Slide 1

Colgio Prioridade HumGeometria EspacialProf Joo Fbio

Colgio Futuro VipPoliedrosPoliedros so slidos limitados por pores de planos (polgonos planos) denominadas faces.

E entre duas faces adjacentes esto as arestas, . . .

E entre duas faces adjacentes esto as arestas, segmentos de reta cujas extremidades so os vrtices do poliedro.

CUBOOutros slidosTETRAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

PlanificaesCUBO

QUADRADOS

LADO

ABCDEFLOMNJGHIVRTICES

TETRAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

Relao de EulerUma igualdade descoberta por Euler em 1751 relaciona os nmeros V de vrtices, F de faces e A de arestas.V + F = A + 2

Exemplo:OCTAEDRO

Exemplo:OCTAEDRODados:Nmero de faces = 8 F = 8Nmero de Vrtices = 6 V = 6

Exemplo:OCTAEDRODados:Nmero de faces = 8 F = 8Nmero de Vrtices = 6 V = 6Vamos calcular o nmero de arestas atravs da relao de Euler . . .

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 2

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 2

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 214 = A + 2

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 214 = A + 2A + 2 = 14

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 214 = A + 2A + 2 = 14A = 14 - 2

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 214 = A + 2A + 2 = 14A = 14 - 2A = 12

Exemplo:OCTAEDRORelao de EulerV + F = A + 26 + 8 = A + 214 = A + 2A + 2 = 14A = 14 - 2A = 12

Vamos ver outro problema !!!O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FO nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2F + F = 22 + 2O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2F + F = 22 + 22F = 24O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2F + F = 22 + 22F = 24O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2F + F = 22 + 22F = 24F = 12O nmero de faces de um poliedro convexo de 22 arestas igual ao nmero de vrtices. Ento o nmero de faces do poliedro :a. 6b. 10c. 8d. 11e. 12V = FA = 22Substituindo na relao de Euler temos:V + F = A + 2F + F = 22 + 22F = 24F = 12

ATENO !!!

BCDA

ABCD3 Arestas

ABCD3 Arestas

ABCD3 Arestas

ABCD3 Arestas

BCDA3 Arestas3 Arestas3 Arestas3 Arestas

BCDA

BCDA4 x 3 arestas = 12 arestas

BCDA4 x 3 arestas = 12 arestas

12 2 = 6 arestas

Pirmide de base quadrangular

ABCDE

ACDE4 ArestasB

ABCDE3 Arestas

ABCDE3 Arestas

ABCDE3 Arestas

ABCDE3 Arestas

ABCDE4 x 3 arestas (B, C, D e E) + 4 arestas (A)= 16 arestasTOTAL de ARESTAS16 2 = 8De forma geral, temos:

3V3 + 4V4 + 5V5 + . . . = 2A Ou ainda :

3F3 + 4F4 + 5F5 + . . . = 2A

BCDA

BCDA

BCDA

Beleza ???Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 8Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 8Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 8Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 9 + F = 16 + 2 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 9 + F = 16 + 2 9 + F = 18 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 9 + F = 16 + 2 9 + F = 18 F = 18 - 9 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 9 + F = 16 + 2 9 + F = 18 F = 18 - 9 F = 9 Um poliedro convexo de 9 vrtices possui 4 ngulos tridricos e 5 ngulos tetradricos. Assim, o nmero de faces do poliedro :a. 12b. 11c. 10d. 9e. 83V3 + 4V4 = 2A 3 . 4 + 4 . 5 = 2A 12 + 20 = 2A 32 = 2A A = 16 V + F = A + 2 9 + F = 16 + 2 9 + F = 18 F = 18 - 9 F = 9 Todo poliedro convexo Eureliano. Porm, nem todo poliedro Eureliano convexo.POR EXEMPLO . . .

V + F = A + 214 + 9 = 21 + 2Poliedros de Plato

Um poliedro chamado de poliedro de Plato quando preenche as seguintes condies: Todas as faces tm o mesmo nmero de arestas; De todos os vrtices concorrem a mesma quantidade de arestas; Vale a relao de Euler.Prisma Tringular

No um poliedro de plato.VALEU !!!