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CIRCUNFERÊNCIA AULAS 01 e 02

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário Circunferência .............................................................. 1

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO ....................................... 1

CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................................................................................ 1

CÍRCULO .............................................................................................................................................................. 1

CORDA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................................................................................... 1

DIÂMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................................... 1

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................ 1

RETA EXTERIOR A UMA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................................................... 1

RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................ 2

RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................... 2

ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ................................ 2

SEMICIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................................................ 2

ÂNGULOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA ......................... 3

ÂNGULO CENTRAL ............................................................................................................................................... 3

Relação entre a medida de um ângulo central e a medida de seu arco correspondente .................................. 3

ÂNGULO INSCRITO .............................................................................................................................................. 3

Relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida de seu arco correspondente ................................. 3

ÂNGULO DE SEGMENTO ..................................................................................................................................... 3

Relação entre a medida de um ângulo de segmento e a medida de seu arco correspondente ........................ 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR ........................................................................................................................ 4

Relação entre a medida de um ângulo excêntrico interior e as medidas de seus arcos correspondentes ....... 4

ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR ........................................................................................................................ 4

Relação entre a medida de um ângulo excêntrico exterior e as medidas de seus arcos correspondentes ....... 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

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Circunferência

AULA 01 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA Considere um plano 𝛼, um ponto C e um número

positivo R.

Denomina-se circunferência de raio R e centro C o

lugar geométrico dos pontos de 𝛼 que distam R de C.

Sendo P um desses pontos, tem-se que PC = R.

CÍRCULO Círculo de centro C e raio R é a união de uma

circunferência de centro C e raio R com sua região

interna.

Obs. 1: Uma boa forma para se entender a diferença

entre circunferência e círculo é perceber que a

circunferência é apenas o traço feito por um compasso.

Enquanto um círculo é a união dessa circunferência e a

região interna definida por ela.

CORDA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Um segmento de reta que tem extremidades sobre

uma circunferência de centro C e raio R é denominado

corda dessa circunferência.

DIÂMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Um diâmetro de uma circunferência de centro C e raio

R é, por definição, uma corda que passa pelo seu

centro.

Obs. 2: Um diâmetro dessa circunferência tem medida

D igual a 2R.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE

RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA EXTERIOR A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Uma reta será classificada como exterior a uma

circunferência se elas forem coplanares e não tiverem

ponto em comum.

Obs.3: Note que, neste caso, a distância do centro da

circunferência para a reta será maior que o raio da

circunferência.

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RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Uma reta será classificada como tangente a uma

circunferência se elas forem coplanares e tiverem

apenas um ponto em comum.

Obs.4: Considere uma circunferência 𝛽, de centro C, e

uma reta r tangenge a 𝛽 em P. É possível mostrar que

a reta r e a reta 𝐶𝑃 ⃡ (que contém um diâmetro da

circunferência) são perpendiculares.

Obs.5: Note que, neste caso, a distância do centro da

circunferência para a reta será igual ao raio da

circunferência.

RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA

Uma reta será classificada como secante a uma

circunferência se elas forem coplanares e tiverem dois

pontos em comum.

Obs.6: Note que, neste caso, a distância do centro da

circunferência para a reta será menor que o raio da

circunferência.

ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Dois pontos distintos de uma circunferência a dividem

em dois conjuntos denominados arcos, aos quais os

dois pontos pertencem. Tais pontos são denominados

extremidades desses arcos.

Obs.7: Os pontos A e B são as extremidades desses

arcos, os quais são denotados por AB .

Obs.8: Para diferenciar um arco AB do outro arco AB

basta escolher um ponto pertencente ao arco que se

deseja destacar e distinto dos seus extremos. Note, nos

exemplos a seguir os arcos APB e AQB .

Obs.9: Os arcos APB e AQB são denominados arcos

replementares, pois juntos formam um arco de uma

volta.

SEMICIRCUNFERÊNCIA Se dois pontos distintos de uma circunferência são

extremidades de um diâmetro dessa circunferência,

então cada arco determinado por esses pontos é

denominado semicircunferência.

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ÂNGULOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

ÂNGULO CENTRAL Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,

contido no mesmo plano da circunferência, que tem

vértice em C é denominado ângulo central relativo à

essa circunferência.

Obs.10: Arco correspondente ao ângulo central

Na figura acima, o arco APD é denominado arco

correspondente ao ângulo central AOD . Podemos

dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo central.

Relação entre a medida de um ângulo

central e a medida de seu arco

correspondente A medida de um ângulo central em uma circunferência

é igual à medida de seu arco correspondente.

( ) ( )med AÔD med APD

ÂNGULO INSCRITO Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,

cujo vértice pertence à circunferência e tem cada um

de seus lados secante a circunferência é denominado

ângulo inscrito relativo à essa circunferência.

Obs.11: Arco correspondente ao ângulo inscrito

Na figura acima, o arco APD é denominado arco

correspondente ao ângulo inscrito AOD . Podemos

dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo inscrito.

Relação entre a medida de um ângulo

inscrito e a medida de seu arco

correspondente A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência

é igual à metade da medida de seu arco

correspondente.

( )( )

2

med APDmed AÔD

ÂNGULO DE SEGMENTO Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,

cujo vértice pertence à circunferência e tem um de

seus lados secante e o outro tangente a circunferência

é denominado ângulo de segmento relativo à essa

circunferência.

Obs.12: Arco correspondente ao ângulo de segmento

Na figura acima, o arco APD é denominado arco

correspondente ao ângulo de segmento ADE .

Podemos dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo

de segmento.

Relação entre a medida de um ângulo de

segmento e a medida de seu arco

correspondente A medida de um ângulo de segmento é igual à metade

da medida de seu arco correspondente.

( )( )

2

med APDmed ADE

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. PSA 1, 4b e 6

TAREFA 1 – Fazer os PSA 2, 3, 4(a,c), 5 e 7.

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AULA 02

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR Considere uma circunferência de centro C. Se duas

retas concorrem em um ponto interior a essa

circunferência, distinto do centro, os ângulos

determinados por elas são denominados ângulos

excêntricos interiores relativos à essa circunferência.

Relação entre a medida de um ângulo

excêntrico interior e as medidas de seus

arcos correspondentes A medida de um ângulo excêntrico interior é igual à

média aritmética entre a medida do arco

correspondente a ele e a medida do arco

correspondente ao seu ângulo oposto pelo vértice.

( ) ( )( )

2

med ATB med CQDmed APB

ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo

cujo vértice é exterior a essa circunferência e seus

lados a intersectam é denominado ângulo excêntrico

exterior relativos à essa circunferência.

Relação entre a medida de um ângulo

excêntrico exterior e as medidas de seus

arcos correspondentes A medida de um ângulo excêntrico exterior é igual à

metade da diferença positiva entre as medidas de seus

arcos correspondentes.

( ) ( )( )

2

med ATB med CQDmed APB

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. PSA 8 e 10

TAREFA 2 – Fazer os PSA 9, 11 e 12.