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  • Coerncia parcial e aplicaes

    Kim Samejima Mascarenhas Lopes

    Dissertao apresentadaao

    Instituto de Matemtica e Estatsticada

    Universidade de So Paulopara

    obteno do ttulode

    Mestre em Cincias

    Programa: Estatstica

    Orientador: Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin

    So Paulo, Abril de 2009

  • Coerncia Parcial e Aplicaes

    Este exemplar corresponde redao

    nal da dissertao devidamente corrigida

    e defendida por Kim Samejima Mascarenhas Lopes

    e aprovada pela Comisso Julgadora.

    So Paulo, 24 de Abril de 2009.

    Banca Examinadora:

    Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin (orientador) - IME-USP

    Prof. Dra. Cllia Maria de Castro Toloi - IME-USP

    Prof. Dr. Joo Ricardo Sato - Universidade Federal do ABC

  • Agradecimentos

    Agradeo, antes de tudo, a Deus, por tudo o que Ele tem feito em minha vida. Agradeo ao

    meu orientador, Pedro, por toda a compreenso, pacincia e ateno que teve por mim durante o

    desenvolvimento deste trabalho. Agradeo a minha esposa, Melyssa, e peo desculpas por todos os

    momentos em que tive que me ausentar para estudar. Agradeo ao colega e amigo Joo Ricardo

    Sato, que gentilmente cedeu dados de seu prprio eletroencefalograma (EEG) e me auxiliou na

    aplicao dos conhecimentos nos bancos de dados. Finalmente, agradeo a minha me, por todo

    o sacrifcio e dedicao que teve minha educao, sem a qual no seria possvel a concluso ou

    mesmo incio deste trabalho.

    i

  • Resumo

    Neste trabalho foram estudadas algumas formas de relao entre sries temporais multivariadas.Discutiu-se, inicialmente, a funo de coerncia, uma funo anloga a funo de correlao(que dada no domnio do tempo) calculada no domnio da freqncia. Foram estudadas tambm asfunes de coerncia parcial e coerncia parcial direcionada. A funo de coerncia parcial medea relao entre duas componentes de uma srie multivariada, isolados os efeitos de outra srie.Em linhas gerais, a Coerncia Parcial Direcionada pode ser interpredata como a decomposio dacoerncia parcial a partir de modelos autoregressivos multivariados. Esse conceito pode ser inter-pretado como uma representao do conceito de causalidade de Granger no domnio da freqncia.Finalmente, foram aplicadas as funes acima em dois conjuntos de dados: um modelo VAR(1)trivariado simulado e dados de medies de eletroencefalograma.Palavras-chave: Sries Temporais, Espectro cruzado, Coerncia, Coerncia parcial, CoernciaParcial direcionada.

    ii

  • Abstract

    In this work we studied relationships between multivariate time series. We discussed the cohe-rence function, a function similar to the correlation function(calculated in time domain) in frequencydomain. Next, we discussed partial coherence and partial directed coherence. The partial coherencemeasures the relationship between two components of a multivariate time series, after removing theinfluence of another time series. Generally, the partial directed coherence can be interpreted as thedecompositioin of the partial coherence from multivariate autoregressive models. We can interpretthis function as a representation of the Granger causality concept in frequency domain. Finally, weapplied these concepts in two situations: a simulated VAR(1) model and an electroencefalogramdatabase.Keywords: Time series, Cross Spectrum, Coherence, Partial Coherence, Partial Directed Cohe-rence.

    iii

  • Sumrio

    1 Introduo 1

    2 Conceitos Iniciais 22.1 Periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Funo de Covarincia Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 O Espectro Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2.3.1 Estimao do Espectro Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 Distribuio do Periodograma Cruzado Suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.4 Coespectro e Espectro de Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Funo de Coerncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Estimao da Coerncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.6.1 Distribuio assinttica de 2XY () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Consideraes acerca da Coerncia via Anlie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3 Coerncia Parcial 93.1 Filtro de Regresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Funo de Coerncia Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Estimao de RYaYb,X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Distribuio assinttica de R(T )YaYb,X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    4 Coerncia Parcial Direcionada 154.1 Coerncia Direcionada - Primeiros Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Causalidade de Granger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Coerncia Parcial Direcionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Distribuio Assinttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5 Aplicaes 205.1 Resultados a partir de simulaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Resultados nos dados de EEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Discusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    6 Consideraes Finais 38

    iv

  • SUMRIO v

    A Sintaxe R - Funes utilizadas 39

    B Grficos e Figuras de Coerncia Parcial e PDC 44

    Referncias Bibliogrficas 57

  • Captulo 1

    Introduo

    Dentre os assuntos mais interessantes da estatstica aplicada, a relao entre variveis uma dasmais estudadas. Tcnicas de anlise de regresso, anlise de varincia e anlise multivariada soamplamente discutidas na literatura. Em sries temporais, particularmente, destacam-se as dis-cusses sobre de modelos de sries temporais multivariados, modelos de cointegrao e causalidade.As aplicaes so das mais diversas, partindo desde a rea mdica at a ramos de finanas e economia.

    Neste texto, discutiremos a definio e propriedades da funo de coerncia. Coerncia umamedida de relao entre sries temporais anloga funo de correlao de Pearson, porm, calcu-lada no domnio da freqncia. Discutiremos inicialmente, conceitos essenciais para a definio detal funo.

    Isto posto, estudaremos o problema de sua estimao e construo de intervalos de confianaa partir de sua distribuio assinttica. Apresentaremos a forma usual de clculo da funo decoerncia, construda a partir da transformada discreta de Fourier da funo de covarincia cruzada.

    No captulo 2, apresentaremos os primeiros conceitos necessrios para o estudo da coerncia par-cial. Discutiremos o espectro, o espectro cruzado e definiremos a Funo de Coerncia via transfor-mada de Fourier e estudaremos seus estimadores, distribuies assintticas e intervalos de confiana.

    Discutiremos no captulo 3, a Coerncia Parcial. Sua definio parte da funo de coerncia cal-culada a partir dos resduos de um filtro linear que elimina a correlao com outras sries. Veremosas peculiaridades desta funo em relao funo de coerncia.

    No captulo 4, partiremos das definies apresentadas por Baccal e Sameshima (2001) paraapresentar o conceito de Coerncia Parcial Direcionada.

    Finalmente, no captulo 5, apresentaremos aplicaes das funes de coerncia estudadas aolongo deste texto.

    1

  • Captulo 2

    Conceitos Iniciais

    Iniciamos nossos estudos apresentando as tcnicas usuais de clculo da coerncia atravs da trans-formada de Fourier. Para tanto, introduziremos conceitos tais como covarincia cruzada, coespectroe espectro de quadratura. Tais definies nos ajudaro na construo da funo de coerncia e noestudo de suas propriedades.

    2.1 Periodograma

    Seja {Xt} srie temporal discreta, fracamente estacionria, com funo de autocovarinciaXX(u) = cov{X(t+ u), X(t)}, t, u Z.

    Definio 1 (Espectro) Supondo,

    u=

    |XX(u)|

  • 2.2. FUNO DE COVARINCIA CRUZADA 3

    chamada Transformada de Fourier Discreta. O periodograma de {X0, ..., XT1} definido por

    I(T )XX() :=

    12T

    d(T )X ()2 (2.3)=

    12T

    T1u=0

    X(u)eiu2

    .

    Note que podemos escrever |d(T )X ()|2 como d(T )X ()d

    (T )X (), onde d

    (T )X () representa o complexo

    conjugado de d(T )X (). Dessa forma, (2.3) fica

    I(T )XX() = (2T )

    1d(T )X () d

    (T )X (). (2.4)

    Vale ressalvar que I(T )XX() um estimador de fXX(), mas tem propriedades no muito boas.Por exemplo, sua varincia constante independentemente do tamanho da amostra, sendo por-tanto um estimador inconsistente. Melhores estimadores podem ser construdos com a suavizaode I(T )XX(). Veja, por exemplo, Morettin e Toloi (2006) ou Shumway e Stoffer (2006).

    Dessa forma, considere s(T) um inteiro tal que 2s(T )/T seja prximo de . Brillinger (2001)mostra que os (2m+1) valores de I(T )XX(dado em (2.3)), I

    (T )XX(2[s(T ) + j]/T ), j = 0,1,2, ...,m,

    so aproximadamente independentes. Dessa forma, a partir destes valores pode-se produzir estima-tivas aproximadamente independentes de fXX , o que sugere um estimador da forma

    f(T )XX() = m

    1mj=1

    I(T )XX

    ( +

    2jT

    )(2.5)

    se = 0,2,4, ... ou se = 0,,3, ... e T par e

    f(T )XX() = m

    1mj=1

    I(T )XX

    (

    T+

    2jT

    )(2.6)

    com = ,3, ... e T mpar. Esta estimativa de fXX() chamada de PeriodogramaSuavizado. A partir de tal suavizao, consegue-se garantir a conscistncia do estimador do pe-riodograma. As estimativas (2.5) e (2.6) so mais facilmente calculadas via FFT(Fast FourierTransform) do que o caso em que temos uma nica expresso para o estimador (veja Brillinger,2001).

    2.2 Funo de Covarincia Cruzada

    Suponha que o vetor (Xt, Yt) fracamente estacionrio (como descrito em Brillinger, 2001)).Sejam

    E(Xt)=X ,E(Yt)=Y ,

  • 4 CAPTULO 2. CONCEITOS INICIAIS

    cov(Xt,Xt+k)=XX(k),cov(Yt,Yt+k)=Y Y (k),cov(Xt,Yt+k)=XY (k),

    onde a Funo de Covarincia Cruzada XY (k) definida por:

    XY (k) = cov(Xt, Yt+k), k = 0,1,2, . . . . (2.7)

    interessante notar que a funo (2.7) no par. Neste sentido, temos que

    XY (k) 6= XY (k), (2.8)

    masXY (k) = Y X(k). (2.9)

    2.3 O Espectro Cruzado

    Analogamente funo densidade espectral, definimos o Espectro Cruzado(ou funo densidadeespectral cruzada) como a transformada de Fourier da funo de covarincia cruzada(2.7). Assim,supondo-se

    k |XY (k)|

  • 2.4. COESPECTRO E ESPECTRO DE QUADRATURA 5

    2.3.2 Distribuio do Periodograma Cruzado Suavizado

    Brillinger(2001) mostra que o espectro cruzado estimado dado em (2.12) possui matriz de co-varincia aproximadamente dada por

    cov(f

    (T )XY (), f

    (T )XY ()

    )=

    { }fXX()fY Y () + { + }fXY ()fY X()2m+ 1

    +O(T1)

    se 6= 0(mod ) e

    cov(f

    (T )XY (), f

    (T )XY ()

    )=

    { }fXX()fY Y () + { + }fXY ()fY X()2m

    +O(T1)

    se 0(mod ), < ,

  • 6 CAPTULO 2. CONCEITOS INICIAIS

    Coespectro:

    cXY () =1

    2

    k

    XY (k)cos(k)

    =1

    2

    {XY (0) +

    k=1

    [XY (k) + Y X(k)

    ]cos(k)

    }(2.14)

    Espectro de Quadratura:

    qXY () =1

    2

    k

    XY (k)sin(k)

    =1

    2

    { k=1

    [XY (k) Y X(k)

    ]sin(k)

    }(2.15)

    De uma maneira geral, o Coespectro mede o quanto oscilam as duas sries com a mesma fase(ou com sinais opostos, com um shift de fases 1/2 ciclo). O Espectro de Quadratura mede o quantoas sries tendem a oscilar com fases diferindo de 1/4 de ciclo em qualquer direo.

    Uma forma alternativa de definir o Espectro Cruzado dada por

    fXY () = XY eiXY (), (2.16)

    onde:

    XY =c2XY () + q

    2XY ()

    e

    XY () = tan1[qXY ()cXY ()

    ].

    2.5 Funo de Coerncia

    Finalmente, definimos a Funo de Coerncia (ou coerncia quadrtica), como

    2XY () =|fXY ()|2

    fXX()fY Y (). (2.17)

    A coerncia mede o quadrado da correlao linear entre dois componentes de um processo bivari-ado na freqncia () e anlogo ao quadrado do coeficiente de correlao de Pearson, no domnioda freqncia.

    Como temos que|fXY ()|2 fXX().fY Y (), (2.18)

  • 2.6. ESTIMAO DA COERNCIA 7

    obtemos0 2XY () 1. (2.19)

    2.6 Estimao da Coerncia

    Considerando as definies 1 e 2, ento temos que um estimador para a coerncia pode ser dadocomo segue. Assim como na estimao do espectro e do espectro cruzado, o uso de um estimadorbaseado no periodograma no recomendado, uma vez que a coerncia teria valor constante iguala 1. Dessa forma, desde que as quantidades f (T )XX(), f

    (T )Y Y () e f

    (T )XY () (respectivamente os peri-

    odogramas das sries {Xt} e {Yt} e o periodograma cruzado entre as sries {Xt} e {Yt}) estejambem definidas e sejam no nulos, ento a razo

    2XY () =

    f (T )XY ()2f

    (T )XX()f

    (T )Y Y ()

    (2.20)

    um estimador para 2XY () na freqncia .

    2.6.1 Distribuio assinttica de 2XY ()

    Considerando que

    2XY () =

    f (T )XY ()2f

    (T )XX()f

    (T )Y Y ()

    XY () =|f (T )XY ()|

    f(T )XX()f

    (T )Y Y ()

    (2.21)

    XY () +a.cXY () + b.qXY ()XY ()fXX()fY Y ()

    12XY ()

    [c

    fXX()+

    d

    fY Y ()

    ]

    com a, b, c e d constantes reais e f(.), c(.) e q(.) definidos como antes(veja a definio 1, equaes(2.14) e (2.15)).

    Mas em Brillinger(2001) temos:

    Teorema 1 Seja X(t), t=0,1,2, . . . , vetor r-dimensional satisfazendo condies de estacionar-iedade e sendo BT 0, BTT

    T , se XY () dado como em (2.21) ento

    E( XY ()) = XY () + O(BT ) + O(B1T T1) (2.22)

    Ento, temos que:E( XY ()) XY (), (2.23)

  • 8 CAPTULO 2. CONCEITOS INICIAIS

    portanto aproximadamente no viesado. Pode-se ainda provar que

    V ar( XY ()) g2

    2{

    1 2XY ()}

    (2.24)

    onde:

    g2 = nnU4U22

    g2u

    U4U22 12893p

    2(85p)2

    p = nn e

    (gu) denota os pesos utilizados para a suavizao.

    Bloomfield(2000) mostra ainda que cov( XY (), XY ()) 0. No entanto, vemos que a varin-cia de XY () depende de XY (). Uma alternativa , neste caso, trabalhar com a transformaoarctanh(.). Com isso, teremos:

    E(arctanh( XY ())) arctanh(XY ()), (2.25)

    V ar(arctanh( XY ())) g2

    2. (2.26)

    Portanto, supondo normalidade assinttica de arctanh( XY ()), ento temos que um possvelintervalo de confiana para XY () pode ser construdo a partir de:

    IC[; 0, 95] arctanh( XY ()) 1, 96g2

    2

    =12ln

    [1 + XY ()

    1 XY () 1, 96

    g2

    2

    ]

    2.7 Consideraes acerca da Coerncia via Anlie de Fourier

    Quando a fase indefinida, o espectro cruzado no existe. De maneira semelhante, paravalores muito pequenos na fase, o espectro cruzado pequeno.

    O vis associado a XY () de g2

    4 .(1XY ())2XY ()

    , que sempre positivo.

    Estimativas da fase podem se mostrar imprecisas para valores pequenos de coerncia.

    A coerncia estimada pode no ter valores entre 0 e 1, e pode ter vis prximo a 1/2 nos casosque a quantidade de observaes das sries pequena.

  • Captulo 3

    Coerncia Parcial

    No captulo anterior, definimos a funo de coerncia e discutimos suas principais propriedades.Nete captulo, introduziremos o conceito de coerncia parcial, calculada como a relao entre duassries aps a remoo do efeito linear entre elas. Para tanto, apresentaremos uma notao matriciale a partir da, construremos a coerncia parcial atravs de uma filtragem.

    3.1 Filtro de Regresso

    Seja um vetor de dimenso (r+s), r, s Z, contendo duas sries multivariadas X(t) e Y(t),t Z, de dimenses r e s, respectivamente, [

    X(t)Y(t)

    ]. (3.1)

    Suponha que cada srie de (3.1) satisfaz as condies usuais de estacionariedade e assuma

    E[X(t)] = X ,E[Y(t)] = Y ,

    (3.2)

    Cov[X(t),X(t+ u)] = cXX(u),Cov[X(t),Y(t+ u)] = cXY (u),Cov[Y(t),Y(t+ u)] = cY Y (u).

    (3.3)

    Conseqentemente, os espectros so definidos por

    fXX() = (2)1

    u cXXeiu,

    fXY () = (2)1

    u cXY eiu,

    fY Y () = (2)1

    u cY Y eiu.

    (3.4)

    Buscamos um filtro s r dimensional a e um vetor s dimensional b tal que a quantidade

    b +u

    a(t u)X(u), (3.5)

    9

  • 10 CAPTULO 3. COERNCIA PARCIAL

    seja um valor prximo de Y(t).

    Considere agora a seguinte funo

    E[(Y b aX)(Y b aX)]. (3.6)

    Brillinger(2001) sugere a seguinte escolha como minimizao para a expresso (3.6) acima:

    b = Y cY Xc1XXX ,a = cY Xc1XX ,

    (3.7)

    com os quais a expresso (3.6) vale

    cY Y cY Xc1XXcXY . (3.8)

    O filtro a chamado de coeficiente de regresso de Y em X.A expresso

    Y + cY Xc1XX(X X) (3.9)

    chamada de melhor preditor linear de Y baseado em X. Podemos, a partir da, definir o errocometido pela estimao como

    = Y Y cY Xc1XX(X X). (3.10)

    Esta expresso representa o resduo gerado pela aproximao de Y pela melhor funo linear de X.A matriz de covarincia de dada por

    c = cY Y cY Xc1XXcXY . (3.11)

    Note que este valor equivalente expresso (3.8), para a qual (3.6) tem valor mnimo. Assim,dadas duas componentes de Y, Yj e Yk, a covarincia entre j e k chamada de covarincia parcialde Yj e Yk. Pode-se interpret-la como a relao linear entre Yj e Yk aps a remoo do efeito deX. Analogamente, a correlao entre j e k denominada de correlao parcial de Yj e Yk aps aremoo do efeito de X.

    Voltemos agora para a equao (3.5). Buscamos asr e bs1 tais que (3.5) seja uma boaaproximao para Y(t). Considere, para tanto a seguinte matriz

    E

    {[Y(t) b

    u

    a(t u)X(u)][Y(t) bu

    a(t u)X(u)]}

    (3.12)

  • 3.1. FILTRO DE REGRESSO 11

    Ento temos o resultado seguinte1:

    Teorema 2 Considere uma srie temporal multivariada de dimenso (r+s) fracamente estacionria,como descrita em (3.1), com mdias e funes de covarincias respectivamente como em (3.2) e(3.3). Suponha cXX(u) e cY Y (u) absolutamente somveis e suponha que fXX() dado em (3.4) no singular, com <

  • 12 CAPTULO 3. COERNCIA PARCIAL

    No caso em que s = 1, (3.21) chamada de coerncia mltipla e definida por

    |K2XY ()| =fY X()f1XX()fXY ()

    fY Y ()(3.22)

    e uma generalizao do caso r=s=1, apresentado em (2.17).

    3.2 Funo de Coerncia Parcial

    Dessa maneira, considerando o a-simo e o b-simo componentes de (t), a(t) e b(t), seuespectro cruzado pode ser interpretado como o espectro parcial cruzado de Ya(t) e Yb(t), a-simo eo b-simo componentes de Y(t), aps removidos os efeitos de X(t). Considerando a discusso daseo anterior, podemos calcular o Espectro Cruzado Parcial da seguinte maneira:

    fYaYb,X() = fYa,Yb() fYa,X()fXX()1fX,Yb() = fa,b(). (3.23)

    Note que a definio a mesma apresentada em (3.19). A coerncia entre esses elementos a(t) eb(t) chamada de Coerncia Parcial entre Ya(t) e Yb(t), aps removido o efeito deX(t) e portantodada por

    RYaYb,X() =fYaYb,X()

    [fYaYa,X()fYbYb,X()]1/2(3.24)

    3.3 Estimao de RYaYb,X

    Considere que temos observados o vetor (r+s)-dimensional dado em (3.1) para t = 0,...,T-1.Calculando sua transformada discreta de Fourier,temos que[

    d(T )X ()d(T )Y ()

    ]=

    T1t=0

    eit

    [X(t)Y(t)

    ], (3.25)

    R.

    Sabemos2 que para T suficientemente grande e 6= 0, (3.25) tem distribuio assinttica dadapor [

    d(T )X ()d(T )Y ()

    ] N cr+s

    (0, 2T

    [fXX() fXY ()fY X() fY Y ()

    ]). (3.26)

    Com isso, definimos a matriz de periodograma cruzados

    ITXY () = (2T )1d(T )X ()

    (d(T )Y ()

    ), (3.27)

    com definies anlogas para ITXX() e ITY Y ().

    2Veja Brillinger (2001)

  • 3.4. DISTRIBUIO ASSINTTICA DE R(T )YAYB ,X 13

    Considere agora uma famlia de pesos 2-peridica, W (T )() , < < ,T=1,2,..., cujospesos esto arranjados de maneira adequada para estimar (3.4). Considere ainda uma seqncia deparmetros de escala BT > 0, BT 0, BTT

    T e uma funo W () que goza das seguintespropriedades:

    W ()d = 1,

    |W ()|d

  • 14 CAPTULO 3. COERNCIA PARCIAL

    cov(|R(T )YaYb,X()|2, |R(T )YaYb,X()|

    2)

    [{ }+ { + }]|R(T )YaYb,X()|2

    [1R(T )YaYb,X()|2]24

    W ()2dBT1T

    1 +O(BT2T2). (3.32)

    Para um dado J, as variveis R(T )YaYb,X(1), ...,R(T )YaYb,X

    (J) so assintticamente conjuntamente nor-mais com estrutura de covarincia dada em (3.32) para 1 a < b r.

  • Captulo 4

    Coerncia Parcial Direcionada

    A partir de estudos de Saito e Harashima (1981) sobre a Coerncia Direcionada (DC), Baccale Sameshima(2001) definem Coerncia Parcial Direcionada (PDC). Veremos, a partir de resultadosde Takahashi et al. (2007) que h uma relao direta entre a existncia de causalidade de Granger ea PDC. Para tanto, definiremos brevemente causalidade de Granger mas no nos atentaremos a dis-cutir tal conceito1. Em linhas gerais, a Coerncia Parcial Direcionada a decomposio da coernciaparcial a partir de modelos autoregressivos multivariados. Esse conceito pode ser interpretado comouma representao do conceito de causalidade de Granger no domnio da freqncia.

    4.1 Coerncia Direcionada - Primeiros Conceitos

    H muitas limitaes quando tratamos de interpretao das funes de coerncia descritas atagora. Segundo Baccal e Sameshima(2001), podemos com as funes de coerncia e coerncia par-cial, ter indcios das relaes entre as sries temporais em estudo. Por conta disso, Saito e Harashima(1981) propem como medida de relao entre sries temporais, a funo de coerncia direcionada.Esta funo nos d no apenas a idia de sincronia entre as sries de tempo, mas tambm indcios deuma conexo funcional entre elas. Neste contexto, eles descrevem a idia de coerncia direcionadacomo uma funo que no apenas nos conta sobre a sincronia das sries em estudo mas tambma conexo funcional entre as sries. possvel, portanto, dar importncia a relaes estruturaisrelativas, por meio de decomposies da interao das sries em aspectos feedback e feedfoward demaneira unvoca.

    Considere assim a matriz de espectros e espectros cruzados

    f() =

    f11() f12() . . . f1N ()f21() f22() . . . f2N ()

    ......

    . . ....

    fN1() fN2() . . . fNN ()

    , (4.1)

    onde fij(), i, j = 1, . . . , N so definidos como em (2.10). Temos ento que a matriz (4.1) pode ser1Mais detalhes podem ser vistos em Morettin (2008).

    15

  • 16 CAPTULO 4. COERNCIA PARCIAL DIRECIONADA

    decomposta na forma

    f() = H()HH(), (4.2)

    onde HH(.) representa a matriz hermitiana transposta de H(.) e a matriz de covarincia{ij , i, j = 1, . . . , N}. Para definirmos a matriz H, considere X1(t), ..., XN (t) sries temporaisconjuntamente estacionrias de tal maneira que tenhamos uma aproximao por meio de modelosautoregressivos

    X1(t)...

    XN (t)

    = pr=1

    Ar

    X1(t r)

    ...XN (t r)

    +w1(t)

    ...wN (t)

    , (4.3)na qual w1(t), . . . , wN (t) sejam rudos brancos.A matriz H() dada por

    H() = A1() = (IA())1, (4.4)

    ,

    A() =pr=1

    Arzrz=ei2

    =

    =pr=1

    Arei2r, (4.5)

    Ar =

    a11(r) a12(r) . . . a1N (r)

    ......

    . . ....

    aN1(r) aN2(r) . . . aNN (r)

    , (4.6)onde aij(r) so os coeficientes que representam o efeito de interao linear de xj(t r) com xi(t),i, j = 1, . . . , N .

    4.2 Causalidade de Granger

    Sejam X(t) e Y(t) duas sries temporais. Dizemos que X(t) Granger-causa Y(t) se a infor-mao contida no passado de X(t) aumenta nossa preciso em relao a previses sobre o presentee futuro de Y(t). Essa relao entre as sries X(t) e Y(t) unidirecional, o que sugere uma re-lao de conectividade entre as duas sries em questo. Para ns, duas delas so particularmenteinteressantes:

    Seja U (t) toda a informao acumulada no universo de estudo at o instante t. Dessa maneira,U (t) Y (t) denota toda a essa informao exceto aquela contida em Y (t). Considere ainda X(t)

  • 4.3. COERNCIA PARCIAL DIRECIONADA 17

    e Y (t) duas sries temporais contidas em U (t). Defina Xt := {Xs : s < t}, Xt = {Xs : s t}.Analogamente, defina Yt e Yt. Seja ainda Pt(Y |U ) o preditor do EQM mnimo de Yt, dada ainformao contida em U e 2(Y |U ) seu correspondente EQM.

    Definio 3 (Causalidade) Se 2(Y (t)|U (t)) < 2(Y (t)|UtXt) ento dizemos que X(t) "Granger-causa"Y (t).

    Definio 4 (Causalidade Instantnea) Considere U (t), Y (t), X(T ) e Y (t) como na definio3. Se 2(Y (t)|Ut, Xt) < (Y (t)|Ut) ento dizemos que h relao de causalidade instantnea deX(t) para Y (t). Em outras palavras, o presente de Y(t) melhor predito se o presente de X(t) includo no modelo de predio.

    usual na literatura2 apresentar testes para a existncia da causalidade de Granger relacionadoscom os coeficientes apresentados em um modelo linear. Considere, portanto, a equao (4.3). Testara causalidade de Granger equivalente a testar:

    H : aij(r) = 0,r {1, . . . , p} (4.7)

    Segundo Sato et. al. (2009), embora conceitualmente interessante, a causalidade de Grangertem sua forma original definida no domnio do tempo, o que no nos permite discernir a cercade caractersticas dos sinais no domnio da freqncia. E ainda que no clara a maneira dedefinir a causalidade de Granger no contexto multivariado para se obter uma normalizao poderosae adequada para comparaes entre os valores.

    4.3 Coerncia Parcial Direcionada

    Considere a funo de coerncia parcial definida em (3.24). Podemos reescrev-la em funo deAr e como se segue:

    RYiYj ,X() =aHi ()

    1aj()(aHi ()

    1ai())(aHj ()1aj())

    , (4.8)

    onde a matriz de covarincia do erro cometido na predio associada ao modelo dado em (4.3)e ak() representa a k-sima coluna da matriz A().

    Definio 5 O Fator de Coerncia Parcial Direcionada entre duas sries temporais Xi(t) e Xj(t) dado por

    ij() :=Aij()

    aHj ()1aj()

    , (4.9)

    onde Aij() o i,j-simo elemento de A(),i, j = 1 . . . , N .2Veja, por exemplo, Takahashi et. al. (2007)

  • 18 CAPTULO 4. COERNCIA PARCIAL DIRECIONADA

    imediato a partir desta definio que (4.8) fica

    RYiYj ,X() = Hi ()

    1j(), (4.10)

    onde i() := [1i(), . . . , Ni()].

    Como o denominador de (4.9) depende de , a coerncia parcial confunde efeitos de causalidadede Granger e causalidade instantnea de Granger. Para eliminar este efeito instantneo, define-sea Coerncia Parcial Direcionada como

    ij() :=Aij()

    aHj ()aj(), (4.11)

    a qual considera apenas causalidade "no-instantnea"de Granger, j que relacionamentos entreobservaes presentes de Xi(t) so descritos exclusivamente pelas correlaes entre os processoswi(t) de (4.3). Suprimindo de (4.10), focamos nosso objeto de estudo na relao entre os valorespassados das sries Xj(t) e o presente e futuro das sries Xi(t).

    Note que Aij() pode ser escrito como:

    Aij() =

    1

    pr=1

    aij(r)ei2r , se i = j

    pr=1

    aij(r)ei2r , caso contrrio(4.12)

    Por conta dessa representao, dizemos que a equao (4.11) a representao da causalidade deGranger no domnio da freqncia3. Segundo Takahashi et. al. (2007), isso se deve ao fato de (4.7)ser verificada se e somente se ij() 0 para todas as frequncias de amostragem, [0.5, 0.5].

    4.4 Distribuio Assinttica

    Takahashi et. al. (2007) apresentam resultados assintticos a cerca da coerncia parcial dire-cionada definida em (4.11). Considere a seguinte notao:

    () = vec(I)pr=1

    vec(Ar)ei2r, (4.13)

    onde I a matriz identidade de dimenso N, e vec(Ar) indica a transformao (empilhamento) damatriz ANN no vetor AN21. Analogamente, vec(I) representa a transformao da matriz INNno vetor IN21. Considere ainda

    a() =

    [Re(())Im(())

    ](4.14)

    3Veja Takahashi et. al. (2007)

  • 4.4. DISTRIBUIO ASSINTTICA 19

    Com isso, Takahashi et. al. (2007) provam os seguintes resultados:

    Lema 1 Para um processo VAR(p) gaussiano estacionrio estvel definido pelo modelo (4.3), oestimador de mxima verosimilhana de a consistente e

    n(() a()) d N (0, ()) (4.15)

    A forma exata da matriz () dada em Takahashi et. al. (2007a), salientando somente o fato deser uma matriz simtrica positiva semi-definida.

    Proposio 3 Para um processo gaussiano estacionrio estvel, o estimador de mxima verossim-ilhana |ij()|2 consistente e assintticamente normal se |ij()|2 6= 0, i.e.,

    n1((|ij()|2 |ij()|2))

    d N (0, 1), (4.16)

    onde

    2(a) = G() G(),

    G() = 2(Icij)(Icj)

    1 2(Icj)(Icj)2(Icij),

    Icij =

    [Iij 00 Iij

    ],

    Icj =

    [Ij 00 Ij

    ],

    onde a matriz Iij de dimenso N2 N2 composta de zeros, exceto valores das coordenadas(l,m)=((j-1)N+i,(j-1)N+i), que so iguais a 1. Analogamente, os blocos Ij tem dimenso N2 N2

    com valores zero, exceto nas coordenadas (l,m):(j-1)N+1l=mjN, os quais so iguais a 1. Detalhespodem ser encontrados em Takahashi et. al. (2007) e Takahashi et. al. (2007a).

  • Captulo 5

    Aplicaes

    Neste captulo, simularemos um VAR(p) trivariado, processo auto-regressivo multivariado e a par-tir das funes estudadas, aplicaremos os conceitos de coerncia, coerncia parcial e coerncia parcialdirecionada para estudar o relacionamento entre as sries que compem o VAR(p). Utilizaremostambm dados de medies de eletroencefalograma (EEG) em estado de viglia.

    5.1 Resultados a partir de simulaes

    Utilizando o pacote mAr e sua funo mAr.sim (desenvolvido por Barbosa, 2008) simulamos10.000 observaes do seguinte processo: X1(t)X2(t)

    X3(t)

    = 0.40.170.25

    + 0.25 0.3 0.20.5 0.16 0.1

    0.3 0.1 0.15

    X1(t 1)X2(t 1)X3(t 1)

    + 3(t) (5.1)em que

    3 RB3(0,), =

    1 0.2 0.10.2 1 0.10.1 0.1 1

    . (5.2)Nas figuras 5.1, 5.2 e 5.3 temos respectivamente (a) o grfico da srie, (b) o histograma dos

    dados, (c) a funo de auto-correlao e (d) a funo de auto-correlao parcial para as sriesX1(t), X2(t) e X3(t) do processo descrito em (5.1).

    O grfico apresentado na figura 5.4 apresenta as coerncias entre as sries X1(t), X2(t) e X3(t).Note que h uma maior dependncia entre as sries X1(t) e X2(t), principalmente nas frequnciasabaixo de 0.25. As funes de coerncia para X1(t) e X3(t) e X2(t) e X3(t) mostram-se em geralmais baixas que 0.4, o que mostra uma baixa influncia de X3(t).

    Temos nas figuras 5.5, 5.6 e 5.7, respectivamente, representando o mdulo da coerncias parciaisentreX1(t) eX2(t),X1(t) eX3(t) eX2(t) eX3(t). As funes utilizadas na estimao da curva forambaseadas em Bacall et al.(2006) e os programas utilizados encontram-se no apndice A(sintaxe R).

    Na figura 5.8, 5.9 e 5.10 temos o quadrado do mdulo das PDCs entre as sries simuladas. Temosrespectivamente as relaes entre X1(t) e X2(t), X1(t) e X3(t) e X2(t) e X3(t). Para o clculo da

    20

  • 5.1. RESULTADOS A PARTIR DE SIMULAES 21

    Figura 5.1: Grficos da srie X1(t).

    Figura 5.2: Grficos da srie X2(t).

    Figura 5.3: Grficos da srie X3(t).

  • 22 CAPTULO 5. APLICAES

    Figura 5.4: Funes de coerncia X1(t), X2(t) e X3(t).

    Figura 5.5: Mdulo da funo de coerncia parcial entre X1(t) e X2(t).

    funes de coerncia parcial utilizamos o critrio de Akaike(AIC) para comparao dos modelos,limitado a um VAR(10) para o ajuste dos dados. J para o clculo das PDCs utilizamos o critriode AIC limitado a um VAR(3).

  • 5.1. RESULTADOS A PARTIR DE SIMULAES 23

    Figura 5.6: Mdulo da funo de coerncia parcial entre X1(t) e X3(t).

    Figura 5.7: Mdulo da funo de coerncia parcial entre X2(t) e X3(t).

    Figura 5.8: Quadrado do mdulo das PDCs entre X1(t) e X2(t).

  • 24 CAPTULO 5. APLICAES

    Figura 5.9: Quadrado do mdulo das PDCs entre X1(t) e X3(t).

    Figura 5.10: Quadrado do mdulo das PDCs entre X2(t) e X3(t).

  • 5.2. RESULTADOS NOS DADOS DE EEG 25

    5.2 Resultados nos dados de EEG

    A partir de dados de EEG coletados em um indivduo em estado de repouso com olhos fechados,com a freqncia de amostragem de 250Hz, temos as sries de EEG com tamanho aproximado de200.000 observaes. Foram coletadas informaes de 32 canais, mas nos atentaremos anlise de 8deles, em dois grupos distintos. As sries estudadas representam as diferenas de potencial entre oponto de coleta do eletrodo e o ponto mdio entre os eletrodos Pz e Cz , como apresentado na figura5.11. Analisamos a relao entre os canais F3, F4, C3 e C4 comparados dois a dois. Analogamente,foram analisados o grupo de informaes coletadas nos eletrodos P3, P4, O1 e O2. A posio destes8 eletrodos indicada na figura 5.11.

    Figura 5.11: Posies dos eletrodos para coleta de EEG

    Sabemos, no entanto, por conta da alta freqncia de amostragem e da grande quantidade dedados, que podemos encontrar problemas como memria longa e no-estacionariedade no estudodas sries de EEG. A figura 5.12 como evidencia tal fato. Alm disso, para eliminar possveisrudos ocasionados pela mensurao(pensamentos involuntrios do paciente, respirao, piscar deolhos, interferncias no aparelho etc), optamos por aplicar um filtro "passa-banda", com a bandade filtragem de frequncias entre 1 e 100 Hz. Alm disso, Bruscato(2000) sugere a construo dosestimadores de espectro com janelas mveis para evitar problemas como fuga de estacionariedadeglobal por exemplo. Para a aplicao do filtro, utilizamos a funo ffilter do pacote seewave(desenvolvido por Sueur, J. et al., 2009). A Figura 5.13 apresenta uma amostra das sries originaise das resultantes aps a filtragem. Nas figuras 5.14 e 5.15 vemos os periodogramas suavizadospara as sries de EEG originais. Nas figuras 5.16 e 5.17 apresentamos os periodogramas para assries filtradas. Para ambos, foram utilizadas janelas de Daniell com tamanho 20. Notamos pouca

  • 26 CAPTULO 5. APLICAES

    mudana no periodograma em si, mas uma filtragem maior poderia comprometer a anlise dosdados, j que muitas das observaes de interesse ocorrem em baixas frequncias. Utilizaremosainda faixas de frequncias comuns na literatura para anlise de dados de EEG: Gama (frequnciasmaiores que 30Hz), Beta (13-30Hz), Alfa(8-12Hz), Theta(4-8Hz), Delta(frequncias menores que4Hz).

    Figura 5.12: Auto-correlaes e auto-correlaes parciais para as sries de EEG

    Figura 5.13: Sries originais e resultantes filtradas

  • 5.2. RESULTADOS NOS DADOS DE EEG 27

    Figura 5.14: Periodogramas suavizados para as sries de EEG - Canais C3, C4, F3 e F4

    Figura 5.15: Periodogramas suavizados para as sries de EEG - Canais P3, P4, O1 e O2

  • 28 CAPTULO 5. APLICAES

    Figura 5.16: Periodogramas suavizados para as sries de EEG aps a filtragem - Canais C3, C4, F3 e F4

    Figura 5.17: Periodogramas suavizados para as sries de EEG aps a filtragem - Canais P3, P4, O1 e O2

  • 5.2. RESULTADOS NOS DADOS DE EEG 29

    Construmos portanto as estimativas da funo de coerncia parcial utilizando janelas ao longoda srie, ou seja, construmos o vetor multivariado:

    R(T )J,YaYb,X() =[R(T )YaYb,X()

    t(J0=1,J1)

    , . . . ,

    R(T )YaYb,X()t(Jk1,Jk)

    . . . ,R(T )YaYb,X()t(JK1,JK=T )

    ][M2 ]K

    (5.3)

    onde M o tamanho da janela, {(Jk1, Jk), k=1,. . . ,K} um conjunto de intervalos encaixadosigualmente espaados tal que

    Kk=1

    (Jk1, Jk) = (1, T )

    e K =[TM

    ](maior inteiro menor ou igual a TM ).

    No Apndice B apresentamos os grficos de |R(T )J,YaYb,X()| (espectrogramas) para as sries deEEG medida que percorremos as sries com a janela de M=2000(figuras B.1 a B.6). As figurasB.7 a B.12 mostram as curvas mdias dessas funes com seus desvios-padro. Devido grandequantidade de grficos desta seo, optamos por apresentar no corpo do trabalho apenas os maisrelevantes. Todos os grficos de coerncia parcial e PDC encontram-se on Apndice A. Tanto nosmodelos AR utilizados ao longo das janelas para estimativa da coerncia parcial quanto aquelesutilizados para a estimativa da PDC foram estimados considerando o critrio de AIC para a escolhada ordem do modelo, limitando a ordem do AR um modelo auto-regressivo de dcima quintaordem.Note que temos maior atividade nos canais C4, F4, P3, O1 e O2. Uma atividade muito grandeentre as relaes dos canais ocipitais era de fato esperada, como descrito em Kaminski and Bli-nowska(2004).

  • 30 CAPTULO 5. APLICAES

    Figura 5.18: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais P3O2 e P4O1

    Figura 5.19: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais P4O2 e O1O2

    Uma das situaes com menor atividade de coerncia parcial ocorre quando comparamos nasrelaes P4 O1 e P4 O2. Vemos tambm que h uma grande atividade em frequncias betapara as relaes entre os canais ocipitais (figura 5.19).

    J quando analisamos as curvas mdias, vemos que em quase todos os grficos de coernciaparcial, encontramos picos disperso(maior variabilidade) nas frequncias mais altas, acima de 30Hz, por vezes prximos a 40Hz, por outras prximos a 55Hz. Uma exceo a esta regra ocorre nasrelaes entre canais P3 O1.

  • 5.2. RESULTADOS NOS DADOS DE EEG 31

    Figura 5.20: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais C3C4 e C3F3. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura 5.21: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais C3F4 e C4F3. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura 5.22: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais P3P4 e P3O1. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 32 CAPTULO 5. APLICAES

    Assim como as funes de coerncia parcial, as funes de coerncia parcial direcionada(PDC)sofrem influncia de no-estacionariedade e fuga de normalidade. Utilizamos, por conta disso, assries filtradas e construimos as funes com janelas mveis de tamanho 2000. Alm disso, soajustados modelos auto-regressivos para estimarmos a PDC em cada janela, usando como critriopara a escolha da ordem, o AIC. Como este procedimento feito de maneira automtica, deve-seavaliar a qualidade dos resduos resultantes deste ajuste. As figuras 5.23 e 5.24 apresentam os res-duos de cada srie de EEG ao longo das janelas. Apresentamos assim, nas figuras 5.23 e 5.24 osnveis descritivos (p-value)para o teste de Shapiro-Wilk de normalidade dos resduos. Vemos quena maioria das estimativas das janelas, temos nveis descritivos maiores que 5%, o que sugere umbom ajuste dos modelos AR em questo.

    As figuras B.13 a B.24 mostram, para cada par de sries, a evoluo do quadrado dos mdulosdas coerncias parciais direcionadas ao longo das janelas. As figuras de B.25 a B.36 apresentama curva mdia e o desvio-padro dentro das janelas que compem as figuras B.13 a B.24. Foramplotados os quadrados dos mdulos das PDCs pois podemos interpret-los como o percentual deinformao que sai da srie de origem para a srie de destino. Para o primeiro grupo de canais, oscasos em que mais notamos troca de informao ocorrem entre os canais F3C3, F3C4, F4C4,F3F4. J no grupo de canais ocipitais e parietais, vemos mais energia nas PDCs de P3P4,P3O2.

    Figura 5.23: Testes de normalidade para os resduos ao longo das janelas - eletrodos centrais (C3 e C4) efrontais (F3 e F4)

  • 5.2. RESULTADOS NOS DADOS DE EEG 33

    Figura 5.24: Testes de normalidade para os resduos ao longo das janelas - eletrodos parietais (P3 e P4) eocipitais (O1 e O2)

    Para as funes de PDC(figuras B.13 a B.36 do Apndice B), notamos que h diversos casosem que h fluxo de informao em frequncias beta. Na figura 5.25 vemos que o eletrodo C3 umponto de constante recepo de informao em frequncias beta, com origem nos canais frontais.Chama ainda ateno a troca de informaes (figura 5.26)entre canais parietais (P3 e P4), e canaisP3 e O1, algo j identificado nas anlises de coerncia parcial. Vemos no entanto que a origem dosinal ocorre no eletrodo P3 para os demais. Na figura 5.27 apresentamos casos em que identificamospicos de energia em frequncias alfa nos sentidos P3 O2 e P4 O1.

    Figura 5.25: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais F3 C3 e F4 C3

  • 34 CAPTULO 5. APLICAES

    Figura 5.26: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P3 P4 e P3 O1

    Figura 5.27: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P3 O2 e P4 O1

    5.3 Discusso

    As funes de correlao e coerncia usuais foram e so largamente utilizadas como ferramentaspara a interpretao da relao entre variveis. Todavia, h muitas limitaes quanto interaoentre variveis. Uma de suas limitaes, por exemplo, avaliar o sentido ao qual o fluxo de in-formaes percorre. Isto acaba por tornar difcil a interpretao dos resultados, j que no hinformao sobre uma possvel direo na relao entre as variveis estudadas. Outra limitao sed quando consideramos que outras variveis podem influenciar na relao das variveis estudadas.Isto pode ocasionar em falsas concluses sobre a relao entre as variveis de interesse.

    Utilizando funes de coerncia direcionada (Saito and Harashima, 1981) e coerncia parcialdirecionada, possivel entender no somente o comportamento de sincronia mtua entre as sries,mas tambm os aspectos de influncia da primeira srie na segunda e vice-versa. Apesar de notermos uma relao de causalidade comprovada quando aplicamos as funes DC e PDC, temos a

  • 5.3. DISCUSSO 35

    sugesto de que essa relao de fato existe. Podemos, a partir da, construir testes de hipteses eavaliar a relao entre as variveis(veja Takahashi et al., 2007).

    Particularmente em dados de EEG e fMRI, so estudadas a conectividade funcional e estrutualde diferentes regies do crebro que possuem funes e atribuies distintas. As anlises de tomo-grafia computadorizada e ressonncia magntica so exames de carter morfolgico(ou estrutural)ao passo que nos dados de EEG temos uma anlise funcional(quantitativa) dos dados. De umaforma ou de outra, torna-se essencial a assimetria - inequivalncia nos sinais de ida e volta -nas relaes entre variveis para o correto entendimento das relaes entre mdulos neuronais deencfalo. preciso identificar a origem da informao, o solicitante da tarefa, assim como o seureceptor, executor da tarefa.

    Vemos, por exemplo, em Kus et al.(2004), uma outra anlise de dados de EEG atravs de funessemelhantes PDC, na qual o autor traz discusso a importncia de identificar a origem do sinalem uma relao de causa-efeito. Neste contexto, temos a PDC como uma importante ferramentana anlise de dados multi-canal, j que sua assimetria na estimao do fluxo de informao trocadapelos canais interpretada como o percentual de informao que sai do canal de origem e vai parao canal de destino.

    Por outro lado ainda, supondo que nosso processo multivariado seja um VAR de ordem finita,aspectos computacionais trazem frente a funo de coerncia parcial direcionada em relao funo de coerncia direcionada, j que a matriz H(.) dada em 4.4 no necessita ser calculada paracada frequncia de interesse. A no dependncia da PDC desta matriz H(.) implica numa maiorestabilidade da funo calculada, j que, do ponto de vista computacional, a inverso da matrizde coeficientes pode apresentar problemas de singularidade, por exemplo, em casos de coeficientesestimados com amostras pequenas. Em determinados momentos nos quais se v a necessidade deestudar o efeito isolado de dois canais, eliminando (ou ao menos reduzindo) a influncia dos de-mais canais de estudo, vemos novamente a vantagem em se utilizar a funo de coerncia parcialdirecionada. Isto no , no entanto, vlido se tivermos um processo com estruta de mdias mveismultivariadas (VARMA com coeficientes autoregressivos nulos), j que sua representao comoVAR se d com um VAR de ordem infinita.

    Ginter Jr. et al.(2005) e Biswal et al.(1995) descrevem a relao entre regies pr-motoras(regies frontais, F3 e F4) e motoras (canais centrais, canais C3 e C4, por exemplo) durante aexecuo de movimentos(ou de movimentos imaginrios). Neste contexto, vemos nas figuras B.14a B.17 ntida troca de informaes entre os canais frontais e centrais em frequncias beta, comorigens nos canais frontais. Vemos tambm relao inter-hemisfrios de F3 para F4, como na figuraB.18, tambm em frequncias beta. Biswal et al.(1995) e van den Heuvel et al.(2009) descrevem,do ponto de vista mdico, estas relaes entre regies motoras e pr-motoras a partir de dados

  • 36 CAPTULO 5. APLICAES

    de fMRI(functional Magnetic Resonance Imaging). Picos existentes em maiores frequncias, comoevidentes na figura B.14, C3F3, so resultado de rudos eventualmente no removidos nas sries,durante a filtragem.

    A partir dos resultados obtidos mensurando indivduos no mesmo estado de estmulo - ou seja,em repouso, com olhos fechados - Kaplan and Shishkin(2000) concluram sobre a relao significa-tiva entre os eletrodos de posio F3, F4, C3 e C4 assim como entre os eletrodos nas posies P3,P4, O1 e O2 formando duas redes de relacionamento entre canais. Em seu trabalho, Kaplan andShishkin(2000) utilizaram tcnicas no paramtricas (teste de Wilcoxon pareado, n=12) para com-parar a relao entre os canais.

    Concluimos, porm, neste trabalho, no apenas sobre as relaes entre estes canais, mas tambmsobre qual canal o originrio da informao e qual o canal receptor. Em outras palavras, damosa idia no s de direo da informao, mas tambm o sentido percorrido por ela - assim como emquais frequncias estas relaes se apresentam mais fortes.

    Se analisarmos as figuras de PDC para a rede de ligaes entre canais parietais e ocipitais,encontraremos relaes semelhantes quelas descritas por Kus et al. (2004). Vemos uma fortetransferncia de informao com sada nos canais ocipitais para os canais parietais, notadementenas figuras B.21, B.22 e B.23 em faixas de frequncia alfa. Note que a volta no ocorre com a mesmaintensidade. Temos apenas na figura B.20 um grande fluxo informao saindo de P3 para O1, emfrequncias beta e gama. Estas relaes entre canais ocipitais e parietais(veja Van den Heuvel, 2009)so conhecidas na literatura como core networks, e so aquelas que controlam a viso e a atenosensorial. J as relaes entre regies posteriores com regies mediais-frontais so denominadas dedefault mode networks e controlam movimentos musculares voluntrios, como descrito em Biswal etal.(1995) e Ginter et al.(2005).

    Encontramos ainda diversas relaes entre canais inter-hemisfrios. Vemos na figura B.19 picosde energia em frequncias beta e gama para a relao P3 P4, ao passo que vemos a relao P4 P3 concentrada ao redor das frequncias de faixa alfa e beta. Para os canais ocipitais, os quaistm PDC dadas na figura B.24, vemos uma maior concentrao de sada de informao de O2 paraO1 do que de O1 para O2. As relaes que envolvem os canais ocipitais como origem da informaomostram, em geral, picos em frequncias mais baixas, em geral na faixa alfa.

    As funes DC e PDC e suas aplicaes possibilitaram muitos avanos no somente na teoriade sries temporais, mas tambm na rea mdica. A partir de Saito e Harashima(1981) e Baccalae Sameshima(2001), temos diversos artigos apresentando maneiras diferentes de estimar a relaodirecionada entre variveis. Temos, por exemplo a funo Directed Transfer Function(DTF) emKaminski(1991) e a funo Relative Power Contribution(RPC) em Yamashita et al.(2005). A DTF

  • 5.3. DISCUSSO 37

    baseia-se tambm em ajustes de modelos AR para estimar a propagao(direo) da informao epropriedades espectrais dos sinais investigados. J a RPC definida como a taxa de contribuiode cada varivel(ou par de variveis) tem sobre o espectro total do processo em estudo.

    Friston et al. (2003) apresentam a idia de modelagem dinmica de causalidade (dynamic causalmodelling - DCM). De uma maneira geral, de fato podemos concluir sobre causalidade com a DCM,o que a torna uma das tcnicas mais completas neste contexto. A idia central por trs da DCM tratar o crebro como um sistema determinstico no-linear dinmico com variveis de entradaproduzindo variveis de sada. No entanto, a DCM precisa ter indicadas previamente a existnciade relao entre as variveis. Uma outra possvel forma de anlise para a PDC , por exemplo,indicar quais so essas relaes prvias para a funo DCM. Dessa maneira, pode-se concluir sobrea causalidade sugerida na anlise de PDC.

  • Captulo 6

    Consideraes Finais

    Neste estudo, vimos diversas funes que avaliam o grau de relao entre sries de tempo mul-tivariadas no domnio da frequncia. A mais simples de todas, a funo de coerncia, nada mais do que uma funo anloga funo de correlao do domnio do tempo. A funo de coernciaparcial mede o grau de relao entre duas sries aps removidos efeitos de outras sries no processo.

    Tanto na funo de coerncia parcial quanto na funo de coerncia parcial direcionada, vimosque para os dados de EEG, a alta frequncia de amostragem e a grande quantidade de dados podecausar problemas como memria longa e fuga de nomalidade dos resduos dos modelos autoregres-sivos multivariados, o que gera problemas srios de estimao da coerncia parcial. Como soluo,utilizamos o artifcio de estimar as funes de coerncia parcial e PDC em janelas mveis ao longodo intervalo de observaes, contruindo assim um conjunto de estimativas de funes, ordenados aolongo das janelas. A partir da, apresentamos os grficos das figuras B.1 a B.6.

    Outra maneira de estimar a relao entre sries temporais multivariadas pode ser feito por meiode anlise de ondaletas. Percival and Walden(2007) discutem extensivamente sobre essa metodologiaaplicada na mensurao de relao entre sries temporais. Torrence and Compo(1998) apresentamum guia prtico de aplicaes de ondaletas no estudo de sries temporais multivariadas. Outrasaplicaes de ondaletas no estudo de interaes em sries temporais podem ser vistas em Torrenceand Webster (1999) e Grinsted et al. (2004).

    38

  • Apndice A

    Sintaxe R - Funes utilizadas

    Funo de Coerncia Parcial

    part.coh.freq

  • 40 APNDICE A. SINTAXE R - FUNES UTILIZADAS

    Nx

  • 41

    Funo de Coerncia Parcial Direcionada

    PDC.freq

  • 42 APNDICE A. SINTAXE R - FUNES UTILIZADAS

    den

  • 43

    dim

  • Apndice B

    Grficos e Figuras de Coerncia Parcial e PDC

    Figura B.1: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais C3C4 e C3F3

    Figura B.2: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais C3F4 e C4F3

    44

  • 45

    Figura B.3: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais C4F4 e F3F4

    Figura B.4: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais P3P4 e P3O1

  • 46 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.5: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais P3O2 e P4O1

    Figura B.6: Coerncia parcial com janela mvel entre os sinais P4O2 e O1O2

    Figura B.7: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais C3C4 e C3F3. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 47

    Figura B.8: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais C3F4 e C4F3. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.9: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais C4F4 e F3F4. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.10: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais P3P4 e P3O1. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 48 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.11: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais P3O2 e P4O1. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.12: Curva mdia das janelas mveis das coerncias parciais entre os sinais P4O2 e O1O2. Empreto a curva da mdia e em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.13: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais C3 e C4

  • 49

    Figura B.14: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais C3 e F3

    Figura B.15: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais C3 e F4

  • 50 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.16: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais C4 e F3

    Figura B.17: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais C4 e F4

    Figura B.18: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais F3 e F4

  • 51

    Figura B.19: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P3 e P4

    Figura B.20: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P3 e O1

    Figura B.21: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P3 e O2

  • 52 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.22: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P4 e O1

    Figura B.23: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais P4 e O2

    Figura B.24: Coerncia parcial direcionada com janela mvel entre os sinais O1 e O2

  • 53

    Figura B.25: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais C3 e C4. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.26: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais C3 e F3. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.27: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais C3 e F4. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 54 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.28: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais C4 e F3. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.29: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais C4 e F4. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.30: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais F3 e F4. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 55

    Figura B.31: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais P3 e P4. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.32: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais P3 e O1. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.33: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais P3 e O2. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

  • 56 APNDICE B. GRFICOS E FIGURAS DE COERNCIA PARCIAL E PDC

    Figura B.34: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais P4 e O1. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.35: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais P4 e O2. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

    Figura B.36: Curva mdia das janelas mveis das PDCs entre os sinais O1 e O2. Em preto a curva da mdiae em azul(tracejado) o desvio-padro.

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