo das partículas, diferenciando assim por exemplo do processo de difusão.Na

difusão a questão da aleatoriedade é atribuída basicamente ao �uido, ou seja, o �uido é quem

decide por onde as partículas vão se deslocar no meio poroso.

Para ilustrar melhor uma situação de atuação da teoria da percolação, consideremos

um caso básico que ocorre na indústria de petróleo, onde temos a representação do meio

poroso como sendo basicamente o reservatório onde o hidrocarboneto está contido. Ao utilizar

algum dos métodos especiais de recuperação de petróleo como por exemplo, injeção de água

ou gás através de um poço injetor, se faz o seguinte questionamento: Qual a probabilidade

do óleo contido nos poros das rochas conseguir atravessar o meio poroso?

A formulação de um modelo estocástico para representar bem este processo e respon-

der a esta e outras perguntas, fez surgir os modelos aplicados de percolação. Os termosmeio

e �uidos eram vistos apenas como sendo termos mais gerais, onde um �uido poderia ser um

liquido, um gás, �uxo de calor e assim por diante. O meio em que o �uido se propaga poderia

ser os espaços vazios de uma rocha, as regiões permeáveis em um ambiente permeável, uma

distribuição de árvores, etc [3, 4].

Alguns sistemas físicos, químicos ou biológicos, são considerados como sendo sistemas

complexos pois apresentam um vasto número de elementos que os compõe e que interagem

entre si. Estes sistemas se caracterizam desta forma por apresentarem características de

não-linearidade, comportamento não linear, e geralmente quando são apresentados matema-

ticamente, não possuem uma solução analítica, onde nestes casos, o que se faz é recorrer ás

simulações numéricas. Apesar de serem compostos por elementos bastante simples, estes sis-

temas se comportam de maneira bastante complicada, com �utuaçcões que não estão dentro

de um certo padrão conhecido.

Reservatórios de petróleo são ótimos exemplos que se enquadram dentro destes pa-

drões, pois apresentam algo grau de heterogeneidade e anisotropia em todas as escalas e

direções, podendo apresentar tais fatores desde escalas de centímetros, até quilômetros [5].


As heterogeneidades e o alto grau de desordem do meio são decorrentes desde as

primeiras formações geológicas das rochas sedimentares, ocasionado as chamas dobras, falhas

e deformações do meio, onde é entre essas falhas que o hidrocarboneto �ca aprisionado, entre

os mais diversos tipos de anomalias do meio, mostrando assim que o meio poroso trata-

se de um local altamente heterogêneo, provenientes dos mais diversos tipos de formacões

geológicas.

Consideramos um sistema como sendo homogêneo quando suas propriedades são

basicamente independentes do seu tamanho linear. Quando temos um certo grau de hete-

rogeneidade nas mais diversas escalas de comprimento do meio, pensamos de forma global

no comportamento da dependência do processo de transporte desse meio, tais como difusão,

condução, que são as mais diversas maneiras que os �uidos podem se distribuir no meio

desordenado.

Tomando como base o exemplo prático de um �uido dentro de um reservatório de

petróleo, o que se percebe é que o �uxo é muito afetado, praticamente em quase todos os as-

pectos devido a essas heterogeneidades que perduram nas diferentes escalas de comprimento,

tornando assim uma tarefa bastante complicada de se estudar, pois não temos precisão nos

fatores de dinâmica e de seu comportamento dentro desse meio altamente heterogêneo. Para

isso é altamente recomendada a elaboração e a criação de modelos que consigam estimar

as propriedades mais básicas até as mais complexas, com objetivo de se conseguir extrair o

máximo de informações sobre campo estudado.

Foi seguindo essa linha de estudo e pesquisa, que se pensou em fazer estudos sobre

hidrodinâmica de �uidos em reservatórios de petróleo , com objetivo de buscar entender como

acontece o processo chamado de evolução das cascatas de energia cinética em hidrodinâmica,

para que em um futuro próximo, os resultados aqui obtidos venham fornecer o máximo de

informações possíveis sobre o comportamento do �uxo de petróleo e o meio em que o petróleo

se encontra.

Algumas propriedades do �uxo também podem ser obtidas através de pequenas

amostras que recebem o nome de testemunhos, colhidas em poços reais de exploração, onde

tais amostras representam muito pouco do volume total de um reservatório de petróleo [6,

7]. Os testemunhos por sua vez, são os principais indicadores da representatividade do

reservatório, onde com bons testemunhos em poços de teste, conseguimos na maioria dos casos

uma representatividade do reservatório. Contudo, os resultados devem ser cuidadosamente

interpretados para se obter o máximo de precisão nos dados obtidos, onde na maioria dos


casos não é uma tarefa nada fácil quando estamos tratando de desordem [8].

Os problemas envolvendo estes tipos de abordagem são sem duvidas o alto grau de

di�culdade para se efetuar os estudos, pois sabemos também que é algo computacionalmente

caro e pesado de se simular. Devido a isso, existe um grande estímulo a pesquisa para

criação de novos tipos de modelos alternativos mais simples que consigam prever algumas

incertezas, onde a maiorias desses processos se baseiam basicamente na física estatística para

tentar explicar, por exemplo, o difícil processo de deslocamento de �uidos através dos meios

porosos.

Sabemos de inicio que o �uxo de �uidos em meio porosos com alto grau de heteroge-

neidade, é determinado pelos contrastes da permeabilidade. Embora saibamos que existem

várias outras in�uências, esta é uma característica que predomina. São basicamente estes e

outros fatores tais como, por exemplo, conectividade, que utilizamos quando queremos mo-

delar �uxo em reservatórios de petróleo, onde consideramos quando a distribuição do meio é

espacialmente distribuída de forma aleatória, sendo assim permeável ou impermeável [9, 10].

Com isso, temos que o modelo que representa de forma mais completa as conectividades e

transportes em sistemas com alto grau de desordem, e geometricamente complexos, é a teoria

da percolação.

A teoria de percolação portanto torna-se uma ferramenta altamente poderosa quando

queremos tratar da representação de alguns sistemas complexos, dentre os quais podemos ci-

tar transições de fases, difusão em meios desordenados, recuperação de petróleo, etc. Com

de�nição bastante simples em termos de geometria, temos que por contra parte não obtemos

uma solução analítica exata para casos mais gerais. Os problemas da percolação em si apre-

sentam características físicas, tais como, fenômenos críticos, fractalidade e não linearidade.

Como existem vários tipos e modelos de percolação podemos citar dentre os modelos

diretos a percolação por sítios e percolação por ligações. Em meios considerados contínuos,

existe a percolação continua, e o que se ressalta é que nas principais características encontra-

das nos diferentes tipos de percolação, as informações mais importantes de cada uma delas

apresentam certa semelhança umas com as outras, se mostrando assim praticamente idênti-

cas em quase todos os aspectos que são considerados importantes. Para prosseguirmos com

nossos estudos, neste capítulo iremos dar ênfase apenas a alguns dos modelos de estudo da

percolação que são, percolação por sítios, e mais adiante demais teorias que foram incremen-

tadas nos estudos de percolação como por exemplo a transição de fases onde mostraremos

que tais modelos podem ser estudados na indústria do petróleo.


1.1 Percolação por sítios em uma rede quadrada simples

O exemplo de percolação por sítios é o exemplo de percolação mais simples que existe

onde na maioria das vezes é o modelo base até para se explicar e de�nir a própria percolação

[11]. A ideia central é que temos uma rede quadrada linear de comprimento L onde consi-

deramos que cada quadradinho que recebem o nome de sítios, ou célula, da rede quadrada

possa ser ocupada com certa probabilidade p, ou permanece vazia com probabilidade 1− p.

Os espaços que são inicialmente ocupados ou desocupados possuem características

intrínsecas diferentes. Para explicar essa a�rmação, podemos exempli�car da seguinte forma:

Podemos considerar que os sítios ocupados são placas condutoras e que as que estão de-

socupadas são isolantes, e consideramos que a corrente só vai �uir nos sítios considerados

condutores de corrente, ou seja, a corrente só �ui nos sítios considerados primeiros vizinhos.

A�rmamos assim, que dois sítios são considerados vizinhos quando eles basicamente tiverem

um lado em comum. Se dois sítios considerados primeiros vizinhos estiverem ocupados e

todos os demais primeiros vizinhos estão vazios ao redor, então dizemos que eles formam um

chamado �cluster� de dois sítios ocupados.

Buscando exempli�car o modelo de percolação para um melhor entendimento, uti-

lizamos uma linguagem bastante conhecida pelos físicos, onde dizemos que quando a con-

centração p é baixa, os sítios que são considerados condutores �cam isoladamente separados

formando assim pequenos clusters. Dois sítios irão pertencer ao mesmo cluster ou aglome-

rado quando eles estiverem conectados entre si por um caminho de sítios condutores primeiros

vizinhos, de forma que a passagem de uma corrente elétrica possa �uir facilmente entre eles.

Para certo valor de probabilidade de ocupação p, surge certo aglomerado aleatório

que se sobrepõe sobre os demais, ou seja, torna-se dominante sobre os demais, onde os passa a

conectar margens opostas da rede quadrada, formando assim o que chamamos de aglomerado

percolante.

Para redes de tamanho linear in�nito, o limiar de percolação tem um valor bem de-

terminado na literatura onde mais especi�camente em uma rede quadrada o valor aproximado


Figura 1.1: Da esquerda para direita temos Imagens ilustrativas que representam a percolação por

sítios em um rede quadrada de tamanho 16x16. Na primeira imagem temos que a probabilidade

crítica de percolação é de p = 0.2, onde percebemos assim que o sistema não consegue percolar com

este índice de probabilidade. Em seguida temos um sistema com p = 0.59, representando assim o

aglomerado percolante e mais adiante a mesma imagem só que com p = 0.8, onde vemos que a rede

quadrada está quase toda completa, indicando alto grau de percolação.

da probabilidade crítica é basicamente:

pc = 0.5927..., (1.1)

Dessa forma, dizemos que o aglomerado percolante é de tamanho in�nito, indicando

a característica fundamental da teoria da percolação que é o limiar de percolação.

Quando os valores de p estão acima dos valores de pc, os aglomerados que são con-

siderados �nitos são absorvidos pelo aglomerado percolante a medida que o p vai crescendo

e se aproximando de 1. Para um p menor do que a probabilidade critica pc, o sistema é

considerado isolante, onde não existe nenhum caminho que consiga conectar as duas margens

opostas da rede. O contrário acontece quando p é maior que a probabilidade crítica, onde

existem muitos caminhos possíveis que conectam as duas margens opostas da rede e o sistema

consegue assim percolar.

Temos então que a probabilidade crítica caracteriza basicamente o sistema, ou seja,

para uma probabilidade menor que a probabilidade crítica, o sistema tem uma característica

física particular, e para o caso de probabilidade maior que a probabilidade crítica, o sistema

se comporta de maneira oposta. Dizemos então que em pc acontece a chamada transição de


fase do sistema.

1.2 Transição de fase na teoria da percolação

Para melhor entendimento deste assunto, tomaremos como exemplo inicial de expli-

cação materiais que possuem fases magnéticas, onde sob in�uências externas de temperatura,

a magnetização m do material se aproxima de zero para um certo valor da temperatura, onde

tal recebe o nome de temperatura crítica Tc, e próximo a ela segue uma lei de potência que

poderá ser representada na forma:

m(T ) ∼ (Tc − T )β (1.2)

Para a percolação, temos que a probabilidade p de ocupação dos sítios desempenha

o mesmo papel da temperatura T para o exemplo anterior nas transições de fases térmicas.

A transição de percolação é caracterizada pelas propriedades geométricas dos aglomerados

próximos ao valor crítico pc. Uma grandeza importante que devemos considerar é a probabili-

dade θ(p) de uma ligação ou sítio pertencer ao aglomerado percolante. Temos que a presença

em si do pc caracteriza basicamente o ponto onde as transformações das propriedades de um

certo sistema acontecem de uma fase para outra, nos permitindo assim denominar fases para

tais comportamentos antes e após o valor crítico pc.

No caso da percolação, considerando o θ(p) e o valor crítico pc temos que para

p < pc o valor da probabilidade será θ(p) = 0, e para p > pc o θ(p) tem um comportamento

semelhante ao da magnetização e cresce segundo lei de potência na forma:

θ(p) ∼ (p− pc)β (1.3)

Temos que o expoente β descreve o comportamento crítico do θ(p) associado a tran-

sição de percolação, e é por esse motivo maior que ele é chamado de expoente crítico. Embora

existam vários modelos de teoria da percolação e com isso vários valores para pc, o valor de


Figura 1.2: θ(p) é a probabilidade de um sítio pertencer ao aglomerado percolante. Aqui podemos

visualizar o parâmetro de ordem descrito anteriormente para sistemas de percolação, onde para

p < pc, θ(p) = 0 e para p > pc, 0 < θ(p) ≤ 1.

permanece constante para todos eles dependendo somente da dimensão do espaço, onde com

isso tal fenômeno recebe o nome de universalidade onde um expoente dito como crítico serve

para denominar e classi�car uma transição de fase em classes de universalidade.

1.3 Dimensão fractal na percolação e suas contribuições

para indústria do petróleo

A estrutura de aglomerados que são considerados percolantes podem ser basicamente

descritos através dos conceitos de fractais. Vamos considerar um aglomerado in�nito na

concentração crítica pc. Um aglomerado percolante pode ser considerado estatisticamente

similar em todas as escalas maiores de comprimento, onde sendo assim, basicamente pode

ser considerado como sendo um fractal. As �guras abaixo mostram um exemplo da presença

dessa similaridade estatística presente em aglomerados que são considerados percolantes.


A dimensão fractal do meio df pode basicamente nos fornecer a informação de como a

massa M (número de sítios) do aglomerado no interior de uma esfera com raio r por exemplo,

muda de escala com o raio r.

M(r) ∼ rdf (1.4)

M(r) pode ser obtido através da média de muitas simulações de percolação. Abaixo

e acima do ponto crítico, o tamanho médio do aglomerado �nito no sistema é basicamente

descrito pelo termo de correlação ϑ. Em pc o ϑ diverge e ocorrem buracos de todas as escalas

e tamanhos no aglomerado. Tendo que ϑ é �nito e acima de pc, temos que que o aglomerado

in�nito pode ser considerado similar em apenas algumas escalas de comprimento menores do

que ϑ.

A interpretação de ϑ(p) pode ser considerada como um comprimento típico, onde

para escalas de comprimentos menores do que ϑ o aglomerado poderá assim ser considerado

similar, e consequentemente ser também classi�cada como sendo um fractal. Para as escalas

consideradas maiores que ϑ a estrutura não é similar, sendo assim considerada homogênea.

A passagem de um comportamento fractal de escalas menores para um comporta-

mento homogêneo em escalas maiores, pode ser basicamente ilustrada através de uma rede

composta por células unitárias no triângulo de Sierpinski de tamanho ϑ. Se nossa escala

de comprimento for menor que ϑ, temos assim uma estrutura fractal em escalas de compri-

mento maiores, onde o sistema pode ser considerado composto de várias células unitárias de

tamanho ϑ.

Resumindo, matematicamente podemos dizer que:

M(r) ∼ {rdf , r << ϑ, rd, r >> ϑ} (1.5)

Podemos relacionar a dimensão fractal df dos aglomerados considerados percolantes

com os chamados expoentes críticos. Esses expoentes basicamente descrevem o compor-

tamento crítico de grandezas associadas à transição de percolação. Expoentes críticos são


universais e não dependem da estrutura da rede, ou seja, se a rede é quadrada, triangular,

etc, nem do tipo de percolação, se é por sítios, por ligações ou contínua, mas depende da

dimensão da rede. Expoentes críticos na maioria dos casos são representados pelas letras β

e γ.

A probabilidade de um sitio arbitrário no interior de um disco de raio r e menor que

ϑ pertencer ao aglomerado que é considerado in�nito é basicamente a razão entre o numero

de sítios no aglomerado in�nito e numero total de sítios .

P∞ ∼M(r)

M∼ rdf

rd, r < ϑ (1.6)

Esta equação está certamente correta se considerarmos que r = aϑ, onde a é consi-

derada a constante arbitrária menor que 1. Substituindo o r na equação anterior temos:

P∞ ∼ϑdf

ϑd(1.7)

Resumindo podemos estabelecer uma associação direta da dimensão fractal e os

expoentes críticos pela forma:

(p− pc)β ∼ (p− pc)γ(d−df ) (1.8)

Onde por �m teremos,

df = d− β

γ(1.9)

De forma resumida vimos que a dimensão fractal df do aglomerado in�nito em pc, é

um expoente que depende de β e γ, onde se tomarmos que os expoentes sejam considerados

universais, então temos que df também tem de ser considerado universal.

Sendo assim, como foi visto neste capítulo, a teoria da percolação em si é um modelo

que basicamente serve como paradigma para sistemas complexos com conectividade, onde

vem se constituindo cada vez mais como uma ferramenta bastante útil e aceita pela comuni-

dade cientí�ca, quando queremos tratar de caracterização de sistemas desordenados. Vimos

alguns dos potenciais de aplicação e entendimentos gerais da teoria como modelo convincente


para o entendimento de aspectos de �uxo em meios aleatórios.

Existem outras maneiras através das quais a física consegue se unir facilmente à

indústria do petróleo. Uma delas está presente no método mais comum de recuperação de

petróleo, que é quando se utiliza a injeção de um �uido que pode ser água ou gás miscível

em um poço injetor, com a �nalidade de se criar uma frente de deslocamento que empurre o

óleo existente no reservatório para um poço mais além, onde no caso seria o poço produtor.

[14, 15]. Estudos que envolvam a hidrodinâmica podem ser sem dúvida utilizados a �m de

explicar o �uxo e obter informações preciosas sobre o meio em que o �uido se encontra.

São várias as motivações que nos levam a tentar compreender o comportamento

de �uidos em meios desordenados, pois sabemos que a quantidade de aplicações existentes

são enormes e nas mais diversas áreas. Tentar obter uma melhor compreensão sobre as

instabilidades provocadas por �uidos em meios que apresentam desordem por exemplo, nos

leva a obter informações preciosas sobre o meio em que o �uxo de �uido se encontra. As

aplicações são de fato inevitáveis para a indústria do petróleo, onde a mesma se preocupa em

obter o máximo de informações possíveis do meio poroso em que o petróleo está contido.

Uma importante aplicação de estudos que envolvam instabilidades em �uidos estaria

por exemplo em um dos casos mais simples de recuperação de petróleo, onde se injeta um

�uido em um poço injetor para criar uma frente de deslocamento que empurra o óleo para

um poço produtor, aumentando assim a produção em massa. O fato de detectar o tempo em

que o poço produtor entrará em declínio de produção é o grande desa�o, pois sabemos que

depois de certo período de tempo o �uido que foi injetado alcança o po�oo de produção e a

partir de então, o poço passa a produzir o �uido que foi injetado inicialmente, e como é de

se esperar, a taxa de produção em massa de óleo entrará em declínio. [16, 17, 18].

Vendo de um ponto de vista econômico, seria altamente recomendado saber quando

este �uido de injeção entrará na produção do poço, e a que taxa de declínio a produção de óleo

estará sujeita após este instante, de modo que podemos determinar o limite econômico dessa

produção. Como estamos tratando de reservatórios de petróleo, estudos como a percolação

ou o comportamento de �uidos em meios porosos vem sendo cada dia mais utilizados por

pesquisadores de todo o mundo, pois se sabe as inúmeras quantidades de aplicações a que

estão sujeitas ambas teorias.

Com isso não podemos deixar de fazer os comentários de que a teoria da percolação

é uma ferramenta altamente poderosa quando queremos tratar de sistemas com alto grau de


desordem, como é o caso de reservatórios de petróleo, e da mesma forma devemos salientar

que estudos envolvendo hidrodinâmica em meios desordenados vem sendo cada dia mais

estudados com o decorrer dos anos, e sempre se buscando aplicações nas mais diversas áreas

das ciências.

Observa-se que ambas teorias possuem um vasto número de aplicações, e com isso

decidimos que nesta dissertação iremos tratar de estudos que envolvam hidrodinâmica em

meios porosos e suas possíveis aplicações na indústria do petróleo. Contudo o fato de se

estudar especi�cadamente esta linha não nos impediu de termos revisado um pouco sobre a

teoria da percolação, pois sabemos que ambas são teorias poderosas que podem ser utilizadas

para o estudo de meios desordenados.


Figura 1.3: A região em preto é considerada como sendo o aglomerado percolante do sistema da

rede quadrada. A parte colorida forma os aglomerados �nitos, e mesmo considerando os efeitos de

tamanho �nito o aglomerado percolante apresenta uma similaridade dita como estatística (Roosewelt,

2007).


Figura 1.4: Temos aqui basicamente a ampliação de uma parte da �gura anterior, onde basicamente

podemos observar uma similaridade estatística (Roosewelt, 2007).

Capıtulo 2Hidrodinâmica em meios porosos

2.1 Introdução

Antes de iniciarmos nossos estudos sobre hidrodinâmica em meios porosos, faremos

uma breve revisão de alguns conceitos que serão constantemente envolvidos no processo como

por exemplo: �uidos, meios porosos, permeabilidade e etc.

2.2 Fluidos

No geral sabemos que a matéria em si pode ser classi�cada considerando sua forma

física natural, onde estas formas são bastante conhecidas na literatura como sendo fases ou

estados. Tomando esta linha de raciocínio, podemos aqui dizer que a matéria em si pode ser

apresentada em dois estados conhecidos: Sólidos e �uido. A principal diferença básica entre

estes dois estados é o comportamento apresentado em face às forças externas. Enquanto

os que são considerados sólidos conseguem suportar as forças e tensão de cisalhamento, os

�uidos são praticamente incapazes de resistir a este tipo de tensão. Qualquer que seja a força

tangencial aplicada ao �uido, este irá mover-se e deformar-se continuamente ao longo da sua

aplicação.

Sabemos que os �uidos são subdivididos em duas classes conhecidas, os líquidos e

15

Capítulo 2. Hidrodinâmica em meios porosos 16

os gases. Um liquido é um �uido altamente difícil de se comprimir, e basicamente toma a

forma do recipiente em que o contém. Em contraparte, um gás é uma classe de �uido que é

muito fácil de ser comprimido, onde ele consegue se expandir totalmente preenchendo todo

o recipiente. Esta diferença de comportamento pode ser avaliada analisando as estruturas

e comportamentos moleculares de ambos os �uidos. Enquanto os líquidos são formados por

moléculas mais próximas e com uma força maior de coesão, os gases são compostos por

moléculas muito mais espaçadas e com forças de coesão basicamente desprezíveis.

Como foi mencionado anteriormente, os �uidos são substâncias que praticamente se

deformam devido a ação de uma força tangencial. Quando essa taxa de deformação é dire-

tamente proporcional à tensão de cisalhamento, dizemos que o �uido é do tipo newtoniano,

e no caso contrário temos que trata-se de um �uido não newtoniano. Essa a�rmação é em

homenagem ao grande Isaac Newton, pois foi ele que supôs que a constante de proporcionali-

dade entre a tensão de cisalhamento τ e a taxa de deformação dudy

fosse uma das propriedades

do �uido, onde na qual, denominou-se de viscosidade. Então temos que:

τ = µdu

dy(2.1)

Onde a constante µ recebeu o nome de coe�ciente de viscosidade dinâmica ou abso-

luta.

2.3 Meios porosos

O meio poroso pode ser de�nido como sendo um meio sólido que possa conter espaços

vazios, onde tais espaços vazios para a indústria do petróleo por exemplo, são os espaços onde

podem possivelmente conter o óleo, onde sendo assim, esses espaços vazios recebem o nome

de poros [19].

É difícil de obter uma de�nição geométrica do que na verdade é um poro, pois

espaços vazios em pequenos sólidos também recebem o nome de �intersticidade molecular�, e

no caso de poros considerados bem mais largos, recebem o nome de cavernas. Contudo, poros

são considerados espaços vazios intermediários entre cavernas e intersticidade molecular, e a

limitação de seu tamanho é portanto considerada bastante intuitiva e indeterminada [20].


Os poros de um meio poroso podem estar ou não interconectados entre si. Se esti-

verem, temos um material poroso considerado permeável, ou seja, os �uidos são capazes de

escoar por suas cavidades penetrando através de uma face de um lado da parede, e emergir do

outro lado fazendo com que o sistema seja considerado percolante. Os meios porosos ainda

podem ser de�nidos levando em consideração a distribuição espacial dos poros, em ordenados

ou desordenados, e também em função de serem dispersos ou ligados.

2.4 Alguns parâmetros macroscópicos da estrutura po-

rosa

O meio poroso é caracterizado por uma variedade de propriedades geométricas como

porosidade que pode ser representado pela letra φ, permeabilidade k, área de superfície es-

pecí�ca Sv e fator de formação de resistividade F . Em vários casos, estes parâmetros são

determinados pela estrutura porosa do meio, e não dependem de quaisquer outras proprie-

dades [19]. Levando em conta estudos aplicados a indústria do petróleo, veremos brevemente

algumas das características do meio poroso que são consideradas importantes para tal estudo

que é a porosidade e a permeabilidade do meio.

2.5 Porosidade

Uma palavra bastante mencionada quando estamos estudando a fundo reservatórios

de petróleo ou hidrodinâmica em meios desordenados, é a palavra poro. Este termo também é

bastante utilizado em vários casos de nosso dia-a-dia, onde por exemplo quando caminhamos

e dizemos que estamos suando através dos poros. Mas, para início de conversa, o que é

um poro? Quando consideramos certos orifícios em um determinado material sólido, ou

seja, espaços considerados vazios em um certo meio, podemos classi�car como algo que seja

poroso? Levando em consideração que estamos tratando algo como sendo um meio rochoso,

podemos considerar como sendo poroso sim.

Por existir tais descontinuidades em seu interior, essas descontinuidades recebem o

nome de espaços vazios ou poros. A porosidade de uma rocha é a simples razão entre o volume


dos espaços vazios e o volume total da formação rochosa considerada. Matematicamente,

podemos expressar da seguinte forma:

φ =VpVt

(2.2)

Onde temos que Vp é o volume considerado poroso e o Vt é o volume total da rocha.

Existe também o termo chamado de porosidade efetiva, que nada mais é a razão entre o

volume dos poros interconectados e o volume total da rocha, onde a porosidade efetiva é

um dos termos considerados mais importantes para indústria do petróleo, pois representa o

volume máximo de �uido que poderá ser extraído de uma rocha reservatório.

A forma matemática que expressa a porosidade efetiva é pode ser dada por:

φ(e) =ViVt

(2.3)

Onde o φ(e) é a porosidade efetiva, o Vi é o volume dos poros interconectados e o Vt

é o volume total da rocha porosa. Com isso, vimos que a porosidade trata-se de um termo

bastante simples porém de grande importância para estudos que envolvam tais conceitos,

como é o caso de estudos sobre o comportamento do �uxo de petróleo em reservatórios por

exemplo, onde meio poroso é um termo utilizado constantemente no estudo, assim como

o termo permeabilidade, onde veremos a seguir que trata-se de outro importante conceito

constantemente utilizado quando se busca entender propriedades de �uxo em meios porosos.

2.6 Permeabilidade e a lei de Darcy

A teoria de escoamento monofásico laminar lento de �uidos através de um meio

poroso homogêneo foi baseada em um experimento clássico originalmente criado por Henry

Darcy (1856), onde tal teoria recebeu seu nome onde é mundialmente conhecida no meio

cienti�co como a lei de Darcy.

Darcy, observando a puri�cação da água através do processo de �ltração utilizando

areia, percebeu que existia uma relação direta entre a vazão da água que atravessava os grãos

da areia, a diferença de carga relativa a vazão e a área que representava as dimensões do meio

poroso. Tendo isso em mente, ele acabou formulando uma relação matemática que serve de


base para todo tipo de estudo feito em cima de �uxo em meios porosos.

Q = −KAh2 − h1

L(2.4)

O termo com o sinal negativo na equação indica que a velocidade é na direção

considerada oposta a de maior pressão. A variação da altura h também pode ser considerada

em termos de variação da pressão de entrada e de saída. K é uma constante de condutividade

hidráulica que mede a permeabilidade do meio poroso.

Para o caso de reservatórios de petróleo, �uidos em fases diferentes escoam separada-

mente nos poros das rochas. Pensando nisso, nos anos de 1930, Muskat conseguiu generalizar

a lei de Darcy para escoamentos considerados bifásicos, introduzindo o conceito de perme-

abilidade relativa, que trata-se de uma grandeza adimensional que varia entre 0 e 1 e que

multiplica a permeabilidade absoluta, onde a permeabilidade absoluta pode ser expressa

matematicamente na forma:

K =QµL

A(p1 − p2)(2.5)

Onde Q é o volume total do �uido que atravessa o �ltro por unidade de tempo, µ

é a viscosidade, L é o comprimento do meio poroso, o A é a secção transversal por onde o

�uido passa e p é a pressão.

A permeabilidade é considerada como sendo uma constante de proporcionalidade do

meio poroso, onde esta pode ser considerada: Absoluta K quando existe apenas um �uido

no interior da rocha ou efetiva Ke, que ocorre quando no interior da rocha existe mais de um

�uido, onde sendo simplesmente de�nida como sendo a facilidade com que cada um desses

�uidos consiga se mover no interior da rocha. O conceito e termo matemático que possa

representar então a permeabilidade relativa pode ser escrito como sendo:

Kre =Ke

K(2.6)

A permeabilidade considerada absoluta vai depender principalmente da saturação do

�uido. Em geral, trata-se de uma função não linear da saturação, pois cada �uido di�culta

o movimento do outro.


Figura 2.1: Esquema do experimento da Lei de Darcy para �uxo de água (Adriano Ferreira, 2009).


Como a velocidade média u do �uido que atravessa a secção pode ser de�nida com

sendo:

u =Q

A(2.7)

Onde o Q é o volume do �uido que atravessa o �ltro e o A seria a secção transversal

por onde o �uido passa, como foi mencionado anteriormente. Sendo assim, podemos ver que

foi no esquema acima montado por Darcy que se observou o �uxo de água que percola no

meio poroso, com isso se obteve a ideia de permeabilidade em regimes porosos.

Substituindo os termos, a lei de Darcy torna-se:

u = −Kµ

p2 − p1 + ρgh

h(2.8)

Se �zermos h tender a zero, temos que a equação torna-se uma equação mais geral

na forma:

u = −Kµ

(∇p− ρg) (2.9)

Temos que g é o vetor na direção da gravidade com a magnitude da aceleração da

gravidade.

Vimos aqui que a lei de Darcy foi apresentada como uma relação empírica baseada

no experimento de escoamento estacionário em uma coluna vertical de areia homogênea.

No entanto, esta lei também pode ser derivada para escoamento saturado usando modelos

teóricos como modelos de tubos capilares, de �ssuras, de raio hidráulico, de escoamento de

resistência e modelos estatísticos. Provavelmente os modelos mais simples em que a lei de

Darcy pode ser derivada são aqueles feitos com tubos capilares.

2.7 Escoamento e suas classi�cações


Escoamentos de �uidos podem ser considerados e classi�cados de várias maneira. Po-

demos observar na literatura, por exemplo, que existem os que são considerados escoamentos

estacionários e o que são considerados permanentes, que são aqueles onde suas grandezas tais

como pressão e velocidade não variam com o tempo. Caso contrário , eles são ditos como

transientes ou não permanentes.

Outra classi�cação foi proposta por Osborne Reynolds em 1883 [21]. Ele percebeu

experimentalmente a existência de dois tipos de escoamentos, o laminar e o turbulento. O

escoamento considerado laminar é aquele no qual existem camadas muito �nas como lâminas,

de �uidos que parecem escorregar uma sobre as outras fazendo com que só leve a troca de

quantidade de movimento molecular. Já o escoamento considerado turbulento é aquele onde

as partículas de �uido apresentam movimentos desordenados, isto é, a velocidade apresenta

componentes transversais ao movimento geral do conjunto ao �uido. Devemos salientar que

os termos �laminar� e �turbulento� não são características do �uido mais sim apenas um

estado em que se encontram devido às condições do escoamento.

Para podermos observar se um �uido é considerado laminar ou turbulento, conside-

rando a escala turbulenta, temos que o que vai nos dizer se um �uido apresenta escoamento

turbulento será o chamado número de Reynolds Re. O número de Reynolds trata-se de

um parâmetro adimensional que mede o grau de turbulência de certo escoamento do �uido,

onde este parâmetro trata da relação das forças inerciais Fi devido à velocidade e das forças

consideradas viscosas Fµ, podendo ser expressa por:

Re =

∑Fi∑Fµ

= ρLV

µ(2.10)

Onde ρ é considerada como sendo a densidade e µ a viscosidade do �uido. L e V

são comprimento e velocidades características do escoamento. Para escoamento em formas

circulares de diâmetro D, temos:

Re =ρV D

µ(2.11)

No geral, a magnitude do número de Reynolds indica a importância para o escoa-

mento das forças inerciais Re > 1 e das forças viscosas Re < 1. Quando Re >> 1, as forças

consideradas viscosas somente são importantes nas regiões adjacentes às superfícies sólidas,


isso devido à presença da camada limite (região �na ao redor da superfície de corpos em

movimentos imersos em �uidos onde o gradiente de velocidade normal ∂v∂n

a superfície do

corpo é signi�cativa). Escoamentos abaixo de um valor crítico são considerados laminares e

acima deste valor são considerados turbulentos.

Existem também três variáveis bastante utilizadas quando tratamos escoamento de

�uidos, onde a primeira é a vazão, onde nada mais é um volume de um �uido que atravessa

uma seção reta por unidade de tempo e o segundo é a vazão mássica ou descarga, que é a

quantidade de massa que cruza uma seção reta por unidade de tempo. Por último temos o

�uxo, que representa a quantidade de grandeza física que cruza uma dada área por unidade

de tempo.

Capıtulo 3Equações hidrodinâmicas generalizadas

3.1 Introdução

Sabemos que para uma descrição numérica ou analítica baseada nas leis da física

e matemática para o escoamento de �uidos em certo meio, devem certamente ser expressas

de maneira matemática adequada. O escoamento de �uidos considerados newtonianos, com-

pressíveis ou incompressíveis, turbulentos ou laminares por exemplo, podem ser basicamente

descritos pelas chamadas equações de Navier-Stokes.

As equações de Navier-Stokes foram derivadas inicialmente por M. Navier em 1827

e por S.D. Poisson em 1831, baseando-se num argumento envolvendo considerações de forças

intermoleculares. Mais tarde as mesmas equações foram derivadas sem o uso de nenhuma

dessas hipóteses por B. de Saint Vernant em 1843 e por G.G. Stokes em 1945, onde suas

derivações foram inicialmente baseadas em conformidade com a mais antiga lei da viscosidade

de Newton, leis de conservação de massa e conservação de energia. Vale ressaltar que nem

todas as leis mencionadas anteriormente podem vir a ser utilizadas para as soluções de certos

problemas.

Sabemos que soluções analíticas para problemas considerados mais gerais são ra-

ras, pois as enormes di�culdades matemáticas encontradas quando resolvemos as equações

de Navier-Stokes tem até o presente momento nos impedido de obter uma solução analítica

�única� na qual os termos convectivos interagem genericamente com os termos viscosos. No

entanto, dependendo de algumas propriedades de escoamento do �uido a ser analisado, a

24

Capítulo 3. Equações hidrodinâmicas generalizadas 25

equação poderá ser simpli�cada, possibilitando assim uma possível solução numérica. Como

exemplo, podemos citar o estudo para �uidos newtonianos incompressíveis escoando em re-

gimes estacionários e isotérmicos, onde partindo inicialmente do principio fundamental da

dinâmica de Newton temos inicialmente que:

ρF = ρmdu

dt(3.1)

Rearrumando os termos �camos com:

ρ

mF = ρ

du

dt(3.2)

Temos que o termo dudt

da equação acima pode ser escrito como sendo:

du

dt=∂u

∂t+∂u

∂x

∂x

∂t+∂u

∂y

∂y

∂t+∂u

∂z

∂z

∂t(3.3)

Reescrevendo os termos acima temos:

du

dt=∂u

∂t+∇u · u =

∂u

∂t+ u · ∇u (3.4)

Substituindo o termo encontrado acima na equação (3.2) �camos com:

ρ

mF = ρ

(∂

∂t+ u · ∇

)u (3.5)

Como estamos tratando um �uido incompressível, temos que ρ é considerado cons-

tante e em consideração a uma das forças comumente encontradas atuando no �uido (força

por unidade de volume), adotaremos o gradiente de pressão −∇p, onde com isso a equação

poderá ser expressa na forma:

−∇p =

(∂

∂t+ u · ∇

)u (3.6)

Com isso, a equação de Navier-Stokes poderá basicamente assumir a forma:

∂

∂tu + (u · ∇)u +∇p = 0 (3.7)


Para mostrarmos o caso da condição de incompressibilidade ∇ · u = 0, vamos con-

siderar um pequeno cubo de lados ∆x, ∆y e ∆z dentro de um �uido (volume de controle).

Considerando que ρ seja a densidade do �uido dentro do volume de controle, podemos ba-

sicamente escrever sua massa como sendo ρ∆x∆y∆z = m. Podemos considerar que há

escoamento através de todas as faces do cubo, mas consideraremos primeiro o escoamento na

direção x e com o �uxo a entrar de um lado e sair do outro. Podemos expressar a taxa de

variação da massa do cubo como sendo:

∂m

∂t=

∂

∂t(ρ∆x∆y∆z) (3.8)

A taxa a que a massa de um �uido está a entrar no cubo pode ser expressa por

ρ1u1∆y∆z e a taxa a que a massa do �uido está a sair do cubo pode ser expressa na forma

ρ2u2∆y∆z. Com isso, podemos escrever:

∂m

∂t=

∂

∂t(ρ1u1∆y∆z)− (ρ2u2∆y∆z) (3.9)

ou

(∂ρ

∂t=ρ1u1

∆x− ρ2u2

∆x

)(3.10)

Se assumirmos que a densidade ρ e a velocidade do �uido u variem linearmente ao

longo do volume de controle, podemos considerar que para a velocidade teremos u1 = u− ∆u2

e u2 = u − ∆u2, e para a densidade ρ1 = ρ − ∆ρ

2e ρ2 = ρ − ∆ρ

2. Substituindo na equação

(3.10) temos:

∂ρ

∂t∆x =

(ρ− ∆ρ

2

)(u− ∆u

2

)−(ρ+

∆ρ

2

)(u +

∆u

2

)(3.11)

Onde rearrumando os termos, a equação basicamente se reduzir a:


∂ρ

∂t= −ρ∆u

∆x− ρ∆ρ

∆x(3.12)

Se o volume de controle for reduzido a um diferencial, podemos reescrever a equação

para obter:

∂ρ

∂t= −ρ∂u

∂x− ρ∂ρ

∂x(3.13)

ou

∂ρ

∂t= − ∂

∂x(ρu) (3.14)

Se �zermos deduções semelhantes para as outras direções, �caremos com:

∂ρ

∂t= − ∂

∂x(ρu)− ∂

∂y(ρu)− ∂

∂z(ρu) (3.15)

Para o caso de um �uido incompressível, temos que ρ = constante, e sendo assim

teremos:

∂u

∂x+∂u

∂y+∂u

∂z= 0 (3.16)

ou em notação vetorial:

∇ · u = 0 (3.17)

Temos que a condição acima trata-se da condição de incompressibilidade para �uidos


que se propagam em meios homogêneos. Também foi observado anteriormente a equação

de Navier-Stokes consegue desempenhar um papel bastante semelhante à chamada equação

de Euler. No entanto, a questão de saber ou não se a solução da equação de Navier-Stokes

para �uidos considerados incompressíveis pode ou não apresentar singularidades para tempos

�nitos, é uma das grandes incógnitas atualmente quando se trata de escoamento dos �uidos.

3.2 Equações não-lineares da hidrodinâmica

Começaremos este capítulo mostrando a equação de Euler em três dimensões para

�uidos considerados incompressíveis. Tal equação para uma velocidade de campo u(x, t)

pode ser expressa por:

∂

∂tu + (u · ∇)u +∇p = 0 (3.18)

∇ · u = 0. (3.19)

Foi observado que a equação de Navier-Stokes difere da equação Euler apenas em

um termo adicional que é o termo para a dissipação viscosa, onde a viscosidade em nosso

caso pode ser considerada apenas como sendo uma unidade, onde sendo assim, temos que a

equação de Navier-Stokes pode ser novamente apresentada como sendo:

∂

∂tu + (u · ∇)u +∇p = ∆u (3.20)

Seguindo esta linha de raciocínio, observamos também que a chamada equação de

Burger na forma viscosa em uma dimensão, tem uma certa semelhança com a equação de

Navier-Stokes:

∂

∂tu+ u

∂

∂xu = ∆u (3.21)

Onde notamos que a equação de Burger não possui o termo da pressão.


Com isso de fato notamos que a equação de Burger pode representar um �uido que é

considerado perfeitamente compressível, onde logo abaixo podemos notar a simplicidade da

equação de Burger não-viscosa:

∂

∂tu+ u

∂

∂xu = 0 (3.22)

Ao mesmo tempo foi percebido que a equação de Burger viscosa poderia ser um

ótimo modelo de representação da turbulência. Com isso, esperávamos que a equação de

Burger nos levasse a tentar compreender e perceber percepções mais exatas a �m de obter

um entendimento mais completo e re�nado sobre a equação de Navier-Stokes. No entanto,

um resultado obtido através da independência de Hopf [23] e Cole [24] acabaram com as

nossas esperanças para este entendimento. A transformada Cole-Hopf pode ser basicamente

representada como sendo:

u =−2∂φ

φ∂x= −2

∂

∂xlnφ (3.23)

A princípio temos que a utilização dessa transformada nos fornece informações sobre

a presença de singularidades em tempos �nitos, onde foi detectado que a equação de Burger na

forma viscosa em uma dimensão não permite singularidades em tempos �nitos para soluções

consideradas inicialmente suaves, e com isso, nada parecido com turbulência será possível.

No entanto, para a equação de Burger não-viscosa temos um comportamento bas-

tante diferente. Singularidades para tempos �nitos são praticamente garantidas para qual-

quer solução não trivial. A principal razão para esta diferença entre a equação viscosa e a

não-viscosa é que o termo de dissipação viscosa é considerando como sendo uma perturbação

singular, ou seja, ela contém um operador diferencial de ordem mais elevada do que aquelas

na equação original. Com isso para podermos ganhar uma compreensão mais aprofundada

sobre as cascatas de energia em hidrodinâmica, tentaremos compreender melhor a equação

de Burger não-viscosa.


3.3 Equação de Burger não-viscosa e sua solução

Estudar equações diferenciais parciais em hidrodinâmica é uma área que comporta

estudos teóricos em várias frentes, bem como permite a modelagem de problemas nas mais

diversas áreas do conhecimento humano. No entanto, como apenas em casos extremamente

simples é possível a obtenção de solução analítica, faz-se necessário o desenvolvimento de

técnicas que forneçam a solução numérica dessas equações.

A equação de Burger não-viscosa, por exemplo, trata-se de uma equação diferencial

parcial de primeira ordem onde sua solução poderá ser facilmente encontrada utilizando o

método de separação de variáveis. Buscaremos compreender melhor o desenvolvimento da

solução desta equação dividindo o mesmo em duas etapas, onde na primeira etapa mostra-

remos a sessão da separação das variáveis de uma forma bem geral e mais adiante veremos

uma solução implícita da equação.

Separando assim as variáveis, mostraremos as principais propriedades que possam

partir de soluções expressas na forma u(x, t) = f(x)g(t) onde temos:

∂

∂t(fg) = −fg ∂

∂x(fg) = −fg2 d

dxf (3.24)

obtendo assim:

− 1

g2.d

dtg =

d

dxf = constante. (3.25)

e a solução geral poderá ser expressa na forma:

u =x0 − xtc − t

, (3.26)

Os termos x0 e tc são consideradas constantes de integração. A solução é zero es-

tacionário em x = x0 e avança no tempo até t = tc, onde passando desse ponto temos que

a solução torna-se descontínua. A maioria das soluções da equação não são separáveis, no

entanto, pode-se basicamente aproximar funções que são consideradas suaves seccionalmente

por soluções lineares que são individualmente separáveis, porém, não tomamos esta abor-

dagem. Em vez disso utilizaremos a equação (3.26) para obter uma solução exata para a


transformada de Fourier de u, com objetivo de entender um pouco mais e obter intuições

sobre as cascatas de energia cinética.

A equação de Burger não-viscosa tem uma interpretação física muito simples. A

solução u(x, t) pode ser basicamente pensada como sendo a velocidade de uma partícula livre

no ponto x e no tempo t. Sendo assim, em um tempo posterior t+dt a partícula se encontrará

na posição x+ udt. Com isso, dada a condição inicial u0(x) = u(x, 0), a solução satisfaz:

u(x+ tu(x, t), t) = u0(x) (3.27)

O método das características, por exemplo, pode ser usado para obter esta relação

[33], onde nas quais faremos o uso pesado desta solução implícita para tentarmos integrar

numericamente a equação de Burger não-viscosa.

De fato foi veri�cado também que o método de integração com Runge-Kutta não

nos forneceria bons resultados pelo fato da enorme instabilidade provocada pela equação

de Burger não-viscosa, que como a equação de Euler, trata-se de uma equação de onda

hiperbólica. O termo não-linear da equação faz com que os erros cresçam rapidamente e

de forma descontrolada. Contudo é evidentemente possível suavizar esses erros adicionando

perturbações, mas de fato teríamos uma equação diferencial parcial diferente e aqui o nosso

maior interesse é na equação real e não em perturbações externas que servem para suavizar

erros. Para nossos propósitos, as abordagens com Runge-Kutta ou semelhantes a ela não serão

úteis para nós. Pensando assim, em vez disso, utilizaremos fortemente a equação (3.27) como

uma espécie de �truque� a �m de podermos evitar completamente a instabilidade numérica

hiperbólica provocada pela equação.

Capıtulo 4Normas Lp e suas leis de conservação

4.1 Introdução

Falando em uma linguagem puramente matemática dizemos que os espaços Lp são

espaços funcionais normados. As normas Lp são de�nidas em termos da integral de Lebesgue

dada sobre o valor absoluto de uma dada função f sobre os reais, onde a integral pode ser

escrita como sendo:

||F ||p =

(∫R

|F |p dx) 1

p

(4.1)

Uma característica importante dessas normas é que cada uma delas possui um sig-

ni�cado especial. Temos que a norma L∞ é considerada como sendo o limite das normas

Lp e a norma suprema. Funções que são consideradas no espaço de primeira ordem L1 são

chamadas de funções no espaço de Banach, onde uma característica importante para funções

neste espaço é que por de�nição todas elas são absolutamente integráveis, e por �m a norma

de segunda ordem L2 que é considerada como sendo um espaço bastante conhecido pelos

físicos que é o espaço de Hilbert.

32

Capítulo 4. Normas Lp e suas leis de conservação 33

4.2 Normas Lp da equação de Burger não-viscosa

Temos que a equação de Burger não-viscosa em 1-D, equação utilizada em nossos

estudos, possui uma lei de conservação de normas Lp para soluções regulares.

d

dt‖u‖pLp =

∫R

∂

∂tupdx (4.2)

=

∫R

pup−1 ∂

∂tudx (4.3)

= −p∫R

up∂

∂xudx (4.4)

= − p

p+ 1

∫R

∂

∂xup+1dx = 0 (4.5)

A ultima integral é considerada como sendo zero pelo fato de u decair para zero

quando x → ±∞. Resumidamente falando temos que as normas L1 e L2 são consideradas

conservadas para a equação.


4.3 Normas Lp e a transformada de Fourier

Agora iremos focalizar na transformada de Fourier no espaço da variável x. Devemos

nos lembrar também que a transformada de Fourier f de uma função qualquer f , e sua

transformação inversa são tais que a transformada da transformada é basicamente a função

original, exceto pelo sinal de menos. Há várias convoluções que diferem onde os fatores√

2π

aparecem. Com isso, sem perder a generalidade vamos usar as seguintes de�nições:

f(k) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)eikx dx (4.6)

f(x) =1√2π

∫ ∞−∞

f(k)e−ikx dk (4.7)

Resumidamente falando, temos que pelos teoremas de Parseval e Plancherel a norma

de grau L2 da transformada de Fourier u de u também é conservada. Devemos ressaltar a

presença da auto-dualidade presente em alguns desses espaços. Basicamente falando temos

que um espaço é auto-dual quando o produto interno de funções em um espaço Lp consegue

formar um grupo em um outro espaço, onde chamamos de espaço Lq. Temos então que o

espaço Lq e basicamente o auto-dual de Lp levando em consideração a seguinte relação:

1

p+

1

q= 1 (4.8)

Só para exempli�car e fazer alguns comentários rápidos, temos por exemplo o caso da

norma de segunda ordem L2, onde ela é considerada uma norma auto-dual. Temos também

que o auto-dual de L∞ é considerado um caso especial que não iremos discutir aqui, pois a

norma L∞ basicamente não pertence a um espaço de Banach separável. No entanto, temos a

presença de um caso de auto-dualidade para a norma de primeiro grau L1 que é considerada

como sendo L∞.


4.4 A transformada de Fourier e as cascatas de energia

Aqui o nosso principal objetivo será estudar o processo de atuação das cascatas de

energia cinética utilizando como ferramenta a transformada de Fourier, onde utilizaremos

a equação de Burger não viscosa em 1-D que nos permitirá investigar com mais detalhes

a formação da cauda de lei de potência no espectro de energia, onde tal fenômenos está

diretamente associado a singularidade. Sendo assim, se temos uma solução de quebra para

um tempo crítico �nito que chamaremos de t = tc, então o valor absoluto da transformada

de Fourier no momento exato desta quebra deverá decair como lei de potência.

O processo em cascata por conseguinte deverá redistribuir a energia a partir das

frequências consideradas mais baixas para as frequências mais elevadas, de tal forma que em

um momento crítico tc a magnitude da transformada de Fourier u adquire uma cauda de lei

de potência onde é basicamente este o processo que desejamos entender.

Capıtulo 5Resultados numéricos e analíticos

36

Capítulo 5. Resultados numéricos e analíticos 37

5.1 Resultados numéricos

A �gura a seguir mostra um estado sinusoidal inicial e a solução em tempos poste-

riores.

010

310

410

410

4

x

0u

u0 = sin (x)

Time

Time

Figura 5.1: Temos uma condição senoidal inicial e em seguida a sua evolução para tempos subse-

quentes. As linhas tracejadas mostram como as soluções seriam se o tempo continuasse e ultrapas-

sasse o tempo crítico tc de quebra da onda.


Às vezes para além do tempo crítico tc a solução já não é mais considerada como

sendo uma função, pois vemos a mesma torna-se vários valores.

Já na �gura a seguir, temos o valor absoluto da transformada de Fourier em escala

log log da condição imposta anteriormente.

10-4

10-3

k

10-6

10-4

|û|

β = -1

β

Figura 5.2: Grá�co log log da magnitude da transformada de Fourier em vários momentos subse-

quentes no tempo para soluções da �gura anterior. As linhas retas em paralelo indicam as leis de

potência, onde observamos que as caudas vão se formando a medida que o tempo se aproxima do

tempo crítico tc. Tal fenômeno ocorre porque o processo em cascata de energia faz com que para

tempo um crítico �nito ocorra uma singularidade que está diretamente associada a formação de uma

cauda de lei de potência.


Como foi comentado em seções anteriores, observamos que quanto mais a solução se

aproxima do tempo considerado tempo crítico tc, mais a transformada de Fourier adquire a

chamada cauda de lei de potência ∼ 1/k.

Na �gura abaixo temos um outro caso onde temos um estado inicial de Gauss em

vez de senoidal e sua evolução temporal.

0,0010

3,30

103,60

103,78

103,90

x0

u

u0 = e

-x 2 Time

Figura 5.3: Condição gaussiana inicial em preto e sua evolução temporal em vermelho até o ponto

de quebra.

E na �gura a seguir temos o valor absoluto da transformada de Fourier para o caso

da gaussiana. Novamente observamos um comportamento semelhante como o da condição

inicial senoidal mostrada anteriormente.


102

103

k

10-1

100

101

|û|

β = -1

β

Figura 5.4: Temos aqui novamente a magnitude da transformada de Fourier, e novamente percebe-

mos a formação de uma cauda de lei de potência.

Percebemos novamente a formação de uma cauda de lei de potência como no exemplo

anterior e além disso, vemos que a inclinação da decomposição de lei de potência aqui é muito

semelhante ao da (�gura 5.2) mostrada anteriormente.

Para o novo caso a seguir temos uma função do tipo triangular onde ela mostra

novamente um estado dito como inicial na cor preta e novamente sua evolução subsequente

no tempo.


010

310

410

410

4

x0

u

u0 = e

-|x| Time

]Aqui temos a condição simétrica inicial na forma u0 = exp[−|x|].

E na �gura a seguir temos o valor absoluto da transformada de Fourier para o caso

da condição triangular mostrada anteriormente.


102

103

k

10-14

10-11

|û|β

β

β = -4/3

β = -2

]Aqui temos a transformada de Fourier da condição triangular até o momento exato antes da

quebra. Neste caso notamos uma diferença com relação aos valores mostrados anteriormente. A

transformada de Fourier inicial tem uma pré-existência de cauda de lei de potência onde a

inclinação da cauda muda com o decorrer do tempo levando até o tempo tc.

Notamos que a transformada de Fourier não está decaindo rapidamente mesmo para

a condição dita como inicial, isto é, não existe um declínio assintótico antes do tempo tc. No

entanto o expoente da lei de potência claramente muda a medida que nos aproximamos do

tempo crítico tc.

No entanto, o principal resultado que obtivemos aqui é que para tempos críticos tc,

o valor absoluto da transformada de Fourier decai como ∼ kα, com α nunca menor do que 1.


5.2 Resultados analíticos

Somos incapazes de obter expressões de forma fechada quando integrarmos analiti-

camente as condições iniciais anteriormente citadas. Com isso, a �m de avançar nos estudos

analiticamente consideremos a condição triangular inicial dada por:

u0(x) =

0, |x| > 1

x+ 1, −1 ≤ x ≤ 0

1− x, 0 < x ≤ 1

(5.1)

Temos que esta condição inicial não é muito boa, no entanto, há precisamente três

pontos singulares das quais dois são estacionários no tempo. Em qualquer outro lugar a

condição inicial é suave como pode ser vista na �gura de condição triangular abaixo:

-2 -1 0 1 2

x

0

1

u

Figura 5.7: Condição triangular inicial.


Para condições subsequentes ao tempo 0 < t < t temos que sua solução será:

u(x, t) =

0, |x| > 1

x+11+t

, −1 ≤ x ≤ t

1−x1−t , t < x ≤ 1

(5.2)

Temos que a solução se quebra claramente para tempos abaixo de tc = 1 como mostra a

�gura a seguir

-2 -1 0 1 2

x

0

1

u

Time

Figura 5.8: Aqui temos sua solução para momentos posteriores no tempo. Esta condição inicial

pode ser exatamente solucionável porque é linear por partes. Iremos explorar sua solução exata a

�m de estudar com mais detalhes o processo das cascatas de energia.

A transformada de Fourier de u no momento exato antes da quebra será:

u(k, t) =

∫ t−1eikx

(x+1t+1

)dx+

∫ 1

teikx

(1−x1−t

)dx

√2π

=e−ik + eik − 2eikt − t(e−ik − eik)√

2π (t2 − 1)k2(5.3)


Onde tomando o valor absoluto temos:

|u(k, t)| =∣∣(1− t) + (1 + t)e2ik − 2eik(1+t)

∣∣√

2π |t2 − 1| k2(5.4)

Notamos que para o tempo t = 0 o decaimento da transformada de Fourier será do

tipo:

|u(k, 0)| ∼ k−2 . (5.5)

No entanto para o momento crítico t = tc = 1 a transformada de Fourier torna-se:

|u(k, tc)| =√

1 + 2k2 − 2cos(2k)− 4kcos(k)sin(k)

2k2√π

(5.6)

∼ k−1 (5.7)

Portanto temos que a solução exata nos permite ver exatamente como procede o

processo em cascata. Para um tempo inicial t = 0, a transformada de Fourier decai com

o inverso do quadrado. Notamos que ela não decai tão rapidamente devido aos três pontos

singulares da condição triangular inicial. No entanto com o passar do tempo, a lei de potência

do inverso quadrado de 1/k2 dá lugar a uma lei de potência inversa de 1/k. Como é que a lei de

potência de 1/k2 muda ao longo do tempo para uma lei de potência de 1/k? Intuitivamente

espera-se que que o processo em cascata redistribua as energias para as frequências mais

altas, de modo que um �crossover� se forme entre os dois regimes de escala que separa o

comportamento de 1/k2 do comportamento de 1/k, com o último regime eventualmente

completando e substituindo o antigo regime no momento crítico tc.

Com efeito, esta intuição poderá ser correta como podemos ver nas �guras a seguir.


10 20 30 40k

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

ÈûÈ

t=1

t=0.8

t=0

Figura 5.9: Esta �gura mostra a magnitude da transformada de Fourier de soluções correspondentes

a �gura (5.8) mostrada para três tempos diferentes. Estas são soluções consideradas exatas dadas

pelas equações (5.4) e (5.6), onde claramente se percebe que a transformada de Fourier torna-se mais

larga com o tempo, onde para o tempo inicial t = 0 o decaimento é do tipo k−2, mas para o tempo

de quebra tc o decaimento é do tipo k−1. Este alargamento da transformada é devido justamente

à cascata de energia.

Temos que a �gura anterior representa gra�camente a transformada de Fourier de

u em momentos subsequentes no tempo. Nela observamos que a mudança da escala em

�crossover� é claramente visível. O fato da solução (5.4) ser exata nos fornece uma forte

credibilidade para os resultados mostrados na �gura a seguir.


0 5 10 15 20 25 30

-40

-20

00 5 10 15 20 25 30

-40

-20

0

-40

-20

0

-40

-20

0

-40

-20

0

-40

-20

0

0 5 10 15 20 25 30

-40

-20

0

0 5 10 15 20 25 30

-40

-20

0

Log k

Lo

g |û

|

t=0 t=tc-10

-2

t=tc-10

-5t=t

c-10

-9

t=tc-10

-10

t=tc-10

-11

t=tc-10

-12t≈t

c

|û|~k-2

|û|~k-1

crossovercrossover

crossover

crossover crossover

crossover

Figura 5.10: Magnitude da transformada de Fourier |u(k)| versus k em escala log log para várias

ocasiões de t da solução mostrada anteriormente. A escala crossover entre 1/k2 e 1/k nos regimes de

escala aumentam a medida que o tempo se aproxima do tc. Tais �guras foram construídas utilizando

os valores da solução exata da equação (5.4), onde assim podemos descartar erros numéricos ou

artefatos. O deslocamento progressivo do crossover mostra que a medida que o tempo se aproxima

do tc, o processo de cascata vai formando a singularidade.

Capıtulo 6Discussão dos resultados e algumas conclusões

Veri�camos que através das soluções da equação de Burger não-viscosa em 1-D e

da técnica transformada de Fourier, pudemos analisar detalhadamente a formação da cauda

de lei de potência no espectro de energia. Vimos que a singularidade resultante possui uma

simetria bem de�nida, onde observamos que para a existência de um tempo critico tc a

magnitude da transformada de Fourier decai como lei de potência do tipo ∼ 1/k.

Vimos também que as normas L2 de u e de u são conservadas, onde signi�ca dizer

que u decai rapidamente quanto ∼ k−1/2. No entanto o decaimento inicialmente observado de

∼ 1/k para um momento exato de �quebra� da onda é muito mais rápido do que o decaimento

∼ k−1/2, onde sendo assim temos que a condição imposta inicialmente ub(x) = u(x, tc) é

solução para o primeiro momento do tempo de quebra observado. Com isso temos que o

valor absoluto da transformada de Fourier apresenta uma cauda de lei de potência que é

delimitada por 1/k.

Em resumo estudamos o decaimento da magnitude da transformada de Fourier como

lei de potência de soluções na presença de tempos críticos, onde percebemos que a energia

cinética evolui no tempo fazendo com que o valor absoluto da transformada de Fourier de u

adquira cauda de lei de potência delimitada por 1/k no tempo critico exato tc. Tal fenômeno

se atribui às cascatas de energia que faz com que a energia cinética presente nas escalas es-

paciais maiores de frequências mais baixas se redistribua para escalas menores de frequências

mais elevadas em tempos cada vez mais rápidos, onde na presença de um limite crítico a

cascata de energia resulta se em uma singularidade decaindo assim como lei de potência.

48

Capítulo 6. Discussão dos resultados e algumas conclusões 49

6.1 Possíveis aplicações na indústria do petróleo

Sabemos que o conhecimento prévio do reservatório de petróleo é essencial para o

sucesso da operação. Aplicar o estudo da física dos sistemas complexos na indústria do

petróleo é algo altamente motivante, pois as teorias atualmente utilizadas como estudos mais

especí�cos da dinâmica de �uidos em meios porosos, teoria da Percolação, estudo dos fractais,

dentre outros, nos fornecem informações importantes quando queremos obter um maior índice

de precisão nos dados do campo estudado.

O estudo dos �uidos vem ganhando destaque nas mais diversas áreas da ciência, pois

quando se consegue obter bons resultados existe um vasto campo de aplicações e com isso, a

possibilidade de aplicações na indústria do petróleo seria evidente. Estudar a instabilidade

provocada por �uidos viscosos ou não-viscosos pode ser a chave para um entendimento futuro

do comportamento dos �uidos em meios com alto grau de desordem, como é o caso de

um reservatório de petróleo, onde situações de alta instabilidade de �uidos ocorrem com

frequência e neste caso são bastante comuns.

Uma situação semelhante é quando um �uido é injetado em um reservatório de

petróleo para efetuar a recuperação do hidrocarboneto onde as instabilidades ocorrem com

frequência quando se tem altas taxas de injeção desse �uido. Consequentemente o fato das

altas taxas de injeção podem fazer com apareçam turbulências no interior do reservatório,

aumentando assim o grau de �utuações em todas as escalas [34]. Com isso, os �uxos laminares

no meio poroso podem ser induzidos à formação de vórtices de todos os tamanhos na passagem

pelo meio poroso, onde tal fenômeno acontece com frequência quando queremos aumentar a

performance da recuperação de óleo e as paredes da estrutura porosa do meio apresentam

arestas, cavidades irregulares e abertas assemelhando-se assim a uma estrutura fractal [35].

Capıtulo 7Considerações �nais

Na engenharia de petróleo sabemos que é extremamente importante coletar o máximo

de informações possíveis sobre o �uxo de petróleo e sobre o meio em que o petróleo se encontra.

Obter o máximo de informações possíveis sobre a instabilidade do �uxo de petróleo é algo

que proporciona uma parcela signi�cativa no melhoramento da análise dos reservatórios de

petróleo.

Estudos envolvendo hidrodinâmica em meios porosos vem sendo cada vez mais es-

tudados pela comunidade cienti�ca atual pois sabemos que a mínima parcela de resultados

obtidos podem nos levar a obter inúmeras informações que podem ser devidamente apli-

cadas não só na engenharia mais também nas mais diversas ciências [11]. No nosso caso,

apesar de estudos como percolação e hidrodinâmica de �uidos exclusivamente voltados para

aplicações na indústria terem surgido nas últimas décadas, tem se obtido ótimos resultados

que ajudaram e muito não só na caracterização de poços más também na recuperação de

petróleo.

O que se espera é que os conhecimentos aqui obtidos venham a ser utilizados para a

criação de novos trabalhos e aplicações futuras, e que venham incentivar na criação de novas

técnicas que ajudem na investigação do comportamento do �uxo em meios desordenados

como é o caso de reservatórios de petróleo, a �m de se obter avanços signi�cativos para o

desenvolvimento da indústria do petróleo.

50

Referências Bibliográ�cas

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51

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