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Page 1: CMP1126 - Sistemas Computacionais Aplicados IIprofessor.pucgoias.edu.br/.../material/cmp1126-lista_exercicios-02.pdf · CMP1126 - Sistemas Computacionais Aplicados II Módulo de Análise

CMP1126 - Sistemas Computacionais Aplicados II

Módulo de Análise de Desempenho de Sistemas Computacionais

2a Lista de Exercícios - Cadeias de MarkovMax Gontijo de Oliveira

1. Em um censo populacional de uma cidade de médio porte, foi constatado que a cada ano 7% dapopulação rural migra para a zona urbana e que 2% da população urbana migra para a zona rural.Suponha que este fenômeno social seja estável e responda às seguintes questões:

(a) Represente o diagrama de transição.

(b) Monte a matriz de transição.

(c) Em 5 anos, qual a probabilidade de um indivíduo, atualmente na zona urbana, ter migradopara a zona rural?

(d) Em 10 anos, qual a probabilidade de um indivíduo, atualmente na zona rural, ter migradopara a zona urbana?

2. Uma pesquisa de mercado de um produto comercializado em três diferentes marcas constatou asseguintes probabilidades:

• Um consumidor da marca W deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,8 de manter-se �el à marca, probabilidade 0,05 de escolher a marca G e probabilidade 0,15 de escolher amarca R;

• Um consumidor da marca G deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,9 de manter-se �el à marca, probabilidade 0,01 de escolher a marca W e probabilidade 0,09 de escolher amarca R;

• Um consumidor da marca R deste produto, a cada compra, tem probabilidade 0,5 de manter-se�el à marca, probabilidade 0,3 de escolher a marca G e probabilidade 0,2 de escolher a marcaW;

Com base nessas informações, responda às seguintes questões:

(a) Represente o diagrama de transição.

(b) Monte a matriz de transição.

(c) Em 6 compras, qual a probabilidade de um consumidor da marca G optar pela marca W?

(d) Em 8 compras, qual a probabilidade de um consumidor da marca R optar pela marca G?

3. Um determinado fruto tem sua safra classi�cada como superior, média e pobre. Estudos revelamque, após uma safra pobre, há probabilidades 0,6 e 0,3 de a safra no ano posterior ser classi�cadacomo média ou superior, respectivamente. Após uma safra média, há probabilidades 0,4 e 0,1de a próxima safra ser classi�cada como superior ou pobre, respectivamente. E após uma safrasuperior, há probabilidades 0,5 e 0,1 de a próxima safra ser classi�cada como média ou pobre,respectivamente.

Com base nessas informações, responda às seguintes questões:

(a) Represente o diagrama de transição.

(b) Monte a matriz de transição.

(c) Em 4 anos, qual a probabilidade de uma safra vir a ser classi�cada como superior, dado que asafra atual é pobre?

(d) Em 10 anos, qual a probabilidade de uma safra vir a ser classi�cada como média, dado que asafra atual é média?

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4. Uma máquina tem pode estar em três estados: operando, estragada e em manutenção corretiva.Em levantamentos estatísticos veri�cou-se que, mensalmente, uma máquina, anteriormente quandocolocada feitos em funcionamento, tem probabilidade 0,9 de continuar funcionando e 0,1 de vir aapresentar algum defeito. Uma máquina em manutenção, tem probabilidade 0,4 de voltar a operarem um mês e 0,6 de continuar em manutenção. Já uma máquina estragada, tem probabilidade 0,8de entrar em manutenção e 0,2 de continuar estragada aguardando manutenção.

Com base nessas informações, responda às seguintes questões:

(a) Represente o diagrama de transição.

(b) Monte a matriz de transição.

(c) Em 3 meses, qual a probabilidade de uma máquina continuar funcionando sem problemas?

(d) Qual a probabilidade de uma máquina permanecer 2 meses em manutenção?

5. Seja {XN} uma cadeia de Markov com espaço dos estados {0, 1, 2}, vetor de probabilidade inicialp(0) = {1

4, 12, 14} e matriz de transição de 1 passo P :

P =

14

34

013

13

13

0 14

34

(a) Calcule p(0, 1, 1) = Pr[X0 = 0, X1 = 1, X2 = 1].

(b) Mostre que P [X1 = 1 e X2 = 1|X0 = 0] = p01p11.

(c) Calcule p(2)01 .

(d) Calcule p(3)20 .

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