Centro de Competência de Ciências Exactas e da Engenharia

Disciplina: Combinatória – Fundamentos e Aplicações

Docente: Teresa Gouveia

Discente: Raquel Camacho; Número: 2030305

Resolução do problema

“Como organizar o

encarceramento dos animais

no zoo?”

Funchal

2011

1

Índice

1. Resumo ........................................................................................................................ 2

2. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo? ........................... 3

3. Resolução do problema ................................................................................................ 4

3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema ............................ 4

3.2. Resolução do problema por tentativa e erro ......................................................... 5

3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell ........................ 7

4. Considerações Finais ................................................................................................. 10

5. Bibliografia ................................................................................................................ 11

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1. Resumo

Neste trabalho procuramos resolver um determinado problema a partir de dois

métodos. O problema tem como objectivo descobrir qual o menor número de ambientes

que um determinado zoo deve criar, de modo a encarcerar os seus animais sem que estes

se ataquem mutuamente ou transmitam doenças uns aos outros.

Para resolver este problema, apresentamos dois métodos. O primeiro baseia-se

na tentativa e erro e o segundo método baseia-se na Teoria dos Grafos, utilizando o

Algoritmo de Welsh-Powell para encontrar a solução do problema.

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2. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo?

Os gestores de um moderno e pequeno zoo gostariam de organizar o

encarceramento de animais que parecesse o mais natural possível.

Em cada ambiente deveria conviver uma variedade de animais compatíveis, isto

é, que não se atacassem mutuamente ou espalhassem doenças prejudiciais uns aos

outros.

A administração do zoo pretende começar por exibir 12 espécies e tem na sua

posse um documento que especifica quais são os animais que não podem se cruzar num

determinado ambiente. Assim, para organizar o encarceramento dos animais, a

administração tem de ter em conta que:

- as girafas não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões e

tigres;

- as zebras não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões, tigres e

chimpanzés;

- os ursos não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,

elefantes, tigres e chimpanzés;

- os camaleões não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões,

elefantes e tigres;

- as cobras não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,

pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés;

- os leões não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,

pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés;

- os pandas não podem estar no mesmo ambiente que cobras, leões, tigres e

gazelas;

- os elefantes não podem estar no mesmo ambiente que ursos e camaleões;

- os tigres não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, ursos,

camaleões, pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés.

Qual será o número mínimo de ambientes que a administração deve criar para

encarcerar os animais, de modo a rentabilizar o espaço disponível e de acordo com as

condições enunciadas?

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3. Resolução do problema

3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema

Como pudemos reparar, é difícil responder ao problema com a informação

disposta em texto. Assim, podemos criar uma tabela de dupla entrada que represente a

situação descrita.

Para isso e para facilitar na resolução do problema, atribuiremos a cada espécie

animal um número. Podemos ver quais são os animais do zoo a partir do enunciado do

problema. Assim, temos:

1- Girafas

2- Zebras

3- Ursos

4- Camaleões

5- Cobras

6- Leões

7- Pandas

8- Elefantes

9- Tigres

10- Gazelas

11- Cangurus

12- Chimpanzés

A tabela de dupla entrada poderá, então, ser organizada da seguinte forma:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 - X X X X

2 - X X X X X

3 X X - X X X X

4 X - X X X X

5 X X X - X X X X

6 X X X - X X X X

7 X X - X X

8 X X -

9 X X X X X - X X X

10 X X X X -

11 X X X -

12 X X X X X -

Nota: O símbolo X significa que o par de espécies respectivo não pode partilhar

um cárcere em comum. Por exemplo, a espécie 1 não se pode cruzar com a espécie 3, ou

seja, as girafas não podem estar no mesmo ambiente que os ursos.

5

1, 2, 3, …

1, 2, 4, 7, 11,

…

3, 12, …

3.2. Resolução do problema por tentativa e erro

Para resolver este problema por tentativa e erro, começaremos por tentar colocar

todas as espécies animais do zoo num só ambiente. Se não for possível, tentaremos a

mesma estratégia com dois ambientes. Continuaremos a proceder dessa forma até

conseguirmos distribuir todos os animais pelos diferentes ambientes.

Portanto, se o zoo tiver apenas um ambiente e analisando a tabela de dupla

entrada, podemos tentar distribuir os animais da seguinte forma:

No entanto, reparamos que este ambiente não está nas condições que o problema

nos coloca, já que as espécies 1 e 2 não podem se cruzar com a espécie 3. Assim, não é

possível organizar o encarceramento dos animais num só ambiente.

Verifiquemos agora a hipótese de o zoo ter apenas dois ambientes:

Reparemos que esta situação em que temos dois ambientes também não está nas

condições do problema, já que a espécie 3 não é compatível com a espécie 12.

Podíamos tentar colocar a espécie 12 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la da

espécie 3, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 2 que também não é compatível com

a espécie 12.

Assim, necessitamos de, pelo menos, três ambientes no referido zoo.

6

1, 2, 4, 7, 11,

…

12, 8, 10, 9,

…

3, 5, 6, …

1, 2, 4, 7, 11

12, 8, 10

3, 5, 6

9

Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter três ambientes:

Reparemos que também esta situação em que temos três ambientes não está nas

condições do problema, já que a espécie 12 não é compatível com a espécie 9.

Podíamos tentar colocar a espécie 9 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la da

espécie 12, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 1 que também não é compatível

com a espécie 9. Podíamos tentar colocar a espécie 9 no ambiente 3, mas nesse

ambiente encontra-se a espécie 3 que não é compatível com a espécie 9.

Assim, não podemos organizar os animais em apenas três ambientes. Vão ser

necessários, pelo menos, quatro ambientes no zoo.

Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter quatro ambientes:

Como podemos ver, se o zoo tiver quatro ambientes, as diferentes espécies

podem ser distribuídas sem qualquer problema. Uma vez que excluímos as hipóteses de

o zoo poder ter um, dois ou três ambientes, concluímos que quatro é o número mínimo

de ambientes que o zoo deverá ter de modo a que o encarceramento dos animais se faça

de acordo com as condições dadas inicialmente.

A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma:

- No ambiente 1 vão ser colocados girafas, zebras, camaleões, pandas e

cangurus;

- No ambiente 2 vão ser colocados chimpanzés, elefantes e gazelas;

- No ambiente 3 vão ser colocados ursos, cobras e leões;

- No ambiente 4 vão ser colocados os tigres.

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3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell

Para utilizar o algoritmo de Welsh-Powell podemos desenhar um grafo que

represente a situação descrita no problema e que já foi simplificada através da tabela de

dupla entrada.

Assim, o grafo seguinte representa a referida situação. Cada vértice do grafo

representa uma espécie diferente, identificada pelo número que lhe foi atribuído

anteriormente. Enquanto cada aresta indica quais são os animais que são incompatíveis,

ou seja, que não são susceptíveis de estarem num mesmo ambiente.

A partir do grafo podemos, então, recorrer ao algoritmo de Welsh-Powell. De

referir ainda que este algoritmo poderia ser utilizado sem o recurso ao grafo, podendo

nos basear apenas na informação disponível na tabela de dupla entrada.

No entanto, a análise do grafo dá uma melhor percepção dos ambientes que

deverão ser criados, de forma a que o problema seja solucionado.

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Aplicando o algoritmo de Welsh-Powell, temos:

Vértice Grau Ordenação Vértices não

adjacentes

Vértices

Seleccionados

Vértices

Rejeitados Cor

Vértice Grau

1 4 9 8 5, 6, 8 5, 6, 8 -

2 5 6 7 - - - -

3 6 5 7 - - - -

4 5 3 6 5, 6, 7, 10,

11 7, 11 5, 6, 10

5 7 2 5 1, 4, 7, 8,

10, 11 4, 1, 10 7, 11, 8

6 7 4 5 - - - -

7 4 12 5 1, 4, 7, 8,

10, 11 -

1, 4, 7, 8, 10,

11

8 2 1 4 - - - -

9 8 7 4 - - - -

10 4 10 4 - - - -

11 3 11 3 - - - -

12 5 8 2 - - - -

À medida que vamos aplicando o algoritmo, vamos pintando os vértices do

grafo, de modo a ir excluindo as hipóteses e a ir tendo uma ideia de como vão se dividir

os animais pelos diferentes ambientes.

9

Aplicando este algoritmo conseguimos chegar à conclusão de que será

necessário criar, no mínimo, quatro ambientes no zoo, de modo a que as diferentes

espécies de animais não se ataquem nem transmitam doenças umas às outras.

A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma:

- No ambiente 1 vão ser colocados tigres, cobras, leões e elefantes;

- No ambiente 2 vão ser colocados ursos, pandas e cangurus;

- No ambiente 3 vão ser colocados zebras, camaleões, girafas e gazelas;

- No ambiente 4 vão ser colocados os chimpanzés.

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4. Considerações Finais

Através deste problema, pudemos explorar dois métodos diferentes de resolução.

No primeiro método, que é bastante utilizado neste tipo de problemas, procuramos

encontrar a solução por tentativa e erro. Reparámos que se o zoo tivesse um, dois ou três

ambientes, haveria sempre animais que se atacariam mutuamente ou transmitiriam

doenças uns aos outros.

Repetimos o processo para o caso de o zoo ter quatro ambientes e reparámos que

neste caso não havia nenhum animal que ficasse numa situação em que se cruzasse com

animais incompatíveis.

Portanto, por tentativa e erro descobrimos que o número mínimo de ambientes

que a administração do zoo deve criar era quatro.

O segundo método consistiu na aplicação do algoritmo de Welsh-Powell, tendo

para isso representado a informação do problema num grafo. Através deste método,

facilmente chegámos à mesma conclusão que tínhamos chegado através do método

anterior.

É de salientar que em ambos os métodos obtivemos a mesma solução, ou seja,

que a administração do zoo deverá criar quatros ambientes distintos, mas obtivemos

uma distribuição diferente de animais em cada método.

Este facto não é relevante, pois existem diferentes distribuições que podem ser

feitas pelos quatro ambientes. Provavelmente se resolvêssemos o problema através de

um terceiro método, obtínhamos uma distribuição dos animais diferente das que

obtivemos neste trabalho.

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5. Bibliografia

Malkevitch, J. (1995). Modelos de Grafos. Lexington: COMAP