Técnicas adicionais de análise

Objetivos:

Rever o princípio da linearidade

Aplicar a superposição

Serão discutidas algumas implicações do princípio da superposição

em circuitos lineares

Desenvolver os teoremas de Thevenin e Norton

Trata-se de duas ferramentas de análise extremamente úteis que

permitem que nos concentremos em partes simplificadas do

circuito

Transferência máxima de potência

Esta é uma aplicação útil dos teoremas de Thevenin e Norton

As técnicas desenvolvidas no capítulo 2 (combinações série e paralelo,

divisor de tensão, divisor de corrente) são técnicas especiais que são

mais eficientes que os métodos gerais, mas possuem aplicabilidade

limitada. Estas técnicas poderão ser utilizadas quando forem mais

eficientes, e não devem ser esquecidas.

Nesta seção serão desenvolvidas técnicas adicionais que simplificam a

análise de alguns circuitos. Na verdade, estas técnicas nada mais são

do que uma expansão de conceitos já introduzidos: linearidade e

circuito equivalente.

Os métodos de análise nodal e de laço fornecem ferramentas

importantes para se determinar o comportamento de cada

componente em um circuito.

Alguns circuitos

equivalentes já utilizados

Linearidade

Observe que, tecnicamente, a linearidade não pode

ser verificada empiricamente em um sistema (mas

o modelo pode ser verificado matematicamente).

Em contrapartida, basta um contra-exemplo para

mostrar que o sistema não é linear

Utilizando-se a análise nodal para circuitos

resistivos: obtêm-se modelos da forma Av = f

v: vetor contendo todas as tensões nodais

f: vetor que depende apenas das fontes

independentes Mais detalhadamente: BsAv

A, B: matrizes

s: vetor de todas as fontes independentes

Para a análise de circuitos lineares pode-se utilizar a linearidade para se desenvolver técnicas de análise especiais

Revisão das técnicas disponíveis até

agora:

Os modelos que estamos utilizando são lineares. Matematicamente satisfazem o princípio da superposição

O modelo y = Tu é linear

T(a1u1+a2u2) = a1Tu1+a2Tu2

para todos os pares de entradas u1 , u1

e todos os escalares a1 , a2.

Uma definição equivalente de linearidade pode ser obtida considerando-se o princípio da superposição em duas partes:

O modelo y = Tu é linear

1. T(u1 + u2) = Tu1 + Tu2, u1 ,u2 aditividade

2. T(au) = aTu , a ,u homogeneidade

Exemplo para rever técnicas já desenvolvidas

Redesenhando o circuito para facilitar o reconhecimento de casos especiais O VDETERMINE

Técnicas de solução disponíveis??

Divisor de tensão

Análise nodal Análise de laço

Combinação série/paralelo

- -

Usando homogeneidade

Assuma que a resposta é conhecida. Como se pode determinar a entrada de modo simples?

-

1V

Dado Vo V1 pode ser determinado utilizando-se o inverso do divisor de tensões

0

2

211 V

R

RRV

… Análogo para Vs:

0

2

214

1

4V

R

RR

R

RRV

R

RRV

EQ

EQ

EQ

EQ

S

Resolva agora para Vo

Pode-se aplicar o algoritmo:

1. Assuma um valor arbitrário para Vo (ex., V’o =1 )

2. Determine o valor resultante da fonte V’_s

3. Utilize a linearidade:

kkVkVVV SS ,'0''

0

'

4. O valor real da fonte (V_s) corresponde a

'

S

S

V

Vk

Portanto a saída desejada é

'

0'

'

00 VV

VkVV

S

S

Ferramenta útil para problemas como este, com uma única fonte, e lembrando-se da solução do inverso do divisor de tensões.

EQR

Outro exemplo: resolva usando a homogeneidade

][1ASSUMA 2 VVVout

1I

OV

Agora, utilize a homogeneidade

][2][12

][1][6

VVVV

VVVV

outO

outO

mA1IASSUMA O

][31 VV

][5.0 mA

][5.1 mASV

][62][5.1 1 VVkmAVS

][5.0 mA

mA2

____6

12

ADEHOMOGENEIDA UTILIZE

O

O

ImAI

mAImAI

mAIIO 6 UTILIZEADE.HOMOGENEIDA USANDO COMPUTE

Outro exemplo

Superposição de fontes

Esta técnica é uma aplicação direta da

linearidade.

É útil quando o circuito possui poucas fontes.

aI0

I0

V0

Exemplo inicial: resolva o circuito pela análise

nodal

Duas fontes independentes. Pela análise nodal:

IsIR

V

R

VsV

-0

2

0

1

0 a IsR

Vs

RRV

121

0

11 a

2

00

R

VI Is

R

Vs

RR

RRV

121

210

)1( a

IsRR

RRVs

RR

RV

)1(

)1( 21

21

21

20

aa

Circuito linear!

Aplicação do teorema da linearidade

Circuito resistivo

linear sem fontes

independentes

+

- V

S IS

+ -

V0

VS IS V0

10 V 1 A 2 V

5 V 2 A 3 V

15 V - 3 A ?

Pelo teorema da linearidade: SS IbVaV 0

3 2 5

2 10

ba

ba

3

4 ,

15

1 ba SS IVV

3

4

15

10

V -3)3( 3

4 15)(

15

1 -

Não precisamos nem conhecer os

componentes internos do circuito!

circuit

+ -

VS

IS

+

VL

_

IL

Devido à linearidade

V aV a IL S S 1 2

V L1

Pode ser computado colocando-se a fonte de corr.

em repouso (Is = 0) e resolvendo-se o circuito

V L2 Pode ser computado colocando-se a fonte de

tensão em repouso (Vs = 0) e resolvendo-se o

circuito

Seja, por exemplo, um circuito

com apenas duas fontes

independentes

SV DE ÃOCONTRIBUIÇ

1LV

SI DE ÃOCONTRIBUIÇ

2LV

Circuito

resistivo sem

fontes indep.

Conseqüências da linearidade:

Conseqüências da linearidade: superposição

Para funções lineares: ),,( 321 xxxf

),0,0()0,,0()0,0,(),,( 321321 xfxfxfxxxf

Princípio da superposição:

Em um circuito linear resistivo, qualquer saída (corrente, tensão) é

a soma das contribuições individuais de cada fonte independente

com as outras fontes em repouso.

Circuito com fonte de corrente em repouso (Is = 0: em aberto)

1

LI

1

LV

Circuito com fonte de tensão em repouso (Vs = 0: curto circuito)

2

LI

2

LV

Superposição de fontes

= +

Esta abordagem será útil se a solução de dois circuitos com apenas uma fonte for mais fácil, ou mais conveniente, do que resolver-se o circuito com duas fontes.

Devido à linearidade dos modelos deve-se ter

2121

LLLLLL VVVIII Princípio da Superosição das Fontes

Pode-se ter qualquer combinação de fontes. E pode-se particionar do modo mais conveniente

Para fixar:

=

][6||33 kReq

15

2

32

336

][)3||3(6

222"

2

vv

R

vi

kR

eq

eq

+

Equações de laço

Contribuição de v1

Contribuição de v2

Determine a corrente i1

Uma vez conhecidos os “circuitos parciais”

deve-se saber como resolvê-los de modo eficiente.

)()()( 111 tititi

(3)

k

tv

k

tvti

tvtvtik

15

)(

5

)()(

)()( 3)( 15

211

211

-

-

Para fixar

Colocando a fonte de tensão em repouso (V = 0 curto-circuito)

Divisor de corrente

Lei de Ohm

A seguir, coloque a fonte de corrente em repouso (I = 0 circuito aberto) Divisor de tensão

+

-

V0"6k

3k

3V ][6"

0

'

00 VVVV

][2 V

fontes de ãosuperposiç a utilizando Determine 0V

Para fixar:

Fonte de tensão em repouso

É necessário saber resolver cada circuito de modo eficiente!!

Fonte de corrente em repouso

-

1V

Se V1 é conhecido, então V’o pode ser obtido por divisor de tensões

V1 pode ser obtido por uma redução série/paralelo e divisor

2I

A corrente I2 pode ser obtida utilizando-se um divisor de correntes, e V”o pela lei de Ohm

2k||4k

2k

6k

I2+

V"0

_

2mA

+

-

2k

4k||8k

+

V1

_

)6(3/82

3/81

V

+

V1

_

6k

2k

+

V'0

_

][7

18

26

61

'VV

kk

kVO

Na dúvida… redesenhe!

mAkkkk

kkkI )2(

)4||2(62

)4||2(22

"'

2" 6

OOO

O

VVV

kIV

fontes de ãosuperposiç a usando Determine 0V

Para fixar

1. Considerando apenas a fonte de tensão

mAI 5.101 -

3. Considerando apenas a fonte de 4mA

2. Considerando apenas a fonte de corrente de 3mA

Divisor de corrente:

mAI 5.102 -

003 I

mAIIII 30302010 -

Usando a superposição de fontes:

fontes de ãosuperposiç a usando Determine 0I

1I

1

1

2

2

3

3

2

11 IIO -

Determine I0 pelo teorema da superposição

Fonte de corrente em repouso

Fonte de tensão em repouso

Na dúvida: redesenhe o circuito!

Usando o divisor de correntes

Cuidado: fontes dependentes NÃO devem ser colocadas em repouso ao se aplicar o princípio da superposição

2I1

I1

4

2

=

54

55

4

2

2

1

4

111

VV

+

-

2I1

I1

4

2 V1

+

-

A 1V 4)1(

1

)1(

1 IV+

2I1

I1

4

2

+

-

V1

A 5

3V

5

12 )2(

1

)2(

1 IV

04

22

10

4

111 -

VVV

34

53

42

241

111 VVVV

?1 I

A 5

8

5

31

)2(

1

)1(

11 III

Linearidade

Erros comuns no início (que devem ser eliminados com a resolução de vários exercícios!):

1) Colocar fontes dependentes em repouso

- As saídas são funções lineares APENAS das fontes

independentes

2) Aplicar o princípio da superposição a potência

- Potência é uma função QUADRÁTICA, não linear, das

fontes

3) Aplicar o princípio da superposição a circuitos não

lineares

- O princípio da superposição de aplica APENAS a

circuitos lineares

Estes teoremas fornecem informações

importantes para a análise de circuitos.

Eles permitem “esconder” informações

não relevantes para que se possa

concentrar no que é importante para a

análise em questão.

Teoremas de Thevenin e Norton

http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html

Amplificador de áudio de baixa distorção

Do PreAmp (tensão ) Às caixas de som

Para se “casar” caixas de som e amplificadores é muito mais fácil se considerar este circuito equivalente.

Para se “casar” caixas de som e amplificadores é necessária a análise deste circuito.

+

-

RTH

VTH

Substituir o amplificador por um “equivalente” mais simples

Courtesy of M.J. Renardson

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART B

a

b_

Ov

i

Teorema do Equivalente de Thevenin

Thevenin de eEquivalent aResistênci

Thevenin de eEquivalent Fonte

TH

TH

R

v

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_

Ov

i

-

THR

THv

PART A

Circuito Equivalente de Thevenin

para a PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE B

CIRCUITO LINEAR

PARTE B

PARTE A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART A

LINEAR CIRCUIT

May contain

independent and

dependent sources

with their controlling

variables

PART B

a

b_

Ov

i

Teorema Equivalente de Norton

Norton de eEquivalent aResistênci

Norton de eEquivalent Fonte

N

N

R

i

LINEAR CIRCUIT

PART B

a

b_

Ov

i

NRNi

PART A

Circuito Equivalente de Norton

para a PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE A

CIRCUITO LINEAR

Pode conter fontes

independentes e

dependentes com

suas variáveis de

controle

PARTE B

CIRCUITO LINEAR

PARTE B

PARTE A

Motivação para o uso destes teoremas:

curva característica i-v de um circuito

Aplicando-se uma tensão v nos terminais A-B indicados, pode-se medir a corrente

resultante i.

Para uma rede (circuito) linear, a característica i-v é uma função linear:

bmvi

Exemplos de características i-v:

Normalmente, a característica i-v não passa pela origem.

Veja o próximo exemplo.

Exemplos de características i-v:

0- vVsiRLKT: ou

R

Vsvi

-

Exemplos de características i-v:

0-- iR

vIS

LKC: ou

R

vIsi -

Corrente de

curto circuito

Tensão de

circuito aberto