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Complemento Matemático 04 – Ciências da Natureza I

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Física - Ensino Médio

Material do aluno

A Trigonometria é a parte da Matemática que estuda os triângulos e seus elementos, como ângulos, lados e alturas. Atualmente ela não fica limitada ao estudo dos triângulos. E podemos observar a presença de aplicações da trigonometria em outras áreas do conhecimento como na Física, música, engenharia e medicina por exemplo.

Muitos problemas cuja solucão pode estar associada à determinação de um elemento de um triângulo têm sua resolução atendida pela trigonometria. Por exemplo, em muitas profissões necessita-se usualmente determinar algumas distâncias que chamamos de distâncias inacessíveis. Reflita sobre as situações abaixo:

Um navio precisa determinar a que distância se encontra da praia.

Um engenheiro na praia vê o navio e precisa determinar sua distância até uma ilha próxima.

Um arquiteto precisa determinar a largura de um rio e a altura de uma montanha por onde passará uma ponte.

Há mais de 2.000 anos os gregos utilizando relações trigonométricas determinaram o raio da Terra.

Como os astrônomos, no passado, determinavam a distância da Terra à Lua?

Estas e outras situações podem ser resolvidas fazendo uso das relações trigonométricas. Para entendermos melhor o que são essas relações trigonométricas vamos dar uma olhada no triângulo retângulo (triângulo BAC) abaixo:

Nomeando os elementos do triângulo BÂC, temos:

a = hipotenusa

b = cateto

b = cateto

= ângulo agudo (alfa)

= ângulo agudo (beta)

Â = ângulo reto

A partir da nomeação acima, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: 1) Seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e

a medida da hipotenusa.

sen = cateto oposto = c hipotenusa a

sen = cateto oposto = b hipotenusa a

C c

B

A

b a



Material do aluno

2) Cosseno (cos) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse

ângulo e a medida da hipotenusa. 3) Tangente (tang) de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do

cateto adjacente a esse ângulo. Lembre-se que na linguagem comum, cateto oposto, é o cateto que esta de frente para ângulo, e cateto adjacente, é o cateto que fica ao lado do ângulo. Para cada ângulo foi estabelecido um valor para o seno, o cosseno e a tangente. Na tabela abaixo podemos visualizar esses valores para os ângulos mais comumente utilizados.

ângulo 0o 30o 45o 60o 90o

seno

0

1 = 0,5

2

1

cosseno

1

1 = 0,5

2

0

tangente

__

1

__

Observe que alguns dos valores acima podem ser apresentados na forma de números fracionários ou de números irracionais. No final do volume 2 do livro de Matemática do NovoTelecurso são apresentadas as tabelas trigonométricas com valores de seno, co-seno e tangente para vários ângulos. Na tabela a seguir mostramos outros valores para seno, cosseno e tangente que poderão ser úteis na resolução de exercícios.

cos = cateto adjacente = b hipotenusa a

cos = cateto adjacente = c hipotenusa a

tang = cateto oposto = c cateto adjacente b

tang = cateto oposto = b cateto adjacente c

71,02

2 87,0

2

3

73,13 57,03

3

87,02

3 71,0

2

2



Material do aluno

ângulo sen cosseno tangente

5 0,087156 0,996195 0,087489

10 0,173648 0,984808 0,176327

15 0,258819 0,965926 0,267949

20 0,34202 0,939693 0,36397

25 0,422618 0,906308 0,466308

30 0,500000 0,866025 0,577350

35 0,573576 0,819152 0,700208

40 0,642788 0,766044 0,839099

45 0,707107 0,707107 1,00000

50 0,766044 0,642788 1,191754

55 0,819152 0,573576 1,428148

60 0,866025 0,500000 1,732051

65 0,906308 0,422618 2,144507

70 0,939693 0,34202 2,747477

75 0,965926 0,258819 3,732051

80 0,984808 0,173648 5,671282

85 0,996195 0,087156 11,43005

90 1 0 -

01. Observe a tabela e responda às questões abaixo: a) Qual o valor, aproximado, para o seno de 20º? ______________________________ b) Qual o valor, aproximado, para o co-seno de 70º? ____________________________ c) Qual o valor, aproximado, da tangente de 55º? _______________________________ d) Qual é o ângulo cujo seno vale aproximadamente 0,64? _______________________ e) Qual é o ângulo cujo cosseno vale aproximadamente 0,96? _____________________ f) Qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? ____________________



Material do aluno

30o

100 m

Exercício resolvido Um avião decola com ângulo de 30o com a horizontal. Utilizando as informações da ilustração determine a distância percorrida pelo avião em linha reta e a altura na qual se encontra. d = ? h = ? Para cálculo da distância (d) que o avião percorreu em linha reta e a altura (h) na qual se encontra, visualizemos os triângulos abaixo: Para o triângulo da esquerda temos o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor da hipotenusa. Entre as razões, seno, co-seno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é o cosseno. Teremos então: cos 30o = cateto adjacente hipotenusa onde cos 30o = 0,87, cateto adjacente = 100 e hipotenusa = d cos 30o = 100 d

100 m

30o

d = ?

h = ?

100 m

30o

hipotenusa

cateto adjacente

30o



Material do aluno

0,87 = 100 d

0,87.d = 100 d = 100 d 115m 0,87 No caso do triângulo da direita temos também o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor do cateto oposto. Entre as razões, seno, cosseno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é a tangente. Teremos então: tang 30o = cateto oposto cateto adjacente onde tang 30o = 0,57, cateto adjacente = 100 e cateto oposto = h tang 30o = h 100 0,57 = h 0,57.100 = h h = 57m 100 Propomos agora alguns exercícios para você aprofundar seus estudos: 02. Determine os valores solicitados nas figuras abaixo. a) b)

cateto oposto

30o

cateto adjacente

b = ?

a = ?

4

30o

8

x = ?

60o

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

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Material do aluno

c) d) 03. Na figura abaixo podemos observar um menino soltando uma pipa. O vento permite que o

fio fique esticado fazendo com a horizontal um ângulo de 55o. Considerando que as mãos do garoto estão a uma altura de 1,70m do chão, a que altura está a pipa quando se

desenrolar 50m de fio? (Adote sen 55o 0,82; cos 55o 0,57; tang 55o 1,43.) _____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

40o

x = ?

10

t = ? 20 80o

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

50 m

55o

1,70 m

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

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Material do aluno

04. Um alpinista pretende escalar a encosta de uma montanha. Ele se afasta horizontalmente

80m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 60o com o plano horizontal. Considerando que o alpinista tem uma altura de 1,80m, qual a altura da encosta.

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

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05. Uma homem parte da posição A vai até a posição B e logo em seguida dirige-se para a posição C. Calcule a distância entre os pontos de partida e de chegada. (Adote sen 35o = 0,57 ; cos 35o = 0,82)

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

60o

35o A

C

B

15 m

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_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

___________



Material do aluno

Resolução dos exercícios 01. Observando a tabela teremos:

a) seno de 20º 0,34

ângulo sen cos tangente

20 0,34202 0,939693 0,36397

b) co-seno de 70º 0,34


70 0,939693 0,34202 2,747477

c) tangente de 55º 1,42


55 0,819152 0,573576 1,428148

d) observe que o valor 0,64 que está na coluna do seno está na linha do ângulo de 40º.


40 0,642788 0,766044 0,839099

e) qual é o ângulo cujo co-seno vale aproximadamente 0,96? 15º


15 0,258819 0,965926 0,267949

f) qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? 85º


85 0,996195 0,087156 11,43005

02. a)

Cálculo da medida a

cateto oposto ao ângulo de 30o = a hipotenusa = 4 Para o cálculo da medida a utilizaremos a razão seno.

sen 30o = cateto oposto hipotenusa

a = ?

4

30o



Material do aluno

0,5 = a 4 a = 0,5. 4 a = 2

Cálculo da medida b cateto adjacente ao ângulo de 30o = b hipotenusa = 4

Para o cálculo de b utilizaremos a razão cosseno.

cos 30o = cateto adjacente hipotenusa

0,87 = b 4 b = 0,87.4

b 3,5 b) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 60o e lado adjacente ao ângulo de 60o.

Trabalharemos com a razão tangente.

tang 60o = cateto oposto cateto adjacente

1,73 = 8 x

1,73.x = 8 x = _8_ x = 4,6 1,73

c) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 40o e hipotenusa. Pelas informações

fornecidas utilizaremos a razão seno. Utilizando uma tabela trigonométrica1 temos que sen

40o 0,64.


0,64 = x 10 x = 0,64.10 x = 6,4

8

x = ?

60o

40o

x = ? 10

b = ?

4

30o



Material do aluno

d) A ilustração fornece: ângulo, lado adjacente ao ângulo de 80o e hipotenusa. Pelas

informações fornecidas utilizaremos a razão co-seno. Novamente utilizando a tabela

trigonométrica temos que cosseno 80o 0,17.

cosseno 80o = cateto adjacente hipotenusa

0,17 = _t_ 20 t = 0,17.20 t = 3,4

03. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) na qual o pipa se

encontra será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 55o com o valor 1,70m.

h = x + 1,7

Utilizando a razão seno no triângulo retângulo da figura teremos:

sen 55o = 0,82 cateto oposto = x

hipotenusa = 50


0,82 = x 50 x = 0,82.50 x = 41 m A altura será de:

h = 41 + 1,7 h = 42,7 m

t = ? 20 80o

1,7 m

x = ?

55o

50 m

h = ?



Material do aluno

04. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) da encosta será dada

pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 60o com o valor 1,80 m (altura do alpinista).

h = x + 1,8 No triângulo retângulo da ilustração trabalhamos com o ângulo de 60º, os lados adjacente e oposto a esse ângulo. Dessa maneira a razão trigonométrica utilizada será a tangente.

tang 60o = cateto oposto cateto adjacente

tang 60o = 1,73 cateto adjacente = 80 cateto oposto = x

1,73 = x_ 80

x = 138,4 m

Para a altura da encosta teremos:

h = x + 1,8 h = 138,4 + 1,8 h = 140,2 m

h = ?

1,8 m

80

x

60º



Material do aluno

05. O homem partiu da posição A e chegou na posição C. Chamando a distância AC de x teremos:

ângulo de 35o hipotenusa = 15 lado oposto ao ângulo de 35o = x


0,57 = _x_ 15

x = 0,57.15 x = 8,55m

x

15m

chegada

partida 35º

A

C

B

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