circuitos elétricos 1 - aula 13

Capacitância e Indutância

Introdução a dois dispositivos passivos e armazenadores de energia:

Capacitores e Indutores

Objetivos

CAPACITORES

Armazenam energia em seu campo elétrico (energia electrostática)

Modelado como um elemento de circuito

INDUTORES

Armazenam energia em seu campo magnético

Modelado como um elemento de circuito

COMBINAÇÕES DE CAPACITORES E INDUTORES

Combinações série/paralelo de elementos

CIRCUITOS RC COM OP-AMP – não será visto nesta disciplina

Circuitos integradores e diferenciadores

CAPACITORES Elemento armazenador de energia Capacitores típicos

Capacitor de placas paralelas básico

Representação como elemento de circuito

Observe o uso da convenção passiva de sinais

É comum ter-se valores pequenos para capacitâncias.

Microfarad é uma unidade comum.

Para circutos integrados é comum encontrar-se nano ou pico farad.

d

AC

28

4

12

103141.610016.1

1085.855 mA

AF

Tamanho da placa para uma capacitância equivalente com o espaço

preenchido por ar:

placas entre espaço no dielétrico material do Constante

Lei básica de capacitância )( CVfQ

Capacitores lineares obedecem a lei de Coulomb CCVQ C é chamada de CAPACITÂNCIA do dispositivo e possui unidade de

tensão

carga

Um Farad(F) é a capacitância de um dispositivo capaz de armazenar um Coulomb de carga a um Volt

Volt

CoulombFarad

EXAMPLO Tensão nos terminais de um capacitor de 2 micro Farads, que armazena uma carga de 10mC

500010*1010*2

11 3

6

Q

CVC V

Capacitância em Farads, carga em Coulombs resultam em tensão em Volts

Capacitores podem ser perigosos!!!

Representação de circuito de um capacitor linear

O capacitor é um elemento passivo e segue a convenção passiva de sinais

Capacitores apenas armazenam e liberam energia ELECTROSTÁTICA. Eles não “criam” energia.

Representação de circuito de um capacitor linear

)()( tdt

dvCti

EXEMPLO

Escreva a relação i-v

dos seguintes

capacitores

Faradvolt

coulomb

V

QC unidade :

Capacitor e capacitância FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capac.html#c1

•A bateria irá transportar carga para as placas até que a tensão produzida

pelo acúmulo de cargas for igual à tensão da bateria.

•Pode-se definir a capacitância como a quantidade de carga que pode ser

armazenada por unidade de tensão aplicada ao dispositivo.

dsEsdEdV S

Variação da tensão

dV ao longo da

direção ds

Vz

ky

jx

i

z

Vk

y

Vj

x

Vi

EkEjEiE zyx

Revisão: campo elétrico e dif. de potencial FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elewor.html

O efeito de um campo elétrico em um material dielétrico polarização.

Capacitor e capacitância FONTES: http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/elmat_en/kap_3/backbone/r3_1_1.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/dielec.html#c1

Momento de dipolo: m = q·x

Polarização de um dielétrico: orientação dos momentos de dipolo diminuição do

campo elétrico efetivo entre as placas aumento na capacitância de placas paralelas

opolarizaçãexternoefetivo EEE

Capacitor e capacitância FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/dielec.html#c3

Polarização de um dielétrico: orientação dos momentos de dipolo diminuição do

campo elétrico efetivo entre as placas aumento na capacitância de placas paralelas

0

kEEE opolarizaçãexternoefetivo

: carga por unidade de área (Q/A)

0: permeabilidade do vácuo

A capacitância das placas

paralelas aumenta por um fator k

d

A

d

Ak

dk

A

Ed

A

V

QC R 00

0

d

VE

0

O efeito de um campo elétrico em um material dielétrico polarização.

Capacitor e capacitância FONTE: http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/elmat_en/kap_3/backbone/r3_1_1.html

- Polarização do material: P = 0 · c · E

E : Campo elétrico (externo) aplicado;

0: Permissividade do vácuo;

c: Susceptibilidade dielétrica do material.

Efeitos do material dielétrico FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm

MATERIAL r MATERIAL r

vácuo 1 Porcelana 6

ar 1.0006 Alumina 8.1~9.5

teflon 2 Titanatos 50~10000

papel parafi. 2.5 Silício fund. 3.8

plástico 3 Pyrex 5.1

papel 4~6 Polistireno 2.5~2.6

óleo 4 água dest. 80

mica 3~7

• Pode-se interpretar a constante dielétrica r como uma medida do campo

elétrico de oposição (di = oposição) induzido no material pelo campo elétrico

aplicado.

• Material dielétrico Campo elétrico externo Polarização.

Efeitos do material dielétrico (cont.) FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm

Polarização origina um campo elétrico de sentido contrário àquele

aplicado.

Para analisar o efeito causado pela presença de um material dielétrico entre as

placas condutoras do capacitor, vamos equacionar a tensão entre as placas, a

carga acumulada e o campo elétrico no interior do material.


Considere dois capacitores idênticos na forma mas distintos no material

dielétrico; seja, por exemplo, um capacitor com vácuo entre as placas

condutoras e outro com um dielétrico de mica (r 3 a 7).

Considere que a tensão entre as placas esteja fixa em V campo elétrico

aplicado no material dielétrico: E = V / d .

No capacitor com dielétrico de mica, o campo elétrico estabelecido pelas

cargas nas placas sofre a influência do campo de oposição gerado pelas

cargas de polarização, que atua de forma a reduzi-lo. Para atingir o mesmo

valor de campo elétrico E daquele do capacitor com vácuo, é necessário,

portanto, um número maior de cargas elétricas nas placas condutoras.

Pode-se também observar que as cargas de polarização nas proximidades das

placas condutoras induzem novas cargas nas placas condutoras.


Conclusões:

Para uma mesma tensão aplicada, a carga acumulada nas placas do

capacitor com dielétrico é maior do que aquela do capacitor com vácuo

apenas.

Para uma mesma carga acumulada, a tensão entre os terminais do

capacitor com mica é menor. (Por que?)

Assim, para uma tensão V constante:

VCQVCQ vaziovaziomicamica vaziomica CC

d

AC ovazio

d

AC romica

vazio

micarrvaziomica

C

CCC


O efeito causado pelo dielétrico pode ainda ser interpretado da seguinte forma:

No capacitor vazio (sem dielétrico), o fluxo elétrico é inteiramente gerado nas cargas positivas e converge para as cargas negativas, localizadas nas placas condutoras.

No capacitor com dielétrico (mica, por exemplo), os dipolos induzidos constituem fontes adicionais de fluxo elétrico, que no interior do dielétrico têm sentido contrário àquele estabelecido pelas cargas nas placas condutoras.

É exatamente a necessidade de se compensar o fluxo de oposição, de forma a garantir a mesma tensão entre as placas condutoras, que induz a acumulação de uma maior quantidade de carga nas placas do capacitor com dielétrico de mica.

Se a tensão varia ( vC(t) ), a carga varia ( q(t) ) e há uma corrente no circuito ( i(t) )

CC CVQ Lei do capacitor

Pode-se também expressar a tensão

nos terminais do capacitor em termos

da corrente

QC

tVC

1)(

t

C dxxiC

)(1

Forma integral da lei da capacitância

… ou pode-se expressar a corrente no

capacitor em termos da tensão entre seus

terminais

Forma diferencial da lei da capacitância

A implicação matemática da forma

integral é ...

ttVtV CC );()(

A tensão nos terminais de um capacitor

DEVE ser contínua

Implicações da forma diferencial?

0 CC iConstV

Comportamento DC or de regime

permanente

Um capacitor em regime

permanente (com fontes DC) age

como um CIRCUITO ABERTO

)()( tCvtq

O capacitor como elemento de circuito A adição ou remoção de cargas elétricas das placas do

capacitor equivale a variar a tensão elétrica entre as

mesmas, e vice-versa

dt

dVC

dt

dQi CC

O capacitor como elemento de circuito

A característica tensão-corrente do capacitor como elemento de circuito:

Relação diferencial:

- Condições iniciais; - Restrição da continuidade de energia acumulada; - Solução natural (transitória) e forçada no tempo

dt

tdvCtvC

dt

d

dt

tdqti

)()(

)()(


Da característica tensão-corrente do capacitor, pode-se concluir que:

Tensões constantes nos terminais do capacitor correspondem a correntes nulas;

Tensões variáveis no tempo, mas com derivada finita, correspondem a correntes finitas;

Tensões senoidais correspondem a correntes também senoidais;

Variações infinitamente rápidas de tensões correspondem a picos de corrente de amplitude infinita requer potência infinita e um movimento instantâneo de cargas nos terminais do capacitor.

)( )( tvCtq dt

tdvCti

)()(


Princípio da conservação de cargas: a quantidade de cargas elétricas não pode variar instantaneamente. A tensão nos terminais do capacitor não pode variar instantaneamente. Não pode haver uma descontinuidade em v(t).

)( )( tvCtq

t

t

t

-

t

- o

odi

Cdi

Cdi

Cv

dt

tdvCti

1

1

1

)()(

vo (to) : condição inicial;

to: tempo inicial.

t

to

o

diC

tvv

1)(

CAPACITOR COMO ELEMENTO DE CIRCUTO

Cv

Ci

)()( tdt

dvCti c

C

t

CC dxxiC

tv )(1

)(

t

t

tt

0

0

0

0

)(1

)(1

)(

t t

t

CCC dxxiC

dxxiC

tv

t

t

CCC dxxiC

tvtv

0

)(1

)()( 0

O fato da tensão ser definida por meio de uma integral tem implicações importantes...

RR

RR

Riv

vR

i

1

Lei de Ohm

)( Oc tv

elsewhereti 0)(

CORRENTEA DETERMINE

5 FC m

)()( tdt

dvCti

mAs

VFi 20

106

24][105

3

6

mA60

EXEMPLO

Energia elétrica acumulada

Sabemos que a relação entre energia w(t) e potência p(t) é dada por:

t

c dtitvtw )( )( )(

Mas, em um capacitor, vimos que: . Assim: dt

tdvCti

)()(

)(

) ( )(

tv

tv

t

c dvvCdd

dvCvtw

Suponha que o capacitor estava descarregado em t = – v(– ) = 0. Portanto:

J )(

2

1)( 2 tvCtwc

Energia elétrica acumulada (cont.)

Desta relação da energia de um capacitor, pode-se verificar que, à medida que o capacitor está sendo carregado e que, conseqüentemente, v(t) varia, a energia wc armazenada também varia.

Observe que wc 0, t o elemento é passivo.

Relações equivalentes para a energia armazenada pelo capacitor:

J )( 2

1)( 2 tvCtwc

J )( 2

1)( 2 tvCtwc J )(

2

1)( 2 tq

Ctwc

Energia elétrica armazenada (cont.)

O capacitor é um elemento armazenador de energia. um capacitor ideal não dissipa energia.

Por exemplo, um capacitor de 100 mF com uma tensão entre seus terminais de 100 V armazena uma energia de:

J 500(100) 10100 2

1

2

1 232 vCwc

Enquanto o capacitor permanecer desconectado de qualquer outro elemento, esta energia de 500 J permanecerá armazenada.

O que acontecerá se conectarmos um resistor nos terminais deste capacitor carregado?

Capacitor: Tensão e carga contínuas

Se for conectado um resistor nos terminais deste capacitor carregado:

resistor + tensão entre terminais = corrente (v = R i i = v / R).

A energia armazenada será dissipada na forma de calor no resistor.

Quando toda a energia tiver sido dissipada na forma de calor, a corrente no circuito composto do resistor e do capacitor será nula, assim como a tensão nos terminais do capacitor.

Requisito da conservação de cargas a tensão no capacitor é contínua A tensão nos terminais do capacitor e a carga em suas placas não pode variar instantaneamente. Notação:

)0( )0( vv

Tensão e carga contínuas – exemplo FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/carateco.htm e DORF, Richard.

Uma vez que a carga acumulada resulta da integral da corrente, então as variáveis carga, tensão e energia devem necessariamente ser uma função contínua no tempo (as variações em degrau só seriam possíveis caso a corrente atingisse valores infinitamente elevados).

Valores finitos da corrente elétrica têm como conseqüência as condições de continuidade:

)( )( tqtq )( )( tvtv )( )( twtw cc , t.

Por exemplo: Qual a energia armazenada e a tensão no capacitor em t = 0 +?

10V

R

10mF 10V

R

10mF

t = 0

CAPACITOR COMO ARMAZENADOR DE ENERGIA

)()()( titvtp CCC

Potência instantânea

)()( tdt

dvCti c

C

dt

dvtCvtp c

CC )()(

C

tqdxxi

Ctv C

t

CC

)()(

1)(

)()(1

)( tdt

dqtq

Ctp C

CC

Energia é a integral da potência

2

1

)(),( 12

t

t

CC dxxpttw

Se t1 é , a expressão refere-se a

“energia armazenada no tempo t2”

Se ambos os limites forem , refere-se à

“energia total armazenada.”

)(

2

1)( 2

tvdt

dCtp CC

)(2

1)(

2

1),( 1

22

212 tCvtCvttw CCC

)(

2

11)( 2

tqdt

d

Ctp cC

)(1

)(1

),( 12

22

12 tqC

tqC

ttw CCC

W

Cv

Ci

Energia armazenada entre 0 - 6 msec

][)24(*][10*52

1)6,0( 226

VFwC

Energia armazenada em 3msec

)3()3( CC Cvq

)0(2

1)6(

2

1)6,0( 22

CCC CvCvw

CVFqC m60][12*][10*5)3( 6

“energia total armazenada?” ....

“carga total armazenada?” ...

Se a carga estiver em Coulombs

e a capacitância em Farads

a energia está em ….

FC m5

EXEMPLO

tensão.a Determine .4 FC m

20 t

mst 42

][1082)( 3Vttv

0;)(1

)0()(0

tdxxiC

vtvt

2;)(1

)2()(2

tdxxiC

vtvt

0)0( v

potência a Determine .4 FC m

tti3108)(

mstttp 20,8)( 3

mst 42

contrário caso,0)( tp

0)0( v

Determine a energia

mstttp 20,8)( 3

mst 42

contrário caso,0)( tp

Exemplo

CORRENTEA DETERMINE

2 FC m)()( t

dt

dvCti

s

VFi

3

6

102

12102

s

VFi

3

6

104

12102

Energia armazenada no tempo t )(2

1)( 2 tCvtE C )240/1(E

2sin130*][10*2

2

1 226 F J

Carga armaz. em um dado tempo )()( tCvtq CC )120/1(Cq 0])[sin(*][10*2 6 VC C

Corrente através do capacitor )(tdt

dvCi C

C )120/1(Ci )cos(120*130*10*2 6 A

Potência elétrica fornecida ao capacitor em um dado tempo )()()( titvtp CCC

Energia armazenada em um dado intervalo de tempo

W

)(2

1)(

2

1),( 1

22

212 tCvtCvttw CC

J

FC m2

)120(sin130)( ttv

)(tv

Que variáveis podem ser computadas?

Problema típico

Cv

Ci

C

FC m2

][0;0

0;)(

5.0

mAt

teti

t

C

Current through capacitor

Tensão em um dado tempo t dxxiC

tv

t

CC )(1

)(

)0(Cv ][0 V

Tensão em um dado tempo t quando a tensão em to<t é conhecida

t

t

CCC dxxiC

tvtv

0

)(1

)()( 0

)2(Cv

2

0

5.01)0( dxe

Cv x

C

2

0

5.0

6 5.0

1

10*2

1

xe 61

610*6321.01

5.0

1

10*2

1

e V

Carga em um dado tempo )()( tCvtq CC )2(Cq 6321.0*2 C

Tensão em função do tempo dxxiC

tv

t

CC )(1

)(

0;0)( ttvC

t

x

CC dxeC

vtv0

5.01)0()(

0;0

0);1(10)(

5.06

t

tetv

t

CV

Potência elétrica fornecida ao capacitor )()()( titvtp CCC

Energia armazenada no capacitor em um dado tempo )(2

1)( 2

tCvtw C

W

J

Energia “total” armazenada no capacitor )(2

1 2 CT Cvw 6266 10)10(*10*22

1

Tw J

Problema típico Se a corrente for conhecida ...

Problema típico

sec)(mt

5 10

Determine a tensão em função do tempo

Em : tudo é zero. Como iC(t) = 0 para t<0, tem-se

sec50 mttsAt

s

At

ms

AtiC ]/[10*3

10

103

5

15)( 3

3

6

m

][10*4

10*3)(0)0(

06

3

VxdxtVVt

CC

][10*50];[8

10*3 323

stVt

Em particular ][

8

75][

8

)10*5(*10*3)5(

233

mVVmsVC

][10)(105 Atimst C m

t

CC dxsAtVmVmsV310*5

6

6

3

]/)[10*10(10*4

1

8

10*75)(][

8

75)5(

][10*1010*5;][10*54

10

8

10*75)( 333

3

stVttVC

Carga armazenada em 5ms

)()( tCVtq CC

][8

10*75*][10*4)5(

36 VFmsq

][)2/75()5( nCmsq

Eneriga total armazenada

2

2

1CCVE

Total significa no infinito. Assim:

][8

10*2510*4*5.0

23

6 JET

Antes de se utilizar um modo formal para se descrever a corrente, observe questões adicionais que podem ser respondidas.

O modo formal de se descrever funções lineares por partes....

Dadas a corrente e a capacitância

0;0)( ttVC

][10;8

25

][105;54

10

8

75

50;8

3

0;0

)(

2

mst

mstt

mstt

t

tVc][mV

Descrição formal de um sinal analítico por partes

Linhas de fluxo podem se estender além do indutor, gerando efeitos indutivos de dispersão

Representação como elemento de circuito de um indutor

Um fluxo variável no tempo gera uma força contra eletromotriz, o que gera uma tensão nos terminais do dispositivo

INDUTORES OBSERVE O USO DA CONVENÇÃO

PASSIVA DE SINAIS

Indutor e indutância eletromagnética

Movimento de cargas elétricas (corrente elétrica, por exemplo) força magnética.

Dois condutores percorridos por uma corrente elétrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se caso contrário (por que?)

Força magnética campo magnético; fluxo magnético; densidade de fluxo magnético; permeabilidade magnética; indutância (própria); indutância mútua.

Bobina ou indutor componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético portanto, sob a forma de cargas elétricas em movimento.

Indutância parâmetro que relaciona a corrente elétrica com o fluxo magnético. iL


Indutância L: função das dimensões físicas e do

número de espiras da bobina e do material do núcleo.

Unidade: H (Henry)

iL

td

tidL

td

td

)(

)(

Lei de Faraday:

SCSdB

tldEV

Força eletromotriz – fem ou emf

Lei de Lenz

td

tidLtv

)( )(

FEM em indutores:

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/backemf/index.html




Corrente e campo magnético induzido

FONTE: ftp://ntftp.pearsoned-ema.com/LongAcre/samplechaps/ftph/0130930466.pdf

r

I

l

IHldHI

2

Campo

magnético

Fluxo

magnético

HA

B

m

: densidade de fluxo magnético

Fluxo

magnético

Anel

ferromagnético

Permeabilidade magnética do material

Corrente e campo magnético induzido

FONTE: ftp://ntftp.pearsoned-ema.com/LongAcre/samplechaps/ftph/0130930466.pdf

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/indcur.html#c2

Campo magnético em um

enrolamento (bobina)

dt

dIL

dt

BAdN

dt

dNfemV

)(][

Lei de Lenz

Lei de Faraday

Da definição de indutância (vide

livro de eletromagnetismo)

Pode-se mostrar (vide site acima e livro de eletromagnetismo) que:

Indutor e indutância eletromagnética FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/grandmag.htm

mm

l

rNkNL roespirasN

2

Indução eletromagnética fenômeno através do qual se geram tensões e correntes elétricas, a partir das variações na intensidade do fluxo magnético.

Existe indução de uma tensão elétrica nos terminais de um condutor quando:

(a) O condutor se move cortando as linhas de fluxo magnético;


(b) Uma espira (ou N espiras) movem-se em um campo constante no tempo mas variável no espaço (o fluxo que atravessa a espira varia em função da posição);

(c) O condutor (ou a espira, ou as N espiras) se encontra imóvel, mas o fluxo apresenta variações temporais;


(d) O condutor se encontra imóvel, mas imerso em um fluxo variável no tempo gerado pela sua própria corrente.


Corrente variável no tempo

Indutância própria e indutância mútua:

td

tidLtv

)( )(

td

tidMtv

)( )( 1

2

Análise de um circuito com indutâncias Obtenção e resolução de uma ou várias equações diferenciais; Condições iniciais de corrente, fluxo magnético, energia armazenada; Continuidade da energia armazenada; Forma dual das características tensão-corrente do capacitor e do indutor.


td

tidLtv

)( )(

dt

tdvCti

)()(

Característica i v FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/carateco8.htm

Característica v i:

Correntes constantes no tempo não induzem qualquer tensão nos

terminais da bobina ( indutor curto-circuito);

Correntes variáveis no tempo com derivada finita induzem tensões

finitas;

Correntes senoidais induzem tensões senoidais.

Variações infinitamente rápidas da corrente induzem picos de tensão

com amplitude infinita.

Pela característica v i do indutor, pode-se observar que, para haver

uma variação abrupta ou instantânea da corrente, seria preciso uma

tensão infinita. A corrente em um indutor não pode variar

instantaneamente.

td

tidLtv

)( )(

Característica i v e energia armazenada FONTE: DORF, Richard (vide plano de ensino)

Característica v i:

Eneriga armazenada:

onde . Se i() = 0 w(t) 0, t

elemento passivo

td

tidLtv

)( )( )( )(

1 tiddttv

L

t

t

t

t oo

iddvL

)( )(

1)()( )(

1

o

t

ttitidv

L o

t

to

o

dvL

titi

)(

1)()(

dt

tdiLtitvtitp

)()()()()(

t

dpw )(

)( 2

)( 2

2

)( )( )()(

)( 22

)(

)(

2)(

)(

o

ti

i

ti

i

tti

Lti

LtiLdiiLdi

d

diLw

)( 2

1 2 tiLw

ot

Energia armazenada e continuidade da corrente

Diz-se que o indutor é um elemento que armazena energia sob a forma de um campo magnético.

Vimos que i(t) em um indutor não pode variar instantaneamente o fluxo magnético não pode variar instantaneamente (o fluxo magnético é gerado pela variação da corrente) a energia armazenada no indutor (função da corrente – vide expressão acima) não pode variar instantaneamente.

Valores finitos da tensão aplicada correspondem a condições de continuidade nas variáveis:

)( 2

1 2 tiLw

)( )( titi )( )( tt )( )( twtw

circuitos elétricos 1 - aula 13

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