CAPTULO 2 CARACTERSTICAS MAGNTICAS DOS MATERIAIS. CIRCUITOS MAGNTICOS Na maior parte das vezes os campos magnticos, antes de constiturem em um fim emsimesmo,soummeioutilizadoparaalcanarumresultado;emoutraspalavras, geralmentenohsentidoemgerarumcampomagnticosemqueestesedestine obteno de algum outro tipo de fenmeno. Uma das maiores utilidades de um campo magntico servir como "intermedirio" paraatransformaodeenergiaeltricaemmecnicaevice-versa-,emumprocesso conhecidocomoconversoeletro-mecnicadeenergia,presentenasmquinaseltricas. No caso de um gerador, por exemplo, a energia mecnica fornecida por uma fonte externa (digamos, um motor a gasolina) transformada em energia eltrica, como mostra a Fig. 2.1; ocampomagnticoquempropiciaestatransformao,comoveremosnoprximo captulo. Figura 2.1 - Fluxo de energia em um gerador eltrico Mquinasqueutilizamcamposmagnticostmseuselementosconstitutivos projetados de forma a proporcionar uma otimizao na distribuio espacial destes campos. Essesdispositivosseconstituememverdadeiroscircuitosmagnticos,distribuindoos fluxos magnticos de maneira adequada ao bom funcionamento da mquina. 2.1 PERMEABILIDADE MAGNTICA Apermeabilidademagntica,simbolizadapelaletragrega,umagrandeza caractersticadecadamaterialesereferesuacapacidadeem"aceitar"aexistnciade linhasdeinduoemseuinterior.Assim,quantomaiorforapermeabilidadedeum material, mais facilmente se "instalaro" linhas de induo em seu interior. Apermeabilidade magntica de ummaterial podesercomparada condutncia de umcorpo:enquantoestaexprimeograude"facilidade"comqueacorrenteeltrica percorreestecorpo,aquelamedeograude"facilidade"comqueofluxomagnticose estabelece no interior de um material.Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 13 Figura 2.2 - Distribuio das linhas de induo geradas pela corrente i em um enrolamento: (a) com ncleo de ar; (b) com ncleo de material de alta permeabilidade magntica relativa. Denomina-se permeabilidade magntica relativa (r) de um material relao r0 =(2.1) ondeapermeabilidadedomaterialeo=4t10-7Wb/A.mapermeabilidade magntica do vcuo. Ento, um material comr = 1.000 capaz de aceitar em seu interior um nmero de linhas mil vezes maior que o vcuo. Paramelhorvisualizarestapropriedade,observe-seaFig.2.2,quemostradois casosdedistribuiodelinhasdeinduogeradaspelacorrenteiquecirculanum enrolamento. Em (a) no existe ncleo1 e as linhas se espalham por todo o espao em torno doenrolamento;jem(b),aslinhasdeinduoseconcentramnointeriordoncleoem torno do qual feito o enrolamento, graas elevada permeabilidade relativa do material, resultando em umfluxomagnticomaisintenso. Aspoucaslinhas que"escapam"atravs do espao em torno do ncleo constituem o chamado fluxo de disperso. Aclassificaomagntica dosmateriaisfeitadeacordocom suapermeabilidade magntica (ver Tab. 2.1): a) Materiais paramagnticos so aqueles que cuja permeabilidade relativa pouco maiorque1.Taissubstnciassolevementeatradasporcamposmagnticos excepcionalmentefortes,pormestaatraotofracaquesoconsideradasno-magnticas.Nessaclasseseencontraumgrandenmerodesubstncias,comooar,o alumnio, o alumnio e a madeira. b)Materiaisdiamagnticos,comoobismuto,ocobreeagua,possuem permeabilidaderelativaumpoucomenorque1,sendolevementerepelidosporcampos magnticos muito fortes. Tambm aqui estas foras so muito fracas, sendo esses materiais considerados no-magnticos.

1 Ou, como se costuma dizer, a bobina temncleo de ar. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 14 c)Materiaisferromagnticos,ousimplesmentemateriaismagnticos,possuem permeabilidaderelativamuitomaiorque1,sendofortementeatradosporcampos magnticosemgeral.Nestacategoriaseincluemsubstnciascomooferro,ocobalto,o nquel e algumas ligas industriais. Material Permeabilidade magntica relativa (R) Classificao magntica Bismuto0,999833diamagntica gua0,999991diamagntica Cobre0,999995diamagntica Ar1,000000paramagntica Oxignio1,000002paramagntica Alumnio1,000021paramagntica Cobalto170ferromagntica Nquel1.000ferromagntica Ferro7.000ferromagntica Permalloy1100.000ferromagntica (1) Liga composta por ferro (17%), molibdnio (4%) e nquel (79%). A Tab. 2.1 mostra o valor da permeabilidade magntica relativa de alguns materiais. importante observar que se tratam de valores mdios de permeabilidade, j que, como se ver adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos magnticos a que so submetidos os materiais. 2.2. TEORIA DE GAUSS-EWING Embora sejam usadas h muito tempo, as propriedades magnticas dos materiais at hojenosoperfeitamenteexplicadas.Acredita-sequea"fonte"domagnetismoestno movimentoorbitaldoseltronsemtornodosncleos,gerandocamposmagnticos infinitesimais. A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses campossecancelammutuamentedevidoaomovimentodesordenadodoseltrons;nos materiais ferromagnticos, entretanto, certos grupos de tomos esto "pareados", de forma que seus campos se somam, formando o que se chama dedomnios magnticos, cada um dosquaispodeserrepresentadoporumdipolomagnticosemelhanteaumm.Porm, numadadaamostradematerialferromagntico,oalinhamentodosdomniostambm desordenado,comosemostranaFig.2.3(a),deformaqueomaterialcomoumtodono apresenta qualquer caracterstica magntica2. Noentanto,seumcampomagnticoexternodeintensidadeHforaplicado amostra,osdomniostendemasealinharporele,comosevnaFig.2.3(b),reforando assim as propriedades magnticas do material. A amostra comporta-se como um m, cujos plos so mostrados na figura; como se ver na Seo 2.3, esta "imantao" poder ou no

2 Uma exceo seria um mineral conhecido como magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; , portanto, o nico m natural que se conhece. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 15 ser permanente, isto , subsistir apsa retirada do campo externo, dependendo do valor do mesmo. Figura 2.3 - Domnios em uma amostra de material: (a) no-magntico ou no-magnetizado; (b) magnetizado pela aplicao de um campo magntico externo H Estateoriaexplicasatisfatoriamentealgumascaractersticasdosmateriais magnticos: -imsnaturais(vernotaderodap)jteriamosdomniosnaturalmentealinhados,de forma a produzir os efeitos magnticos sem a necessidade de campo externo; -no se consegue isolar os plos de um m: se um desses for partido ao meio obtm-se dois ms completos, cada um com um plo N e outro S; -quandoummsubmetidoachoquemecnicoouaquecimento,podeperdersua imantao: que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser suficiente para desarranjar a orientao dos domnios; -parasemagnetizarumaagulhadeve-se"esfreg-la"comoplodeummpassado semprenomesmosentido:omproduzopapeldecampoexternonecessrioea movimentaoconstantepromoveumalinhamentodosdomniossemprenomesmo sentido. QuandoummaterialmagnticosubmetidoaumcampoexternoH,ainduo magnticaB dada pelasoma dos efeitos devidos ao campo externo eaovetor chamado polarizao magnticaM, isto : oB (H M) = +equao que, em mdulo, pode ser colocada sob a forma oMB 1 MH| |= + |\ . Otermoentreparntesesrepresentaapermeabilidademagnticarelativadomaterial, portanto 0 rB H = portanto, de acordo com a Eq. 2.1 B H = (2.2) que a mesma Eq. 1.12 do captulo anterior. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 16 2.3.CURVAS DE MAGNETIZAO Medidas realizadas em laboratrio mostram que a relao B H dada pela Eq. 2.2 essencialmente no-linear: se for traado um grfico relacionando o campo externo H com ainduomagnticaBnomaterial,obtm-seumacurvadotipomostradonaFig.2.4, conhecida como curva de magnetizao ou caracterstica BH do material. A Teoria de Gauss-Ewing tambm explica o comportamento dessas curvas: -Na regio I acontece um crescimento dosdomniosfavoravelmente alinhadoscomocampoexterno. Nessaregioasalteraesso reversveis:seocampoexternofor retirado,osdomniosvoltaroasua situaooriginal,semhaver "fixao"dascaractersticas magnticas na amostra. -Se H for aumentado at a regio II, o aumentodosdomnios acompanhadodeumatendnciade alinhamento de outros domnios com ocampoexterno.Apartirdessa regio,osefeitosmagnticos tornam-se irreversveis, de forma que omaterialficamagnetizadomesmo se o campo externo for anulado. Figura 2.4 - Curva de magnetizao tpica de materiais magnticos -Na regio III, a maioria dos domnios j est alinhada com o campo externo, de modo que necessrio um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento de B. Na regio IV, todos os domnios da amostra esto alinhados com o campo externo; portanto umaumentodeHnoproduzqualqueralteraodeB.Diz-seque,nestasituao,o material atingiu a saturao magntica. SeforestabelecidaumapequenaalteraoAHnovalordocampomagntico, haver um correspondente incremento AB na induo magntica. A Eq. 2.2 permite concluir que BHA =A SeAH0,estaequaosetransformaemumaderivada,quepodeserrepresentada geometricamentepelatangentecurvaBHemcadaponto.V-se,ento,quea permeabilidade magntica no pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado na Fig. 2.4 a permeabilidade maior que no pontob.A exceo feita para o vcuo, onde a permeabilidade considerada constante e igual a 4t 10-7 Wb/A.m. NaFig.2.5somostradasascurvasdemagnetizaodealgunsmateriais magnticos usados em aplicaes comerciais. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 17

Figura 2.5 -- Curvas de magnetizao de alguns materiais magnticos comerciais Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 18 2.4. HISTERESE Suponha-sequeumaamostradematerialmagnticosejasubmetidaaumcampo magntico de intensidade H varivel com o tempo (este o caso tpico de ncleos em torno dosquaissofeitosenrolamentosexcitadosporCA).Seaamostraestiverinicialmente desmagnetizada e o campo for aumentando at o valor H1, a curva B H segue a linha 0a mostrada na Fig. 2.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a regio II da curva de magnetizao, quando o campo externo decrescer a curva seguir pela linha ab, de modo que para H = 0 o valor de B ser dado pela ordenada 0b; este valor chamado demagnetizaoresidual,poisamagnetizaoque"resta"nomaterialapsocampo externo ter-se reduzido a zero. Paradesmagnetizaraamostrasernecessrioinverterosentidodocampoe aumentarsuaintensidadeatH2,valorconhecido comoforacoercitiva3.Seocampocontinuar aumentandoatovalorH1(isto,nosentido contrrioaoinicial),acurvaBBseguiralinha cd.Nosemicicloseguinteoraciocnioomesmo, deformaqueapscompletadoumcicloobtm-se umacurvasemelhantemostradanaFig.2.6, chamada curva de histerese.Aformadolaodehisteresedeumdado materialdependedomximovalordocampo atingidonociclo(H1).Acurvaobtidapelaligao dosvrticesdoslaosdehistereseobtidospara diferentes valores de H1 chamada curva normal de magnetizao,. Quando um material submetido a um campo magnticoexternoalternado,seus domnios estaro emcontnuomovimento,buscandoalinhar-secom H.Issocausaum"atrito"entreosdomnios, aquecendoomaterialeocasionandoaschamadas perdasporhisterese.Demonstra-sequeessas perdassoproporcionaisreaencerradanacurva de histerese. Comprova-seexperimentalmentequea potnciadissipadaporunidadedevolumede material durante um ciclo de histerese dada por nh h MP K .f.B =(2.3) ondeKhensoconstantesquedependemdo materialedaprpriadensidadedocampo magntico, enquanto f a freqncia do campo magntico (em Hz) e BM o mximo valor de B alcanado durante o ciclo.

3 Este termo derivado do verbo coagir, que significa obrigar,forar. De fato este valor de H2 obriga o material a se desmagnetizar. Figura 2.6 Formao do lao de histerese Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 19 2.5. CIRCUITOS MAGNTICOS Nos dispositivos eletromecnicos e a se incluem geradores, motores, contactores, rels,etc.autilizaodeenrolamentosencleosobjetivaoestabelecimentodefluxos magnticos como meio de acoplamento na transformao de energia eltrica em mecnica, ouvice-versa.Nessesdispositivos,afunodoncleo"canalizar"paraospontos desejados as linhas de induo do campo magntico geradas pelos enrolamentos. Fazendo umaanalogiacomoscircuitoseltricos,osenrolamentosseriamcomofontes,osfluxos magnticos equivaleriam a correntes e os ncleos fariam o papel de condutores. Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um ncleo toroidal, como o da Fig. 2.7(a), com seo transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada permeabilidademagntica.EmtornodomesmofeitoumenrolamentodeNespiras onde circula a corrente constante I, gerando um campo magntico. Como a permeabilidade domaterialmagnticomuitomaiorqueadoarqueocircunda,vlidopensarqueas linhas de induo estar confinadas ao ncleo. Figura 2.6 - Bobina toroidal: (a) aspecto fsico; (b) circuito eltrico anlogo Pode-se deduzir que o campo magntico no interior desse ncleo no uniforme, j queasespirasestomaisprximasentresinaparteinternadoquenaexterna,oque significaqueocampovaienfraquecendoemdireoparteexteriordoncleo.Para contornar esse problema, que dificulta o processode clculos,toma-sealinha deinduo correspondenteaumraiomdioR,representadaporumalinhatracejadanaFig.2.7(a)e aplica-se a Lei de Ampre (Eq. 1.13). Como cada uma das espiras transporta a corrente I e contribui para a formao do campo no interior do ncleo, a corrente total NI, ento }= = - NI H d H l l onde l = 2tR corresponde ao comprimento mdio do ncleo. Umavezqueacorrentenoenrolamentoa"fonte"geradoradomagnetismo,o termo NI chamado de fora magnetomotriz (abreviadamente f.m.m.), simbolizada por F. Ento l H NI = = F (2.4) Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 20 As principais unidades de f.m.m. so: Ampre-espira (A-e) usada no Sistema Internacional eGilbert = 0,7958 A-e. O fluxo magntico | no interior do ncleo ser FlSHS BS = = = |ou, ainda |||.|

\|= lS1F (2.5) Otermoentreparntesesnessaequaolembraaexpressoparaoclculodaresistncia eltrica R de um corpo, dada por 1RS=ol onde o a condutividade eltrica do material,l o comprimento do condutor e S a rea de sua seo transversal. Por esta razo, denomina-se relutncia (R) relao S1 l= R (2.6) cujaunidadenoSistemaInternacionaloAmpre-espira/Webber(A-e/Wb).Assim,a Eq. 2.5 pode ser reescrita como | =R F (2.7) que a chamada Lei de Ohm para circuitos magnticos, dada sua semelhana com a lei homnima para circuitos eltricos. Asemelhanaentreoscircuitosmagnticoseeltricosevidente.NaTab.2.2 mostra-seaanalogia entreasgrandezasmaiscomumente encontradas em ume outro tipo de circuito. O circuito eltrico anlogo ao da Fig. 2.7(a) mostrado na Fig. 2.7(b). Tabela 2.1 - Analogia entre grandezas dos circuitos eltricos e magnticos Circuito eltricoCircuito magntico GrandezaSmboloGrandezaSmbolo CorrenteIFluxo magntico | Densidade de correnteJDensidade de fluxo magnticoB Fora eletromotriz (tenso)VFora magnetomotrizF Intensidade de campo eltricoEIntensidade de campo magnticoH Condutividade eltrica o Permeabilidade magntica ResistnciaRRelutnciaR Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 21 Exemplo 2.1 Umabobinaconfeccionadacom500espirasenroladasemtornodeumncleo toroidalsemelhanteaodaFig.2.7(a),sendoa=11cmeb=9cm.Desejando-se estabelecernointeriordessencleoumfluxomagnticomdioiguala0,2mWb, determinaracorrenteInecessria,supondo-sequeomaterial:(a)plstico;(b)ferro fundido; (c) ao fundido. Soluo O circuito eltrico anlogo mostrado na Fig. 2.7(b), Pelas dimenses dadas, segue-se que o raio mdio R = 10 cm = 0,1 m e o comprimento mdio do ncleo 2 R 0, 63m = t = lComo o raio da rea de seo transversal r = 1 cm = 0,01 m, a rea desta seo ser 2 4 2S r 3,14 10 m= t = Qualquerque sejaomaterialdoncleo,ainduomagntica emseuinterior dada pela Eq. 1.2 B 0, 64TS|= =(a) No caso de plstico, bem como qualquer material no-magntico, pode-se considerar o valor da permeabilidade magntica muito prxima ao do vcuo; logo, conforme a Eq. 1.13 oB A eH 506.862,88m= = Ento l H NI = = F638,65ANHI = =l (b) Na curva de magnetizao do ferro-fundido (Fig. 2.5) v-se que a saturao atingida para valores de B ligeiramente superiores a 0,4 T; assim, um ncleo desse material, com as dimensesdadas,nocapazdeatingirovalordesejadode0,64T,oquesignifica,em outras palavras, que no possvel obter-se o fluxo de 0,2 mWb nesse ncleo. (c) Na curva de magnetizao do ao fundido, para B = 0,64 T H = 420 A-e/m, logo 420 0, 63I 0, 53A500= = Emcircuitosmagnticosprticos,taiscomoemmquinaseltricas,normalmente existempeasmveis,demodoqueosncleospossuemespaoslivreschamados entreferros.Aocruzaremoentreferro,aslinhasdeinduosedeformam-criandoo chamado efeito de espalhamento devido ao aumento da relutncia neste trecho, como se v na Fig. 2.8(a). Na maioria das situaes esse efeito pode ser desconsiderado; porm, se foremnecessriosclculosmaisprecisospode-secorrigirainflunciadessadeformao somando-secadaumadasdimensesrelativasseodoentreferroocomprimentodo mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade do ncleo e g for o comprimento do entreferro, como se mostra na Fig. 2.8(b), a seo reta do entreferro ser dada por S = (a + g) (b + g)(2.8) Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 22 Figura 2.7 - Efeito de espalhamento: (a) deformao das linhas de induo no entreferro; (b) dimenses usadas para a correo. Outrofatorquedeveserconsideradoemclculosmaisprecisosofluxode disperso, j mencionado na Seo 2.1. Porm, desde que o material tenha permeabilidade magnticarelativamuitoalta,estefluxotemvalormuitobaixoesuainfluncianos resultados desprezvel. Figura 2.8 - Laminao do ncleo Umltimoaspectoaserconsideradonos clculosemcircuitosmagnticosque normalmenteosncleossolaminados,como formadereduodascorrentesparasitas.Ento,a espessuradoisolamentoqueseparacadaparde lminas deve ser descontada no clculo da rea; em outras palavras, a rea efetivamente disponvel para o fluxo (Sf) menor que a rea total do ncleo (S).A relao entre essas duas reas chamada de fator de empilhamento4 (f), isto fSfS=(2.9) valor que tambm pode ser expresso em termos percentuais. A analogia entre os circuitos magnticos e eltricos pode ser estendida. A relutncia ao longo de um dispositivo eletromagnticopode variar, devido mudana de dimenses, de permeabilidade(quando se usammateriais diferentes, porexemplo)ou existncia de entreferros.Ento,arelutnciadecadaumdessestrechospodeserconsideradaum "elemento", de sorte que haver circuitos srie ouparalelo. a)Circuitomagnticosrie:quandotodososelementosso"atravessados"pelomesmo fluxo magntico |. Se n for o nmero de elementos associados em srie, a f.m.m. total ser dada pela soma das f.m.m. parciais, isto n TF F F F + + + = ...2 1(2.10)

4 Est relao tambm conhecida como fator de ferro ou fator de laminao. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 23 que equivale Lei das Tenses de Kirchoff dos circuitos eltricos Exemplo 2.2 O circuito magntico da Fig. 2.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. Determinar a corrente I necessria para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, sabendo que o fator de empilhamento do elemento de ao-silcio igual a 90%, enquanto que o elemento de ao fundido macio. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de disperso. Soluo Na Fig. 2.10(b) mostrado o circuito eltrico anlogo. A f.m.m. deve ser calculada em cada um dos elementos. Figura 2.9 - Exemplo 2.2: (a) circuito magntico; (b) circuito eltrico anlogo -Entreferros lef = 0,1 cm = 10-3 mSef = 10 cm 20 cm = 200 cm2 = 0,02 m2 3efeffef7o3f ef f10 10Eq.1.2 :B 0, 5TS 0, 02B 0, 5 A eEq.1.12 :H 397.887, 36m 4 10Eq.2.1: H 397.887, 36 10 397, 89A e(paracadaentreferro)| = = == = = t= = = l F -Elemento de ao-silcio: las = 2 (30 + 5) + 30 + (2 5) = 110 cm = 1,1 m Sas = f (10 20) = 180 cm2 = 0,018 m2 3asas10 10B 0, 56TS 0, 018| = = =Entrando com este valor na curva BH do ao-silcio (Fig. 2.5): Has = 80 A-e/m Fas = Haslas = 80 1,1 = 88 A-e. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 24 -Elemento de ao fundido: laf = 2 7,5 + (25) + 30= 55 cm = 0,55 mSaf = 15 20 = 300 cm2 = 0,03 m2 3afaf10 10B 0, 33TS 0, 03| = = =Entrando com este valor na curva BH do ao fundido(Fig. 2.5): Has = 260 A-e/m Faf = Haflaf = 260 0,55 = 143 A-e. Aplicando a Eq. 2.10, encontra-se a f.m.m. total FT = 2 F1 + Fas + Faf = 1.026,78 A-e Entrando com este valor na Eq. 2.4 A 68 0150078 1026NIT ,,= = = F b) Circuito magntico paralelo:a f.m.m. em cada um dos elementos a mesma; o fluxo magntico total dado pela soma algbrica dos fluxos magnticos individuais, isto |T = |1 + |2 + ... + |n (2.11) onde n o nmero de elementos (percursos) do ncleo. Exemplo 2.3 O ncleo da Fig. 2.11(a) de ao fundido macio, sendo o enrolamento dividido em duaspartes,cadaqualcomnmeroNdeespiras.Sabendoqueumacorrentede0,8A produznoentreferroumfluxomagnticoiguala5mWb,determinarovalordeN. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de disperso. Figura 2.10 - Exemplo 2.3: (a) circuito magntico; (b) circuito eltrico anlogo Soluo OcircuitoeltricoanlogomostradonaFig.2.11(b).Considerandoqueos enrolamentos so idnticos e que existe total simetria do ncleo, pode-se deduzir que cada parte do enrolamento fornecer a metade do fluxo magntico na "perna" central. Assim Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 25 ce d2, 5mWb2|| = | = =onde|e,|de|ccorrespondem,respectivamenteaofluxonaspernasesquerda,direitae central do ncleo. -Entreferro lef = 0,1 cm = 0,001 mSef = 10 10 = 100 cm2 = 0,01 m2 cefefefefoB 0, 5TSB A eH 397.887, 36m|= == = Fef = Heflef = 397,89 A-e -Perna esquerda le = 30 + 40 + 30 = 100 cm = 1 mSe = 10 10 = 100 cm2 = 0,01 m ee eeA eB 0, 25T H 230S m| = = =Fe = Hele = 230 A-e -Perna central (trecho bghe), excetuando o entreferro lc = 40 0,1 = 39,9 cm = 0,399 mSc = 10 10 = 100 cm2 = 0,01 m cc ccA eB 0, 5T H 350S m| = = =Fc = Hclc = 139,65 A-e AplicandoaEq.2.10aotrechoabghde:FT=Fe+Fc+Fef=767,54A-e.Onmerode espiras dado pela Eq. 2.4: espiras 43 959INT , = = F 960 espiras Nosexemplosanterioresobserva-seque,apesardeseupequenocomprimento,o entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve sua elevada relutncia a qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magntica do ar. Esta constatao til nasoluodeoutrotipodeproblema:adeterminaodofluxomagnticoumavez conhecida a f.m.m. Nesse caso, como no se conhece o valor de B no ncleo, no possvel o clculo de H e conseqentemente de F no elemento. Ummtodosimplificadoparaasoluonessescasosodasaproximaes sucessivas:supe-se,inicialmente,quetodaarelutnciadocircuitoestcontidano entreferro e calcula-se a F requerida, comparando-a F real. Ajusta-se, ento, o valor de B para mais ou para menos e repete-se os clculos. Prossegue-se assim at que a f.m.m. dada e a calculada atinjam uma diferena pr-fixada (por exemplo, 5%) e, porfim, calcula-se o fluxo Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 26 Exemplo 2.4 Dado o ncleo macio de ao fundido da Fig. 2.12(a), determinar o fluxo magntico em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os efeitos do espelhamento e do fluxo de disperso. Soluo O circuito eltrico anlogo mostrado na Fig. 2.12(b). A f.m.m. real F = NI = 500 A-e. As medidas neste exemplo so: -Entreferro: lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 5 10 = 50 cm2 = 0,005 m2 -Ncleo : ln = 4 15 0,1 = 59,9 cm = 0,599 mSn = 5 10 = 50 cm2 = 0,005 m2 1aAproximao desconsidera-se a relutncia do ncleo, portanto Fn = 0 e Fef = F = Heflef me A000 500 Heff= = .lF

Bef = oHef = 0,63 T V-se, porm, que o valor de Bef ser menor do que este, j que a f.m.m. no ncleo deve ser considerada. Figura 2.11 - Exemplo 2.4: (a) circuito magntico; (b) circuito eltrico anlogo 2aAproximao fazendo Bef = 0,6 T Entreferro: efefoB A eH 477.464.83m= = Fef = Heflef = 477,46 A-e Ncleo: Bn = Bef = 0,6 T Hn = 400 A em Fn = Hnln = 239,60 A-e Aplicando a Eq. 2.10: F = Fn + Fef = 717,06. Este valor cerca de 43% maior que o valor da f.m.m. real, logo necessria nova aproximao. Mquinas e Transformadores EltricosEurico G. de Castro Neves e Rubi Mnchow 27 3aAproximao fazendo Bef = 0,5 T e refazendo os clculos Entreferro: Hef = 397.887,36 A-e/mFef = 397,89 A-e Ncleo:Hn = 350 A-e/m Fn = 209,65 A-e F = Fn + Fef = 607,54 A-e (cerca de 21,5% maior que o valor real). 4aAproximao fazendo Bef = 0,4 T e refazendo os clculos Entreferro: Hef = 318.309,896 A-e/mFef = 318,31 A-e Ncleo:Hn = 300 A-e/m Fn = 179,70 A-e F = Fn + Fef = 498,01 A-e (valor apenas 0,4% menor que o real). Portanto, adotando-se Bef = 0,4 T: |ef = Bef Sef = 2 mwB