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Colegio Técnico Profesional del Valle de la Estrella Departamento de Matemática Profesor: Ariel Francisco Gómez García Nivel: 10° Habilidad específica: Representar gráficamente una circunferencia dado su centro y su radio. Representar algebraicamente una circunferencia dado su centro y su radio. Problema introductorio

Una antena de radio emite ondas a partir de un punto 𝐴. Cada onda cubre una

distancia máxima de 20 𝑘𝑚. Si se supone que el punto 𝐴 pertenece al plano cartesiano, con coordenadas 𝐴(1 , 2), ¿cuál es la ecuación de la circunferencia que describe la máxima distancia alcanzada por cada una de las ondas? ¿Cuál es la representación gráfica del problema anterior?

Distancia entre dos puntos

Sean los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2 , 𝑦2) del plano, la distancia entre esos dos puntos

se calcula mediante la fórmula 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Punto medio de un segmento

Sean los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2 , 𝑦2) del plano, el punto medio entre esos dos

puntos se calcula mediante la fórmula (𝑥1+𝑥2

2 ,

𝑦1+𝑦2

2)

2

Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos y el punto medio de los siguientes puntos.

𝑃(2 , 3) 𝑦 𝑄(−1 , 2)

𝑃(−2 , 4) 𝑦 𝑄(−6 , 3)

𝑃(4 , 5) 𝑦 𝑄(−1 , −6)

𝑃(2 , 0) 𝑦 𝑄(0 , 4)

𝑃(0 , 0) 𝑦 𝑄(−8 , 8)

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Representación geométrica de una circunferencia

Sea llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos 𝑃(𝑥 , 𝑦) de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano.

Dicho punto fijo se llama centro 𝐶(ℎ , 𝑘); a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se denomina radio.

Representación algebraica de una circunferencia

En geometría analítica, la gráfica de una circunferencia, con centro 𝐶(ℎ , 𝑘) y radio 𝑟 se puede expresar algebraicamente mediante la ecuación estándar de a forma (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Nota: Si nos piden determinar la ecuación de la circunferencia y nos dan el centro de la ecuación entonces se cambia de signo cada una de las coordenadas y el radio se eleva al cuadrado y si nos piden encontrar el centro de una ecuación se cambian de signo las coordenadas y se saca raíz cuadrada el número que se encuentra al otro lado de la igualdad. La ecuación general de la circunferencia es aquella de la forma

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 De acuerdo a la ecuación general, para encontrar la ecuación de la circunferencia

debemos de completar cuadrados primero con la fórmula (𝑏

2)

2

, en donde 𝑏 es el

valor de la coeficiente que acompaña a "𝑥" 𝑦 𝑎 "𝑦", posteriormente se suman esos valores a ambos lados de la igualdad, se aplican productos notables y se extrae el centro y el radio de la ecuación.

Ejemplo:

Determine el centro 𝐶(ℎ , 𝑘) y el radio 𝑟 de las siguientes gráficas.

4

Determine la ecuación de la circunferencia de acuerdo a las siguientes condiciones.

𝐶(−2 , 3) 𝑦 𝑟 = 6

𝐶(−1 , −4) 𝑦 𝑟 = 5

𝐶(0 , 8) 𝑦 𝑟 =5

4

𝐶(0 , 0) 𝑦 𝑟 =√3

2

𝐶 (−1

3 , 0) 𝑦 𝑟 = √10

5

Con base a las siguientes representaciones gráficas, obtenga el centro 𝐶(ℎ , 𝑘), el

radio 𝑟 y realice la ecuación de dicha circunferencia.

Determine el valor del centro y del radio para cada una de las siguientes ecuaciones de la circunferencia. (𝑥 − 14)2 + (𝑦 + 26)2 = 144 (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 576

6

𝑥2 + (𝑦 −5

4)

2

= 25

𝑥2 + 𝑦2 = 400

(𝑥 +3

2)

2

+ 𝑦2 = 169

Determine el centro y el radio de las siguientes ecuaciones.

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 16𝑦 + 91 = 0

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𝑥2 + 𝑦2 − 24𝑥 − 8𝑦 + 124 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 4𝑦 − 23 = 0

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Práctica De acuerdo a la representación gráfica de cada circunferencia, determine su

centro 𝐶(ℎ , 𝑘) y su radio 𝑟.

Determine la ecuación de la circunferencia de acuerdo a las condiciones dadas.

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Determine el centro 𝐶(ℎ , 𝑘) y el radio 𝑟 de las siguientes ecuaciones.

𝑥2 + 𝑦2 = 11 (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 4 (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 9

(𝑥 − √2)2

+ (𝑦 −1

2)

2

= 1

𝑥2 + 𝑦2 = 36

10

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 25

(𝑥 +3

4)

2

+ (𝑦 − 1)2 = 49

Determine la ecuación de la circunferencia de acuerdo a las siguientes condiciones.

𝐶(0 , −2) 𝑦 𝑟 = 4

𝐶(−3 , 0) 𝑦 𝑟 = 1

𝐶 (0 ,2

3) 𝑦 𝑟 = 3

𝐶(−7 , −2) 𝑦 𝑟 = √11

11

𝐶(0 , 0) 𝑦 𝑟 =1

2

𝐶 (−3

2 ,

4

3) 𝑦 𝑟 = 10

Determine la ecuación de la circunferencia.

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥 − 10𝑦 − 2 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 − 3 = 0

12

𝑥2 + 𝑦2 + 14𝑥 − 10𝑦 + 1 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 11 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑦 + 5 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 14𝑦 − 12 = 0

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Habilidad específica: Aplicar traslaciones a una circunferencia.

Traslación de circunferencias

Para trasladar la gráfica de una circunferencia (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2, con centro

𝐶(ℎ , 𝑘) y radio 𝑟, se determina un nuevo centro 𝑂(𝑎 , 𝑏) en el plano cartesiano con

igual radio, cuya ecuación estándar corresponde a (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2. Ejemplo:

Sea la ecuación de la circunferencia (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 1)2 = 9. Traslade la ecuación anterior al centro (2 , −3).

Sea la ecuación de la circunferencia (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 64. Traslade la ecuación anterior al centro (−2 , 5).

Dada la ecuación (𝑥 − 7)2 + (𝑦 + 5)2 = 81, se traslada 9 unidades hacia la izquierda y 10 unidades hacia abajo.

Dada la ecuación 𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = √101, se traslada 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Práctica

Si (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 1 y se traslada la circunferencia al centro (3 , 5); determine la ecuación estándar.

Si (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 y se traslada la circunferencia al centro (0 , 4); determine la ecuación estándar.

Si (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 5)2 = 49 y se traslada la circunferencia al centro (0 , 1); determine la ecuación estándar.

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Si (𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 6)2 = 16 y se traslada la circunferencia al centro (−2 , 4); determine la ecuación estándar.

Dada la ecuación (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 4, se traslada 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.

Dada la ecuación (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 1)2 = 9, se traslada 3 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba. Habilidad específica: Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones.

Problemas de circunferencia Para determinar la ecuación de la gráfica de una circunferencia dado su centro

𝐶(ℎ , 𝑘) y un punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) que la contenga, se determina su radio con la fórmula

√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟.

Ejemplo:

Sea (3 , 5) un punto de la circunferencia cuyo centro corresponde a (4 , 2). Determine la ecuación de la circunferencia.

Sea (−2 , 3) un punto de la circunferencia cuyo centro corresponde al origen. Determine la ecuación de la circunferencia.

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¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyos puntos extremos de su diámetro

corresponden a (−7 , −8) 𝑦 (5 , −6)? Determine la ecuación de la circunferencia cuyos puntos extremos de su diámetro

corresponden a (5 , −5) 𝑦 (5 , −9).

Práctica Resuelva los siguientes problemas de circunferencia.

Determine la ecuación de la circunferencia que para por el punto (1 , −2) con centro en el origen.

Determina la ecuación que pasa por el punto (−5 , −1) de la circunferencia cuyo centro corresponde a (2 , −6).

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Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y que para por

el punto (5 , −3).

Determine la ecuación de la circunferencia de centro (4 , 5) y que pasa por (−2 , 0).

Sean (1 , 3) 𝑦 (−1 , 5) los puntos extremos del diámetro de una circunferencia, determina la ecuación de la circunferencia.

Determine la ecuación de la circunferencia que para por el punto (5 , −3) de la

circunferencia cuyo centro interseca el eje "𝑦" en (0 , 2).

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Determine la ecuación de la circunferencia de centro (1 , −3) y que pasa por el

punto (4 , 3).

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (−1 , −5) y es tangente al eje de las ordenadas?

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (12 , −6) y es tangente al eje de las abscisas?

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (5 , −2) y pasa por el origen?

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¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el

punto (−1 , 3)? ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremo los

puntos (6 , −1) 𝑦 (−4 , 7)?

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Habilidad específica: Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia. Problema introductorio En el parque de una comunidad se reciben dos señales inalámbricas de conexión

a internet cuyo alcance es similar: la de la farmacia (𝐹) y la del liceo (𝐿). Si se ubica cada emisor de las señales inalámbricas en un mismo plano cartesiano, las ecuaciones que corresponden a las circunferencias de máximo alcance son:

𝐹: (𝑥 − 10)2 + (𝑦 − 1)2 = 20

𝐿: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 25 De acuerdo con el contexto anterior, si una persona utiliza su teléfono celular

desde una banca del parque ubicada en las coordenadas (7 , 3), entonces, ¿cuál o cuáles señales puede percibir su celular?

Puntos en el interior y exterior de una circunferencia Para determinar si existen puntos en el exterior o interior de una circunferencia se puede realizar mediante la fórmula del radio.

𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

Puntos en el interior de una circunferencia

El punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) satisface la desigualdad √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 < 𝑟

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Puntos sobre la circunferencia

El punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) satisface la desigualdad √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟

Puntos en el exterior de la circunferencia

El punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) satisface la desigualdad √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 > 𝑟

Ejemplo:

Determine en forma algebraica si los puntos 𝐴(8 , 4), 𝐵(4 , 7) 𝑦 𝐶(6 , 5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 9

Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(2 , 0) 𝑦 𝑄(0 , 2) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 32.

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Práctica

Determine en forma algebraica si los puntos 𝐻(−3 , 5), 𝐹(−2 , 7) 𝑦 𝐺 (−3

2 , 6) se

ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde

a (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 6)2 = 1

Determine en forma algebraica si los puntos 𝐻(3 , 1), 𝐹(6 , −1) 𝑦 𝐺(5 , −3) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde

a (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 1)2 = 4

Determine en forma algebraica si los puntos 𝐻(−4 , 2), 𝐹 (−14

5 , 3) 𝑦 𝐺(−4 , 7) se

ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde

a (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 9

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Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 − 10)2 + (𝑦 − 7)2 = 49

Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 1

Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 + 9)2 + (𝑦 − 6)2 = 25

Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a

𝑥2 + 𝑦2 = 1

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Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9

Determine en forma algebraica si los puntos 𝑃(−2 , −4) 𝑦 𝑄(3 , −5) se ubican en el interior, exterior o sobre la circunferencia cuya ecuación corresponde a (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 Habilidad específica: Determinar si una recta dada es secante, tangente o exterior a una circunferencia. Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia.

Recta tangente, secante y exterior de una circunferencia En un mismo plano, las posiciones relativas de una circunferencia y una recta se clasifican en recta secante, recta tangente y recta exterior a una circunferencia. Para determinar algebraicamente las posiciones relativas de una circunferencia (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 y una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; se debe de sustituir 𝑚𝑥 + 𝑏 por 𝑦

de forma que (𝑥 − ℎ)2 + (𝑚𝑥 + 𝑏 − 𝑘)2 = 𝑟2 y ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Recta secante a una circunferencia

Interseca a la circunferencia en dos puntos distintos, es decir ∆> 0

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Recta tangente a una circunferencia

Interseca a la circunferencia en un único punto, es decir ∆= 0

Recta exterior a una circunferencia

No interseca a la circunferencia, es decir ∆< 0

Ejemplo:

Determine la posición relativa de la recta 𝑦 con respecto a la circunferencia dada. (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 4; 𝑦 = −𝑥 + 3 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9; 𝑦 − 4 = 0

25

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 9; 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0

Práctica

Determine la posición relativa de la recta 𝑦 con respecto a la circunferencia dada. (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 4; 𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥2 + 𝑦2 = 25; 𝑦 + 3𝑥 − 18 = 0 (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 1; 𝑦 + 𝑥 = −𝑦

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(𝑥 + 2)2 + 𝑦2 = 9; 𝑦 −229

100𝑥 − 3 = 0

𝑥2 + (𝑦 + 3)2 = 4; 𝑦 +1

2𝑥 = 0

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 1; 2𝑥 + 𝑦 = 7 Para cada una de las siguientes circunferencias, determine algebraicamente si las rectas 𝑙: 𝑦 = 𝑥, 𝑚: 𝑦 = −𝑥 𝑦 𝑛: 𝑦 = 5𝑥 + 1 son rectas exteriores, secantes o tangentes a la circunferencia.

𝑥2 + 𝑦2 = 4

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𝑥2 + 𝑦2 = √2

(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 =1

2

(𝑥 + 8)2 + (𝑦 − 5)2 = 2

28

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 4 (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 16

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Habilidad específica: Analizar geométrica y algebraicamente la posición relativa entre rectas en el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad. Aplicar la propiedad que establece que una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.

Ecuación de la recta

La ecuación de una recta es aquella de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde "𝑚" es la

pendiente y "𝑏" es la intersección con el eje "𝑦".

Cálculo de la pendiente de una recta

Sean los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2 , 𝑦2), la pendiente de una recta se calcula

mediante la fórmula 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Condición de paralelismo

Dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales y, por tanto, sus

pendientes también. Es decir, 𝑚1 = 𝑚2.

Condición de perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a −1. Es decir 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1. Ejemplo:

Considere los puntos 𝑃(9 , 2), 𝑄(11 , 6), 𝑅(3 , 5) 𝑦 𝑆(1 , 1). Demuestre que son los vértices de un paralelogramo.

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Considere los vértices de un cuadrilátero 𝑃(0 , 9), 𝑄(3 , 1), 𝑅(11 , 4) 𝑦 𝑆(8 , 12). Demuestre que los lados adyacentes son perpendiculares entre sí.

Práctica

Considere los puntos 𝑃(−2 , −1), 𝑄(−4 , 3), 𝑅(3 , 5) 𝑦 𝑆(5 , 1). Demuestre que son los vértices de un paralelogramo.

31

Sea la recta 𝑙1 que pasa por los puntos 𝑃(3 , −1) 𝑦 𝑄(−6 , 5) y la recta 𝑙2 que pasa

por los puntos 𝑅(0 , 2) 𝑦 𝑆(−2 , −1). Determine si ambas rectas son paralelas o perpendiculares.

Sea la recta 𝑙1 que pasa por los puntos 𝑃(−2 , 1) 𝑦 𝑄(1 , −4) y la recta 𝑙2 que pasa por los puntos 𝑅(8 , −7) 𝑦 𝑆(5 , −2). Determine si ambas rectas son paralelas o perpendiculares.

Demostrar que los puntos 𝑃(1 , 3), 𝑄(2 , 6), 𝑅(7 , 8) 𝑦 𝑆(6 , 5) son vértices de un paralelogramo.

32

Demostrar que los puntos 𝑃(−2 , −1), 𝑄(−4 , 3), 𝑅(3 , 5) 𝑦 𝑆(5 , 1) son vértices de un paralelogramo.

Demostrar que los puntos 𝑃(−3 , 1), 𝑄(−2 , 5), 𝑅(2 , 4) 𝑦 𝑆(1 , 0) son vértices de un paralelogramo.

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Clasifique las siguientes parejas de rectas como paralelas, perpendiculares u oblicuas según corresponda.

𝑙1: 𝑦 = 4𝑥 − 5 ; 𝑙2: 𝑦 = 6 − 4𝑥

𝑙1: 𝑦 = 8𝑥 + 7 ; 𝑙2: 𝑦 =−2𝑥+10

16

𝑙1: 9𝑦 = 3𝑥 − 11 ; 𝑙2: 𝑦 = −3𝑥 + 2

𝑙1: 𝑦 = 𝑥 ; 𝑙2: 𝑦 =7𝑥+8

7

𝑙1: 2𝑦 = 𝑥 − 2 ; 𝑙2: 4𝑦 = 16 + 8𝑥

34

𝑙1: 𝑦 =4𝑥−2

2 ; 𝑙2: 𝑦 =

4−3𝑥

6

𝑙1: 4𝑦 − 12𝑥 − 2 = 0 ; 𝑙2: 2𝑦 − 6𝑥 + 2 = 0

𝑙1: 10𝑦 − 4𝑥 − 1 = 0 ; 𝑙2: 5𝑥 − 3 + 2𝑦 = 0

𝑙1: 5 − 𝑥 − 6𝑦 = 0 ; 𝑙2: 12𝑦 − 8 + 2𝑥 = 0

35

Determine la ecuación de la recta 𝑙1 que pasa por el punto (3 , −2) y es paralela a

la recta 𝑙2 cuya ecuación es 4𝑦 − 2𝑥 + 6 = 0

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 , 3) y es paralela a la recta 2𝑦 − 5𝑥 + 3 = 0 Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta

𝑥 − 2𝑦 = 0

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1 , 5) y es paralela a

una recta que contiene a los puntos (4 , 6) 𝑦 (−1 , 3)

36

Determine la ecuación de la recta que es paralela a una recta que pasa por los

puntos (−1 , −5) 𝑦 (8 , −2) y contiene el punto (2 , −4)

Determine la ecuación de la recta 𝑙1 que pasa por el punto (6 , 1) y es perpendicular a la recta 𝑙2 cuya ecuación es 4𝑦 − 2𝑥 + 6 = 0

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1 , 2) y es perpendicular a la recta 4𝑦 − 8𝑥 = 0 Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la

recta 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

37

Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (6 , 3) y es perpendicular

a una recta que pasa por los puntos (−1 , 0) 𝑦 (0 , 4) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a una recta que pasa por

los puntos (7 , −3) 𝑦 (0 , −1) y contiene al punto (1 , 2)

Propiedad de la tangencia a una circunferencia Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por el punto de contacto. Para esta propiedad necesitamos de la ley de senos y del teorema de Pitágoras.

En la figura adjunta, 𝐴𝐶 = 9 𝑐𝑚 𝑦 𝑚∡𝐴𝑂𝐶 = 30𝑜. Calcule la medida de 𝑂𝐶 𝑦 𝐴𝑂.

38

En la figura adjunta, si 𝑚∡𝐷𝑂𝐴 = 60𝑜 𝑦 𝐴𝐷 = 18 𝑐𝑚, determine la medida de los

segmentos 𝐴𝑂 𝑦 𝑂𝐷

Considerando la figura adjunta, si 𝐴𝐶 ⃡ 𝑦 𝐴𝐵 ⃡ son rectas tangentes a la

circunferencia en 𝐶 𝑦 𝐵, respectivamente, 𝐴𝐶 ⃡ ⊥ 𝐴𝐵 ⃡ y la medida del diámetro es

12 𝑐𝑚, entonces, la medida en centímetros del segmento 𝐵𝐶 es.

39

Con base a la figura adjunta, si los radios de las circunferencias miden

16 𝑐𝑚 𝑦 34 𝑐𝑚 respectivamente, determine la medida en centímetros de

𝐶𝐵 𝑦 𝐴𝐵.

Si 𝑚∡𝐶𝑂𝐴 = 38𝑜 , 𝑚∡𝐴𝐶𝑂 =_______

40

Si 𝑚∡𝐶𝑂𝐴 = 20𝑜 , 𝐶𝐴 = 12, 𝐶𝑂 = ______

Si 𝑚∡𝑂𝐶𝐴 = 50𝑜 , 𝑂𝐴 = 15, 𝑂𝐶 =_______

41

Si 𝑂𝐶 = 30, 𝐴𝐶 = 20, 𝐴𝑂 = _______

Si 𝐴𝑂 = 7, 𝐶𝐴 = 12, 𝑂𝐶 =_______

42

Si 𝑚∡𝐵𝐴𝐶 = 70𝑜 , 𝑚∡𝐶𝐴𝐷 =_______

Si 𝑚∡𝐶𝐴𝐵 = 40𝑜 , 𝑚∡𝐶𝐵𝐴 =_______

43

Si 𝑚∡𝐶𝐴𝐵 = 50𝑜 , 𝐶𝐵 = 12, 𝐴𝐵 =______

Si 𝐵𝐴 = 14, 𝐵𝐶 = 8, 𝐶𝐴 =_______

44

Si 𝑂𝐵 = 10, 𝐶𝐴 = 10, 𝐵𝐶 =_____

La recta 𝐴𝐵 ⃡ es tangente a la circunferencia en el punto 𝐵. Si 𝐵(5 , 3) y la

circunferencia (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 4, entonces halle la ecuación de la recta 𝐴𝐵 ⃡ .

45

Si la recta 𝑙 es tangente a la circunferencia, cuya ecuación es (𝑥 − 2)2 +(𝑦 + 3)2 = 65 en el punto (3 , 5). Halle la ecuación de la recta 𝑙.

Si la circunferencia dada por la ecuación (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 17 es tangente a la recta 𝑙 en el punto (−2 , −8). Halle la ecuación de la recta 𝑙.