Circuitos Quânticos:uma introdução

Aércio Ferreira de LimaDF/CCT/UFCG

Bernardo Lula JúniorDSC/CCT/UFCG

WECIQ2006

Roteiro

• Mecânica quântica (30min)– dualidade onda x partícula

– superposição e interferência

– Interferômetro de Mach-Zehnder

• Representação da informação (30min)– bit, qubit, vetor de estado

– estado produto direto e emaranhado

– registrador quântico

Roteiro: continuação

• Processamento da informação (40min)

– computador clássico: portas e circuitos lógicos

– operações quânticas: transformação unitária e medição

– portas e circuitos quânticos

– algoritmos aritméticos

– paralelismo quântico

• Algoritmo de Deutsch (20min)– problema de Deutsch

– funções e circuitos

– Interpretação no interferômetro de Mach-Zehnder

Ferramental de apoio

• Texto (pdf)– http://www.dsc.ufcg.edu.br/~lula

• Apresentação (pdf)– http://www.dsc.ufcg.edu.br/~lula

• Simulador Zeno (java)– http://www.dsc.ufcg.edu.br/~aab/zeno/zeno-user.zip

Abordagem Quântica

• “... a tecnologia quântica pode oferecer muito mais que a possibilidade de abarrotar o silício de bits aumentando assim a velocidade de processamento. Ela pode dar origem a uma forma de computação completamente nova com algoritmos baseados nos princípios quânticos.”

• Artur Ekert• University of Oxford

• Centre for Quantum Computation

Computação Quântica (CQ): Pioneiros

• Em 1980 Benioff apresenta um modelo de computador quântico que simula a operação de uma máquina de Turing.

• Em 1982 Feynman afirma que :– apenas um sistema quântico pode modelar eficientemente outros sistemas

quânticos.

– computadores baseados nas leis da mecânica quântica poderiam ser usados para modelar sistemas mecânicos quânticos.

• e propõe (em 1985) um modelo de computador quântico mais realístico que o de Benioff.

• Em 1985 Deutsch estende a teoria da computação clássica, desenvolvendo uma teoria da CQ através da formulação de um modelo de circuitos quânticos (1985-1989).

• Até início dos anos 90 a CQ era apenas uma curiosidade acadêmica.

Mudança

• Em 1994, Shor publicou o seu algoritmo quântico que resolve o problema de fatoração de números grandes em tempo polinomial.

• Algoritmo de Shor põe em cheque a segurança baseada em chave pública e abre novas perspectivas para a CQ.

Física Clássica Física Quântica

• Situação no final do século XIX:

– Os físicos achavam que já tinham uma imagem sólida e abrangente sobre o mundo objetivo (físico).

– O mundo (universo) consistia basicamente de duas coisas, matéria (partículas) e campos (ondas), regidas pelas leis de:

Newton (leis do movimento) e deMaxwell (leis dos campos)

– A tarefa dos sucessores de Newton e Maxwell seria preencher os detalhes, estender as medições até a casa decimal seguinte.

Opinião dominante

• “A física acabou, meu jovem. É uma rua sem saída.”

• (professor de Max Planck, aconselhando-o, então, a optar pela carreira de pianista.)

“Pequenas manchas”

• Enigma do corpo-negro

– Pelas leis da física os corpos-negros deveriam ter um fulgor azul brilhante em todas as temperaturas a que fossem submetidos.

– Nas fundições se sabia, desde gerações, que o ferro se torna vermelho-cereja por volta dos 1.300°C.

• Efeito fotoelétrico

– uma placa metálica onde é depositada carga elétrica perde essa carga se iluminada por luz ultravioleta, mas, se a luz for amarela, vermelha ou azul, nada ocorre.

– Pelas leis de Maxwell, a luz é uma onda. Como uma onda poderia causar o efeito observado?

O início da revolução quântica

• Em 1900, Planck propõe que átomos recebem e emitem energia em pequenos “pacotes” múltiplos da freqüência de vibração das partículas.

• A proposta inovadora de Planck explicava porque o ferro adquire um fulgor vermelho-cereja por volta dos 1.300°C.

• Em 1905, Einstein publicou artigo intitulado Um ponto de vista heurístico sobre a produção e a transformação da luz, que utilizando a mesma restrição sobre a energia sugerida por Planck, sugeria que a luz era feita de partículas (fóton ou quantum de luz).

• A teoria de Einstein explicava os dados perfeitamente. Porém, criou outro problema:

• Afinal, a luz é onda ou partícula?

Dualidade Onda x Partícula

• Por volta de 1920, a opinião dominante era a de que a luz se comporta em determinadas situações como uma onda e em outras como partícula.

Bragg:

“Os fótons se comportam como partículas às segundas, quartas e sextas, e como ondas às terças, quintas e sábados. Aos domingos, os físicos descansariam do esforço de tentar compatibilizar os dois comportamentos.”

Onda x Partícula

• Como algo pode ser partícula e onda ao mesmo tempo?

• Partículas e ondas parecem ter propriedades diferentes e irreconciliáveis:

– uma partícula é uma objeto pequeno, bem localizado no espaço, enquanto uma onda é algo que se dispersa pelo espaço.

– duas ondas podem se interpenetrar e emergir inalteradas, enquanto duas partículas entrariam em colisão.

Onda x Partícula

• Mais “lenha na fogueira” :

• Em 1924, de Broglie propôs em sua tese de doutorado que não apenas os fótons mas também os elétrons ou quaisquer outras partículas atômicas também têm um comportamento ondulatório.

• Ou seja, não só a luz mas também a matéria teria comportamento de uma onda!!!.

Teorias quânticas

• Em 1925, surgem teorias quânticas (Heisenberg, Schrödinger), desfazendo a distinção entre partícula e onda:– o mundo é feito de uma só substância, a “substância quântica”

que combina de um modo peculiar os aspectos “partícula” e “onda” ;

– a cada entidade quântica é associada uma função de ondasimbolizada por ψ ;

– ψ possui amplitude e fase, satisfaz o princípio da superposição e é sujeito à interferência construtiva ou destrutiva, dependente da fase.

Fenômeno quântico: interferência

• Beamsplitter

– ES: espelho semi-prateado • metade dos fótons é refletida e metade transmitida

H

fóton ES

V

Experimento

H

fóton ES

V

B

A

Emitir fótons horizontalmente em direção à ES (um por vez) e observar efeito nos detectores A e B.

• Efeito observado:

– Detectores A e B registram a chegada de fótons emitidos, e como esperado, metade por A e a outra metade por B.

– Os fótons parecem deixar ES em uma das duas direções possíveis, V ou H, aleatoriamente

– Comportamento de partícula.

interferência

H

fóton ES

V

B

A

espelho normal (reflete todos os fótons)

N

N

ES2

H

fóton ES1

V

B

A

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Esperado:

– metade dos fótons no detector A e outra metade no detector B.

• Observado:

– Todos os fótons registrados pelo detector B, nenhum pelo detector A.

interferência

N

N

ES2

H

fóton ES1

V

B

A

espelho normal (reflete todos os fótons)

N

N

ES2

H

fóton ES1

V

B

A

• Observado:

– Metade dos fótons em A e a outra metade em B.

• Conclusão:

– Um caminho interfere (de alguma forma) no outro.

– O fóton segue nas duas direções possíveis ao mesmo tempo.

Superposição

N

N

ES2

H

fóton ES1

V

B

A

• Assim, podemos ter um sistema que pode não apenas estar em 2 estados distintos ( |0> ou |1> ), mas também em uma superposição desses estados:

• |ψ> = a |0> + b |1>

• onde |a|2 indica a probabilidade do fóton ser encontrado (se medido, observado) no caminho H (|0>), e |b|2 indica a probabilidade de ser encontrado no caminho V (|1>).

espelho normal (reflete todos os fótons)

N

N

ES2

H

fóton ES1

V

B

A

Superposição e

Interferência

• Um fóton inicialmente no estado |0> ao incidir sobre ES1 tem seu estado alterado para:

|ψ> = (1/√2)( |0> + |1> )

• O estado do fóton após ES2 é |0>.

• Ou seja, os caminhos interferem um com o outro resultando:

• numa interferência construtiva no caminho |0> (amplitude aumenta para 1), e

• numa interferência destrutiva no caminho |1> (amplitude vai a 0).

Onda e Partícula

• O fóton se comporta como uma onda, seguindo nas duas direções possíveis ao mesmo tempo:

|ψ> = a |0> + b |1>

• As possibilidades se somam, mas podem desaparecer (quando suas ondas representativas se encontram fora de fase).

• Se observado (medido, detectado), o fóton se comporta como uma partícula (colapso da função de onda):

|0> ou |1>

Representação da informação

• A unidade básica de informação dos computadores clássicos é o bit(binary digit) que pode ser (ou tem valor) 0 ou 1.

• A unidade básica de informação de um computador quântico é o qubit que, além dos estados |0> e |1>, correspondentes aos estados clássicos 0 e 1, pode estar numa mistura desses dois estados simultaneamente, ou seja, em uma superposição coerente desses estados.

• Em termos matemáticos, o estado geral de um qubit, denotado por |ψ>, é descrito por um vetor unitário (módulo igual a 1) em um espaço de Hilbert bidimensional (C2) :

|ψ> = a |0> + b |1> ,

satisfazendo | a | 2 + | b | 2 = 1. (condição de normalização)

Notação de Dirac

• Os kets |0> e |1> são representações dos vetores-coluna:

1

0|0> ≡

0

1|1> ≡

• e formam uma base para o espaço chamada de base computacional {|0>, |1>}

• Então, |ψ> = a |0> + b |1> representa o vetor:

1

0|ψ> ≡ a +

0

1b =

a

b

Visualização de um qubit na esfera de Bloch

x

y

z|0>

x

y

z|1>

x

y

z

x

y

z|0> + i|1> |0> - |1>

Registrador de memória quântico

• Registrador de memória em um computador clássico: sequência de n bits cujo estado pode ser qualquer um de {0, ..., 2n-1}.

• Registrador de memória quântico: sequência de n qubits cujo estado geral |ψ> é uma superposição normalizada dos 2n estados da base computacional {|0>, ..., |2n-1>} do espaço C2n:

1|α|onde12

0x

2n

x =∑−

=,x|α|

12

0x

n

x >=>ψ ∑−

=

• Obs.: o estado geral de n qubits é descrito por 2n amplitudes (números complexos).

Estado geral de 2 qubits

• O estado geral |ψ> de um registrador de 2 qubits é uma superposição dos estados da base computacional {|0>, |1>, |2>, |3>} :

|ψ> = α0|0> + α1|1> + α2!2> + α3!3>

• Ou, na notação binária:

|ψ> = α00|00> + α01|01> + α10!10> + α11!11>

Estado produto-direto

• Um tipo especial de estado é o estado produto-direto que é definido como o produto tensorial dos estados de seus componentes.

• Por exemplo, se:

• |ψ> = ψ0 |0> + ψ1 |1> estado do qubit A

• |φ> = φ0 |0> + φ1 |1> estado do qubit B

• então, o estado produto-direto do sistema composto é dado por:

• |ψ> ⊗ |φ> = (ψ0 |0> + ψ1 |1>) ⊗ (φ0 |0> + φ1 |1>)

• = ψ0φ0|0> ⊗ |0>+ψ0φ1|0>| ⊗ 1>+ψ1φ0|1> ⊗ |0>+ψ1φ1|1> ⊗ |1>

∑=

>>φ=1

0j,iji j|i|ψ

Estado emaranhado

• Note que o estado geral de 2 qubits só é um estado produto-direto dos estados dos 2 qubits se, e somente se:

α00 = ψ0φ0, α00 = ψ0φ0, α00 = ψ0φ0, α00 = ψ0φ0,

• ou seja, α00α11 = α01α10.

• Essa relação não é geral, visto que as amplitudes são regidas apenas pela condição de normalização.

• Assim, o estado de um sistema composto nem sempre é um estado produto-direto dos estados dos seus componentes.

• Por exemplo, o estado |ψ> = (|0>|0> + |1>|1>)/√2 de 2 qubits não pode ser descrito como um produto tensorial. Esse estado é dito ser um estado emaranhado (ou entrelaçado).

Processamento da informação

• Um computador clássico pode ser visto como um sistema físico queprocessa a informação codificada em bits, convertendo univocamente uma sequência de n bits (entrada) em outra sequência de m bits (saída):

calcula uma função f : {0, ..., 2n-1} → {0, ..., 2m-1}

• O processamento é realizado por dispositivos chamados circuitos lógicos.

• Um circuito lógico é uma coleção de portas lógicas (gates) conectadas umas às outras por fios.

• As portas lógicas realizam operações lógicas (AND, OR, NOT, por exemplo) sobre as informações (bits).

• Os fios transmitem as informações (bits).

Porta lógica NOT

a NOT(a)

• Essa porta tem como entrada um simples bit a e sua saída é o bitinvertido, ou seja, a porta realiza a operação lógica NOT sobre o bit:

NOT(0) = 1 e NOT(1) = 0

• Os fios antes e depois da porta servem para “transportar” a informação (bit) para a porta e da porta, respectivamente.

Circuitos e funções computáveis

• Uma porta lógica realiza (implementa) uma função f:{0,1}n → [0,1}m, para algum no. n de bits de entrada e algum no. m de bits de saída.

• Um circuito lógico pode envolver vários bits de entrada e de saída, muitos fios e muitas portas lógicas encadeadas, sem loops.

• Qualquer função computável pode ser realizada através de um circuito composto apenas das seguintes portas :

Portas lógicas básicas

• NOT: {0,1} → {0,1}

• AND:{0,1}2 → {0,1}

• OR:{0,1}2 → {0,1}

• XOR:{0,1}2 → {0,1}

• NAND:{0,1}2 → {0,1}

a NOT(a)

a

ba AND b

a

ba XOR b

a OR ba

b

a

ba NAND b

Circuito somador

Podemos construir circuitos com múltiplas saídas que computam funções do tipo f : {0,1}n → {0,1}m.

Por exemplo, o circuito Half-Adder (HA) que computa x + y mod 2 (XOR de x e y) com o “vai um” (carry):

x y c x ⊕ y0 0 0 0

0 1 0 11 0 0 1

1 1 1 0

x

y

c

x ⊕ y

Transformação unitária

• A mecânica quântica diz que a evolução no tempo de qualquer sistema quântico isolado é descrita matematicamente por uma transformação linear.

• Como os vetores de estados quânticos são unitários (módulo igual a 1), as transformações devem preservar o módulo dos vetores.

• Uma transformação linear U que preserva o módulo é uma transformação unitária:

Ut.U = U.Ut = I

Transformação reversível

• Uma consequência imediata da evolução do processo evolutivo de um sistema quântico isolado como um processo unitário é que ele reversível:

Ut.U = U.Ut = I

ou seja, U tem inversa U-1 = Ut .

• As operações quânticas são reversíveis.

• As operações lógicas (booleanas) em geral não são reversíveis.

Portas quânticas simples

• Em um computador quântico o processamento da informação é realizado por dispositivos chamados circuitos quânticos que são agrupamentos de dispositivos mais simples chamados portas quânticas.

• Uma porta quântica simples (1-qubit) implementa uma operação unitária U que pode ser aplicada a um qubit no estado |ψ> fazendo-o evoluir para o estado U(|ψ>):

• |ψ> → U|ψ>

Portas quânticas básicas

X|a> X|a> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

|a> Y Y|a> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −0

0i

i

|a> Z Z|a> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1001

H|a> H|a> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1111

21

|a> φ eiaφ |a> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φil0

01

H (Hadamard) como uma rotação

• A porta H provoca uma rotação de π/2 do vetor de estado em torno do eixo y seguida de uma reflexão sobre o plano xy:

x y

z

|0>+|1>2

z

x y

|1>

z

x y

|0>

Estados produto-direto x estados emaranhados

• Em geral, podemos usar as portas quânticas de 1-qubitpara transformar o estado |0>|0>...|0> de n qubits em qualquer estado do tipo |ψ1>|ψ2>... |ψn> onde cada |ψi> é uma superposição arbitrária a|0>+b|1>.

• Porém, apenas estados produto-direto (ou separáveis) podem ser obtidos dessa forma.

• Para se obter estados emaranhados, precisamos de portas aplicáveis a múltiplos qubits.

Porta NOT-Controlado (CNOT)

A porta CNOT pode ser aplicada ao estado de 2 qubits (controle e alvo) e sua ação pode ser definida pelas transformações operadas nos estados da base computacional:

|00> → |00>

|01> → |01>

|10> → |11>

|11> → |10>|b>

|a> |a>

|b⊕a>

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0100100000100001

UCNOT

Porta U-controlada

• Podemos generalizar a porta NOT-controlada para a porta U-controlada, onde U é uma transformação unitária qualquer sobre 1-qubit :

|x>

|y> U|x>Ux|y>

• Obs.: o conjunto das portas quânticas sobre 1-qubit mais a porta CNOT formam um conjunto universal, ou seja, qualquer transformação unitária pode ser representada por um circuito composto apenas por portas desse conjunto.

Portas quânticas de n qubits

Uma porta quântica de n qubits é representada por uma transformação unitária U aplicada a um vetor de dimensão 2n:

U|ψ> U|ψ>

∑∑−

=

−

=>=>ψ>=>ψ

12

0xnx

12

0xnx

nn

x|c|x|c| U U então , Se

Circuitos quânticos

|0> H (1/√2) (|0> + |1>)

Aplicando Hadamard ao estado |0>:

H|0>

|0> H (1/√2)(|0> + |1>)

(1/√2) (|0> + |1>)

Com 2 qubits e 2 Hadamard:

(H ⊗ H)(|0> ⊗ |0>) = H|0> ⊗ H|0>

= (1/√2).(|0>+ |1>) ⊗ 1/√2 (|0>+ |1>)

= (1/2).(|0>⊗|0>+ |0>⊗|1>+ |1>⊗|0>+ |1>⊗|1>)

= (1/2).(|00>+ |01>+ |10>+ |11>)

Circuitos quânticos

A aplicação de n portas Hadamard a um registrador de n qubits:

H|0> (1/√2) (|0> + |1>)

H

|0>

|0>

H (1/√2) (|0> + |1>)

(1/√2) (|0> + |1>).

.

.

produz o estado:

( )∑−

=

⊗ >=>0|12

0xnn/22

1n

n

x|nΗ

Computação reversível

Se existe um circuito lógico irreversível que computa uma dada função f : {0,1}n→{0,1}m , então existe uma simulação (eficiente) desse circuito por um outro circuito reversível com ação descrita por:

(x, y) → (x, y ⊕ f(x))

Computação Quântica: protocolo

• Protocolo padrão para a Computação Quântica:

Uf(|x>n|y>m) = |x>n|y ⊕ f(x)>m

• onde Uf é uma transformação linear que implementa a função f agindo sobre estados |x>n|y>m dos n+m qubits dos registradores de entrada e de saida.

Uf

|x>

|y>

|x>|y⊕f(x)>

Computação Quântica

• Se o registrador de saída é inicializado com o estado |0>, então temos:

Uf (|x>n|0>m) = |x>n |f(x)>m

• e o seu estado após aplicação de Uf será |f(x)>:

Uf

|x>

|0>

|x>|f(x)>

Paralelismo Quântico

• Se o estado inicial do registrador de entrada é |0>n e aplicarmos n transformações H aos qubits do registrador, o estado do registrador de entrada se torna uma superposição igualmente distribuída de todos os 2n estados da base:

H|0> (1/√2).(|0> + |1>)

|0>|0>

H (1/√2).(|0> + |1>)

(1/√2).(|0> + |1>)H

|0>m

|0>n

|0>m

( ) ∑−=

⊗⊗ >>=>⊗>⊗12

0xν/2

nnn

x mnm n 0|| 21 )0|0).(|I H(

n

Paralelismo Quântico

Se aplicarmos agora Uf aos dois registradores segundo o protocolo:

∑<≤

>>1-20

mnn/2n

)f(||21

x

xxH|0>

|0>|0>

H

H

|0>m

|0>n Uf

A aplicação de Uf leva o sistema de n+m qubits a um estado de superposição de todos os pares |x>|f(x)> para todos os x entre 0 e 2n-1.

Ou seja, computamos todos os 2n valores f(0), f(1), ..., f(2n-1) ao mesmo tempo com uma única aplicação de Uf.

Extrair Informação de Qubits

• Seja |ψ> = a|0> + b|1> o estado de um qubit.

• Não existe maneira de se obter o valor de a ou de b.

• Existe apenas uma maneira de se extrair informação dos qubits: fazendo uma medição.

• Fazer uma medição consiste na realização de um determinado teste sobre o qubit cujo resultado é 0 ou 1.

• O valor 0 ou 1 obtido pelo teste não é determinado pelo estado |ψ> do qubit.

• O estado |ψ> determina apenas a probabilidade dos possíveis resultados, de acordo com a regra enunciada por Max Born, conhecida como a regra de Born.

Regra de Born

• Seja |ψ> = a|0> + b|1> o estado de um qubit.

• Então, a probabilidade que o resultado de uma medição do qubit seja 0 :

p(0) = |a|2

• e a probabilidade que o resultado seja 1

p(1) = |b|2

• ou seja, a probabilidade de se obter um resultado particular é dada pelo quadrado do módulo da amplitude associada ao resultado.

• Obs.: O estado do qubit após a medição será |0> ou |1>, de acordo com que o resultado seja 0 ou 1, respectivamente.

Regra de Born

• A regra de Born estabelece a relação entre as amplitudes e as probabilidades dos resultados da medição.

• A condição de normalização |a|2 + |b|2 = 1 é justamente o requisito que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis seja igual a 1.

Regra de Born generalizada

• Se o estado |ψ> de n qubits é:

• então, a probabilidade que a sequência de 0’s e 1’s resultante da medição de todos os n qubits seja a expansão binária do inteiro x é dada por:

• p(x) = |αx|2

• ou seja, a probabilidade de se obter um resultado particular é dada pelo quadrado do módulo da amplitude associada ao resultado na expansão do estado |ψ> nos 2n estados da base computacional.

1||||20

2

20

=>=> ∑∑<≤<≤ nn x

x

x

nx x onde , ααψ

Extração de resultado

• Com o circuito abaixo podemos computar todos os 2n valores f(0), f(1), ..., f(2n-1) ao mesmo tempo com uma única aplicação de Uf.

• Como tirar partido disso se a medição do registrador de entrada nos dá um valor aleatório k e uma medição subseqüente do registrador de saída nos dará apenas o valor associado f(k), e nada mais?

• Obs.: o estado do sistema após as medições mencionadas seria |k>|f(k)>.

∑<≤

>>1-20

mnn/2n

)f(||21

x

xxH|0>

|0>|0>

H

H

|0>m

|0>n Uf

Informação global x Informação local

• Questão: • Como tirar partido do paralelismo quântico (superposição)?

• Resposta:

• Aplicando algumas transformações ao estado do sistema antes de efetuarmos a medição.

• Podemos extrair informação útil acerca das relações entre os valores de f para diversos valores de x que só obteríamos no caso clássico com a execução diversas vezes de f.

• Para obtermos esse tipo de informação, temos de abdicar da possibilidade de obtermos informação sobre o valor de f(x) para um dado x (aleatório).

Problema de Deutsch

• David Deutsch foi o primeiro a mostrar que era possível extrair informação interessante de uma computação quântica.

• Problema:

• “Como saber se uma dada função f : {0,1} → {0,1} é constante ou balanceada executando o algoritmo que computa a função o mínimo

possível?”

• Existem 4 dessas funções:

x = 0 x = 1f0 0 0f1 0 1f2 1 0f3 1 1

Solução clássica

• Classicamente, para responder com 100% de certeza, precisaríamosexecutar 2 vezes o algoritmo que computa f para calcular os valores f(0) e f(1) e comparar então os resultados usando, por exemplo, o fato que:

⎩⎨⎧

=⊕balanceada é f se 1constante é f se 0

)1(f)0(f

x = 0 x = 1f0 0 0f1 0 1f2 1 0f3 1 1

Solução quântica

Suponhamos que temos uma caixa-preta (oráculo) que implementa uma dessas funções (desconhecida) executando uma transformação unitária Uf :

Uf( | x >| y > ) = | x >| y ⊕ f(x) >

Uf

|x>

|y>

|x>

|y ⊕ f(x)>

Circuitos para Uf

Uf00 0 f0

f(0) f(1)

Uf1 X0 1 f1

Uf2 X

X X1 0 f2

Uf3 X 1 1 f3

Oráculo quântico ≡ Oráculo clássico

• Determinar se a função computada pelo oráculo é constante ou balanceada:

Uf

|x>

|0>

|x>|f(x)>

• Se medirmos o estado do sistema na base computacional vamos obter como resultado |0> |f(0)> ou |1> |f(1)> .

• Não vamos obter mais informação sobre o estado do sistema do que poderíamos obter utilizando um oráculo clássico.

Algoritmo de Deutsch

• Adicionando algumas transformações e medindo o 1o. registrador ao final:

Uf

|0>

|1>

H

H

H M

Uf

|0>

|1>

H

H

H M

|ψ0> |ψ1> |ψ2>

• |ψ0> = |0>|1>

• |ψ1> = (½). (|0> + |1>). (|0> - |1>)

• |ψ2> = (½).(-1)f(0 (|0> + (-1)f(0)⊕f(1) |1>). (|0> - |1>)

• Comparando |ψ2> com |ψ1> e lembrando que |ψ2> = Uf |ψ1> , podemos observar que:

• Uf deixa inalterado o estado do segundo qubit

• Uf introduz um fator de fase global (que podemos desprezar)

• Uf introduz no estado do primeiro qubit um fator de fase relativo (-1)f(0)⊕f(1) que contém a informação desejada (f(0)⊕f(1)).

Uf

|0>

|1>

H

H

H M

|ψ2>

• |ψ2> = (½). (|0> + (-1)f(0)⊕f(1) |1>)

• Se a função f é constante, f(0) ⊕ f(1) = 0 e o estado do primeiro qubit é (1/√2)(|0> + |1>), que após uma aplicação de H resulta no estado |0>. Uma medição posterior indicaria esse fato.

• Se a função é balanceada, f(0) ⊕ f(1) = 1 e o estado do primeiro qubit é (1/√2)(|0> - |1>), que após uma aplicação de H resulta no estado |1>. Uma medição posterior indicaria esse fato.

Uf

|0>

|1>

H

H

H M

• Se a função implementada pelo oráculo (Uf) for constante, a medição no primeiro qubit dará o valor 0. Se a função for balanceada, a medição dará o valor 1.

• O papel de Uf no circuito é gerar o fator de fase relativa no primeiro qubit de acordo com o tipo de f implementada pelo oráculo.

• O segundo qubit tem a função de auxiliar a geração da fase relativa.

• Com uma única aplicação (ou consulta) de Uf podemos determinar com certeza o tipo de função (constante ou balanceada) que o oráculo implementa.

Interferômetro x Algoritmo de Deutsch

Uf

|0>

|1>

H

H

H M

⎩⎨⎧

≠π=

=φ−φ=φf(1) f(0) caso o para f(1) f(0) caso o para 0

)( 10

1

2

3

passos

Ingredientes chaves

• O acesso à informação desejada que relaciona os possíveis valores da função f implementada só é possivel graças:

• Superposição: possibilita cálculo simultâneo de todos os valores de f .

• Interferência: permite ação construtiva ou destrutiva através de manipulação de fase.

• Emaranhamento: permite o estabelecimento de correlações entre estados.

Quântico x Clássico

• Ganho não-exponencial: alguns algoritmos quânticos são comprovadamente mais rápidos que os melhores algoritmos clássicos para determinadas tarefas.– Ex.: o algoritmo de Grover para pesquisa em banco de dados não-

estruturado - de O(n) para O(√n).• Ganho relativamente exponencial: oráculos quânticos podem ser

exponencialmente mais rápidos que oráculos clássicos.– Ex.: o algoritmo de Simon para encontrar o período de um função

periódica.• Ganho exponencial: alguns problemas aparentemente intratáveis

podem ser resolvidos em tempo polinomial.– Ex.: o algoritmo para transformada discreta de Fourier (QFT) e o

algoritmo de Shor para fatoração de números compostos.

Perspectivas

• Hardware quântico:

– de 3 a 7 qubits

– algumas portas básicas e porta CNOT

– simuladores

• Teoria, algoritmos e linguagens:

– Lambda-calculo quântico

– Lógica quântica

– Teoria dos grupos

– Linguagem de programação