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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Comparação de Técnicas de Problemas

Inversos em Transferência de Calor

Autor: Cristiano Pedro da Silva

Orientador: Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva

Co-Orientadora: Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva

Itajubá, 03 de Novembro de 2011










Curso: Mestrado em Engenharia Mecânica

Área de Concentração: Conversão de Energia

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como

parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Mecânica.

Itajubá, 03 de Novembro de 2011

M.G. – Brasil

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mauá – Bibliotecária Cristiane Carpinteiro- CRB_6/1702

S586c Silva, Cristiano Pedro da Comparação de técnicas de problemas inversos em transferência de calor / por Cristiano Pedro da Silva -- Itajubá (MG) : [s.n.], 2011. 100 p. : il. Orientador : Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva. Coorientadora : Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Itajubá. 1. Problemas inversos. 2. Condução de calor. 3. Estimação de fluxo de calor. 4. Métodos numéricos e experimentais. I. Silva, Sandro Metrevel- le Marcondes de Lima e, orient. II. Silva, Ana Lúcia Fernandes de Lima e, coorient. III. Universidade Federal de Itajubá. IV. Título.










Composição da Banca Examinadora:

Prof. Dr. Frederico Romagnoli Silveira Lima - CEFET/MG Prof. Dr. Genésio José Menon - IEM/UNIFEI Profa. Dra. Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva (Co-Orientadora) – IEM/UNIFEI Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva (Orientador) – IEM/UNIFEI

Dedicatória

Aos meus pais, Antônio e Maria.

Às minhas sobrinhas, Haryadine e Sofia.

Aos meus irmãos, Clayton e Cléber.

Aos meus avós, Juvenal (in memoriam), Eleonora (in memoriam), Jorge (in memoriam)

e Ernestina (in memoriam).

Às minhas cunhadas, Eva e Sônia.

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais, Antônio e Maria e à minha família pelo apoio recebido durante

o tempo de desenvolvimento deste trabalho.

Ao professor Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva, pela orientação clara,

segura e objetiva e pelo apoio durante a elaboração do trabalho.

À Professora Ana Lúcia Fernandes de Lima e Silva, pela sua ajuda na co-orientação

desse trabalho.

À Professora Zilma Moura de Castro pelo apoio e ajuda durante o desenvolvimento

desse trabalho.

Aos amigos Luís Felipe, Carlos Adriano, demais membros do LabTC, Rodrigo

Albuquerque, Tiago Rocha, Daniel Alem, Rogério Junqueira, membros da Pastoral

Universitária e do grupo de Acólitos Santos Anjos, membros da República Alcatraz e demais

colegas do curso de Pós-Graduação pelo companheirismo.

Aos funcionários da Oficina Mecânica pela usinagem das amostras.

Ao curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica pela confiança depositada em

meu trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelo

apoio financeiro através da concessão de uma bolsa de mestrado.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), a

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e ao Conselho de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo suporte financeiro.

Ao coordenador do programa de pós-graduação Rogério José da Silva

Se todos fossem felizes com o que já têm, ainda estaríamos vivendo em cavernas.

Valkaria, RPG Tormenta.

Resumo

SILVA, C. P. (2011), Comparação de Técnicas de Problemas Inversos em Transferência de

Calor, Itajubá, 123 p. Dissertação (Mestrado em Conversão de Energia) - Instituto de

Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá.

Em transferência de calor, o uso de problemas inversos permite a estimação do fluxo de

calor na superfície de uma amostra utilizando as temperaturas experimentais obtidas em

diferentes posições da mesma. Neste trabalho o objetivo foi estudar e comparar o processo de

estimação do fluxo de calor em problemas tridimensionais e unidimensionais para as amostras

de aço inox AISI 304 usando diferentes técnicas de problemas inversos. Para isso, a equação

da difusão de calor tridimensional foi resolvida numericamente em coordenadas cartesianas

utilizando o método diferenças finitas para o espaço e o método implícito de Euler para a

discretização no tempo. Também foram implementadas as seguintes técnicas: Seção Áurea,

Brent, Função Especificada, Regularização de Tikhonov e Métrica Variável. Estas técnicas

foram comparadas com relação à análise de precisão e o tempo de processamento gasto para a

estimação do fluxo de calor. A metodologia foi validada com experimentos controlados em

laboratório. Nestes experimentos as amostras foram sujeitas a um fluxo de calor em uma das

superfícies, sendo as demais isoladas. Os sensores de temperatura foram fixados por descarga

capacitiva na mesma superfície próxima a região de aquecimento e no lado oposto ao

aquecimento. Um aquecedor resistivo foi usado para gerar um fluxo de calor constante e

uniforme em uma montagem simétrica. Os fluxos estimados foram comparados com os fluxos

experimentais apresentando uma boa concordância. Os resultados de temperatura obtidos

foram satisfatórios quando comparados com os experimentais, como mostrado pelos baixos

valores dos resíduos de temperatura encontrados.

Palavras-chave

Problemas Inversos, Condução de Calor, Estimação de Fluxo de Calor, Métodos

Numéricos e Experimentais.

Abstract

SILVA, C. P. (2011), Comparison of Inverse Problems Techniques in Heat Transfer, Itajubá,

123 p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de

Itajubá.

In heat transfer, inverse problems allow the estimation of heat flux on the sample

surface. This estimation is made of experimental temperatures obtained at different positions

on the sample. In this work the goal is to study and compare the process of heat flux

estimation in three-dimensional and one-dimensional problems for AISI 304 stainless steel

samples using differents inverse problems techniques. For this the three-dimensional transient

diffusion equation was solved numerically in 3D Cartesian coordinates using the method of

the Finite Differences for space and implicit Euler method for time discretization. It was also

implemented the following techniques: Golden Section, Brent, Specified Function, and

Tikhonov Regularization and Variable Metric. These techniques were compared with respect

to analysis of accuracy and spent processing time to estimate the heat flux. The methodology

was validated with data obtained from controlled laboratory experiments. The samples were

subjected to heat flux on one surface and the others are isolated. The temperature sensors

were fixed by capacitive discharge on the top close to the heater and on the button surface. A

resistive heater was used to generate a constant and uniform heat flux that was obtained from

a symmetrical assembly. The estimated heat fluxes were compared with the experimental heat

fluxes showing a good concordance. The results of temperature were satisfactory with

experimental values as shown by the low residuals of temperature.

Keywords

Inverse Problems, Heat Conduction, Heat Flux Estimation, Numerical and Experimental

Methods.

i

Sumário

SUMÁRIO _________________________________________________________________I

LISTA DE FIGURAS ______________________________________________________ III

LISTA DE TABELAS ____________________________________________________ VII

SIMBOLOGIA __________________________________________________________VIII

LETRAS LATINAS ______________________________________________________VIII

LETRAS GREGAS _______________________________________________________ XI

SOBRESCRITOS ________________________________________________________ XII

SUBSCRITOS ___________________________________________________________XIII

SIGLAS ________________________________________________________________ XIV

CAPÍTULO 1 _____________________________________________________________ 1

INTRODUÇÃO ___________________________________________________________ 1

CAPÍTULO 2 _____________________________________________________________ 4

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA _______________________________________________ 4

CAPÍTULO 3 ____________________________________________________________ 12

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ____________________________________________ 12

3.1 Modelo Térmico 3D ------------------------------------------------------------------------------12

3.2 Solução Numérica --------------------------------------------------------------------------------14

3.3 Função objetivo -----------------------------------------------------------------------------------17

3.4 Técnicas de Problemas Inversos ----------------------------------------------------------------18

3.4.1 Seção Áurea ----------------------------------------------------------------------------------18

3.4.2 Método de Minimização Brent ------------------------------------------------------------20

3.4.3 Métrica Variável ----------------------------------------------------------------------------22

3.4.4 Método de Stolz -----------------------------------------------------------------------------23

3.4.5 Função Especificada ------------------------------------------------------------------------30

3.4.6 Regularização de Tikhonov ----------------------------------------------------------------33

ii

CAPÍTULO 4 ____________________________________________________________ 39

VALIDAÇÃO DAS TÉCNICAS DE PROBLEMAS INVERSOS _________________ 39

4.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------39

4.2 Descrição do Procedimento de Validação -----------------------------------------------------39

4.3 Resultados Obtidos para a Validação ----------------------------------------------------------42

4.3.1 Fluxo Parabólico Sem Erros Aleatórios -------------------------------------------------42

4.3.2 Fluxo Parabólico Com Erros Aleatórios -------------------------------------------------47

CAPÍTULO 5 ____________________________________________________________ 52

MONTAGEM EXPERIMENTAL ___________________________________________ 52

5.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------52

5.2 Descrição da Bancada de Teste -----------------------------------------------------------------52

5.3 Detalhamento da Montagem da Amostra ------------------------------------------------------57

CAPÍTULO 6 ____________________________________________________________ 61

ANÁLISE DE RESULTADOS ______________________________________________ 61

6.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------61

6.2 Modelo Térmico 1D ------------------------------------------------------------------------------62

6.3 Modelo Térmico 3D ------------------------------------------------------------------------------68

CAPÍTULO 7 ____________________________________________________________ 75

CONCLUSÕES ___________________________________________________________ 75

7.1 Proposta para Trabalhos Futuros ---------------------------------------------------------------78

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ________________________________________ 79

APÊNDICE A ____________________________________________________________ 84

VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL IGNIS _______________________ 84

APÊNDICE B ____________________________________________________________ 88

O SOFTWARE IGNIS _____________________________________________________ 88

B.1 Introdução -----------------------------------------------------------------------------------------88

B.2 Descrição da Interface ---------------------------------------------------------------------------89

B.2.1 Caso Unidimensional ----------------------------------------------------------------------90

B.2.2 Caso Tridimensional -----------------------------------------------------------------------97

iii

Lista de Figuras

Figura 3.1 – Modelo térmico tridimensional. ---------------------------------------------------------13

Figura 3.2 – Esquema do balanço de energia. --------------------------------------------------------14

Figura 3.3 – Método da Seção Áurea. ------------------------------------------------------------------18

Figura 3.4 – Exemplo de aproximação parabólica. --------------------------------------------------21

Figura 4.1 – Fluxo de calor parabólico imposto no problema direto. -----------------------------40

Figura 4.2 – Dimensões da Região S. ------------------------------------------------------------------40

Figura 4.3 – Detalhamento das Regiões S1 e S2. ------------------------------------------------------41

Figura 4.4 – Posição da sonda numérica na amostra. ------------------------------------------------41

Figura 4.5 – Temperatura em função do tempo. ------------------------------------------------------42

Figura 4.6 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado pelas técnicas

Função Especificada e Regularização de Tikhonov. -------------------------------------------------43

Figura 4.7 – Comparação das temperaturas para as técnicas Função Especificada e

Regularização de Tikhonov com a temperatura de referência. -------------------------------------43

Figura 4.8 – Resíduos de temperatura percentual para as técnicas Função Especificada e

Regularização de Tikhonov. -----------------------------------------------------------------------------44

Figura 4.9 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as técnicas:

(a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. -----------------------------------------------------------44

Figura 4.10 – Comparação da temperatura de referência com as temperaturas calculadas para

as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------45

Figura 4.11 – Comparação dos Resíduos de temperatura para as técnicas: (a) Seção Áurea e

Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------45





iv



Figura 4.15 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as

técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ------------------------------------------------49

Figura 4.16 – Comparação das temperaturas calculadas para as técnicas: (a) Seção Áurea e

Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------49


Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------50

Figura 5.1 – Esquema da bancada utilizada. ----------------------------------------------------------53

Figura 5.2 – Dimensões das amostras de aço inox AISI 304: (a) experimento unidimensional;

(b) experimento tridimensional. -------------------------------------------------------------------------53

Figura 5.3 – Aquecedor Resistivo: (a) vista superior; (b) vista inferior. --------------------------54

Figura 5.4 – Fonte de corrente contínua Instrutemp. ------------------------------------------------54

Figura 5.5 – Multímetros: (a) Instrutherm; (b) Minipa. ---------------------------------------------55

Figura 5.6 – Pasta Térmica Arctic Silver 5. -----------------------------------------------------------55

Figura 5.7 – Descarga Capacitiva utilizada para soldar os termopares. ---------------------------56

Figura 5.8 – Banho Termostático Marconi. -----------------------------------------------------------56

Figura 5.9 – Aquisição de Dados Agilent e Micro Computador. ----------------------------------57

Figura 5.10 – Esquema da montagem (corte vista superior): (a) experimento unidimensional;


Figura 5.11 – Esquema da montagem (corte vista lateral): (a) experimento unidimensional; (b)

experimento tridimensional. -----------------------------------------------------------------------------58

Figura 5.12 – Esquema da montagem (corte vista frontal): (a) experimento unidimensional;


Figura 5.13 – Posição do termopar na amostra: (a) experimento unidimensional; (b)

experimento tridimensional. -----------------------------------------------------------------------------60

Figura 6.1 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperatura experimental. -----------------------------62

Figura 6.2 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado pelas técnicas Função

Especificada e Regularização de Tikhonov. ----------------------------------------------------------63


Regularização de Tikhonov com a temperatura experimental. -------------------------------------64

v



Figura 6.5 – Janela do Comando Smooth. -------------------------------------------------------------65

Figura 6.6 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado para as técnicas: (a)

Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------------------------66

Figura 6.7 – Comparação da temperatura Experimental com as temperaturas calculadas para



Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------67

Figura 6.9 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperaturas experimentais. ---------------------------69

Figura 6.10 – Comparação do fluxo Experimental com o fluxo estimado pelas técnicas



Regularização de Tikhonov com a temperatura Experimental. ------------------------------------71




Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS. ---------------------------------------------------------------72




Brent; (b) DFP e BFGS. ----------------------------------------------------------------------------------73

Figura A.1 – Esquema do problema térmico simulado. ---------------------------------------------84

Figura A.2 – Comparação entre a temperatura calculada de forma analítica e numérica. ------87

Figura A.3 – Resíduos entre as temperaturas numéricas e analíticas. -----------------------------87

Figura B.1 – Modos de operação do software Ignis: (a) Local; (b) Remoto. ---------------------90

Figura B.2 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso unidimensional. --91

Figura B.3 – Caixa de diálogo para a seleçao do arquivo de fluxo experimental. ---------------91

Figura B.4 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental. --------------------------------92

Figura B.5 – Caixa de diálogo para a seleção do arquivo de temperatura experimental. -------92


Figura B.7 – Caixa de diálogo para o arquivo de propriedades da amostra.----------------------93

vi


Figura B.9 – Caixa de diálogo onde os cálculos efetuados serão salvos. -------------------------94

Figura B.10 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat. -------------------------------------------95

Figura B.11 – Comparação entre o fluxo de calor estimando e o experimental. -----------------95

Figura B.12 – Comparação entre a temperatura calculada e temperatura experimental. -------96

Figura B.13 – Resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de calor

experimental. ----------------------------------------------------------------------------------------------96

Figura B.14 – Resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a experimental. ------------97

Figura B.15 – Tempo gasto de processamento. -------------------------------------------------------97

Figura B.16 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso tridimensional. -98

Figura B.17 – Caixa de diálogo para o arquivo dos coeficientes de sensibilidade. --------------98

Figura B.18 – Exemplo de arquivo de coeficientes de sensibilidade. -----------------------------99

Figura B.19 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat gerado no caso tridimensional. ------99

Figura B.20 – Comparação entre o fluxo de calor estimado e experimental para o caso

tridimensional. ------------------------------------------------------------------------------------------- 100

Figura B.21 – Resíduos porcentuais entre o fluxo de calor estimado e experimental para o

caso tridimensional. ------------------------------------------------------------------------------------- 100

vii

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. -------------------46


Tabela 6.1 – Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação. ------------------68


viii

Simbologia

Letras Latinas

a Limite de coordenada cartesiana em x m

b Limite de coordenada cartesiana em y m

B Vetor de variáveis utilizado por DFP e BFGS

c Limite de coordenada cartesiana em z m

cp Calor específico J/(KgK)

D Matriz simétrica utilizada por DFP e BFGS

'dv Elemento diferencial de volume m3

'lds Elemento diferencial de área na superfície Sl m2

τd Elemento diferencial de tempo s

eE& Taxa de energia de entrada W

sE& Taxa de energia de saída W

gE& Taxa de energia gerada internamente W

acE&

Taxa de energia acumulada W

F∇r

Gradiente da função

F Função de uma variável a ser minimizada por Seção Áurea e Brent

F1 Valor da primeira estimação de mínimo da Seção Áurea

F2 Valor da segunda estimação de mínimo da Seção Áurea

ix

Fa Valor da função no primeiro ponto utilizado pelo método Brent

Fb Valor da função no segundo ponto utilizado pelo método Brent

Fc Valor da função no terceiro ponto utilizado pelo método Brent

Fi Condição inicial utilizada pelo método de Stolz °C

Fl Valor inferior obtido pela Seção Áurea

fl Condição de contorno utilizada pelo método de Stolz

Fu Valor superior obtido pela Seção Áurea

Func Funcional utilizado na Função Especificada

Functik Funcional utilizado na Regularização de Tikhonov

g Geração de calor interna W/m3

G Função de Green

H Matriz de regularização

M Número de elementos do vetor Y

ln Vetor ortonormal à superfície Sl m

N Número de iterações utilizado pela Seção Áurea

o Vetor utilizado por DFP e BFGS

OBJ Função Objetivo °C2

p Vetor utilizado por DFP e BFGS

P Ponto Central da malha

q"(t) Fluxo de calor variável no tempo uniformemente distribuído pela

superfície Sl W/m2

qB Taxa de transferência de calor por condução no eixo z negativo W

qC Taxa de transferência de calor por condução no eixo z positivo W

qE Taxa de transferência de calor por condução no eixo x positivo W

qN Taxa de transferência de calor por condução no eixo y positivo W

qS Taxa de transferência de calor por condução no eixo y negativo W

cq′′ Fluxo de calor constante aplicado à superfície Sl W/m2

nq′′ Aproximação numérica do fluxo de calor variável no tempo

uniformemente distribuído pela superfície Sl W/m2

mq′′ˆ Fluxo de calor estimado W/m2

qW Taxa de transferência de calor por condução no eixo x negativo W

R Aproximação da matriz Hessiana invertida

rr

Vetor posição m

x

'rr

Vetor direção utilizado como variável de integração na solução da

equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green m

r l Vetor direção que varia ao longo da superfície Sl

S Superfície total utilizada na solução da equação da difusão de calor

tridimensional por funções de Green m2

S1 Superfície de fluxo de calor prescrito m2

S2 Superfície isolada m2

Sl Superfície utilizada pelo método de Stolz m2

t Tempo s

T Temperatura calculada °C

T0 Temperatura Inicial °C

tm Aproximação numérica do tempo s

tol Tolerância utilizada pelo método Brent

U Região utilizada na validação do modelo térmico

V Volume total utilizado na solução da equação da difusão de calor

tridimensional por funções de Green m3

x Coordenada Cartesiana m

X Variável a ser minimizada por Seção Áurea e Brent

X1 Primeiro ponto de tentativa de mínimo da Seção Áurea

X2 Segundo ponto de tentativa de mínimo da Seção Áurea

Xa Primeiro ponto utilizado pelo método Brent

Xb Segundo ponto utilizado pelo método Brent

Xc Terceiro ponto utilizado pelo método Brent

Xl Limite inferior utilizado pela Seção Áurea

xq Fronteira da superfície de fluxo prescrito em x m

Xu Limite superior utilizado pela Seção Áurea

y Coordenada Cartesiana m

Y Temperatura experimental °C

yq Fronteira da superfície de fluxo prescrito em y m

z Coordenada Cartesiana M

xi

Letras Gregas

α Difusividade térmica m2/s

β Escalar utilizado por DFP e BFGS

γ Limite superior utilizado pela fórmula de Leibniz

δ Delta de Kronecker

∆t Incremento de tempo s

∆x Incremento da malha no eixo x m

∆X Tolerância absoluta utilizada na Seção Áurea

∆y Incremento da malha no eixo y m

∆z Incremento da malha no eixo z m

∆τ Incremento de tempo usado como variável de integração s

ε Tolerância relativa utilizada na Seção Áurea

κ Escalar utilizado por DFP e BFGS

λ Condutividade térmica W/(mK)

ξ Parâmetro utilizado na solução da equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green

ρ Massa específica Kg/m3

ς Escalar utilizado por DFP e BFGS

σ Escalar utilizado por DFP e BFGS

τ Variável de integração no tempo utilizada na solução da equação da difusão de calor tridimensional por funções de Green s

ϕ Limite inferior utilizado pela fórmula de Leibniz

φ Função utilizada pelo teorema de Duhamel

Φ1(t) Fluxo de calor prescrito W/m2

χ Matriz dos coeficientes de sensibilidade

ψ Parâmetro de regularização

ω Constante utilizada na Seção Áurea

xii

Sobrescritos

' Relativa à matriz transposta

″ Relativo a fluxo

→ Relativa a vetor

Relativo a matriz coluna

Relativo a matriz quadrada

futuro Relativo à iteração futura

novo Relativo à iteração atual

Nsens Relativo ao número de sensores de temperatura experimental

p Relativo à discretização temporal

r Relativo a tempos futuros

velho Relativo à iteração anterior

∧ Relativo à Estimação

-1 Relativo a matriz inversa

xiii

Subscritos

ac Relativo à acumulação

B Relativo a fundo

C Relativo a topo

d Índice relativo aos sensores de temperatura experimental

e Relativo à entrada

E Relativo a leste

g Relativo à geração interna

i Índice relativo ao eixo x

j Índice relativo ao eixo y

k Índice relativo ao eixo z

l Relativo à superfície Sl

m Relativo à aproximação numérica do tempo

N Relativo a norte

n Relativa à aproximação numérica

q Relativo à superfície de fluxo prescrito

r Relativo a tempos futuros

s Relativo à saída

S Relativo a sul

W Relativo a oeste

xiv

Siglas

BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

DFP Davidon-Fletcher-Powell

DOT Design Optimization Tools

GBytes 230 Bytes de armazenamento de informação

GHz 109 ciclos de processador por segundo

GNU GNU’s Not Unix

MSIP Modified Strongly Implicit Procedure

RAM Memória de acesso aleatório

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

O uso de problemas inversos abrange grandes áreas do conhecimento humano. Em

medicina é utilizado em tomografia computadorizada, onde a reconstrução de propriedades

físicas é realizada a partir de dados de sensores que captam informações provenientes do

corpo do paciente. No campo petrolífero, esta ferramenta é de grande auxílio na identificação

de possíveis campos de extração, onde dados provenientes de sensores que captam tremores

sísmicos são utilizados para construir uma imagem tridimensional da jazida. A descoberta de

falhas na camada de ozônio, escudo natural do planeta contra as perigosas radiações solares,

veio de imagens elaboradas a partir de dados coletados em diversas estações climatológicas

espalhadas pelo mundo. Em engenharia de alimentos é feito um estudo, principalmente em

frutas, de dados coletados como temperatura e umidade, para se determinar o tempo de

conservação e o dimensionamento da câmara de conservação. Com o desenvolvimento de

computadores pessoais mais potentes em termos de processamento, o calor dissipado por estes

processadores tornou-se mais intenso, obrigando a indústria a desenvolver trocadores de calor

mais eficientes. No projeto destes trocadores pode-se utilizar problemas inversos para estimar

o coeficiente de dissipação de calor, que deve ser o mais elevado possível. Na indústria

automobilística, o estudo das vantagens que um motor construído de alumínio teria sobre um

motor construído de ferro fundido foi realizado tendo como principal ferramenta o uso de

problemas inversos. O desenvolvimento de trocadores de calor e de motores são exemplos do

uso de problemas inversos aplicados em transferência de calor. De modo geral, os parâmetros

que podem ser estimados por problemas inversos são as propriedades térmicas de um dado

2

material, o coeficiente de transferência de calor por convecção e o fluxo de calor. Pode-se

também aplicar problemas inversos em processos de fabricação, tais como usinagem e

soldagem. No processo de usinagem, o uso de problemas inversos é comum para a estimação

da temperatura em que se encontra a ponta da ferramenta de corte. A medição direta da

temperatura por sensores se torna complicada devido ao movimento giratório da ferramenta,

impossibilitando o uso de termopares, e à liberação de cavacos, que torna a medição por

radiação comprometida. A temperatura da ferramenta de corte influencia a sua vida útil e um

melhor controle dos parâmetros de usinagem, como velocidades de avanço e de corte,

possibilita um aumento de produtividade e menores custos de produção. No processo de

soldagem, se o aporte de calor entregue pela tocha for excessivo, haverá empenamentos e

deformações, inutilizando a peça produzida e trazendo prejuízos. Quando se solda aços

inoxidáveis, há um limite de temperatura pré-estabelecido, que se for ultrapassado faz com

que o aço perca suas propriedades inoxidáveis e se torne passivo de corrosão a longo prazo, o

que seria um problema.

O objetivo principal do presente trabalho foi desenvolver uma ferramenta numérica

para ser utilizada em problemas inversos em transferência de calor. Assim, o fluxo de calor

imposto em amostras de aço inoxidável AISI 304 foi estimado, utilizando técnicas de

problemas inversos.

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica que teve por objetivo reunir

informações suficientes para que fosse possível o desenvolvimento da metodologia do uso de

problemas inversos em transferência de calor.

No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórica utilizada em problemas inversos.

O modelo térmico utilizado foi o de difusão do calor tridimensional com condição de fluxo

prescrito na superfície superior e todas as demais superfícies isoladas. A solução desta

equação de difusão foi obtida pelo método das diferenças finitas com formulação implícita

para a discretização temporal. Apresenta-se também as técnicas de problemas inversos Brent,

Seção Áurea, DFP, BFGS, Função Especificada e Regularização de Tikhonov. São mostradas

as definições dos coeficientes de sensibilidade utilizados nas técnicas Função Especificada e

Regularização de Tikhonov, assim como a definição da função erro utilizada para as demais

técnicas de problemas inversos.

3

O Capítulo 4 apresenta a validação da metodologia proposta na estimação de um fluxo

calor parabólico, previamente conhecido, aplicado em um problema térmico tridimensional, a

partir de dados simulados de temperatura com erros aleatórios.

No Capítulo 5 apresenta-se a montagem experimental desenvolvida para estimar o fluxo

de calor em amostras de aço AISI 304. A descrição de cada componente desta bancada e o

detalhamento do conjunto amostras-aquecedor-isolamento são também apresentados.

No Capítulo 6 encontra-se a análise de resultados para o aço inox AISI 304. Nesse

Capítulo foram aplicados os conceitos e definições mostrados no Capítulo 3. São mostrados

resultados para o fluxo de calor estimado, as distribuições de temperatura e seus resíduos

quando se compara a temperatura numérica com a temperatura experimental. Foi feita uma

comparação do tempo de processamento gasto em cada técnica de problema inverso.

No Capítulo 7 são feitos alguns comentários finais e sugestões para trabalhos futuros

com o intuito de aprimorar a metodologia apresentada neste trabalho.

Capítulo 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Com o desenvolvimento das técnicas de problemas inversos, principalmente devido aos

avanços computacionais, muitas pesquisas em engenharia e em outras áreas têm sido

desenvolvidas. Como exemplo de aplicação destas técnicas na engenharia pode-se citar a

determinação dos campos de temperatura em processos de fabricação como o de soldagem e

usinagem. Nestes processos a obtenção dos gradientes de temperatura e da intensidade e

forma do fluxo do calor é essencial para o estudo dos mesmos. Todavia, o desenvolvimento

de uma metodologia eficiente para a obtenção destas temperaturas e do fluxo de calor não é

uma tarefa fácil. Uma maneira mais realista para o estudo destes processos é através da

aplicação das técnicas de problemas inversos. Assim, neste capítulo é apresentada uma

revisão bibliográfica de alguns trabalhos existentes na literatura mostrando algumas

aplicações destas técnicas de problemas inversos.

Os problemas inversos em transferência de calor fazem o uso das temperaturas medidas

experimentalmente e da equação de difusão de calor para estimar algum parâmetro térmico

desconhecido, que pode ser uma propriedade térmica do material, o coeficiente de

transferência de calor por convecção ou o fluxo de calor. Um dos primeiros trabalhos com o

emprego de problemas inversos em transferência de calor foi apresentado por Stolz (1960).

Nesse trabalho foi mostrado um método para estimar o fluxo de calor prescrito na superfície

de esferas durante o processo de têmpera, tendo a temperatura no interior da amostra como

dado de entrada. Este método também pode ser aplicado para estimar o fluxo de calor em

cilindros e chapas. Stolz (1960) assumiu que as propriedades termofísicas eram constantes,

que não havia geração interna de calor e que o sistema poderia ser tratado como linear, assim

5

pôde-se utilizar o teorema de Duhamel para a elaboração do método. Este método apresentou

bons resultados para uma gama de situações, é de fácil implementação e não exige grande

poder de processamento. Porém, apresentou problemas quando se adicionava ruídos nos

dados de temperatura e quando o intervalo de tempo de amostragem era pequeno, pois os

fluxos de calor calculados poderiam ir a infinito, não representando a realidade física do

problema.

Para corrigir as limitações do método de Stolz foram propostas melhorias, que iniciaram

em Beck (1962), Beck (1968), Beck (1970), Beck (1979), Beck et al. (1982) e terminaram

com a publicação de um livro por Beck et al. (1985). Tais melhorias se basearam no fato de se

trazer para o tempo presente informações de tempos futuros, assim, dessa forma, puderam-se

reduzir os efeitos dos ruídos nos dados de saída. Este método é denominado como Função

Especificada.

Em Beck et al. (1985) os autores utilizaram o teorema de Duhamel, a expansão em série

de Taylor e a otimização por mínimos quadrados na elaboração do método da Função

Especificada. Nesse método, o fluxo atual é calculado utilizando os fluxos anteriores;

considera-se também que os fluxos posteriores são nulos e assume-se um fluxo fictício, que

pode ser constante, linear ou quadrático, sobre certa quantidade de tempos futuros. Este

método apresenta robustez aos ruídos presentes nos dados, é de fácil implementação e não

exige grande poder de processamento.

Beck et al. (1996) compararam diversas técnicas de problemas inversos, dentre as quais

estava presente o método da Função Especificada, utilizando dados experimentais. Estes

dados foram adquiridos a partir de termopares espalhados sobre a superfície da amostra,

oposta ao aquecimento. A montagem era composta por um aquecedor de mica, uma amostra

de compósito de carbono e o isolamento feito de cerâmica. Todas as técnicas apresentaram

uma excelente concordância com o fluxo de calor imposto, cujo valor foi medido durante o

experimento, mas o método da Função Especificada se destacou devido à sua facilidade de

implementação e ao pequeno tempo de processamento quando comparado às demais técnicas

de problemas inversos.

Xianwu et al. (2005) propuseram um método modificado a partir da Função

Especificada visando estabilizar a solução para um problema inverso parabólico de condução

de calor. O método usa passos de tempo que são maiores que os pequenos intervalos

experimentais de amostragem, bem como passos de tempo futuros que são iguais aos

6

intervalos de amostragem. Esta técnica modificada proporciona uma supressão mais rápida do

erro, melhora a estabilidade e precisão atuando com níveis comparáveis de dados truncados e

erros nas medidas de temperatura.

Carvalho et al. (2009) utilizaram a técnica de problema inverso Função Especificada

para estimar o fluxo de calor gerado durante um processo de torneamento. Foi utilizado o

modelo térmico tridimensional implementado pelo método dos volumes finitos. O

experimento consistiu de duas etapas, sendo a primeira realizada com um experimento

controlado. Um fluxo de calor conhecido foi aplicado a uma ferramenta de corte de metal

duro e as temperaturas experimentais foram adquiridas por termopares do tipo K. Nesta etapa,

todas as técnicas apresentaram bons resultados e o resíduo da temperatura experimental com a

temperatura estimada ficou abaixo de 2%. A segunda etapa foi realizada em um processo de

torneamento real. Nesta etapa o resíduo da temperatura estimada pela Função Especificada,

em relação à temperatura experimental, medida em um ponto acessível, ficou acima de 10%.

A razão deste aumento do resíduo de temperatura foi uma mudança nas propriedades

termofísicas da ferramenta de corte durante o processo de usinagem, visto que a temperatura

da região de contato foi próxima a 950 °C.

Outra técnica bastante usada na solução de problemas inversos é a chamada

regularização de domínio inteiro, que foi proposta por Tikhonov e Arsenin (1977), e vem

sendo utilizada em diversos trabalhos, tais como Hensel (1991), Jarny et al. (1991), Özisik

(1993), Alifanov (1994), Özisik e Orlande (2000), Woodbury (2003).

O procedimento proposto por Tikhonov e Arsenin (1977), também conhecido como

Regularização de Tikhonov, utiliza o teorema de Duhamel e otimização por mínimos

quadrados, mas há o acréscimo de um fator linear, que tem como função a atenuação de

ruídos no sinal de temperatura. Este termo aditivo possui diferentes graus de filtragem, que

são popularmente chamados de ordens. Esta técnica é de fácil implementação, mas exige a

inversão de matrizes cujas dimensões estão relacionadas com o número de pontos de

amostragem, onde é requerido um grande poder de processamento para se efetuar os cálculos.

Scott e Beck (1989) apresentaram uma junção do método da Função Especificada com a

Regularização de Tikhonov. Esta nova metodologia tem como base matemática o método da

regularização, mas ao invés de estimar todos os fluxos de calor no domínio inteiro, estima-se

um único fluxo de calor usando um pequeno conjunto de temperaturas futuras. Ainda nesse

trabalho foi feito um estudo sobre o efeito da ordem e do parâmetro de regularização nos

7

resultados obtidos. Foram utilizados dados de fluxo de calor imposto gerados por funções

matemáticas. As temperaturas foram calculadas utilizando o modelo térmico unidimensional,

acrescidas de erros randômicos.

Osman et al. (1997) fizeram a combinação do método da Função Especificada com o

método da Regularização de Tikhonov, para aplicações em problemas inversos

bidimensionais. Foi utilizada, como aparato experimental, uma montagem feita com um

aquecedor de mica, uma amostra isolada de compósito de carbono e diversos termopares. Os

termopares foram colocados sobre a superfície da amostra, sendo cinco posicionados sobre a

superfície de aquecimento e dois sobre a superfície junto ao isolamento. Os coeficientes de

sensibilidade e o campo de distribuição de temperatura foram calculados resolvendo a

equação de difusão de calor bidimensional com o emprego do método dos elementos finitos.

Esta combinação de métodos trouxe um baixo tempo de processamento e um grande

amortecimento de ruídos no sinal experimental. Os resultados obtidos de fluxo de calor

imposto com este método apresentaram grande concordância com os dados experimentais.

Os métodos Função Especificada e Regularização de Tikhonov utilizam um funcional a

ser minimizado, dado pela soma do quadrado das diferenças das temperaturas experimentais e

calculadas. Porém, existem várias técnicas de problemas inversos que utilizam outras formas

de minimização deste funcional. Há técnicas que utilizam derivadas como o método do

Gradiente Conjugado, também conhecido como método da direção conjugada, que foi usado

por Orlande e Özisik (1994). Esse trabalho teve como objetivo estimar a condutividade

térmica dependente da temperatura. A validação desta metodologia foi feita usando dados

experimentais simulados de temperatura, ou seja, foram acrescentados erros aleatórios ao

sinal de temperatura calculado numericamente. A temperatura numérica foi obtida a partir da

solução da equação da difusão de calor para um modelo térmico unidimensional, usando

diferenças finitas. Os resultados apresentados pelos autores foram satisfatórios.

Outra técnica que utiliza derivadas é a que se baseia nos métodos da métrica variável.

Neste tipo de solução, emprega-se tanto as derivadas primeiras como as derivadas segundas

para que a melhor solução seja encontrada mais rapidamente, em comparação com o método

do Gradiente Conjugado. No caso de problemas envolvendo muitas variáveis, utiliza-se o

gradiente da função, assim como a matriz Hessiana. Em muitos casos, o cálculo da matriz

Hessiana demanda muito tempo de processamento, desta forma o seu cálculo é feito

utilizando aproximações para o gradiente da função.

8

Pourshaghaghy et al. (2007) fizeram uma comparação entre as técnicas da métrica

variável em um problema inverso de condução de calor unidimensional e isolado. Num

primeiro momento, foram utilizadas temperaturas experimentais simuladas para uma

validação das técnicas em diversos formatos de fluxo de calor imposto. Em outro momento

foram introduzidos erros aleatórios nos dados de temperatura experimental simulada, tendo

como propósito verificar a robustez das técnicas perante situações reais. Os autores

concluíram que todas as técnicas apresentaram excelentes resultados em relação aos pequenos

resíduos de temperatura e ao baixo tempo de processamento gasto.

Em alguns problemas de transferência de calor as condições de contorno são mais

complexas, como por exemplo, em regiões onde os efeitos da radiação e convecção não

podem ser desprezados, e também problemas onde a geometria não pode ser representada por

formas geométricas simples. Em tais situações, o cálculo de derivadas se torna muito

complicado, em razão da complexidade matemática envolvida. Para estes casos, há técnicas

que não necessitam de derivadas para encontrar a melhor solução. Um exemplo é a técnica

Seção Áurea, onde o intervalo de busca da solução se reduz em 62% a cada iteração, até que

os critérios de parada sejam alcançados.

Carvalho et al. (2006) utilizaram o método da Seção Áurea para estimar o perfil de

temperatura durante um processo de torneamento. Foram soldados termopares em lugares

acessíveis no porta-ferramenta e na ferramenta de corte para a aquisição de dados da

temperatura experimental. Foi utilizado o modelo de difusão de calor tridimensional para

estimar a temperatura na zona onde a ferramenta entra em contato com o material a ser

usinado. Nesse trabalho foram estimados vários perfis de temperatura para o conjunto porta-

ferramenta e ferramenta com respeito aos diferentes parâmetros de usinagem.

Para aumentar a velocidade de convergência do método da Seção Áurea, foi feita uma

proposta através da inclusão de uma interpolação parabólica no intervalo de busca, onde o

mínimo da parábola é o primeiro candidato à solução do problema. Se este mínimo não é

aceito, usa-se a seção áurea para estimar a solução nesta iteração. Esta melhoria foi

desenvolvida por Brent e passou a ser chamada por método de minimização Brent (Brent,

1973). Carcione et al. (2001) utilizaram o método de Brent para obter propriedades elásticas e

eletromagnéticas de materiais piezelétricos a partir de dados de impedância obtidos

experimentalmente.

9

A natureza apresenta muitos exemplos de melhores escolhas para a solução de

determinadas situações. Estas escolhas sempre encontram o menor uso de material, por

exemplo, na construção de colméias de abelhas, o menor uso de energia para o transporte de

alimentos em colônias de formigas e outros. A modelagem matemática desses fenômenos

naturais de otimização seria de grande ajuda no desenvolvimento de projetos de engenharia

melhorados. Um grande empecilho para o uso destas técnicas foi o grande poder de

processamento que elas requeriam que durante muitos anos o tempo de processamento gasto

era elevadíssimo por causa da baixa velocidade dos computadores. Hoje em dia, a alta

velocidade dos computadores aliada ao seu baixo custo, tornou viável a implementação de

técnicas baseadas em processos da natureza.

O processo de solidificação é um fenômeno natural de grande complexidade. Se este

processo se desenvolve de forma rápida, o cristal originado terá muitas imperfeições, o que

caracteriza um estado de alta energia. Mas se este mesmo material passar por um processo de

resfriamento demorado, o cristal que se origina possuirá um número menor de imperfeições,

caracterizando um estado de baixa energia. Os cientistas, baseados neste acontecimento,

desenvolveram o método de otimização Simulated Annealing. No trabalho de Colaço et al.

(2006) foi apresentada uma revisão detalhada do método Simulated Annealing, apresentando

sua formulação, funcionamento, aplicabilidade e limitações. Também foram apresentados

alguns exemplos de aplicação deste método em problemas de engenharia.

Gonçalves et al. (2006) apresentaram uma comparação entre as técnicas Simulated

Annealing e Seção Áurea, que foram usadas para estudar o fenômeno térmico que ocorre

durante operações de soldagem. Estas técnicas foram utilizadas para estimar o fluxo de calor

gerado pelo processo de soldagem, bem como a eficiência térmica global e a eficiência de

fusão utilizando um modelo matemático que incluiu a mudança de fase do material de base.

Métodos de otimização baseados em inteligência artificial também têm sido usados na

solução de problemas inversos. Os progressos nessa área têm sido estimulados pela evolução

das ciências matemáticas e da tecnologia computacional. Estas técnicas, baseadas em

inteligência artificial, têm se mostrado promissoras. Um exemplo do uso de redes neurais em

problemas inversos em condução de calor foi apresentado por Dumek et al. (1993).

Raudensky et al. (1995) demonstraram o uso do algoritmo genético para resolver um

problema inverso de condução de calor unidimensional usando dados gerados pela solução do

problema direto correspondente. Dados com e sem ruídos foram considerados, e o método

10

apresentou bons resultados principalmente quando usado juntamente com algoritmos de

regularização. O termo de regularização utilizado para ajustar melhor a solução do problema é

uma analogia discreta da regularização de primeira ordem.

Gonçalves (1999) utilizou a técnica de algoritmo genético para determinar o fluxo de

calor prescrito em uma placa vertical aquecida, sujeita à convecção forçada, em um duto de

ar. Foi utilizada uma sonda para medir a temperatura em diversas posições no interior do duto

de ar, principalmente na região da camada limite. Também foram empregados termopares

para medir a temperatura da placa quente em diversos pontos. Os resultados obtidos foram

bem próximos aos valores utilizados como referência.

Mais recentemente tem-se empregado filtros para a solução de problemas inversos de

transferência de calor. Cita-se neste caso os filtros de Kalman e os observadores dinâmicos de

estado (Sousa, 2009) empregados, por exemplo, nos trabalhos de Tuan et al. (1996) e Park e

Jung (2000). Estes métodos que são baseados na teoria de sistemas dinâmicos e de controle

têm sido usados na reconstrução em tempo real de variáveis desconhecidas do sistema, como

por exemplo, condições de contorno desconhecidas.

No trabalho de Tuan et al. (1996) foi apresentada uma metodologia para a solução de

um problema inverso de condução de calor em tempo real. A metodologia, baseada nas

técnicas de filtragem de Kalman, foi desenvolvida para estimar duas distribuições de fluxo de

calor distintas, aplicadas a duas superfícies de contorno. Um algoritmo de mínimos quadrados

em tempo real é também apresentado e fornece a relação recursiva entre o valor observado do

fluxo de calor desconhecido e o valor teórico do filtro de Kalman.

Park e Jung (2000) desenvolveram um algoritmo recursivo baseado em filtros de

Kalman para resolver problemas inversos em condução de calor. Entretanto, a implementação

direta do algoritmo em problemas com equações diferenciais parciais multidimensionais não é

indicada, devido ao alto tempo de processamento requerido. Como solução desse problema os

autores empregaram o processo Karbunen-loève Galerkin que reduz as equações diferenciais

parciais governantes a um número mínimo de equações diferenciais ordinárias, possibilitando

a aplicação da técnica proposta em problemas multidimensionais.

Esta revisão bibliográfica teve como objetivo tornar claro ao leitor algumas das várias

técnicas de problemas inversos presentes atualmente na literatura, suas principais

características, suas aplicações na solução de problemas de engenharia, principalmente na

11

área de transferência de calor. Neste trabalho algumas destas técnicas de problemas inversos

foram aplicadas para a solução de problemas de condução de calor. Os casos estudados

possuem geometrias cartesianas e condições de contorno idealizadas. A motivação principal

foi desenvolver ferramentas numéricas para problemas práticos, tais como o processo de

usinagem e de soldagem, que poderão ser utilizadas também em trabalhos futuros.

Capítulo 3

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Apresenta-se neste Capítulo o desenvolvimento do modelo térmico para o estudo das

técnicas de problemas inversos. O modelo térmico é descrito através da formulação de um

problema de condução de calor tridimensional que por sua vez contempla o modelo térmico

unidimensional. Também são apresentadas a função objetivo a ser minimizada e uma

descrição detalhada das técnicas de problemas inversos que foram usadas.

3.1 MODELO TÉRMICO 3D

Na Figura 3.1, apresenta-se o modelo térmico tridimensional. Neste modelo uma

amostra plana homogênea de temperatura inicial T0 é sujeita a um fluxo transiente de calor,

Φ1(t), em uma parte da sua superfície superior. Nas demais superfícies da amostra são

impostas condições de contorno de isolamento.

13

Figura 3.1 – Modelo térmico tridimensional.

A equação de difusão de calor que descreve o problema apresentado na Figura 3.1 é

dada por:

( )t

tzyxT

z

tzyxT

y

tzyxT

x

tzyxT

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ,,,1),,,(),,,(),,,(

2

2

2

2

2

2

α (3.1)

A região 0,0,0:),,( 3 czbyaxzyxS ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= é sujeita à condição inicial:

0)0,,,( TzyxT = (3.2)

e às condições de contorno:

( )0,0:),(,

,0,, 211 qq yyxxyxSem(t)Φ

z

tyxT ≤≤≤≤ℜ∈==∂

∂−λ (3.3)

( )

,0:),(

0,:),(,0,0,,

2

22

byyaxyx

yyaxxyxSemz

tyxT

q

qq

≤<≤≤ℜ∈∪

∪≤≤≤<ℜ∈==∂

∂

(3.4)

( )0

,,, =∂

∂z

tcyxT (3.5)

( ) ( )0

,,,,,,0 =∂

∂=∂

∂x

tzyaT

x

tzyT (3.6)

x

yza

b

c

S2S1 Φ1(t)

xq

yq

14

( ) ( )0

,,,,,0, =∂

∂=∂

∂y

tzbxT

y

tzxT (3.7)

sendo x, y, e z as coordenadas cartesianas, t o tempo, Φ1(t) o fluxo de calor imposto, T0 a

temperatura inicial do corpo, S1 a superfície onde o fluxo de calor é aplicado, S2 a superfície

isolada, xq e yq os limites da superfície S1, λ é a condutividade térmica, α é a difusividade

térmica e a, b e c as dimensões da amostra.

3.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA

A temperatura numérica é obtida através da solução da equação da difusão

tridimensional utilizando o Método de Diferenças Finitas com formulação implícita. A

formulação implícita foi utilizada com o intuito de evitar o critério de estabilidade, permitindo

a utilização de qualquer intervalo de tempo. No método implícito é necessário resolver um

sistema linear para a obtenção do campo de temperatura. No presente trabalho foi utilizado o

método Modified Strongly Implicit Procedure (MSIP) (Schneider e Zedan, 1981) que é

baseado em decomposição LU da matriz. A malha utilizada na resolução do problema

numérico foi uma malha uniforme regular de 101 elementos no eixo x, 61 elementos no eixo y

e 71 elementos no eixo z. Estes valores apresentaram resultados satisfatórios no teste de

refinamento de malha. Para este modelo a equação discretizada foi obtida aplicando-se o

balanço de energia para um volume de controle como mostrado na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Esquema do balanço de energia.

W

S

CE

B

Ni,j,k

P

qC

qN

qW

qB

qS

qE

z

x

y

15

O balanço de energia para o caso proposto pode ser representado por:

dt

dEEEEE ac

acgse ==+− &&&& (3.8)

sendo, eE& a taxa de energia de entrada, sE& a taxa de energia de saída, gE& a taxa de energia

gerada internamente e acE& a taxa de energia acumulada.

Como as taxas de energias referentes à saída e a geração interna são nulas, tem-se:

ace EE && = (3.9)

A taxa de energia acumulada é escrita da seguinte forma:

t

TzyxcE pac ∂

∂∆∆∆=ρ& (3.10)

onde ρ é a massa específica do material, cp é o calor específico do material, ∆x, ∆y e ∆z o

incremento da malha em x, y, e z respectivamente.

A taxa de energia de entrada é representada pela seguinte expressão:

CBWESNe qqqqqqE +++++=& (3.11)

onde q é a taxa de transferência de calor por condução incidente no elemento, os índices N, S,

E, W, B e C representam respectivamente as faces do elemento nas direções norte, sul, leste,

oeste, base e cume. Estas taxas podem ser escritas na forma discreta, pelo método de

diferenças finitas, como:

( )y

TTzxq kjikji

N ∆−

∆∆= + ,.,1,λ (3.12)

( )y

TTzxq kjikji

S ∆−

∆∆= − ,.,1,λ (3.13)

( )x

TTzyq kjikji

W ∆−

∆∆= − ,.,,1λ (3.14)

16

( )x

TTzyq kjikji

E ∆−

∆∆= + ,.,,1λ (3.15)

( )z

TTxyq kjikji

B ∆−

∆∆= + ,.1,,λ (3.16)

( )z

TTxyq kjikji

C ∆−

∆∆= − ,.1,,λ (3.17)

sendo kjiT ,. a temperatura no ponto central do elemento de malha, e i, j, k o índice deste

elemento.

A taxa de energia acumulada escrita em formulação implícita pelo método de Euler tem

a seguinte forma:

( )t

TTzyxcE

pkji

pkji

pac ∆−

∆∆∆=−1,,,,ρ& (3.18)

onde p é o tempo atual e ∆t o incremento de tempo.

Reescrevendo a Equação 3.9 substituindo as Equações 3.11 a 3.18, tem-se a seguinte

equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

,,,,222

21,,

21,,

2,,1

2,,1

2,1,

2,1,

222 −

+−+−−+

∆−=

∆+

∆+

∆+

∆−

+∆

+∆

+∆

+∆

+∆

+∆

pkji

ppkji

p

pkji

pkji

pkji

pkji

pkji

pkji

Tt

cT

t

c

zyx

z

T

z

T

x

T

x

T

y

T

y

T

λρ

λρ

(3.19)

A Equação 3.19 pode ser escrita na forma algébrica linear como:

BTATATATATATATA pkjiP

pkjiC

pkjiB

pkjiE

pkjiW

pkjiS

pkjiN =++++++ −++−−+ ,,1,,1,,,,1,,1,1,,1, (3.20)

onde os coeficiente AN, AS, AW, AE, AB, AC, AP e B são definidos de acordo com a Equação 3.19.

A Equação 3.20 é escrita para cada ponto da malha de forma que é possível gerar um

sistema de equações algébricas lineares para determinar o campo de temperatura. Neste

trabalho a solução do sistema linear foi obtida pelo método MSIP (Modified Strongly Implicit

Procedure de Schneider e Zedan, 1981). A escolha do MSIP na resolução do sistema linear foi

17

devido à sua rápida convergência e precisão nos cálculos da distribuição de temperatura em

todos os pontos da malha.

3.3 FUNÇÃO OBJETIVO

Para estimar o fluxo de calor incidente na amostra faz-se necessário utilizar uma função

objetivo de mínimos quadrados definida pela diferença ao quadrado entre a temperatura

experimental e a numérica. A temperatura numérica foi obtida a partir da solução da equação

da difusão calculada de acordo com as condições inicial e de contorno para o modelo térmico

desejado. A função objetivo pode ser representada pela seguinte expressão:

[ ]2),,,(),,,( tzyxTtzyxYOBJ −=

(3.21)

sendo Y a temperatura experimental adquirida pelo sistema de aquisição de dados e T a

temperatura numérica que o fluxo de calor induz na amostra.

Desta forma, sabe-se que o valor ótimo para o fluxo de calor, ou seja, o valor que

minimiza a função objetivo (Eq. 3.21) é o valor do fluxo de calor que se deseja estimar. Para

obter este valor pode-se utilizar técnicas de problemas inversos, sendo no presente trabalho,

utilizadas as técnicas de problemas inversos Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. As técnicas

Função Especificada e Regularização de Tikhonov não fazem uso desta função objetivo, pois

na formulação destas técnicas já se encontra incorporado um processo de minimização do

fluxo de calor.

Este trabalho utilizou-se de bibliotecas computacionais disponíveis no meio científico.

Para as técnicas Seção Áurea e Brent foi utilizada a biblioteca computacional GNU Scientific

Library (Brouwer et al, 2009) versão 1.15, de código aberto, mantida pela Free Software

Foundation, com domínio público garantido pela GNU General Public License. Já para as

técnicas DFP e BFGS foi utilizada a biblioteca computacional MATLAB C Math Library

(Coisson e Allodi, 1997) versão 2.1, de código fechado, mantida pela The MathWorks, Inc.

18

3.4 TÉCNICAS DE PROBLEMAS INVERSOS

3.4.1 Seção Áurea

A Seção Áurea é uma das técnicas mais populares para a estimação de mínimos de

funções de apenas uma variável. Esta técnica possui características que a tornam interessante,

tais como a não necessidade de derivadas contínuas, de possuir taxa de convergência

conhecida e de sua fácil implementação (Vanderplaats, 2005). A seguir um detalhamento

desta técnica é apresentado.

Seja uma função F de uma variável X a ser minimizada assumindo que os limites

inferiores e superiores em X sejam conhecidos por Xl e Xu, respectivamente. Assume-se

também que a função F seja avaliada para cada um desses limites obtendo-se,

respectivamente, Fl e Fu. A Figura 3.3 esquematiza o processo de minimização.

Figura 3.3 – Método da Seção Áurea.

Escolhendo dois pontos intermediários X1 e X2, sendo X1 < X2 e avaliando estes pontos

obtém-se F1 e F2. Uma vez que a função F é unimodal, X1 ou X2 irá formar um novo limite.

Neste caso, se F1 for maior que F2 então X1 será o novo limite inferior, obtendo-se assim um

novo conjunto de limites, X1 e Xu. Sendo F2 maior que F1, X2 será o novo limite superior e Xl e

X2 será o novo conjunto de limites.

Uma forma de se obter uma função para a avaliação de X é considerar uma redução de

limite para cada iteração, ou seja, considerar uma simetria em relação ao centro do intervalo,

de forma a satisfazer a seguinte relação:

XuXl

Fu

Fl

F1

X1

F2

X2

19

lu XXXX −=− 12 (3.22)

Ou ainda pode-se obter X1 e X2 de modo a garantir a seguinte relação:

1

121

XX

XX

XX

XX

ulu

l

−−=

−−

(3.23)

Por conveniência, se adimensionaliza o intervalo de busca fazendo Xl = 0 e Xu = 1, de

modo que os valores de X1 e X2 agora sejam frações do intervalo lu XX − . Admitindo que:

12 1 XX −= (3.24)

e substituindo a Equação 3.24 na Equação 3.23, obtém-se a seguinte expressão simplificada:

013 121 =+− XX (3.25)

cujas soluções são:

61803,2:ª2

38197,0:ª1

1

1

==

XRaiz

XRaiz (3.26)

Excluindo a raiz com valor acima do unitário e empregando a outra raiz na equação

(3.24), obtém-se:

61803,0,38197,0 21 == XX (3.27)

Assim, fazendo a razão entre os valores de X1 e X2, obtém-se:

61803,11

2 =X

X (3.28)

O valor desta fração é conhecido como número áureo. Este valor aparece muitas vezes

na natureza, como uma razão estética, e através da história, onde foi empregado na construção

de palácios e santuários devido a superstições em torno deste número.

Retornando para o intervalo original limitado por Xl e Xu, os valores de X1 e X2 podem

ser definidos por:

ul XXX ωω +−= )1(1 (3.29)

20

ul XXX )1(2 ωω −+= (3.30)

sendo o valor de ω definido como:

38197,02

53 =−=ω (3.31)

Para o método da Seção Áurea, o número de iterações, N, usado durante o procedimento

de minimização é definido por:

3ln078,2 +−= εN (3.32)

onde ε é a tolerância relativa, definida por:

lu XX

X

−∆=ε (3.33)

O valor ∆X é definido como a tolerância absoluta da seguinte forma:

velhonovo XXX −=∆ (3.34)

3.4.2 Método de Minimização Brent

A técnica Seção Áurea é utilizada para encontrar o mínimo de qualquer função, mas há

funções onde a região em que o mínimo se encontra pode ser aproximada por uma parábola.

Esta aproximação parabólica pode ser feita com apenas três pontos e o mínimo desta

aproximação pode ser ou se encontrar bem próximo ao mínimo da função que se deseja

minimizar. Na Figura 3.4 é mostrado um exemplo de aproximação Parabólica.

21

Figura 3.4 – Exemplo de aproximação parabólica.

Como se deseja encontrar um valor na abscissa ao invés de um valor na ordenada, o

procedimento é tecnicamente chamado de interpolação parabólica inversa. A fórmula para a

abscissa X, que é o mínimo da parábola que passa através dos pontos Fa, Fb e Fc, é dada por:

( ) [ ] ( ) [ ]( )[ ] ( )[ ]abcbcbab

abcbcbabb FFXXFFXX

FFXXFFXXXX

−−−−−−−−−−−=

22

*21

(3.35)

onde Xa, Xb e Xc são valores da função sobre o eixo das abscissas e Fa, Fb e Fc são valores

sobre o eixo das ordenadas da função que se deseja encontrar o mínimo.

A idéia de trocar uma minimização pelo método da Seção Áurea por uma minimização

por interpolação parabólica inversa não se mostra uma tarefa trivial. Esta tarefa apresenta

algumas dificuldades, tais como o procedimento interno para evitar cálculos desnecessários da

função objetivo. Durante a troca dos métodos de minimização deve-se avaliar se a função tem

comportamento próximo ao de uma parábola no intervalo de busca e este procedimento deve

ser preciso em todas as situações.

Brent (1973) propôs um método que contorna estas dificuldades. Este método, também

conhecido como método de minimização Brent, faz uma interpolação parabólica através dos

três pontos Xa, Xb e Xc. Para que esta interpolação seja aceita, os três pontos devem pertencer

ao intervalo de busca e o módulo entre o candidato a mínimo e o mínimo da iteração anterior

têm que ser menor ou igual ao módulo entre o mínimo da última e o da penúltima iteração. Se

estes critérios não forem atendidos, a minimização passa a utilizar o método Seção Áurea

nesta iteração para encontrar o mínimo. O critério de parada para o método Brent é quando o

Parábola através dos pontos

Parábola através dos pontos

22

intervalo X – tol ≤ X ≤ X + tol for maior do que o intervalo de busca, sendo que tol se refere à

tolerância adotada para a minimização.

3.4.3 Métrica Variável

Outra forma de obter uma minimização é utilizar métodos baseados na derivada da

função objetivo, que têm como fundamento acelerar o processo para se encontrar o mínimo. A

técnica seqüencial de otimização BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) apresentada em

Rardin (2000) é um exemplo de técnica que utiliza derivadas. Esta técnica é uma

particularidade dos Métodos da Métrica Variável. As vantagens deste método são a rápida

velocidade de convergência e a facilidade para se trabalhar com inúmeras variáveis de

projeto. Por se tratar de um método de primeira ordem é necessário conhecer o gradiente da

função. A seguir, são apresentados mais detalhes dos Métodos da Métrica Variável.

Estes métodos têm a característica de utilizar informações de iterações anteriores, porém

utilizam vetores para armazenar estas informações ao invés de utilizar um simples escalar.

Assim, espera-se que esses métodos sejam mais eficientes e confiáveis quando comparados

aos outros que utilizam apenas uma informação anterior.

O conceito básico deste método é criar um vetor, que se aproxima do inverso de uma

matriz Hessiana, com o decorrer da otimização. Nesses métodos, a direção de busca é definida

como sendo:

)( velhonovonovo BFRSrrr

∇−= (3.36)

onde novoR é uma aproximação da inversa da matriz Hessiana durante o processo de

otimização, velhoBr

é o vetor das variáveis e F∇r

é o gradiente da função.

Utilizando a direção de busca novoSr

em conjunto com a Equação 3.37, apresentada a

seguir, é realizado o processo de busca unidimensional.

velhonovovelhonovo SBBrrr

β+= (3.37)

onde novoβ é um escalar multiplicador.

23

Para dar início ao processo de otimização, define-se a matriz R como sendo uma

Matriz Identidade, de forma que a direção de busca no primeiro passo seja simplesmente a

direção do Método da Máxima Descida (Vanderplaats, 2005). Entretanto, no fim da iteração

atual, uma nova matriz R é calculada através da seguinte equação:

novonovofuturo DRR += (3.38)

onde D é uma matriz simétrica de atualização, sendo essa matriz definida pela seguinte

equação:

( ) ( )

′+′−

′−+′+= oRppoRoRoRppD novonovonovonovonovo rrrrrrrr

σκ

ςκ

σκςσ 12 (3.39)

onde pr

e or

são vetores e ς e σ são escalares, definidos por:

velhonovo BBp

rrr −= (3.40)

)()( velhonovo BFBForrrrr ∇−∇= (3.41)

oprr ′=σ (3.42)

( )oRo novorr′=ς (3.43)

Na realidade, a Equação 3.39 representa uma parte dos Métodos da Métrica Variável e

provavelmente os dois métodos mais populares são: Davidon-Fletcher-Powell (DFP) e

Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). O procedimento de escolha desses métodos está

ligado ao valor da variável escalar κ, sendo κ = 0 para DFP e κ = 1 para BFGS.

3.4.4 Método de Stolz

Há também técnicas utilizadas para a solução de problemas inversos que já possuem

uma função objetivo incorporada em suas formulações. Tais técnicas têm como ponto de

partida a solução da equação de difusão de calor tridimensional, com propriedades

termofísicas constantes, que pode ser apresentada como:

t

trTtrgtrT

∂∂=+∇ ),(1

),(1

),(2

rrr

αλ (3.44)

24

),(),(ˆ

),(trftrTh

n

trTll

ll

rrr

=+∂

∂λ (3.45)

)()0,( rFrT i

rr = (3.46)

onde ),( trgr

é a geração interna de calor, lh é o coeficiente de convecção na superfície Sl, ln é

o vetor normal à superfície Sl, ),( trf l

r é a condição de contorno na superfície Sl e )(rFi

r é a

condição inicial do problema.

Duas formas distintas de obter a solução da equação da difusão de calor tridimensional

(Özisik, 1993) são apresentadas a seguir, a primeira é dada por funções de Green:

( ) ττξα

τττλατ

τ

ττ

ddsrf

ddvrgrtrGdvrFirtrGtrT

l

t S

l S

l

t

VV

l

'

0 1

0

0

),'(

'),'(),'|,(')'(|),'|,(),(

∫ ∑ ∫

∫ ∫∫

= =

==

+

++=

r

rrrrrrr

(3.47)

onde ),'|,( τrtrGrr

é função de Green apropriada para o problema de condução de calor em

questão, 'rr

é o vetor direção utilizado como variável de integração, τ é o tempo utilizado

como variável de integração, 'dv é o elemento diferencial de volume, 'lds é o elemento

diferencial de área na superfície Sl, τd é o elemento diferencial de tempo, V é o volume total

do corpo em estudo e S é a superfície total do corpo. O parâmetro ξ depende do tipo de

condição de contorno que o problema apresenta. Se o problema apresentar a condição de

fluxo prescrito ou de convecção, o parâmetro ξ assume a seguinte forma:

lrrrtrG rrrr

== '|),'|,(1 τλ

ξ (3.48)

Se o problema apresentar condição de temperatura prescrita, o parâmetro ξ tem a

seguinte forma:

lrrll n

rtrG

hrr

rr

=∂∂−= '|

ˆ),'|,(1 τξ (3.49)

onde lrr

é o vetor direção que varia ao longo da superfície Sl.

25

A segunda forma de resolver a equação geral da difusão de calor é utilizando o teorema

de Duhamel, que é dado pela seguinte expressão:

∫=

−∂∂=

t

dtrt

trT0

),,(),(τ

τττφ rr (3.50)

onde ),,( ττφ −trr

é uma função a se determinar.

Para avaliar a diferenciação sem efetuar a integração na Equação 3.50 é preciso utilizar

a fórmula de Leibniz para diferenciação de integrais (Bird et al., 2004). Esta fórmula é dada

por:

∫∫ −+∂

∂=∂∂ )(

)(

)(

)(

),(),(),(

),(t

t

t

t dt

dtf

dt

dtfdx

t

txfdxtxf

t

γ

ϕ

γ

ϕ

ϕϕγγ (3.51)

O limite inferior da Equação 3.50 é uma constante, dessa forma a derivada deste limite

em relação ao tempo é nula. O limite superior da Equação 3.50 é o tempo e sua derivada em

relação a ele mesmo é unitária. O valor da função ),,( ττφ −trr

no instante τ=t é igual à

condição inicial do problema. De posse destes resultados, a Equação 3.50 assume a seguinte

forma quando se aplica a Equação 3.51:

∫= ∂

−∂+=t

i dt

trrFtrT

0

),,()(),(

τ

τττφ rrr

(3.52)

A Equação 3.52 mostra que a distribuição de temperatura ao longo do corpo num

instante qualquer de tempo é igual a uma distribuição de temperatura inicial arbitrária mais a

sua variação até o instante de tempo escolhido.

Pode-se considerar um caso especial de problema de difusão de calor onde não há

geração interna de calor, o fluxo de calor é uniforme em uma superfície e todas as outras

superfícies remanescentes são isoladas. Desprezando os efeitos de convecção e mantendo a

temperatura inicial uniforme em todo o sólido, o equacionamento para este caso particular

pode ser representado por:

t

trTtrT

∂∂=∇ ),(1

),(2

rr

α (3.53)

26

)(ˆ

),(1 tq

n

trTl

ll ′′=

∂∂ δλ

r

(3.54)

onde 1lδ é o delta de Kronecker, cuja a faixa de valores é mostrada em seguida:

=≠

=1,1

1,01 l

llδ (3.55)

0)0,( TrT =r (3.56)

Substituindo as Equações 3.53 a 3.56 na Equação 3.47, com uma transformação de

variável adequada (Özisik, 1993) de forma a fazer com que a temperatura inicial seja nula,

pode-se igualar a Equação 3.52 com a Equação 3.47 como:

ττλαττττφ

ττ

ddsrtrGqdt

tr t

S

rr

t

∫ ∫∫=

==

′′=

∂−∂

0

'1'

0 1

1|),'|,()(

),,( rrr

(3.57)

O termo ),,( ττφ −trr

pode ser reescrito como ),()( τφτθ −trr

(Özisik, 1993), sendo

assim:

ττλατττφτθ

ττ

ddsrtrGqdt

tr t

S

rr

t

∫ ∫∫=

==

′′=

∂−∂

0

'1'

0 1

1|),'|,()(

),()(

rrr

(3.58)

Da Equação 3.58 é possível concluir através de semelhança de variáveis que:

)()( ττθ q′′= (3.59)

Substituindo a Equação 3.59 na Equação 3.52, resulta em:

∫= ∂

−∂′′+=t

dt

trqTtrT

0

0

),()(),(

τ

ττφτr

r

(3.60)

Fazendo-se também as seguintes considerações:

ττ

τ

−∂=∂−=

′′=′′

t

t

qq c)(

(3.61)

a Equação 3.60 pode ser escrita como:

27

∫= ∂

−∂′′−=t

c dtr

qTtrT0

0

),(),(

τ

ττ

τφ rr

(3.62)

Dessa forma, a resolução da integral se dá conforme abaixo:

tc trqTtrT 00 |),(),( =−′′−= ττφ rr

(3.63)

A solução final é mostrada pela expressão:

( ))0,(),(),( 0 rtrqTtrT c

rrr φφ −′′+= (3.64)

Fazendo-se uma análise dimensional na Equação 3.64, conclui-se que a unidade de

),( trrφ é

W

Km2

, em forma diferencial, ),(trrφ pode ser representado por:

q

trTtr

′′∂∂= ),(

),(r

rφ (3.65)

Aplicando o operador diferencial q′′∂∂

nas Equações 3.53, 3.54 e 3.56, obtém-se,

respectivamente:

′′∂∂

∂∂=

′′∂∂∇

q

trT

tq

trT ),(1),(2

rr

α (3.66)

1),(

ˆ 11 lll

l q

q

q

trT

nδδλ =

′′∂′′∂=

′′∂∂

∂∂ r

(3.67)

0)0,( 0 =

′′∂∂=

′′∂∂

q

T

q

rTr

(3.68)

Introduzindo a igualdade fornecida pela Equação 3.65 nas Equações 3.66 a 3.68 é

obtido o seguinte conjunto de equações diferenciais:

t

trtr

∂∂=∇ ),(1

),(2

rr φ

αφ (3.69)

1ˆ

),(1l

ll n

tr δφλ =∂

∂ r

(3.70)

28

0)0,( =rrφ (3.71)

O conjunto formado pelas Equações 3.69 a 3.71 pode ser resolvido utilizando funções

de Green, teorema de Duhamel ou de forma numérica, por exemplo, utilizando o Método de

Diferenças Finitas com formulação implícita. Obtêm-se, dessa forma, os valores de ),(trrφ

para o caso tridimensional. É comum na literatura se referenciar ao termo ),(trrφ como

coeficiente de sensibilidade.

A Equação 3.64 é uma solução analítica para fluxos de calor constantes, para fluxos de

calor variáveis, uma solução analítica da Equação 3.60 pode se tornar complexa,

inviabilizando o seu uso. Dessa forma, uma abordagem por aproximação numérica simplifica

muito o equacionamento e traz resultados satisfatórios.

Empregando as Equações 3.61, pode-se reescrever a Equação 3.60 da seguinte forma:

∫= ∂

−∂−′′+=t

dtr

qTtrT0

0

),()(),(

τ

ττ

τφτr

r

(3.72)

Como a complexidade matemática reside na integração das equações em relação ao

tempo, é feita uma aproximação numérica dos termos que envolvem variação temporal

seguindo o esquema onde:

n

m

qq

tt

′′→′′→

∆→∂

)(τ

ττ

(3.73)

Desta forma, a Equação 3.72 pode ser representada por aproximação numérica da

seguinte forma:

ττ

τφτφ ∆∆

−−−′′+= ∑=

−m

n

nmnmnm

trtrqTtrT

1

10

),(),(),(

rrr

(3.74)

Para simplificar os índices relativos ao tempo, é empregada a seguinte notação (Beck et

al., 1985):

jiji tjtijiji ττττττ −=∆−∆=∆−∆=∆−=− )(

(3.75)

Seguindo esta nova notação de índices, a Equação 3.74 pode ser expandida como segue:

29

( )( )

( )),(),(

),(),(

),(),(),(

01

212

110

τφτφ

τφτφτφτφ

rrq

rrq

rrqTtrT

m

mm

mmm

rrM

rr

rrr

−+

−+−+=

−−

−

(3.76)

Um novo termo, ),( nmr −∆ τφ r, é também introduzido para uma maior clareza e

simplificação do equacionamento feito até o momento. Este termo é definido como:

),(),(),( 1 nmnmnm rrr −+−− −=∆ τφτφτφ rrr (3.77)

Utilizando a Equação 3.77, é apresentada uma forma mais compacta da Equação 3.76,

dada por:

),(),(1

0 nm

m

nnm rqTtrT −

=∑ ∆′′+= τφ rr

(3.78)

Empregando-se aproximação numérica, há mais clareza em observar que a unidade do

coeficiente de sensibilidade ),( trrφ é

W

Km2

para o caso de fluxo de calor variável. Sendo

assim, as Equações 3.69 a 3.71 podem ser utilizadas para o cálculo dos coeficientes de

sensibilidade no caso de fluxo de calor variável.

A Equação 3.52 garante que a temperatura num instante de tempo escolhido é igual a

uma condição de temperatura inicial arbitrária mais a sua variação até o instante de tempo

escolhido. Assim, é possível encontrar a temperatura no instante mt tendo como condição

inicial a temperatura no instante 1−mt , utilizando a Equação 3.78. Esta situação é descrita da

seguinte forma:

),(),(),( 01 τφ rqtrTtrT mmm

rrr ∆′′+= − (3.79)

Considerando a condição inicial dada por:

0)0,(),( 0 == rrrr φτφ

(3.80)

A Equação 3.79 pode ser simplificada da seguinte forma:

),(),(),( 11 τφ rqtrTtrT mmm

rrr ′′+= − (3.81)

30

Na Equação 3.81 é possível isolar o fluxo de calor que foi utilizado para elevar a

distribuição de temperatura ),( 1−mtrTr

para a distribuição ),( mtrTr

. A Equação 3.82 mostra

como o fluxo de calor pode ser isolado e escrito por:

),(),(),(

1

1

τφ r

trTtrTq mm

m r

rr−−=′′ (3.82)

A Equação 3.82 pode ser utilizada na estimação do fluxo de calor para sinais

experimentais de temperatura. Este tipo de estimação é de grande importância em situações

onde o aporte de calor em um corpo se torna um parâmetro de controle imprescindível para o

processo, tal como acontece nos processos de soldagem e usinagem. O fluxo de calor

estimado mq′′ˆ pode ser calculado com a seguinte expressão:

),(),(),(

ˆ1

1

τφ r

trTtrYq mm

m r

rr−−=′′ (3.83)

onde ),( mtrYr

é a temperatura experimental no instante mt na posição rr

, ),( 1−mtrTr

representa

a temperatura no instante anterior na mesma posição rr

, calculada com os fluxos de calor mq′′ˆ

anteriores.

O termo ),( 1−mtrTr

da Equação 3.83 é calculado pela seguinte expressão:

∑−

=−− ∆′′+=

1

101 ),(ˆ),(

m

nnmnm rqTtrT τφ rr

(3.84)

A Equação 3.83 foi desenvolvida originalmente por Stolz (Stolz, 1960). Esta Equação é

a base do método de Stolz, foi utilizada para estimar o fluxo de calor prescrito durante o

processo de têmpera em superfícies esféricas, tendo a temperatura no interior da amostra

como dado de entrada. A aplicabilidade deste método não se limita apenas a superfícies

esféricas, ele também pode ser usado para estimar o fluxo de calor em cilindros e chapas.

3.4.5 Função Especificada

O método de Stolz apresenta problemas quando há ruídos nos dados de temperatura

experimental e quando o intervalo de tempo de amostragem for pequeno. O resultado é que os

31

fluxos de calor estimados podem ir ao infinito, não representando a realidade física do

problema.

A solução para corrigir a instabilidade do método de Stolz foi proposta por Beck et al.

(1985). A modificação introduzida tornou a estimação do fluxo de calor menos suscetível

quanto aos ruídos no sinal de temperatura experimental.

Da Equação 3.78, a Equação 3.79 pode ser expandida para o cálculo da distribuição de

temperatura para instantes futuros, como:

),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(),(

),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(),(

),(ˆ),(ˆ),(),(

),(ˆ),(),(

1101

2110212

10111

01

rmrmrmmrm

mmmmm

mmmm

mmm

rqrqrqtrTtrT

rqrqrqtrTtrT

rqrqtrTtrT

rqtrTtrT

τφτφτφ

τφτφτφτφτφ

τφ

rL

rrrrM

rrrrr

rrrr

rrr

∆′′++∆′′+∆′′+=

∆′′+∆′′+∆′′+=∆′′+∆′′+=

∆′′+=

−++−+

++−+

+−+

−

(3.85)

A Equação 3.84 pode ser compactada na seguinte expressão:

∑=

−+−+ ∆′′+=r

nnnrmmrm rqtrTtrT

01 ),(ˆ),(),( τφ rrr

(3.86)

onde r representa o número de tempos futuros.

Como os fluxos de calor para os tempos futuros escolhidos ainda não foram calculados,

é preciso escolher como estes fluxos serão representados. Uma maneira prática e que dá bons

resultados é definir estes fluxos de calor futuros como sendo iguais ao do instante de tempo

atual, conforme mostrado abaixo:

mrmrmrm qqqq ′′==′′=′′=′′ −+−++ ˆˆˆˆ 21 L (3.87)

Outra forma de definir estes fluxos de calor futuros seria atribuir a eles uma

representação linear, quadrática ou cúbica em relação ao fluxo de calor do instante atual.

Neste trabalho será apresentada apenas a representação constante dos fluxos de calor futuros

em relação ao fluxo de calor do instante atual.

Uma identidade matemática útil para os coeficientes de sensibilidade é mostrada pela

Equação 3.88 (Beck et al., 1985):

32

),(),( 10

+=

=∆∑ r

r

nn rr τφτφ rr

(3.88)

Os fluxos de calor futuros são dados pela Equação 3.87, e empregando a Equação 3.88,

a Equação 3.86 pode ser simplificada para a seguinte forma:

),(ˆ),(),( 11 +−+ ′′+= rmmrm rqtrTtrT τφ rrr (3.89)

É também definido um funcional Func para medir o erro entre as temperaturas

experimentais e as temperaturas calculadas nos instantes de tempo atual e também entre os

instantes de tempo futuro escolhidos. A Equação 3.90 mostra matematicamente como o

Funcional Func é definido.

( )2

0

),(),(∑=

++ −=r

nnmnm trTtrYFunc

rr (3.90)

Substituindo a Equação 3.89 na Equação 3.90, tem-se:

( )( )2

011 ),(ˆ),(),(∑

=+−+ ′′+−=

r

nnmmnm rqtrTtrYFunc τφ rrr

(3.91)

Para encontrar o valor de fluxo de calor que dê o menor valor para Equação 3.91 é

preciso encontrar o mínimo desta função, uma maneira direta é diferenciá-la em relação à mq′′

e igualar a zero, isto é:

( )[ ] 0),(),(ˆ),(),(2ˆ 0

111 =′′−−−=′′∂

∂∑

=++−+

r

nnnmmnm

m

rrqtrTtrYq

Func τφτφ rrrr (3.92)

Aplicando a propriedade distributiva, a Equação 3.92 pode ser reduzida, chegando-se à

seguinte expressão:

( )[ ] 0),(ˆ),(),(),(0

21

011 =′′−− ∑∑

=+

=+−+

r

nnm

r

nnmnm rqrtrTtrY τφτφ rrrr

(3.93)

Isolando o termo mq′′ , encontra-se:

33

( )[ ]

∑

∑

=+

=+−+ −

=′′r

nn

r

nnmnm

m

r

rtrTtrYq

0

21

011

),(

),(),(),(ˆ

τφ

τφ

r

rrr

(3.94)

A Equação 3.94 é chamada de método da função especificada na literatura. Este método

não apresenta os problemas mencionados para o método de Stolz. Muitos autores consideram

o método da Função Especificada uma evolução do método de Stolz, pois quando r = 0, a

Equação 3.94 se torna a Equação 3.83.

Para tornar a Equação 3.94 menos suscetível à presença de ruídos no sinal de

temperatura experimental, foi proposto que o fluxo de calor estimado mq′′ fosse calculado

juntamente com outros sinais de temperaturas experimentais obtidos de outros pontos de

medição, isto é, usando mais de um sensor de temperatura na amostra (Beck et al., 1985).

Com essa alteração proposta, a Equação 3.94 passa a ter a seguinte forma:

( )[ ]

∑∑

∑∑

= =+

= =+−+ −

=′′Nsens

d

r

nnd

Nsens

d

r

nndmdnmd

m

r

rtrTtrYq

1 0

21

1 011

),(

),(),(),(ˆ

τφ

τφ

r

rrr

(3.95)

onde Nsens é o numero de sensores de temperatura experimental e d o contador para os

sensores de temperatura experimental.

Sendo assim, o fluxo de calor estimado mq′′ se torna um fluxo de calor médio que

abrange uma área delimitada pelos sensores de temperatura, de forma que ruídos presentes em

um ponto de medição não atrapalham a estimação do fluxo de calor em uma área inteira. Para

apenas um sensor de temperatura, a Equação 3.95 se reduz a Equação 3.94.

3.4.6 Regularização de Tikhonov

Foi visto que no método da Função Especificada, o fluxo de calor é estimado a partir de

um conjunto de temperaturas experimentais, cujo tamanho deste conjunto é o número de

tempos futuros. Beck et al. (1985) mostraram que há um número ótimo de tempos futuros,

sendo que este número ótimo é bem inferior ao número total de temperaturas experimentais.

Desta forma, o fluxo é estimado em pequenos intervalos de tempos futuros. Isto não seria

34

problema se não houvesse ruídos no sinal de temperatura experimental, mas os ruídos estão

presentes, e como conseqüência, o fluxo de calor estimado acaba se tornando descontínuo

localmente. Uma maneira de eliminar estas descontinuidades no fluxo de calor estimado é

fazer com que a técnica de problema inverso estime todos os fluxos de calor de uma vez

usando todas as temperaturas experimentais ao mesmo tempo. Este tipo de técnica é

conhecida como técnica de domínio inteiro e foi proposta primeiramente por Tikhonov e

Arsenin (1977). A técnica de domínio inteiro se baseia em um tratamento matricial da

dependência da temperatura experimental com o fluxo de calor estimado.

A Equação 3.78 pode ser representada pela seguinte forma matricial:

+

′′

′′′′′′

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆

∆

=

−−− 0

0

0

0

3

2

1

0321

002

01

0

3

2

1

),(),(),(),(

0),(),(),(

00),(),(

000),(

),(

),(

),(

),(

T

T

T

T

q

q

q

q

rrrr

rrr

rr

r

trT

trT

trT

trT

mmmmm

MMr

Lrrr

MOMMM

Lrrr

Lrr

Lr

rM

r

r

r

τφτφτφτφ

τφτφτφτφτφ

τφ

(3.95)

Em uma forma mais compacta, a Equação 3.95 poder ser reescrita como:

0TqT +′′= χ (3.96)

onde T representa a matriz coluna das distribuições de temperatura calculada, χ a matriz

quadrada dos coeficientes de sensibilidade, q′′ a matriz coluna dos fluxos de calor e 0T a

matriz coluna de temperatura inicial.

Para realizar a estimação dos fluxos de calor a partir de temperaturas experimentais,

também é definida a matriz coluna de temperaturas experimentais como mostrado abaixo:

=

),(

),(

),(

),(

3

2

1

mtrY

trY

trY

trY

Y

rM

r

r

r

(3.97)

Também define-se o funcional Functik que mede o erro entre as temperaturas

experimentais e as temperaturas calculadas. Este funcional é definido tanto em forma de

somatórios quanto em forma matricial.

35

( ) ( ) ( )TYTYtrTtrYFunctikM

nnn −−=−=∑

=

'),(),(

2

1

rr (3.98)

onde M é o número de elementos da matriz coluna Y .

Para diminuir os efeitos dos ruídos presentes no sinal de temperatura experimental,

Tikhonov e Arsenin (1977) propuseram o acréscimo de um vetor com a função de atenuação

de pequenas variações no sinal de temperatura experimental. Substituindo a Equação 3.96 na

Equação 3.98 e acrescentando este vetor com a função de atenuação na temperatura

experimental, obtém-se a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )qHqHTqYTqYFunctik ′′′′+−′′−−′′−=''

00 ψχχ (3.99)

onde ψ é o termo que representa um escalar utilizado para variar a magnitude do efeito de

atenuação, chamado de parâmetro de regularização, H representa a matriz quadrada que

realizará o efeito de redução de ruídos.

A matriz H também indica de que maneira a atenuação agirá sobre os ruídos do sinal

de temperatura experimental. Esta forma de atuação é conhecida na literatura por ordem de

regularização (Beck et al., 1985). Há várias ordens de regularização, mas no presente trabalho

serão comentadas as regularizações de zero, primeira e segunda ordem.

A ordem zero tem como objetivo reduzir a magnitude dos fluxos de calor estimados,

sendo assim, a matriz H assume a seguinte forma:

=

1000

0100

0010

0001

L

MOMMM

L

L

L

H (3.100)

A primeira ordem por sua vez tende a diminuir a amplitude do fluxo de calor estimado

em relação ao próximo valor. A matriz H desta ordem é expressa por:

36

−

−−

−

=

000000

110000

001100

000110

000011

L

L

MMOMMMM

L

L

L

H (3.101)

Para reduzir as rápidas oscilações no fluxo de calor estimado, a segunda ordem é a mais

indicada, sendo a sua matriz H definida por:

−

−−

−

=

00000000

00000000

12100000

00012100

00001210

00000121

L

L

L

MMMOMMMMM

L

L

L

H (3.102)

O próximo passo é minimizar a Equação 3.99 para que dada uma matriz coluna q′′ , o

valor de Functik, que é um escalar, seja o menor possível. Para que isso seja feito, é preciso

realizar uma diferenciação matricial em Functik com relação ao vetor q′′ e igualar o resultado

a zero.

Para ocorrer à diferenciação da Equação 3.99, antes é preciso definir algumas operações

de diferenciação envolvendo matrizes (Beck et al., 1985). Estas operações são bem

semelhantes ao que ocorre em escalares, sendo em alguns casos, uma generalização para

vetores e matrizes.

A primeira operação é para o caso de multiplicação de uma matriz coluna transposta,

multiplicada por uma matriz quadrada constante, por ela mesma, também multiplicada por

uma matriz quadrada constante.

( ) ( )( ) ( )qHH

q

qHqH′′=

′′∂

′′′′∂'

2

'

(3.103)

37

A segunda operação é para o caso de multiplicação de duas matrizes colunas

transpostas, sendo que uma matriz coluna é primeiramente multiplicada por uma matriz

quadrada constante.

( ) ( )( ) ( )AH

q

AqH'

'

=′′∂

′′∂ (3.104)

A próxima operação é para um caso de produto notável envolvendo duas matrizes

colunas distintas.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BBABAABABA''

2''

+−=−− (3.105)

Diferenciando Functik em relação à q′′ , igualando a zero e aplicando as Equações 3.103

a 3.105, é obtida a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

''

'

2

'000

=′′∂

′′′′∂+

′′∂

′′′′∂+

′′∂

−′′∂

−′′∂

−−∂=

′′∂∂

q

qHqH

q

qq

q

TYq

q

TYTY

q

Functik

ψχχ

χ

(3.106)

Como a derivada de uma matriz coluna constante é zero, a Equação 3.106 se reduzir à

equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0'

2'

2'

2 0 =′′+′′+−−=′′∂

∂qHHqTY

q

Functik ψχχχ (3.107)

Com algumas manipulações algébricas é possível encontrar a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

'''TYqHHq −=′′+′′ χψχχ (3.108)

Isolando q′′ , tem-se a expressão que calcula o fluxo de calor estimado a partir de sinais

de temperatura experimental, dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1 '''TYHHq −

+=′′

−

χψχχ (3.109)

38

A equação 3.109 é conhecida como regularização de Tikhonov. Esta equação fornece

ótimos resultados na estimação de fluxos de calor. Por ser uma equação matricial envolvendo

inversão de matrizes, a sua solução depende do tamanho das matrizes envolvidas, o poder de

processamento requerido para resolvê-las pode ser bem alto quando comparado a outros

métodos de estimação de fluxo de calor.

As técnicas de problemas inversos apresentadas neste capítulo foram utilizadas para um

problema tridimensional simulado, cujos resultados são mostrados no Capítulo 4. No Capítulo

6, estas mesmas técnicas foram empregadas em dois experimentos controlados em

laboratório.

Capítulo 4

VALIDAÇÃO DAS TÉCNICAS DE PROBLEMAS

INVERSOS

4.1 INTRODUÇÃO

Uma dificuldade existente na solução de problemas inversos em transferência de calor

reside na validação da técnica usada. Essa dificuldade é inerente ao problema, uma vez que a

validação do fluxo de calor estimado exige o conhecimento prévio do fluxo de calor

experimental. Observa-se que em problemas reais, como em um processo de soldagem, o

fluxo de calor experimental não é conhecido. Sendo assim, para a validação das técnicas de

problemas inversos foi feita uma análise usando um fluxo de calor previamente conhecido.

Neste trabalho foi usado um fluxo de calor na forma de uma função parabólica para a

validação das técnicas de problemas inversos para o caso tridimensional.

4.2 DESCRIÇÃO DO PROCEDIMENTO DE VALIDAÇÃO

Vários testes foram realizados com relação à intensidade e forma do fluxo de calor, o

intervalo de tempo e o número total de pontos, para se obter uma faixa de temperaturas que

mantivesse a hipótese de propriedades térmicas constantes. Apresenta-se aqui apenas um dos

40

casos estudados, onde estipulou-se que o fluxo de calor teria a forma de um sinal parabólico

com o valor máximo de 2500 W/m² e um total de 1250 pontos, com um intervalo de 0,2 s.

Tendo levado em consideração estas especificações, pode-se chegar à seguinte expressão

algébrica para o fluxo de calor conhecido:

tttq 4016,0)('' 2 +−=

(4.1)

Para uma melhor compreensão, o fluxo de calor parabólico utilizado é apresentado na

Figura 4.1.

Figura 4.1 – Fluxo de calor parabólico imposto no problema direto.

A distribuição de temperatura na amostra foi obtida através da solução das Equações 3.1

a 3.7. Estas equações foram resolvidas numericamente empregando o Método de Diferenças

Finitas com formulação implícita. Este é o chamado problema direto onde o fluxo parabólico

imposto foi utilizado para obter o perfil de temperatura. O domínio de cálculo utilizado nos

cálculos numéricos possui as dimensões representadas na Figura 4.2.

Figura 4.2 – Dimensões da Região S.

100,0 mm

9,5

mm

41

Na Figura 4.3 mostra-se esquematicamente a posição e o tamanho da região S1 onde o

fluxo de calor parabólico foi imposto conforme o modelo matemático apresentado no

Capítulo 3. A região S2 engloba todas as superfícies restantes que foram isoladas.

Figura 4.3 – Detalhamento das Regiões S1 e S2.

Um ponto de medição de valores foi colocado para obtenção da distribuição temporal de

temperatura, conforme mostra a Figura 4.4. Este posicionamento foi escolhido de forma a

representar a posição de um termopar em um procedimento experimental.

Figura 4.4 – Posição da sonda numérica na amostra.

Para o cálculo da temperatura os valores das propriedades termofisícas foram de 14,61

W/m.K para a condutividade térmica e 3,74 x 10-6 m2/s para a difusividade térmica (Carollo,

2010). A temperatura inicial foi de 19,5 °C, pois este valor é aproximadamente a temperatura

ambiente local. Os cálculos foram realizados em uma máquina equipada com processador

Intel CoreTM 2 Quad, modelo Q6600 com 2,4 GHz de velocidade de processamento, e 3,7

GBytes de memória RAM. É mostrada na Figura 4.5 a variação de temperatura com o tempo,

na posição da sonda numérica. Observa-se que para uma variação de temperatura de

100 mm

60 mm

50 mm

50 mm

Aquecedor

Resistivo

S1

Isolamento

S2

y

x

Região S

P1 (25,0 mm; 25,0 mm; 9,5 mm)

x

yz

42

aproximadamente de 10 ºC, sendo assim, as propriedades termofisícas podem ser

consideradas constantes.

Figura 4.5 – Temperatura em função do tempo.

Esta temperatura obtida pelo problema direto é denominada de agora em diante de

temperatura de referência e será utilizada para comparações com os valores estimados,

mostrados a seguir.

4.3 RESULTADOS OBTIDOS PARA A VALIDAÇÃO

4.3.1 Fluxo Parabólico Sem Erros Aleatórios

Para a validação das técnicas de problemas inversos apresentadas no Capítulo 3, é

preciso saber como elas se comportam na estimação de fluxo de calor, como é a distribuição

de temperatura com estes fluxos estimados e como são os resíduos de temperatura em relação

ao sinal de temperatura calculado. Como foram analisadas diferentes técnicas de problemas

inversos, optou-se por exibir os resultados comparando as técnicas duas a duas, com o

resultado obtido no problema direto.

A Figura 4.6 apresenta o resultado da estimação do fluxo de calor pelas técnicas Função

Especificada e Regularização de Tikhonov, juntamente com o fluxo parabólico, imposto no

problema direto.

43


Função Especificada e Regularização de Tikhonov.

Para a estimação do fluxo de calor, a técnica Função Especificada foi utilizada com o

parâmetro de tempos futuros, r, igual a 5 e os fluxos dos tempos futuros representados de

forma constante. Para a técnica Regularização de Tikhonov foram utilizados a matriz H do

tipo segunda ordem e o parâmetro de regularização, pr, igual a 1 x 10-3. Uma discussão sobre

como estes parâmetros foram escolhidos é apresentado no trabalho de Beck et al. (1985).

Observa-se que os fluxos apresentaram ótima concordância de valores.

Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição temporal de

temperatura para a posição da sonda numérica escolhida. A Figura 4.7 mostra os três perfis de

temperatura juntos. Observa-se que as temperaturas apresentaram concordância de valores.


Regularização de Tikhonov com a temperatura de referência.

44

Para melhor mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados

divergiram da temperatura de referência foram calculados os resíduos de temperatura. Estes

resíduos são calculados com base na diferença entre as temperaturas calculada e estimada

ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura calculada correspondente, cujos

valores são mostrados na Figura 4.8.


Regularização de Tikhonov.

Os fluxos estimados para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são

apresentados nas Figuras 4.9a e 4.9b.

(a) (b)

Figura 4.9 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as técnicas:

(a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.

45

As temperaturas calculadas com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent,

DFP e BFGS são apresentadas nas Figuras 4.10a e 4.10b

(a) (b)

Figura 4.10 – Comparação da temperatura de referência com as temperaturas calculadas para

as técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.

É mostrado nas Figuras 4.11a e 4.11b o comportamento dos resíduos de temperatura

para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS.

(a) (b)


Brent; (b) DFP e BFGS.

Analisando os resultados observa-se que todas as técnicas se mostraram eficientes para

estimação de um fluxo de calor parabólico e para a estimação de temperatura. As técnicas de

46

otimização Seção Áurea, Brent, BFGS e DFP obtiveram melhores resultados para obtenção da

temperatura, entretanto, observa-se na Tabela 4.1 que estas técnicas de otimização têm um

alto tempo de processamento quando comparadas às técnicas Função Especificada e

Regularização Tikhonov. Esta diferença no tempo de processamento se deve ao fato que as

técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov necessitam resolver apenas uma

vez as Equações 3.1 a 3.7, para o cálculo dos coeficientes de sensibilidade, de forma

numérica, cuja discretização espacial gera muito pontos nodais e isto demanda muito tempo

de processamento para que se calculem todos estes pontos. Para as técnicas de otimização, a

cada tentativa de mínimo pontual da função objetivo, é preciso recalcular toda a malha nodal,

aumentando o tempo de processamento requerido. O fato de recalcular todos os pontos nodais

a cada tentativa de mínimo, apesar de aumentar o tempo de processamento, torna a estimação

da temperatura mais precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados.

As técnicas Seção Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura inferiores a 0,001 %, mas

para as técnicas DFP e BFGS os resíduos foram inferiores a 1 x 10-8 %. A diferença de tempo

entre as técnicas Seção Áurea e Brent e as técnicas DFP e BFGS é devido à maneira como

estas últimas técnicas foram implementadas, isto é, utilizando um conjunto de bibliotecas não

otimizadas para velocidade de processamento.

Tabela 4.1 –Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.

Técnica Inversa Tempo Gasto (s)

Função Especificada (r = 5) 16083

Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 10-3) 16096

Brent 108000

Seção Áurea 129600

BFGS 432000

DFP 453600

Com relação à estimativa do fluxo de calor parabólico, todas as técnicas apresentaram

resultados satisfatórios, mas para uma validação mais precisa, deve-se analisar também como

estas técnicas se comportam quando há presença de ruídos no sinal de temperatura, situação

bastante comum quando se trata de sinais de temperatura experimentais.

47

4.3.2 Fluxo Parabólico Com Erros Aleatórios

Para simular um sinal de temperatura experimental, foram acrescidos ao sinal de

temperatura de referência (Figura 4.5) erros aleatórios. Estes erros aleatórios foram

distribuídos uniformemente em um intervalo de -0,5 C° a 0,5 C°. Assim, a partir deste sinal de

temperatura com erros aleatórios o fluxo de calor é estimado usando as técnicas de problemas

inversos.

Novamente para uma maior clareza, os resultados são apresentados em várias figuras.

Primeiro é mostrado, na Figura 4.12, o resultado da estimação do fluxo de calor para as

técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov.





forma constante. Para a técnica Regularização de Tikhonov foram utilizados a matriz H do

tipo segunda ordem e o parâmetro de regularização, pr, igual a 1,0.

A Figura 4.13 mostra uma comparação do sinal de temperatura de referência com dados

aleatórios, com os sinais de temperatura gerados pelos fluxos de calor estimados com as

técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov.

48



Na Figura 4.14 são apresentados os resíduos de temperatura, que foram calculados com

base na diferença entre as temperaturas com dados aleatórios e estimada ponto a ponto, sendo

esta diferença dividida pela temperatura com dados aleatórios correspondente.



É mostrado nas Figuras 4.15a e 4.15b o fluxo de calor estimado pelas técnicas Seção

Áurea, Brent, DFP e BFGS. Observa-se que os valores de fluxo de calor estimado estão bem

acima do fluxo parabólico, isto mostra como estas técnicas são sensíveis à presença de dados

aleatórios.

49

(a) (b)

Figura 4.15 – Comparação do fluxo parabólico imposto com o fluxo estimado para as

técnicas: (a) Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.

Nas Figuras 4.16a e 4.16b são apresentadas as temperaturas calculadas a partir dos

fluxos de calor estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. Observa-se que

mesmo sendo técnicas sensíveis à presença de dados aleatórios, elas mantém boa

concordância com o sinal de temperatura numérico.

(a) (b)

Figura 4.16 – Comparação das temperaturas calculadas para as técnicas: (a) Seção Áurea e


Os resíduos de temperatura são mostrados nas Figuras 4.17a e 4.17b. Estes resíduos

foram calculados com base na diferença entre as temperaturas com dados aleatórios e

50

estimada ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura com dados aleatórios

correspondente.

(a) (b)



Conforme foi descrito no Capítulo 3, as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são

técnicas de estimação de fluxo de calor pontual, sendo assim, há uma grande oscilação no

fluxo de calor estimado por causa dos erros aleatórios presentes no sinal de temperatura.

Dessa forma, há a necessidade de se aplicar um filtro no sinal de fluxo de calor estimado para

amenizar essas variações. Este filtro não foi aplicado neste capítulo para demonstrar como os

ruídos no sinal de temperatura influenciam a estimação do fluxo de calor por estas técnicas,

mas será aplicado na apresentação dos resultados experimentais no Capítulo 6. Como o fluxo

de calor é estimado ponto a ponto pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS, a

temperatura calculada a partir dos fluxos de calor estimados tem excelente concordância com

o sinal de temperatura, como pode ser visto pelos resíduos de temperatura que se mantiveram

inferiores a 0,001 % nas técnicas Seção Áurea e Brent e inferiores a 1 x 10-8 % nas técnicas

DFP e BFGS. As técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov são técnicas que

estimam o fluxo de calor a partir de um conjunto de pontos, dessa forma, o fluxo estimado é

menos suscetível aos erros aleatórios presentes no sinal de temperatura, conforme visto na

Figura 4.12. A temperatura calculada a partir destes fluxos estimados representa uma média

do comportamento do sinal de temperatura de referência. Mesmo a temperatura calculada não

sendo próxima ponto a ponto do sinal de temperatura de referência, os resíduos de

temperatura ficaram na faixa de 4,0 %, demonstrando um bom resultado para a estimação do

51

fluxo de calor. Ressalta-se que os erros aleatórios usados neste trabalho foram de ± 0,5 °C.

Estes erros são maiores do que a incerteza de sinais de temperatura medidos que estão em

torno de ± 0,1 °C. Apesar da boa concordância da temperatura calculada com a temperatura

de referência, as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS apresentaram tempos de

processamento muito superiores aos das técnicas Função Especificada e Regularização de

Tikhonov, conforme pode ser visto na Tabela 4.2. Este fato tem a mesma explicação dada

para a discrepância de tempos de processamento para o fluxo parabólico sem ruídos no sinal

de temperatura.




Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 100) 16128

Brent 190000


BFGS 512000

DFP 533600

Pode-se concluir que as técnicas de problemas inversos Função Especificada e

Regularização de Tikhonov apresentaram os melhores resultados na estimativa do fluxo de

calor parabólico, tanto na ausência quanto na presença de erros aleatórios. Os erros aleatórios

acrescidos ao sinal de temperatura de referência têm a função de simular dados de

temperatura reais, onde há ruídos provenientes muitas vezes da incerteza do instrumento de

medição utilizado.

No Capítulo 5 será apresentada uma descrição detalhada da bancada de teste, mostrando

as amostras utilizadas nos experimentos, assim como também os equipamentos utilizados para

a geração do fluxo de calor e para a aquisição dos sinais de temperatura.

Como já foi mencionado, para as demais técnicas de problemas inversos, no Capítulo 6

será usada uma filtragem no sinal de fluxo de calor estimado. Os resíduos de temperatura

obtidos dentro de uma faixa aceitável comprovam a validação das técnicas de problemas

inversos para os casos estudados.

Capítulo 5

MONTAGEM EXPERIMENTAL

5.1 INTRODUÇÃO

Nos capítulos anteriores foram apresentadas as técnicas de problemas inversos com todo

o seu detalhamento matemático e também como elas se comportaram na estimação do fluxo

de calor a partir de um sinal de temperatura simulado. Entretanto, o propósito deste trabalho é

a utilização destas técnicas de problemas inversos aplicadas a sinais de temperatura reais,

medidos a partir de um experimento realizado em uma bancada de teste. A proposta deste

capítulo é mostrar de forma detalhada como foi realizado o experimento, de como a bancada

experimental foi montada e de como as amostras foram preparadas.

5.2 DESCRIÇÃO DA BANCADA DE TESTE

A bancada utilizada para estimar o fluxo de calor em amostras de Aço Inox AISI 304 é

mostrada na Figura 5.1. Os equipamentos utilizados são descritos a seguir.

53

Figura 5.1 – Esquema da bancada utilizada.

As Figuras 5.2a e 5.2b representam amostras de aço inox AISI 304 utilizadas nos

experimentos. Para o experimento unidimensional as dimensões foram de 49,9 x 49,9 x 10,9

mm, e para o experimento tridimensional as dimensões foram de 100,0 x 60,0 x 9,5 mm. As

espessuras das amostras variam um pouco devido ao processo de usinagem a que foram

submetidas, cujo objetivo foi de garantir uma superfície mais uniforme, a fim de melhorar o

contato e, por conseqüência, diminuir a resistência térmica.

(a)

(b)

Figura 5.2 – Dimensões das amostras de aço inox AISI 304: (a) experimento unidimensional;

(b) experimento tridimensional.

Amostras Isoladas

Fonte de alimentação

V I

Multímetros

Aquisição de Dados

Micro Computador

49,9 mm

10,9

mm

100,0 mm

9,5

mm

54

O aquecedor resistivo de kapton, apresentado pelas Figuras 5.3a e 5.3b, possui uma

resistência de 15 Ω, com dimensões de 50,0 x 50,0 x 0,2 mm. Este aquecedor foi escolhido

devido à sua pequena espessura, permitindo o aquecimento total com maior rapidez de forma

uniforme por toda sua superfície (Omega, 2000).

(a) (b)

Figura 5.3 – Aquecedor Resistivo: (a) vista superior; (b) vista inferior.

Este aquecedor é conectado a uma fonte de alimentação digital Instrutemp ST 305D-II,

mostrada na Figura 5.4, para fornecer o fluxo de calor necessário. O diferencial desta fonte

está no fato dela proporcionar três tipos de ajustes: independente, série e paralelo. Esta

característica permite utilizar diferentes intensidades de fluxo de calor através da escolha

correta do ajuste das resistências. Neste trabalho foi utilizada apenas uma intensidade de fluxo

de calor.

Figura 5.4 – Fonte de corrente contínua Instrutemp.

55

Para minimizar os erros na medição do fluxo de calor utilizou-se uma montagem

simétrica das amostras de aço inox, isto é, o aquecedor resistivo foi posicionado entre duas

amostras. Dessa forma é necessário apenas isolar um lado da amostra, reduzindo o efeito de

dissipação do fluxo de calor causado pelo isolamento. Além disso, os valores de corrente e

tensão aplicados foram medidos pelos multímetros Instrutherm MD-380 e Minipa ET-2042C,

previamente calibrados, que podem ser visualizados nas Figuras 5.5a e 5.5b.

(a) (b)

Figura 5.5 – Multímetros: (a) Instrutherm; (b) Minipa.

Devido ao fato do contato entre o aquecedor resistivo e a amostra não ser perfeito

utilizou-se a pasta térmica de prata Arctic Silver 5, Figura 5.6, para eliminar os interstícios de

ar presentes na montagem. A vantagem de utilizar esta pasta refere-se à sua alta condutividade

térmica, devido à presença de partículas de prata em sua composição (Rimington et al., 2004).

Além disso, foram utilizados pesos acima da montagem para melhorar o contato entre os

componentes, tomando o devido cuidado para que estes pesos não deformassem a camada de

isolamento do experimento e assim influenciando de forma negativa o experimento.

Figura 5.6 – Pasta Térmica Arctic Silver 5.

56

Para ajudar a garantir um fluxo de calor uniforme e eliminar grande parte da convecção

causada pelo ar circulando no ambiente, isolou-se a montagem com placas de isopor de 50

mm de espessura. As temperaturas foram medidas através de termopares (Cromel/Alumel -

30AWG) soldados por descarga capacitiva, Figura 5.7. Estes termopares foram calibrados

usando um banho calibrador de temperatura Marconi MA 184, Figura 5.8, com uma resolução

de ± 0,01 K. Estes termopares foram conectados à aquisição de dados Agilent 34980A

controlada por um micro computador, como mostra a Figura 5.9. Visando obter melhores

resultados, todos os experimentos foram realizados com a temperatura da sala controlada.

Figura 5.7 – Descarga Capacitiva utilizada para soldar os termopares.

Figura 5.8 – Banho Termostático Marconi.

57

Figura 5.9 – Aquisição de Dados Agilent e Micro Computador.

5.3 DETALHAMENTO DA MONTAGEM DA AMOSTRA

Nas Figuras 5.10 a 5.13 é mostrado como as amostras foram montadas para a realização

do experimento.

As Figuras 5.10a e 5.10b apresentam em vista superior como foram montados os

aquecedores resistivos junto às amostras de aço inox e suas respectivas posições. Para a

Figura 5.10a, o aquecimento uniforme de toda a superfície e a pequena dimensão da amostra

no eixo z garantem um comportamento unidimensional do fluxo de calor. Observa-se que o

aquecedor resistivo na montagem tridimensional não cobre toda a extensão das amostras,

dessa forma a hipótese de aproximação unidimensional não pode ser adotada, tornando o

experimento tridimensional (Figura 5.10b).

(a)

x

y

Região de Aquecimento

49,9 mm

49,9 mm

58

(b)

Figura 5.10 – Esquema da montagem (corte vista superior): (a) experimento unidimensional;


Nas Figuras 5.11a e 5.11b é mostrado de maneira esquemática como o experimento foi

montado. Para maior clareza das figuras não foi mostrado o isolamento nas laterais da figura.

(a) (b)

Figura 5.11 – Esquema da montagem (corte vista lateral): (a) experimento unidimensional; (b)

experimento tridimensional.

Nas Figuras 5.12a e 5.12b é mostrado a vista frontal da montagem do experimento. Para

estas figuras também não foi mostrado o isolamento nas laterais da figura.

100 mm

60 mm

50 mm

50 mm

Aquecedor

ResistivoIsolamento

y

x

zy

Isopor

Isopor

Amostra

AmostraAquecedor

Isopor

Isopor

Amostra

Amostra

IsolamentoAquecedor

z y

59

(a) (b)

Figura 5.12 – Esquema da montagem (corte vista frontal): (a) experimento unidimensional;


As posições dos termopares podem ser vistas pelas Figuras 5.13a e 5.13b. Optou-se por

utilizar apenas um termopar no experimento unidimensional, Figura 5.13a, em vista de que

toda a superfície oposta ao aquecedor tem a mesma temperatura. Para o caso tridimensional

foram utilizados dois termopares, pois a distribuição de temperatura ao longo da superfície z =

0 ocorre de maneira não uniforme fora da região de aquecimento, e também porque o

aumento do número de termopares tornaria a montagem experimental difícil de ser

manuseada.

(a)

zx

Isopor

Isopor

Amostra

AmostraAquecedor

Isopor

Isopor

Amostra

Amostra

IsolamentoAquecedor

zx

Termopar (25,0 mm; 25,0 mm ;10,9 mm)

x

yz

60

(b)

Figura 5.13 – Posição do termopar na amostra: (a) experimento unidimensional; (b)

experimento tridimensional.

No Capítulo 6 serão apresentados os resultados da estimação de fluxo de calor, onde a

metodologia apresentada no Capítulo 4 será empregada usando sinais de temperatura

experimentais obtidos das duas montagens experimentais apresentadas neste capítulo. Para os

fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS, será aplicado um filtro

numérico com o propósito de reduzir as oscilações provocadas pela presença de ruídos no

sinal de temperatura experimental.

Termopar 1 (55,0 mm; 6,0 mm; 0,0 mm)

Termopar 2 (25,0 mm; 25,0 mm; 9,5 mm)

x

yz

Capítulo 6

ANÁLISE DE RESULTADOS

6.1 INTRODUÇÃO

Neste Capítulo são apresentados os resultados da estimação do fluxo de calor a partir de

dados experimentais usando as técnicas de problemas inversos apresentadas no Capítulo 3.

Objetiva-se avaliar o comportamento destas técnicas e validar as metodologias propostas em

dados experimentais. Para isso, dois experimentos distintos foram realizados em laboratório.

No primeiro experimento, toda a superfície superior de uma amostra metálica de aço AISI 304

foi aquecida uniformemente e as demais superfícies foram isoladas. Além do mais as

dimensões laterais são bem maiores que a espessura da amostra. Assim, a condição de

unidimensionalidade do modelo térmico foi garantida. No segundo experimento, também uma

amostra de aço AISI 304 com dimensões diferentes da primeira foi aquecida em parte de sua

superfície superior e todas as outras superfícies foram isoladas, caracterizando a condição de

experimento tridimensional. Os cálculos referentes à teste de malha, estimação do fluxo de

calor utilizando as técnicas de problemas inversos propostas e à distribuição temporal de

temperatura foram realizados em uma máquina equipada com processador Intel CoreTM 2

Quad, modelo Q6600 com 2,4 GHz de velocidade de processamento, e 3,7 GBytes de

memória RAM.

62


Para este modelo as Equações 3.1 a 3.7 foram usadas para obter a solução de

temperatura em um problema com condições de contorno de fluxo prescrito e uniforme em

toda a superfície superior da amostra e isolamento nas superfícies restantes. Como o modelo

térmico é unidimensional, não há necessidade de um refinamento de malha nas direções x e y,

pois essas direções não contribuirão para uma melhor representação do fenômeno térmico

ocorrido. Depois de testes de refinamento de malha, verificou-se que uma malha uniforme

regular de 5 elementos no eixo x, 5 elementos no eixo y e 15 elementos no eixo z era

suficiente para garantir bons resultados de representabilidade do fenômeno de condução

térmica.

Com a amostra de aço inox AISI 304, descrita no Capítulo 5, que possui as dimensões

de 49,9 x 49,9 x 10,9 mm. A fim de garantir valores médios confiáveis de temperatura

experimental, foram realizados 30 experimentos (Holman, 2001), onde em cada experimento

houve uma coleta de 2500 pontos de temperatura obtidos pelo sistema de aquisição de dados.

O fluxo de calor empregado em cada experimento foi da ordem de 2100 W/m², com um

tempo de aquecimento de 140 s. O intervalo de tempo entre as tomadas de temperatura foi de

0,1 s. Estas condições experimentais foram usadas para garantir a hipótese de propriedades

termofísicas constantes. Os valores de condutividade térmica 14,61 W/m.K e da difusividade

térmica 3,74 x 10-6 m²/s foram obtidos de Carollo (2010). Para uma melhor compreensão, o

fluxo de calor experimental utilizado é apresentado na Figura 6.1a, e a temperatura

experimental é mostrada na Figura 6.1b.

(a) (b)

Figura 6.1 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperatura experimental.

63

A comparação entre os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e

Regularização de Tikhonov com o fluxo experimental é mostrada na Figura 6.2. Observa-se

nesta figura uma boa concordância de comportamento entre as curvas, a diferença de valores

entre as curvas de fluxo de calor estimado e experimental pode ser por causa dos valores das

propriedades termofísicas e ao fato do isolamento empregado no experimento não ser perfeito.

Figura 6.2 – Comparação do fluxo experimental com o fluxo estimado pelas técnicas Função

Especificada e Regularização de Tikhonov.



forma constante, conforme descrito no Item 3.4.5 do Capítulo 3. Para a técnica Regularização

de Tikhonov foram utilizados a matriz H do tipo segunda ordem e o parâmetro de

regularização, pr, igual a 1 x 10-2. Uma discussão sobre como estes parâmetros foram

escolhidos é apresentado no trabalho de Beck et al. (1985).

Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição temporal de

temperatura para a posição do termopar mostrada no Item 5.3 do Capítulo 5. A Figura 6.3

mostra uma comparação das temperaturas calculadas com a experimental. Observa-se que as

temperaturas apresentaram ótima concordância de valores.

64


Regularização de Tikhonov com a temperatura experimental.

Para mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados

divergiram da temperatura experimental foram calculados os resíduos de temperatura. Estes

resíduos são calculados com base na diferença entre as temperaturas calculada e experimental

ponto a ponto, sendo esta diferença dividida pela temperatura Experimental correspondente,

cujos valores são mostrados na Figura 6.4. Observa-se que os valores estão no intervalo de ±

0,6 %, o que caracteriza uma boa concordância das temperaturas calculadas com a

temperatura experimental, que conseqüentemente conclui-se que os fluxos de calor estimados

representam o fluxo de calor real imposto às amostras. O fluxo de calor experimental adotado

neste trabalho representa os instantes de tempo quando a fonte de alimentação de tensão

contínua é ligada, e o máximo valor do fluxo de calor experimental representa a potência

máxima entregue pela fonte aos aquecedores resistivos.



65

Conforme demonstrado no Capítulo 4, o fluxo estimado pelas técnicas Brent, Seção

Áurea, DFP e BFGS possui grandes variações de valores, isto devido à solução ponto a ponto

em que estas técnicas operam. Estas oscilações flutuam em torno de um valor principal,

comportamento este presente em todos os fluxos estimados por estas técnicas. Foi utilizado o

software Tecplot para remover estas oscilações do fluxo de calor estimado. O comando

utilizado foi o Smooth, este comando possui as seguintes opções:

Zone – Especifica em qual conjunto de valores será realizada a filtragem;

Variable – Especifica qual variável dependente deverá ser filtrada;

Number of Passes – O número de passes que o filtro irá realizar na variável dependente

escolhida, quanto maior o número de passes, maior será a remoção de ruídos do sinal;

Coefficient – Especifica o fator de relaxação de cada passe do filtro. Este número deve ficar

entre 0 e 1, próximo de 1 significa uma remoção agressiva de ruído por passe, próximo de 0

significa uma remoção branda de ruído por passe;

Boundary – Especifica a condição de fronteira no processo de filtragem, a opção Fixed diz ao

comando que os pontos na fronteira não terão os valores modificados, a opção First Order diz

que os pontos na fronteira terão seus valores filtrados assumindo que a primeira derivada seja

constante, a opção Second Order diz que os pontos na fronteira terão seus valores filtrados

assumindo que a segunda derivada seja constante.

A Figura 6.5 mostra a janela do comando Smooth onde as opções acima descritas

podem ser alteradas.

Figura 6.5 – Janela do Comando Smooth.

66

Depois de muitos testes, verificou-se que a melhor opção para reduzir os ruídos

presentes no fluxo de calor estimado pelas técnicas Brent, Seção Áurea, DFP e BFGS foi ter

Number of Passes igual a 20, Coefficient igual a 0,5 e Boundary igual Fixed.


apresentados nas Figuras 6.6a e 6.6b.

(a) (b)


Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.

As temperaturas calculadas com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent,

DFP e BFGS são apresentadas nas Figuras 6.7a e 6.7b. Observa-se que as temperaturas

apresentaram ótima concordância de valores.

(a) (b)



67

As Figuras 6.8a e 6.8b mostram como foi o comportamento dos resíduos de temperatura

para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. A forma de como estes resíduos de

temperatura foram calculados é a mesma empregada para os resíduos de temperatura das

técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov. Como os resíduos de temperatura

ficaram no intervalo de ± 0,002 %, o fluxo de calor estimado por estas técnicas representa

muito bem o fluxo de calor real imposto às amostras de aço inox.

(a) (b)




a estimação do fluxo de calor real e para a estimação de temperatura. Este mesmo

comportamento foi apresentado para os outros 29 experimentos restantes. As técnicas Seção

Áurea, Brent, BFGS e DFP foram as que obtiveram melhores resultados para obtenção da

temperatura. Observa-se na Tabela 6.1 que para o problema unidimensional estas técnicas

tiveram um tempo de processamento menor quando comparadas às técnicas Função

Especificada e Regularização de Tikhonov, mesmo tendo que calcular todos os pontos de toda

malha nodal uniforme a cada tentativa de mínimo. Esta diferença no tempo de processamento

se deve ao fato que o número de nós usados é pequeno, uma vez que o maior refinamento da

malha encontra-se na espessura que é menor que as outras dimensões. O fato de recalcular

todos os pontos nodais a cada tentativa de mínimo torna a estimação da temperatura mais

precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados. As técnicas Seção

Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura inferiores a 0,002 %, mas para as técnicas

DFP e BFGS os resíduos foram inferiores a 1 x 10-8 %. Para as técnicas Função Especificada

68

e Regularização de Tikhonov é necessário que se calcule anteriormente os coeficientes de

sensibilidade, conforme descrito no Capítulo 3. Os tempos de processamento apresentados na

Tabela 6.1 para as técnicas Regularização de Tikhonov e Função Especificada levam em

conta apenas o tempo gasto para estimar os fluxos de calor, não sendo contabilizado o tempo

gasto no cálculo dos coeficientes de sensibilidade.

Tabela 6.1 – Tempo de processamento gasto em cada técnica para validação.


Brent 0,01

Seção Áurea 0,05

BFGS 0,58

DFP 0,59

Função Especificada (r = 125) 0,64

Regularização de Tikhonov (pr = 1,0 x 10-2) 37,46


Para os cálculos numéricos tridimensionais foi escolhida uma malha uniforme regular

de 101 elementos no eixo x, 61 elementos no eixo y e 71 elementos no eixo z, conforme

descrito no Capítulo 3. A amostra de aço inox AISI 304 possui as dimensões de 100,0 x 60,0

x 9,5 mm. As dimensões e posições dos aquecedores resistivos são detalhadas no Capítulo 5.

A fim de garantir valores médios confiáveis de temperatura experimental, foram realizados 43

experimentos (Holman, 2001). Cada experimento teve a duração de 250 s, sendo o fluxo nulo

(fonte de alimentação de tensão contínua desligada) nos primeiros 30 s, seguidos de 70 s com

fluxo da ordem de 4000 W/m² (fonte ligada), e os últimos 150 segundos com fluxo nulo. O

intervalo de tempo entre as tomadas de temperatura foram de 0,2 s, totalizando 1250 pontos

de temperatura. As propriedades termofísicas foram consideradas as mesmas do experimento

unidimensional, isto é, condutividade térmica igual a 14,61 W/m.K e difusividade térmica de

3,74 x 10-6 m²/s (Carollo, 2010). Os valores adotados para o fluxo de calor e para o tempo de

aquecimento garantem uma diferença de temperatura inferior a 7 °C, cujo objetivo é manter a

condição de propriedades térmicas constantes.

69

Para os experimentos tridimensionais foram usados dois termopares, um colocado na

posição x = 25,0 mm, y = 25,0 mm e z = 9,5 mm, e o outro na posição x = 55,0 mm, y = 6,0

mm e z = 0,0 mm, uma descrição do posicionamento destes termopares é mostrada em

detalhes no Capítulo 5. Como o aquecedor resistivo não cobre toda a superfície, a distribuição

de temperatura pela amostra se dá de forma não uniforme. Com o uso de mais de um termopar

é possível coletar dados de temperatura de diferentes regiões da amostra, trazendo mais

informações de como a difusão de calor se dá sobre o experimento. Escolheu-se utilizar dois

termopares, pois o aumento no número de termopares tornaria o isolamento do experimento

uma tarefa complexa.

Para uma melhor compreensão, o fluxo de calor experimental utilizado é apresentado na

Figura 6.9a, e as temperaturas experimentais adquiridas pelos termopares são mostradas na

Figura 6.9b.

(a) (b)

Figura 6.9 – (a) Fluxo experimental; (b) Temperaturas experimentais.

Na Figura 6.10 são comparados os fluxos de calor estimados pelas técnicas Função

Especificada e Regularização de Tikhonov com o fluxo experimental. Conforme descrito no

Capítulo 3, a técnica Função Especificada foi implementada para vários sensores de

temperatura. Com este tipo de técnica é possível estimar o fluxo de calor imposto às amostras

coletando informações de diferentes posições, sendo assim, é feita uma média, ao invés de

estimar o fluxo de calor de apenas um único ponto de medição. Neste trabalho, só a técnica

Função Especificada foi utilizada com vários sensores de temperatura, as demais técnicas

utilizaram apenas um sensor para estimar o fluxo de calor. Observa-se que o fluxo de calor

70

estimado pela técnica Função Especificada é um fluxo médio entre os fluxos de calor

estimados pela técnica Regularização de Tikhonov.

Figura 6.10 – Comparação do fluxo Experimental com o fluxo estimado pelas técnicas




forma constante, conforme descrito no Item 3.4.5 do Capítulo 3. Para a técnica Regularização

de Tikhonov foram utilizados a matriz H do tipo segunda ordem e o parâmetro de

regularização, pr, igual a 1,2 x 10-2. Uma discussão sobre como estes parâmetros foram

escolhidos é apresentada no trabalho de Beck et al. (1985).

Com os valores de fluxo de calor estimados, calculou-se a distribuição de temperatura

para a posição do termopar referente. No caso do fluxo de calor estimado pela técnica função

Especificada, o mesmo fluxo de calor estimado foi empregado no cálculo da distribuição de

temperatura para as duas posições de termopares. A Figura 6.11 mostra uma comparação das

temperaturas calculadas, para as posições especificadas, com as temperaturas adquiridas pelos

termopares. Observa-se que as temperaturas apresentaram uma concordância de valores.

71


Regularização de Tikhonov com a temperatura Experimental.

Para mostrar o quanto as temperaturas calculadas a partir dos fluxos estimados

divergiram da temperatura de referência foram calculados os resíduos de temperatura para

este caso também (Figura 6.12). Observa-se que os resíduos de temperatura ficaram dentro de

um intervalo de ± 1,5 %, o que caracteriza uma boa concordância dos fluxos estimados com o

fluxo real imposto às amostras de aço inox.




apresentados nas Figuras 6.13a e 6.13b. Assim como aconteceu no caso unidimensional, foi

usado o mesmo procedimento empregado para reduzir as oscilações dos fluxos de calor

estimado por estas técnicas.

72

(a) (b)


Seção Áurea e Brent; (b) DFP e BFGS.

Nas Figuras 6.14a e 6.14b são apresentadas as comparações das temperaturas calculadas

com os fluxos estimados pelas técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS com as

temperaturas experimentais. Observa-se uma boa concordância dos valores de temperatura.

(a) (b)



As Figuras 6.15a e 6.15b mostram como foi o comportamento dos resíduos de

temperatura para as técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS. Como os valores dos resíduos

de temperatura ficaram dentro do intervalo de ± 0,001 %, os fluxos de calor estimados por

73

estas técnicas têm boa concordância com o fluxo de calor real impostos sobre as amostras de

aço inox.

(a) (b)




estimação do fluxo de calor e da temperatura. O mesmo comportamento foi obtido para os

outros 42 experimentos restantes. As técnicas de otimização Seção Áurea, Brent, BFGS e

DFP obtiveram melhores resultados para obtenção da temperatura, entretanto, observa-se na

Tabela 6.2 que estas técnicas de otimização têm um alto tempo de processamento quando

comparadas às técnicas Função Especificada e Regularização Tikhonov. Esta diferença no

tempo de processamento se deve ao fato que as técnicas Função Especificada e Regularização

de Tikhonov necessitam resolver apenas uma vez as Equações 3.1 a 3.7, para o cálculo dos

coeficientes de sensibilidade, de forma numérica, cuja discretização espacial, no caso

tridimensional, gera muito pontos nodais e isto demanda muito tempo de processamento para

que se calculem todos estes pontos. Para as técnicas de otimização, a cada tentativa de

mínimo pontual da função objetivo, é preciso recalcular toda a malha nodal, aumentando o

tempo de processamento requerido. O fato de recalcular todos os pontos nodais a cada

tentativa de mínimo, apesar de aumentar o tempo de processamento, torna a estimação da

temperatura mais precisa, o que pode ser visto pelos resíduos de temperatura apresentados. As

técnicas Seção Áurea e Brent obtiveram resíduos de temperatura no intervalo de ± 0,001 %,

mas para as técnicas DFP e BFGS os resíduos ficaram no intervalo de ± 1,0 x 10-8 %. O

tempo mostrado na Tabela 6.2 para as técnicas Função Especificada e Regularização de

74

Tikhonov é a soma do tempo gasto no cálculo dos coeficientes de sensibilidade e do tempo

gasto na estimação dos fluxos de calor.




Regularização de Tikhonov (pr = 1,2 x 10-2) 16086

Brent 107500


DFP 345600

BFGS 432000

Neste trabalho não foram empregados fluxímetros para medir diretamente o fluxo de

calor entregue pelos aquecedores resistivos. O uso destes fluxímetros implicaria em mais

resistência térmica de contato entre as amostras e tornaria o isolamento comprometido nos

experimentos, pois o próprio fluxímetro se comportaria como um ponto de dissipação de

calor, funcionando com uma aleta.

No Capítulo 7 serão apresentadas as conclusões deste trabalho e sugestões para

trabalhos futuros.

Capítulo 7

CONCLUSÕES

No presente trabalho foi desenvolvido um código computacional, em linguagem C com

algumas ferramentas implementadas em Java e Matlab, para o estudo da transferência de calor

por condução, utilizando algumas técnicas de problemas inversos. Os resultados foram

apresentados na forma de fluxo de calor e perfis de temperatura, para cada técnica estudada.

Com a metodologia proposta obteve-se boa representatividade do fluxo de calor estimado

pelas técnicas de problemas inversos quando comparado com o fluxo experimental, tanto para

os experimentos unidimensionais quanto para os tridimensionais.

Para o caso unidimensional, os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e

Regularização de Tikhonov obtiveram um comportamento semelhante ao do fluxo

experimental. A diferença entre as curvas pode ser devido ao isolamento utilizado na

montagem experimental, diferente do tipo de isolamento com o qual o modelo matemático foi

proposto. Mesmo com esta dificuldade em garantir um perfeito isolamento, as temperaturas

calculadas com estes fluxos estimados apresentaram boa concordância de valores com as

temperaturas experimentais, fato esse comprovado pelo baixo valor de resíduos de

temperatura, que ficou entre ± 0,6 %.

Para as técnicas Brent, Seção Áurea, DFP e BFGS foi necessário empregar um filtro

para eliminar as presentes oscilações no fluxo de calor estimado por estas técnicas. A

aplicação deste filtro foi simples e sua capacidade de eliminar oscilações no sinal de fluxo de

76

calor foi satisfatória. Ressalta-se que estas oscilações inviabilizariam qualquer análise sobre o

fluxo estimado, pois os valores de pico do fluxo estimado eram muito maiores que o valor

máximo do fluxo de calor experimental. Com a filtragem dos resultados, os fluxos estimados

por estas técnicas obtiveram resultados semelhantes aos fluxos estimados pelas técnicas

Função Especificada e Regularização de Tikhonov. Esta afirmação pode ser comprovada

observando os valores dos resíduos de temperatura que ficaram no intervalo de ± 0,002 %, e

com isso houve uma excelente concordância de valores das temperaturas calculadas com a

temperatura experimental.

Como a malha usada para a solução do modelo térmico unidimensional foi pequena, o

tempo de processamento gasto foi inferior a 1 segundo para todas as técnicas, com exceção da

técnica Regularização de Tikhonov. Esta técnica exige a inversão de matrizes e a tarefa de se

inverter uma matriz quadrada de 2500 por 2500 exigiu um tempo de processamento maior.

Este tempo foi superior a 35 segundos, valor este que não descredencia esta técnica como uma

opção a ser utilizada em estimativas de fluxo de calor para problemas térmicos

unidimensionais.

Diferente do caso unidimensional, onde foi utilizado apenas 1 termopar, no caso

tridimensional foram utilizados dois termopares. O uso de mais de um termopar possibilita

estimar o fluxo de calor tomando como base o comportamento da temperatura em mais de um

ponto. Isto traz benefícios nos resultados finais, pois o fluxo de calor é estimado em uma

maior região do que em um único ponto. Neste presente trabalho apenas a técnica Função

Especificada estimou um fluxo de calor usando os dois sinais de temperatura experimental

disponíveis.

Os fluxos estimados pelas técnicas Função Especificada e Regularização de Tikhonov

obtiveram um comportamento semelhante ao da curva do fluxo experimental para o

experimento tridimensional. Entretanto, ocorreu uma maior diferença entre os valores

máximos dos fluxos estimados em relação ao experimental. Este fato é devido à maior

dificuldade em se obter um perfeito isolamento no caso tridimensional. Esta dificuldade em

garantir o isolamento também é diferente nas posições escolhidas para os termopares.

Observou-se que o fluxo estimado para o termopar 1 é diferente que o fluxo estimado a partir

do termopar 2, usando a técnica Regularização de Tikhonov como estimador para os fluxos de

calor.

77

As temperaturas calculadas usando o único fluxo de calor estimado pela técnica Função

Especificada divergiram ligeiramente das temperaturas experimentais. Novamente pode ser

devido à dificuldade de isolamento nos pontos escolhidos. As temperaturas calculadas a partir

dos fluxos estimados pela técnica Regularização de Tikhonov obtiveram uma melhor

concordância de valores. Mesmo com essa divergência na temperatura calculada, os resíduos

de temperatura mostraram valores no intervalo de ± 1,5 %.

Assim como foi feito para o caso unidimensional, foi utilizado um filtro para eliminar as

oscilações presentes nos fluxos estimados pelas técnicas Brent, Seção Áureas, DFP e BFGS.

Houve certa divergência de valores nas curvas dos fluxos estimados se comparado ao fluxo

experimental. Esta divergência pode ter sido causada devido ao modelo de fronteira escolhido

do comando Smooth, o modelo Fixed. Esta divergência, porém, ocorreu em uma região de

fluxo experimental nulo, dessa forma não houve prejuízos para a análise dos fluxos estimados.

As temperaturas calculadas obtiveram boa concordância com as experimentais, fato que pôde

ser comprovado pelos resíduos de temperatura que ficaram no intervalo de ± 0,001 %.

Quando se analisa o tempo de processamento gasto em todas as técnicas de problemas

inversos para o caso tridimensional, nota-se que o tempo é muito maior que o tempo gasto no

caso unidimensional. Este aumento é devido à malha utilizada para o caso tridimensional na

solução do problema térmico de difusão do calor. Esta malha é cerca de mil e cem vezes

maior do que a malha unidimensional. Outro fato que deve ser mencionado é a diferença no

tempo de processamento gasto nas técnicas Função Especificada e Regularização de

Tikhonov com as demais técnicas. Esta diferença reside no fato que nas demais técnicas é

preciso calcular todos os pontos de temperatura da malha para cada tentativa de se minimizar

a função objetivo, o que não acontece com as técnicas Função Especificada e Regularização

de Tikhonov. Para estas técnicas é necessário calcular apenas uma vez os coeficientes de

sensibilidade, o cálculo da estimativa dos fluxos de calor é feito por procedimento seqüencial

no caso da Função Especificada e por manipulação de matrizes no caso da Regularização de

Tikhonov. Estes procedimentos necessitam de menor poder de processamento do que o

cálculo de todos os pontos de temperatura da malha a cada tentativa de mínimo, que é exigido

pelas demais técnicas.

Conclui-se, portanto, que o objetivo de investigação das técnicas de problemas inversos

para estimação do fluxo de calor foi alcançado. Pois tanto para os experimentos

tridimensionais quanto para os unidimensionais, os fluxos estimados se aproximaram do

78

experimental. Os resíduos de temperatura permaneceram no intervalo de ± 1,5 %, valores

estes considerados pequenos visto que o modelo matemático proposto exige um isolamento

perfeito. Na pratica é muito difícil de se conseguir um perfeito isolamento, como foi

demonstrado tanto para o caso unidimensional como para o caso tridimensional.

7.1 PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS

Para a continuação deste trabalho objetiva-se usar as técnicas de problemas inversos

para estimação do aporte de calor em um processo de soldagem TIG ou MIG pulsado.

Outra proposta para continuidade deste trabalho é implementar o cálculo da

sensibilidade no método da função especificada de forma analítica, para o problema térmico

tridimensional. Com o uso desta metodologia baseada em funções de Green será possível

levar em consideração os efeitos do coeficiente de transferência de convecção. A obtenção da

solução de temperatura analítica para o caso tridimensional vai reduzir o tempo de

processamento, uma vez que a temperatura só será calculada para o ponto desejado e não para

todos os pontos da malha como é feito para o método numérico.

Outra sugestão para a continuidade deste trabalho é implementar uma regularização

para as técnicas de problemas inversos que fazem a estimação do fluxo de calor ponto a ponto

no tempo. Assim, será feita uma correção para as oscilações apresentadas.

Por fim novas técnicas de problemas inversos serão investigadas como, por exemplo, o

uso conjunto de problemas inversos com o método do Gradiente Conjugado, visando

aprimorar ainda mais a estimativa do fluxo de calor.

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Apêndice A

VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL IGNIS

Neste apêndice é apresentada a validação do código computacional desenvolvido. Foi

escolhido para validação o problema particular onde o fluxo de calor Φ1(t) é imposto em toda

a superfície superior da amostra, como mostrado na Figura A.1. Esta validação é realizada

através da comparação da solução obtida resolvendo o modelo numericamente, utilizando o

método das diferenças finitas para a discretização do espaço e formulação implícita para a

discretização do tempo, com a solução obtida de forma analítica usando as Funções de Green.

Figura A.1 – Esquema do problema térmico simulado.

A equação da difusão de calor que descreve o problema apresentado na Figura A.1 pode

ser escrita como sendo:

t

tzyxT

z

tzyxT

y

tzyxT

x

tzyxT

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ),,,(1),,,(),,,(),,,(

2

2

2

2

2

2

α (A.1)

A região 0,0,0:),,( 3 czbyaxzyxU ≤≤≤≤≤≤ℜ∈= é sujeita à condição inicial:

x

yz

a

b

c

Φ1(t)

U

85

)(),0,,(

1 tΦz

tyxT =∂

∂− λ (A.2)

0),,,( =

∂∂

z

tcyxT (A.3)

0),,,(),,,0( =

∂∂=

∂∂

x

tzyaT

x

tzyT (A.4)

0),,,(),,0,( =

∂∂=

∂∂

y

tzbxT

y

tzxT (A.5)

e à condição inicial:

0)0,,,( TzyxT = (A.6)

sendo x, y, e z as coordenadas cartesianas, t o tempo, Φ1(t) o fluxo de calor imposto, T0 a

temperatura inicial do corpo, λ é a condutividade térmica, α é a difusividade térmica e a, b e c

as dimensões da amostra.

A Equação A.1, discretizada, como demonstrado no Capítulo 3, pode ser escrita por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

,,,,222

21,,

21,,

2,,1

2,,1

2,1,

2,1,

222 −

+−+−−+

∆−=

∆+

∆+

∆+

∆−

+∆

+∆

+∆

+∆

+∆

+∆

pkji

ppkji

p

pkji

pkji

pkji

pkji

pkji

pkji

Tt

cT

t

c

zyx

z

T

z

T

x

T

x

T

y

T

y

T

λρ

λρ

(A.7)

As Equações A.1 a A.6 modelam o problema onde um aquecimento uniforme é aplicado

em toda superfície z = 0. A amostra escolhida tem as dimensões em x e y cerca de 5 vezes

maiores que a dimensão em z. Dessa forma, o fluxo de calor e como conseqüência a

distribuição de temperatura têm comportamento unidimensional. Portanto, foi possível

comparar a solução numérica com a solução analítica conhecida, utilizando Funções de Green

(Özisik, 1993). Esta solução analítica pode ser representada pela distribuição de temperatura

escrita como:

( ) ( )∑ ∫∫∞

=

−−−++==1 0

1

0

10

2

)1(2

)(),(),,,(k

ttk

t

dΦec

dΦc

TtcTtcyxT k ττλαττ

λα ταβ (A.8)

86

onde kβ são os autovalores definidos por ck

kπβ = , com k = 1, 2, ..., ∞.

Como neste caso o fluxo de calor aplicado é constante, pode-se retirar o termo 1Φ de

dentro da integral. Desta forma, tem-se:

( )∑ ∫∫∞

=

−−−++=1 0

1

0

10

2

)1(2

),(k

ttk

t

dec

Φd

c

ΦTtcT k τ

λατ

λα ταβ (A.9)

Realizando as devidas operações matemáticas, obtém-se a solução para o problema

térmico proposto:

∑∞

=

−

−−++=

122

110

2

22

1)1(2

),(k

c

tkk

ek

cΦ

c

tΦTtcT

απ

λπλα

(A.10)

onde k = 1, 2, ..., ∞.

Para a solução numérica utilizou-se uma malha uniforme regular de 5 elementos no eixo

x, 5 elementos no eixo y e 15 elementos no eixo z, escolhida após a realização dos testes de

refinamento da malha. O domínio de cálculo possui as dimensões de 49,9 x 49,9 x 10,9 mm,

onde foram obtidos 1250 pontos de temperatura. Nos primeiros 30 segundos não houve

aquecimento. O fluxo de calor empregado foi da ordem de 2100 W/m², com um tempo de

aquecimento de 140 s. Nos 80 segundos finais também não houve aquecimento. O intervalo

de tempo entre as tomadas de temperatura foi de 0,2 s. Os valores de condutividade térmica

14,61 W/m.K e da difusividade térmica 3,74 x 10-6 m²/s foram obtidos de Carollo (2010), que

são referentes ao Aço Inox AISI 304. Para comparação com a solução analítica foi

considerado apenas o tempo de aquecimento.

A seguir encontram-se os resultados entre as temperaturas obtidas numericamente e

analiticamente. As Figuras A.2 e A.3 mostram respectivamente a distribuição e o resíduo de

temperatura para o Aço Inox AISI 304.

87

Figura A.2 – Comparação entre a temperatura calculada de forma analítica e numérica.

Figura A.3 – Resíduos entre as temperaturas numéricas e analíticas.

Como mostrado pela Figura A.2, as curvas de temperaturas se sobrepõem ao longo de

todo o tempo de aquecimento, que foi de 140 s. Os Resíduos de temperatura, apresentados

pela Figura A.3, foram inferiores a 0,09%, caracterizando uma boa concordância da

temperatura analítica com a temperatura numérica. Assim, dessa forma pode-se concluir que o

software Ignis resolve com acurácia a equação da difusão de calor tridimensional, fornecendo

resultados numéricos de temperatura que representam realisticamente a física do problema

estudado.

Apêndice B

O SOFTWARE IGNIS

B.1 INTRODUÇÃO

Embora existam muitos códigos comerciais voltados à solução de problemas em

transferência de calor, estes são em grande parte voltados a casos específicos, geralmente

possuem um código fechado, sem acesso, além do alto custo de aquisição envolvido. Com

base nestes fatos e também considerando todo o aprendizado envolvido no desenvolvimento

de um programa, optou-se durante a realização deste trabalho de mestrado, pela construção de

um código computacional novo denominado Ignis.

O software Ignis foi desenvolvido para o cálculo do fluxo de calor aplicado em amostras

sólidas, utilizando técnicas de problemas inversos.

O nome Ignis, que tem origem no latim, foi escolhido com base no seu significado

“fogo”, com uma analogia à transferência de calor. Este software foi desenvolvido com o

objetivo de operar tanto no sistema operacional Windows como no sistema operacional Linux.

Por ser um software concebido para operar em múltiplos sistemas operacionais, os

recursos de gerenciamento de interface gráfica foram desenvolvidos para operar em ambos os

sistemas operacionais anteriormente citados, mas os recursos de cálculo matemático do

software são específicos para o sistema operacional Windows ou Linux. Para garantir esta

portabilidade de gerenciamento de interface gráfica do código, foi escolhida a linguagem de

89

programação Java (Deitel e Deitel, 2005). Esta linguagem também oferece o recurso de

operação remota, onde o software fica instalado em um servidor e os usuários podem acessá-

lo remotamente via internet, utilizando-se de navegadores. Outra característica da linguagem

Java é de possuir uma sintaxe similar à linguagem C/C++.

O corpo principal do software Ignis que engloba a solução das equações que modelam o

problema de transferência de calor foi desenvolvido em C/C++ com o objetivo de otimizar o

desempenho do programa. Alem disto, foram utilizadas as bibliotecas matemáticas GNU

Scientific Library (Brouwer et al, 2009) e MATLAB C Math Library (Coisson e Allodi, 1997)

no desenvolvimento das técnicas de problemas inversos Função Especificada e Regularização

de Tikhonov. As técnicas Brent e Seção Áurea já se encontravam implementadas na

biblioteca GNU Scientific Library. A biblioteca MATLAB C Math Library trouxe para o

software Ignis recursos de manipulação de possíveis erros ocorridos durante a execução do

programa. Por ser uma biblioteca específica do sistema operacional Windows, foi utilizada a

biblioteca Win32 API (Petzold e Yao, 1997) para uma maior integração do software Ignis

com o sistema operacional Windows, possibilitando um melhor gerenciamento das etapas de

cálculo durante o processo de estimação do fluxo de calor. Para melhorar o desempenho e

reduzir o tempo de processamento, foi também utilizada a biblioteca OpenMP API (Chapman

et al, 2007) para o uso de processamento paralelo em um processador de vários núcleos.

Também foi utilizada a linguagem de programação Fortran em conjunto com a

linguagem C/C++ no desenvolvimento do software Ignis, sem a necessidade de adaptações no

código Fortran (Chivers e Sleightholme, 2008). Assim, dessa forma, foram utilizadas as

técnicas de problemas inversos DFP e BFGS, cuja estrutura já se encontrava disponível no

pacote computacional DOT (Vanderplaats, 2005), como também o método MSIP para solução

de sistemas lineares.

B.2 DESCRIÇÃO DA INTERFACE

Como comentado anteriormente, o software Ignis pode ser operado localmente,

instalado na máquina do usuário ou operado remotamente, sendo o software instalado em um

90

servidor e acessado via internet utilizando-se de navegadores. Nas Figuras B.1a e B.1b são

mostrados os modos de operação descritos anteriormente.

(a) (b)

Figura B.1 – Modos de operação do software Ignis: (a) Local; (b) Remoto.

Nas Figuras B.1a e B.1b também são mostrados exemplos da janela principal do

programa, que é dividida em 3 partes. Na parte superior é apresentada uma pequena descrição

do programa, assim como a data e a hora em que o programa foi iniciado. Abaixo estão duas

abas para a escolha do problema 1D ou 3D, onde são apresentadas as técnicas de problemas

inversos para cada caso. Na parte inferior encontra-se o botão para iniciar o cálculo da

estimação do fluxo e a exibição de mensagens informando a situação do comando executado.

B.2.1 Caso Unidimensional

Para o caso unidimensional, na Figura B.2 são mostradas as técnicas de problemas

inversos Função Especificada, Regularização de Tikhonov, Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS.

Para a técnica Função Especificada é dada a opção para o usuário escolher a técnica usando

um único sensor ou vários sensores de temperatura. Também é mostrada uma caixa onde o

usuário entra com o número de tempo futuros para a estimação do fluxo de calor. Para a

técnica Regularização de Tikhonov é dada para o usuário a opção de escolher entre a ordem

zero, primeira ordem ou segunda ordem e também uma caixa onde o usuário entra com o

91

valor do parâmetro de regularização para a estimação do fluxo de calor. As opções das

técnicas Seção Áurea, Brent, DFP e BFGS são dadas abaixo, bastando ao usuário escolher

entre elas para se efetuar a estimação do fluxo de calor.

Figura B.2 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso unidimensional.

Depois de escolhida qual a técnica de Problema Inverso que se utilizará, basta

pressionar o botão Iniciar para que se inicie o processo de estimação do fluxo de calor.

Primeiramente é aberta uma caixa de diálogo onde o arquivo do fluxo de calor experimental

deve ser selecionado, como mostrado na Figura B.3.

Figura B.3 – Caixa de diálogo para a seleçao do arquivo de fluxo experimental.

92

O arquivo do fluxo experimental é um arquivo texto em duas colunas, onde na primeira

coluna são os tempos de amostragem e na segunda coluna são os valores do fluxo de calor. Na

Figura B.4 é mostrado um exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.

Figura B.4 – Exemplo de arquivo de fluxo de calor experimental.

Logo após, é mostrada uma caixa de diálogo onde se deve selecionar o arquivo da

temperatura experimental, como mostrado na Figura B.5.

Figura B.5 – Caixa de diálogo para a seleção do arquivo de temperatura experimental.

O arquivo de temperatura experimental é um arquivo texto em duas colunas, onde na

primeira coluna são os tempos de amostragem e na segunda coluna são os valores de

temperatura experimental. Na Figura B.6 é mostrado um exemplo de arquivo de temperatura

experimental.

93


Na próxima caixa de diálogo deve-se selecionar o arquivo com as propriedades da

amostra, como mostrado na Figura B.7.

Figura B.7 – Caixa de diálogo para o arquivo de propriedades da amostra.

O arquivo de propriedades da amostra é um arquivo texto composto pela condutividade

térmica na primeira linha e a difusividade térmica na segunda linha. O intervalo de tempo está

na terceira linha, o tamanho da amostra e a posição do termopar em x na quarta linha, o

tamanho da amostra e a posição do termopar em y na quinta linha e o tamanho da amostra e a

posição do termopar em z na sexta linha. Na sétima linha estão os números de nós da malha

nos eixos x, y e z. Na Figura B.8 é mostrado um exemplo de arquivo de propriedades da

amostra.

94


Após terminada a estimação dos fluxos de calor, é aberta uma caixa de diálogo

solicitando um nome para o arquivo que salvará os cálculos efetuados (Figura B.9). O arquivo

será gerado no formato *.mat, formato este que poderá ser aberto no Matlab, para cálculos

posteriores e geração de gráficos.

Figura B.9 – Caixa de diálogo onde os cálculos efetuados serão salvos.

No arquivo *.mat gerado é salvo o fluxo de calor experimental, o fluxo de calor

estimado, a temperatura calculada, a temperatura experimental e o tempo físico da simulação.

Na Figura B.10 é mostrado um exemplo de arquivo *.mat gerado com seus respectivos

valores.

95

Figura B.10 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat.

Os resultados deste exemplo simulado são apresentados em 4 gráficos. Nos primeiro

gráfico é apresentado o fluxo de calor estimado juntamente com o fluxo de calor

experimental, com intuito de se fazer uma comparação qualitativa entre ambos. Um exemplo

deste gráfico é mostrado na Figura B.11.

Figura B.11 – Comparação entre o fluxo de calor estimando e o experimental.

No segundo gráfico é apresentada a temperatura calculada juntamente com a

temperatura experimental. Um exemplo do gráfico de temperaturas é mostrado na Figura

B.12.

96

Figura B.12 – Comparação entre a temperatura calculada e temperatura experimental.

No terceiro gráfico é apresentado o resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e

o fluxo de calor experimental. Um exemplo deste gráfico é apresentado na Figura B.13.

Figura B.13 – Resíduo porcentual entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de calor

experimental.

No quarto gráfico é apresentado o resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a

temperatura experimental. Um exemplo deste gráfico é apresentado na Figura B.14.

97

Figura B.14 – Resíduo porcentual entre a temperatura calculada e a experimental.

Por fim, no canto inferior esquerdo da tela principal do programa, é fornecido o tempo

gasto de processamento no cálculo da estimação do fluxo de calor, como demonstrado na

Figura B.15.

Figura B.15 – Tempo gasto de processamento.

B.2.2 Caso Tridimensional

Para o caso tridimensional (Figura B.16), são mostradas as opções Função Especificada

e Regularização de Tikhonov, como os mesmos parâmetros de escolha utilizados para o caso

unidimensional.

98

Figura B.16 – Técnicas de Problemas Inversos implementadas para o Caso tridimensional.

Para o caso tridimensional são apresentadas as mesmas caixas de diálogos do caso

unidimensional, com o acréscimo de mais uma caixa de diálogo, solicitando os coeficientes de

sensibilidade. Esta caixa de diálogo é mostrada na Figura B.17.

Figura B.17 – Caixa de diálogo para o arquivo dos coeficientes de sensibilidade.

Como demonstrado no Capítulo 3, os coeficientes de sensibilidade são os valores

calculados do modelo térmico tridimensional quando se tem a temperatura inicial igual a 0 ºC

e o fluxo de calor igual a 1 W/m2. Este arquivo é composto por duas colunas. Na primeira

coluna estão os tempos, e na segundo coluna os coeficientes de sensibilidade propriamente

ditos. Um exemplo deste arquivo é demonstrado na Figura B.18.

99

Figura B.18 – Exemplo de arquivo de coeficientes de sensibilidade.

No caso tridimensional não é calculada a temperatura, pois o cálculo da temperatura

demoraria mais de uma hora e o intuito do software Ignis é de ser um software de rápida

visualização do fluxo de calor estimado. Sendo assim, o arquivo *.mat gerado não possui os

valores de temperatura calculados. Um exemplo de arquivo *.mat gerado no caso

tridimensional é mostrado na Figura B.19.

Figura B.19 – Variáveis que compõem o arquivo *.mat gerado no caso tridimensional.

Como a temperatura não é calculada, são mostrados como resultados 2 gráficos. No

primeiro gráfico é apresentada uma comparação entre o fluxo de calor estimado e o fluxo de

calor experimental, como demonstrado pela Figura B.20.

100

Figura B.20 – Comparação entre o fluxo de calor estimado e experimental para o caso

tridimensional.

No segundo gráfico são apresentados os resíduos porcentuais entre o fluxo de calor

estimado e experimental (Figura B.21).

Figura B.21 – Resíduos porcentuais entre o fluxo de calor estimado e experimental para o

caso tridimensional.

comparação de técnicas de problemas inversos em …saturno.unifei.edu.br/bim/0038663.pdf ·...

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