circuitos elétricos 1 - aula 19
TRANSCRIPT
Circuitos de Segunda Ordem
Equação básica
LKC:
Ri LiCi
0 CLRS iiii
)();()(1
;)(
0
0
tdt
dvCitidxxv
Li
R
tvi CL
t
t
LR
SL
t
t
itdt
dvCtidxxv
LR
v )()()(
10
0
d/dt:
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S
12
2
LKT:
Rv
Cv
Lv
0 LCRS vvvv
)();()(1
; 0
0
tdt
diLvtvdxxi
CvRiv LC
t
t
CR
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S
2
2
SC
t
t
vtdt
diLtvdxxi
CRi )()()(
10
0
Escreva as equações diferenciais para v(t) e i(t), respectivamente:
0
00)(
tI
tti
S
S
Si
Modelo para RLC paralelo
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S
12
2
0;0)( ttdt
diS
01
2
2
L
v
dt
dv
Rdt
vdC
Sv
00
0)(
t
tVtv
SS
Modelo para RLC série
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S
2
2
0;0)( ttdt
dvS
02
2
C
i
dt
diR
dt
idL
Solução
)()()()(
:equação da solução a Qual
212
2
tftxatdt
dxat
dt
xd
)(homogêneaar complement solução
particular solução
)()()( :que se-Sabe
c
p
cp
x
x
txtxtx
0)()()(
satisfaz
homogêneaou ar complement soluçãoA
212
2
txatdt
dxat
dt
xdc
cc
Se a função forçante for constante:
particular solução uma é )(2a
AxAtf p
Axadt
xd
dt
dx
a
Ax p
pp
p 22
2
2
0 :Prova
)()(
)( forçante funçãoqualquer Para
2
txa
Atx
Atf
c
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
Resolva:
0)(16)(8)(4
amortecida-não natural
frequência a e ntoamortecime de taxaa
tica,caracterís equação a Determine
2
2
txtdt
dxt
dt
xd
Faça o coeficiente da segunda derivada
igual a 1:
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
2n
n2
042
ticacaracterís Equação
2 ss
Taxa de amortecimento, frequência natural
2 n
5.0
A equação homogênea
0)()()( 212
2
txatdt
dxat
dt
xd
0)()(2)(
anormalizad Forma
2
2
2
txtdt
dxt
dt
xdnn
2
11
22
2
22
a
aa
aa
n
nn
ntoamortecime de taxa
)amortecida-(não natural frequência
n
02
ticacaracterís Equação
22 nnss
Circuitos de Segunda Ordem – Equação homogênea
Solução:
01
2
2
L
v
dt
dv
Rdt
vdC 0
2
2
C
i
dt
diR
dt
idL
0)()(2)(
anormalizad Forma
2
2
2
txtdt
dxt
dt
xdnn
0112 L
sR
Cs 012 C
RsLs
C
LC
RRs
2
14
112
L
CLRR
s2
142
02
anormalizad Forma
22 nnss
02
anormalizad Forma
22 nnss 1
0)()(
2
222
2222
nn
nnn
nnn
s
s
s
(modos do sistema)
Para visualizar a influência da posição das raízes da equação
característica na resposta ao degrau do sistema:
- http://users.ece.gatech.edu/bonnie/book/OnlineDemos/PolePosition
sAndStepResponse/BIN/applet.html
- http://web.mit.edu/6.302/www/pz/
- http://web.mit.edu/klund/www/papers/ACC05_pz.pdf
Ressonância
- http://www.youtube.com/watch?v=P0Fi1VcbpAI - Ponte Tacoma
Narrows
- http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=eAXVa_
_XWZ8 - Millenium Bridge
- http://www.msnbc.msn.com/id/28998876/#story – Oscilação na
estação espacial internacional
Solução da forma: tsts
eKeKtx 21
21)(
- http://techteach.no/publications/articles/second_order_systems.pdf
Análise da equação homogênea
0)()(2)(
anormalizad Forma
2
2
2
txtdt
dxt
dt
xdnn
02
solução uma é )(
22
nn
st
ss
Ketx
s é solução da equação característica
stst Kesdt
xdsKet
dt
dx 2
2
2
;)( :PROVA
stnnnn Kesstxt
dt
dxt
dt
xd)2()()(2)( 222
2
2
02
ticacaracterís Equação
22 nnss
distintas) e reais (raízes 1 :1 CASO tsts
eKeKtx 21
21)(
)conjugadas complexas (raízes 1 :2 CASO
d
nn
js
js
21
tAtAetx ddt sincos)( 21
tjttjst dndn eeee
)(
:OBS
tjte ddtj d
sincos
iquais) e reais (raízes 1 :3 CASO
ns
tnetBBtx
21)(
)022()02(
solução é :OBS
22
nnn
st
sEss
te
tstseKeKtx 21
21)(
amortecida oscilação de frequênciad
*12)( KKtx real
tj
d
deKtxjs
KK )(1
*12 Re2)(
2/)(ASSUMA 211 jAAK
1
0)()(
2
222
2222
nn
nnn
nnn
s
s
s
(modos do sistema)
ntoamortecime defator
02
anormalizad Forma
22 nnss
- http://web.mit.edu/6.302/www/pz/
distintas) e reais (raízes 1 :1 CASO
tstseKeKtx 21
21)(
tstseKeKtx 21
21)(
d
nn
js
js
21
*12)( KKtx real
amortecida oscilação de frequênciad
ntoamortecime defator
tAtAetx ddt sincos)( 21
tjttjst dndn eeee
)(
:OBS
tjte ddtj d
sincos
iquais) e reais (raízes 1 :3 CASO
tnetBBtx
21)(
)conjugadas complexas (raízes 1 :2 CASO
Determine a forma geral da solução
0)(4)(4)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
044
ticacaracterís Equação
2 ss
0)2(044 22 sss
242 nn 142 n
3) (caso amortecido tecriticamen sistema
t
st
etBBtx
etBBtx
221
21
)()(
)()(
0)(16)(8)(42
2
txtdt
dxt
dt
xd
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
Divida pelo coeficiente da segunda derivada
242 nn 5.022 n
2) (caso idosubamortec sistema
325.0121;1 2 ndn
tAtAetx
tAtAetx
t
ddt
3sin3cos)(
sincos)(
21
21
3103)1(42 22jssss
Raízes são reais e iquais Raízes são complexas conjugadas
d
Exemplos
FCHLR
RLC
2,2,1
com paralelo Circuito
01
2
2
L
v
dt
dv
Rdt
vdC 0
2
2
C
i
dt
diR
dt
idL
042
1
02
2
2
2
2
2
v
dt
dv
dt
vd
v
dt
dv
dt
vd
016
3)
4
1(
4
1
2
22 ss
s
2
1
4
1;
2
1 nn
tAtAetv
t
c4
3sin
4
3cos)( 21
4
4
3
4
11
2
11 2 nd
FFFCHLR
RLC
2,1,5.0,1;2
com série Circuito
Equação homogênea
022
2
C
i
dt
di
dt
id
/: L
CC
nn 22;1
C=0.5 subamortecido
C=1.0 criticamente amortecido
C=2.0 sobreamortecido
Classifique as respostas para os
valores de C fornecidos:
Forma da solução
4
1
C
44
A resposta da rede:
Determinando as constantes
Atxtdt
dxt
dt
xdnn )()(2)(
anormalizad Forma
2
2
2
tsts
n
eKeKA
tx 21
212)(
212)0( KK
Ax
n
2211)0( KsKsdt
dx
tAtAeA
tx ddt
n
n
sincos)( 212
12)0( A
Ax
n
21)0( AAdt
dxdn
t
n
netBBA
tx
212
)(
12)0( B
Ax
n
21)0( BBdt
dxn
Determine v(t) FCHLR5
1,5,2 VvAi CL 4)0(,1)0(
t
Ldt
dvCidxxv
LR
v
0
0)0()(1
011
2
2
vLCdt
dv
RCdt
vd
015.2
TICACARACTERÍS EQUAÇÃO
2 ss 5.1;1 n
2
5.15.2
2
4)5.2(5.2 2
s
tteKeKtv
5.02
21)(
Para determinar as constantes, precisamos:
)0();0( dt
dvv
Vvvv CC 4)0()0()0(
0 em LKC t
0)0()0()0(
dt
dvCi
R
vL
C
5)5/1(
)1(
)5/1(2
4)0(
dt
dv
2;255.02
421
21
21
KK
KK
KK
0;22)( 5.02 teetv
tt
RiLi Ci
0 CLR iii
Passo 1
Modelo
Passo 2
Passo 3
Raízes
Passo 4
Forma da
solução
Passo 5: Determine as constantes
)0(),0( encontre ,fornecidas não Se LC iv
Analise o
circuito em
t=0+
%script6p7.m
%plots the response in Example 6.7
%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0
t=linspace(0,20,1000);
v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);
plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)')
title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')
Usando MATLAB para visualizar a resposta