cobertura de vertices paulo afonso

Cobertura de Vértices

TEORIA DA COMPUTAÇÃOPPGC / CDTEC / UFPEL

Paulo de Almeida Afonso


O problema de encontrar uma cobertura de vértices mínima é um clássico problema de otimização em ciência da computação e é um exemplo típico de um problema de otimização NP-difícil que tem um algoritmo de aproximação.

É um dos 21 problemas NP-completos de Karp e, portanto, um problema NP-completo clássico da teoria da complexidade computacional.


CONCEITO Uma cobertura de vértices de um grafo é um

conjunto de vértices tal que cada aresta do grafo é incidente, a pelo menos, um vértice do conjunto. Ou seja, é um conjunto de vértices que contém pelo menos uma das pontas de cada aresta.


CONCEITO Uma cobertura de vértices de um grafo não

orientado G = (V,E) é um subconjunto V' C V tal que, se (u,v) é uma aresta de G, então u Є V' ou v Є V' (ou ambos).


COBERTURA MÍNIMA

O problema de cobertura de vértices é encontrar uma cobertura de vértices de tamanho mínimo em um dado grafo não orientado. Chamamos tal cobertura de vértices uma cobertura de vértices ótima. Esse problema é a versão de otimização de um problema de decisão NP-completo.

INSTÂNCIA: Grafo G

SAÍDA: Menor número k de tal forma que G tem uma cobertura de vértices de tamanho k.


COBERTURA MÍNIMA Uma cobertura de vértices mínima é uma

cobertura de vértices de menor tamanho possível. A figura a seguir mostra exemplos de coberturas de vértices mínima, em dois grafos.


Embora possa ser difícil encontrar uma cobertura de vértices ótima em um grafo G, não é muito difícil encontrar uma cobertura de vértices que seja aproximada.

Dado um grafo G, não orientado, como entrada, existe um algoritmo capaz de retornar uma cobertura de vértices cujo tamanho tem a garantia de não ser maior que duas vezes o tamanho de uma cobertura de vértices ótima.

APPROX-VERTEX-COVER(g) : VER CORMEN PÁG. 809


APLICAÇÃO Como conectar os pinos de uma placa de circuito

impresso com a menor quantidade de fio.

No sistema de abastecimento de água de Campina Grande, existem vários tanques de armazenamento e tratamento da água que vem do Açude de Boqueirão. Como interligar os tanques (em princípio, qualquer par de tanques pode ser interligado), de modo a garantir o correto abastecimento e que o custo seja mínimo?Os dois problemas acima são conhecidos como o problema da conexão mínima. Na Teoria dos Grafos é o problema de encontrar a árvore de cobertura (geradora) mínima para o grafo.


APLICAÇÃO

O conceito de cobertura de vértices pode ser aplicado no monitoramento de redes, onde a partir dos vértices pertencentes à cobertura ”atinge-se”, ou é possível, monitorar todos os nós da rede.

Bibliografia

Viana, Gerardo Valdisio Rodrigues. Meta-heurísticas e programação paralela em otimização combinatória – Fortaleza: EUFC, 1998. 250p.

Algoritmos: teoria e prática / Thomas H. Cormen...[et al]; tradução da segunda edição [americana] Vandenberg D. de Souza – Rio de Janeiro : Campus, 2002

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cobertura_de_vértices_(teoria_dos_grafos)

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