CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2001

Segunda Prova – 14/11/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta

1ª Questão (5,5 pontos) Empregando-se o Método dos Deslocamentos, ob-ter o diagrama de momentos fletores para o quadro ao lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4x104 kNm2, com exceção da barra vertical da esquerda que é infini-tamente rígida à flexão.

2ª Questão (1,5 pontos) Considere a viga abaixo com uma inércia à flexão EI = 2,0x104 kNm2 constante. O apoio C da direita sofre um recalque de rotação θC = 2,1x10-3 rad no sentido anti-horário. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada (vide tabela ao lado), determine o dia-grama de momentos fletores.

θC = 2,1x10-3 radA B C

Analogia da Viga Conjugada

VIGA REAL

VIGA CONJUGADA

Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI

Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x)

Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x)

Rotação θ(x)

Deslocamento v(x)

3ª Questão (2,0 pontos) Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas as barras.

4ª Questão (1,0 ponto) Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1).

1ª Questão Sistema Hipergeométrico (SH)

1

2

caso (0) – Solicitação externa isolada no SH

β10 = – 36.0 kNm

β20 = – 22.5 kN

M0

[kNm]

0

0

0

0

–54 +54

–36 –36 +36

0

caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH

M1

K11 = 4EI/6 + 3EI/4 + 3EI/4

D1 = 1 +3EI/4 +2EI/6 –2EI/6

K21 = +5EI/48

6EI/62

6EI/62

0 0

0

0

2EI/6·4 + 3EI/42 – 3EI/42 = 2EI/6·4 K11 = +13EI/6

0 2EI/6·4

+4EI/6 +3EI/4

3EI/42

2EI/6

2EI/6·4

K21 = 3EI/42 – 2EI/6·4

6EI/62

6EI/62

3EI/42

3EI/42 3EI/42

3EI/42

3EI/4

3EI/4 2EI/6

4EI/6 x D1

caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH

M2

K22 = (7EI/6·4)·θ2 + 3EI/43

D2 = 1

K12 = +5EI/48 0

(7EI/6·4)·θ2 + 3EI/43 = 23EI/192

K22 = +23EI/192

+3EI/42 K12 = –(2EI/6)·θ2 + 3EI/42

3EI/43

3EI/43

3EI/42

x D2

θ2 = 1/4

–(3EI/6)·θ2 +(3EI/6)·θ2

θ2

θ2

–(4EI/6)·θ2 +(4EI/6)·θ2

–(2EI/6)·θ2

0

0 0

(4EI/6)·θ2

(7EI/6·4)·θ2

(3EI/6)·θ2

(7EI/6·4)·θ2

(4EI/6)·θ2

(2EI/6)·θ2 (6EI/62)·θ2

(6EI/62)·θ2

(3EI/6)·θ2

(3EI/62)·θ2

(3EI/62)·θ2

(9EI/62)·θ2

(9EI/62)·θ2

Sistema de Equações de Equilíbrio

=++=++

00

22212120

21211110

DKDKDKDK

ββ

=

⋅

++++

⋅+

−−

00

192/2348/548/56/13

5.220.36

2

1

DD

EI

⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=⇒

−

−

mEI

D

radEI

D

32

31

10539.71191

34560

10330.01191

1512

Momentos Fletores finais 22110 DMDMMM ++=

M [kNm]

0 –31.4

+31.4

0

0

–8.5

+8.5 –45.8 +39.9

+5.9

2ª Questão

Diagrama de momentos fletores:

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

MC

x

M(x)

–MB

+MC

– +

MC/EI

MB/EI

MA = 0QA ≠ 0

MB = 0 QB = QB

dir esq

MC = 0 QC = θC

c c

c c c

c c

MC/EI

MB/EI

MB = 0 ⇒ (MB 3/EI) 2 – (MC 3/EI) 4 + θC 6 = 0 c

MC = 4⋅MB = 24 kNm MB = θC EI/7 = 6 kNm ∴∴∴∴

MB 3/EI

θC = 2,1x10-3 rad

A B C

vA = 0

θA ≠ 0 vB = 0 θB = θB dir esq

vC = 0 θC ≠ 0

θC

θC MB 3/EI

MC 3/EI

MA = 0 ⇒ (MB 3/EI) 4 + (MB 3/EI) 8 – (MC 3/EI) 10 + θC 12 = 0c

EI = 2,0x10-4 kNm2

3ª Questão Sistema Principal (SP) e Hiperestático

X1

caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M0 [kNm]

T0 [kNm]

caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP

M1 T1 x X1

X1 = 1 X1 = 1

3 –3

–3

0

0 3 3

3

6 Equação de Compatibilidade: 011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +10.25 kN

[ ]EIGJEI t

11071336)3(1393313363

313723

613363

3131083

613366

6131086

31

10 −=⋅⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ

( )[ ]EIEIEIGJEI t

1083549013)3()3(21333

313333

31363

61336

61366

31

11 +=+=⋅⋅−⋅−⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ

Momentos Fletores e Momentos Torçores finais

110 XMMM += M [kNm]

30.75

5.25 9 30.75

72

46.5

5.25

110 XTTT += T

[kNm]

–30.75

–72

0 +5.25