circuit os 1
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CIRCUITOS ELÉCTRICOSDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES
PRODUZIDO POR:
JAIME BATISTA DOS SANTOS
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 2
BIBLIOGRAFIA
• ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS• Autor: Jaime B. Santos• Editora: Minerva
• Electric Circuits• Autor: James Nilsson
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 3
AVALIAÇÃO
• EXAME - ÉPOCA NORMAL• EXAME – ÉPOCA DE RECURSO
TEÓRICA – 10 valores (bónus de 1 valor para os alunos que assistam a pelo menos 90% do total das aulas).
PRÁTICA – 10 valores
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 4
Definição de quantidades eléctricas básicas
• Noção de carga eléctrica
üElectricidade estática
SHIT!
• Electrização por fricção
• Electrização por contacto
-- - --
++
+++
+ +
+
+++
+
+++++ +
•Electrização por influência
- -- - -- -- - -
+ + + +
+ + + +
+
+
Corpo isolado
-- --- -- -
--
+ + +
+++
- ---
--
A B
D
-- -- -- -
--
+ + +
+++
C
+ +
+
+++
+ +--
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 5
LEI DE COULOMB
221
rqq
kF =→
041
πε=kcom
- inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas.
- directamente proporcional ao produto das cargas.
ü Força exercida por cargas eléctricasA força pode ser:
- de atracção – cargas de sinais diferentes- de repulsão – cargas do mesmo sinal
e é:
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 6
Corrente eléctrica
• Carga em movimento corrente
P1
ØTaxa de transferência de carga:
§ Considerando que a quantidade de carga transferida no ponto P1 variou de q para q+∆q no intervalo de tempo [ t, t+∆t ] ,
§Qual é a taxa de transferência de carga através do ponto de referência?
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 7
Corrente eléctrica
ttttqttq
tq
−∆+−∆+
=∆∆
)()()(
Ø Quando ∆t ? 0tq
ttqttq
dtdq
tt ∆∆
=∆
−∆+=
→∆→∆ 00lim
)()(lim
DEFINIÇÃO
•Assim, a corrente num dado ponto (ex: P1), fluindo numa dada direcção, pode
ser definida como a taxa com que carga positiva se move nessa direcção.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 8
Corrente eléctrica
• SimbologiaI ou i
dtdq
i =• Unidades: Ampère (A)
ü Homenagem a A.M. Ampère
Ø Quantas formas de corrente conhece?
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 9
Corrente eléctrica
i
t
i
t
i
t
i
t
(a) (b)
(c) (d)
üResposta: Diversas formas
Identifique estas:
a)
b)
c)
d)
Corrente contínua ou dc
Corrente alternada ou ac
Exponencial decrescente
Alternada amortecida
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 10
• Símbolo gráfico:
Corrente eléctrica
5 A-5A
• Qual é a diferença entre estas duas representações ?
ü Resposta : são rigorosamente iguais
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 11
Corrente eléctrica
I1(t) I1(t)
• Destas representações identifique quais caracterizam de forma
inequívoca a corrente no fio condutor.
ü Resposta:
(a)(b) (c)
(c)
• Como medir correntes?
ü Amperímetros inseridos em série no circuito em estudo.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 12
Corrente eléctricaMedida experimental
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 13
TENSÃO• Noção de elemento de um circuito
ü Elemento de circuito com dois terminais
A
B
Questão: Quantos percursos são possíveis para a corrente?
Admita-se que uma corrente contínua entra no terminal A, percorre o elemento de circuito e sai no terminal B.
Questão: Assumindo que neste processo se verfica um gasto de energia, o
que é necessário realizar para que a carga se mova de A B?
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 14
TENSÃO• Definição de tensão ou d.d.p.
ü Trabalho por unidade de carga para mover uma dada carga entre os dois pontos considerado:
ou,
ü Trabalho necessário para mover uma carga positiva de 1C de um
terminal para outro.
dqdw
v ABAB =
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 15
• Simbologia
+ / -
TENSÃO
Amplitude V ou v Volt
• Convenções
• Questão:
ü No circuito anterior, é fornecida energia ao elemento ou é o elemento que fornece energia a outros dispositivos?
• Resposta:
• Só é possível responder a esta questão se for conhecida a polaridade dos terminais A e B.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 16
• Convenções (cont.)
• Ex: Admitindo que uma corrente positiva entra no terminal A do elemento e que a fonte realiza trabalho para estabelecer esta corrente, qual é a polaridade do terminal A?
ü Caracterize os seguintes representações quanto à ddp entre os terminais:
TENSÃO
A
B
A
B
A
B
A
BV= - 5V V= 5V V= 5V V= - 5V
+
-
+-+
-+-
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 17
TENSÃO
Medida experimental Voltímetro
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 18
• Convenções (Cont.)
ü Destas representações identifique quais caracterizam de forma
inequívoca a tensão.
A
B
A
B
A
BV V
+-
+-
TENSÃO
POTÊNCIA
• Qualquer sistema eléctrico é sempre caracterizada por uma potência absorvida ou fornecida.
(a) (b) (c)
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 19
• Considere-se o seguinte exemplo:
POTÊNCIA
A
B
2 A
+
-V= 5V
ü Nestas circunstâncias, está ser fornecida energia ao elemento de circuito.
ü Este elemento obedece à convenção de sinal passivo.
A B
+ -
i(t)
ü O termo “passivo”, significa que o elemento absorve potência.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 20
POTÊNCIA• Definição
ü Potência é definida como sendo a taxa de dispêndio de energia por unidade de tempo:
)(*)()( titvdtdq
dqdw
dtdw
tp ABAB ===
• Exemplos:
2A -
+ -
+
- 5 V
- 3 A
4 V
- 5A
Qual o sentido da corrente?O valor e tipo de potência? Qual valor e tipo de potência? Qual o valor e tipo de potência?
Unidades: Watt (W)
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 21
ELEMENTOS DE CIRCUITO
• Definição de elemento de circuito Uso do conceito de tensão e corrente.
dtdi
kv 1=
• Tensão directamente proporcional à corrente v = k i Resistência
• Tensão proporcional à derivada da corrente em ordem ao tempo
Bobine.
• Tensão proporcional ao integral da corrente em ordem ao tempo Condensador.
∫= dt ikv 2
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 22
• Elementos de circuito cuja tensão é independente da correnteou
Elementos de circuito cuja corrente é independente da tensão.
ELEMENTOS DE CIRCUITO
Fontes independentes
Elementos de circuito cuja tensão ou corrente depende de uma corrente ou tensão existentes no circuito.
Fontes dependentes ou controladas
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 23
• Fontes ideais Tendem a manter o valor da tensão ou
corrente independentemente da carga.
ELEMENTOS DE CIRCUITO
Fonte de tensão independente ideal
+-
vs
Fonte de corrente independente ideal
si
i
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 24
• Fontes ideais (cont.)
ELEMENTOS DE CIRCUITO
Fonte de tensão dependente ideal:
s+-
v
vs =µ vx ou vs = ρ ix
Fonte de corrente dependente ideal:
si
is = α vx ou is = β ix
• As fontes de tensão são designadas por elementos activos
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 25
CIRCUITO ELÉCTRICO
• A interligação de dois ou mais elementos de circuitos é
designada por rede eléctrica.
• Se a rede eléctrica possuir pelo menos um percurso fechado, estamos perante um circuito eléctrico.
• Nota: Todo o circuito é uma rede mas nem todas as redes são circuitos.
• EXEMPLO
+-+-
(a) (b)
vsvs
Identifique as respostas correctas:1) A figura a é uma rede.2) A figura a é um circuito.3) A figura b é uma rede.4) A figura b é um circuito.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 26
• A resistência eléctrica é o elemento mais simples de um circuito.
RESISTÊNCIA ELÉCTRICA E LEI DE OHM
George Simon Ohm (1789-1854) LEI DE OHM
A relação entre a tensão de alimentação de um dado circuito, para a
maioria dos materais condutores, é directamente proporcional à corrente
que os percorre, i.e., v = R i
R identifica a resistência
Símbolo gráfico:R
+ -v
i
Unidades: Ohm (Ω)
1º digito2º digito
expoente de base 10
tolerância
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 27
RESISTÊNCIA ELÉCTRICA E LEI DE OHMMedida experimental do valor da resistência
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 28
LEI DE OHM
Fujam! Vem aía lei de Ohm
V é igual a R I
ou será I sobre R?
• Nada mais simples: Aqui vai um truque para o ajudar a recordar como obter as grandezas pretendidas.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 29
• Desenhe o seguinte triângulo:
LEI DE OHM
I R
V • Se conhecer as grandezas V e I e pretender calcular R, elimine R na figura.
I R
V
IV
R =
•Se conhecer V e R e desejar calcular I, elimine I na figura.
I R
V
RV
I =
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 30
LEI DE OHM
I R
VFinalmente, se conhecer I e R e desejar determinar V, elimine V na figura
I R
VV = R I
Fácil
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 31
• Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)
LEIS DE KIRCHHOFF
• Apresentou as leis que permitem relacionar correntes, resistências e tensões em circuitos eléctricos.
1
3
2
3
111
2
(a) (b)
R R
R
R
1 2
3
4
R R
R
R
1 2
3
4
i s i s
• Considere os seguintes exemplos de circuitos
Nota: os elementos de circuitos são ligados entre si por condutores eléctricos ideais
•Importantes definições:
•Nóà ponto onde ligam dois ou maiselementos de circuito
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 32
LEIS DE KIRCHHOFF
1
3
2
3
111
2
(a) (b)
R R
R
R
1 2
3
4
R R
R
R
1 2
3
4
is i s
• Noção de percurso fechado.• Admita que parte do nó 1, (figura a), percorre o elemento R3 e chega ao nó 3. Não há dúvida que realizou um percurso. Admita agora que continua o trajecto a partir do nó 3, percorre a resistência R4, chega ao nó 2, continua através do elemento R2 e atinge o nó 1 de novo.
percurso fechado
• Noção de ramo.
•Troço de circuito entre dois nós, que contenha elementos de circuito (geradores e / ou receptores).
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 33
• 1ª Lei de Kirchhoff ou Lei da corrente (ou lei do nós)
LEIS DE KIRCHHOFF
Enunciado:
A soma algébrica das correntes que entram num dado nó é igual a zero
i
i
i
i
ab
cdia + ib - ic - id = 0. ou para N correntes
∑=
=N
kkI
1
0
•Ou ainda, a soma das correntes que convergem num nó é igual à soma das correntes que divergem desse mesmo nó
∑ ∑= divergemconvergem II
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 34
• 2ª Lei de Kirchhoff ou Lei da tensão (ou lei dos percursos fechados)
LEIS DE KIRCHHOFF
Enunciado:
• Num circuito, a soma algébrica das tensões ao longo de um percurso fechado é igual a zero.
1
2
3v1
v2
v3
+
-
+ -
+
-A
B
C • A energia necessária para mover a carga unitária de um ponto A para um ponto B num circuito, tem de possuir um valor que seja independente do percursoentre A e B.
• Exemplo:
Para a transportar a carga de 1C do ponto A para o ponto B, através do elemento 1, teremos de realizar um trabalho de v1 joules.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 35
LEIS DE KIRCHHOFF• 2ª Lei de Kirchhoff ou Lei da tensão (Cont.)
1
2
3v1
v2
v3
+-
+ -
+-
B
• Por outro lado, se o percurso de A para B for feito através de C então, será dispendida uma energia de
v2 – v3 = v1
• Para N tensões ∑=
=N
kkv
1
0
Ou ainda, ∑∑==
=N
kkk
N
ii IRV
11• Num percurso fechado, a soma algébrica
das forças electromotrizes é igual à soma algébrica das quedas de tensão.
A C
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 36
• Análise de um circuito (demonstração das leis de K.)
• Objectivo:
• - Cálculo da corrente que percorre cada ramo do circuito.
• - Cálculo da queda tensão aos terminais de cada resistência.
LEIS DE KIRCHHOFF
R1 R2
R3
R4R5 R6
R7V1 V2
V3
+
-
-
+
-
+
• PASSOS
1 – Definição das correntes incógnitas.
Procedimento: sentido escolhido de forma arbitrária.
2 – Escolha da tensão de referência para as resistências.
Procedimento: Uso da convenção de sinal passivo.
+ - + -I1
I2
I3I4
I5
I6I7
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 37
LEIS DE KIRCHHOFF
• Análise de um circuito continuação (cont.)
PASSOS (Cont.)
3 – Aplicação da lei da corrente de K.
Procedimento: Por forma a simplificar a análise, vamos alterar a definição de nó. Assim, a partir de agora nó é o ponto onde ligam três ou mais elementos de circuito..
R1 R2
R3
R4R5 R6
R7V1 V2
V3
+
-
-
+
-
+
+ - I1
I2
I3I4
I5
I6I7
Número de nós? 4 (a,b,c,d)
a
b
c
d
EQUAÇÕES:Nó a I1 + I3 + I5 = 0
Nó b - I1 + I4 – I2 – I3 = 0
Nó c - I4 – I5 – I7 + I6 = 0
Nó d I2 – I6 + I7 = 0
Questão: As equações estão correctas?
Resposta: Poderão não estar! Porquê?
Questão: As equações são todas independentes?
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 38
LEIS DE KIRCHHOFFEQUAÇÕES (cont.):
Nó a I1 + I3 + I5 = 0
Nó b - I1 + I4 – I2 – I3 = 0
Nó c - I4 – I5 – I7 + I6 = 0
Nó d I2 – I6 + I7 = 0
•Resposta: Não
• Uma equação independente deverá ter pelo menos uma incógnita não usada em nenhuma outra equação.
•Qual é a equação redundante? Nó c
R1 R2
R3
R4R5 R6
R7V1 V2
V3
+
-
-
+
-
+
+ - I1
I2
I3I4
I5
I6I7
a
b
c
d
nº de incógnitas = 7 = Nº de equações independentes.
4º PASSO: Aplicação da Lei da tensão de K
Procedimento:
a) Definir um sentido de circulação no percurso fechado.
b) Especificar o sinal algébrico para as diferentes tensões.
• Assim, n nós n -1 equações independentes
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 39
LEIS DE KIRCHHOFF
R1 R2
R3
R4R5 R6
R7V1 V2
V3
+
-
-
+
-
+
+ - I1
I2
I3I4
I5
I6I7
a
b
c
d
• Lei da tensão de Kirchhoff
• São necessárias mais quatro equações independentes, i.e., cada nova equação deverá ter pelo menos um ramo não utilizado em nenhuma outra equação.
e
f
Formulação das equações
1) Percurso abea:
- V1 + R1 I1 – R3 I3 = 0
2) Percurso abca:
R3 I3 - V3 + R4 I4 - R5 I5 = 0
3) Percurso bdfcb: 4) Percurso cdfc:
- R2 I2 + V2 – R6 I6 – R4 I4 + V3 = 0 V2 – R6 I6 – R7 I7 = 0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 40
vs = Reqi
ASSOCIAÇÃO DE FONTES E RESISTÊNCIAS
Associação de resistências em série
+-
R R R1 2
vs
+ -v v v
1 2
i
N
N
+- Rvs
i
eq
Aplicação da Lei da tensão de K.
ao circuito A
vs = v1 + v2 + ... + vN
ou, usando a Lei de Ohm,
vs = R1i + R2i +...+ RNi
= (R1 + R2 + ...+ RN) i.
++
AB
Circuito B: Aplicação da Lei de Ohm
Req = R1 + R2 + ...+ RN
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 41
ASSOCIAÇÃO DE FONTES E RESISTÊNCIAS
•Associação de fontes em série.
Diversas fontes de tensão ligadas em série podem, também, ser substituídas por uma fonte de tensão equivalente.
Associação de resistências em paralelo.
+-
R R R1 2vs
i
N +- Rvs
i
eq
i ii1 2 N
s s Aplicação da Lei da corrente de K ao circuito A:
Considerando que as correntes que se afastam de um nó são positivas,
is = i1 + i2 + ... + iN
A
B
Lei de Ohm
vs = R1i1 = R2i2 =...= RNiN(1)
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 42
ASSOCIAÇÃO DE FONTES E RESISTÊNCIAS
+-
R R R1 2vs
i
N +- Rvs
i
eq
i ii1 2 N
s sA
B
Associação de resistências em paralelo (Cont.).
É fácil verificar que a tensão écomum a todas as resistências.
Assim, i1 =
; i2 =
i1 =
;v
11 Ri s=; i2 = ;
v
22 R
i s=N
sN R
iv
=
Substituindo na equação (1), vem:
is = vs (
+
+++=
Nss RRR
vi1
...11
21
oueqNs
s
RRRRvi 11...11
21
=+++=
Circuito B
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 43
CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃOObjectivo do divisor de tensão: - Cálculo da tensão aos terminais de
uma de diversas resistência em série em função da tensão aplicada.
+-
R
R
1
2
vs
i
i
+
-
vo
+-
R
R
1
2
vs +
-
vo
o Leis de Kirchhoff e Lei de OhmAnálise
a b
Lei da tensão
vs = R1i + R2i ou21
vRR
i s
+=
Cálculo de vo Lei de Ohm
vo = R2 i21
2
RRR
vs +=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 44
CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO
• Ligação de uma carga ao circuito divisor de tensão (resistência RL).
+-
R
R
1
2
vs +
-
voRL
Questão: Qual é agora a expressão para a tensão de saída?
eq
eqso RR
Rvv
+=
1
Com2
2
RRRR
RL
Leq +
=
i0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 45
CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE
R R1 2
i
i i1 2
i
+
-
v
• Recomendado quando o circuito não possui mais de três ramos (sendo um a fonte de corrente)
Lei da corrente de Kirchhoff e Lei de OhmAnálise
Cálculo da tensão v
v = R1i1 = R2i2 =21
12
RRRR
i+
Cálculo de i2
Cálculo de i1i
RRR
i21
21 +
=
iRR
Ri
21
12 +
=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 46
CIRCUITOS EQUIVALENTES TRIÂNGULO- ESTRELA
• Objectivo: Simplificação de circuitos
+
-v
R R
R R
1 2
3 x
mR
Circuito ponte de wheatstone
A complexidade deste circuito pode ser substancialmente reduzida, usando o equivalente ∆- Υ.
Existência de dois ∆R R
Ra b
c
ab
cR
R
R
a b
c
ab
c
Configuração em π
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 47
CIRCUITOS EQUIVALENTES TRIÂNGULO- ESTRELA
Equivalente ∆ -Υ
R R
Ra b
c
ab
c R R
R
ab
c
1 2
3
R1 =R R
R R Rb c
a b c+ +
R2 = R R
R R Ra c
a b c+ +
R3 = R R
R R Rb a
a b c+ + Equivalente Υ - ∆
Ra =R R R R R R
R1 2 2 3 3 1
1
+ +
Rb =2
133221
RRRRRRR ++ Rc =
R R R R R RR
1 2 2 3 3 1
3
+ +
.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 48
EXEMPLOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS
(a) (b)
(c) (d)
Identifique o tipo de ligações
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 49
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Questões: a) Qual é o valor da fonte?b) De que modo estão as resistências ligadas?